(参考资料)折叠类家具设计的数学模型

折叠桌数学建模赛题讲评蔡志杰摘要：一、折叠桌数学建模赛题背景1.折叠桌的设计与功能2.数学建模赛题的提出二、折叠桌数学建模赛题的解决思路1.问题分析与模型构建2.数学模型的求解三、折叠桌数学建模赛题的案例分析1.案例一：折叠桌的稳定性分析2.案例二：折叠桌的空间利用率优化四、折叠桌数学建模赛题的启示与应用1.对折叠桌设计的改进2.对其他工程问题的启示正文：折叠桌数学建模赛题讲评蔡志杰折叠桌，以其轻便、易收纳、多功能的特点，越来越受到人们的欢迎。

然而，在折叠桌的设计过程中，如何实现各种功能与性能的平衡，是一个值得探讨的问题。

数学建模赛题的提出，旨在通过数学方法解决这一问题。

一、折叠桌数学建模赛题背景折叠桌的设计与功能息息相关。

在设计折叠桌时，需要考虑的因素有：桌面大小、承重能力、折叠方式、收纳空间等。

这些因素之间往往存在矛盾，如增大桌面面积可能降低收纳空间，提高承重能力可能导致桌面变形。

因此，如何通过数学方法找到这些因素的最佳平衡点，成为了折叠桌数学建模赛题的核心问题。

二、折叠桌数学建模赛题的解决思路要解决折叠桌数学建模赛题，首先需要对问题进行分析，明确问题所涉及的因素，并构建合适的数学模型。

例如，可以将折叠桌的承重能力、收纳空间等性能指标转化为数学表达式，然后通过求解这些表达式，找到满足性能要求的折叠桌设计方案。

在数学模型的求解过程中，可以运用线性规划、图论、动态规划等数学方法。

这些方法能够帮助我们快速地找到问题的解决方案，并对其进行优化。

三、折叠桌数学建模赛题的案例分析为了更好地理解折叠桌数学建模赛题的解决过程，我们通过两个案例进行分析。

案例一：折叠桌的稳定性分析。

在折叠桌的设计过程中，稳定性是一个重要的性能指标。

我们可以通过建立力学模型，分析折叠桌在各种受力情况下的稳定性。

通过求解这个模型，我们可以得到折叠桌的最小尺寸和材料要求，以确保其在使用过程中的稳定性。

案例二：折叠桌的空间利用率优化。

创意平板折叠桌摘要本文针对给出创意平板折叠桌的桌子高度和桌面直径，为得出最优设计加工参数以及最优选材等问题建立数学模型并求解。

针对问题一，定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，利用弦长公式计算出除最外围木条其余圆周内木条的长度，将所求的木条长度导入到Matlab软件中使用cubic方式拟合曲线，求出最外围木条的长度。

为描述动态变化过程，引用等效替代的思想，建立模型，用桌腿与桌子高度间的夹角变换客观明确的表现出折叠过程中的动态变化。

根据以上数据求出折叠桌的设计加工参数以及桌脚边缘线。

针对问题二，在不影响到外形美观度的基础上，先以用材最少为目标函数，用稳定性好和加工方便为约束条件，建立优化模型，使用Lingo软件编程求出部分参数最优解，根据求出的最优解系统计算汇总得出所求创意平板折叠桌的最优设计加工参数。

针对问题三，此问是要建立设计加工参数的通解，需要考虑不同的桌面形状，建立不同的模型，在输入数据时先判断属于哪个桌面形状，任意给出折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，利用建立的模型求解其设计加工参数，绘制动态变化过程示意图。

关键词：创意平板折叠桌；拟合；最优化模型；空间几何一、问题重述创意平板折叠桌在外型新颖、造型美观的基础上，还要全面考虑折叠桌制作的稳固性、加工时长以及用材量。

在已知桌高和桌面直径的条件下，建立数学模型，快速且精确的算出最优的设计加工参数。

就已知折叠桌桌高以及桌面直径的情况下，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）根据所给的已知条件，建立数学模型，来描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。

（2）在造型美观的前提下，考虑稳固性，加工方便，用材等影响因素，在已知桌高和桌面直径的情况下，建立数学模型，确定最优设计加工方案。

（3）根据任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近所期望的形状。

创意平板折叠桌问题的模型设计与优化
一、摘要
本文在充分考虑实际设计需求的基础上，讨论了某公司生产的创意平板折叠桌的动态变化过程和一定条件下最优加工参数的设计问题。

通过建立空间直角坐标系进行几何分析，构造非线性规划模型，并利用Matlab和Lingo软件编程求解，得出各种条件下的设计参数结果。

在问题一中，本文从桌子的稳固性出发，从物理学的角度，根据受力分析，寻找稳固性条件下的约束条件，构建非线性规划模型，并利用Lingo求得单侧20根桌腿情况下的开槽长度、桌腿边缘线等参数，在此基础上描述了折叠桌折叠运动的动态过程。

由于问题一采用了构建非线性规划的方法，因此在求解第二题的过程中，本文依然通过寻找约束条件和修改目标函数来优化模型，根据给出的桌面直径和桌子的高度，可以用Matlab 求出各个需求的加工参数，所以此模型能够很好地满足设计者及生产者的需求。

根据题目中给定的桌面高度70cm和桌面直径80cm的条件，用Matlab编程求解得出从外侧第2根木条到第10根槽长分别为11.86 cm，18.94 cm，24.54 cm，28.98 cm，32.42 cm，34.93 cm，36.58 cm，37.40cm。

针对问题三，根据客户要求的折叠桌高度，桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，结合实际情况，发现现实生活中主要的桌面形状是分偶数边正多边形和椭圆形两种情况考虑，通过几何图形分析，分别建立非线性规划模型，根据题意寻找约束条件，优化模型，用Matlab 编程求解。

关键词：非线性规划几何分析受力分析空间直角坐标系
1。

B 题 创意平板折叠桌摘 要本文针对折叠桌的特点，将其抽象成简单的数学模型，按题目中的要求，应用立体几何图形和运筹学的方法建立数学模型并求解.对问题一，依据题目中的数据应用Ｍatlab 和Soli ｄW ｏrks 软件，对折叠桌的运动过程进行动态模拟和分析,然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型,应用几何图解法和向量法，对折叠桌的桌腿长和桌腿木条开槽的长度进行求解得到开槽长度为：对问题二，折叠桌放置在地面，不考虑木条的形变时，只有四个边缘桌腿受力,钢筋对各个桌腿的力为零.假设折叠桌与木地面有一定的摩擦力，对桌腿进行受力分析,桌腿只在两个端点处受力,是二力杆，根据木头间的摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向的最大角度21.8。

给折叠桌一个稳定安全因数 1.2s n =，便可得到折叠桌的安全角度=18.44α.根据α大小，桌面高度和圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。

加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到优化目标为加工的木条槽长最短,当桌高7０ ｃm,桌面直径80 cm 时，解得木板长a =16７.４16ｃm 钢筋距边缘桌腿末端的距离为()11=31.1322aL x -+cm 针对问题三，我们在问题一的基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线的形状，大小出发,给出软件设计的模型。

在该模型设计的基础上，我们根据自己设定的参数，相应地应用Sol ｉdWorks 设计新型的平板折叠桌,其中有菱形桌面和椭圆型桌面,见图6~图１２。

关键字:立体几何图形 动态模拟 自锁 Sol ｉdW ｏrks一、问题的重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1－2所示）。

桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上,并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度(见图3)。

桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。

折叠问题总结归纳折叠，是指将一个或多个平面物体按照一定方式叠放在一起，以便节省空间或方便携带。

随着人们生活需求的不断变化，折叠问题逐渐成为一个被广泛关注和研究的领域。

本文将对折叠问题的相关知识和研究进行总结归纳。

一、折叠的历史和应用领域1.1 折叠的历史演进人类折叠物体的历史可以追溯到古代，在不同文明和世纪，人们就已经开始探索并应用折叠的方法。

例如，中国的古代折扇、日本的和纸叠鹤等都是典型的折叠应用。

1.2 折叠在工程设计中的应用在工程设计领域，折叠也被广泛运用。

例如，可折叠桥梁能够在需要时展开，为交通提供便利；可折叠的太阳能板能够根据太阳光的方向进行调整以提高能量转换效率等。

1.3 折叠在日常生活中的应用此外，折叠也广泛应用于日常生活中。

折叠家具、折叠自行车、折叠伞等成为了现代生活的一部分，为人们提供了便捷和节省空间的选择。

二、折叠问题的数学模型2.1 折叠问题的基本元素在研究折叠问题时，我们需要了解折叠物体的基本元素。

折叠问题的基本元素包括：折叠点、折叠线、折叠角度等。

这些元素之间的相互配合关系决定了折叠的方式和效果。

2.2 折叠问题的数学模型为了更好地描述和解决折叠问题，学者们提出了一些数学模型。

其中一种常见的模型是基于几何学的折叠模型，通过数学符号和公式来描述折叠物体的形状和叠放方式。

三、折叠问题的解决方法3.1 折叠问题的经典解法折叠问题的解决方法可以分为经典解法和基于计算机的解法。

经典解法主要依赖于几何学和数学推理，通过列方程、推导等方法得到折叠物体的最优解。

3.2 基于计算机的折叠优化基于计算机的折叠优化方法可以通过数值计算和模拟来获得最佳的折叠效果。

这一方法能够极大地提高折叠问题的解决效率和可行性。

四、折叠问题的挑战和发展前景4.1 折叠问题的困难之处尽管折叠问题在许多领域都得到了广泛应用，但仍然存在一些困难和挑战。

例如，折叠物体的复杂性导致问题的求解难度加大，折叠后的物体稳定性问题也需要考虑。

65511 数学论文构建创意平板折叠桌的数学模型一、模型假设折叠后的桌面为理想圆，光滑平整，且桌面上的木条间无间隙钢筋与开槽内壁之间无摩擦将木条抽象为线段，不计木条的厚度二、符号说明序号符号符号意义1r桌面半径2h桌子高度3N桌腿的根数4b每根木条的宽度5p铺平时木条的铰链到x轴的距离6q桌子长度的一半7α第一根木条与桌面间的夹角8y（r）第一根木条的铰链之间的距离的一半9y（t）不忽略y（r）时木条的铰链对应的纵坐标10legL（t）桌腿长度三、模型的建立与求解3.1几何分析模型考虑桌面折叠后最边缘的木条长度，建立空间直角坐标系，取每根木条的中心线作为取值点，y轴的取值范围为[-r+d/2，r-d/2]，取值间隔为d，桌面圆的参数方程为：y（t）=tx（t）=r2-t2腿长度为：legL（t）=q-x（t）图1XOZ平面图如图所示，B点为钢筋轴在XOZ平面投影的位置，A点为t0=-r+d/2时所对应的x轴函数值，即此时有：x（t0）=r2-（-r+d/2）2。

在ΔABD中，BD=ABsinα，即可得钢筋轴竖坐标z1（t）=-gsinα同理，由AD=ABcosα，得钢筋轴横坐标x1（t）=x（t0）+gcosα在ΔCBD中，tanβt=BDCD，故βt=arctan-z1（t）x1（t）-x（t）在ΔCEQ中，EQ=CEcosβt，QE=CEsinβt故桌脚边缘线的横坐标为x2（t）=x（t）+legL（t）cosβt桌脚边缘线的竖坐标为z2（t）=-legL（t）sinβt使用MATLABR2012b绘制折叠桌在折叠过程中的动态变化示意图，如下：图2折叠桌在折叠过程中的动态示意图3.2参数方程的建立3.2.1木条铰链参数方程设计的木条宽度不一样，那么折叠桌的桌腿数目也会随之改变。

将桌面近似为一个半径为r的圆。

那么将每根木条铰链处对应横坐标视为一个关于参数t的渐变连续的函数。

设N为桌腿的根数，b为每根木条的宽度，则有关系式：N=rb即，b=rN由勾股定理知，铰链的纵坐标满足关系式y（t）2+（i-1Nr）2=r2由此化简可得出铰链的参数方程为x（t）=ty（t）=r2-[（i-1）b]23.2.2桌角边缘线参数方程的建立上述几何模型中求的桌角边缘线参数方程，忽略了将平板折叠后，最长木条铰链间的距离。

创意平板折叠桌的数学原理及其应用
折叠式平板桌的结构兼具灵活性与稳定性，不仅可以被用来做各类家具，也因
其数学原理而被越来越多的应用到互联网领域。

折叠式平板桌采用了一种特殊的双角–塞范节结构，它是建立在平衡轴理论和
稳定性分析的基础上的。

事实上，这种结构能够将桌子的大小不断调整，并保持稳定张力，实现折叠桌可以折叠时结构稳定，折叠桌放开时结构也达到稳定要求。

具体来看，这种结构利用滑轨的空间来实现桌面的折叠和伸展，以及支点的可活动性，在支点之间产生张力，使得同一个点的压力不变，这样就可以保证折叠桌的稳定性。

以折叠式平板桌的数学理论为基础，传统折叠桌的技术在互联网领域正在增长。

尤其是在多媒体、联网特效和智能感应等新技术的推动下，可以实现各种智能家居元素，如智能收纳、多功能折叠、快速组装等，为应用者提供更为便捷的体验。

此外，折叠桌的数学原理还可以应用到机器人技术中，如机器人手臂的规划路径；机器人造型识别；自动收纳；可调节机器人和机器人组物，以及机器人协同操作。

因此，折叠式平板桌有着广泛的应用前景。

总体而言，折叠式平板桌的数学原理不仅具有可灵活调整和节省空间的特点，
而且在互联网领域，这种数学原理在智能家居和机器人技术领域有着重要的应用，今后它将持续在各个领域发挥作用，开辟新的应用空间。

B 题 创意平板折叠桌摘 要本文针对折叠桌的特点，将其抽象成简单的数学模型，按题目中的要求，应用立体几何图形和运筹学的方法建立数学模型并求解。

对问题一，依据题目中的数据应用Matlab 和SolidWorks 软件，对折叠桌的运动过程进行动态模拟和分析，然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型，应用几何图解法和向量法，对折叠桌的桌腿长和桌腿木条开槽的长度进行求解得到开槽长度为：对问题二，折叠桌放置在地面，不考虑木条的形变时，只有四个边缘桌腿受力，钢筋对各个桌腿的力为零。

假设折叠桌与木地面有一定的摩擦力，对桌腿进行受力分析，桌腿只在两个端点处受力，是二力杆，根据木头间的摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向的最大角度21.8。

给折叠桌一个稳定安全因数 1.2s n =，便可得到折叠桌的安全角度=18.44α。

根据α大小，桌面高度和圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。

加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到优化目标为加工的木条槽长最短，当桌高70 cm ，桌面直径80 cm 时，解得木板长a =167.416cm 钢筋距边缘桌腿末端的距离为()11=31.1322aL x -+cm 针对问题三，我们在问题一的基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线的形状，大小出发，给出软件设计的模型。

在该模型设计的基础上，我们根据自己设定的参数，相应地应用SolidWorks 设计新型的平板折叠桌，其中有菱形桌面和椭圆型桌面，见图6～图12。

关键字：立体几何图形 动态模拟 自锁 SolidWorks一、问题的重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。

桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。

桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。

创意平板折叠桌的数学模型摘要本文主要研究的是创意平板折叠桌的设计加工问题，对设计加工参数进行分析和优化并为公司开发设计折叠桌软件提供数学模型，为解决这些问题建立不同的数学模型并用MATLAB 进行模型求解。

针对问题一，本文建立了模型Ⅰ——动态变化及数学描述模型。

利用解析几何求出每根桌腿由平铺状态到完全展开过程中转过的角度来描述折叠桌动态变化过程，并在此基础上用MATLAB 解出设计加工参数:桌腿木条开槽长度i K ，三维空间桌脚边缘线。

针对问题二，本文建立模型Ⅱ——设计加工参数模型。

采用多目标决策分析方法使产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度K 和长方形平板面积S 必须达到最小，对于任意给定的高度H 和圆形桌面直径R 确定：①决策变量：1a （桌面最外侧木条的半长），1 （最外侧桌腿的竖直偏角），p （最外侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值） ②目标函数 :K (开槽总长度)，S 长方形木板面积用MATLAB 求解出多组方案并确定目标函数最小的最优方案，列出设计加工参数。

针对问题三，本文建立了模型Ⅲ——软件设计模型。

根据客户设定的高度、桌面边缘线形状大小为客户提供三种桌面形状：①圆形桌面，②圆弧和矩形组合桌面，③“8”字形桌面。

对于圆形桌面可参照模型Ⅱ；对于组合桌面，可在模型Ⅱ的基础上通过增大最外侧桌面木条的长度1a 来实现；对于“8”字形桌面则可将两个组合桌面的直线边进行对接，所以模型三的建立和求解便可在模型Ⅱ的基础上改动来实现。

关键词：解析几何 MATLAB 多目标决策分析 EXLINK1.问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。

桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。

桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。

创意平板桌摘要本题目中提供了若干折叠桌的图片，需要利用数学软件进行创意设计。

对本文中的三个问题，利用MATLAB软件(由美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分，详细介绍请见附录1)，对图片进行灰度分析，转化为数据分析，并通过对matlab编程，在matlab中选出最优解，最后利用3dmax绘图，实现平板桌的设计。

本文根据题目所给知识，利用运筹学基础理论、相关的数学建模知识以及相应的计算机软件，解决了如下问题：问题1：由对每根木条长度的精确计算，建立折叠桌的动态模型，并计算出桌腿木条开槽的长度和桌脚边缘线等折叠桌的设计参数。

针对图中创意折叠桌：利用MATLAB对图片进行处理，转变为具体的空间直角坐标系，其中蓝色代表木条，棕色代表桌面，红色代表桌角边缘线（详细介绍请见附录2），空间直角坐标系中由最后数字的确立，即为视频中最后一张图片的演示结果。

利用勾股定理法，使用CAD语言程序统计出剩下第一张图片和最后一张图片的所有木条个数，使其折叠桌的设计原理更加鲜明。

建立由MATLAB进行编辑的的数学模型，木条分别为L1，L2，……，L20，再重复利用上述算法，找出折叠桌的各项参数。

问题2：先对桌子进行与问题1相同的参数计算。

但由于要在70 cm，桌面直径80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。

在计算的时候应考虑更多的稳固性、加工方面、用材的信息。

这里除了计算参数外，另外引用折叠结构设计基本几何参数这个概念进行再次验证，以减小误差。

最后再对得到的桌子参数进行人工验证(人工干预)，最大程度减小误差。

问题3：在问题二的理论分析验证的基础上，已经建立起最优化的数学模型，为了满足客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，应用MATLAB进行不断更新换算程序，得出八个时刻八张动态折叠桌折叠过程，（详细介绍请见附录3），使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究随着的和进步，能够有效节省空间的创意平板折叠桌应运而生，它不仅可以满足人们对空间的需求,而且能够有效节省空间.那么,如何进行创意平板折叠桌数学模型的优化设计呢？XX数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究篇一：XXXX本文针对创意平板折叠桌的设计问题，应用几何思想,通过建立桌面半径和长度、钢筋位置相应的数学模型，描述了折叠桌的动态变化过程。

同时，对折叠桌的设计加工参数等进行了数学描述。

最后通过Lingo和Maｔlab软件编程给出了最优加工参数。

折叠桌；非线性规划模型;几何思想；Lingo和Matlaｂ软件XX随着的不断进步,城市化进程的,高楼大厦密集,城市道路八达，但是与此同时，用地紧张、生存空间拥挤等问题也接踵而来,**行**业都开始广泛关注空间的有效利用,尽可能地节省空间。

空间对于人们的生活环境在功能性和实用性上有着举足轻重的作用,它是蕴含丰富、用之不竭的宝贵**。

当然，一块木板变成一张桌子,通过对折叠桌的动态变化过程的分析与研究（如图１所示），我们需要解决以下三个问题:问题1:建立模型描述此折叠桌的动态变化过程,在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述.问题2:对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数:平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。

问题3：根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。

XX1模型准备XX1．1问题分析通过观察折叠桌的动态变化过程，我们发现折叠桌的变化是一个复杂的过程,由平板到立体折叠桌的过程中主要与折叠桌的条数、木条的长度、桌面距离地面的高度、**木条折叠的角度、开槽长度、**木条折叠角度变化的范围、钢筋位置等有关。

同时,又要考虑到加工过程所造成的误差，模型建立过程理想化部分对折叠过程中的影响,以及折叠桌轻巧方便、美观**、加工方便、用材最少、稳固性好、功能性强的特点.分析折叠桌结构可以发现:在折叠桌打开的过程中，随着最外侧的桌腿与地面夹角的不断变化,每根桌腿与地面之间的角度也都发生了改变，通过它们之间的变化关系,可以写出相关方程式并建立非线性规划数学模型对折叠桌的动态变化过程加以描述。

第37卷第4期2011年8月东华大学学报(自然科学版)JOU RN AL O F DO NG H U A U NIV ERSIT Y (NA T U RA L SCIEN CE)Vol.37,No.4Aug.2011收稿日期:2011-04-08作者简介:林佳欣(1986)),男,山东文登人,硕士,研究方向为设计艺术学.E -mail:linjiaxin6868@聂桂平(联系人),女,教授,E -mail:nieg ping@文章编号:1671-0444(2011)04-0518-04基于T RIZ 理论的折叠家具设计研究林佳欣,聂桂平(华东理工大学艺术设计与传媒学院,上海200237)摘要:在折叠家具的设计研究中,以发明问题解决理论(T heory of the Solution of Inv entive Problems,TRIZ)为指导,发现折叠家具设计中的冲突,利用分离原理与发明原理,找到设计过程中解决冲突的办法.并在此基础上,进行了个人设计实践与探索,寻求更合理的折叠家具设计手段.关键词:折叠家具;发明问题解决理论(T RIZ);冲突中图分类号:TH 47 文献标志码:AFolding Furniture Design Research Based on the Theory of TRIZLI N J ia -x in,NI E Gui -p ing(School of A r t Design and M edia,East China U niver sity o f Science and T echno lo gy ,Shang hai 200237,China)Abstract:W ith the theo retical guidance o f Theo ry o f the So lutio n of Inventiv e Pro blems(TRIZ ),co nflict is fo und in the study o f fo lding furniture desig n.And metho d is also found to resolv e the co nflict in the design process thro ugh separatio n and inv entio n principle.On this basis,there w ill be m or e reaso nable folding fur niture design m etho ds by co nstantly per sonal pr actice a nd e xplor atio n.Key words:fo lding furniture;Theor y o f the So lution of Inventive Problem s(TRIZ);co nflict折叠家具的研究目的之一在于有效地利用或节省环境空间,并且在有限空间中追求宜人效果;其研究目的之二在于借助先进的技术手段发现新的家具折叠方式,既可丰富家具品种,又可愉悦用户生活;其研究目的之三在于寻求折叠式产品设计的新概念,为设计师提供展示才华和实现遐想的平台.其最终目的是为产品设计的整体水平的提高增加素材.但是处在信息社会中的折叠家具设计,与其他产品设计一样,面临着激烈的市场竞争与挑战.折叠家具的设计需要考虑的因素比以往更为复杂.运用发明问题解决理论(T heor y of the Solution of Inventive Problem s,T RIZ)指导折叠家具的设计,有助于设计出符合消费者需求并且具有市场竞争力的产品.1 TRIZ 理论T RIZ 理论最先是由俄国学者G.S.A ltshuller 及其同事于1946年提出的,并不断完善至今.TRIZ 理论认为,发明问题的核心是解决冲突,未克服冲突的设计不是创新设计.产品进化的过程是不断解决产品所存在冲突的过程.一个问题解决的困难程度取决于对该问题的描述或程式化方法,描述得越清楚,问题的解就越容易找到.也就是说,发现问题求解的过程是对问题的不断描述、不断程式化的过程[1].2 折叠家具设计中的冲突当今时代,科技的高度发展使折叠家具的功能越来越复杂,而普通消费市场要求家具的使用更方便和操作更简单,折叠家具的设计面临着越来越多第4期林佳欣,等:基于TRIZ理论的折叠家具设计研究的冲突.通过TRIZ理论可以有效发现并解决这些冲突,使折叠家具的设计向理想化的方向进化.2.1物理冲突物理冲突是TRIZ理论研究范围的主要冲突之一.物理冲突是指为了实现某种功能,一个子系统或元件具有某种特性,但与此同时该子系统或元件也会呈现出与此特性相悖的特性[2].T RIZ理论中的分离原理可以有效解决物理冲突,其方法分别为空间分离、时间分离、基于条件的分离和整体与部分的分离.折叠家具设计中的最基本的物理冲突是/张0与/驰0./张0象征着家具的合拢,一般以储存和整合为目的;/驰0象征着家具的开启,一般以扩大领域为目的.家具为了实现折叠的功能,同时呈现了两种相悖的特性,即对空间利用的逆向追求.以折叠椅为例,使用时需展平椅面,此时椅子体积呈最大化;储藏时需将椅面与椅背合拢,此时椅子体积呈最小化.使用和储存发生在不同的时间段,因此可采用时间分离法解决该矛盾.用抽象语言可以得到时间分离方法适用的条件,即在指定时间段中冲突的一方如果可以不按一个方向发展,则时间分离法可行.2.2技术冲突技术冲突是指一个作用同时导致有用及有害两种结果,也可指有用作用的介入或有害效应的消除导致一个或几个子系统或系统变坏.常表现为一个系统中两个子系统之间的冲突[3].折叠家具设计中不可避免技术冲突.例如,传统的折叠桌大多进行一次折叠完成简单的收纳,而当代很多折叠桌采用插接式折叠结构进行了可载物面积的变化尝试.插接折叠结构较传统的折叠结构要复杂许多,传统折叠家具的结构通常都是依靠一种折叠形式来实现/折0与/叠0的变换,而插接折叠结构往往需要多种折叠方式的协同运动来实现,这意味着用户的操作方式将比以往更加复杂.TRIZ理论认为可以依靠齿轮、螺纹或液压等方式来代替人力直接操作.图1是一款利用活动榫式结构(插接式折叠结构的一种)而设计的折叠桌的结构示意图.整个桌面有3层,可呈现2种直径尺寸,当折叠桌处于收拢状态时,实际上是张小直径的圆桌,此时的桌面由6块同等大小的平面放射状拼接而成.当旋开桌面下方的锁扣,利用螺纹工作原理和齿轮齿条机构,实现6块平面沿固定导轨径向外移,第2层桌面(共6块)与其联动,当到达极限位置时,第1层桌面下降30mm与第2层桌面共面,同时第3层桌面(呈12角形)上升30m m,实现3层桌面合成为一张大直径的圆桌面,此时折叠桌处于最大极限状态.该项设计的意义在于家具的尺寸可以因地制宜或因需要而异.图1活动榫式折叠示意图Fig.1Activities tenon type f olding schemes3基于TRIZ理论的设计实践3.1折叠家具的需求分析在实际的折叠家具设计调研过程中,用户经常会提出这样的要求,即要求折叠家具可以实现多种功能,如要求一件折叠家具同时实现坐、收纳、临时搁物等多重功能,多向折叠或翻转导致家具零配件较多,板面间的结构也相对会复杂得多.但为了实现家具的稳定性、减少重量、便于安装或拆卸以及减少连接部位松脱的几率等,零件数应该越少越好.3.2构建质量屋质量功能展开(Quality Function Deploy ment, QFD)是一种用户驱动的产品设计方法,而其中的核心元件是质量屋(H OQ).笔者构建了如图2所示的质量屋结构,主要目的是确定在折叠家具设计过程中,各质量要素对于用户需求满足的重要程度.图2质量屋:质量要素与用户要求Fig.2HOQ:Quality elements and user requirements3.3发现和描述冲突折叠家具是折叠功能的直接体现者.任何一件折叠家具都包含一个或多个功能,为了实现这些功能,折叠家具要由具有相互关系的多个零部件组成.519东华大学学报(自然科学版)第37卷当改变某个零件、部件的设计,即提高折叠家具某些方面的性能时,可能会影响到与这些被改进设计零部件相关联的零部件,结果可能使其或系统另一些方面的性能受到影响.如果这些影响是负面的,则设计出现了冲突.由图2不难发现,在期望的折叠设计中存在着一对明显的技术冲突,对此可描述为:折叠家具的装置复杂化的设计,会同时导致有用及有害两种结果.有用的结果是装置的复杂化有利于折叠家具更好地实现多种功能;有害的结果是装置复杂化的同时,导致这个折叠系统出现连接构件脱落的几率增大,即变相地降低了整个折叠系统的稳定性.所以,在概念设计中要求达到这样的预期:既使折叠家具的功能多样化、重量轻,又要使该折叠家具具备较好的稳定性.按照T RIZ 理论的/物质-场0分析方法,笔者建立的冲突模型和理想模型分别如图3和4所示.参照39个工程参数[4]的标准描述,笔者将折叠家具的需求进行分析,描述为希望改进的通用工程参数是装置的复杂性(No.36),但因此而带来的冲突,恶化了其他的某些通用工程参数,即结构的稳定性(No.13).根据上面的冲突描述,以功能性优化为前提,通过冲突解决矩阵(如表1所示)的行与列的交叉处找到了推荐的发明原理序号.其中,矩阵中行表示改进的通用工程参数,列表示恶化的通用工程参数.由表1可知,2,22,17,19都是发明原理中推荐的解决方法,其中最优化的发明原理17描述为如下的维数变化:(1)将一维空间中运动或静止的物体变成二维空间中运动或静止的物体,在二维空间中的物体变成三维空间中的物体;(2)将物体用多层排列代替单层排列;(3)使物体倾斜或改变其方向.笔者根据实际情况,选取了维数变化中的第一种方法,进行整体形态构思,然后/从创造一种更合理的空间利用方式0的角度出发,调研了不同人对室内空间的需求和同一个人在不同环境、场合、条件、时间对空间的需求,细化了新产品方案的设计过程.这款折叠家具的几种呈现形式如图5所示.图5 新产品折叠过程示意图Fig.5 New product f olding process schematic drawing520第4期林佳欣,等:基于TRIZ 理论的折叠家具设计研究将图4中的新产品与已有的折叠家具的设计思路进行对比,笔者发现以往普遍的折叠结构通常停留在对二维空间的把握上,包括常见的单轴心双折动轴式结构、单轴心多折动轴式结构以及多轴心多折动轴式结构.基于TRIZ 理论的启发,在这个新产品设计中,折叠家具已顺利地从二维空间过渡到三维空间,较为准确地贯彻了一物多用的设计理念,既保证了产品功能的多样化,又简化了折叠连接机构,增强了系统的稳定性.并且由于新折叠产品在变换成某种过渡状态时,会运用到三维结构支撑的原理,无意中也增加了该产品的可靠性.4 结 语本文以发现折叠家具的设计过程中物理及技术冲突为主线,以T RIZ 理论为核心,利用分离与发明原理,提出了冲突的解决办法.然后将折叠家具陌生化,回到设计原点,这样的思考过程造就了更为合理的设计.参 考 文 献[1]檀润华.发明问题解决理论[M ].北京:科学出版社,2004[2]檀润华.产品设计中的冲突及解决原理[J ].河北工业大学学报,2001,30(3):1-6.[3]杨晓丹,杨明朗,卢晓琴.基于T RIZ 理论的国产手机的创新设计[J].包装工程,2005,26(2):140-141.[4]熊兴福.TRIZ 理论在超市环保购物袋设计中的应用[J].包装工程,2008,29(10):185-187.(上接第489页)(c)P 2的局部放大图图11 修正后模型计算结果与标准图形的对比Fig.11 Comparison of correction model resultwith standard drawing评价模型的优劣,不仅要看其算法的有效性,还要关注其计算效率.计算过程中每个步骤的用时统计如表3所示.由表3可以看出,模型的处理速度较快,即对于一般的二维图纸照片,该模型的计算效率较高.表3 每个步骤计算时间统计Table 3 Statistical of computation time of each step 计算步骤计算点数/个所用时间/s (1)00(2)3823 1.984000(3)7646 6.437980(4)3823120.141000(5)4 结 语本文给出了基于双线性方程的双线性模型,将拍照后得到的照片数据还原成拍照前的原始数据.该方法不需要获取相机的内、外部参数,也不需要严格的先验条件,且模型的计算相对简单.另外,本文根据试验结果对模型进行了有效的修正,从而保证矫正后的数据与原始标准图像数据间的误差在1m m 以内.这种矫正方法对同一拍照条件下二维图纸有较好的矫正效果.算法为后续的矢量化处理提供参考.参 考 文 献[1]何绪堂,张宏,刘培玉.用于交通事故处理的图像测距研究与实现[J].现代电子技术,2007,30(24):1-4.[2]张勇,金学波.基于先验信息和射影几何变换的车牌图像矫正[J].计算机应用研究,2008,25(7):2210-2212.[3]罗晓晖,杜召彬.基于双灭点的图像透视变换方法[J ].计算机工程,2009,35(15):212-214.[4]谢志鹏,陈锻生.基于Gauss 消元法的车牌图像变形矫正[J].计算机技术与发展,2006,16(1):99-101.[5]田学东,马兴杰,韩磊,等.视觉文档图像的几何校正[J].计算机应用,2007,27(12):3045-3047.521。

创意平板折叠桌动态变化过程的数学模型随着住宅空间的变小，越来越多折叠家具出现，因此许多设计公司制造出了各式各样的折叠家具以满足市场需求，折叠桌作为一种低碳、环保、节能、健康的使用家具，在不少家庭迅中速推广与普及。

本文用数学模型模拟出折叠桌的动态变化过程，对折叠桌的设计加工给出了具体的数学描述。

标签：平板折叠桌；开槽长度；直纹曲面；旋转运动一、模型分析本模型以某公司设计的圆形折叠桌为例进行讨论。

以桌子的中心为原点，设平板过中心的宽为x轴，长为y轴，建立三维坐标系。

在此坐标系之下，设桌子边界线上点为（x0，y0，z0），h为桌子的高度，k为桌子的最外侧桌腿的长度。

将长方形平板变形为立体桌子的动态过程中，过桌面边界线上每点M0（x0，y0，0）的直线上的点m（x0，y0，0），会以M0为圆心，y-y0为半径做圆周运动。

当桌腿随着铰链活动时，桌子的高度h处于动态变化中，桌脚边缘线也随着h的变化而成为空间动态曲线。

记桌脚边缘线方程为g（X，Y，Z）h= 0，（X，Y，Z）为此时桌脚边缘线上的点的坐标。

由长方形平板变形为立体桌子的过程可知，桌子外形由直纹曲面构成，而直纹曲面可由无穷多数量的线段连接直纹曲面相对侧边线和g（X，Y，Z）h=0的相应点所组成。

二、模型假设与符号说明1.模型的假设①假设两根木条之间缝隙可忽略；②不考虑材质，将桌面和平板抽象成理想的数学模型，只考虑与本问题相关的长度、高度以及厚度等数字特征。

2.符号说明三、模型的建立及求解1.模型的建立2.问题的求解（1）计算木条开槽的长度。

AB以A为圆心，半径AB长60cm垂直向上画弧至桌子所需的高度时，B点运动所至的位置记为B’，中点E运动所至的位置记为E’。

同理，CD以C为圆心，半径CD长60cm垂直向上画弧至桌子所需的高度时，D点运动所至的位置记为D’，中点F运动所至的位置记为F’。

此时，钢筋EF运动所至的位置为E’F’（参见图2）。

四、模型的优缺点及改进方向（1）在此模型中连续函数在离散化问题中不够精确。

科技创业刊P IO N E E R IN G W IT H SC IE N C E & T E C H N O LO G Y M O N T H LY设计折叠桌动态模型陈惠红刘世明渊广州番禺职业技术学院广东广州511483)摘要：折叠桌的个性化特点、空间利用率高和运行方便等特点越来越成为网络销售的热 点，通过建立数学模型，分析其折叠过程中的动态变化过程，从设计加工参数着手，旨在设计出 符合客户需求，产品稳定性好，加工方便，用材最少的平板折叠桌。

关键词：折叠桌；受力分析;MATLAB中图分类号院0224文献标识码:Adoi ：10.3969/j .issn .1665-2272.2017.13.0411模型构建初始状态时，折叠桌处于平放位置，在上面建立坐 标系，并表达出各个参量的位置如图1所示，其中扎轴 垂直于xoy 平面向内：图1折叠桌示意图根据示意图，可以表示出木条i 的长度为:li =+L -y R 2-(R -(i -i ^)xW )2 (i =1，2,…，BarNumber )。

其中当木条运动到末态位置，滑槽与钢筋卡紧时，桌腿与桌面的夹角为，如图圆所示:兹藻灶凿越葬则糟泽蚤灶渊^^)遥丄1图2末态位置桌腿位置示意图运动过程中，桌面圆内与木条i 连接部位到yoz 平面的长度不变，根据假设桌面圆相交于桌腿的中心位置为，可以确定木条i连接部位到yoz 平面的长度:k =+ L -li =姨R 2-(R -(i -+)xW )2 (i = 1，2，…，BarNum -ber )，在图示〇¥坐标系内，桌面圆内与木条i 连接部分 y 坐标可以用下式表示：遭赠越（BarNumber -i+^)Wi (i = 1，2, ...，BarNum -ber )。

桌腿运动过程中，设钢筋位置固接在桌腿的位置到桌边的长度与桌腿总长的比值为琢(^<琢<1)，之所L以|<琢<1，是因为桌面处于平放位置时，钢筋位置不L能穿过桌面，而桌面立置时，钢筋不能穿过桌面边缘，由此钢筋所在位置可以表示为:凿曾=遭1曾+琢造1糟〇泽兹1(0臆兹1臆ee n (1)，dz =ai 1sine 1(o 臆兹1臆e m (1)。

B题创意平板折叠桌摘要本文针对折叠桌得特点，将其抽象成简单得数学模型，按题目中得要求，应用立体几何图形与运筹学得方法建立数学模型并求解。

对问题一,依据题目中得数据应用Mａtlaｂ与SolidＷorkｓ软件，对折叠桌得运动过程进行动态模拟与分析,然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型,应用几何图解法与向量法，对折叠桌得桌腿长与桌腿木条开槽得长度进行求解得到开槽长度为:对问题二,折叠桌放置在地面，不考虑木条得形变时，只有四个边缘桌腿受力，钢筋对各个桌腿得力为零.假设折叠桌与木地面有一定得摩擦力，对桌腿进行受力分析,桌腿只在两个端点处受力，就是二力杆,根据木头间得摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向得最大角度。

给折叠桌一个稳定安全因数，便可得到折叠桌得安全角度.根据大小，桌面高度与圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。

加工程度考虑木条槽长得总长，因此得到优化目标为加工得木条槽长最短，当桌高７0 cm，桌面直径8０ cm 时，解得木板长ａ=167、41６cm钢筋距边缘桌腿末端得距离为cm针对问题三,我们在问题一得基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线得形状，大小出发，给出软件设计得模型。

在该模型设计得基础上,我们根据自己设定得参数,相应地应用SｏlｉdＷｏｒｋs设计新型得平板折叠桌，其中有菱形桌面与椭圆型桌面，见图6～图1２。

关键字：立体几何图形动态模拟自锁 SolｉｄWorks一、问题得重述某公司生产一种可折叠得桌子，桌面呈圆形,桌腿随着铰链得活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示)。

桌腿由若干根木条组成，分成两组,每组各用一根钢筋将木条连接,钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧得两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动得自由度（见图3）。

桌子外形由直纹曲面构成,造型美观。

附件视频展示了折叠桌得动态变化过程.试建立数学模型讨论下列问题：1、给定长方形平板尺寸为1２0 cm ×5０ cm × 3 cm,每根木条宽2、5 cm，连接桌腿木条得钢筋固定在桌腿最外侧木条得中心位置，折叠后桌子得高度为53 cm。