不等关系与不等式的性质及一元二次不等式

初中数学不等式知识点初中数学中，不等式是一个重要的知识点。

学好不等式的知识，对于理解和解决数学问题是非常有帮助的。

下面是关于不等式的一些重要知识点。

一、不等式的定义：不等式是指将未知数与实数用不等号进行比较的数学式子。

不等式中的不等号可以是“小于”(<)、”小于等于“(≤)、”大于“(>)、”大于等于“(≥)。

例如：x+3<7，2x≥10等都是不等式。

二、不等式的性质：1.两边加(减)一个相同的正数或负数，不等号不变，不等式仍然成立。

2.两边乘(除)一个相同的正数，不等号不变，不等式仍然成立；两边乘(除)一个相同的负数，不等号反向，不等式仍然成立。

3.如果两个不等量互为相反数，则它们的大小关系恰好相反。

4.如果不等式的两边同时加(或减)一个相同的数，不等号方向不变。

5.交换不等式的两边，不等号方向改变。

三、一元一次不等式：一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式。

例如：2x+3<7，5x-4≥8等。

解一元一次不等式的步骤：1.把含有未知数的项移到不等式的一边，把常数移到不等式的另一边。

2.对于不等式前面的系数，如果是正数，则保持不变；如果是负数，则改变不等号方向。

3.化简不等式，得到一个最简的解。

4.将解集用符号表示。

四、绝对值不等式：绝对值不等式是指一个未知数的绝对值与实数之间的不等关系。

例如：，x+2，<5，3x-4，≥2等。

解绝对值不等式的方法：1.若，x，<a，则-x<a<x。

2.若，x，>a，则x<-a或x>a。

3. 若，ax+b，<c，其中a>0且c>0，则是不等式等价于 -c < ax+b< c。

五、一元二次不等式：一元二次不等式是指一个未知数的二次多项式与实数之间的不等关系。

例如：x^2-4x<3，x^2+5x+6>0等。

解一元二次不等式的步骤：1.将二次项移项，化为一元二次不等式。

第3节 不等式的性质、一元二次不等式1.梳理不等式的性质,理解不等式的性质,掌握不等式的性质.2.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.3.经历从实际背景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义,能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式相应的函数、方程的联系.1.两个实数大小比较的基本事实{a -b >0⇔a b (a ,b ∈R ),a -b =0⇔a b (a ,b ∈R ),a -b <0⇔a b (a ,b ∈R ). 2.不等式的基本性质3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表所示1.涉及实数的倒数有关的结论 (1)a>b,ab>0⇒1a <1b .(2)a<0<b ⇒1a <1b.(3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >bd.(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b <1x<1a.2.两个重要不等式(1)若a>b>0,m>0,则ba <b+ma+m.(2)已知a,b均为正数,s,t均为正整数,则a s+t+b s+t≥a s b t+a t b s.1.不等式-x2-5x+6≥0的解集为( )A.{x|-6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤-6}2.下列四个命题中为真命题的是( )A.若a>b,则ac2>bc2B.若a>b,c>d,则a-c>b-dC.若a>|b|,则a2>b2D.若a>b,则1a <1 b3.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1<x<13},则ab的值为( )A.-5B.5C.-6D.64.已知f(x)=x2+4x+1+a,∀x∈R,f(f(x))≥0恒成立,则实数a的取值范围为( )A.[√5-12,+∞} B.[2,+∞) C.[-1,+∞) D.[3,+∞)5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是台.不等式的性质及其应用1.已知a>0>b,则下列不等式一定成立的是( )A.a2>b2B.ab>b2C.ln|ab|>0 D.2a-b>12.已知实数x,y,z满足x2=4x+z-y-4且x+y2+2=0,则下列关系成立的是( )A.y>x≥zB.z≥x>yC.y>z≥xD.z≥y>x3.已知-1<x<4,2<y<3,则x-2y的取值范围是,3x+4y的取值范围是.4.已知-1≤x+y ≤1,1≤x-y ≤3,则3x-2y 的取值范围是 .1.根据不等式的性质判断不等式是否成立的方法主要是利用不等式的性质或特殊值法,而对于待比较的不等式的两端可以化为相同的函数的形式,可以利用构造函数,利用函数的单调性进行判断.2.当两个数(或式子)正负未知且为多项式时,用作差法,作差时要注意变形技巧.3.已知x,y 的范围,求由ax,by(ab ≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.4.已知由ax,by(ab ≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围,求解形如cx ±dy(cd ≠0)的范围问题时,要利用待定系数法,将cx ±dy 用已知条件的关系式整体代换.此种类型中不要直接求出x,y 的范围后求cx ±dy 的范围,由于a>b,c>d ⇒a+c>b+d 不是可逆的,因此容易出现错解.一元二次不等式的解法及其应用角度一 不含参数的一元二次不等式不等式-3<4x-4x 2≤0的解集为( ) A.{x|-12<x<32} B.{x|-12<x ≤0或1≤x ≤32}C.{x|1≤x<32} D.{x|-12<x ≤0或1≤x<32}a ≤f(x)≤b 等价于{f (x )≥a ,f (x )≤b .角度二 一元二次不等式与一元二次方程的关系(多选题)已知关于x 的不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-1,3),则下列说法正确的是 A.a>0 B.bx-c>0的解集是{x|x>32}C.cx 2+ax-b>0的解集是{x|x<-23或x>1} D.a+b<c1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x 轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定 系数.角度三 含参数的一元二次不等式解关于x 的不等式:ax 2+(2-4a)x-8>0.1.一般地,在解含参数的一元二次型不等式时,若所给不等式能够直接通过因式分解求出方程的根,则需要从如下两个方面进行考虑: (1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0. (2)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x 1>x 2,x 1=x 2,x 1<x2.2.若含参数的不等式对应的二次方程的判别式含参数,主要对关于不等式对应的方程是否有根进行讨论. [针对训练](1)不等式组{x 2-1<0,x 2-3x ≥0的解集是( )A.{x|-1<x<1}B.{x|1<x ≤3}C.{x|-1<x ≤0}D.{x|x ≥3或x<1} (2)设函数f(x)={x 2-4x +6,x ≥0,x +6,x <0,则不等式f(x)>f(1)的解集是( )A.(-3,1)∪(3,+∞)B.(-3,1)∪(2,+∞)C.(-1,1)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,3) (3)(多选题)对于给定实数a,关于x 的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集可能为 A.R B.(-1,a ) C.(a,-1) D.(-∞,-1)∪(a,+∞)一元二次不等式恒成立问题角度一 一元二次不等式在R 上的恒成立问题若不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( )A.(-3,0)B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0]一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是{a>0,b2-4ac<0.(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是{a<0,b2-4ac<0.角度二一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a为常数),则a的取值范围是( ) A.(-∞,-3] B.(-∞,0] C.[1,+∞) D.(-∞,1]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)最值转化法:若f(x)>0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最小值大于0.(2)分离参数转化为函数的值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a.角度三一元二次不等式的有解问题若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是A.(-∞,-2) B.(-∞,-2] C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)一元二次不等式在给定区间上的有解问题,常用分离参数的方法,通过分离参数后利用:a>f(x)在区间[m,n]上有解,则a>f(x)min,a<f(x)在区间[m,n]上有解,a<f(x)max.(对于a≥f(x),a≤f(x)可类似处理)[针对训练](1)若存在实数x∈[2,4],使x2-2x+5-m<0成立,则m的取值范围为( )A.(13,+∞)B.(5,+∞)C.(4,+∞)D.(-∞,13)(2)若关于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R,则实数a的取值范围是.(3)若对于任意的x∈[0,2],不等式x2-2ax-1≤0恒成立,则实数a的取值范围是.。

不等关系与一元二次不等式一、不等式的定义用不等号()<>≠，，≤，≥，表示不等关系的式子叫做不等式． 二、关于”a b ≤““a b ≥“的含义不等式a b ≤应读作”a 小于或者等于b “，即理解为：a b <或a b =之中有一个正确，则a b ≤正确．如：34<正确，则34≤没有逻辑错误，因为３、４是具体的整值，“34<”比“34≤”更确切． 三、不等式的性质性质1（对称性）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >． 性质2（传递性）如果a b >，且b c >，则a c >． 性质3如果a b >，则a c b c +>+．推论1（移项法则）不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论2如果a b c d >>，，则a c b d +>+． 说明：同向不等式的两边可以分别相加，所得的不等式与原不等式同向． 推广：几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．性质4如果a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <． 实数大小的作商比较法：当0b ≠时，若1a b >，且0b >，则a b >；若1ab>，且0b <，则a b <．推论1如果00a b c d >>>>，，则ac bd >． 推广：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．推论2如果0a b >>，则(1)n n a b n n +>∈>N ，．推论3如果0a b >>1)n n +∈>N ，四、一元二次不等式的定义形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤其中（0a ≠）的不等式叫做一元二次不等式.用文字语言表述为：一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．五、一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系.如下表（以0a >为例）：六、不等式的解法（1）基本的不等式1）一元“一次”不等式（解法：000a axb a b >>⇒=<分情况解之）2）一元“二次”不等式（解法：20ax bx c ++>分000a a a =><情况而解．要注意24b ac ∆=-的三种情况即000∆>∆=∆<，，，最好还要联系二次函数的图象） （2）同解不等式1）()()f x g x >与()()()()f x F x g x F x +>+同解； 2）0()()m f x g x >>与()()mf x mg x >同解； 0()()m f x g x <>与()()mf x mg x <同解.（3）分式不等式1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔⋅> 2）()0()()0()f x f xg x g x ≥⇔⋅≥且()0g x ≠ 3）()()()(00()[()()]0)()()f x f x ag x a a g x f x ag x g x g x ->≠⇔>⇔-= （4）无理不等式12()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ⎧≥⎪⇔≥⎨⎪>⎩或()0()f xg x ≥⎧⎨⎩ 22()0()()0()[()]f xg x g x f x g x ⎧≥⎪⇔≥⎨⎪<⎩（5）绝对值不等式1）绝对值的几何意义：①||x 是指数轴上点x 到原点的距离；②12||x x -是指数轴上12x x ，两点间的距离2）当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<；当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈．3）绝对值不等式的解法①公式法|()|()()()f x g x f x g x >⇔>或()()f x g x <-|()|()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<②平方法 ③分情况讨论法） （6）指数不等式：（a a f x g x ()()>(0a >且1)a ≠ 1）当1a >时，()()f x g x > 2）当01a <<时，()()f x g x <）（7）对数不等式log ()log ()a a f x g x >1）当1a >时，()0()0()()f x g x f x g x >⎧⎪>⎨⎪>⎩2）当01a <<时，()0()0()()f x g x f x g x >⎧⎪>⎨⎪<⎩（8）高次不等式（穿线法：）一般高次不等式()0f x >用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是： 1） 将()f x 最高次项的系数化为正数；2） 将()f x 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；3） 将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）；4） 根据曲线显现出来的()f x 值的符号变化规律，写出不等式的解集题型一、比较大小【例1】 设实数a 、b 满足0a b <<，且1a b +=，则下列四数中最大的是（ ）A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a【例2】 已知102a -<<，试将下列各数按大小顺序排列：21A a =+，21B a =-，11C a =+，11D a=-． 【例3】 设x R ∈,比较11x +与1x -的大小．【例4】 已知324log 0.3log 3.4log 3.61555a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>【例5】 已知A ＝a 5＋b 5，B ＝a 2b 3＋a 3b 2（其中a>0，b>0，a≠b ）则（ ）A ．A ≥B B ．A ≤BC ．A >BD ．A <B【例6】 已知x R ∉，试比较2233x x -+与222x x-+的大小【例7】 若121200a a b b <<<<，，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是（ ）A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．12【例8】 a 、b 、c 、d 均为正实数，且a b >，将b a 、a b 、bc a c ++与ad b d++按从小到大的顺序进行排列．【例9】 已知a 、b 、c 、d 均为实数，且0ab >，c da b-<-，则下列各式恒成立的是（ ）A ．bc ad <B ．bc ad >C ．a bc d> D ．a bc d< 【例10】 设a b ∈R ，，且()10b a b ++<，()10b a b +-<，则（ ） A ．1a > B ．1a <- C ．11a -<<D ．1a >【例11】 解关于x 的不等式2(21)20x m x m -++<。

1．不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2．一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.一、不等关系 1．不等式的概念（1）现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系． （2）用数学符号“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式． 2．两个实数大小的比较（1）作差法：设a ，b ∈R ，则0a b a b >⇔->，a <b ⇔a −b <0. （2）作商法：设a >0，b >0，则a >b ⇔1a b >，a <b ⇔1ab<. 3．不等式的性质（1）实数的大小顺序与运算性质的关系 ①a >b ⇔0a b ->； ②0a b a b =⇔-=； ③a <b ⇔0a b -<. （2）不等式的性质①对称性：a b b a >⇔<；(双向性)②传递性：a >b ，b >c ⇒a c >；(单向性) ③可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) ④a >b ，c >d ⇒a c b d +>+；(单向性)⑤可乘性：,0a b c ac bc >>⇒>；(单向性) a >b ，c <0⇒ac <bc ；(单向性) ⑥a >b >0，c >d >0⇒ac bd >；(单向性)⑦乘方法则：()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈≥N ；(单向性)⑧开方法则：a >b >0>n ∈N ，n ≥2)．(单向性)注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递. （2）可乘性中，要特别注意“乘数c ”的符号. 4．必记结论 （1）a >b ，ab >0⇒11a b<. （2）a <0<b ⇒11a b<. （3）a >b >0,0<c <d ⇒a b c d>. （4）0<a <x <b 或a <x <b <0⇒111b x a<<. （5）若a >b >0，m >0，则b b m a a m +<+；b b m a a m->-(b −m >0)； a a m b b m +>+；a a m b b m-<-(b −m >0)． 二、一元二次不等式及其解法 1．一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，有下列三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠；（2）顶点式：224()(0)24b ac b y a x a a a-=++≠； （3）两根式：12()()(0)y a x x x x a =--≠.2．三个“二次”之间的关系2(,)x +∞3．一元二次不等式的解法由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下： （1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即20(0)ax bx c a ++>>或20(0)ax bx c a ++<>；（2）计算：求出相应的一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的根，有三种情况：0,0∆,∆∆=0<>； （3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；（4）求解：利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程，如图.4．一元二次不等式恒成立问题（1）20(0)ax bx c a ++>≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -<∈R ． （2）20(0)ax bx c a ++≥≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -≤∈R ．（3）20(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -<∈R ． （4）20(0)ax bx c a ++≤≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -≤∈R ．（5）20ax bx c ++>恒成立的充要条件是：0a b ==且0c >或0a >且240()b ac x -<∈R ． （6）20ax bx c ++<恒成立的充要条件是：0a b ==且0c <或0a <且240()b ac x -<∈R ．考向一 比较大小比较大小的常用方法：（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论． 注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反. （3）介值比较法：①介值比较法的理论根据是：若a >b ,b >c ,则a >c ，其中b 是a 与c 的中介值. ②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值. （4）利用单调性比较大小.（5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.典例1 若，，，试比较，，的大小.典例2 已知0<a <b <1，则ba ，logb a ，1log ab 的大小关系是A ．1log ab <b a <log b a B ．1log ab <log b a <baC ．log b a <1log ab <ba D ．ba <1log ab <log b a【答案】A【解析】因为0<a <b <1,所以001b a a <<=,log log 1b b a b >=,又1a >1,所以1log ab <1log 1a=0. 综上，得1log ab <ba <logb a .故选A.【名师点睛】在用介值法比较时，中介值一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式（或数），其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等.1．设a >b >0,求证:2222a b a ba b a b-->++. 考向二 求范围的问题求范围的问题需用到不等式的性质，熟记不等式性质中的条件与结论是基础，灵活运用是关键.在使用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的前提条件，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数、两个不等式相乘、一个不等式两端同时求n 次方时，一定要注意其成立的前提条件，如果忽视前提条件就可能出现错误. 学科￥网 求范围的一般思路是：（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.典例3 设实数x ，y 满足212xy ≤≤，223x y ≤≤，则47x y的取值范围是______.【答案】[]2,27【解析】因为()324272x y x y xy⎛⎫⎪⎝⎭=，()322282714x xy y ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭，, 所以47827[,][2,27]41x y ∈=.典例4 若二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且)12(1f -≤≤，()314f ≤≤，求f (－2)的取值范围. 【解析】方法一：∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴可设2(0())f x ax bx a =+≠.易知()()11f a bf a b=+⎧⎪⎨-=-⎪⎩，∴()()()()11121112a f fb f f⎧=+-⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨⎪=--⎡⎤⎣⎦⎪⎩.【名师点睛】同向不等式只能相加，不能相减.2．已知正数满足20350x yx y-≤⎧⎨-+≥⎩，则142yxz-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭的最小值为A．1 BC．116D．132考向三一元二次不等式的解法1．解不含参数的一元二次不等式的方法：（1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.（2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得.（3）若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法.2．在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； （2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(∆>0),一根(∆=0),无根(∆<0)； （3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：121212,,x x x x x x >=<. 学#科网典例5 解下列不等式： （1）2230x x --+≥. （2）24410x x +≤+.典例6 已知函数. （1）当时，解关于的不等式；（2）若，解关于的不等式.【解析】（1）当时，,可得，,的解集为.当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为1{|2}x x a≤≤.3．不等式的解集为A ．B ．C ．D ．4．已知是偶函数，是奇函数，且=． （1）求和的解析式；（2）设(其中)，解不等式．考向四 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间关系的应用一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.（1）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系.（2）若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围. 学#科网典例7 已知函数. （1）当时,解关于a 的不等式；（2）若关于x 的不等式的解集是(-1,4)，求实数a ,c 的值.典例8 已知关于的不等式2230kx x k -+<.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若不等式的解集为∅，求实数的取值范围.5．若不等式的解集是11,23⎛⎫-⎪⎝⎭,则的值是 A ．B ．C ．14D ．10考向五 一元二次不等式的应用对于分式不等式和高次不等式，它们都可以转化为一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解. 1．分式不等式的解法若()f x 与()g x 是关于x 的多项式，则不等式()0()f xg x >(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧>⇒⇒⋅>⎨⎨><⎩⎩或; ()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧<⇒⇒⋅<⎨⎨<>⎩⎩或;()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇒⇒⋅>=⎨≠⎩或; ()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇒⇒⋅<=⎨≠⎩或.对于形如()()f xg x >a (或<a )的分式不等式，其中a ≠0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解. 2．高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．解高次不等式常用的方法有两种：（1）将高次不等式()0(0)f x ><中的多项式()f x 分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)．于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集． （2）穿针引线法：①将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积； ②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．典例9 不等式()()23310x x x --+>的解集为_________. 【答案】()1,0,33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】不等式()()23310x x x --+>可转化为,且方程()()3310x x x -+=的根为12310,3,3x x x ===-， 则由穿针引线法可得原不等式的解集为()1,0,33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.典例10 解关于x 的不等式:2x ax a -- <0(a ∈R ). 【解析】原不等式等价于：(x －a )(x －a 2)<0，其对应方程的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2.6．不等式102xx-≥+的解集为 A ．[]2,1- B ．(]2,1- C ．()(),21,-∞-+∞ D ．(](),21,-∞-+∞7．求下列不等式的解集： （1）25123x x x -≥--； （2）()()()3212110x x x --+<.考向六 含参不等式恒成立问题的求解策略解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式，有如下四种策略：（1）变换主元，转化为一次函数问题. 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系，有时候变换主元，可以起到事半功倍的效果. 学科@网 （2）联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题.（3）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．即①若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()f x a <(或()f x a ≤)恒成立⇔a m >(或a m ≥); ②若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()f x a >(或()f x a ≥)恒成立⇔a m <(或a m ≤);③若()f x 在其定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域内的最大上界(或最小下界)m ，即()f x 在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可以取到. （4）转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求参数. 在不等式恒成立问题的处理中，若能画出不等式两边相应的函数图象，恒成立的代数问题立即变得直观化，等价的数量关系式随之获得，数形结合可使求解过程简单、快捷．典例11 已知二次函数，且不等式的解集为，对任意的都有恒成立. （1）求的解析式；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.∵，∴2212223x x x k -≤-⋅+，设，则22tk t ≤+，又∵2122t t t t=≤++即时取得最大值，∴，即实数的取值范围为⎛-∞⎝⎦. 典例12 已知函数()21f x mx mx =--.（1）若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于x ∈[1,3]，f (x )<5-m 恒成立,求实数m 的取值范围.8．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．若函数的定义域为，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．1．设,则下列结论中正确的是A ．c c a b< B ．11ac bc> C ．a c b c <D ．22ac bc >2．设 4.20.60.60.6,7,log 7a b c ===,则,,a b c 的大小关系是 A ．c b a << B ．c a b << C ．b c a << D ．a b c <<3．不等式()2521x x +≥-的解集是A ．13,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．(]1[,1)1,32D ．(]1,11,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭4．实数，，满足且，则下列关系式成立的是 A ． B ． C ．D ．5．已知的大小关系为A ．B ．C ．D ．的大小关系不确定,与的取值有关6．设集合,则A ．B ．C ．D ．7．已知15,13a b a b ≤+≤-≤-≤，则32a b -的取值范围是 A ．[]6,14- B ．[]2,14- C ．[]2,10-D ．[]6,10-8．若不等式222424ax ax x x +-<+对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 A ．(2,2)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(2,2]-D ．(,2]-∞- 9．已知下列四个条件:①;②;③;④,能推出11a b<成立的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个10．若关于的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数的取值范围是A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－6]C ．[－6,2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞) 11．已知不等式的解集是，则不等式的解集是A ．B ．C ．D ．12．已知函数=的定义域是一切实数，则m 的取值范围是A ．0<m ≤4B ．0≤m ≤1C ．m ≥1D ．0≤m ≤413．设,a b 是不相等的正数，x y ==，则,x y 的大小关系是___________．(用“<”连接） 14．不等式的解集是___________．15．已知实数,则的取值范围是___________.16．函数()()2log 23(0,1)f x x x a a =-->≠的定义域为___________.17．已知关于的不等式的解集为，则__________． 18．已知实数满足：，，则的最小值是___________.19．若关于x 的不等式()()221121k x k x x x -+-+++>0的解集为R ，则k 的取值范围为___________.20．已知0a b >>，0c d <<，0e <，试比较e a c -与eb d-的大小．21．已知11222x y +≤-≤,12-≤3x+y ≤12,求9x+y 的取值范围.22．解下列不等式：（1）；（2）.23．已知不等式的解集为.（1）求实数的值;（2）若不等式的解集为,不等式的解集为,且,求实数的取值范围.24．已知不等式的解集是.（1）求，的值； （2）解不等式0c xax b->+(为常数) .25．（1）解关于的不等式a ；（2）已知不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.26．已知函数.(1)若,且函数有零点,求实数的取值范围；(2)当时,解关于的不等式；(3)若正数满足,且对于任意的,恒成立，求实数的值.1．（2017新课标全国Ⅰ理科）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z2．（2017天津理科）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(l o g 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c <<D ．b c a <<3．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥4．（2018新课标全国Ⅲ理科）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+5．（2016江苏）函数y的定义域是.1．【解析】方法一:∵左边-右边=()()()()()()()()2222222[]2a b a b a b ab a b aba b aba b -+-+-=++++>0,∴原不等式得证.方法二:∵a >b >0,∴2222a b a b-+>0,a b a b -+>0, ∴22222()211a b aba b a b+==+>++左边右边, 学.科网 ∴原不等式得证. 2．【答案】C3．【答案】B【解析】由题意易得：，即，∴，∴不等式的解集为.故选B.4．【解析】（1）由题意得()()f x g x -+-=22x x --，即()()f x g x -=22x x --， 联立得()f x =22x -，()g x =x ． （2）由题意得，即()23130mx m x +--<，当0m =时，30x --<，解得3x >-； 当0m ≠时，()()130mx x -+<， 对应方程的两个根为1x =1m，2x =3-， 故当0m >时，易知13m >-， 不等式的解为13x m-<<；5．【答案】A 【解析】因为不等式的解集是11,23⎛⎫-⎪⎝⎭，所以一元二次方程的解是11,23-,所以11112,2323b a a-+=--⨯=,解得,则6．【答案】B【解析】102x x -≥+等价于()()()()120120,212020x x x x x x x ⎧-+≥-+≤⎪⇒∴-<≤⎨+≠+≠⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩，即解集为(]2,1-．故选B.7．【解析】（1）则()()()()()()11230310x x x x x x +--⎧-≤-+≠⎪⎨⎪⎩， 由穿针引线法可知原不等式的解集为][()1,12,3-.（2）()()()3212110x x x --+<即()()()3221110x x x --+>，利用穿针引线法可知不等式()()()3212110x x x --+<)()11,1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.8．【答案】C【解析】因为不等式对任意恒成立,所以，解得，即实数的取值范围是，故选C ．9．【答案】A 【解析】对任意的，有恒成立， 所以或，得，故选A ．1．【答案】D【解析】当0a b >>时,110a b <<,因为0c <,所以11,c c a b ac bc>>,排除A,B; 当0a b >>时,0a b <<,所以a c b c >,排除C ．选D ． 2．【答案】B 【解析】∵0< 4.20.6<1,0.67>1,0.6log 7<0,∴b >a >c ,选B ． 学科#网5．【答案】【解析】由题可得，111111bb ba ab b a bm a a an b b b b-----+--⎛⎫===⋅ ⎪⎝⎭.因为，所以111,1ba bab b--⎛⎫>>⎪⎝⎭，所以111ba bab b--⎛⎫⋅>⎪⎝⎭，所以，即.故选C.当02≠-a 时，要使不等式恒成立，需20a ∆-<⎧⎨<⎩，解得22<<-a .所以a 的取值范围为]2,2(-. 9．【答案】C【解析】①中,因为0b a >>,所以110b a >>,因此①能推出11a b<成立; ②中,因为0a b >>,所以0ab >,所以a b ab ab >,所以11b a>,因此②正确; ③中,因为0a b >>,所以110a b >>,所以③不正确;④中,因为0a b >>,所以a b ab ab>,所以④正确; 故选C ． 10．【答案】D【解析】因为关于的不等式的解集不是空集，所以()2430a a ∆=--≥，解得或，所以实数的取值范围是(][,6,)2-∞-+∞.故选D.12．【答案】C【解析】由题意可知：恒成立，当时，不等式不一定成立；当时，应有，且，解得.综上可得，m的取值范围是m≥1.选C.13．【答案】x y<【解析】由于,a b为不相等的正数，222a bx y+==，则22y x-=24=>，所以x y<.14．【答案】【解析】由题意得,不等式可化为,所以不等式的解集为. 15．【答案】【解析】由题意可得,当时,;当时,.综上可知,.19．【答案】[1,9)【解析】∵关于x 的不等式()()221121k x k x x x -+-+++>0的解集为R ，而x 2+x +1=+>0，∴(k ﹣1)x 2+(k ﹣1)x +2>0的解集为R .当k =1时，2>0恒成立，因此k =1满足条件.当k ≠0时，可得()210(1)810k k k ∆->⎧⎨=---<⎩，解得1<k <9. 综上，可得k 的范围为[1,9).20．【解析】e a c -－e b d -=()()()()()()()b acde e b d a c a c b d a c b d ⎡⎤-+---+⎣⎦=----，0a b >>，0c d <<，∴0,0,0,0b a b d a c c d -<->->-<.又0e <，∴0e e a c b d ->--，∴e ea cb d>--. 21．【解析】方法一：设a (2x+y )+b (3x+y )=9x+y ,则2a+3b =9,a+b =1,22．【解析】（1），即，学……科网所以，即解集为.（2）分式不等式移项得2203xx+->-，即()23233xxx x-+->--，即343xx->-，即343xx-<-，根据穿针引线法，得，所以解集为.23．【解析】（1）依题意,得1,3是方程的两根,且，所以11313aaca⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩,解得1434ac⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.（2）由（1）得1434ac⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以，即为212304x x-+->，解得，所以.又,即为,解得,所以. 因为,所以,即.所以实数的取值范围是[)2,-+∞.25．【解析】（1）∵，∴方程的两根为或.当时，，此时不等式的解集为.当时，，此时不等式的解集为.（2）当时，或.当时，符合题意；当时不符合题意，所以.当时，需满足()()22223034230m m m m m --<-+--<⎧⎪⎨⎪⎩，解得.综上可得，的取值范围是. 学#科网1．【答案】D【解析】令235(1)xyzk k ===>， 则2log x k =，3log y k =，5log z k = ∴22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <， 故选D.【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.2．【答案】C【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．3．【答案】B 【解析】解不等式得，所以，所以可以求得{}|12A x x =-≤≤R ð，故选B ．4．【答案】B【解析】∵0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，.0.3030.211log ,lo 2g a b ∴==，0.311lo 0.g 4a b ∴+=，,即， 又，，即，故选B. 5．【答案】[3,1]- 【解析】要使函数式有意义，必有2320x x --≥，即2230x x +-≤，解得31x -≤≤．故答案为[3,1]-.。

第一节 不等式的性质及一元二次不等式[考纲要求]1．了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用．4．会从实际问题情境中抽象出一元二次不等式模型．5．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 6．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．突破点一 不等式的性质[基本知识]1．比较两个实数大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b (a ，b ∈R )，a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，a －b <0⇔a <b (a ，b ∈R ).(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b >0)，a b<1⇔a <b (a ∈R ，b >0).2．不等式的基本性质(1)倒数的性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质若a >b >0，m >0，则：①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)．②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1) 若1a <1b <0，则1a+b <1ab . ( )(2)若a c >bc ，则a >b .( )(3)若a >b ，c >d ，则ac >bd .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 二、填空题 1．若a <b <0，则1a －b 与1a大小关系是__________． 答案：1a －b <1a2．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________． 答案：(－∞，－1)[典例感悟]1．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <ND ．M ≤N解析：选A 因为M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，所以M >N ，故选A.2．(2018·吉安一中二模)已知下列四个关系式：①a >b ⇒ac >bc ；②a >b ⇒1a <1b ；③a >b >0，c >d >0⇒a d >bc ；④a >b >1，c <0⇒a c <b c .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 当c ＝0时，①不正确． 当a >0>b 时，②不正确． 由于c >d >0，所以1d >1c >0，又a >b >0，所以a d >bc >0，③正确．由于a >b >1，当x <0时，a x <b x ， 故a c <b c ，④正确．故选B. 3．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)． 解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .答案：＜4．已知－12≤2x ＋y ≤12，－12≤3x ＋y ≤12，则9x ＋y 的取值范围是________．解析：设9x ＋y ＝a (2x ＋y )＋b (3x ＋y )，则9x ＋y ＝(2a ＋3b )x ＋(a ＋b )y ，于是比较两边系数得⎩⎨⎧2a ＋3b ＝9，a ＋b ＝1，得a ＝－6，b ＝7.由已知不等式得－3≤－6(2x ＋y )≤3，－72≤7(3x ＋y )≤72，所以－132≤9x ＋y ≤132.答案：[]－132，132[方法技巧]1．比较两个数(式)大小的两种方法2．不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合的问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用． (3)与命题真假判断相结合的问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．突破点二 一元二次不等式[基本知识]1．三个“二次”之间的关系有两个相等实根x ＝x ＝－(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c >0或⎩⎨⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c <0或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为空集．( ) (3)若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，则其判别式Δ≤0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 二、填空题 1．不等式1x －1≥－1的解集是________________． 解析：原不等式可化为xx －1≥0，即x (x －1)≥0，且x －1≠0，解得x >1或x ≤0. 答案：(－∞，0]∪(1，＋∞)2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )()x －1a <0的解集是________________．答案：(－∞，a )∪()1a ，＋∞3．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是()－12，13，则a ＋b 的值是________． 答案：－144．若不等式ax 2－ax ＋1<0的解集为∅，则实数a 的取值范围为________． 答案：[0,4][全析考法]考法一 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法和步骤[例1] (1)(2019·衡阳月考)不等式2x ＋3－x 2>0的解集是( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |x >3或x <－1} C ．{x |－3<x <1}D ．{x |x >1或x <－3}(2)(2019·深圳月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，2x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－1,1)C ．(－2,1)D ．(－1,2)[解析] (1)原不等式变形为x 2－2x －3<0， 即(x －3)(x ＋1)<0，解得－1<x <3.故选A.(2)∵f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，2x －x 2，x <0，∴函数f (x )是奇函数，且在R 上单调递增， ∴f (2－a 2)>f (a )等价于2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0， 解得－2<a <1，∴实数a 的取值范围是(－2,1)，故选C. [答案] (1)A (2)C[例2] (2019·六安阶段性考试)已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式12x 2－ax >a 2. [解] ∵12x 2－ax >a 2，∴12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0. 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为{ x |x <－a 4，或x >a3}； ②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；③当a <0时，－a 4>a3，解集为{ x |x <a 3，或x >－a4}. 综上所述：当a >0时，不等式的解集为{ x |x <－a 4，或x >a3}； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}； 当a <0时，不等式的解集为{}x |x <a 3，或x >－a4. [方法技巧]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式． 考法二 由一元二次不等式恒成立求参数范围考向一 在实数集R 上恒成立[例3] (2019·大庆期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2,2]D ．(－2,2) [解析] 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0时，则有⎩⎨⎧a －2<0，4(a －2)2＋16(a －2)<0，解得－2<a <2，∴－2<a ≤2，故选C. [答案] C考向二 在某区间上恒成立[例4] (2019·忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意的x ∈(0,1]恒成立，则有( ) A ．m ≤－3 B ．m ≥－3 C ．－3≤m <0D ．m ≥－4[解析] 令f (x )＝x 2－4x ，x ∈(0,1]，∵f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时f (x )取得最小值，为－3，∴m ≤－3，故选A.[答案] A [方法技巧]解决一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题．[集训冲关]1.[考法一]如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a 等于( ) A ．－81 B ．81 C ．－64D ．64解析：选B 不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0，其解集是{x |1<x <3}，那么，由根与系数的关系得⎩⎨⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－3，所以b a ＝(－3)4＝81.故选B. 2.[考法二·考向一]已知关于x 的不等式x 2－(k －1)x －k ＋1≥0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) B ．(－∞，1]∪[3，＋∞) C ．[－1,3]D ．[－3,1]解析：选D 关于x 的不等式x 2－(k －1)x －k ＋1≥0对任意实数x 都成立，则Δ＝(k －1)2＋4(k －1)≤0，解得－3≤k ≤1，故选D.3.[考法二·考向二]若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎨⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，即⎩⎨⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.答案：()－22，0 [课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．下列结论正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a 2>b 2，则a >bC ．若a >b ，c <0，则a ＋c <b ＋cD ．若a <b ，则a <b解析：选D 选项A 中，当c ＝0时不满足ac 2>bc 2，所以A 错；选项B 中，当a ＝－2，b ＝－1时，满足a 2>b 2，不满足a >b ，所以B 错；选项C 中，a ＋c >b ＋c ，所以C 错；选项D 中，因为0≤a <b ，所以a <b ，所以D 正确．故选D.2．(2019·郑州模拟)“x >1”是“x 2＋2x >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由x 2＋2x >0，得x >0或x <－2，所以“x >1”是“x 2＋2x >0”的充分不必要条件，故选A.3．(2019·武汉武昌区调研)已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－3) C ．(－3,1)D ．(1，＋∞)解析：选A 依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1，故选A. 4．(2019·江淮十校联考)|x |·(1－2x )>0的解集为( ) A ．(－∞，0)∪()0，12 B ．()－∞，12C.()12，＋∞D ．()0，12解析：选A 原不等式等价于⎩⎨⎧1－2x >0，x ≠0，解不等式组可得实数x 的取值范围是(－∞，0)∪()0，12.5．(2019·遂宁诊断)若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB ．b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1aD ．2a ＋b a ＋2b >ab解析：选A 不妨取a ＝2，b ＝1，排除B 和D ；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，但g (a )>g (b )不一定成立，因此a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，故选A. [B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·郑州模拟)已知p ：1a >14，q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由1a >14得0<a <4.∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，必有⎩⎨⎧ a ＝0，1>0或⎩⎨⎧a >0，a 2－4a <0，则0≤a <4，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A.2．(2019·青岛三地名校联考)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[]－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.()13，12D ．()－∞，13∪()12，＋∞解析：选A ∵不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[]－12，－13，∴a <0，方程ax 2－bx －1＝0的两个根为－12，－13，∴－－b a ＝－12－13，－1a ＝16，∴a ＝－6，b ＝5，又x 2－bx －a <0，∴x 2－5x ＋6<0，∴(x －2)(x －3)<0，∴不等式的解集为(2,3)．3．(2019·深圳中学模拟)已知a >b >0，c <0，下列不等关系中正确的是( ) A ．ac >bcB ．a c >b cC ．log a (a －c )>log b (b －c )D ．a a －c >bb －c解析：选D 因为c <0，a >b ，所以ac <bc ，故A 错；当c <0时，幂函数y ＝x c 在(0， ＋∞)上是减函数，所以a c <b c ，故B 错；若a ＝4，b ＝2，c ＝－4，则log a (a －c )＝log 48<2< log b (b －c )＝log 26，故C 错；a a －c －bb －c＝ab －ac －ab ＋bc (a －c )(b －c )＝(b －a )c (a －c )(b －c )>0，所以a a －c >bb －c成立，故D 正确．选D.4．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.5．(2019·包头模拟)若不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的大致图象为( )解析：选C 由题意得⎩⎨⎧a <0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a，解得a ＝－1，c ＝－2.则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，由二次函数的图象可知选C.6．(2019·绵阳诊断)国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动．一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品的标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券B ：若商品的标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品的标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于( ) A ．300元 B ．400元 C ．500元D ．600元解析：选B 设购买的商品的标价为x 元，则(x －200)×20%>x ·10%，且(x －200)×20%>30，解得x >400，选B. 7．(2019·南昌重点校联考)如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－2,1)C ．(－2,0)D ．(－2，2)解析：选A 记f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，依题意有⎩⎨⎧f (－1)<0，f (1)<0，即⎩⎨⎧1－(m －1)＋m 2－2<0，1＋(m －1)＋m 2－2<0，解得0<m <1.选A.8．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(0,2)解析：选A 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1.9．(2019·西北工业大学附属中学模拟)已知a >b >1，c <0，在不等式①c a >cb ；②ln(a ＋c )>ln(b ＋c )；③(a －c )c <(b －c )c ；④b e a >a e b 中，所有正确命题的序号是( )A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④解析：选B ∵a >b >1，∴0<1a <1b ，又c <0，∴c a >cb ，∴①正确；∵a >b >1，c <0，∴不妨取a ＝3，b ＝2，c ＝－4，此时ln(a ＋c )>ln(b ＋c )不成立，∴②错误；易知函数y ＝x α(α<0)在(0，＋∞)上单调递减，∵a －c >b －c >0，c <0，∴(a －c )c <(b －c )c，∴③正确；令y ＝e x x (x ≠0)，则y ′＝(x －1)e x x 2，令y ′＝0，得x ＝1，令y ′>0，得x >1，故函数y ＝e xx在(1，＋∞)上单调递增，∵a >b >1，∴e a a >e bb，即b e a >a e b ，∴④正确，故选B.10．(2019·启东中学调研)已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为________．解析：由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a ≤3，－1<c a －b a <1，两式相加得，0<2×c a <4，∴ca的取值范围为(0,2)．答案：(0,2)11．(2019·青岛模拟)设a ，b 为正实数，现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a ＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中的真命题有____________．(写出所有真命题的序号)解析：对于①，由条件可得a >1，b >0，则a ＋b >1，又a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝1，所以a －b <1，故①正确．对于②，令a ＝2，b ＝23，则1b －1a ＝1，但a －b ＝43>1，故②错．对于③，令a ＝4，b ＝1，则|a －b |＝1，但|a －b |＝3>1，故③错．对于④，|a 3－b 3|＝|(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)|＝1，由条件可得，a ，b 中至少有一个大于等于1，则a 2＋ab ＋b 2>1，则|a －b |<1，故④正确．综上，真命题有①④.答案：①④12．(2019·江苏海安高级中学月考)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a .因为对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a >0，所以令f (x )＝0，有Δ<0或⎩⎨⎧Δ≥0，1≤a －2≤5，f (1)≥0，f (5)≥0，解得1<a <4或4≤a ≤5，即1<a ≤5.答案：(1,5]13．(2019·重庆凤鸣山中学月考)若不存在整数x 满足不等式(kx －k 2－4)(x －4)<0，则实数k 的取值范围是________． 解析：容易判断k ＝0或k <0时，均不符合题意，所以k >0.所以原不等式即为k ()x －k 2＋4k (x －4)<0，等价于()x －k 2＋4k (x －4)<0，依题意应有3≤k 2＋4k ≤5且k >0，所以1≤k ≤4.答案：[1,4]14．(2019·南昌模拟)定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋3)＝2f (x )，当x ∈[－1,2)时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ∈[－1，0)，－()12|x －1|，x ∈[0，2)，若存在x ∈[－4，－1)，使得不等式t 2－3t ≥4f (x )成立，则实数t 的取值范围是___________．解析：由题意知f (x )＝12f (x ＋3)．当x ∈[－1,0)时，f (x )＝x 2＋x ＝()x ＋122－14∈[]－14，0；当x ∈[0,2)时，f (x )＝－()12|x －1|∈[]－1，－12.所以当x ∈[－1,2)时，f (x )min ＝－1.故当x ∈[－4，－1)时，x ＋3∈[－1,2)，所以f (x ＋3)min ＝－1，此时f (x )min ＝12×(－1)＝－12.由存在x ∈[－4，－1)，使得不等式t 2－3t ≥4f (x )成立，可得t 2－3t ≥4×()－12，解得t ≤1或t ≥2.答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)15．(2019·南昌摸底)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a ＋2.(1)若关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a >0，解关于x 的不等式f (x )>0.解：(1)由题意知a <0，且－1,3是方程ax 2＋bx －a ＋2＝0的两个根，则⎩⎨⎧ b ＝2，8a ＋3b ＋2＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2.(2)当b ＝2时，f (x )＝ax 2＋2x －a ＋2＝(ax －a ＋2)(x ＋1)，∵a >0，∴f (x )>0可化为()x －a －2a(x ＋1)>0， ①当a －2a ≥－1，即a ≥1时，不等式的解集为{}x |x <－1或x >a －2a； ②当a －2a <－1，即0<a <1时，不等式的解集为{}x |x <a －2a或x >－1.16．(2018·正定中学二模)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R.(1)若不等式f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的实数x ∈[－1,1]恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若a <0，解不等式f (x )>1.解：(1)原不等式等价于x 2－2ax ＋2a ＋1>0对任意的实数x ∈[－1,1]恒成立， 设g (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋1＝(x －a )2－a 2＋2a ＋1(x ∈[－1,1])，①当a <－1时，g (x )min ＝g (－1)＝1＋2a ＋2a ＋1>0，得a >－12，所以a ∈∅；②当－1≤a ≤1时，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1>0，得1－2<a ≤1； ③当a >1时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ＋2a ＋1>0，得a >1. 综上，a 的取值范围为(1－2，＋∞)． (2)ax 2＋x －a －1>0，即(x －1)(ax ＋a ＋1)>0， 因为a <0，所以(x －1)()x ＋a ＋1a<0， 因为1－()－a ＋1a ＝2a ＋1a ，所以当－12<a <0时，1<－a ＋1a ，解集为{}x |1<x <－a ＋1a； 当a ＝－12时，(x －1)2<0，解集为∅；当a <－12时，1>－a ＋1a，解集为{}x |－a ＋1a<x <1.。

新高考数学复习知识点讲解与练习不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法知识梳理1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b ＜0⇔a ＜b ；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a ＞b （a ∈R ，b ＞0），ab ＝1⇔a ＝b （a ∈R ，b ≠0），a b＜1⇔a ＜b （a ∈R ，b ＞0）.2.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2).3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx＋c (a ＞0)的图象 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅1.有关分数的性质 若a ＞b ＞0，m ＞0，则 (1)真分数的性质b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m (a －m ＞0). (2)假分数的性质a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m(b －m ＞0). 2.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形. 3.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.诊断自测1.判断下列说法的正误. (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc2.()(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.()(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R .() (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞b ⇒/ ac 2＞bc 2. (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根.则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为∅. (4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0也在R 上恒成立. 2.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有() A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b d D.a c ＜b d 答案B解析 因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d ，两边同乘－1得－1d ＞－1c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a d ＞－b c ＞0.两边同乘－1得a d ＜bc.故选B.3.设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是() A.A ≤B B.A ≥B C.A <B D.A >B 答案B解析∵a ，b ∈[0，＋∞)，∴A ≥0，B ≥0，又A 2－B 2＝(a ＋2ab ＋b )－(a ＋b )＝2ab ≥0，∴A ≥B . 4.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则() A.c ≤3 B.3<c ≤6 C.6<c ≤9 D.c >9 答案 C解析 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11， 则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，由0<f (－1)≤3，得0<－1＋6－11＋c ≤3，即6<c ≤9.5.已知角α，β满足－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________.答案(－π，0)解析 因为－π2<α<β<π2，所以－π<α－β<π，且α－β<0，所以－π<α－β<0.所以α－β的取值范围是(－π，0).6.(必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________.解析 由题意知Δ＝[－(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0， 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案(－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)考点一 比较大小及不等式的性质的应用【例1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是()A.c ≥b >aB.a >c ≥bC.c >b >aD.a >c >b(2)已知非负实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则(c －a )(c －b )的取值范围为________. 答案(1)A(2)⎣⎡⎦⎤－18，1 解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)因为a ，b ，c 为非负实数，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＝1－c ，0≤c ≤1，故|(c －a )(c －b )|＝|c －a ||c －b |≤1，即－1≤(c －a )(c －b )≤1；又(c －a )(c －b )＝c 2－(1－c )c ＋ab ≥2⎝⎛⎭⎫c －142－18≥－18.综上，有－18≤(c －a )(c －b )≤1.感悟升华(1)比较大小常用的方法： ①作差法；②作商法；③函数的单调性法.(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除或特殊值法验证.【训练1】 (1)(2020·浙江卷)已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x －a )(x －b )(x －2a －b )≥0，则()A.a ＜0B.a ＞0C.b ＜0D.b ＞0(2)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是() A.a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b )B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1bC.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2aD.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a答案(1)C(2)B解析 (1)法一 由题意，知a ≠0，b ≠0，则方程 (x －a )(x －b )(x －2a －b )＝0的根为a ，b ，2a ＋b .①a ，b ，2a ＋b 均为不同的根，则不等式可标根为图(1)， 此时应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b ＜0，2a ＋b ＜0，可得a ＜0，b ＜0.②a ，b ，2a ＋b 中有两个根为相等的根，则 (ⅰ)a ＝2a ＋b ＞0，即b ＝－a ＜0， 此时(x －a )2(x ＋a )≥0，符合图(2).(ⅱ)a ＝b ＜0，此时(x －a )2(x －3a )≥0，符合图(3). 综合①②，可知b ＜0符合题意.故选C.法二(特殊值法) 当b ＝－1，a ＝1时，(x －1)(x ＋1)(x －1)≥0在x ≥0时恒成立；当b ＝－1，a ＝－1时，(x ＋1)(x ＋1)(x ＋3)≥0在x ≥0时恒成立；当b ＝1，a ＝－1时，(x ＋1)(x －1)(x ＋1)≥0在x ≥0时不一定成立.故选C.(2)令a ＝2，b ＝12，则a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252∈(1，2)，则b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b .考点二 一元二次不等式的解法角度1 不含参的不等式【例2－1】求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集. 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 角度2含参不等式【例2－2】解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0， 解得x ≥2a或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即－2<a <0，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}； 当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a ，或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .感悟升华 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论： (1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便正确写出解集.【训练2】 (1)(2019·天津卷)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值范围为________. (2)已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝() A.－3 B.1 C.－1 D.3答案(1)⎝⎛⎭⎫－1，23(2)A 解析 (1)3x 2＋x －2<0变形为(x ＋1)(3x －2)<0，解得－1<x <23，故使不等式成立的x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，23.(2)由题意得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由题意知－1，2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系可知a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.考点三 一元二次不等式的恒成立问题角度1 在R 上恒成立【例3－1】若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为()A.(－3，0]B.[－3，0)C.[－3，0]D.(－3，0) 答案D解析一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，∴k ≠0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38＜0， 解之得－3＜k ＜0.角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |0＜m ＜67或m ＜0解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立， 则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立. 有以下两种方法：法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]. 当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可. 因为m ≠0，所以m 的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |0＜m ＜67或m ＜0.角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】已知a ∈[－1，1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为() A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3) 答案C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4， 则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立， 所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3. 感悟升华恒成立问题求解思路(1)一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解. (2)一元二次不等式f (x )≥0在x ∈[a ，b ]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围.(3)一元二次不等式对于参数m ∈[a ，b ]恒成立确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围就选谁当主元，求谁的范围谁就是参数.【训练3】 (1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是() A.[－1，4] B.(－∞，－2]∪[5，＋∞) C.(－∞，－1]∪[4，＋∞) D.[－2，5](2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________.(3)若不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0在|a |≤1时恒成立，则x 的取值范围是________.答案(1)A(2)⎝⎛⎭⎫－22，0(3)(－∞，2)∪(4，＋∞) 解析(1)由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，解得－22＜m ＜0. (3)将原不等式整理成关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去.②若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4. 故x 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞).基础巩固题组一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是()A.f (x )＝g (x )B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化答案B解析f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ).2.已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b成立的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案C解析 运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1b，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.3.已知a ，b >0，且P ＝a ＋b 2，Q ＝a 2＋b 22，则P ，Q 的大小关系是() A.P ≥Q B.P >Q C.P ≤Q D.P <Q答案C解析 因为a ，b >0，所以P 2－Q 2＝（a ＋b ）24－a 2＋b 22＝－（a －b ）24≤0，当且仅当a ＝b 时取等号.故选C.4.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是()A.{a |0＜a ＜4}B.{a |0≤a ＜4}C.{a |0＜a ≤4}D.{a |0≤a ≤4}答案D解析 由题意知a ＝0时，满足条件.a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是()A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定答案C解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a 2＝1，解得a ＝2. 又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.6.若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则()A.a ＋b －c 的最小值为2B.a －b ＋c 的最小值为－4C.a ＋b －c 的最大值为4D.a －b ＋c 的最大值为6答案A解析 由题意可得－5≤(a －3)x ＋(b －4)y ＋c ≤5恒成立，所以a ＝3，b ＝4，－5≤c ≤5，则2≤a ＋b －c ≤12，即a ＋b －c 的最小值是2，最大值是12，A 正确，C 错误；－6≤a －b ＋c ≤4，则a －b ＋c 的最小值是－6，最大值是4，B 错误，D 错误，故选A.二、填空题7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________. 答案{x |x ＞1}解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}. 8.若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________.答案⎝⎛⎭⎫－1，45 解析 由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a 得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，45. 9.当x ＞0时，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a 的最小值为________.答案 －2解析 当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立，当Δ＝a 2－4＞0，则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＞0，－a 2＜0，解得a ＞2，所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立的实数a 的最小值是－2.10.下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是________.①a >b ＋1；②a >b －1；③a 2>b 2；④a 3>b 3答案①解析 ①中，若a >b ＋1，则必有a >b ，反之，当a ＝2，b ＝1时，满足a >b ，但不能推出a >b ＋1，故a >b ＋1是a >b 成立的充分而不必要条件；②中，当a ＝b ＝1时，满足a >b －1，反之，由a >b －1不能推出a >b ；③中，当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2>b 2，但a >b 不成立；④中，a >b 是a 3>b 3的充要条件，综上所述答案为①.三、解答题11.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.解(1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3. 所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}.(2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3. 即a 的值为3±3，b 的值为－3.12.已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，求z ＝2x －3y 的取值范围.解 设z ＝2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，即2x －3y ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3，所以⎩⎨⎧m ＝－12，n ＝52，由－1<x ＋y <4知－2<－12(x ＋y )<12，① 由2<x －y <3知5<52(x －y )<152，② ①＋②得3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<z <8. 能力提升题组13.(2021·浙江十校联盟联考)已知a >b >0，给出下列命题： ①若a －b ＝1，则a －b <1；②若a 3－b 3＝1，则a －b <1；③若e a －e b ＝1，则a －b <1；④若ln a －ln b ＝1，则a －b <1.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析 对于①，当a >b >0，a －b ＝1时，a －b ＝(a ＋b )(a －b )＝(1＋b ＋b )(1＋b －b )＝1＋2b >1，①错误；对于②，由a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝1得a －b ＝1a 2＋ab ＋b 2.又因为a >b >0，a 3－b 3＝1，所以a 3＝1＋b 3>1，即a >1，所以a 2＋ab ＋b 2>1，a －b ＝1a 2＋ab ＋b 2<1，②正确；对于③，由e a －e b ＝1得e a －b ＝e a e b ＝e b ＋1e b ＝1＋1e b <2，所以a －b <ln 2<1，③正确；对于④，由ln a －ln b ＝1得a ＝b e ，则a －b ＝(e －1)b ，当b >1e －1时，a －b ＝(e －1)b >1，④错误.综上所述，真命题的个数为2，故选B.14.(2020·湖州期末质检)已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋2c 2＝1，则2ab ＋c 的最小值是()A.－34B.－98C.－1D.－43答案B解析 由题意得1－2c 2＝a 2＋b 2≥－2ab ，所以2ab ＋c ≥2c 2＋c －1＝2⎝⎛⎭⎫c ＋142－98≥－98，当且仅当c ＝－14，ab ＝－716时等号成立，所以2ab ＋c 的最小值为－98，故选B. 15.若关于x 的不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集恰好是[a ，b ]，则a ＝________，b ＝________. 答案04解析 令f (x )＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1，其图象对称轴为x ＝2.①若a ≥2，则a ，b 是方程f (x )＝x 的两个实根，解得a ＝43，b ＝4，矛盾； ②若b ≤2，则f (a )＝b ，f (b )＝a ，两式相减得a ＋b ＝83，代入f (a )＝b 可得a ＝b ＝43，矛盾； ③若a <2<b ，则f (x )min ＝1，所以a ≤1(否则在顶点处不满足a ≤f (x ))，所以此时a ≤f (x )的解集是R ，所以f (x )≤b 的解集是[a ，b ]，所以f (a )＝f (b )＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧f （b ）＝b ，b >2 解得b ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝4，a <2解得a ＝0. 16.若实数x ，y 满足x 2＋4y 2＋4xy ＋4x 2y 2＝32，则x ＋2y 的最小值为________，7(x ＋2y )＋2xy 的最大值为________.答案 －4216解析 因为x 2＋4y 2＋4xy ＋4x 2y 2＝32，所以(x ＋2y )2＋4x 2y 2＝32，则(x ＋2y )2≤32，－42≤x ＋2y ≤42，即x ＋2y 的最小值为－4 2.由(x ＋2y )2＋4x 2y 2＝32，不妨设⎩⎨⎧x ＋2y ＝42sin θ，2xy ＝42cos θ，则7(x ＋2y )＋2xy ＝42(7sin θ＋cos θ)＝16sin(θ＋φ)，其中tan φ＝77，所以当sin(θ＋φ)＝1时，7(x ＋2y )＋2xy 取得最大值16. 17.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ).解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅； 当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜2. (2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x |x ＞2}.(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0， 根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0， 由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1a 或x ＞2. 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜1a 或x ＞2； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜2. 18.(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋11＋x，x ∈[0，1]，证明： (1)f (x )≥1－x ＋x 2； (2)34<f (x )≤32. 证明(1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x ，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1， 即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1， 所以f (x )≥1－x ＋x 2.(2)由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32， 所以f (x )≤32.由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，又因为f ⎝⎛⎭⎫12＝1924>34，所以f (x )>34.综上，34<f (x )≤32.。

第1讲不等关系与一元二次不等式1．两个实数比较大小的依据(1)a－b＞0⇔a＞b.(2)a－b＝0⇔a＝b.(3)a－b＜0⇔a＜b.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇔a>c；(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇔a＋c>b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0⇔ac>bc;a>b>0，c>d>0⇔ac>bd；(5)可乘方性：a>b>0⇔a n>b n(n⇔N，n≥1)；(6)可开方性：a>b>0⇔na>nb(n⇔N，n≥2)．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x⇔R } ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}⇔⇔考点一不等式的性质多维探究角度1比较大小及不等式性质的简单应用例1．对于实数a,b,c判断以下命题的真假（１）若a>b, 则ac<bc;（２）若ac 2>bc 2，则a>b; （３）若a<b<0, 则a 2>ab>b 2; （４）若a<b<0, 则|a|>|b|; （５）若a>b,a 1>b1, 则a>0, b<0． 【思路点拨】本类题一般采用不等式性质法或者比差法。

【解析】（１）因为c 的符号不定，所以无法判定ac 和bc 的大小，故原命题为假命题。

高一不等式性质知识点总结在高中数学中，不等式是一个重要且常见的概念。

不等式性质是解不等式以及进行数学推理的基础。

在高一学习阶段，学生需要掌握一些基本的不等式性质，并能够运用它们解决问题。

本文将对高一不等式性质进行总结和归纳，帮助学生更好地理解和运用相关知识。

一、基本的不等式性质1. 加减性质：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。

这个性质表示不等式两边同时加（减）相同的数时，不等关系保持不变。

2. 倍数性质：如果a>b，且c>0，那么ac>bc。

这个性质表示不等式两边同时乘以正数时，不等关系保持不变。

3. 倒数性质：如果a>b，且c<0，那么ac<bc。

这个性质表示不等式两边同时乘以负数时，不等关系改变。

4. 等价性质：如果a>b，并且c是一个正数，那么ac>bc；如果c是一个负数，那么ac<bc。

这个性质可以用于推导和证明不等式。

二、不等式的求解方法1. 基于图形的方法：对于简单的一元一次不等式，可以通过在数轴上绘制相关函数的图像来直观地找到解。

2. 基于性质的方法：利用不等式的性质进行数学推理和变形，以求得解的范围。

3. 基于代数的方法：对于复杂的不等式，可以利用代数的方法进行推导和解答。

常用的方法包括因式分解、配方法、平方根法等。

三、常见的不等式类型1. 一元一次不等式：形如ax+b>0的不等式，其中a和b是已知的实数，x是未知数。

通过代数的方法解题，可以得到解的范围。

2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0的不等式，其中a、b 和c是已知的实数，x是未知数。

解一元二次不等式的方法包括图像法、配方法和因式分解等。

3. 绝对值不等式：形如|ax+b|<c的不等式，其中a、b和c是已知的实数，x是未知数。

解绝对值不等式的方法包括分情况讨论和代数方法等。

4. 分式不等式：形如f(x)>g(x)的不等式，其中f(x)和g(x)是已知的分式函数，x是未知数。

我们知道，二次函数322--=x x y 的图像是一条开口向上的抛物线，它与x 轴有两个交点，由方程0322=--x x 的解可得交点的横坐标分别是1-=x ，3=x ，容易看出，当31>-<x x 或时上述函数的图像在x 轴上方，0322>--x x ；当31<<-x 时，上述函数的图像在x 轴下方，即0322<--x x ，于是可得不等式解集为}31|{<<-x x 。

[说明]解法一中解两个一元一次不等式组中涉及的“或”和“且”的关系可用集合中的交集和并集来说明。

解法三利用二次函数的图象更加直观，清晰，是高中阶段解一元二次不等式的主要方法。

例1．利用二次函数图像解下列不等式。

（1）0322<--x x（2）0442>+-x x练习:解下列不等式：（1）2x 2-3x-2≥0 （2）-3x 2+x+1>0 (3)9x 2+6x+1>0 (4)4x-x 2<5 (5)2x 2+x+1≤0（二）一元二次不等式的解法一般的一元二次不等式可利用一元二次方程02=++c bx ax 与二次函数c bx ax y ++=2的有关性质求解，具体见下表：0>a ，ac b 42-=∆ 0>∆ 0=∆ 0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2的图象一元二次方程 02=++c bx ax的根有两实根21x x x x ==或 有两个相等的实根ab x x x 221-===无实根一元二次不等不等式02>++c bx ax的解集}|{21x x x x x ><或}|{1x x x ≠Ryx0 -1 32|a a -<（a R ∈）20aa -<-。

第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？ 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。

初中数学不等式知识点一、不等式的定义与性质1.不等关系：对于任意两个实数a和b，只有以下三种情况之一成立：a>b，a=b，a<b。

2.不等式：由不等关系得到的表达式称为不等式。

3.不等式的解：使得不等式成立的数字的范围。

4.不等式的性质：a)若a>b且b>c，则a>c。

b)若a>b，则a+c>b+c。

c) 若a>b且c>0，则ac>bc。

d) 若a>b且c<0，则ac<bc。

二、一元一次不等式1.解一元一次不等式的方法：a)变形法：根据不等式性质对不等式进行变形，以求得解的范围。

b)试值法：取不等式两边的中心值，带入不等式进行判断。

c)图解法：将不等式转化为数轴上的表示，并用图形确定解的范围。

2.一元一次不等式的特殊情况：a)严格不等式：不等号中的大于或小于号是有实际意义的，例如x>3b)非严格不等式：不等号中的大于等于或小于等于号是有实际意义的，例如x≥33.一元一次不等式的解集表示方法：a)区间表示法：解集用区间表示，如(3,+∞)表示大于3的所有实数。

b)不等式表示法：通过不等式的形式表示解集，如x>3三、一元二次不等式1.解一元二次不等式的方法：a)求解开头为正负的二次不等式：将二次不等式化为二次方程，再通过求解二次方程得到解的范围。

b)求解开头为非负的二次不等式：直接观察二次不等式的开头，确定解的范围。

2.一元二次不等式的特殊情况：a)严格不等式：不等号中的大于或小于号是有实际意义的，例如x^2>4b)非严格不等式：不等号中的大于等于或小于等于号是有实际意义的，例如x^2≥43.一元二次不等式的解集表示方法：a)区间表示法：解集用区间表示，如(-∞,-2)∪(2,+∞)表示不在(-2,2)范围内的所有实数。

b)不等式表示法：通过不等式的形式表示解集，如x<-2或x>2四、两个不等式的关系1. 不等式的加减乘除运算：若a>b且c>0，则有a+c>b+c、ac>bc （或ac<bc）、a/c>b/c（或a/c<b/c）。

2023-11-06CATALOGUE 目录•不等关系•不等式•不等式的解法•不等式在实际问题中的应用•不等式的扩展知识01不等关系不等关系是数学中的一个基本概念，它描述了两个数或量之间的大小关系。

在日常生活中，不等关系也广泛存在，例如人的身高、体重、年龄等都可以用不等式来表示。

引言如果对于任意两个实数a和b，可以用一个大于号（>）或者小于号（<）来表示它们之间的关系，那么就说a与b之间存在不等关系。

特别地，当a=b时，称a与b相等；当a>b时，称a大于b；当a<b时，称a小于b。

如果a>b且b>c，那么a>c。

不等关系的传递性如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a。

不等关系的逆向性如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。

不等关系的可加性如果a>b且c>d，那么ac>bd（当c>0时）；如果a>b且c<d，那么ac<bd（当c<0时）。

不等关系的可乘性02不等式用不等号(“>”、“<”、“≥”、“≤”或“≠”)连接两个数的式子，称为不等式。

不等式的定义严格不等式非严格不等式用严格不等号“≠”连接两个数的式子，称为严格不等式。

用“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数的式子，称为非严格不等式。

03不等式的定义0201极值定理对称性如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b。

加法单调性也就是不等式方向不变。

乘法单调性积大于每一个因数。

任何数都有大于、小于、等于它自身的关系，这是自然界的普遍规律。

反身性传递性如果a>b，b>c，那么a>c。

如果f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上的最大值与最小值之差为零。

不等式的性质一元不等式只含有一个未知数的不等式。

线性不等式未知数是线性组合的不等式。

专题 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式一、题型全归纳题型一 不等式性质的应用命题角度一 判断不等式是否成立【题型要点】判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 【例1】(2020·石家庄质量检测)已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2<－ab B ．|a |<|b | C.1a >1bD ．(12)a >(12)b【解析】：通解：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a |＝|b |，⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b，所以A ，B ，D 不一定成立，因为a >0>b ，所以b －a <0，ab <0，所以1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >1b 一定成立，故选C.优解：因为a >0>b ，所以1a >0>1b ，所以1a >1b一定成立．故选C.【例2】若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；①|a |＋b >0；①a －1a >b －1b ；①ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【解析】因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a >－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b<0<1ab ，综上知，①①正确，①①错误．命题角度二 比较两个数(式)大小的两种方法【题型要点】比较两个数(式)大小的3种方法【例1】若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【解析】：法一：易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1.所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1.所以b >c .即c <b <a .法二：对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .【例2】已知a ，b 是实数，且e<a <b ，其中e 是自然对数的底数，则a b 与b a 的大小关系是 ．【解析】：令f (x )＝ln xx ，x >0，则f ′(x )＝1－ln x x 2，当x >e 时，f ′(x )<0，即函数f (x )在x >e 时是减函数． 因为e<a <b ，所以ln a a >ln bb，即b ln a >a ln b ，所以ln a b >ln b a ，则a b >b a .命题角度三 求代数式的取值范围【题型要点】求代数式取值范围的方法利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径． 【例1】(2020·长春市质量检测(一))已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是 ．【解析】：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.【例2】已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．【解析】因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.题型二一元二次不等式的解法【题型要点】一元二次不等式的解法(1)对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解，题目简单，情况单一．(2)含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．①若二次项系数为常数，需先将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；①若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否能为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；①对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．【易错提醒】当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．命题角度一不含参数的一元二次不等式解一元二次不等式的四个步骤【例1】不等式0<x2－x－2≤4的解集为．【答案】：[－2，－1)①(2，3]【解析】：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}．命题角度二 含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式的一般步骤【例2】解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.【解析】 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，原不等式等价于⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0无解；①当a >1时，1a <1，解⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0，得1a <x <1；①当0<a <1时，1a >1，解⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0，得1<x <1a .综上所述，当a <0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><11x a x x 或； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 11； 当a ＝1时，解集为①；当a >1时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<11x a x.命题角度三 已知一元二次不等式的解集求参数【例3】已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<31-21-x x ，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．【解析】 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝ba ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.即不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.【例4】(2020·黄冈模拟)关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A ．(－∞，1)①(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，－1)①(2，＋∞)【解析】因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，所以a >0，且－ba＝1，所以关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0可化为⎪⎭⎫⎝⎛+a b x (x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0，所以不等式的解集为{x |1<x <2}． 命题角度四 分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．(1)f (x )g (x )>0(<0)①f (x )·g (x )>0(<0)；(2)f (x )g (x )≥0(≤0)①⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0.【例5】不等式1－x 2＋x≥1的解集为( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,2 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛21-2-，C ．(－∞，－2)①⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21- D ．(－∞，－2]①⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21- 【解析】：1－x 2＋x ≥1①1－x 2＋x －1≥0①1－x －2－x 2＋x ≥0①－2x －12＋x ≥0①2x ＋1x ＋2≤0①⎩⎪⎨⎪⎧（2x ＋1）（x ＋2）≤0x ＋2≠0①－2<x ≤－12.故选B.【例6】不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．【解析】：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧（3x －4）（x －5）≥0，x －5≠0，解得x >5或x ≤43.所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><534x x x 或. 题型三 一元二次不等式恒成立问题类型一 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围【题型要点】一元二次不等式在R 上恒成立的条件【例1】若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ①R 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，对一切x ①R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2－2<a <2，解得－2<a <2，a 的取值范围是(－2，2]．类型二 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围【题型要点】形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ①R )恒成立问题的求解思路(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围； (2)数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．【例2】(2020·江苏海安高级中学调研)已知对于任意的x ①(－∞，1)①(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是 ．【解析】 设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a .因为对于任意的x ①(－∞，1)①(5，＋∞)，都有f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a >0， 所以Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，1≤a －2≤5，f （1）≥0，f （5）≥0，解得1<a <4或4≤a ≤5，即1<a ≤5.类型三 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围【题型要点】形如f (x )>0或f (x )<0(参数m ①[a ，b ])的不等式确定x 的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．【例3】求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 【解析】 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，则－1≤a ≤1.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4. 则实数x 的取值范围为(－∞，2)①(4，＋∞)．题型四 转化与化归思想在不等式中的应用【题型要点】(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c >0的x 的值构成的；图象在 x 轴下方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c <0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【例1】(2020·内蒙古包头)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2，则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，结合选项可知选C.【例2】a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个实根，则(a －1)2＋(b －1)2的最小值是( ) A ．－494B ．18C ．8D ．－6【解析】：因为关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个根为a ，b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2m ，ab ＝m ＋6，且Δ＝4(m 2－m －6)≥0，解得m ≥3或m ≤－2.所以y ＝(a －1)2＋(b －1)2＝(a ＋b )2－2ab －2(a ＋b )＋2＝4m 2－6m －10＝4⎝⎛⎭⎫m －342－494. 由二次函数的性质知，当m ＝3时，函数y ＝4m 2－6m －10取得最小值，最小值为8.故选C.二、高效训练突破 一、选择题1．(2020·潍坊模拟)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2] C ．[－1,1]D ．[1,2]【解析】A ＝{x |x 2－2x －3≥0}＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥3}，又B ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}．2．若正实数a ，b 满足a >b ，且ln a ·ln b >0，则( )A.1a >1bB ．a 2<b 2C ．ab ＋1>a ＋bD ．lg a ＋lg b >0【解析】由已知得a >b >1或0<b <a <1，因此必有1a <1b，a 2>b 2，所以A ，B 错误；又ab >1或0<ab <1，因此lg a ＋lg b ＝lg (ab )>0或lg (ab )<0，所以D 错误；而ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0，即ab ＋1>a ＋b ，所以C 正确．3．已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2<－ab B ．|a |<|b | C.1a >1bD ．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛2121【解析】：法一：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a |＝|b |，ba⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，所以A ，B ，D 不一定成立．因为a >0>b ，所以b －a <0，ab <0，所以1a －1b ＝b －a ab >0，所以1a >1b 一定成立，故选C.法二：因为a >0>b ，所以1a >0>1b ，所以1a >1b一定成立，故选C.4.(2020·安徽淮北一中（文）模拟)若(x －1)(x －2)<2，则(x ＋1)(x －3)的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．[－4，－3) C ．[－4，0) D ．(－3，4]【解析】：由(x －1)(x －2)<2解得0<x <3，函数y ＝(x ＋1)(x －3)的图象的对称轴是直线x ＝1，故函数在(0，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，在x ＝1处取得最小值，最小值为－4，在x ＝3处取值为0，在x ＝0处取值为－3，故(x ＋1)(x －3)的取值范围为[－4，0)．5．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]①[5，＋∞)C ．(－∞，－1]①[4，＋∞)D ．[－2，5] 【解析】：.x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4即可，解得－1≤a ≤4.6．(2020·湖南益阳4月模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，则不等式(x －2)f (x )<0的解集为( ) A ．(－2，2)①(2，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)【解析】：因为函数f (x )＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，所以a ＋2＝0，得a ＝－2，所以f (x )＝－2x 2＋4，所以不等式(x －2)f (x )<0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，f （x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，f （x ）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－2x 2＋4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－2x 2＋4<0，解得－2<x <2或x >2.故原不等式的解集为(－2，2)①(2，＋∞)．故选A. 7.(2020·广东清远一中月考)关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式 (ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)①(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)①(3，＋∞)【解析】关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，①a ＝b ＜0，①不等式(ax ＋b )(x －3)＞0可化为(x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3，①所求解集是(－1,3)．故选C. 8.设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是( ) A ．x >2且y >2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2D ．x >2且0<y <2【解析】：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧xy >0，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2.9.(2020·天津市新华中学模拟)已知命题p ：1a >14，命题q ：①x ①R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】求解不等式1a >14可得0<a <4，对于命题q ，当a ＝0时，命题明显成立；当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，10.设a ，b ①R ，定义运算“①”和“①”如下：a ①b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ①b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ①n ≥2，p ①q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4【解析】：.结合定义及m ①n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4； 结合定义及p ①q ≤2，可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4. 11．(2020·安徽蒙城五校联考)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，5) B ．(－2，4) C ．[－3，5]D ．[－2，4]【解析】：因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }；当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是a ①[－2，4]，故选D. 12．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ①R ，b ①R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ①[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A ．(－1，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)①(2，＋∞)D ．不能确定【解析】：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ①[－1，1]时，f (x )为增函数， 所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立解得b ＜－1或b ＞2.二、填空题1.设a >b ，有下列不等式①a c 2>b c 2；①1a <1b ；①|a |>|b |；①a |c |≥b |c |，则一定成立的有________．(填正确的序号)【解析】：对于①，1c 2>0，故①成立；对于①，a >0，b <0时不成立；对于①，取a ＝1，b ＝－2时不成立；对于①，|c |≥0，故①成立．2．已知实数a ①(1，3)，b ①⎪⎭⎫⎝⎛4181，，则a b的取值范围是________．【解析】：依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<ab <24，故答案为(4，24)．3．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．【解析】：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.4．(2020·扬州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是 ． 【解析】：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)， 因为a 1<a 2，b 1<b 2，所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.6.已知①ABC 的三边长分别为a ，b ，c 且满足b ＋c ≤3a ，则ca的取值范围为________．【解析】：由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >ba ，所以⎩⎨⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －b a <1，两式相加得，0<2×c a <4，所以ca的取值范围为(0，2)．7．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；①a ＋x >b ＋y ；①ax >by ；①x －b >y －a ；①a y >bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．【解析】：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2.符合题设条件x >y ，a >b .因为a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5.所以a －x ＝b －y ，因此①不成立．因为ax ＝－6，by ＝－6，所以ax ＝by ，因此①不成立．因为a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，所以a y ＝bx，因此①不成立．由不等式的性质可推出①①成立．8.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，若对任意x ①[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】对任意x ①[1，＋∞)，f (x )>0恒成立．等价于x 2＋2x ＋a >0，即a >－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝－(x ＋1)2＋1，则g (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－3，所以a >－3.9.(2020·江西临川一中高考模拟)已知函数f (x )＝x ln (3－x )，则不等式f (lg x )>0的解集为________．【解析】因为f (x )＝x ln (3－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3－x >0，解得0≤x <3，所以定义域为[0,3)，因为f (x )＝x ln (3－x )>0等价于⎩⎨⎧x >0，ln (3－x )>0，解得0<x <2，因为f (lg x )>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤lg x <3，0<lg x <2，x >0，解得1<x <100，所以解集为(1,100)．10.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ①R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．【解析】：由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x ＋b －a 24，f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，即b ＝a 24.所以f (x )＝(x ＋a 2)2.又f (x )<c ，所以(x ＋a 2)2<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .所以⎩⎨⎧－a2－c ＝m ①，－a2＋c ＝m ＋6 ①.①－①，得2c ＝6，所以c ＝9.三 解答题1.求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 【解析】：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4则实数x 的取值范围为(－∞，2)①(4，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 【解析】：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝（2a ）2－4a ≤0，解得0<a ≤1， 综上可知，a 的取值范围是[0，1]．(2)因为f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a （x ＋1）2＋1－a ，因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32，所以不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛2321-，.3已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ①(－∞，－3)①(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ①(－3，2)时，f (x )>0. (1)求f (x )在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．【解析】：(1)因为当x ①(－∞，－3)①(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ①(－3，2)时，f (x )>0. 所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两个根，所以⎩⎨⎧－3＋2＝8－ba，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5.所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f (x )在[0，1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝18， f (x )min ＝f (1)＝12，故f (x )在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞1225--， 4．(2020·湖北孝感3月模拟)设关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2.(1)求(1＋x 1)(1＋x 2)的值；(2)求证：x 1<－1且x 2<－1；(3)如果x 1x 2①⎥⎦⎤⎢⎣⎡10101，，试求a 的取值范围． 【解析】：(1)因为关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2. 所以x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a ，则(1＋x 1)(1＋x 2)＝1＋x 1＋x 2＋x 1·x 2＝1－1a ＋1a ＝1.(2)证明：由Δ≥0，得0<a ≤14.设f (x )＝ax 2＋x ＋1，则f (x )的对称轴与x 轴交点横坐标x ＝－12a ≤－2，又由于f (－1)＝a >0，所以f (x )的图象与x 轴的交点均位于点(－1，0)的左侧，故x 1<－1且x 2<－1. (3)由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－1a ，x 1·x 2＝1a①（x 1＋x 2）2x 1·x 2＝x 1x 2＋x 2x 1＋2＝1a .因为x 1x 2①⎣⎡⎦⎤110，10，所以1a ＝x 1x 2＋x 2x 1＋2①⎣⎡⎦⎤4，12110①a ①⎣⎡⎦⎤10121，14.又⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－4a ≥0①0<a ≤14， 所以a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤10121，14.。

一、知识概述本周学习不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法．首先学习不等关系与不等式的性质，通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；体会不等式、方程及函数之间的联系。

利用一元二次函数的图象及一元二次方程求解一元二次不等式；二、重难点知识归纳1、用不等号连接起来的式子表示不等关系，这样的式子叫不等式．不等式的常用的基本性质（1）a>b，b>c a>c(2)a>b a＋c>b＋c(3)a>b，c>0ac>bcc<0判别式解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化成一般形式（或），把二次项的系数变为正数（如果是负，那么在不等式两边都乘以－1，把系数变为正）．（2）求出对应的一元二次方程的根．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）（3）根据一元二次函数的图象、二次方程的根确定一元二次不等式的解集．（根据一元二次方程的根及不等式的方向）三、典型例题剖析例1、解不等式．分析：令f（x)= ，△＞0，即方程=0有两个不相等的实根，又图象开口向上，画出图象的示意图，由二次函数的零点和一元二次方程的根的关系知不等式的解集．解：因为△＞0，方程=0的根是．所以不等式的解集是{x|x<－，或x>2}．例2、已知不等式ax2＋5x＋b＞0的解为，求 a，b．分析：不等式ax2＋5x＋b＞0的解为，则知二次函数y=ax2＋5x＋b的两个零点是x1=，x2=，由二次函数的零点与一元二次方程的关系知x1=，x2=是方程ax2＋5x＋b=0的两个实数根，由根与系数的关系得到关于a，b的方程组．解：因为不等式ax2＋5x＋b＞0的解为，所以x1=，x2=是方程ax2＋5x＋b=0的两个实数根，所以解得例3、已知不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，求不等式bx2－ax－1>0的解集．分析：一元二次不等式的解集是由一元二次方程的根及首项系数的正、负，不等式是大于还是小于零确定的，不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，则x=2，x=3是方程x2－ax－b＝0的两根，求出a，b再解不等式．解：因为不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，从而 a=2＋3=5，b=－(2×3)=－6，于是－6x2－5x－1>0，即6x2＋5x＋1<0．因△>0，方程 6x2＋5x＋1=0 的两根为：故所求不等式的解集为．小结：解一元二次不等式时，首先一定要使二次项系数为正数，其次要知道解集是由方程的根来给出，从而知道解集时，可求不等式系数．例4、假设国家收购某种农副产品的价格是120元/担，其中征税标准是每100元征税8元（叫做税率是8个百分点，即8%），计划可收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定x的取值范围．分析：此为应用题，关键是审好题，从中建立出数学模型进行求解．解答：税率降低后是(8－x)%，收购量为m(1＋2x%)万担，税收为120m(1＋2x%)(8－x)%万元，原来的税收为120m·8%万元，根据题意可得120m（1＋2x%）(8－x)%≥120m·8%·78%，即x2＋42x－88≤0，解之－44≤x≤2，又 x>0，∴ 0<x≤2，∴x 的取值范围是{x|0<x≤2}．例5、若不等式组的整数解只有－2，k应取怎样的值.分析：针对第二个不等式的解集展开讨论．解：由，解得x<－1或x>2，再由，得①当时，，①的解为，这时原不等式组的解为，显然不包括－2，不合题意，舍去；当时，，①的解为，这里原不等式组的解为（Ⅰ），或（Ⅱ）欲保证不等式组的解中只有整数解－2，由（Ⅰ）可得k<2，由（Ⅱ）可得k≥－3，即有－3≤k<2.当，即时，①无解，此时，不等式组也无解.综上所述，只有当时，原不等式组的整数解只有－2.。

不等式的性质及一元二次不等式考纲解读 1.利用不等式的性质判断不等式成立或比较大小；2.根据二次函数求解给定的一元二次不等式；3.利用三个“二次”间的关系求参数或不等式恒成立问题．[基础梳理]1．不等式的基本性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)． (8)开方法则：a >b >0nb (n ∈N ，n ≥2)． 2．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b .(2)a <0<b ⇒1a <1b .(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .3．两个实数比较大小的依据 (1)a －b >0⇔a >b . (2)a －b ＝0⇔a ＝b . (3)a －b <0⇔a <b .4．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系有两个相等实根[三基自测]1．下列四个结论，正确的是( )①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ；②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ；③a >b >0⇒3a >3b ；④a >b >0⇒1a 2>1b 2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③ 答案：D2．不等式x (9－x )<0的解集为( ) A ．(0,9) B ．(9，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(9，＋∞)答案：D3．(必修5·习题3.2B 组改编)若函数y ＝mx 2－(1－m )x ＋m 的定义域为R ，则m 的取值范围是________．答案：[13，＋∞)4．(2017·高考全国卷Ⅲ改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x ≤0x 2 x >0，则f (x )≥1的解集为__________．答案：{0}∪[1，＋∞)考点一 一元二次不等式的解法|方法突破[例1] (1)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) (2)解不等式x 2－4ax －5a 2>0(a ≠0)． [解析] (1)－x 2－3x ＋4>0⇒(x ＋4)(x －1)<0. 如图，作函数y ＝(x ＋4)(x －1)的图象， ∴当－4<x <1时，y <0. (2)由x 2－4ax －5a 2>0， 知(x －5a )(x ＋a )>0.由于a ≠0，故分a >0与a <0讨论． 当a <0时，x <5a 或x >－a ； 当a >0时，x <－a 或x >5a .综上，a <0时，解集为{x |x <5a 或x >－a }； a >0时，解集为{x |x >5a 或x <－a }． [答案] (1)(－4,1) [方法提升][母题变式]1．将例(1)的不等式改为“－x 2－3x ＋4≤0”，其解集为________． 解析：由－x 2－3x ＋4≤0得x 2＋3x －4≥0， 即(x ＋4)(x －1)≥0，∴x ≥1或x ≤－4. 答案：(－∞，－4]∪[1，＋∞)2．将例(1)的不等式变为“x 2－3x ＋4>0”，其解集为________． 解析：令y ＝x 2－3x ＋4，∵Δ＝(－3)2－4×4<0，y >0恒成立．∴x ∈R . 答案：R3．将例(2)变为“x 2－4ax －5a 2>0”，如何求解． 解析：由例(2)知，(1)若a ＝0，不等式为x 2>0解集为{x |x ≠0}， (2)当a >0,5a >－a ，解集为{x |x >5a 或x <－a }， (3)当a <0,5a <－a ，解集为{x |x <5a 或x >－a }．考点二 不等式恒成立问题|方法突破[例2] (1)(2018·武汉调研)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0]C ．[－3,0)D ．(－3,0](2)(2018·郑州调研)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12都成立，则a 的最小值是________．(3)对于任意a ∈[－1,1]，f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于0，那么x 的取值范围是________．[解析] (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－8k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0，故选A. (2)法一：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，⎝⎛⎭⎫－x －1x max ＝－52，∴a ≥－52，故a 的最小值为－52. 法二：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则其对称轴为x ＝－a 2.①若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减，此时应有f ⎝⎛⎭⎫12≥0，从而－52≤a ≤－1.②若－a2<0，即a >0时，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，此时应有f (0)＝1>0恒成立，故a >0. ③若0≤－a 2<12，即－1<a ≤0时，则应有f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a ≤0.综上，a 的最小值为－52.(3)令g (a )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，由题意知g (－1)>0且g (1)>0，解得x <1或x >3.[答案] (1)A (2)－52 (3)(－∞，1)∪(3，＋∞)[方法提升]一元二次不等式恒成立问题的破解方法[母题变式]在本例(1)中，改为“对于x ∈[1,2]上，2kx 2＋kx －38<0恒成立”，求k 的取值范围．解析：k (2x 2＋x )<38，当x ∈[1,2]时，3≤2x 2＋x ≤10，∵k <38(2x 2＋x )恒成立，380≤38(2x 2＋x )≤18，∴k <380.考点三 比较大小问题|模型突破角度1 作差(商)法比较代数式的大小 [例3] 已知a >0，b >0，且a ≠b ，则( ) A ．ab ＋1>a ＋b B ．a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2 C ．2a 3b >3a 2bD ．a a b b <a b b a[解析] 选项A(作差法)，ab ＋1－(a ＋b )＝ab －a ＋(1－b )＝a (b －1)＋(1－b )＝(a －1)(b －1)，显然当a ，b 中有一个等于1时，(a －1)(b －1)＝0，即ab ＋1＝a ＋b ；故选项A 不正确． 选项B(作差法)，a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2)＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a 2－b 2)(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．因为a >0，b >0，a ≠b ，所以a ＋b >0，(a －b )2>0，故(a －b )2(a ＋b )>0，即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，故选项B 正确．[答案] B [模型解法]角度2 巧用不等式性质比较大小[例4] 若a >b ，则下列各式正确的是( ) A ．a ·lg x >b ·lg x B ．ax 2>bx 2 C ．a 2>b 2D ．a ·2x >b ·2x[解析] 已知a >b ，选项A ，由已知不等式两边同乘lg x 得到，由不等式的性质可知，当lg x >0时，a ·lg x >b ·lg x ；当lg x ＝0时，a ·lg x ＝b ·lg x ；当lg x <0时，a ·lg x <b ·lg x ．故该选项不正确．选项B ，由已知不等式两边同乘x 2得到，由不等式的性质可知，当x 2>0时，ax 2>bx 2；当x 2＝0时，ax 2＝bx 2.故该选项不正确．选项C ，由已知不等式两边平方得到，由不等式的性质可知，当a >b >0时，a 2>b 2；当a >0>b 且|a |<|b |时，a 2<b 2.故该选项不正确．选项D ，由已知不等式两边同乘2x 得到，且2x >0，所以a ·2x >b ·2x .故该选项正确． [答案] D [模型解法]角度3 构造函数法比较代数式的大小[例5] 已知a ＝13ln 94，b ＝45ln 54，c ＝14ln 4，则( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．b <c <a[解析] a ＝13ln 94＝13ln ⎝⎛⎭⎫322＝23ln 32＝ln 3232，b ＝45ln 54＝ln 5454，c ＝14ln 4＝14×2ln 2＝ln 22.故构造函数f (x )＝ln x x ，则a ＝f ⎝⎛⎭⎫32，b ＝f ⎝⎛⎭⎫54，c ＝f (2)． 因为f ′(x )＝1x ×x －1×ln x x 2＝1－ln xx 2，由f ′(x )＝0，解得x ＝e.故当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，e)上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )在(e ，＋∞)上单调递减．因为54<32<2<e ，所以f ⎝⎛⎭⎫54<f ⎝⎛⎭⎫32<f (2)，即b <a <c .故选B. [模型解法][高考类题]1．(2017·高考天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：依题意a ＝g (－log 25.1)＝(－log 25.1)·f (－log 25.1)＝log 25.1f (log 25.1)＝g (log 25.1)． 因为f (x )在R 上是增函数，可设0<x 1<x 2， 则f (x 1)<f (x 2)．从而x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，即g (x 1)<g (x 2)． 所以g (x )在(0，＋∞)上亦为增函数． 又log 25.1>0,20.8>0,3>0， 且log 25.1<log 28＝3,20.8<21<3， 而20.8<21＝log 24<log 25.1，所以3>log 25.1>20.8>0，所以c >a >b .故选C. 答案：C2．(2017·高考山东卷)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b C ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b2a解析：法一：∵a >b >0，ab ＝1，∴log 2(a ＋b )>log 2(2ab )＝1.∵b 2a ＝1a 2a ＝a －1·2－a ，令f (a )＝a －1·2－a ，又∵b ＝1a ，a >b >0，∴a >1a，解得a >1.∴f ′(a )＝－a －2·2－a －a －1·2－a ·ln 2＝－a －2·2－a (1＋a ln 2)<0， ∴f (a )在(1，＋∞)上单调递减． ∴f (a )<f (1)，即b 2a <12.∵a ＋1b ＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b.故选B. 法二：∵a >b >0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b .故选B. 答案：B1.[考点一](2014·高考大纲全国卷)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}解析：由x (x ＋2)>0得x >0或x <－2；由|x |<1得－1<x <1，所以不等式组的解集为{x |0<x <1}，故选C.答案：C2.[考点三](2016·高考北京卷)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0D ．ln x ＋ln y >0解析：函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；当x >0且y >0时，ln x ＋ln y >0⇔ln xy >0⇔xy >1，而x >y >0⇒/ xy >1，故D 错误．答案：C3.[考点二](2014·高考山东卷)已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1 B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sin x >sin y D ．x 3>y 3解析：∵a x <a y,0<a <1， ∴x >y ，∴x 3>y 3. 答案：D4.[考点二、三](2014·高考四川卷)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b cD.a d <b c解析：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A 、B 、C 均错，只有D 正确． 答案：D。

专题2.1不等式的性质及常见不等式解法（精讲）（解析版）专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法【考纲要求】1.不等关系：了解现实世界和⽇常⽣活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.⼀元⼆次不等式：(1)会从实际情境中抽象出⼀元⼆次不等式模型.(2)通过函数图像了解⼀元⼆次不等式与相应的⼆次函数、⼀元⼆次⽅程的联系.(3)会解⼀元⼆次不等式.3.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式.4.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应⽤.5．培养学⽣的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核⼼数学素养.【知识清单】1．实数的⼤⼩(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数⽐左边点对应的实数⼤.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a2．不等关系与不等式我们⽤数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表⽰它们之间的不等关系，含有这些符号的式⼦，叫做不等式.3．不等式的性质(1)性质1：如果a>b，那么b如果bb.即a>b?b(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性质6：如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . (7)性质7：如果a >b >0，那么a n >b n ，(n ∈N ，n ≥2)． (8)性质8：如果a >b >0，那么n a >nb ，(n ∈N ，n ≥2)． 4．⼀元⼆次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有⼀个未知数，并且知数的最⾼次数是2的不等式，称为⼀元⼆次不等式． (2)形式：①ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)；②ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)；③ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)；④ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)．(3)⼀元⼆次不等式的解集的概念：⼀般地，使某个⼀元⼆次不等式成⽴的x 的值叫做这个不等式的解，⼀元⼆次不等式的所有解组成的集合叫做这个⼀元⼆次不等式的解集. 5．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分⼦、分母都是关于x 的多项式的不等式称为__分式不等式__. f (x )g (x )>0?f (x )g (x )__>__0，f (x )g (x )<0?f (x )·g (x )__<__0. f (x )g (x )≥0??f (x )g (x ) ≥ 0，g (x )≠0. ?f (x )·g (x )__>__0或?f (x )＝0g (x )≠0.f (x )g (x )≤0f (x )·g (x ) ≤ 0，g (x )≠0?f (x )·g (x )__<__0或?f (x )＝0g (x )≠0. 6．简单的⾼次不等式的解法⾼次不等式：不等式最⾼次项的次数⾼于2，这样的不等式称为⾼次不等式. 解法：穿根法①将f (x )最⾼次项系数化为正数；②将f (x )分解为若⼲个⼀次因式的积或⼆次不可分因式的积；③将每⼀个⼀次因式的根标在数轴上，⾃上⽽下，从右向左依次通过每⼀点画曲线(注意重根情况，偶次⽅根穿⽽不过，奇次⽅根穿过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 7.不等式恒成⽴问题 1．⼀元⼆次不等式恒成⽴问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成⽴(或解集为R )时，满⾜ a >0Δ<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成⽴(或解集为R )时，满⾜a >0Δ≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成⽴(或解集为R )时，满⾜a <0Δ<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成⽴(或解集为R )时，满⾜?a <0Δ≤0.2．含参数的⼀元⼆次不等式恒成⽴．若能够分离参数成k f (x )形式．则可以转化为函数值域求解．设f (x )的最⼤值为M ，最⼩值为m .(1)k f (x )恒成⽴?k >M ，k ≥f (x )恒成⽴?k ≥M . 8．绝对值不等式的解法1．形如|ax ＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利⽤两边平⽅的形式转化为⼆次不等式求解． 2．形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 (1)绝对值不等式|x|>a 与|x|(2)|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ?－c≤ax ＋b≤c (c>0)，|ax ＋b|≥c ?ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 9．绝对值不等式的应⽤如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成⽴．【考点梳理】考点⼀：⽤不等式表⽰不等关系【典例1】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提⾼0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样⽤不等式表⽰销售的总收⼊仍不低于20万元？【答案】见解析【解析】提价后杂志的定价为x 元，则销售的总收⼊为(8－x －2.50.1×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的收⼊不低于20万元”⽤不等式可以表⽰为：(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20.【规律总结】⽤不等式(组)表⽰实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题⽬，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“⾄少”“⾄多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件⽤不等式表⽰．【变式探究】某钢铁⼚要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照⽣产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍．试写出满⾜上述所有不等关系的不等式．【答案】见解析【解析】分析：应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表⽰上述不等关系．详解：设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，依题意，可得不等式组：500x ＋600y ≤4 0003x ≥yx ≥0y ≥0，即5x ＋6y ≤403x ≥y x ≥0y ≥0考点⼆：⽐较数或式⼦的⼤⼩【典例2】(1)⽐较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的⼤⼩； (2)设a ∈R 且a ≠0，⽐较a 与1a 的⼤⼩．【答案】见解析【解析】 (1)x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0，∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． (2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a当a ＝±1时，a ＝1a；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a ；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a.【领悟技法】 1.⽐较⼤⼩的常⽤⽅法 (1)作差法⼀般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采⽤配⽅、因式分解、通分、有理化等⽅法把差式变成积式或者完全平⽅式．当两个式⼦都为正数时，有时也可以先平⽅再作差． (2)作商法⼀般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的⼤⼩关系；④结论． (3)函数的单调性法将要⽐较的两个数作为⼀个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出⼤⼩关系．【变式探究】已知x ＜y ＜0，⽐较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的⼤⼩．【答案】见解析【解析】∵x ＜y ＜0，xy ＞0，x －y ＜0，∴(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝－2xy (x －y )＞0，∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )．考点三：不等式性质的应⽤【典例3】（2020·⿊龙江省佳⽊斯⼀中⾼⼀期中（理））对于任意实数a b c d ,,,，下列正确的结论为（）A ．若,0a b c >≠，则ac bc >；B ．若a b >，则22ac bc >；C ．若a b >，则11a b <； D ．若0a b <<，则b a a b<．【答案】D 【解析】A ：根据不等式的基本性质可知：只有当0c >时，才能由a b >推出ac bc >，故本选项结论不正确；B ：若0c时，由a b >推出22ac bc =，故本选项结论不正确；C ：若3,0a b ==时，显然满⾜a b >，但是1b没有意义，故本选项结论不正确； D ：22()()b a b a b a b a a b ab ab-+--==，因为0a b <<，所以0,0,0b a ab a b ->>+<，因此0b a b aa b a b-【典例4】若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 【答案】B【解析】⽅法⼀易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln44ln3＝log 8164＜1，所以a ＞b ； b c ＝5ln44ln5＝log 6251 024＞1，所以b ＞c .即c ＜b ＜a . ⽅法⼆对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x2，易知当x ＞e 时，函数f (x )单调递减．因为e ＜3＜4＜5，所以f (3)＞f (4)＞f (5)，即c ＜b ＜a .【典例5】设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4”，则f (－2)的取值范围是．【答案】[5,10]【解析】⽅法⼀(待定系数法)设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得 m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得?m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．⼜因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. ⽅法⼆(解⽅程组法)由?f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．⼜因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.【规律总结】1．判断不等式的真假．(1)⾸先要注意不等式成⽴的条件，不要弱化条件．(2)解决有关不等式选择题时，也可采⽤特值法进⾏排除，注意取值要遵循以下原则：⼀是满⾜题设条件；⼆是取值要简单，便于验证计算．(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进⾏证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举⼀反例． 2．证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应⽤．(2)应⽤不等式的性质进⾏推证时，应注意紧扣不等式的性质成⽴的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 3．求取值范围(1)建⽴待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利⽤不等式的性质进⾏运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使⽤这种转化，就有可能扩⼤其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应⽤最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以⼀个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．【变式探究】1.（2020·陕西省西安中学⾼⼆期中（⽂））已知0a b <<，则下列不等式成⽴的是（） A ．22a b < B ．2a ab <C ．11a b< D ．1b a< 【答案】D 【解析】22a b -=22)()0,,a b a b a b +->∴>（所以A 选项是错误的. 2a ab -=2()0,.a a b a ab ->∴>所以B 选项是错误的.11a b -=110,.b a ab a b ->∴>所以C 选项是错误的. 1b a -=0, 1.b a b a a -<∴<所以D 选项是正确的. D 故选：.2. （2020·江西省崇义中学⾼⼀开学考试（⽂））下列结论正确的是（） A ．若ac bc >，则a b >B ．若88a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D【答案】C 【解析】对于A 选项，若0c <，由ac bc >，可得a b <，A 选项错误；对于B 选项，取2a =-，1b =，则88a b >满⾜，但a b <，B 选项错误；对于C 选项，若a b >，0c <，由不等式的性质可得ac bc <，C 选项正确；对于D ，D 选项错误.故选：C. 3.已知12b的取值范围．【错解】∵123.【辨析】错解中直接将12b 的取值范围⽽致错．【正解】∵1515.⼜12b <4.【易错警⽰】错⽤不等式的性质致错. 考点四：⼀元⼆次不等式的解法【典例6】（2020·全国⾼考真题（⽂））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D 【解析】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，⼜因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D. 【规律⽅法】1.解⼀元⼆次不等式的⼀般步骤(1)化：把不等式变形为⼆次项系数⼤于零的标准形式． (2)判：计算对应⽅程的判别式．(3)求：求出对应的⼀元⼆次⽅程的根，或根据判别式说明⽅程有没有实根． (4)写：利⽤“⼤于取两边，⼩于取中间”写出不等式的解集． 2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进⾏分类讨论．(1)若⼆次项系数为常数，⾸先确定⼆次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进⾏分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进⾏分类讨论．(2)若⼆次项系数为参数，则应先考虑⼆次项系数是否为零，确定不等式是不是⼆次不等式，然后再讨论⼆次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对⽅程的根进⾏讨论，⽐较⼤⼩，以便写出解集．【易错警⽰】忽视⼆次项系数的符号致误【变式探究】1．（2019·全国⾼考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?=（）A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ?=-<<．故选C ．2. （2020·⿊龙江省⼤庆实验中学⾼三⼀模（⽂））已知集合1|03x A x x -?=≥??-??，集合{|15}B x N x =∈-≤≤，则A B =（）A ．{0,1,4,5}B ．{0,1,3,4,5}C ．{1,0,1,4,5}-D ．{1,3,4,5}【答案】A 【解析】因为集合{1|033x A x x x x -?=≥=??-??或}1x ≤，集合{|15}{0,1,2,3,4,5}B x N x =∈-≤≤=，所以A B ={0,1,4,5}.故选：A考点五：绝对值不等式的解法【典例7】（2020·江苏省⾼考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．【答案】2(2,)3- 【解析】1224x x x <-??---?++21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x <<所以解集为：2(2,)3-【典例8】（2020·周⼝市中英⽂学校⾼⼆⽉考（⽂））(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集；(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为51|33x x ?-<，求a 的值.【答案】(1) {x |x ≤－3或x ≥2} (2) a ＝－3 【解析】(1)当x <－2时,不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5,解得x ≤－3；当－2≤x <1时,不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5,即3≥5,⽆解；当x ≥1时,不等式等价于x －1＋x ＋2≥5,解得x ≥2. 综上,不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3,∴－10时,15x a a -<< , 153a -=-,且513a =⽆解；当a ＝0时,x ∈R ,与已知条件不符；当a <0时,51x a a <<-,553a =-,且113a -=, 解得a ＝－3. 【规律⽅法】形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利⽤绝对值号内式⼦对应⽅程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设ac(c>0)的⼏何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和⼤于c 的全体，|x －a|＋|x －b|≥|x－a －(x －b)|＝|a －b|.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解．【变式探究】1.（2017天津，⽂2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（）（A ）充分⽽不必要条件（B ）必要⽽不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤?≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项. 2.（2014·⼴东⾼考真题（理））不等式的解集为 .【答案】(][),32,-∞-?+∞. 【解析】令()12f x x x =-++，则()21,2{3,2121,1x x f x x x x --<-=-≤≤+>，（1）当2x <-时，由()5f x ≥得215x --≥，解得3x ≤-，此时有3x ≤-；（2）当21x -≤≤时，()3f x =，此时不等式⽆解；（3）当1x >时，由()5f x ≥得215x +≥，解得2x ≥，此时有2x ≥；综上所述，不等式的解集为(][),32,-∞-?+∞. 考点六：绝对值不等式的应⽤如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成⽴．【典例9】（2020·陕西省西安中学⾼⼆期中（理））已知不等式53m x x ≤-+-对⼀切x ∈R 恒成⽴，则实数m 的取值范围为（） A ．2m ≤B ．2m ≥C ．8m ≤-D ．8m ≥-【答案】A【解析】()()-+-≥---=，∴根据题意可得2x x x x53532m≤.故选：A【典例10】（2018年理新课标I卷）已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成⽴，求的取值范围．【答案】(1).(2)．【解析】分析：(1)将代⼊函数解析式，求得，利⽤零点分段将解析式化为，然后利⽤分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中⼀个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.（2）当时成⽴等价于当时成⽴．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题⼀类是⽐较简单的不等式，往往可通过平⽅法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利⽤绝对值三⾓不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另⼀类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利⽤⼀般情况成⽴，则特殊情况也成⽴的思想，或利⽤⼀元⼆次⽅程的根的分布等⽅法来证明．2.含绝对值不等式的应⽤中的数学思想(1)利⽤“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利⽤函数的图象求解，体现了数形结合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种⽅法(1)转化法：转化为分段函数进⽽利⽤分段函数的性质求解.(2)利⽤绝对值三⾓不等式进⾏“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值. (3)利⽤绝对值的⼏何意义. 【变式探究】1．（2020·宁夏回族⾃治区⾼三其他（理））已知函数()|21||2|f x x x =-+-． (1)若()4f x <，求实数x 的取值范围；(2)若对于任意实数x ，不等式()|21|f x a >-恒成⽴，求实数a 的值范围．【答案】(1) 17,33??- ；(2) 15,44??-【解析】(1)由题，()133,211,2233,2x x f x x x x x ?-+≤??=+<-≥；当12x ≤时，334x -+<，解得1132x -<≤；当122x <<时，14x +<恒成⽴，解得122x <<；当2x ≥时，334x -<，解得723x ≤<.综上有3 137x -<<.故实数x 的取值范围为17,33??-(2)因为()133,211,2233,2x x f x x x x x ?-+≤??=+<-≥，当12x ≤时，()1322f x f ??≥= ；当122x <<时，()332f x <<；当2x ≥时，()()23f x f ≥=. 故()f x 的最⼩值为3 2.故3212a -<，即332122a -<-<，解得1544a -<<.故实数a 的值范围为15,44??-2.已知函数f(x)=|x?1|．（1）解不等式f(x)+f(x+4)≥8；（2）若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(ba)．【答案】(1) {x|x≤?5或x≥3} (2)见解析【解析】（1）f(x)+f(x+4)=|x?1|+|x+3|={?2x?2,x1,当x当?3≤x≤1时，f(x)≥8不成⽴；当x>1时，由2x+2≥8，解得x≥3.所以不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤?5或x≥3}.（2）f(ab)>|a|f(ba)，即|ab?1|>|a?b|．因为|a|<1，|b|<1，所以|ab?1|2?|a?b|2=(a2b2?2ab+1)?(a2?2ab+b2)=(a2?1)(b2?1)>0，所以|ab?1|>|a?b|，故所证不等式成⽴．。