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变量之间的关系一、基础知识回顾：1、在某一变化过程中，把数值始终不变的量称为（），把数值发生变化的量称为（）。
2、表示两个变量之间关系的方法有（）、（）、（）．3、图象法表示两个变量之间关系的特点是直观的反应了两个变量之间的变化情况。
4、用图象法表示两个变量之间关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示（），用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示（）．一、用表格表示变量间的关系某商场出售某种商品，其销售件数与守家的关系如下表：（1）上述表格中那些量在变化？自变量和因变量各是什么？（2）某顾客欲购买这种商品10件，但是只带了80元。
他所带的钱是否够用？如果不够用，则最多可购买该商品多少件？二、用关系式表示的变量间的关系：例2：一本书，每20页厚1，设从第一页到x页的厚度是y ，则y和x之间的关系式是（）A．120y x= B.20y x= C.120y x=+ D.20yx=2.一长方形的周长为12，面积y随长方形的长x的变化而变化。
Y和x的关系式是（）A．26y x x=+ B.26y x x=- C.26y x x=-3.在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系接近下列关系式中的（）A ．22v m =- B.21v m =- C.32v m =- D. 1v m =+4.小明想把一长为60，宽为40的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体小盒子。
于是在长方形纸片的四个角各剪去一个边长为x 的小正方形。
用s 表示图中阴影部分的面积。
（1）试写出s 和x 之间的关系式。
（2）当x 等于5时，求这个盒子的容积。
三、用图像表示变量间的关系 专题一、速度随时间的变化1、 汽车速度与行驶时间之间的关系可以用图象来表示，下图中A 、B 、C 、D 四个图象，可以分别用一句话来描述：（1）在某段时间里，速度先越来越快，接着越来越慢。
（ ） （2）在某段时间里，汽车速度始终保持不变。
第三章 变量之间的关系【学习目标】1．知道现实生活中存在变量和常量,变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）； 2．感受生活中存在的变量之间的依赖关系. 3．能读懂以不同方式呈现的变量之间的关系.4．能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系,并进行简单的预测. 【考点总结】要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量.特别说明：一般地,常量是不发生变化的量,变量是发生变化的量,这些都是针对某个变化过程而言的.例如,60s t =,速度60千米/时是常量,时间t 和里程s 为变量. t 是自变量,s 是因变量. 要点二、用表格表示变量间关系借助表格,我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.特别说明：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值,这会对某些特定的数值带来一目了然的效果,例如火车的时刻表,平方表等. 要点三、用关系式表示变量间关系关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如3y x =）,我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.特别说明：关系式能揭示出变量之间的内在联系,但较抽象,不是所有的变量之间都能列出关系式. 要点四、用图象表示变量间关系图象是我们表示变量之间关系的又一种方法,它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量,用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.特别说明：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势,而且对于一些无法用关系式表达的变量,图象可以充当重要角色. 【例题讲解】类型一、常量、自变量与因变量例1、根据心理学家研究发现,学生对一个新概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （分钟）之间有如表所示的关系：（1）上表中反映的两个变量之间的关系,哪个是自变量？哪个是因变量？（2）根据表格中的数据,提出概念所用时间是多少分钟时,学生的接受能力最强？（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？【答案】（1）“提出概念所用时间”是自变量,“对概念的接受能力”为因变量；（2）13分钟；（3）从第13分钟以后开始逐渐减弱【分析】（1）根据表格中提供的数量的变化关系,得出答案；（2）根据表格中两个变量变化数据得出答案；（3）提供变化情况得出结论．【详解】解：（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量,其中“提出概念所用时间”是自变量,“对概念的接受能力”为因变量；（2）根据表格中的数据,提出概念所用时间是13分钟时,学生的接受能力最强达到59.9；（3）学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．【点睛】本题考查用表格表示变量之间的关系,理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关键．【训练】某公交车每月的支出费用为4000元,每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）．（1）在这个变化过程中,每月的乘车人数x与每月利润y分别是变量和变量；（2）观察表中数据可知,每月乘客量达到人以上时,该公交车才不会亏损；（3）当每月乘车人数为4000人时,每月利润为多少元？【答案】（1）每月的乘车人数,每月利润；（2）2000人；（3）4000元【分析】（1）根据函数的定义即可求解；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损,即可求解；（3）有表中的数据推理即可求解．【详解】解：（1）在这个变化过程中,每月的乘车人数是自变量,每月利润是因变量；故答案为：每月的乘车人数,每月利润；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时,该公交车才不会亏损,故答案为：2000；（3）有表中的数据可知,每月的乘车人数每增加500人,每月的利润可增加1000元,当每月的乘车人数为2000人时,利润为0元,故每月乘车人数为4000人时,每月的利润是（4000-2000）÷500×1000=4000元．【点睛】本题考查了根据表格与函数知识,正确读懂表格,理解表格体现变化趋势是解题关键．类型二、用表格表示变量间关系例2、一辆小汽车在告诉公路上从静止到起动10秒内的速度经测量如下表：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用时间t表示时间,v表示速度,那么随着t的变化,v的变化趋势是什么？（3）当t每增加1秒,v的变化情况相同吗？在哪个时间段内,v增加的最快？（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/小时,试估计大约还需几秒这辆小汽车的速度就将达到这个上限．【答案】（1）时间与速度；时间；速度；（2）0到3和4到10,v随着t的增大而增大,而3到4,v随着t的增大而减小；（3）不相同；第9秒时；（4）1秒．【分析】（1）根据表中的数据,即可得出两个变量以及自变量、因变量；（2）根据时间与速度之间的关系,即可求出v的变化趋势；（3）根据表中的数据可得出V的变化情况以及在哪1秒钟,V的增加最大；（4）根据小汽车行驶速度的上限为120千米/小时,再根据时间与速度的关系式即可得出答案．【详解】解：（1）上表反映了时间与速度之间的关系,时间是自变量,速度是因变量；（2）如果用t 表示时间,v 表示速度,那么随着t 的变化,v 的变化趋势是0到3和4到10,v 随着t 的增大而增大,而3到4,v 随着t 的增大而减小；（3）当t 每增加1秒,v 的变化情况不相同,在第9秒时,v 的增加最大； （4）由题意得：120千米/小时=12010003600⨯（米/秒）,由33.328.9 4.4-=,且28.924.2 4.7 4.4-=>, 所以估计大约还需1秒．【点睛】本题主要考查函数的表示方法,常量与变量；关键是理解题意判断常量与变量,然后结合图表得到问题的答案即可．【训练】某路公交车每月有x 人次乘坐,每月的收入为y 元,每人次乘坐的票价相同,下面的表格是y 与x 的部分数据．x /人次500 1000 1500 2000 2500 3000 … y /元1000200040006000…（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）请将表格补充完整．（3）若该路公交车每月的支出费用为4000元,如果该路公交车每月的利润要达到10000元,则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润=收入-支出费用）【答案】（1）反映了收入y 与人次x 两个变量之间的关系,其中x 是自变量,y 是因变量；（2）表格见解析；（3）7000人次． 【分析】（1）根据表格即可得出结论；（2）由表格可知：每增加500人次乘坐,每月的收入就增加1000元,即可得出结论； （3）先求出每增加1人次乘坐,每月的收入就增加2元,然后求出总收入即可求出结论； 解：（1）反映了收入y 与人次x 两个变量之间的关系,其中x 是自变量,y 是因变量． （2）由表格可知：每增加500人次乘坐,每月的收入就增加1000元, 表格补充如下：÷=（元）（3）10005002()÷（人次）4000+100002=7000答：每月乘坐该路公交车要达到7000人次【点睛】此题考查的是变量与常量的应用,掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．类型三、用关系式表示变量间关系例3.按如图方式摆放餐桌和椅子．用x来表示餐桌的张数,用y来表示可坐人数．①题中有几个变量？②你能写出两个变量之间的关系吗？【答案】①有2个变量；②能,函数关系式可以为y=4x+2．【解析】试题分析：①根据变量和常量的定义可得结果；②由图形可知,第一张餐桌上可以摆放6把椅子,进一步观察发现：多一张餐桌,多放4把椅子．x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2．试题解析：①观察图形：x=1时,y=6,x=2时,y=10；x=3时,y=14；…可见每增加一张桌子,便增加4个座位,因此x张餐桌共有6+4（x﹣1）=4x+2个座位．故可坐人数y=4x+2,故答案为：有2个变量；②能,由①分析可得：函数关系式可以为y=4x+2．【训练】已知,如图,在直角三角形ABC中,∠ABC＝90°,AC＝10,BC＝6,AB＝8．P是线段AC上的一个动点,当点P从点C向点A运动时,运动到点A停止,设PC＝x,△ABP的面积为y．求y与x之间的关系式．【答案】y＝﹣125x+24．【分析】过点B作BD⊥AC于D,则BD为AC边上的高．根据△ABC的面积不变即可求出BD；根据三角形的面积公式得出S△ABP＝12AP•BD,代入数值,即可求出y与x之间的关系式．【详解】如图,过点B作BD⊥AC于D．∵S△ABC＝12AC•BD＝12AB•BC,∴BD＝8624105 AB BCAC⋅⨯==；∵AC＝10,PC＝x,∴AP＝AC﹣PC＝10﹣x,∴S△ABP＝12AP•BD＝12×（10﹣x）×245＝﹣125x+24,∴y与x之间的关系式为：y＝﹣125x+24．【点睛】此题考查直角三角形的面积求法,列关系式的方法,能理解图形中三角形的面积求法得到高线BD的值是解题的关键.类型四、用图象表示变量间关系例4、巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体,到达起点后小明做了一会准备活动,朱老师先跑．当小明出发时,朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s(米)与小明出发的时间t(秒)之间的关系如图所示(不完整)．据图中给出的信息,解答下列问题：(1)在上述变化过程中,自变量是______,因变量是______；(2)朱老师的速度为_____米/秒,小明的速度为______米/秒；(3)当小明第一次追上朱老师时,求小明距起点的距离是多少米？【答案】(1)t,s；(2)2,6；(3)小明距起点的距离为300米．【分析】解析(1)观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变(2)根据速度=路程÷时间,即可分别算出朱老师以及小明的速度;(3)设t秒时,小明第一次追上朱老师,列出关系式即可解答【详解】解：(1)在上述变化过程中,自变量是t,因变量是s；(2)朱老师的速度420200110＝2(米/秒),小明的速度为42070＝6(米/秒)；故答案为t,s；2,6；(3)设t秒时,小明第一次追上朱老师根据题意得6t＝200+2t,解得t＝50(s),则50×6＝300(米),所以当小明第一次追上朱老师时,小明距起点的距离为300米．【点睛】此题考查一次函数的应用,解题关键在于看懂图中数据【训练】如图是甲、乙两人同一地点出发后,路程随时间变化的图象．（1）此变化过程中, 是自变量, 是因变量；（2）甲的速度乙的速度（大于、等于、小于）；（3）6时表示；（4）路程为150km,甲行驶了小时,乙行驶了小时；（5）9时甲在乙的（前面、后面、相同位置）；（6）乙比甲先走了3小时,对吗？.【答案】（1）t；s；（2）小于；（3）乙追赶上了甲；（4）9；4；（5）后面；（6）不对. 【解析】试题分析：（1）根据自变量与因变量的含义得到时间是自变量,路程是因变量；（2）甲走6小时行驶100千米,乙走3小时走100千米,则可得到他们的速度的大小；（3）6时两图象相交,说明他们相遇；（4）观察图形得到路程为150千米,甲行驶9小时,乙行驶了7-3=4小时；（5）观察图象得到t=9时,乙的图象在甲的上方,即乙行驶的路程远些；（6）观察图象得到甲先出发3小时后,乙才开始出发.试题解析：解：（1）函数图象反映路程随时间变化的图象,则t是自变量,s是因变量；（2）甲的速度是100÷6=503千米/小时,乙的速度是100÷3=1003千米/小时,所以甲的速度小于乙的速度；（3）6时表示他们相遇,即乙追赶上了甲；（4）路程为150千米,甲行驶9小时,乙行驶了7-3=4小时；（5）t=9时,乙的图象在甲的上方,即乙行驶的路程远些,所以9时甲在乙的后面；（6）不对,是乙比甲晚走了3小时.故答案为（1）t；s；（2）小于；（3）乙追赶上了甲；（4）9；4；（5）后面；（6）不对. 考点：函数的图象.【训练】根据图回答下列问题.(1)图中表示哪两个变量间的关系?(2)A、B两点代表了什么?(3)你能设计一个实际事例与图中表示的情况一致吗?【答案】（1）时间与价钱；（2）A点表示250元,B点表示150元；（3）这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况:5月1日花150元5月2日花100元5月3日花250元5月4日花200元5月5日花300元5月6日花150元5月7日花250元【解析】试题分析：认真分析表中数据再结合身边的事例即可得到结果.（1）图中表示时间与价钱的关系；（2）A点表示250元,B点表示150元；（3）这可以表示某户人家在“五一”长假中的消费情况:5月1日花150元5月2日花100元5月3日花250元5月4日花200元5月5日花300元5月6日花150元5月7日花250元考点：本题考查的是函数的图象点评：解答本题的关键是读懂图象,得到图象的特征及规律,再根据这个规律解决问题.。
北师大版七下数学3.2用关系式表示的变量间关系说课稿2一. 教材分析北师大版七下数学3.2用关系式表示的变量间关系是学生在学习了函数概念和一次函数的基础上，进一步探究变量之间关系的课程。
通过本节课的学习，学生能够理解常量、变量、函数的概念，能够用关系式表示变量之间的关系，并会解决一些简单的实际问题。
本节课的内容主要包括两个部分，一是关系式的概念和表示方法，二是用关系式表示实际问题中的变量关系。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生理解和掌握关系式的表示方法，并能够运用关系式解决实际问题。
二. 学情分析学生在进入七年级下学期之前，已经学习了代数基础知识，对常量、变量、函数等概念有了一定的理解。
但是，对于关系式的概念和表示方法，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出关系式，理解关系式的概念和表示方法。
同时，学生在解决实际问题时，往往只注重结果，而忽视了解题过程中的思路和方法。
因此，在教学过程中，需要引导学生关注解题思路和方法，培养学生的逻辑思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解关系式的概念和表示方法，能够用关系式表示变量之间的关系。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：理解关系式的概念和表示方法，能够用关系式表示变量之间的关系。
2.教学难点：从实际问题中抽象出关系式，理解关系式的概念和表示方法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出关系式，理解关系式的概念和表示方法。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示实际问题和关系式，帮助学生直观地理解关系式的概念和表示方法。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际问题，引导学生关注变量之间的关系，激发学生的学习兴趣。
2.探究：引导学生从实际问题中抽象出关系式，理解关系式的概念和表示方法。
1．温度的变化是人们经常谈论的话题．请你根据图象，讨论某地某天温度变化的情况如图所示：（1）上午10时的温度是度，14时的温度是度；（2）这一天最高温度是度，是在时达到的；最低温度是度，是在时达到的；（3）这一天从最低温度到最高温度经过了小时；（4）温度上升的时间范围为，温度下降的时间范围为；（5）你预测次日凌晨1时的温度是．2．如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中. （1）请分别找出与各容器对应的水的高度h和时间t的变化关系的图象，用直线段连接起来；（2）当容器中的水恰好达到一半高度时，请在关系图的t轴上标出此时t值对应点T的位置．专题二折线型图象1．如图，表现了一辆汽车在行驶途中的速度随时间的变化情况．（1）A、B两点分别表示汽车是什么状态？（2）请你分段描写汽车在第0分钟到第19分钟的行驶状况．（3）司机休息5分钟后继续上路，加速1分钟后开始以60 km/h的速度匀速行驶，5分钟后减速，用了2分钟汽车停止，请在原图上画出这段时间内汽车的速度与时间的关系图．【知识要点】图象法：用图象来表示两个变量之间的关系的方法叫做图象法.在用图象法表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量，图象上每个点都表示自变量和因变量之间的相互关系.【温馨提示】图象法能直观、形象地描述两个变量之间的关系，但只是反映两个变量之间的关系的一部分，而不是整体，且由图象确定的数值往往是近似的.【方法技巧】1．借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值.1．借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是上升下降的，则说明因变量随着自变量的增大而增大减小，图象自左向右是与横轴平行的，则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变.答案1．（1）4 10（2）10 14 -2 4（3）12（4）4 h～14 h 0 h～4 h和14 h～24 h（5）1℃2．解：（1）对应关系连接如下：(2)当容器中的水恰好达到一半高度时，关系图上T的位置如上图.3．解：（1）A点表示匀速运动，B点表示停止；（2）0到3分钟加速，3到12分钟匀速，速度为90 km/h，12到15分钟减速，减到约每小时20千米，后再匀速到18分钟开始减速，19分钟运动停止．（3）司机休息5分钟后的运动情况如图所示．。
七年级数学下册第三章变量之间的关系3.2用关系式表示变量间的关系教学设计新版北师大版一. 教材分析北师大版七年级数学下册第三章“变量之间的关系”是学生在学习了二元一次方程组的基础上，进一步探讨变量之间的关系。
本节内容通过用关系式表示变量间的关系，让学生体会数学与实际生活的紧密联系，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了二元一次方程组的知识，对于用关系式表示变量间的关系并不陌生。
但如何将现实生活中的问题转化为数学问题，用数学语言描述和解决问题，仍是学生需要提高的地方。
此外，部分学生可能对数学与实际生活的联系缺乏认识，需要教师在教学中加以引导。
三. 教学目标1.理解函数的概念，掌握用关系式表示变量间的关系。
2.能够将现实生活中的问题转化为数学问题，并用数学语言描述和解决问题。
3.培养学生的动手操作能力、合作交流能力和数学思维能力。
4.体会数学与实际生活的紧密联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：理解函数的概念，掌握用关系式表示变量间的关系。
2.难点：如何将现实生活中的问题转化为数学问题，并用数学语言描述和解决问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过现实生活中的实例，引导学生发现数学问题，体会数学与生活的联系。
2.合作学习法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和交流能力。
3.动手操作法：让学生亲自动手操作，提高学生的动手能力和实践能力。
4.引导发现法：教师引导学生发现规律，培养学生独立思考和发现问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示现实生活中的实例和数学问题。
2.练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识。
3.教学工具：准备黑板、粉笔、投影仪等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示现实生活中的实例，如购物时发现商品打折，原价和折后价之间的关系。
引导学生发现这是一个数学问题，进而引入本节课的内容。
2.呈现（10分钟）教师讲解函数的概念，并用关系式表示变量间的关系。
北师大版七年级数学下册说课稿（含解析）：第三章变量之间的关系章末复习一. 教材分析北师大版七年级数学下册第三章《变量之间的关系》章末复习，主要目的是让学生巩固和掌握本章所学的内容，提高学生运用函数知识解决实际问题的能力。
本章主要包括一次函数、正比例函数和反比例函数的性质，以及如何根据实际问题建立函数关系式。
通过本章的学习，学生应能理解函数的概念，掌握三种基本函数的性质，并能运用函数知识解决实际问题。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经接触过一次函数、正比例函数和反比例函数的概念和性质，但对于如何运用这些知识解决实际问题可能还有一定的困难。
因此，在复习过程中，需要引导学生回顾和巩固所学知识，并通过具体的实例来提高他们运用函数知识解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：通过复习，使学生能熟练掌握一次函数、正比例函数和反比例函数的性质，理解函数的概念，提高学生运用函数知识解决实际问题的能力。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生主动探索、积极思考的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，增强学生自信，使学生感受数学在生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数、正比例函数和反比例函数的性质，函数的概念。
2.教学难点：如何运用函数知识解决实际问题，对函数概念的理解。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的方法，引导学生回顾和巩固所学知识，并通过具体的实例来提高学生运用函数知识解决实际问题的能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合学习任务单、小组讨论等新型教学方式，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生回顾本章所学内容，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：学生自主完成学习任务单，回顾和巩固一次函数、正比例函数和反比例函数的性质，以及函数的概念。
七年级数学下册第三章变量之间的关系3.2用关系式表示变量间的关系教案新版北师大版一. 教材分析本节课的内容是北师大版七年级数学下册第三章变量之间的关系中的3.2用关系式表示变量间的关系。
这部分内容是在学生已经掌握了变量和常量的概念，以及函数的定义的基础上进行的。
本节课的主要目的是让学生了解和掌握用关系式表示变量间的关系的方法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在进入七年级之前，已经初步掌握了变量和常量的概念，同时也对函数有一定的了解。
但是，对于如何用关系式表示变量间的关系，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过实际问题来理解和掌握关系式的表示方法。
三. 教学目标1.让学生理解用关系式表示变量间的关系的方法。
2.培养学生解决实际问题的能力。
3.培养学生合作学习的习惯。
四. 教学重难点1.教学重点：用关系式表示变量间的关系。
2.教学难点：如何引导学生从实际问题中发现关系式，并运用关系式解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过实际问题引导学生理解和掌握关系式的表示方法。
同时，采用小组合作学习的方式，培养学生的合作意识。
六. 教学准备教师准备一些实际问题，用于引导学生理解和掌握关系式的表示方法。
同时，准备PPT，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“小明的年龄比小红大3岁，用关系式表示小明的年龄和小红的年龄之间的关系。
”让学生思考并回答。
2.呈现（10分钟）教师呈现一些实际问题，让学生尝试用关系式表示变量间的关系。
例如：“某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？用关系式表示原价和打折后价格之间的关系。
”学生独立思考并回答。
3.操练（10分钟）教师学生进行小组合作学习，让学生通过实际问题来练习用关系式表示变量间的关系。
例如：“小组成员互相编写一些实际问题，然后用关系式表示变量间的关系。
”4.巩固（10分钟）教师选取一些学生编写的实际问题，让学生上台展示并解释用关系式表示变量间的关系。
完整版北师大版七年级数学下册变量之间的关系知识点汇总在数学学习中，变量是一个非常重要的概念。
变量之间的关系更是数学中的基础知识之一。
本文将对北师大版七年级数学下册关于变量之间的关系的知识点进行汇总和总结。
一、平方和平方根的关系在数学中，平方和平方根是常见的两个概念。
平方是指一个数与自己相乘的运算，可以用 x²表示。
而平方根则是指一个数的平方的逆运算，用√x 表示。
对于两个正数 a 和 b，它们满足以下关系：a² + b² = (a + b)² - 2ab√(a + b) = √a + √b二、正比例和反比例的关系正比例和反比例是描述两个变量之间关系的常用术语。
正比例是指当一个变量增大时，另一个变量也相应增大的关系。
而反比例则是指当一个变量增大时，另一个变量相应减小的关系。
在数学中，可用如下公式表示：正比例关系：y = kx （k为常数，y和x为变量）反比例关系：y = k/x （k为常数，y和x为变量）三、函数的关系函数是描述两个变量之间关系的数学工具，它描述了每个自变量（输入）对应唯一的因变量（输出）的关系。
函数可以用一个公式表示，形如 y = f(x)。
其中 x 是自变量，y 是因变量，f(x) 是函数关系。
函数也可以用函数图像表示，这样更直观地反映了变量之间的关系。
四、等式的关系等式是指两个表达式通过等号连接的关系。
等式表示两个值相等，可用 x = y 表示。
在等式中，可以进行加减乘除等运算，从而实现变量之间的关系。
五、不等式的关系不等式是指两个表达式通过不等号连接的关系。
不等式描述了大小关系，可用 x < y、x > y、x ≤ y、x ≥ y 等形式表示。
不等式表示一组值的范围，更适用于解决实际问题中变量之间的关系。
六、递推关系递推关系是指通过已知的一些值，推导出其他值的关系。
递推关系中通常会涉及到一个初始值和一个递推公式。
通过递推公式，可以计算出后续的值，从而揭示变量之间的关系。
第三章变量之间的关系【知识点一】用表格表示变量之间的关系（一）理解变量和常量1、我们生活的世界里有许多量，有些是变化的，有些是不变的，数值不变的量，我们称之为，数值发生变化的量，我们称之为。
请找出下列哪些量是变量，哪些是变量？1）圆柱的高h为10厘米，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中是变量，是常量。
2）圆的周长C随着半径R的变化而变化，圆的周长公式是，其中是变量，是常量。
（二）理解自变量和因变量1、在某一变化过程中，一般有两个变量，一个是在一定范围内主动发生变化的，称之为，另一个是随着量的变化而变化的，称之为。
请你找出下列哪些量是自变量，那些量是因变量？1）圆柱的高h为10厘米，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中是自变量，是因变量。
2）骆驼被称为“沙漠之舟”，时间的变化会引起它体温的变化，在这一变化过程中，是自变量，是因变量。
3）你给远在外地的叔叔打电话，电话费随时间的变化而变化，在这一变化过程中，是自变量，是因变量。
4）某水果店橘子的售价为2.5元/千克，买a千克橘子共用去S元钱；答：是常量，a与S是，其中a是，S是。
5）小军以240米/分的速度在操场上练习长跑，t分钟内奔跑的路程为s米。
6）科学研究表明，一个年龄在10~50岁的人，每天所需要的睡眠时间H（h）可用公式表示为H=（110-N）/10，其中N代表这个人的年龄；（三）用表格表示变量之间的关系，并对变化趋势进行初步预测1、用表格可以表示因变量与自变量的一组对应值，这种表示变量之间关系的方法叫做表格（1）上表反映的是哪两个变量之间的关系？自变量是什么？因变量是什么？（2）如果用t表示时间，h表示水位，随着t的逐渐增大，h的变化趋势是什么？（3）t每增加4h，h的变化情况相同吗？（4）请你估计一下28h时，河水水位是多少？规律总结：表示两个变量之间关系的表格，一般第一行表示，第二行表示，从表格中可以发现随变化存在一定规律——或者增加或者减少或者呈现规律性的起伏变化，从而利用变化趋势对结果作出预测。
第01讲_变量之间的关系知识图谱变量之间的关系（北师版）知识精讲变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量常量在一个变化过程中，有些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量关系一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且y随着x的变化而变化，x是自变量，y是因变量二．变量关系的三种表示方法表格法；关系式法；图像法．步骤列表表中给出一些自变量的值及其对应的因变量的值描点在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，因变量为纵坐标，描出表格中数值对应的各点连线按照横坐标由小道大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来注意事项1．表示两个变量的对应关系的点有无数个．但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置2．用实心点表示在曲线的点，用空心圈表示不在曲线的点四．易错点1．确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．2．解决图象有关的问题，一定要注意理解横、纵坐标所表示的实际含义，然后根据图象求出函数解析式来解题．3．不能认为式子中出现的字母都是变量，如π不是变量而是常量．三点剖析一．考点：1．用表格表示的变量间关系； 2．用关系式表示的变量间关系； 3．用图象表示的变量间关系．二．重难点：用图象表示的变量之间的关系三．易错点：1．确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．2．解决图象有关的问题，一定要注意理解横、纵坐标所表示的实际含义，然后根据图象求出函数解析式来解题．用表格表示的变量间关系例题1、 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm ）与所挂的物体的质量x （kg ）间有下面的关系： 下列说法不正确的是（ ）A.x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量B.所挂物体质量为4kg 时，弹簧长度为12cmC.弹簧不挂重物时的长度为0cmD.物体质量每增加1kg ，弹簧长度y 增加0.5cm 【答案】 C【解析】 根据给出的表格中数据分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案．例题2、 已知某易拉罐厂设计一种易拉罐，在设计过程中发现符合要求的易拉罐的底面半径与铝用量有如下关系：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当易拉罐底面半径为2.4cm 时，易拉罐需要的用铝量是多少？（3）根据表格中的数据，你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜？说说你的理由． （4）粗略说一说易拉罐底面半径对所需铝质量的影响．【答案】 （1）易拉罐底面半径和用铝量的关系，易拉罐底面半径为自变量，用铝量为因变量； （2）当底面半径为2.4cm 时，易拉罐的用铝量为356.cm ．（3）易拉罐底面半径为2.8cm 时比较合适，因为此时用铝较少，成本低．（4）当易拉罐底面半径在1.6～2.8cm 变化时，用铝量随半径的增大而减小，当易拉罐底面半径在2.8～4.0cm 间变化时，用铝量随半径的增大而增大．【解析】 本题考查函数的自变量与函数变量，根据表格理解：随底面半径的增大，用铝量的变化情况是关键． 例题3、 某校组织学生到距学校6km 的光明科技馆参观，准备乘出租车去科技馆，出租车的收费标准如表：则收费y （元）与出租车行驶里程数x （km ）（x ≥3）之间的关系式为（ ）x 0 1 2 3 4 5y 10 10.5 11 11.5 12 12.5底面 半径 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 用铝量 6.96.05.65.55.76.06.5里程数收费/元 3km 以下（含3km ） 8.00 3km 以上每增加1km1.80A.y=8xB.y=1.8xC.y=8+1.8xD.y=2.6+1.8x【答案】 D【解析】 由题意得，所付车费为：y=1.8（x ﹣3）+8=1.8x+2.6（x ≥3）． 故选：D ．随练1、 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间有如下关系：（其中030x ≤≤）（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？（2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟后，学生的接受能力最强；（4）从表中可知，当时间x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？【答案】 见解析【解析】 （1）提出概念所用的时间x 和对概念接受能力y 两个变量； （2）当10x =时，59y =，所以时间是10分钟时，学生的接受能力是59；（3）当13x =时，y 的值最大是59.9，所以提出概念13分钟时，学生的接受能力最强； （4）由表中数据可知：当213x <<时，y 值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当1320x <<时，y 值逐渐减下，学生的接受能力逐步降低．用关系式表示的变量间关系例题1、 写出下列各问题中的关系式，指出其中的常量、自变量、因变量及自变量取值范围． （1）直角三角形中一锐角的度数y 与另一锐角的度数x 之间的函数关系．（2）如果水的流速量是a m/min (一个定量)，那么每分钟的进水量3Q()m 与所选择的水管直径D (m )之间的函数关系． 【答案】 （1）90y x =-，90是常量，x 是自变量，y 是因变量，自变量x 的取值范围是090x <<；（2）24aD Q π=，常量为4aπ，自变量为D ，Q 为因变量，自变量0D >【解析】 （1）直角三角形两锐角互余，所以90y x =-，其中90是常量，x 是自变量，y 是因变量，自变量x 的取值范围是090x <<；（2）由水管直径为D 可知，水管的截面积为24D π，所以24aD Q π=，其中常量为4aπ，自变量为D ，Q 为因变量，自变量0D >；例题2、 等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ，则x 与y 之间的关系式为_________． 【答案】 y=8﹣12x （0＜x ＜8） 【解析】 ∵等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ． ∴x+2y=16， ∴y=8﹣12x （0＜x ＜8）． 例题3、 等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ，则x 与y 之间的关系式为 ．【答案】 y=8﹣12x （0＜x ＜8）．【解析】 ∵等腰三角形的周长为16cm ，底边长为x cm ，腰长为y cm ．提出概念所用时间（x ） 257101213141720对概念的接受能力（y ）47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55∴x+2y=16，∴y=8﹣12x（0＜x＜8）．故答案为：y=8﹣12x（0＜x＜8）．随练1、等腰三角形的周长为30，则腰长y关于底边长x的函数关系式为__________，其中自变量x的取值范围是__________．【答案】1152y x=-+；015x<<【解析】230y x+=，整理得，1152y x=-+，根据三角形三边关系定理，02x y<<，∴102152x x⎛⎫<<-+⎪⎝⎭，∴015x<<．随练2、以直角三角形中的一个锐角的度数为自变量x，另一个锐角的度数y为因变量，则它们的关系式是．【答案】y=90°﹣x．【解析】根据题意得y=90°﹣x．故答案为y=90°﹣x．用图象表示的变量间关系例题1、小华同学利用假期时间乘坐一大巴去看望在外打工的妈妈，出发时，大巴的油箱装满了油，匀速行驶一段时间后，油箱内的汽油恰剩一半时又加满了油，接着按原速度行驶，到目的地时油箱中还剩有13箱汽油，设油箱中所剩汽油量为V升，时间为t（分钟），则V与t的大致图象是（）A.AB.BC.CD.D【答案】D【解析】A、从图象可知最后纵坐标为0，即油箱是空的，与题意不符，故本选项错误；B、图象没有显示油箱内的汽油恰剩一半时又加满了油的过程，与题意不符，故本选项错误；C、图象显示油箱的油用完以后又加满，与题意不符，故本选项错误；D、当t为0时，大巴油箱是满的，然后匀速减少至一半，又加满，到目的地是油箱中还剩有13箱汽油，故本选项正确．故选D．例题2、如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）A.乙前4秒行驶的路程为48米B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒C.两车到第3秒时行驶的路程相同D.在4到8秒内甲的速度都大于乙的速度【答案】C【解析】A、根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×4=48米，故A正确；B、根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到32米/秒，则每秒增加32 8=4米秒/，故B正确；C 、由于甲的图象是过原点的直线，斜率为4，所以可得v=4t （v 、t 分别表示速度、时间），将v=12m/s 代入v=4t 得t=3s ，则t=3s 前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第3秒时行驶的路程不相等，故C 错误；D 、在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故D 正确．随练1、 一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分钟）之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过_____分钟，容器中的水恰好放完．【答案】 8【解析】 由04-分钟的函数图象可知进水管的速度，根据412-分钟的函数图象求出水管的速度，再求关停进水管后，出水经过的时间．进水管的速度为：2045÷=（升/分），出水管的速度为：()()53020124 3.75--÷-=（升/分），∴关停进水管后，出水经过的时间为：30 3.758÷=分钟．随练2、 上周周末放学，小华的妈妈来学校门口接他回家，小华离开教室后不远便发现把文具盒遗忘在了教室里，于是以相同的速度折返回去拿，到了教室后碰到班主任，并与班主任交流了一下周末计划才离开，为了不让妈妈久等，小华快步跑到学校门口，则小华离学校门口的距离y 与时间t 之间的函数关系的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】 B【解析】 根据题意得，函数图象是距离先变短，再变长，在教室内没变化，最后迅速变短，B 符合题意随练3、 在20km 越野赛中，甲乙两选手的行程y （单位：km ）随时间x （单位：h ）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度； ②出发后1小时，两人行程均为10km ； ③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km ； ④甲比乙先到达终点． 其中正确的有_______个．【答案】 1【解析】 在两人出发后0.5小时之前，甲的速度小于乙的速度，0.5小时到1小时之间，甲的速度大于乙的速度，故①错误由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km ，故②正确；甲的图象的解析式为y=10x ，乙AB 段图象的解析式为y=4x+6，因此出发1.5小时后，乙的路程为15千米，甲的路程为12千米，甲的行程比乙少3千米，故③错误；乙到达终点所用的时间较少，因此乙比甲先到达终点，故④错误．拓展1、 如图所示，某计算装置有一个数据输入口A 和一个运算结果输入口B ，下表给出的是小红输入的数字及所得的运算结果（1）若小红输入的数为x ，输出的结果为y ，你能用x 表示y 么？请写出来．（不需要写出x 的取值范围）（2）若输出结果为8，求小红输入的数字 【答案】 （1）1y x =-（2）81【解析】 （1）由表中数据可观察到，每个B 中数据都是在A 中数据开方后减一所得，101-=-，011=-，141=-，∴可得到函数1y x =-．（2）当8y =时，()211y x x y =-⇒=+，∴2981x ==．2、 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度()y cm 与所挂的物体的质量()x kg 间有下面的关系：下列说法不正确的是（ ）A.x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量B.所挂物体质量为4kg 时，弹簧长度为12cmC.弹簧不挂重物时的长度为0cmD.物体质量每增加1kg ，弹簧长度y 增加0.5cm 【答案】 C【解析】 弹簧不挂重物时的长度为10cm3、 在某次实验中，测得两个变量m 和v 之间的4组对应数据如下表：则m 与v 之间的关系最接近于下列各关系式中的（ ）A.22v m =-B.21v m =-C.33v m =-D.1v m =+【答案】 B【解析】 分别代入当4m =时，算出v 即可．4、 购买单价为每支1.2元的铅笔，总金额y （元）与铅笔数n （支）的关系式可表示为y =__________，其中，__________是常量，__________是变量． 【答案】 1.2n ，单价，铅笔数【解析】 总金额等于每支铅笔的价格乘以铅笔的支数，故 1.2y n =，铅笔的单价是常量，铅笔数是变量． 5、 乘坐某种出租汽车，当行驶路程小于或等于3千米时，乘车费用都是10元（即起步价10元），当行驶路程大于3千米时，超过3千米的部分每千米收费2元，若一次乘坐这种出租车行驶4千米，则应付车费__________元；若一次乘坐这种出租车付费20元，则乘车路程是__________千米． 【答案】 12,8【解析】 本题考查函数的应用。
北师大版七年级数学下册变量之间的关系
Last revision on 21 December 2020
变量之间的关系
一、基础知识回顾：
1、在某一变化过程中，把数值始终不变的量称为（ ），把数值发生变化的量称为（ ）。
2、表示两个变量之间关系的方法有（ ）、（ ）、（ ）．
3、图象法表示两个变量之间关系的特点是直观的反应了两个变量之间的变化情况。
4、用图象法表示两个变量之间关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示（ ），用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示（ ）． 一、用表格表示变量间的关系
某商场出售某种商品，其销售件数与守家的关系如下表：
（1） 上述表格中那些量在变化自变量和因变量各是什么
（2）某顾客欲购买这种商品10件，但是只带了80元。
他所带的钱是否够用如果不够用，则最多可购买该商品多少件 二、用关系式表示的变量间的关系：
例2：一本书，每20页厚1mm ，设从第一页到x 页的厚度是y mm ，则y 和x 之间的关系式是（ ） A ．120y x =
B.20y x =
C.120y x =+
D. 20
y x
=
2.一长方形的周长为12cm ，面积y 随长方形的长x 的变化而变化。
Y 和x 的关系式是（ ）
A ．26y x x =+ B.26y x x =- C.26y x x =-
3.在某次实验中，测得两个变量m 和v 之间的4组对应数据如下表：
M 1 2 3 4 V
则m 与v 之间的关系接近下列关系式中的（ ）
A ．22v m =- B.21v m =- C.32v m =- D. 1v m =+
4.小明想把一长为60cm ，宽为40cm 的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体小盒子。
于是在长方形纸片的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形。
用s 表示图中阴影部分的面积。
（1）试写出s 和x 之间的关系式。
（2）当x 等于5时，求这个盒子的容积。
三、用图像表示变量间的关系 专题一、速度随时间的变化
1、 汽车速度与行驶时间之间的关系可以用图象来表示，下图中A 、B 、C 、D 四个图象，可以分别用一句话来描述：
（1）在某段时间里，速度先越来越快，接着越来越慢。
（ ） （2）在某段时间里，汽车速度始终保持不变。
（ ） （3）在某段时间里，汽车速度越来越快。
（ ） （4）在某段时间里，汽车速度越来越慢。
（ ）
时间
速度
A
o
速度
D
速度
时间
C
速度
时间
B
o
o
o
2、描述一名跳水运动员从起跳到落水这一运动过程中，速度v 与时间t 之间关系的图象大致是（ ）
3、李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下修车，车修好后，因怕耽误时间，于是加快了车速．如用s 表示李明离家的距离，t 为时间．在下面给出的表示s 与t 的关系图6—41中，符合上述情况的是 ( ) 专题二、温度与时间的关系
1、夏天,一杯热水越来越凉，图中可表示这杯水的水温T 与时间t 的函数关系的是（ ）
2、气温与海拔高度有关，一般情况下，每升高1 km,气温下降6℃.某山地面温度为28℃，请写出气温t (℃)与高度h (km)之间的关系式：________.
专题三、高度（深度）与时间的变化
1、如图是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h 和时间t 之间的关系( )
A B C D
2、如图：向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定）注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的关系大致是下列图象中的（ ）
t
T
t
T
t
T
t T
(A)
(B)
(C)
(D)
O
O
V
ｔ
O
V O
V
ｔ
V
ｔ
3、（2013玉林）均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满．在注水过程中，水面高度h 随时间t 的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
专题四、数学与生活
1、某人用新充值的50元IC 卡打长途电话，按通话时间3分钟内收元，超过1分钟加收一元钱的方式缴纳话费.若通话时间为t 分钟（t 大于等于3分钟），那么电话费用w 可以表示为 ；当通话时间达到10分钟时，卡中所剩话费从50元减少到 元
2、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为 y(km)，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系，根据图像回答以下问题，
（1）、甲、乙两地之间的距离为 km
（2）、请解释图中B 点的意义: (3)、求慢车和快车的速度，
（4）、求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
x/h
y/km
D
C
B
A
900
12
4
O。
