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L_J 中考数学探索性问题的解法随着应试教育向素质教育的转轨，加强对学生各方面能力考察的题目成了近年来各省市中考试题中的热门问题，探索性问题便是其中一类应运血生的新题型, 这•类问题对培养学生的创造性思维、想象能力和探索能力有很大帮助。
探索性问题又可分为结论探索型和存在探索型两种。
一、结论探索型问题此类题型一般是在给定题设条件下探求结论，它要求学生在对题设条件或图形认真分析的基础上，进行归纳，大胆猜想，然后通过推理、计算获得结论。
例1、长方形的周长为24cm,面积为64cm2,则这样的长方体（）（A）有一个（B）有二个（C）有无数个（D）不存在a +b = 12解：设长方体的长为d,宽为b,贝U、址' = 64a> b可视为X2—12x+64=0的两个根•/ △二（一12） 2-4 X 64 = 144-256V0・.・该方程无实根即a、b不存在，因此选（D）a例2、在宽为a的纸带中剪出直径为a的圆5个，直径为5的圆10个，排列方法如图1,计算所用纸带长度，请考虑能否再设计一种排列方法，使所用纸带的长度比原排列方法节省原材料？ffll图2买•恩•收瓦潟暴圈3分析：通过图1观察易发现图中虚线部分具有典型性，为计算方便，取具有典型的部分（图2）进行分析，计算出结果。
易知，在等腰三角形ABC中，BC边上的高为AD,..a V2 a 今27+ 2 龙4 = 4a + — + — a 十一+ 2a = - a..•原排列方法使用纸带长为 2 2 4 4通过计算启发我们，如果把小圆分别插到大圆中，采用如下的排列方法，（如图3）这时纸带长为,a , 72 ° a ,3 ,9」、 3+18>/23 2 24 4 244- A = （6-4很）a a 0.344a可见改进后的排列方法比较合理例3、如图6、有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向点B、C、D、A移动。
【难点突破】着眼思路，方法点拨,疑难突破；1、解数式规律型问题的一般方法:1当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；2当数字是分数和整数结合时，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律；3当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的规律结合起来求得结果．数字循环类规律题就是几个数循环出现，解决此类问题时，一般是先求出前几个数，再观察其中隐含的规律，若和序号有关，则第n个数用含n 的式子表示，用n除以循环出现的数的个数，找出余数即可找到对应的结果．2、探索等式规律的一般步骤:1标序数；2对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数1，2，3，4，…，n之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；3根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验．3、根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考查形式：一类是点的坐标变换在直角坐标系中递推变化；另一类是点的坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化．解决这类问题可按如下步骤进行：1根据图形点坐标的变换特点确定属于哪一类；2根据图形的变换规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第M个点的坐标与变换次数之间的关系；3确定第一类点的坐标的方法：根据2中得到的倍分关系，得到第M个点的坐标；确定第二类点坐标的方法：先找出循环一周的变换次数，记为n，用M÷n＝ω……q0≤q ＜n，则第M次变换与每个循环中第q次变换相同，再根据2中得到的第M 个点的坐标与变换次数的关系，得到第M个点的坐标．4、对于求面积规律探索问题的一般步骤：1根据题意可得出第一次变换前图形的面积S；2通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍分关系；3根据找出的规律，即可求出第M次变换后图形的面积．5、找图形累加型变化规律的一般步骤:1写序号，记每组图形的序数为“1，2，3，…n”；2数图形个数，在图形数量变化时，要数出每组图形表示的个数；3寻找图形数量与序数n的关系，若当图形变化规律不明显时，可利用图示法，即针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差商来观察是否有恒等量的变化，然后按照定量变化推导出第n个图形的个数．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的值为2，那么我们要进行的第一次计算是进行偶数程序，结果输出的是1，返回进行第二次运算则按照奇数程序进行运算，输出的是6，…第2022次输出的结果为【解析】：按照数据运算程序设计进行计算发现，输出的结果分别是1，6，3，8，4，2，因此每六次运算程序一个循环，2022÷6=336---3，故第2022次输出恰好是第三次输出的结果，即为3【原创2】发现任意一个偶数减去其12，再减去余下的13，一直减去到余下的此偶数的倒数，结果为1验证（1）10减去其12，再减去余下的13，一直减去到余下的14，一直减到最后余下的110其结果等于几（2）设一个偶数2n，依次减去其12，再减去余下的14，一直减下去，一直减到最后余下的12n，结果等于几并验证发现的结论是否正确。
不成立，请说明理由；若成立，请给出证明。
中考数学复习专题］探索性问题：就是问题的条件或结论不直接给出，需要经过观察、分析、分类、推理、化归、特殊化、一般化、数形结合及猜想等一系列的探索活动，逐步确定要求的结论或条件.其命题方式主要有填空题、选择题和综合题, 其中以综合题为主.下面结合具体题目进行分析.1、条件探索型：总体思路是采用分析法，把结论看作已知进行逆推，探索结论成立需要的条件.【例1］点。
，五分别在线段A& AC上，战，C。
相交于点0, AE = AD?要使MABEd心,需添加一个条件是__________________ （只要写一个条件）・.【例4求出一个二次函数，使得当"I时，当“3时，＜0,当*5时吐0.【练习】1。
P（x,），）位于第二象限，并且y^x + 4（x, y为整数）写出符合上述条件的点P的坐标:.2.M,N,P, Q分别是四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，当四边形ABCD满足条件时，四边形MNPQ为矩形；23.关于工的方程/*姿+以+甘一2 = °,是否存在负数二使方程的两个实数根的倒数和为I?若存在，求出满足条件的负数占值，若不存在，清说明理由？2结论探索型：解这类探索题的总体思路是先假定结论存在，并以此进行推理.【例1】如图①，已知AB是。
的直径，AC是弦，直线CD切。
0于点C, AD1CD,垂足为 D.⑴求证：AC2=AB - AD；（2）若将直线CD向上平移，交。
于如G两点，其他条件不变，可得到图②所示的图形，试探索AG、AG、AB、AD之间的关系，并说明理由；（3）把直线CJ）继续向上平移，使弦CG与直径AB相交（交点不与A、B重合），其他条件不变，请你在图③ 中画出变化后的图形，标好字母，并试着写与（2）相应的结论，判断你的结论是否成立？若【例3 如图2-6-4所示，已知：直线m〃n, A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点・（1）请写出图2—6—4中，面积相等的各对三角形；理由是：（2）如图2-6-5所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2-6-6所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（2-6 —6中折线CDE）还保留着；张大爷想过E点修一•条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）・（1）写出设计方案.并画出相应的图形；（2）说明方案设计理由.【练习】（1）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：（2）请你写一个先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解的结果（3）已知E、F为平行四边形ABCD对角线DB的三等分点，连结AE并延长交CD于P,连结PF并延长交AB于Q.猜测AQ、BQ间的关系是.猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？入存在性探索型【例1】如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在尤轴上，点C在），轴上，将边时折叠，使点B落在边 04的点。
例析中考数学中的规律探索性试题浙江袁亚平《新课程标准》指出，数学学习不仅包括数学的一些现成结果，还要包括这些结果的形成过程.规律探究型问题，正是新课程理念下培养学生观察、实验、操作、归纳、猜想，发展学生的直觉思维能力和合情推理能力的好材料，它不仅可以考查学生发现问题、自主探究、解决问题等综合能力，暴露学生在解题过程中的思维品质；还能反馈学生对数学思想方法的掌握情况，较直观的反映出学生的数学素养，体现了素质教育的要求.因此，规律探索性问题成了近几年中考数学试题的热点，本文例举2005年中考数学中的规律探究型试题加以归类简析，供参考. 一、数式的规律探索例1.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据—......中得到巴尔末公式，从 5 12 21 32而打开了光谱奥妙的大门.请你按这种规律写出第七个数据是.简析：本题以光谱数据为背景，向学生渗透了光谱理论的知识，体现了数学试题的教育功能.解题的关键是从特殊数据中探求这一系列分数的变化规律，经观察分子都是完全平方数, 第n项的分子是(〃 +2)二然后比较分母与分子的关系，可以发现分母比分子小4,所以光谱数据可表示为：......由此可以推断：32 -4 42 -4 52 -4 62 -4第7个数是92 _ 8192-4-77 .例2.有若干个数，依次记为若心-?，从第2个数起，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，则缶0()5 =.1 2简析：根据题目对。
〃的定义，可求得角=—=一，向十; 3-J__31 ----3a4 =-^—=--, ……,通过观察、归纳、猜想、合情推理可知a1,a2,a3,---,a n中3个循1— 3 2环一次，因此可得a2005 =-|.本题考查了倒数的概念、实数的运算等基础知识和对数学语言的阅读理解能力、推理能力等.r2I2 1例3.如果记y=^-^ = f (x),并且/■⑴表示当x = l时y的值，即=简析：本题把y =三成记作f(%)-向学生渗透了高中数学中的函数表达方式.解题时在 1 + X 理解/'(X )的基础上，通过对特殊情况下f(x)的计算、观察、归纳、猜想可得f(k) + f= l(k 表示正整 + + + - + =考查了学生对整体思想的运用. 练习：1 3 7 13 211. 一组按规律排列的数：j ，j ，£，衰，亲，•… 请你推断第9个数是.2, 已知：1+2+1=4=22, 1+2+3+2+1=9=32, 1+2+3+4+3+2+1 = 16=42,那么 1+2+3+...+(〃 — 1) + 〃 + (〃 +1) +...+3+2+1 =.(用含 n 的代数式表示) 二、数列的规律探索 例 4.下面是一个有规律排列的数表：第1列第2列第3列第4列第5列 第〃列第1行X1 1. 1 1. ]，2 *3 *4 , 5， 1…， —» 第2行 22 2 2 21 *2 '3 ,4 *5 * …，2, n第3行 3. -1 A A ]' 2'T*T**5 ,3 n上面数表中第9行，第7列的数是.简析：根据数表中反映的规律：每个数的分子与行数相同，分母与列数相同，故第9行，第 97列的数是7例4.如图1是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a 、b 、c 、d 是相邻两行的前四个数 (如图1所示).那么当a = 8时，c -. d = .表示当x=—时y 的值，2If ⑴+f ⑵+f + /(3)+ /(结5+ ••• + /(») + /2 23 4 347 7 4511 14 11 5a b(ffil )简析：本题是以我国古代的杨辉三角为背景的规律探索型试题，考查了学生对类比方法的运用.解题时，根据数列的排列规律，类比杨辉三角中数的变化规律，经观察、归纳、推理知每行的第一个数及最后一个数与行数相同，而其他数分别是上面两个数的和（如图2）,因此，当a = 8时，则b =29,所以，c=9, d =37.练习：已知一列数:1,—2, 3,—4, 5, —6,7,...将这列数排成下列形式第1行1第2行-23第3行-45-6第4行7-89-10第5行11-1213-1415按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于4.观察下列数表：1234.. 第一行2345.. 第二行3456...第三行4567....第四行第第第第一二三四列列列列根据表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为,第n行（n 为正整数）与第n列的交叉点上的数应为.二、图案的规律探索例5.用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子枚（用含有n的代数式表示）OOO) OOOOOOOOOOOOOOOO(第轮)OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO（第n个）1简析：本题用黑白棋子摆设如正方形图案，情境自然亲切，一定程度上激发了学生的解题欲望.解题的关键是通过对特殊情形的观察、归纳、推理得：第n个图案中，总的棋子为（〃+2）2枚，黑棋子为疽枚，故第n个图案需要用白色棋子为（〃 + 2）2一疽=4〃 + 4枚.例6.观察下面图形我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形, 第3个图中共有14个正方形，按照这种规律下去的第5个图形共有个正方形.笫1个图第2个匡耘不园简析:本题是以数正方形个数为载体的计数问题，解题的关键是找到正方形个数的变化规律, 计数时做到不重复又不能遗漏，考查了学生分类讨论的数学思想.第1个图中1个正方形；第2个图中有1个大正方形和4个小正方形，即5 = 1+4；第3个图中有1个大正方形和4个由4个小正方形组成的正方形和9个小正方形，即14=1+4+9,由此得出第n个图中正方形的个数为f+22+32 + ... +疽，故第5个图形共有55个.练习：5.如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个,在图3中，互不重叠的三角形共有10个，......，则在第〃.个图形中，互不重叠的三角形共有个（用含〃.的代数式表示）.四、几何图形性质的规律探索例7. 如图，△ABC 中，ZACB = 90°, ZB = 30°, AC=1,过点 C 作CD l± AB于过点。
中考数学规律探索性问题复习本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址课件www.5y 中考数学专题复习（一）：规律探索性问题一、课标要求.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2.反演推理法，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．二、课前热身．观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（）A．B．c．D．2．把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。
那么XX，XX，XX，XX这四个数中______________可能是剪出的纸片数。
3．有一列数…，那么第7个数是．4．如图，在△ABc中，∠A＝．∠ABc与∠AcD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1Bc与∠A1cD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠AXXBc与∠AXXcD的平分线相交于点AXX，得∠AXX．∠AXX＝．三．典型例题例1．观察算式：；；；…………则第（是正整数）个等式为________.例2．（XX年益阳市）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第个图案中由个基础图形组成．-例3．如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n块纸板的周长为Pn，则Pn－Pn-1=.四、练习．观察下面的一列单项式：，，，，…根据你发现的规律，第7个单项式为；第个单项式为2．观察下列一组数：，，，，……，它们是按一定规律排列的．那么这一组数的第k个数是．4已知，记，，…，，则通过计算推测出的表达式＝_______．五、课外作业．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是．2．如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：⑴第4个图案中有白色纸片___________张；⑵第n个图案台有白色纸片___________张．3．如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________4．一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n≥1）个数据是___________．5．观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第个图中最小的三角形的个数有个．6．如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n幅图中共有个．7．观察图中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是______________．8．如图，A1A2B是直角三角形，且A1A2＝A2B＝a，A2A3⊥A1B，垂足为A3，A3A4⊥A2B，垂足为A4，A4A5⊥A3B，垂足为A5，……，An＋1An＋2⊥AnB，垂足为An＋2，则线段An＋1An＋2的长为（）．（A）（B）（c）（D）9．如图所示，直线y＝x＋1与y轴相交于点A1，以oA1为边作正方形oA1B1c1，记作第一个正方形；然后延长c1B1与直线y＝x＋1相交于点A2，再以c1A2为边作正方形c1A2B2c2，记作第二个正方形；同样延长c2B2与直线y＝x ＋1相交于点A3，再以c2A3为边作正方形c2A3B3c3，记作第三个正方形；…依此类推，则第个正方形的边长为________________．0．学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长cm，其一个内角为60°．（1）若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；（2）当d＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？11.如图所示，已知：点，，在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…，则第个等边三角形的边长等于．2．如图，AD是⊙o的直径．如图①，垂直于AD的两条弦B1c1，B2c2把圆周4等分，则∠B1的度数是，∠B2的度数是；如图②，垂直于AD的三条弦B1c1，B2c2，B3c3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；如图③，垂直于AD的n条弦B1c1，B2c2，B3c3，…，Bncn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数．13.如图所示，在△ABc中，D、E分别是AB、Ac上的点，DE∥Bc，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、cE分别延长至m、N，使Dm＝BD，EN ＝cE，得到图③，请解答下列问题：若AB＝Ac，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与cE的数量关系是________________；②在图③中，猜想Am与AN的数量关系、∠mAN与∠BAc 的数量关系，并证明你的猜想；若AB＝k•Ac，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：Am与AN的数量关系、∠mAN与∠BAc的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．课件www.5y 。
中考数学热点题型一一规律探索篇新课程标准要求学生，能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.为适应新的教学理念及社会和谐发展的需要，兼具双重性质考试的中考，既要考查三基，乂要考查数学应用能力，考杏和测试继续学习和深造的潜在的能力，即学习潜力，为高一级学校输送合格的新生.近儿年来出现了颇具新意的观察探索归纳猜想类型题，以数学概念及数学思想方法为载体，考杏潜能的创新题脱颖而出.为了方便同学们搞好后期的中考复习，现以2007年全国部分省市的中考试题为例说明如下：一、从数的运算中探索规律例1(广西河池课改试题)古希腊数学家把1, 3, 6, 10, 15, 21,……,叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为.分析观察这一,组数有以下特征：1 = L(F+1), 3 = - (22+2), 6=-(32+3), 10 =2 2 2-(42+4)，15=-(52+5), 21 =上(62+6),……由此可以猜想第100个三角形数和第98个三2 2 2角形数的大小，即可求解.解因为1 = -(12+1), 3=-(22+2), 6=-(32+3), 10=-(42+4), 15=-(52+5), 212 2 2 2 21 ,=—(6~+6), ........... ,2所以第98个这样的三角形数是-(982+98),第100个这样的三角形数是-(1002+100),2 2即第100个三角形数与第98个三角形数的差为1(1002+100)—上(982+98)=上(100」22 2982+100 - 98)=-(I98X 2+2)= 199.故应填199.2说明同学们通过求解这道中考题，感觉一定不错吧！在数学解题中，只要我们认真地去分析题目的本质特征，找到其中隐藏的规律，求解起来还是十分地方便快捷.二、从式的运算中探索规律X3X5X7计例2 (杭州市)给定下面一列分式：—,,…，(其中A-^0)y )广y3y4(1)把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？(2)根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式.分析(1)后一个分式除以前面一个分式其结果都是负的，并且是一个恒定的代数式，(2)观察2知的一列分式可知分式的分母的指数依次增加1,分子的指数是分母指数的2 倍加1,并且分母的指数是偶数的分式带有“一"号.5 3 7 5 9 7 2解(1)因为—二！七=、！(—二)=一与m—%)=••・=—^，y y y y y y )‘所以任意一个分式除以前而一个分式的规律是恒等于一—.y再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、 ④.相应矩形的周长如卜-表和如图所示：序号 ① ②③ ④| 周长 6 10 16 26 | 若按此规律继续作矩形,分析由数据1，1，2,③ 图2 则序号为⑩的矩形周长是3, 5, 8, 13,…的规律可知矩形①、②、③、④、……的相应的长分别为 2=1 + 1, 3=1+2, 5 = 2+3, 8 = 3+5,…，89 = 34+55, 144 = 55+89, 233 = 89+144,…，相应的宽分别为1, 1 + 1, 1+2, 2+3, 3+5,…, 由此可以获解. 解依题意，得序号为⑩的矩形的宽为34+55 = 89,长为 矩形周长是（89+144）X2 = 233X2=466.故应填上466. 说明求解本题的关键一要正确理解1, 1, 2, 3, 5, 8,21+34, 34+55, 55+89,…. 55+89=144,所以号为⑩的 13,…的规律，二是以这组（2）因为已知的一列分式可知分式的分母的指数依次增加1,分子的指数是分母指数X 15的2倍加1,并且分母的指数是偶数的分式带有“一”号，所以第7个分式应该是二.V .说明 求解此类中考试题除了要利用基础知识外，还要认真地分析每一•个式子的特点, 及时地发现、归纳出一般规律.三、从图形特征中探索规律例3 （温州市）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和.现以 这组数中的各个数作为正方形的长度构造如图1正方形：数中的各个数作为正方形的长度构造正方形的意义，三是要弄清楚分别依次从左到右取2 个、3个、4个、5个正方形拼成矩形的长和宽分别是多少.5 1 1 ④ ① 图3 ②（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征.特征1：;特征2： .（2）请在图3②中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征.分析通过观察每一个图案的特征可以发现:它们既是轴对称图案,乂是中心对称图案, 并且面积相等，都等于4个单位等等.由此可以再仿照设计很多的图案.解（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的而积都等于4个单位面积；等等.（2）满足条件的图形有很多，即答案不惟一.如，如图4所示.说明本题是一道开放型试题，求解时只要符合题意即可，另外，在平时的学习生活中五、从阅读理解中探索规律例5 （乐山市）如图5,在直角坐标系中，已知点R）的坐标为（1, 0）,将线段OP。
中考数学专题讲座探索性问题概述：探索性题目一般作为压轴题或次压轴题出现，题目较难，难在结论不肯定，要通过探索证明或计算，得出结论，并给予肯定或否定回答：这种题目的结论有多样性，需要解题的周密考虑，解这种题目有两种方法：一种是假定结论成立，去证明它的可能性或存在性；另一种是从条件出发直接证明或计算回答存在或不存在.典型例题精析例1.如图1,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其而积分别用S】、S2、S3表示，则不难证明Si=S2+S3.（1）如图2所示，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用Si、S?、S3表示，那么Si、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）（2）如图3所示，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用Si、S2、S3表示，请你确定$、S2、S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其而积分别为S|、S2、S3表示，使Si、S?、S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？并证明你的结论；（4）类比（1）、（2）、（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论.解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,则c2=a2+b2.(1)S|二S2+S3;(2)S]=S2+S3，证明如下:显然:Si寻,(也可用三角形相似证明)(3)当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3.证明如下:.Sc + S3 ci~ 4- b~ ]S| c2S|=S2+S3-(4)分别以直角三角形ABC的三边为一边向外作相似图形，其而积分别用Si、S2> S3 表示，则S]=S2+S3・例2.如图1,。
0|和002外切于P, AB是OO1和002的公切线，A、B是切点，直线AP、BP分别交©02, OOi 于F、E.(1)求证：AE、BF分别为(DO】、(DO?的直径；(2)求证：AB2=AEBF；(3)如图2,当图1中的切点P变为两圆一个交点时，结论AB2=AE BF还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.分析：(1)即证ZAPE二ZBPF二90°,过P作二圆公切线，可证明.(2)证明△ ABE^ABFA 可得.(3)同样可证厶ABE^ABFA.AZE=ZBAF, ZF=ZABE.中考样题训练1.如图，在直角坐标系中，0是原点，A、13、C三点的坐标分别为A (18, 0) , B (18,6) , C (8, 6),四边形0ABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别作饼速运动，其中点P 沿0A向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终S| c点时，另一点也停止运动.（1）求出直线0C的解析式及经过0、A、C三点的抛物线的解析式.（2）试在（1）中的抛物线上找一点D,使得以0、A、D为顶点的三角形与全等，请直接写出点D的坐标.（3）设从出发起运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围.（4）设从出发起，运动了t秒钟，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出I的值; 如不可能，请说明理由.2.如图，（DO?与的弦I3C切于C点，两圆的另一个交点为D,动点A在00,±,直线AD与（DO?交于点E,与直线BC交于点F.（1）如图1,当点A在CD上时，求证:①△FDC'S^FCE；②AB〃EC；(2)如图2,当点A在BD上时，是否仍有AI3〃EC?请证明你的结论.3.如图，OA和是外离两圆，©A半径长为2, OB的半径长为1, AB二4, P为连结两圆圆心的线段AB上的一点，PC切OA于点C, PD切OB于点D.(1)若PC二PD,求PB的长;(2)试问线段AB上是否存在一点P,使PC+PD二4?如果存在，问这样的卩点有几个；并求出PB的值；如果不存在，说明理由；(3)当点P在线段AB上运动到某处，使PC丄PD时，就有△ APC-APBD,请问：除上述情况外，当点卩在线段AB上运动到何处(说明叩的长为多少；或卩C、PD具有何种关系) 时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与的位置关系，证明你的结论.4.三月三，放风筝，图中是小明制作的风筝，他根据DE二DF, EII=FH,不用度量，就知道ZDEH二ZDFH .请你用所学知识给予证明.D考前热身训练1.填空题（1）观察下列等式，你会发现什么规律？3X5=15,而15=41 2 3 4-1,5X7二35,而35二6「1,・・・11X13=143,而143=12-1,…（2）如图，以△ABC的边AB为直径作00交BC于D,过00的切线交AC于E,使得DE丄AC,贝IJA ABC的边必须满足的是.2.己知反比例函数y二土（kHO）和一次函数y=-x+8.x2若一次函数和反比例函数的图象交于点（4, m）,求m和k；3k满足什么条件时，这两个函数图象有两个不同的交点？4设（2）中的两个交点为A、B,试判定ZAOB是锐角还是钝角？3.如图，在直角坐标系xOy屮，以点A （0, -3）为圆心作圆与x轴相切，与OA外切于点P, B点在x轴正半轴上，过P点作两圆的公切线DP交y轴于D,交x轴于C.将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来D作条件B2（1）设OA的半径为门，OB的半径为H，且r2=-r.,求公切线DP的长及直线DP的函3数解析式；（2）若OA的位置大小不变，点B在x轴正半轴上移动，OB与OA始终外切，过D作（D B的切线DE, E为切点，当DE二4时，B点在什么位置？从解答中能发现什么？答案：中考样题看台1.(1) y=— x.4・ 3 2 27..y=- — x2+ — x40 20(2) D (10, 6)3 3(3)当Q在0C上运动吋，可设Q (m, -m),依题意有：m2+ (-m2) = (2t) 2.4 4 88 8 6m—— t., Q ( — t, — t) , (0WtW5)5 5 5当Q在BC上时，Q点所走过的路程为2t・V0C=10, ・・・CQ二2t-10,・・・Q点在横坐标为2t-10+8二2t-2,・・・Q (2t-2, 6) (5<tW10).(4)I梯形OABC的周长为44,当Q点在0C上，P运动的路程为t,则Q运动的路程为(22-t)3△OPQ中,0P边上的高为:(22-t) X依题意有：—t (22-t)2 整理得：12-22t+140=0. ・・・这样的t 不存在.当Q 在BC 上时，Q 走过的路程为22-1, ・・・CQ 的长为：22-t-10=12-t,・・・S 梯形OCQP =—X6 (22-t-10+t)二36H84X — ,2 2・•・这样的t 值也不存在.综上所述，不存在这样的t 值，使得直线PQ 同时平分梯形的周长和面积.2.(1)①・.・BC 切(DO?于C,・・・ZECF 二ZCDF,又ZF=ZF, /.AFDC^AFCE.② 又 V ZADC-ZABC, ZECF 二ZCDF,AZABC=ZECF, AAB^EC(2)有 AB//EC,证明：・.・BC 切 OO?于 C, A ZBCE=ZD,又 VABCD 内接于 OOp /.ZABF=ZD, /. ZBCE=ZABF, A ABEC3.(1) TPC 切OA 于点 C,・・・PC 丄AC, PC 2=PA 2-AC 2,同理 PD 2=PB 2-BD 2,TPOPD, /.PC 2- AC 2=PB 2-BD 2,设 PB=x, PA 二4-x 代入得 x 2-l= (4-x) 2-22,13 13 1319 解得x=—, 1<—<2,即PB 的长为亠(PA 长为—>2).8 8 88(2)假定有在一点P 使PC 2+PD 2=4,设PB 二x,则 PD 2=X 2-1, PC 2= (4-X ) 2-22,代入条件得(4-x) 2-22+x 2-l=4,解得 x=2± —,2•・・P 在两圆间的圆外部分,・・・1<PB<2,即l<x<2,满足条件的P 点只有一个,这时PB 二2-4513 1S ZSOPQ =—t (22~t) X — , S 梯形 OABC 二—(180+10) X 6-84.2 5 23 (1)X — —84 X —,52AA=222-4X140<0,(3)当PC： PD二2： 1 或PB二一时，也有△ PCA^APDB,3Ar 7 PC AP这时，在APCA与APUB中—= - = —(或仝匚)ZC=ZD-RtZ,BD 1 PD BPAAPCA^APDB, AZBPD=ZAPC=ZBPE (E 在CP 的延长线上),AB点在ZDPE的角平分线上，B到PD与PE的距离相等,VOB与PD相切,AOB也与CP的延长线PE相切.4.证明：连结DH在△。
教案：中考专题复习一规律探索型问题教学目标：通过观察、猜想、证明等数学活动，经历数学建模的过程。
体会从特殊到一般，再由一般到特殊的数学思想。
培养学生的观察问题、分析问题、解决问题的能力。
教学重点：灵活运用知识，结合数式或图形特点来探寻问题的一般规律。
教学难点：有具体的问题情境选择合适的方法解决问题。
教学过程：一例题精讲1、已知一列数2, 8, 26, 80,…，按此规律，则第n个数是 (用含n的代数式表示)o2、将自然数按以下规律排列:第一列第二列第三列第四列第五列第一行1451617第二行23615・・・第三行98714・・・第四行10111213・・・第五行・・・表中数2在第二行第一列，与有序数对(2, 1)对应，数5与(1,3)对应，数14与(3, 4)对应，根据这一规律，数2014对应的有序数对为3、如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2014个图形是AADDDAOODDDAOO-二、巩固练习4、甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1,乙报2,丙报3,再甲报4,乙报5,丙报6,…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分.当报数结束时甲同学的得分是分.5、设al, a2,…，a2014是从1, 0, — 1这三个数中取值的一列数, 若al+a2 ——a2014 = 69, (al + l)2+ (a2 + l)2 ——H (a2014+l)2 = 4001,则al, a2,…，a2014中为0的个数是【点评】本题解题的关键是对给出的式子进行正确的变形.6、如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有三、掌握方法、规律小结7、如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2 个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由个圆组成.探索数量规律题可以检验同学们观察图形的变化规律，并从中找出其数量关系的能力，由于没有现成的公式、定理可以套用，对初中生而言，有一定的难度.但只要了解一些数列的有关知识，加上一些常用的分析方法，解决这类问题也是比较容易的首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案.观察分析可得：第1个图有1个圆；第2个图由7个圆组成，7 = 1 + 6；第3个图由19个圆组成，19=1 + 6 + 2X6；……故第9 个图由 1 + 6 + 2X6 + 3X6 ——8X6 = l+（l + 2 + 3 ——8） X6 = 217（个）圆组成.答题思路第一步：审题，仔细观察图形并找到相应的规律；第二步：化形为数，相当于找出数列的前若干项；第三步：考察相邻两项的差异，再根据这些项或项中某些部分（如分子、分母，整数、分数等）构成何种数列；第四步：按题中要求写出某一项的结果或某些项的和•能找到前三项，就能求出任一项；另外，有些图形或数的出现是循环出现或按某种规律反复出现等，就需要具体问题具体分析了；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤.。
中考数学复习考点解密第三讲规律探索性问题【专题诠释】规律探索型题是根据已知条件或题T•所提供的若T•特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。
这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。
其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。
所以规律探索型问题备受命题专家的青睞，逐渐成为中考数学的热门考题。
|【解题策略】I规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.【解法精讲】它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空、选择或解答.【考点精讲】考点一:通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。
例1. (2017内江)观察下列等式：第个筹式：=U3X2+2X 22 2+1 ~22H第二个等式："l+SX 2^2X(22)2 *22*1 23H第三个等式： 1 1a323^2X(23)2 *23*1 24H第四个等式：24 1 1^H-SX "z4+l 2®H按上述规律，回答下列问题：（2）用含n 的代数式表示第n 个等式:喩E f 宁云（3） 时葩+斫（得出最简结果）;(4)计算：ai+a 2+•••+a n .【考点】37：规律型：数字的变化类.【分析】（1）根据已知4个等式可得;利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得;【解答】解：⑴rh 题意知，斫看走而产丙_尹亍(2) 根据已知等式得出答案;(3) (4) 根据己知等式规律，列项相消求解可得.故答案为： -------- 3 --------- g~ R3X 2%2X(2B ) 27+12n 1 [l«x 2n t2X (211)2 2n H 2^+1乂合杀为 H3X 2tt t2X(2n )2 2n +l 2^1+1（3）原式二莎 林応_ 1 _1_14故答案为：孕*;22H * 22+1 23+l * 2j +l 24+l * 24+l 2B 41 ' 2B +1⑷原式二页_ 1 1 2H2n +l2叫23（2^+1）考点二；点阵变化规律在这类有关点阵规律中，我们需要根据点的个数，确定下一个图中哪些部分发生了变化, 变化的的规律是什么，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点.例2：（2017内蒙古赤峰）在平面直角坐标系中，点P （x, y）经过某种变换后得到点P' （・y+l, x+2）,我们把点P'（・y+l, x+2）叫做点P （x, y）的终结点.己知点Pi的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4,这样依次得到P】、P2、卩3、P"…几、…，若点Pl的坐标为（2, 0）,则点P2曲的坐标为（2, 0）.【考点】D2：规律型：点的坐标.【分析】求得点P2、P3、Pl. P5的值，即可发现其中规律，即可解题.【解答】解：B坐标为（2, 0）,则P2坐标为（1, 4）, P3坐标为（-3, 3）, Pl坐标为（-2,・1）,巳坐标为（2, 0）,・•・代的坐标为（2, 0）, （1, 4）,（・3, 3）,（・2,・1）循环，72017=2016+1=4X504+1,A P201?坐标与Pl点重合，故答案为（2, 0）.考点三：图形生长变化规律探索图形生长的变化规律的题目常受到小考命题人的青睐，其原因是简单、直观、易懂. 从一些基本图形开始，按照生长的规律，变化出一系列有趣而美丽的图形.因此也引起了应试人的兴趣,努力揭示内在的奥秘，从而使问题规律清晰，易于找出它的一般性结论.例3 （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线1的函数表达式为尸x,点E的坐标为（1, 0）,以。
为圆心，OQ为半径画圆，交直线1于点R,交x轴正半轴于点02,以02为圆心，0?0为半径画圆，交直线1于点卩2，交X轴正半轴于点。
3，以。
3为圆心，OQ为半径画圆，交直线1于点P：”交X轴正半轴于点…按此做法进行下去，其中臥的长为22015 n..J4P,【考点】MN：弧长的计算；F8：一次函数图象上点的坐标特征.【分析】连接P.O., p2o2, P3O3,易求得rvv垂直于x轴，可得酉匚为+圆的周长，再找出圆半径的规律即可解题.【解答】解：连接PO, P2O2, PG…•••Pi 是©02±的点，.•.p,o,=oo,,•・•直线1解析式为y二x,AZP I00F45O,•••△pm为等腰直角三角形,即PQ丄x轴，同理，卩：0：垂直于X轴,・・・不二为+圆的周长，°・•以01为圆心，0|0为半径画圆，交X轴正半轴于点。
2,以。
2为圆心，。
2（）为半径画圆，交X 轴正半轴于点6,以此类推，・・・00“二2"二当n=2017 时，=22015 n.故答案为22015 n.点评：观察图形，即可发现这些图中，每一个图中的所有的圆而积和都相等.考点四：与坐标有关规律这类问题把点的坐标与数字规律有机的联系在一起，加大了找规律的难度，点的坐标不仅要考虑数值的大小，还要考虑不同象限的坐标的符号。
最后用门把第门个点的坐标表示出来。
例4：（2017内蒙古赤峰）在平而直角坐标系中，点P （x, y）经过某种变换后得到点P'（・ y+1,x+2）,我们把点P' （ -y+1, x+2）叫做点P （x, y）的终结点.己知点P】的终结点为匕, 点P2的终结点为P3,点Ps的终结点为已，这样依次得到Pi、P2、P3、Pt、…氏、…，若点R的坐标为（2, 0）,则点P237的坐标为（2, 0）.【考点】D2：规律型：点的坐标.【分析】求得点D、P“、巴的值，即可发现其中规律，即可解题.【解答】解：P.坐标为（2, 0）,则P坐标为（1, 4）,匕坐标为（-3, 3）, Pi坐标为（-2,-1）, Ps坐标为（2, 0）,・・・Pn的坐标为（2, 0）, （1, 4）, （ -3, 3）, （-2, -1）循环，・.・ 2017 二2016+1=4X504+1,卩2017坐标与P1点重合,故答案为（2, 0）.考点五：循环排列规律循环排列规律是运动着的规律，我们只要根据题H的已知部分分析出图案或数据每隔几个图案就会循环岀现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可。
（2016 •山东省荷泽市・3分）如图，一段抛物线：y=-x （x-2）（0WxW2）记为G,它与x轴交于两点0, A1；将Ci绕A】旋转180°得到C?,交x轴于A2；将C?绕A?旋转180°得到Cj 交x轴于觴…如此进行下去，直至得到G，若点P（ll, m）在第6段抛物线Co上，则m二-【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与X轴的交点.【专题】规律型.【分析】将这段抛物线G通过配方法求出顶点坐标及抛物线与X轴的交点，由旋转的性质可以知道G与C2的顶点到X轴的距离相等，且OA1=A1A2,照此类推可以推导知道点P (11, m) 为抛物线G的顶点，从而得到结果.【解答】解：Ty二・x (x-2) (0WxW2),・•・配方可得尸・(x・l) 2+1 (0WxW2),・•・顶点坐标为(1, 1),・・・儿坐标为(2, 0)・・工2由G旋转得到，.-.0A1=A,A2,即C2顶点坐标为(3, - 1) , A2 (4, 0)；照此类推可得，C3顶点坐标为(5, 1) , A3 (6, 0)；匕顶点坐标为(7, - 1) , A.1 (8, 0)；C5顶点坐标为(9, 1) , As (10, 0)；Ce顶点坐标为(11, - 1) , A6 (12, 0):m= - 1.故答案为：~ 1.【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标.考点六：高中知识衔接型一一数列求和本题通过材料來探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算.本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求例题6：(2017贵州)我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和(a+b) 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角” •根据“杨辉三角”请计算(a+b) 2。
的展开式中第三项的系数为( ) A. 2017 B. 2016 C. 191 D. 190【考点】4C ：完全平方公式.【分析】根据图形中的规律即可求出(a+b) 2。
的展开式中第三项的系数；【解答】解:找规律发现(&+b)'的第三项系数为3=1+2；(a+b) 4的第三项系数为6二1+2+3：(a+b) 5的第三项系数为10=1+2+3+4； 不难发现(a+b)的第三项系数为1+2+3+…+ (n - 2) + (n - 1),・•・(a+b) 20第三项系数为1+2+3+・・・+20二190,故选D.点评：.如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错.而 这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而 较为轻松地解决问题.四•真题演练1. (2017日照)观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a 的值为【考点】37：规律型：数字的变化类.【分析】由图可知：上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，上边的数为连续的奇数,E1 2A. 23 B- 75 C. 77 D. 139（2017滨州）观察下列各式: 2 _1 1X31左边的数为么，22, 23,・・・2°,由此可得a, b.【解答】解：•・•上边的数为连续的奇数1, 3, 5, 7, 9, 11,左边的数为2‘，22, 23,…，・・・b二2°二64,・・•上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，/.a=l1+64=75,故选B.2. （2017山东临沂）将一些相同的“O”按如图所示摆放，观察每个图形中的“O”的个数, 若第门个图形中“O”的个数是78,则门的值是（）OO O OO oo o o oo o o o o o o o o o第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形A. 11B.12C. 13D. 14【分析】根据小圆个数变化规律进而表示岀第门个图形中小圆的个数，进而得岀答案. 【解答】解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1+2二3个小圆；第3个图形有1+2+3二6个小圆；第4个图形有1+2+3+4=10个小圆；第n个图形有1+2+3+…+n也也丄个小圆；2・・•第门个图形中“O”的个数是78,• 78_n（n+l）…2~，解得:m=12, n z=-13 （不合题意舍去）,故选：B.【点评】此题主要考查了图形变化类，正确得出小圆个数变化规律是解题关键.3.请利用你所得结论，化简代数式：承+盘+孟+•••+為（心3且n为整数），其结尉【考点】6B：分式的加减法.【分析】根据所列的等式找到规律諾矿寺（土為），由此计算爲+点+磊…+誌^的值.【解答】解：•，為十春・2二1 （丄1 .* n（nF2） 2 n rrt2.・._1…+_1—+—1—+.・・+_7 1一亍二丄（1 -丄+丄-丄+丄-2+...+J. —）二丄（1 ——）1X3 2X4 3XS n（nfr2） 2 3 2 4 3 5 n irf2 2 nt2nfl2（x^i）故答案是：般尸4.（2017齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形0AA的直角边0几在y轴的正半轴上，且OA F A.A^I,以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形0A2Aa,以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形0AA,…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2onA2o18,则点A257的坐标为(0, (/fl) 20,6)或(0, 21008)【考点】02：规律型：点的坐标.【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OA.=1, OA2*, OAs= （ V2）駡…，OA2O H=（V2）20，G, 再利用A】、A2、A3、…，每8个一循环,再回到y轴的正半轴的特点可得到点A?曲在y轴的正半轴上，即可确定点A2申的坐标.【解答】解：•・•等腰直角三角形0AA的直角边0入在y轴的正半轴上，且OZAA二1,以0八2 为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3,以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OAA,…, AOA F I, OA2二五，OA3= （X/E）2,…，OA2O17=（V2）201%・・・乩、A?、A3、…，每8个一循环，再回到y轴的正半轴，20174-8=252-1,・••点A20I7在第一象限,VOA2O17=（V2）2016,・••点A2017的坐标为（o,（Va>20,6）即（o, 21008）.故答案为（0,（闻）20,6）或（0, 2,00S）.5.（2017山东滨州）根据要求,解答下列问题:①方程x2 - 2x+l二0的解为Xi二X2二1 ；②方程x2- 3x+2二0的解为XF I, X2二2 ；③方程x2 - 4x+3二0的解为XL I, X2二3 ；（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2 - 9x+8二0的解为1、8 ；②关于x的方程X’- （1+门）x+n=O的解为xi=l, x2=n.（3）请用配方法解方程X2-9X+8=0,以验证猜想结论的正确性.【考点】A6：解一元二次方程■配方法；A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程■因式分解法. 【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程X?・9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x 尸1, x2=n,则此一元二次方程的二次项系数为1,则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和1】的积.（3）利用配方法解方程x2- 9x+8=0可判断猜想结论的正确.【解答】解：（1）①（X- 1） 2二0,解得X产X2二1,即方程X2-2X+1=0的解为XLX2二1,;②（x・l）（x・2）=0,解得XL1, X2二2,所以方程/ - 3x+2二0的解为x尸1, x2=2,；③（x - 1）（x ・ 3） =0,解得Xi=l, X2=3,方程x，・ 4x+3二0 的解为Xi=l, x2=3；（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2 - 9x+8=0的解为XF I,X2二&②关于x的方程X? - （1+n） x+n=0的解为Xi=l, x2=n.（3） x z - 9x=・8,2 ~2所以Xi=l, X2二8；所以猜想正确.故答案为X1=X2=1: X1=1, X2二2； X1=1, X2二3； X2 - （ 1 +n） x+n二0；6.（2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1, AC, BD是四边形ABCD的对角线，若ZACB= ZACD= ZABD= ZADB-60°,则线段BC, CD, AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2,延长CB到E,使BE二CD,连接AE,证得△ ABE^AADC,从而容易证明AACE是等边三角形，故AC=CE,所以AC二BC+CD.小亮展示了另一种正确的思路：如图3,将AABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合, 从而容易证明AACF是等边三角形，故AC二CF,所以AC二BC+CD.在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图4,如果把ZACB=ZACD=ZABD=ZADB=60° "改为“ZACB二ZACD二Z ABD-ZADB=45°” ,其它条件不变，那么线段BC, CD, AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明.(2)小华提出：如图5,如果把ZACB=ZACD=ZABD=ZADB=60°” 改为“ZACB二ZACD二Z ABD-ZADB=a ",其它条件不变，那么线段BC, CD, AC三者之间有何等量关系？针对小华提岀的问题，请你写岀结论，不用证明.【分析】(1)先判断出ZADE=ZABC,即可得出AACE是等腰三角形，再得出ZAEC二45。
