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应用一元二次方程

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应用一元二次方程 姓名：
一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：仔细阅读题目，分析题意，明确已知量与未知量；
（2）找等量关系：寻找已知量和未知量之间的联系，用运算符号和等号连接；
（3）设未知数：一类是直接设所求的量为x ，另一类是间接设与所求的量紧密相关且起着关键性作用的量为x ，注意设未知数要带单位；
（4）列方程：用含有x 的代数式把等量关系中的各个量表示出来，列出方程；
（5）解方程：选择合适的方法解方程；
（6）检验：检验方程的根是否符合题意，舍去不符合题意的根；
（7）写出答案：书写答案，还要注意不要遗漏单位名称.
提示：（1）在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其中一个用字母x 表示，然后根
据各量之间的数量关系，将其他几个未知量用含x 的代数式表示出来.
（2）一定要对方程的根加以检验，看它是否符合实际意义.
二、几种常见的应用题的类型
类型1：几何图形问题
（1）根据常见的几何图形的面积、体积或周长公式来列方程是一种常见的应用题类型. 常见的几种面积公式：ab S r S a S ab S 2
1,,,22====三角形圆正方形长方形π. 常见的几种体积公式：h r V h r V a V abh V 2233
1,,,ππ====圆锥圆柱正方体长方体. （2）勾股定理：222c b a =+
例1.将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于172cm ，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于122cm 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
类型2：平均增长率和平均降低率问题
平均增长率问题：设基数为a ，平均增长率为x ，则一次增长后的值为)1(x a +，两次增长后的值为2)1(x a +，以此类推，n 次增长后的值为n x a )1(+.如果增长n 次后的量为b ，
则可列方程b x a n =+)1(. 平均降低率问题：设基数为a ，平均降低率为x ，则一次降低后的值为 ，两次降低后的值为 ，以此类推，n 次降低后的值为 .如果降低n 次后的量为b ，则可列方程 .
例2.某商场今年1月份销售额为60万元，2月份销售额下降10％，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份的销售额已达到121.5万元.求3,4月份销售额的月平均增长率.
类型3：销售利润问题
此类问题常见的等量关系有：利润=售价-进价；利润率=进价利润×100％=进价
进价售价 ×100％，售价=进价×（1+利润率）.“总利润=销售总额-总成本”或“总利润=每件商品的利润×销售总数量”.此种类型为本节课的重点内容，通常可直接设商品的售价为未知数，但列出的方程比较难解，所以解决此类问题时经常设间接未知数.
例3.某超市将进价为40元的商品按定价50元出售，能卖500件.已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少元？
类型4：数字问题
解答数字问题的关键是设出未知数，一般采用间接设元法.例如有关三个连续整数（或连续偶数、连续奇数）的问题，一般设中间一个数为x ，再用含x 的代数式表示其余两个数；或多位数问题，一般不直接设这个数本身，而是设某个数位上的数字，再用代数式表示其余数位上的数字.
例4.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的十位上的数字与个位上的数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.
类型5：动点问题
此类问题是一般几何问题的延伸，要学会用运动的观点看问题.根据条件设出未知数后，应想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中给出的等量关系（可以是图形的面积、勾股定理）列出方程.
例5.如图所示，一根木棍OE垂直平分柱子AB，AB=20cm，OE=260cm，一只老鼠C由柱子底端A点以2cm/s的速度向顶端B点爬行，同时，另一只老鼠D由O点以3cm/s的速度沿木棍OE爬行.问：是否
存在这样的时刻，使两只老鼠所在的点与O点组成的三角形面积为18002
cm？
巩固练习：
1.若两个连续正整数的平方和是313，求这两个连续正整数.
2.某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元.
（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.
3.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？
4.有一块长80cm、宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为15002
cm的无盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长.
5.体育课上，老师用绳子围成一个周长为30m的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD.设边
AB的长为x（单位：m），矩形ABCD的面积为S（单位：2
m）.
（1）求S与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若矩形ABCD的面积为502
m，且AB<AD，请求出此时AB的长.
6.如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动.问：P，Q两点出发多长时间时，点P与点Q的距离第一次达到10cm？。

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一元二次方程的实际应用

一元二次方程的实际应用

一元二次方程的实际应用一元二次方程是高中数学的重要内容之一，通过求解一元二次方程，我们可以得到方程的解，从而解决一些实际生活中的问题。

在本文中，我们将探讨一些实际应用中使用一元二次方程的案例。

一、物体自由下落物体自由下落是我们日常生活中经常遇到的情境之一。

在没有空气阻力的情况下，物体自由下落的运动可以用一元二次方程来描述。

设一个物体从某个高度h0自由下落，下落的时间为t秒，则根据物体自由下落的公式，我们可以得到：h = h0 - 0.5gt^2其中，h为物体下落的高度，g为重力加速度。

通过将h设为0，即可求解出物体自由下落的时间。

此时，我们可以将方程转化为一元二次方程进行求解：-0.5gt^2 + h0 = 0通过求解出这个一元二次方程，我们就可以知道物体自由下落所需的时间。

二、抛物线的轨迹抛物线是一种常见的曲线形态，其运动轨迹可以用一元二次方程来描述。

在很多实际应用中，抛物线的轨迹被广泛应用。

例如，当我们抛出一个物体，以一定的初速度和角度进行抛射时，物体的轨迹就是一个抛物线。

抛物线的方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，x和y分别代表抛物线上的点的坐标。

通过求解一元二次方程，我们可以确定抛物线的方程中的参数a、b、c的值，从而获得抛物线的具体形状和特征。

这对于工程设计、物体抛射等实际问题具有重要的意义。

三、最大值和最小值问题在许多实际应用中，我们常常需要确定一个函数的最大值或最小值。

而求解函数的最大值或最小值问题，可以转化为求解一元二次方程的实根问题。

考虑一个抛物线函数 y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0。

当a大于0时，抛物线开口向上，此时函数的最小值为抛物线的顶点坐标。

当a小于0时，抛物线开口向下，此时函数的最大值为抛物线的顶点坐标。

通过将函数求导，我们可以求解出函数的极值点，进而确定函数的最大值或最小值。

而求解函数的极值点的过程，实际上就是求解一元二次方程的实根。

了解一元二次方程的应用

了解一元二次方程的应用

了解一元二次方程的应用一元二次方程是高中数学中重要的内容之一，它在实际生活中有广泛的应用。

本文将探讨一元二次方程的应用，并介绍其中的一些常见实例。

一、物理应用1. 自由落体运动自由落体运动是物理学中常见的现象之一，可以用一元二次方程来描述物体的运动。

例如，一个物体从高处自由落下，其高度h与时间t 的关系可以用方程h = -gt² + vt + h₀表示，其中g是重力加速度，v是初始速度，h₀是初始高度。

2. 弹性力的计算一元二次方程也可以描述弹性力的计算。

例如，当一个弹簧受到一定的拉伸或压缩时，其回复的力与位移之间可以用方程F = kx²表示，其中F是弹性力，k是弹性系数，x是位移。

二、经济应用1. 成本与利润在经济学中，一元二次方程可以用来描述成本与利润之间的关系。

例如，一个制造商生产某种产品的成本与产量的关系可以用方程C = ax² + bx + c来表示，其中C是成本，x是产量，a、b、c是常数。

2. 供求关系供求关系是经济学中重要的概念，一元二次方程可以用来描述供求关系的平衡点。

例如，市场上某种商品的供应量与价格之间的关系可以用方程S = ax² + bx + c表示，而需求量与价格之间的关系可以用方程D = dx² + ex + f表示，其中S和D分别是供应量和需求量。

三、工程应用1. 物体运动轨迹一元二次方程可以用来描述物体在平面上的运动轨迹。

例如，一个发射的炮弹的运动轨迹可以用方程y = ax² + bx + c来表示，其中y是垂直方向上的位移，x是水平方向上的位移，a、b、c是常数。

2. 斜抛运动斜抛运动是工程中常见的一种运动形式，可以用一元二次方程来描述。

例如，一个以一定速度和角度斜抛的物体的运动轨迹可以用方程y = -gx² / (2v₀²cos²θ) + xtanθ表示，其中g是重力加速度，v₀是初始速度，θ是斜抛角度。

一元二次方程实际应用

一元二次方程实际应用

一元二次方程实际应用一元二次方程实际应用方程的定义和形式•一元二次方程是指形如ax2+bx+c=0的方程，其中 a、b、c 是常数，且a≠0。

•一元二次方程可以表示为一条抛物线的方程，解是抛物线与 x 轴交点的 x 坐标。

•一元二次方程的解可以有 0 个、1 个或 2 个。

有 2 个解时，。

可以表示为解为：x=−b±√b2−4ac2a实际应用场景1.物体自由落体问题–当一个物体自由落体时，它的高度与时间之间的关系可以通过一元二次方程来表示。

–假设物体从初始高度 h0 自由落下，则物体在 t 秒的高度gt2，其中 g 是重力加速度。

可以表示为：ℎ(t)=ℎ0−12–如果要求物体何时着地，即求解 h(t)=0 的解，可以得到落地时间的解。

2.炮弹抛射问题–当一个炮弹从地面射出时，炮弹的飞行轨迹可以通过一元二次方程来表示。

–假设炮弹以角度θ 和初速度 v0 抛射，则炮弹的飞行轨迹可以表示为：y=xtanθ−gx 22v02cos2θ，其中 x 是水平方向的位移，y 是垂直方向的位移，g 是重力加速度。

–如果要求炮弹的最大高度，即求解导数为 0 的点，可以得到最大高度的解。

3.面积问题–一些形状的面积可以通过一元二次方程来表示。

–例如，一个矩形的面积可以表示为A=x(2a−x)，其中a 是矩形的一条边的长度，x 是矩形的宽度。

–如果要求矩形的最大面积，即求解导数为 0 的点，可以得到最大面积的解。

4.投资问题–在某些投资问题中，一元二次方程可以用来模拟投资收益的走势。

–假设投资额为 P，年利率为 r，投资期限为 t 年，则投资收益可以表示为A=P(1+r)t。

–如果要求投资收益达到某一特定值 A0，即求解 A=P0 的解，可以得到所需的投资额。

结论一元二次方程在实际生活和工作中有广泛的应用，从物理问题到经济问题，都可以运用它来建立模型、解决实际问题。

通过理解和掌握一元二次方程的概念和解的方法，可以提高解决实际问题的能力。

一元二次方程的应用【优秀5篇】

一元二次方程的应用【优秀5篇】

一元二次方程的应用【优秀5篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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