第22周 作图法解题

上海中考数学第22题解题方法上海中考数学第22题是一个函数题，要求在规定的坐标系中，用线段来表示一个函数的图像。

解题时，可以按照以下步骤进行思考和操作：1.理解题意：通读题目，理解题意。

题目中给出了一个函数的定义和一张坐标系图。

要求我们根据函数的定义来画出函数的图像。

2.理解函数定义：首先，我们需要理解函数的定义。

函数定义给出了自变量（x）和函数值（y）之间的关系。

函数定义中给出了x的取值范围和对应的y值。

注意到函数定义中涉及到绝对值、分段函数等情况，需要根据x的取值范围进行分析。

3.确定函数的定义域：首先，通过函数定义中的限制条件确定函数的定义域。

从函数定义来看，x的取值范围是在[-7,4]之间。

即-7 ≤ x ≤ 4。

这就是函数的定义域。

4.分析函数的性质：根据函数的定义和给出的x的取值范围，我们需要分析函数的性质。

首先，考虑函数的图像是否是连续的。

根据函数的定义，可以看出函数在x = -7和x = 4两个点上可能有断点，可以通过分段定义的方式进行判断。

5.分段定义函数：根据函数定义的不同情况，我们可以将函数分为几段进行讨论。

在[-7,4]的取值范围内，可以将函数分为三段，分别是：x ≤ -2, -2 < x ≤ 3, x > 3。

6.画出函数的图像：根据分段定义的结果，可以对不同的x范围内画出函数的图像。

首先，取x = -7，可以根据函数定义中的表达式得到y的值。

同样地，取x = -2和x = 4，可以得到函数在这两个点上的函数值。

根据分段函数的定义，我们可以将这些点连接起来，画出函数的图像。

7.考虑特殊情况：在函数的定义域内，我们需要考虑特殊情况，比如在x = -2和x = 3的位置上，观察函数是否存在不连续点。

对于这题的函数，我们发现在x = -2的位置上，函数是连续的，而在x =3的位置上，存在一个开放圆点。

在作图时，可以用空心圆表示这个点，表示这个点不在函数的定义范围内。

中考数学22题解题技巧(一)中考数学22题解题技巧问题描述中考数学22题通常是一个较为复杂的问题，需要运用各种技巧进行解答。

本文将从不同的角度介绍解题的方法和技巧。

技巧一：审题•仔细阅读题目，理解题意。

•确定所给条件和所求答案。

技巧二：寻找关键信息•注意题目中的关键词和特征，如”每个学生”、“相差”、“平均数”等。

•根据关键信息分析问题的本质和解题思路。

技巧三：运用代数方法•把问题抽象成代数方程，通过方程求解得到答案。

•建立变量和方程，利用代数运算求解未知数的值。

技巧四：使用图形方法•利用图形表示问题，画出图形直观地理解问题。

•通过几何图形的性质解决问题，如平行线、相似三角形等。

技巧五：利用等式性质•运用等式的性质解决问题，如等式两边同时加减、乘除相等的性质等。

技巧六：找出隐含条件•题目中可能存在隐含条件，要仔细揣摩题意，找出并利用它们。

•这些隐含条件可以是数学定理、条件限制等。

技巧七：备选策略•在遇到复杂问题时，可以尝试不同的解题策略。

•如果一种方法不可行，可以尝试其他方法，寻找适合的解决思路。

技巧八：检查答案•回顾问题和解决方法，检验所得答案是否符合逻辑，是否满足所给条件。

•通过检查可以避免因计算错误或解题思路问题导致的答案错误。

以上是中考数学22题解题的一些常用技巧和方法，通过充分理解题目、分析问题、运用适当的解题方法，我们能够更准确地解答这类题目。

希望本文对你有所帮助！很抱歉，根据相关规则，以及可以向你提供的有关”中考数学22题解题”的信息，我已经提供了一份详细的文章。

如果有其他问题需要回答，请继续提问。

23（2020·福建）如图，CC为线段AAAA外一点．(1)求作四边形AAAACCAA，使得CCAA//AAAA，且CCAA=2AAAA；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的四边形AAAACCAA中，AACC，AAAA相交于点PP，AAAA，CCAA的中点分别为MM，NN，求证：MM，PP，NN三点在同一条直线上．23（2021·福建）如图，已知线段MMNN=aa，AAAA⊥AAAA，垂足为AA．(1)求作四边形AAAACCAA，使得点AA，AA分别在射线AAAA，AAAA上，且AAAA=AACC=aa，∠AAAACC=60°，CCAA//AAAA；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)设PP，QQ分别为(1)中四边形AAAACCAA的边AAAA，CCAA的中点，求证：直线AAAA，AACC，PPQQ相交于同一点．23.（2022福建中考）如图，AAAA是矩形AAAACCAA的对角线．(1)求作⊙AA，使得⊙AA与AAAA相切(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)在(1)的条件下，设AAAA与⊙AA相切于点EE，CCCC⊥AAAA，垂足为CC.若直线CCCC与⊙AA相切于点GG，求tan∠AAAAAA的值．1.【答案】解：(1)如图，四边形AAAACCAA即为所求；(2)如图，∵CCAA//AAAA，∴∠AAAAPP=∠CCAAPP，∠AAAAPP=∠AACCPP，∴△AAAAPP∽△CCAAPP，∴AAAA CCCC=AAAA AACC，∵AAAA，CCAA的中点分别为MM，NN，∴AAAA=2AAMM，CCAA=2CCNN，∴AAAA CCCC=AAAA AACC，连接MMPP，NNPP，∵∠AAAAPP=∠AACCPP，∴△AAPPMM∽△CCPPNN，∴∠AAPPMM=∠CCPPNN，∵点PP在AACC上，∴∠AAPPMM+∠CCPPMM=180°，∴∠CCPPNN+∠CCPPMM=180°，∴MM，PP，NN三点在同一条直线上．【解析】本题考查了作图−复杂作图、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．(2)在(1)的四边形AAAACCAA中，根据相似三角形的判定与性质即可证明MM，PP，NN三点在同一条直线上．2.【答案】(1)解：如图，四边形AAAACCAA为所作；(2)证明：设PPQQ交AAAA于GG，AACC交AAAA于GG′，∵AAQQ//AAPP，∴GGCC GGAA=CCDD AAAA，∵AACC//AAAA，∴GG′CC GG′AA=CCCC AAAA，∵PP，QQ分别为边AAAA，CCAA的中点，∴AACC=2AAQQ，AAAA=2AAPP，∴GG′CC GG′AA=CCCC AAAA=2CCDD2AAAA=CCDD AAAA，∴GG′CC GG′AA=GGCC GGAA，∴点GG与点GG′重合，∴直线AAAA，AACC，PPQQ相交于同一点．【解析】(1)先截取AAAA=aa，再分别以AA、AA为圆心，aa为半径画弧，两弧交于点CC，然后过CC点作AAAA的垂线得到CCAA；(2)证明：设PPQQ交AAAA于GG，AACC交AAAA于GG′，利用平行线分线段成比例定理得到GGCC GGAA=CCDD AAAA，GG′CC GG′AA=CCCC AAAA=2CCDD2AAAA=CCDD AAAA，则GG′CC GG′AA=GGCC GGAA，于是可判断点GG与点GG′重合．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线分线段成比例定理．3.【答案】解：(1)根据题意作图如下：(2)设∠AAAAAA=αα，⊙AA的半径为rr，∵AAAA与⊙AA相切于点EE，CCCC与⊙AA相切于点GG，∴AAEE⊥AAAA，AAGG⊥CCGG，即∠AAEECC=∠AAGGCC=90°，∵CCCC⊥AAAA，∴∠EECCGG=90°，∴四边形AAEECCGG是矩形，又AAEE=AAGG=rr，∴四边形AAEECCGG是正方形，∴EECC=AAEE=rr，在AARR△AAEEAA和AARR△AAAAAA中，∠AAAAEE+∠AAAAAA=90°，∠AAAAAA+∠AAAAAA=90°，∴∠AAAAEE=∠AAAAAA=αα，在AARR△AAAAEE中，tan∠AAAAEE=AABB AABB，∵四边形AAAACCAA是矩形，∴AAAA//CCAA，AAAA=CCAA，∴∠AAAAEE=∠CCAACC，又∠AAEEAA=∠CCCCAA=90°，∴△AAAAEE≌△CCAACC，∴AAEE=AACC=rr⋅RR aa ttαα，∴AAEE=AACC+EECC=rr⋅RR aa ttαα+rr，在AARR△AAAAEE中，tan∠AAAAEE=AABB CCBB，即AAEE⋅RR aa ttαα=AAEE，∴rr⋅RR aa ttαα+rr=rr，即tan2αα+RR aa ttαα−1=0，∵RR aa ttαα>0，∴RR aa ttαα=√5−12，即tan∠AAAAAA的值为√5−12．【解析】(1)以AA为圆心AAAA长为半径画弧交AAAA与MM，作AAMM的垂直平分线，交AAAA与NN，以AA为圆心AANN为半径画圆即为所求；(2)设∠AAAAAA=αα，⊙AA的半径为rr，证四边形AAEECCGG是正方形，根据AAAAAA证△AAAAEE≌△CCAACC，得出AAEE=AACC=rr⋅RR aa ttαα，AAEE=AACC+EECC=rr⋅RR aa ttαα+rr，根据等量关系列出关系式求出RR aa ttαα的值即可．本小题考查直角三角形的性质，特殊平行四边形的判定与性质，圆的概念与性质，锐角三角函数、一元二次方程等基础知识，考查尺规作图技能，考查函数与方程、化归与转化等数学思想方法，考查推理能力，运算能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养，渗透数学文化．。

第二十二周作图法解题专题简析：用作图的方法把应用题的数量关系提示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易的作用。

在解答已知一个数或者几个数的和差、倍差及相互之间的关系，求其中一个数或者几个数问题等应用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段图进行分析，从而列出算式。

例题1 五（1）班的男生人数和女生人数同样多。

抽去18名男生和26名女生参加合唱队后，剩下的男生人数是女生的3倍。

五（1）班原有男、女生各多少人？分析根据题意作出示意图：从图中可以看出，由于女生比男生多抽去26－18=8名去合唱队，所以，剩下的男生人数是女生人数的3倍，而这8名同学正好相当于剩下女生人数的2倍，剩下的女生人数有8÷2=4名，原来女生人数是26＋4=30名。

练习一1，两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍。

这两根电线原来共长多少厘米？2，甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。

原来两筐水果各有多少个？3，哥哥现存的钱是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元，二人的存款正好相等。

哥哥原来存有多少钱？例题2 同学们做纸花，做了36朵黄花，做的红花比黄花和紫花的总数还多12朵。

红花比紫花多几朵？分析通过线段图来观察：从图中可以看出：红花比紫花多的朵数由两部分组成，一部分是36朵，另一部分是12朵，所以，红花比紫花多36＋12=48朵。

练习二1，奶奶家养了25只鸭子，养的鸡比鸭和鹅的总数还多10只。

奶奶家养的鸡比鹅多几只？2，批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多24筐。

运来的香蕉比苹果少多少筐？3，期末测试中，明明的语文得了90分。

数学比语文和作文的总分少70分。

明明的数学比作文高多少分？例题3 甲、乙、丙、丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组植的棵数扩大2倍，丁组植树棵数减少一半，那么四个组植的棵数正好相同。

第二十二章第1节《二次函数的图象和性质》解答题专题 (59)1．已知点(3, 0)在抛物线23(3)y x k x k =-++-上，求此抛物线的对称轴．2．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y x bx =++（b 为常数）的对称轴是直线x =1．（1）求该抛物线的表达式；（2）点A （8，m ）在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A'，求点A'的坐标；（3）选取适当的数据填入下表，并在如图5所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．3．已知：二次函数y ＝2ax bx c ++中的x 和y 满足下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 ﹣1 0 m 8 … （1）可求得m 的值为 ；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当y ＞3时x 的取值范围为 ．4．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；5．如图抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()4,0-A ()2,0C 两点与y 轴交于点B ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点O 作//OP AB 交抛物线于点P 求点P 的坐标；（3）若点M 为第三象限内抛物线上一动点四边形AMBO 的面积为S S 是否存在最大值？若存在求出最大值和此时点M 的坐标若不存在请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A ，C 分别是直线y =﹣83x +4与坐标轴的交点，点B 的坐标为（﹣2，0），点D 是边AC 上的一点，DE ⊥BC 于点E ，点F 在边AB 上，且D ，F 两点关于y 轴上的某点成中心对称，连结DF ，EF ．设点D 的横坐标为m ，EF 2为l ，请探究：①线段EF 长度是否有最小值．②△BEF 能否成为直角三角形．小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l 随m 变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l 与m 可能满足的函数类别．（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l 关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF 长度的最小值．（3）小明通过观察，推理，发现△BEF 能成为直角三角形，请你求出当△BEF 为直角三角形时m 的值．7．如图抛物线L ：23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧）与y 轴交于点C 已知点B （30）抛物线的对称轴为1x =．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线向下平移h 个单位长度使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC 内部（包含△OBC 边界）求h 的取值范围；（3）设点P 是抛物线L 上任一点点Q 在直线-3l x =：上△PBQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能写出符合条件的点P 的坐标若不能请说明理由．8．如图 ,m n 是一元二次方程2430x x ++=的两个实数根且m n <,抛物线2y x bx c =++的图象经过(,0),(0,)A m B n ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线与x 轴的另一个交的为C 抛物线的顶点为D 求BCD ∆的面积．9．已知二次函数2y ax =（0a ≠）与一次函数2y kx =-的图象相交于A 、B 两点，如图所示，其中()1,1A --．（1）请求出以上两个函数的解析式；（2）求点B 的坐标；（3）求OAB 的面积．10．已知二次函数y=﹣x 2+2x ．（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围；（3）若将此图象沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式．11．如图，△OAB 的OA 边在x 轴上，其中B 点坐标为(3，4)且OB ＝BA ．(1)求经过A ，B ，O 三点的抛物线的解析式；(2)将(1)中的抛物线沿x 轴平移，设点A ，B 的对应点分别为点A′，B′，若四边形ABB′A′为菱形，求平移后的抛物线的解析式．12．已知直线(0)y kx m k =+<与抛物线2y x bx c =++相交于抛物线的顶点P 和另一点Q ，点P 在第四象限．()1若点()2,P c -，点Q 的横坐标为1，求点Q 的坐标；()2过点Q 作x 轴的平行线与抛物线2y x bx c =++的对称轴交于点E ，直线PQ 与y 轴交于点M ，若EQ PE =，22(5)4b c b =-<-，求OMQ 的面积S 的取值范围． 13．已知关于x 的一元二次方程()()2211102x m x m -+++=有实数根． （1）求m 的值；（2）先作()()221112y x m x m =-+++的图象关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式．14．已知一抛物线与x 轴的交点是()2,0A -、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴.15．如图，抛物线交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ，直线3y x 34=-+经过点C 与x 轴交于点D ，抛物线的顶点坐标为()2,4． ()1 请你直接写出CD 的长及抛物线的函数关系式；()2求点B 到直线CD 的距离；()3若点P 是抛物线位于第一象限部分上的一个动点，则当点P 运动至何处时，恰好使PDC 45∠=？请你求出此时的P 点坐标．16．已知抛物线y 1＝x 2+mx+n ，直线y 2＝2x+1，抛物线y 1的对称轴与直线y 2的交点为点A ，且点A 的纵坐标为5．（1）求m 的值；（2）若点A 与抛物线y 1的顶点B 的距离为4，求抛物线y 1的解析式；（3）若抛物线y 1与直线y 2只有一个公共点，求n 的值．17．已知二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 …y… -3 -4 -3 0 5 …（1）求该二次函数的表达式；（2）直接写出该二次函数图象与x 轴的交点坐标.18．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．19．直线y=-3x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点A 关于直线x=-1的对称点为点C ．（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线23y mx nx m =+-（m≠0）经过A 、B 、C 三点，求抛物线的表达式；（3）若抛物线23y ax bx =++（a≠0）经过A ，B 两点，且顶点在第二象限.抛物线与线段AC 有两个公共点，求a 的取值范围.20．如图，抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，0a ≠）经过点(1,0)A -，(5,6)B -，(6,0)C .（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线AB 下方的抛物线上是否存在点P 使四边形PACB 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出QAB ∆为等腰三角形的点Q 共有几个？并求以AB 为底边时，点Q 的坐标.【答案与解析】1．x=2．试题分析：将已知点的坐标代入抛物线解析式可以求得k 的值，进而求得抛物线的解析式. 利用二次函数一般形式的对称轴公式可以求得该抛物线的对称轴.试题解析：由题意知，点(3, 0)在抛物线y =-3x 2+(k +3)x -k 上，将该点的坐标代入抛物线的解析式，得 ()233330k k -⨯++⨯-=，整理，得 2180k -=，解这个关于k 的方程，得k =9，∴抛物线的解析式为y =-3x 2+12x -9.对照上述二次函数解析式与二次函数的一般形式y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)可得一般形式中各常数的值：a =-3，b =12，c =-9， 故抛物线的对称轴为：()122223b x a =-=-=⨯-，即此抛物线的对称轴为直线x =2. 点睛：本题综合考查了确定二次函数解析式的方法以及抛物线对称轴的求法. 本题的关键是利用已知点的坐标和抛物线解析式求得k 的值进而最终确定抛物线的解析式. 抛物线对称轴可以利用相关公式进行求解，也可以利用配方法将抛物线解析式转化为相应的顶点形式求解.2．（1）221y x x =-+；（2）（-6，49）；（3）答案见解析.（1）由对称轴为1x =，即可求出b 的值，然后代入即可；（2）把8x =代入解析式，求出m ，利用抛物线的对称轴性质，即可得到点'A 坐标； （3）选取对称轴左右两边的几个整数，计算出函数值，然后画出抛物线即可. 解：（1）∵对称轴为2b x =-， ∴12b -=． ∴2b =-；∴抛物线的表达式为221y x x =-+．（2）∵点A（8，m）在该抛物线的图像上，∴当x=8时，22221(1)8149y x x x=-+=-=-=（）．∴点A（8，49）．∴点A（8，49）关于对称轴对称的点A'的坐标为（-6，49）．（3）列表，如下：抛物线图像如下图：【点睛】本题考查了二次函数的性质和图像，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和图像的画法. 3．（1）m=3；（2）y＝x2﹣4x+3；（3）x＜0或x＞4．（1）将3个坐标分别代入函数解析式求出a、b、c的值即可得出二次函数解析式再将x=4代入函数解析式求出m的值即可；（2）由（1）即可得出二次函数的解析式；（3）数形结合由函数图像经过(03)(43)即可判断出x的范围．（1）根据题意可得：30 421 ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩－解得：143 abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩－则函数的解析式是：y＝2x﹣4x+3当x＝4时m＝16﹣16+3＝3；（2）由（1）可得函数解析式为y ＝2x ﹣4x +3；（3）如图函数图象经过（03）（43）当y ＞3时则x 的取值范围为：x ＜0或x ＞4．【点睛】本题主要考查一元二次函数解析式的求解、图像及性质关键在于数形结合根据y 的范围写出x 的范围．4．（1）抛物线的解析式为：y ＝125x 2﹣485x ﹣3，顶点D 的坐标为（2，﹣635）； （2）存在，C 坐标为：（10，0）或（﹣10，0），（5+2220）或（5﹣22，0），（9710，0）， （1）根据抛物线的顶点D 的横坐标为2，可设抛物线的解析式为2(2)y a x c =-+，再将点A 和B 的坐标代入即可得；（2）先求出AB 的长，然后分哪两条边为等腰ABC ∆的腰，设点C 的坐标为(,0)m ，根据两腰相等，利用两点之间距离公式建立等式，求解即可.（1）抛物线的顶点D 的横坐标为2，可设抛物线的解析式为：2(2)y a x c =-+将(0,3),(5,9)A B -代入得4399a c a c +=-⎧⎨+=⎩解得：125635a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则抛物线的解析式为：21263(2)55y x =--（或写成一般形式21248355y x x =--） 由顶点式可得顶点D 的坐标为63(2,)5-； （ 2）设点C 坐标(,0)m因(0,3),(5,9)A B -则13ABAC =BC =①当AB AC =13解得：m =±C坐标为：或(-②当AB BC =13=解得：5m =±C坐标为(5+或(5-③当AC BC ==解得：9710m =，即点C 坐标为97(,0)10综上，存在这样的点C ，点C的坐标为或(-或(5+或(5-或97(,0)10. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、两点之间的距离公式、以及等腰三角形的定义，熟记两点之间的距离公式是解题关键.5．（1）2142y x x =+-；（2）点P的坐标为(2--+或(2-+-；（3）存在S 的最大值为12此时点M 的坐标为()2,4--． （1）将点AC 的坐标代入24y ax bx =+-求出ab 即可；（2）求出点B 坐标利用待定系数法求出直线AB 的函数解析式然后根据OP AB 可得直线OP 的表达式联立直线OP 的表达式和抛物线的表达式即可求出点P 的坐标； （3）过点M 作MF y 轴交AB 于点F 设点M 的横坐标为m 然后表示出点M 和点F 的坐标求出MF 根据ABM ABO S S S ∆∆=+列出函数关系式再利用二次函数的性质求解.解：（1）将()4,0A -()2,0C 代入24y ax bx =+-得164404240a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线的表达式为2142y x x =+-； （2）∵2142y x x =+-令0x =得4y =- ∴点B 坐标为()0,4-设直线AB 的表达式为()0y kx d k=+≠ 将()4,0A -()0,4B -代入y kx d =+得404k d d -+=⎧⎨=-⎩解得14k d =-⎧⎨=-⎩∴直线AB 的表达式为4y x =--．∵OP AB 且过点O∴直线OP 的表达式为y x =-． 联立2142y x y x x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩解得1122x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩2222x y ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩∴点P的坐标为(2--+或(2-+-；（3）存在．如图过点M 作MF y 轴交AB 于点F设点M 的横坐标为m 则点M 的坐标为()21,4402m m m m ⎛⎫+--<< ⎪⎝⎭点F 的坐标为(),4--m m ∴221144222MF m m m m m ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭∴ABM ABO S S S ∆∆=+1122OA MF OA OB =⋅+⋅21114244222m m ⎛⎫=⨯⨯--+⨯⨯ ⎪⎝⎭248m m =--+ ()2212m =-++． ∴当2m =-时S 取得最大值最大值为12此时点M 的坐标为()2,4--．【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、求函数图象的交点坐标、一次函数以及二次函数的性质等注意两条平行的直线的解析式中k值相等.6．（1）连线见解析，二次函数；（2）22；（3）m=0或m=4 3（1）根据描点法画图即可；（2）过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明Rt△FGK≌Rt△DHK （AAS），由全等三角形的性质得出FG=DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根据勾股定理得出l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，由二次函数的性质可得出答案；（3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出m的方程，解方程求出m的值，则可求出答案．解：（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，则∠FGK=∠DHK=90°，记FD交y轴于点K，∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，∴KF=KD，∵∠FKG=∠DKH，∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），∴FG=DH，∵直线AC的解析式为y=﹣83x+4，∴x=0时，y=4，∴A（0，4），又∵B（﹣2，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，∴204k bb⎧-+=⎨=⎩，解得24 kb，∴直线AB的解析式为y=2x+4，过点F作FR⊥x轴于点R，∵D点的横坐标为m，∴F（﹣m，﹣2m+4），∴ER=2m，FR=﹣2m+4，∵EF2=FR2+ER2，∴l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，令﹣83x+4=0，得x=32，∴0≤m≤32．∴当m=1时，l的最小值为8，∴EF的最小值为22．（3）①∠FBE为定角，不可能为直角．②∠BEF=90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m=0．③如图3，∠BFE=90°时，有BF2+EF2=BE2．由（2）得EF 2=8m 2﹣16m +16，又∵BR =﹣m +2，FR =﹣2m +4，∴BF 2=BR 2+FR 2=（﹣m +2）2+（﹣2m +4）2=5m 2﹣20m +20，又∵BE 2=（m +2）2，∴（5m 2﹣20m +8）+（8m 2﹣16m +16）2=（m +2）2，化简得，3m 2﹣10m +8=0，解得m 1=43，m 2=2（不合题意，舍去）， ∴m =43． 综合以上可得，当△BEF 为直角三角形时，m =0或m =43． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，考查了描点法画函数图象，待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识．准确分析给出的条件，结合一次函数的图象进行求解，熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键．．7．（1）y=－x 2+2x+3；（2）2≤h ≤4；（3）△PBQ 能成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形点P 的坐标为：（03）或（14）或（32+92+-）或（1）将点B （30）代入解析式对称轴为x=1代入2b x a =-可求出12a b =-⎧⎨=⎩即可得解析式； （2）先求BC 的解析式再求出抛物线顶点坐标求出BC 上与顶点横坐标相同的点的坐标即可求出平移的范围；（3）过点P 作PD ⊥l 于MPN ⊥x 轴于N 要使得PBQ △为等腰直角三角形只需要PBN ≌PQM 要使得全等只要PN=MQ 设P （m 2-23m m ++）则可以用m 表示PN=MQ 求出m 即可.由题意得：129330b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩即抛物线的解析式为：2-23y x x =++；（2）在2-23y x x =++中当x=0时y=3即C （03） 由B （30）C （03）得直线BC 的解析式为：y=-x+3在2-23y x x =++中当x=1时y=4顶点为（1,4）在y=-x+3中当x=1时y=2∴若将抛物线向下平移h 个单位长度使平移后所得的抛物线的顶点落在OBC 内部（包含OBC 边界）则2≤h≤4（3）①当P 在x 轴上方时过点P 作PD ⊥l 于MPN ⊥x 轴于N 要使得PBQ △为等腰直角三角形只需要PBN ≌PQM 要使得全等只要PN=MQ设P （m 2-23m m ++）则PN=PMPN=2-23m m ++而PM=m+3∴2-23m m ++=m+3解得：m=0或m=1即P （03）或（14）；②当P 点在x 轴下方时同理可得：2-23m m ++=-m-3解得：m=3332或m=3332 即P 333+933+333-933- 综上所述PBQ △能成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形点P 的坐标为：（03）或（14）或（3332+933+）或（3332933-）． 【点睛】本题是二次函数的综合题考查了待定系数法求二次函数的解析式二次函数动点问题中等腰直角三角形的存在性问题；此题通过作两条互相垂直的辅助线把等腰直角三角形的问题转化为全等三角形的问题继而转化为线段相等的问题化二维为一维是本题的关键．8．（1）223y x x =-- （2）3（1）求出方程的两个实数根即可得出点AB 的坐标代入抛物线解析式得出bc 的值即可； （2）根据抛物线解析式可求出点C 、D 的坐标设抛物线的对称轴l 与直线BC 相交于点M 求出直线BC 的解析式进而得出M 的坐标从而得出三角形的面积．解：（1）由2430x x ++=解得11x =-23x =- ∵m n <∴1m =-3n =-∴(1,0)A -(0,3)B -则103b c c -+=⎧⎨=-⎩解之得23b c =-⎧⎨=-⎩ 因此该抛物线的解析式为223y x x =--（2）抛物线223y x x =--的与x 轴交点C 的坐标为(30)顶点D 的坐标为(1-4)抛物线的对称轴l 与直线BC 相交于点M设直线BC 的解析式为y kx b =+则330b k b =-⎧⎨+=⎩解得31b k =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为3y x =-∴直线BC 与对称轴l 的交点M 的坐标为(1-2)∴ MD =2 ∴1111212232222BCD BDM CDM S S S MD BE MD CF =+=+=⨯⨯+⨯⨯= ∴△BCD 的面积为3．【点睛】本题是一道二次函数与一次函数相结合的综合题目具有一定难度掌握二次函数图象的性质以及一次函数图象的性质是解此题的关键．9．（1）一次函数表达式为2y x =--，二次函数表达式为2y x =-；（2） (2，-4)；（3）3OAB S =（1）代入点A 的坐标可求出直线与抛物线的解析式；（2）两个函数解析式联立即可求解B 点坐标；（3）设AB 交y 轴于点G ，过B 作BH ⊥OG 于点H ，利用S △OAB =12OG•|A 的横坐标|+12OG•|点B 的横坐标|，求解即可． （1）一次函数2y kx =-的图象相过点()1,1A --， 12k ∴-=--，解得1k =-∴一次函数表达式为2y x =--，∵y=ax 2过点A(-1，-1),∴-1=a×(-1)2，解得a= -1∴二次函数的解析式为2y x =- （2）由一次函数与二次函数联立可得22y x y x =--⎧⎨=-⎩解得1111x y =-⎧⎨=-⎩，2224x y =⎧⎨=-⎩ ∴B(2，-4)（3）设AB 交y 轴于点G ，过B 作BH ⊥OG 于点H在y=-x-2中，令x=0，得y= -2∴()0,2G -由（2）得BH=2∴S △OAB =S △AOG +S △BOG =12×2×1+12×2×2=1+2=3． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，题目较为基础，难度较低，解题的关键是正确的求出点B 的坐标．10．(1)见解析;(2) x ＜0或x ＞2；(3) y=（x+2）2（或y=﹣x 2﹣4x ﹣4）.（1）确定出顶点坐标和与x 轴的交点坐标，然后作出大致函数图象即可；（2）根据函数图象写出二次函数图象在x 轴下方的部分的x 的取值范围；（3）根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的二次函数图象的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．（1）函数图象如图所示；（2）当y ＜0时，x 的取值范围：x ＜0或x ＞2；（3）∵图象沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，∴平移后的二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，0），∴平移后图象所对应的函数关系式为：y=（x+2）2．（或y=﹣x 2﹣4x ﹣4）.【点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质，以及二次函数图象与几何变换，作二次函数图象一般先求出与x 轴的交点坐标和顶点坐标．11．(1) y ＝－49x 2＋83x (2)①y＝－49 (x －8)2＋4；②y＝－49(x ＋2)2＋4 试题分析：（1）根据题意，利用待定系数发求解即可； （2）先根据菱形的性质，结合勾股定理求出菱形的边长，然后根据二次函数的平移得到函数的解析式.试题解析：(1)设所求抛物线的解析式为y ＝ax(x －6)，将(3，4)代入，可得4＝－9a ，∴a ＝－49，∴y ＝－49x(x －6)＝－49x 2＋83x (2)∵B(3，4)，A(6，0)，∴BA 5.∵四边形ABB′A′为菱形，∴BB ′＝BA ＝5.①若抛物线沿x 轴向右平移，则B′(8，4)，∴平移后抛物线的解析式为y ＝－49(x －8)2＋4；②若抛物线沿x 轴向左平移，则B′(－2，4)，∴平移后抛物线的解析式为y=49(x ＋2)2＋4 12．()1点Q 坐标为()1,1-．()2 38OQM S >． (1)由P 点横坐标可求解b 值，将P 点代入抛物线可求解c 值，从而求解Q 点坐标；(2)代入x=2b -及224b c =-可求解出,22b P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,由题意可知△QEP 为直角等腰三角形，则M 点坐标可表示为(0，-22b -)，再利用M 和P 点坐标求解出直线解析式后联立二次函数解得1,12b Q ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，运用三角形面积公式12OQM S OM EQ =⨯可列出表达式进行求解. ()1 由题意：22b -=， ∴4b =-，∴抛物线为24y x xc =-+，将()2,P c -代入得到，48c c -=-+，∴2c =，∴抛物线解析式为242y x x =-+，∵点Q 横坐标为1，∴点Q 坐标为()1,1-． ()2代入x=2b -及224b c =-，则y=22222424b b b -+-=-，则,22b P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵△QEP 为直角等腰三角形，∴y M +2=-2b ，∴M 点坐标为(0，-22b -)， 代入P 和M 点坐标，求解直线解析式：22022b k m b k m ⎧-=-+⎪⎪⎨⎛⎫⎪=--+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得122k b m =-⎧⎪⎨=--⎪⎩， ∴直线PQ 为22b y x =---， 由222224b y x b y x bx ⎧=---⎪⎪⎨⎪=++-⎪⎩解得20b x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩和121b x y ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩， ∴点Q 坐标1,12b ⎛⎫--- ⎪⎝⎭， ∴2211311211(3)2228488OQM b b S b b b ⎛⎫⎛⎫=⋅--⋅--=++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵5b <-，5b =-时，38S =， 根据函数的增减性可知，38OQM S>． 【点睛】 本题为一次函数和二次函数的综合题型，有些难度.13．（1）m=1；（2）y=-x 2-4x-2.（1）由题意△≥0，列出不等式，解不等式即可；（2）画出翻折．平移后的图象，根据顶点坐标即可写出函数的解析式． （1）对于一元二次方程x 2﹣（m +1）x 12+（m 2+1）＝0，△＝（m +1）2﹣2（m 2+1）＝﹣m 2+2m ﹣1＝﹣（m ﹣1）2．∵方程有实数根，∴﹣（m ﹣1）2≥0，∴m ＝1．（2）由（1）可知y ＝x 2﹣2x +1＝（x ﹣1）2，图象如图所示：平移后的解析式为y ＝﹣（x +2）2+2＝﹣x 2﹣4x ﹣2．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、待定系数法、翻折变换、平移变换等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．14．（1）y=2x 2+2x-4或y ＝2(x+12)2−92，（2）对称轴为直线x ＝−12，顶点坐标(−12，−92)． （1）设抛物线的解析式为：y=a （x+2）（x-1），把C 的坐标代入求出的值即可得到抛物线解析式；（2）由（1）的抛物线解析式即可求出该抛物线的对称轴及顶点坐标．（1）∵抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），∴根据题意设y=a （x+2）（x-1），把C （2，8）代入y=a （x+2）（x-1）得，4a=8，∴a=2，∴y=2（x+2）（x-1）；即：y=2x 2+2x-4或y ＝2(x+12)2−92， （2）由（1）可知对称轴：直线x ＝−12，顶点坐标(−12，−92)． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质．在设二次函数的解析式时，要根据不同的已知条件来设其解析式方程．15．（1）CD =5，21(2)44y x =--+；（2）65；（3）()16239143984-，． （1）求出点C ，D 的坐标，再用勾股定理求得CD 的长；设抛物线为y =a （x ﹣2）2+4，将点C 坐标代入求得a ，即可得出抛物线的函数表达式；（2）过点B 直线CD 的垂线，垂足为H ．在Rt △BDH 中，利用锐角三角函数即可求得点B 到直线CD 的距离；（3）把点C （0，3）向上平移4个单位，向右平移3个单位得到点E （3，7），可得△OCD≌△FEC，则△DEC为等腰直角三角形，且∠EDC═45°，所以直线ED与抛物线的交点即为所求的点P，解方程组即可得出结论．（1）∵334y x=-+，∴C（0，3），D（4，0）．∵∠COD=90°，∴CD22345=+=．设抛物线为y=a（x﹣2）2+4，将点C（0，3）代入抛物线，得：3=4a+4，∴14a=-，∴抛物线的函数关系式为21244y x=--+（）；（2）过点B作BH⊥CD于H，由212404x--+=（），可得：x1=﹣2，x2=6，∴点B的坐标为（6，0）．∵OC=3，OD=4，CD=5，∴OB=6，从而BD=2．在Rt△DHB中，∵BH=BD•sin∠BDH=BD•sin∠CDO=23655⨯=，∴点B到直线CD的距离为65．（3）把点C（0，3）向上平移4个单位，向右平移3个单位得到点E（3，7）．∵CF=OD=4，EF=OC=3，∠CFE=∠DOC=90°，∴△OCD≌△FEC，∴∠FCE=∠ODC，EC=DC，∴∠ECD=180°﹣（∠FCE+∠OCD）=180°﹣（∠ODC+∠OCD）=180°﹣90°=90°，∴△DEC为等腰直角三角形，且∠EDC═45°，因而，ED与抛物线的交点即为所求的点P．由E（3，7），D（4，0），可得直线ED的解析式为：y=﹣7x+28，由27281244y xy x=-+⎧⎪⎨=--+⎪⎩（），得16239143984xy⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（另一组解不合题意，已舍去．）所以，此时P点坐标为（16239143984--，）．【点睛】本题是二次函数综合题．考查了学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．16．（1）m＝﹣4；（2）y1＝x2﹣4x+5或y1＝x2﹣4x+13；（3）n＝10．（1）根据题意得到点A的坐标为（2，5），根据抛物线的对称轴公式即可得到结论；（2）根据已知条件得到点B的坐标为（2，1）或（2，9），根据顶点坐标公式列方程即可得到结论；（3）根据抛物线y 1与直线y 2只有一个公共点得到的一元二次方程根的判别式为0，解关于n 的方程即可得到结论．（1）∵点A 的纵坐标为5，点A 在直线y 2＝2x+1上，∴5＝2x+1，得x ＝2，∴点A 的坐标为（2，5），∵物线y 1的对称轴与直线y 2的交点为点A ，抛物线y 1＝x 2+mx+n ， ∴﹣21m ⨯＝2，得m ＝﹣4； （2）∵点A 与抛物线y 1的顶点B 的距离为4，点A 的坐标为（2，5），∴点B 的坐标为（2，1）或（2，9）， ∴24(4)4n --＝1或9， 解得：n ＝5或13，∴抛物线y 1的解析式的解析式为：y 1＝x 2﹣4x+5或y 1＝x 2﹣4x+13；（3）解2421y x x m y x ⎧=-+⎨=+⎩得，x 2﹣6x+n ﹣1＝0， ∵抛物线y 1与直线y 2只有一个公共点，∴△＝36﹣4n+4＝0，解得n ＝10．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的性质，二次函数的性质，根据题意求得顶点坐标是解题的关键．17．（1）223y x x =--；（2）（3，0）和（-1，0）.（1）由已知的三点坐标得到二次函数的对称轴，然后设顶点式即可求出二次函数的解析式；（2）由二次函数表达式即可得．（1）由抛物线经过三点（0，-3）、（2，-3）和（1，-4）可知，抛物线对称轴为直线1x =,顶点坐标为(1，-4).设抛物线表达式为()214y a x =--将(0,-3)点代入，解得1a =∴二次函数的表达式为223y x x =--（2）二次函数图象与x 轴的交点坐标为（3，0）和（-1，0）.【点睛】本题考查的知识点是求二次函数的解析式，解题关键是熟记二次函数的性质. 18．（1）抛物线y=﹣x 2﹣2x+3；点P 的坐标为（﹣32，154）；（3）M （0，1）． 试题分析：（1）用待定系数法求出a ，b ，c ，即可求解；（2）用S=S △AOP +S △COP ﹣S △AOC 计算即可；（3）设M （0，m ）先判定△AOM ≌△MFD ，求出m 即可．试题解析：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （0，3）．∴930{03a b c a b c c -+=++==，∴1{23a b c =-=-=，∴抛物线y=﹣x 2﹣2x+3；（2）如图所示，设P （x ，﹣x 2﹣2x+3），（﹣3＜x ＜0），∵OA=3，OC=3，∴S=S △AOP +S △COP ﹣S △AOC =12OA×|y P |+12OA×|x P |﹣12OA×OC =12×3×（﹣x 2﹣2x+3）+12×3×（﹣x ）﹣12×3×3 =﹣32x 2﹣92x =﹣32（x+32）2+278， ∴当x=﹣32时，S 最大=278， ∴﹣（﹣32）2﹣2×（﹣32）+3=154， ∴点P 的坐标为（﹣32，154）， （3）如图所示，当△ADM 是等腰直角三角形，只能∠AMD=90°，设M （0，m ），过D 作DF ⊥x 轴，∴F （0，4），∴OM=m ，PM=4﹣m ，DF=1， ∴△AOM ≌△MFD ，∴OM=DF=1，PM=OA=3，∴m=1,4-m=3，∴m=1，∴M （0，1）考点：二次函数综合题．19．（1）（-3，0）（2）223y x x =--+ （3）a ＜-3试题分析：（1）把y=0，代入函数解析式，求出点A 的坐标，根据对称得出C 点的坐标即可；（2）先求出B 点坐标，再把点A 、B 三点的坐标分别代入23y mx nx m =+-，解得m 、n 的值即可；（3）根据题意抛物线开口向下，所以当图像经过A 点的关于原点对称的点时a 取最大值，当经过点C 时开口最大，a 的值最小.试题解析：解：（1）令y=0，得x=1．∴点A 的坐标为（1,0）．∵点A 关于直线x=﹣1对称点为点C ，∴点C 的坐标为（﹣3,0）．（2）令x=0，得y=3．∴点B 的坐标为（0,3）．∵抛物线经过点B ，∴﹣3m=3，解得m=﹣1．∵抛物线经过点A ，∴m+n﹣3m=0，解得n=﹣2．∴抛物线表达式为223y x x =--+．（3）由题意可知，a<0．根据抛物线的对称性，当抛物线经过（﹣1,0）时，开口最小，a=﹣3，此时抛物线顶点在y 轴上，不符合题意.当抛物线经过（﹣3,0）时，开口最大，a=﹣1.结合函数图像可知，a 的取值范围为31a -<≤-.20．（1）256y x x =--；（2）存在，(2,12)P -；（3）点Q 的坐标为：52392⎛ ⎝⎭或5239,2⎛ ⎝⎭或526312,2⎛+ ⎝⎭或5263122⎛- ⎝⎭或55,-22⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）抛物线经过点(1,0)A -，(5,6)B -，(6,0)C ，可利用两点式法设抛物线的解析式为(1)(6)y a x x =+-，代入(5,6)B -即可求得函数的解析式；（2）作辅助线，将四边形PACB 分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设()2,56P m m m --，四边形PACB 的面积为S ，用字母m 表示出四边形PACB 的面积S ，发现是一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点P 的坐标.（3）分三种情况画图：①以A 为圆心，AB 为半径画弧，交对称轴于1Q 和4Q ，有两个符合条件的1Q 和4Q ；②以B 为圆心，以BA 为半径画弧，也有两个符合条件的2Q 和5Q ；③作AB 的垂直平分线交对称轴于一点3Q ，有一个符合条件的3Q ；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出3Q 坐标.解：（1）设(1)(6)(0)y a x x a =+-≠，把(5,6)B -代入：(51)(56)6a +-=-，1a =，∴2(1)(6)56y x x x x =+-=--；（2）存在，如图1，分别过P 、B 向x 轴作垂线PM 和BN ，垂足分别为M 、N ，设()2,56P m m m --，四边形PACB 的面积为S ，则256PM m m =-++，1AM m =+，5MN m =-，651CN =-=，5BN =， ∴AMP BNC PMNB S S S S ∆∆=++梯形， ()()2211156(1)656(5)16222m m m m m m =-++++-++-+⨯⨯，231236m m =-++，23(2)48m =--+，当2m =时，S 有最大值为48，这时2256252612m m --=-⨯-=-，∴(2,12)P -，（3）这样的Q 点一共有5个，①以A 为圆心，以AB 为半径画弧，交抛物线的对称轴于1Q 、4Q ，则14AQ AQ AB ==，设对称轴交x 轴于E ，225495624y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ； ∴抛物线的对称轴是：52x =， ∵(1,0)A -，(5,6)B -，∴AB == ∴57122AE =+=，由勾股定理得：142Q E Q E ===，∴152Q ⎛ ⎝⎭，45,2Q ⎛ ⎝⎭②以B 为圆心，以AB 为半径画弧，交抛物线的对称轴于2Q 、5Q ，∴25Q E Q E AB ===过B 作51BF Q Q ⊥于F ，则25Q F Q F =，∵(5,6)B -，∴52BF =，由勾股定理得：22Q F ==，∴56Q E =+=，∴55,2Q ⎛ ⎝⎭，∵212622Q E =-=，∴2512,22Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ③连接3Q A 、3Q B ， 因为3Q 在对称轴上，所以设35,2Q y ⎛⎫⎪⎝⎭， ∵3Q AB ∆是等腰三角形，且33Q A Q B =，由勾股定理得：22225515(6)22y y ⎛⎫⎛⎫++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 52y =-，∴355,-22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 综上所述，点Q 的坐标为：5239,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或5239,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或526312,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或526312,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或55,-22⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用待定系数法求解析式，还考查了多边形的面积，要注意将多边形分解成几个图形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数.同时还结合了抛物线图形考查了等腰三角形的一些性质，注意由一个动点与两个定点组成的等腰三角形三种情况的讨论.。