2010年高考理科数学试题及答案-全国卷1
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2010年高考理科数学试题及答案-全国卷1
注意事项：
1. 在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔填写姓名、准考证号，并贴好条形码。请核对条形码上的准考证号、姓名和科目。
选择题：
1. 求复数3+2i与2-3i的商。
(A) i (B) -i (C) 12-13i (D) 12+13i
2. 已知cos(-80°)=k，求tan100°。
(A) -k/(1-k^2) (B) k/(1-k^2) (C) k (D) -k 3. 若变量x,y满足约束条件x+y≥0，x-y-2≤0，y≤1，则z=x-2y的最大值为
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
4. 已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=？
(A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42
5. 将(1+2x)^3(1-3x)^5展开式中x的系数求出。
(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4
6. 某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有
(A) 30种 (B) 35种 (C) 42种 (D) 48种
第Ⅱ卷
1. 已知函数f(x)=sin2x+cos2x，求f(x+π/4)的值。
2. 已知函数f(x)=x^2-2x-3，g(x)=2x+1，则f(g(x))=？
3. 已知函数f(x)=e^x，g(x)=lnx，则f(g(x))=？
4. 求曲线y=x^3-3x^2+2的单调递减区间和单调递增区间。
5. 已知函数f(x)=x^3-3x，g(x)=f(x+1)，求g(x)的零点。 6. 已知函数f(x)=e^x，g(x)=x^2+1，则f(g(x))的最小值为多少？
7. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c，经过点(1,3)，且在x=2处的导数为4，则a+b+c=？
8. 已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，其中a,b,c均为常数，且f(-1)=2，f(0)=1，f(1)=4，则f(-2)=？
9. 已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，其中a,b,c均为常数，且f(1)=0，f'(1)=-2，f''(1)=2，则f(-1)=？
10. 已知函数f(x)=x^3-3x，g(x)=f(x+1)，求g(x)的反函数。
19. 设稿件能通过两位初审专家评审的概率为p，不能通过的概率为1-p。则通过第一轮初审的概率为p^2+2p(1-p)=2p-p^2。不能通过第一轮初审的概率为(1-p)^2。因为第三位专家只在第二轮复审的情况下才会评审，所以第三位专家评审的概率为p(1-p)。复审通过的概率为p(1-p)+2(1-p)p(1-p)(1-p)=3p(1-p)^2。根据全概率公式，得到最终录用的概率为(2p-p^2)(1)+3p(1-p)^2(0.3)+(1-p)^2(0)=2p-0.3p^2-0.6p+0.3p^3+0=0.3p^3-0.3p^2+1.4p。求导得到0.9p^2-0.6p+1.4=0，解得p≈0.834。将p代入最终录用的概率公式，得到最终录用的概率为0.834。
1. 命题意图：考察对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，以及均值不等式的运用。
2. 命题意图：考察向量的数量积运算、圆的切线长定理以及判别式法。
解析：设 $PA=PB=x$，则 $\angle APO=\alpha$，$\angle
APB=2\alpha$，$PO=1+x^2$，$\sin
\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$。因此 $PA\cdot PB=x(1-2\sin
\alpha)=x-2\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，令 $PA\cdot PB=y$，则 $y=\frac{2x^4-x^2}{x^2+1}$。即 $x^2-(1+y)x-y=0$，由判别式法可得 $\Delta=(1+y)^2+4y\geq 0$，因此 $y\leq -3-\sqrt{2}$ 或
$y\geq -3+\sqrt{2}$。又因为 $PA\cdot PB>0$，所以 $y>0$，因此 $y\geq -3+\sqrt{2}$。因此，$PA\cdot PB$ 的最小值为 $-3+\sqrt{2}$，此时 $x=\sqrt{2}-1$。
PA·PB=
(1-x)(1-2x)
=2x+1/(x(2-x))
Or, we can establish the coordinate system: the equation of
the circle is x+y=1, and we assume that A(x1,y1), B(x1,-y1),
P(x,0),
2PA·PB=(x1-x,y1)·(x1-x,-y1)=x1^2-2x1x+x^2+y1^2
AO⊥PA⊥⇒(x1,y1)·(x1-x,y1)=⇒x1^2-x1x+y1^2=x1^2-y1^2
⇒x1x=y1^2
222PA·PB=x1^2-2x1x+x^2+y1^2=x1^2-2x1x+y1^2+1-1
=2x1^2-2x1+1-(1-x1)^2
=2x1^2-2x1+2x1-3
=2x1^2-x1-3≥2-3
=1/2 12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.
【解析1】Pass a plane PCD through CD to make
AB⊥plane PCD. Let P be the intersection of AB and P, and let the
distance from point P to CD be h, then we have
V(tetrahedron ABCD)=1/12·AB·CD·h=h. When the diameter
passes through the midpoint of AB and CD, hmax=√(2^2-1^2/4)=√23/2, so
Vmax=4/3·π·(√23/2)^3/3=4/3·π·(23√23)/12
【解析2】
13. [0,2]【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.
【解析1】The original inequality is equivalent to
2x^2+1≤(x+1)^2 and x+1≥0
⇒x^2-2x+1≤0 and x≥-1
⇒(x-1)^2≤0 and x≥-1
⇒x=1 and x∈[0,2]
【解析2】 14. -1
【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.
【解析1】Since α is an angle in the third quadrant,
2α∈(2(2k+1)π,π+2(2k+1)π)(k∈Z). Also, 3π/4cos2α<0, so
2α∈(+2(2k+1)π,π+2(2k+1)π)(k∈Z). Therefore, sin2α=-(3/5)^2=-9/25,
tan(α+2α)=tan3α=(3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α)
=tanα(3-tan^2α)/(1-3tan^2α)
=-4/3
