考研数学三(微积分)模拟试卷148(题后含答案及解析)
- 格式：doc
- 大小：35.00 KB
- 文档页数：7
考研数学三（微积分）模拟试卷148 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设f（x）在点x0的某邻域内有定义，且f（x）在点x0处间断，则在点x0处必定间断的函数是（ ）
A．f（x） sinx
B．f（x）+sinx
C．f2（x）
D．|f（x）|
正确答案：B
解析：若f（x）+sinx在x=x0处连续，则f（x）=[f（x）+sinx]—sinx在x=x0处连续，与已知矛盾。因此f（x）+sinx在点x0必间断。故选B。 知识模块：微积分
2． 设f（x）在点x=a处可导，则函数|f（x）|在点x=a处不可导的充分必要条件是（ ）
A．f（a）=0，且f’（a）=0
B．f（a）=0，且f’（a）≠0
C．f（a）＞0，且f’（a）＞0
D．f（a）＜0，且f’（a）＜0
正确答案：B
解析：若f（a）≠0，由复合函数求导法则有因此排除C和D。（当f（x）在x=a可导，且f（a）≠0时，|f（x）|在x=a点可导。）当f（a）=0时，上两式分别是|f（x）|在x=a点的左、右导数，因此，当f（a）=0时，|f（x）|在x=a点不可导的充要条件是上两式不相等，即f’（a）≠0时，故选B。 知识模块：微积分
3． 设函数f（x）在（0，+∞）上具有二阶导数，且f”（x）＞0，令un=f（n）（n=1，2，…），则下列结论正确的是（ ）
A．若u1＞u2，则{un}必收敛
B．若u1＞u2，则{un}必发散
C．若u1＜u2，则{un}必收敛
D．若u1＜u2，则{un}必发散
正确答案：D
解析：本题依据函数f（x）的性质选取特殊的函数数列，判断数列{un= f（n）}的敛散性。取f（x）=—lnx，f”（x）=＞0，u1=— lnl=0＞— ln2=u2，而f（n）=—lnn发散，则可排除A；取f（x）=＞0，u1=1＞=u2，而f（n）=收敛，则可
排除B；取f（x）=x2，f”（x）=2＞0，u1=1＜4=u2，而f（n）=n2发散，则可排除C；故选D。事实上，若u1＜u2，则=f’（ξ1）＞0。而对任意x∈（ξ1，+∞），由f”（x）＞0，所以f’（x）＞f’（ξ1）＞ξ1∈（1，2）＞0，对任意ξ2∈（ξ1，+∞），f（x）=f（ξ1）+f’（ξ2）（x—ξ1）→+∞（x→+∞）。故选D。 知识模块：微积分
4． 已知函数y=f（x）对一切的x满足xf”（x）+3x[f’（x）]2=1—e—x，若f’（x0）=0（x0≠0），则（ ）
A．f（x0）是f（x）的极大值
B．f（x0）是f（x）的极小值
C．（x0 ，f（x0））是曲线y=f（x）的拐点
D．f（x0）不是f（x）的极值，（x0，f（x0））也不是曲线y=f（x）的拐点
正确答案：B
解析：由f’（x0）=0知，x=x0是y=f（x）的驻点。将x=x0代入方程，得x0f”（x0）+3x0[f’（x0）]2=1— e—x0，即得f”（x0）=＞0（分x0＞0与x0＜0讨论），由极值的第二判定定理可知，f（x）在x0处取得极小值，故选B。 知识模块：微积分
5． 由曲线y=1—（x—1）2及直线y=0围成的图形（如图1—3—1所示）绕y轴旋转一周而成的立体体积y是（ ）
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：根据选项，需要把曲线表示成x=x（y），于是要分成两部分：则所求立体体积为两个旋转体的体积差，其中 知识模块：微积分
6． 设函数f（x，y）可微，且对任意x，y都有＜0，则使不等式f（x1，y1）＜f（x2，y2）成立的一个充分条件是（ ）
A．x1＞x2，y1＜y2
B．x1＞x2，y1＞y2
C．x1＜x2，y1＜y2
D．x1＜x2，y1＞y2
正确答案：D
解析：由＜0，需对x和y分开考虑，则已知的两个不等式分别表示函数f（x，y）关于变量x是单调递增的，关于变量y是单调递减的。因此，当x1＜x2，y1＞y2时，必有f（x1，y1）＜f（x2，y1）＜f（x2，y2），故选D。 知识
模块：微积分
7． 设函数f（x）连续，若F（u，υ）=，其中区域Duυ为图1—4—1中阴影部分，则
A．υf（u2）
B．f（u2）
C．υf（u）
D．f（u）
正确答案：A
解析：题设图像中所示区域用极坐标表示为0≤θ≤v，1≤r≤u因此可知根据变限积分求导可得=υf（u2）。 知识模块：微积分
8． 下列命题成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：由于=0中至少有一个不成立，则级数中至少有一个发散，故选C。 知识模块：微积分
9． 方程y”一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式为（ ）
A．y=axex+b+Aexcos2x
B．y=aex+b+ex（Acos2x+Bsin2x）
C．y=aex+b+xex（Acos2x+Bsin2x）
D．y=aex+b+ex（Acos2x+Bsin2x）
正确答案：D
解析：齐次微分方程y”一3y’+2y=0的特征方程为r2一3r+2=0，特征根为r1=1，r2=2，则方程y”-3y’+2y=ex+1+excos2x的特解为y=axex+b+ex(4cos2x+Bsin2x)，故选D。 知识模块：微积分
填空题
10．
正确答案：
解析： 知识模块：微积分
11． 已知则y’=________。
正确答案：
解析：等式两边取对数，则有等式两边分别对x求导，有 知识模块：微积分
12． 设函数y=则 y（n）（0）=________。
正确答案：
解析：本题求函数的高阶导数，利用归纳法求解。 知识模块：微积分
13． 曲线的斜渐近线方程为________。
正确答案：
解析：设所求斜渐近线方程为y= ax+b。因为于是所求斜渐近线方程为 知识模块：微积分
14．
正确答案：
解析：设x—2=t，dx=dt，当x=1时，t=—1；当x=4时，t=2。于是 知识模块：微积分
15． 设z=z（x，y）由方程z+ez= xy2所确定，则dz=________。
正确答案：（y2dx+2xydy）
解析：方程两端对x求偏导， 知识模块：微积分
16． 积分∫01dx
正确答案：1 — sin1
解析：积分区域D如图1—4 —12所示 知识模块：微积分
17． 设a1=1，an=2 021，则级数（an+1一an）的和为________。
正确答案：2020
解析：级数（an+1一an）的部分和数列为Sn=（a2—a1）+（a3—a2）+…+（an+1一an）=an+1—an=an+1—1。则an+1一1=2021一l =2 020。 知识模块：微积分
18． 微分方程满足初始条件y|x=1=1的特解是________。
正确答案：x=y2+y
解析：将x看作未知函数，则上式为x对y的一阶线性方程，又因y|x=2=1
＞0，则将x=2，y=1代入，得C=1。故x=y2+y。 知识模块：微积分
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．
正确答案：该极限式为1∞型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，
涉及知识点：微积分
20． 证明4arctanx —x+=0恰有两个实根。
正确答案：令f（x）=4arctanx —x+。则有又因为=一∞，根据介值定理可知，存在ξ∈（，+∞），使得f（ξ）=0。且当x＞时，f’（x）＜0，f（x）单调下降，可得x=ξ是区间（，+∞）内的唯一一个实根。因此4arctanx —x+=0恰有两个实根x=与x=ξ。 涉及知识点：微积分
21． 设生产某产品的固定成本为60 000元，可变成本为20元／件，价格函数为P=60—（P是单价，单位：元；Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（Ⅰ）该商品的边际利润；（Ⅱ）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义；（Ⅲ）使得利润最大的定价P。
正确答案：已知P=60 —，因此Q=1 000（60 — P）。由总成本C（P）=60
000+20Q=1 260 000 — 20 000P，总收益R（P）=PQ=—100P2+60 000P，总利润L（P）=R（P）—C（P）=—1000P2+80 000P —1 260 000。（Ⅰ）边际利润L’（P）=—2 000P+80 000。（Ⅱ）当P= 50时的边际利润为 L’（50）=—2 000×50 +80 000=— 20 000，其经济意义为在P= 50时，价格每提高1元，总利润减少20 000元。（Ⅲ）由于L（P）在（0，40）递增，在（40，+∞）递减，故当P=40时，总利润最大。 涉及知识点：微积分
22．
正确答案： 涉及知识点：微积分
23． 设f（x），g（x）在[0，1]上的导数连续，且f（0）=0，f’（x）≥0，g’（x）≥0。证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx≥f（a）g（1）。
正确答案：设 F（x）=∫0xg（t）f’（t）dt+∫01f（t）g’（t）dt一f（x）g（1），则F（x）在[0，1]上的导数连续，并且F’（x）= g（x）．f’（x）—f’（x）g（1）=f’（x）[g（x）一g（1）]。由于x∈[0，1]时，f’（x）≥0，g’（x）≥0，因此F’（x）≤0，即F（x）在[0，1]上单调递减。注意到F（1）=∫01g（t）f’（t）dt +∫01（t）g’（t）dt —f（1）g（1），故 F（1）=0。因此x∈[0，1]时，F（x）≥F（1）=0，由此可得对任何a∈[0，1]，有∫0ag（x）f’（x）dx+f（x）g’（x）dx≥f（a）g（1）。∫0ag（x）f’（x）dx =g（x）f’（x）|0a一∫0af（x）
