弧长的计算

第２７卷第５期　２００７年１　０月　大地测量与地球动力学　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＧＥＯＤＥＳＹ　ＡＮＤ　ＧＥＯＤＹＮＡＭＩＣＳ　Ｖｏ１．２７　Ｎｏ．５　０ｃｔ．．２００７　文章编号：１６７１—５９４２（２００７）０５－００５９－０４　任意精度的子午线弧长递归计算　刘仁钊　伍吉仓　（同济大学测量与国土信息工程系，上海２０００９２）　摘　要　根据子午线弧长计算公式，推导出基于递归关系的任意精度的子午线弧长的一种新的计算方法，以及基　于Ｃ／Ｃ＋＋语言的子午线弧长具体方法的实现，最后在ＶＣ６．０中进行了验证。结果表明，该方法可满足不同精度　要求的弧长计算。　关键词　子午线弧长公式推导递归计算Ｃ／Ｃ＋＋程序精度分析　中图分类号：Ｐ２２６　文献标识码：Ａ　ＲＥＣＵＲＳＩＶＥ　ＣｏＭＰＵＴＡＴＩｏＮ　ｏＦ　ＭＥＲＩＤＩＡＮ　ＡＲＣ　ＬＥＮＧＴＨ　ＷＩＴＨ　ＤＩＳＣＲＥＴＩｏＮＡＲＹ　ＰＲＥＣＩＳＩＯＮ　Ｌｉｕ　Ｒｅｎｚｈａｏ　ａｎｄ　Ｗｕ　Ｊｉｃａｎｇ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆＳｕｒｖｅｙｉｎｇ　ａｎｄ　Ｇｅｏｉｎｆｏｒｍａｔｉｃｓ，Ｖｏｎｇｉｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ　２０００９２）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ａ　ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍｅｒｉｄｉａｎ　ａｒｃ　ｌｅｎｇｔｈ　ｗｉｔｈ　ｄｉｓｃｒｅｔｉｏｎａｒｙ　ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　ｉｓ　ｄｅ－　ｄｕｃｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｒｃ　ｆｏｒｍｕｌａ，ａｎｄ　ｉｔｓ　ｄｅｔａｉｌｅｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ａｓ　ｗｅｌｌ　ａｓ　ｐｒｏｇｒａｍ　ｉｎ　Ｃ／Ｃ＋＋ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ．Ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ａｒｃ　ｌｅｎｇｔｈ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ　ｔｈｒｏｕｇｈ　Ｍｉｃｒｏｓｏｆｔ　ＶＣ＋＋６．０．ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔ　ｉｎｄｉｃａｔｅｓ　ｔｈａｔ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｐｒｅｃｉ－　ｓｉｏｎｓ　ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔ　ｉｎ　ｖａｒｉｏｕｓ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ｍｅｔ　ｗｉｔｈ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｍｅｒｉｄｉａｎ　ａｒｃ　ｌｅｎｇｔｈ，ｆｏｒｍｕｌａ　ｄｅｄｕｃｔｉｏｎ，ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，Ｃ／Ｃ＋＋ｐｒｏｇｒａｍ，ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ　１　引言　众所周知，子午线弧长是大地测量学中的一个　基本量，在大地坐标计算、ＧＰＳ定位和导航、ＧＩＳ地　理坐标数据表达、高斯平面直角坐标计算以及经典　的弧度测量中，都需要计算两点之间的子午线弧长。　由于子午线弧长的计算涉及到椭圆积分，所以在现　有的教材¨卫　中都是将其展开成级数形式，再用逐　项积分的方法求出满足一定精度要求的计算公式。　为了使公式在应用中表达更简洁或精度更高，不少　文献对此进行过探讨　。文献［６］甚至将级数展　开到含ｅ　项的直接解算，文献［７］采用数值积分方　法，研究了子午弧长的正反解，文献［８］在现有弧长　公式上作了有益的探索。本文根据文献［９］的研究　思路推导出通过递归方法计算子午线弧长的算法，　该算法过程简洁，逻辑性强，无需针对具体的椭球，　适用于任意弧长精度。　２子午线弧长的计算　文献［２］将椭圆积分化成正弦倍角函数，根据　精度系数项展开至ｅ一。，计算从赤道纬度０。～纬度　的一段子午线弧长的公式如下：　＝ｎ（１一ｅ　）Ｊ。（１一ｅ２ｓｉｎ２／３）一亏吐Ｂ＝　收稿日期：２００７－０２－１５　基金项目：国家自然科学基金（４０６７４００４）　作者简介：刘仁钊，男，１９６４年生，博士，主要研究方向为大地ｆ则　和ＧＰＳ数据处理．Ｅ—ｍａｉｌ：ｒｅｎｚｈａｏ—ｌｉｕ＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｎ．ｃｎ

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精品 高庙王中学双案教学设计

学科 数学 年级 九 时间 11.27 总序号 51

课题

弧长的计算公式 主备人 甄守鲁

授课人 甄守鲁

教学目标

和

学习目标

1、经历探索弧长计算公式的过程，会推导弧长的计算公式

2、会运用弧长计算公式计算有关问题

教学重点

教学难点

目标2

师

生

互

动

过

程

教学内容和学生活动 教师活动

一、创设情境 引入新课

某圆拱桥的半径是30m，桥拱AB 所对的圆心角∠AOB=90°，你会求桥拱AB的长度吗？（精确到0.1m）

出示课本中小亮的做法，让学生判断正误

二、探索活动

1、探索弧长计算公式

⑴1°的圆心角所对的弧长是多少？

分析：1°的圆心角所对的弧长是圆周长的3601，即1803602RR

⑵n°的圆心角所对的弧长是多少？

分析：n°的圆心角所对的弧长是1°的圆心角所对的弧长的n倍，即180Rnl

⑶引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算公式，弧长计算公式180Rnl，揭示了Rnl,,这3个量之间的一种相等关系。在Rnl,,这3个量中，

出示问题，让学生自主探索

强调：公式中的n不带单位，n表示1°的圆心角所对的弧长的倍数 .

精品 如果知道 .

精品 其中的两个量，就可以由弧长计算公式，求出另一个量。

师

生

互

动

过

程

教学内容和学生活动 教师活动 .

精品

三、例题讲解

例1 弯制铝合金框架时，先要按中心线计算框架的展直长度再下料，计算如图所示框架的展直长度（精确到1mm）

四、练习

1、已知圆弧的半径为30cm，它所对的圆心角为70o，求这条圆弧的长度（精确到0.1cm）

学生小组交流讨论，然后找一名学生到黑板上板演

2、已知圆的半径为9cm，求20o的圆心角所对的弧的长度（精确到0.1cm）

3、已知一条弧的长度为πR／4，半径为R，求这条弧所对的圆心角的度数

4、如图,已知扇形的圆心角为150°,弧长为20πcm,求扇形的半径.

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;. 高庙王中学双案教学设计

学科 数学 年级 九 时间 11.27 总序号 51

课题

弧长的计算公式 主备人 甄守鲁

授课人 甄守鲁

教学目标

和

学习目标

1、经历探索弧长计算公式的过程，会推导弧长的计算公式

2、会运用弧长计算公式计算有关问题

教学重点

教学难点

目标2

师

生

互

动

过

程

教学内容和学生活动 教师活动

一、创设情境 引入新课

某圆拱桥的半径是30m，桥拱AB 所对的圆心角∠AOB=90°，你会求桥拱AB的长度吗？（精确到0.1m）

出示课本中小亮的做法，让学生判断正误

二、探索活动

1、探索弧长计算公式

⑴1°的圆心角所对的弧长是多少？

分析：1°的圆心角所对的弧长是圆周长的3601，即1803602RR

⑵n°的圆心角所对的弧长是多少？

分析：n°的圆心角所对的弧长是1°的圆心角所对的弧长的n倍，即180Rnl

⑶引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算公式，弧长计算公式180Rnl，揭示了Rnl,,这3个量之间的一种相等关系。在Rnl,,这3个量中，如果知道其中的两个量，就可以由弧长计算公式，求出另一个量。

出示问题，让学生自主探索

强调：公式中的n不带单位，n表示1°的圆心角所对的弧长的倍数 ..

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师

生

互

动

过

程

教学内容和学生活动 教师活动

三、例题讲解

例1 弯制铝合金框架时，先要按中心线计算框架的展直长度再下料，计算如图所示框架的展直长度（精确到1mm）

四、练习

1、已知圆弧的半径为30cm，它所对的圆心角为70o，求这条圆弧的长度（精确到0.1cm）

2、已知圆的半径为9cm，求20o的圆心角所对的弧的长度（精确到0.1cm）

3、已知一条弧的长度为πR／4，半径为R，求这条弧所对的圆心角的度数

4、如图,已知扇形的圆心角为150°,弧长为20πcm,求扇形的半径.

学生小组交流讨论，然后找一名学生到黑板上板演

弧的长度计算公式

弧的长度是指圆弧上的距离。它可以用下面的公式计算：

弧长 = 圆心角 * 半径

其中，圆心角是以弧所在圆的圆心为原点的弧所对应的角，单位为弧度。

另外也可以使用下面的另一种公式计算弧长：

弧长 = 2π * 半径 * (圆心角/ 2π )

其中，π是圆周率的值，约为3.14159。

注意，这两种公式都需要圆心角的单位是弧度。如果圆心角的单位是度，那么需要将度转换为弧度再进行计算。

另外, 要注意的是，弧长的计算公式仅适用于圆弧。如果是椭圆弧或者是其他曲线弧，那么就需要使用导数或者数值积分来进行计算。

对于椭圆弧来说，弧长公式为：

L = 4aE(e^2)^(1/2) / (1-e^2)^(3/2)

其中， a 为长轴半径，e 为离心率, E(e^2) 是椭圆积分的一种, 可以使用数学软件计算.

对于其他曲线弧来说，可以使用导数或者数值积分来计算。导数法是通过求出曲线的导函数，然后积分得到弧长。而数值积分法则是通过将曲线分割成若干个小段，然后使用数学公式计算每一段的长度，最后将所有段的长度加起来得到弧长。 总之, 弧长计算公式是在确定的条件下计算, 根据不同的弧类型会有不同的计算方法。

对于圆弧来说, 还有一种常见的弧长计算方法是使用三角函数。通过知道圆的直径，圆心角以及圆心角的正切值，可以使用下面的公式来计算圆弧的长度:

弧长 = 圆心角*直径/2

或者

弧长 = 圆心角直径tan(圆心角/2)

这种方法可以直接通过数学公式计算弧长，而不需要像导数或数值积分那样进行复杂的计算。

最后，在使用这些公式计算弧长时，还需要注意一点就是，在使用角度计算时角度单位必须一致，通常都使用弧度来计算，如果是角度需要进行转换。