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第五章：角动量、关于对称生我们将在本章，讨论动量和能量之外的另一个重要的守恒量，即角动量，认识这一概念，它的变化规律和它的守恒，动量和能量不能反映运动的全部特点。
本章介绍经电动力学的适用范围，第六章再、介绍万有引力定律哦的适用范围。
§5.1 质点的角动量一、 质点的角动量开普勒描述行星运动时曾谈到行星沿平面轨道运行，开普勒三个定律如下：1.第一定律；行星都沿着椭圆轨道运动太阳位于椭圆的一个焦点处，如图（5-1.1）所示。
2.第二定律；在航行运动时，联结行星和太阳的线，在相等时间内永远扫出同样大小的面积，图（5-1.2）。
3.第三定律：行星公转周期（公转一次的时间）T 的平方与它们的轨道长半轴a 的立方成正比，即 23112322T a T a =；将行星视为质点分别用r v 和u v表示行星的位置失量和速度。
dtu v 表示质点在时间dt 内的位移dt 内位置矢量扫过面积的大小可用2dtr u ´v v 表示，掠面速度大小则等于2r u ´v v ，2r u´v v 的方向恰与纸面垂直，它的方向不变正可用来表示轨道在一平面内，于是称矢量。
2r u´vv 为掠面速度上述行星的运动规律可写作， 2r u´v v =恒矢量。
它既能说明行星掠面速度大小不变又能指明轨道总在同一平面上。
图（5-1.3）所示。
质点A 的质量为 m, 速度 u v 位置矢量r v ，质点A 的矢径r v与质点动量P m u =u v v 的矢积称为质点（矢量乘积）A 对O 点的动量矩，用l v 表示L Pm g g u =? u v u v u v u v v ；图(5-1.4)上，矢量L u v 垂直与由g u v组成的平面矢量L u v 的大小为sin sin L p m g a ug a ==a 为矢量g u v 的正方向和矢量p u v 的正方向之间的夹角，角动量的大单位为2./kg m s .量纳为[]21L L MT-=，图（5-1.5）所示。
讨论张力和重力的力矩
三、力对点的力矩与对轴的力矩之间的关系
质点对点的角动量定理及其守恒定律
作用在质点上的合外力对参考点的力矩等于
此为角动量定理的积分形式（也称冲量矩定理）
质点对某轴的角动量对时间的变化率等
平面内的分量亦即质点角动量与Z轴存在一个夹角，我们可将其在
质点系对轴的角动量定理及其守恒定律我们考虑几个质点均分别在与Z轴垂直平面内运动，
考虑到前面已经证明成对出现的内力对参考点力
)
5.2.5轴的角动量对时间的变化率等于质点
轴的力矩之和始终为
在质心参照系中观察，各质点除受常力外，尚有惯性力
当运动速度远小于光速时，经典力学适用。
可将经典在经典力学中，物质的粒子性、波动性截然分开，量子力学以为在一些条件下粒子性是主要的，在另一些
当表征质点（粒子）的某些量（如角动量）远远大于普朗克常量时，可以用经典力
）相比时经典力学要让位于量子力学；
在量子力学中，粒子的能量、角动量均取分立值（经典力学中取连续值），速度与坐标不能同时确定。
第五章 角动量 关于对称性思考题解答5.1下面的叙述是否正确,试作分析,并把错误的叙述改正过来:(1) 一定质量的质点在运动中某时刻的加速度一经确定，则质点所受的合力就可以确定了，同时作用于质点的力矩也就确定了。
(2) 质点作圆周运动必定受到力矩的作用；质点作直线运动必定不受力矩的作用。
(3) 力1F 与z 轴平行，所以力矩为零；力2F与z 轴垂直，所以力矩不为零。
(4) 小球与放置在光滑水平面上的轻杆一端连结，轻杆另一端固定在铅直轴上。
垂直于杆用力推小球，小球受到该力力矩作用，由静止而绕铅直轴转动，产生了角动量。
所以，力矩是产生角动量的原因，而且力矩的方向与角动量方向相同。
(5) 作匀速圆周运动的质点，其质量m ，速率v 及圆周半径r 都是常量。
虽然其速度方向时时在改变，但却总与半径垂直，所以，其角动量守恒。
答：（1）不正确. 因为计算力矩, 必须明确对哪个参考点. 否则没有意义. 作用于质点的合力可以由加速度确定. 但没有明确参考点时, 谈力矩是没有意义的.（2）不正确. 质点作圆周运动时, 有两种情况: 一种是匀速圆周运动, 它所受合力通过圆心; 另一种是变速圆周运动, 它所受的合力一般不通过圆心. 若对圆心求力矩, 则前者为零, 后者不为零.质点作直线运动, 作用于质点的合力必沿直线. 若对直线上一点求力矩, 必为零; 对线外一点求力矩则不为零.（3）不正确. 该题应首先明确是对轴的力矩还是对点的力矩. 力与轴平行, 力对轴上某点的力矩一般不为零, 对轴的力矩则必为零.力与轴垂直, 一般力对轴的力矩不为零, 但力的作用线与轴相交, 对轴力矩应为零（4）不正确. 因为一个物体在不受力的情况下, 保持静止或匀速直线运动状态, 它对直线外一点具有一定的角动量而并无力矩. 根据角动量定理, 力矩为物体对同一点角动量变化的原因. 力矩的方向与角动量变化的方向相同, 而与角动量的方向一定不相同.（5）不正确. 因为作匀速圆周运动的质点, 所受合力通过圆心, 对圆心的力矩为零，对圆心的角动量守恒，但对其他点，力矩不为零，角动量不守恒。
第五章 角动量 关于对称性§5.1质点的角动量一质点的角动量为了描述质点相对某一参考点的运动，引入动量矩（或角动量）的概念。
1定义：质点对于参考点的位置矢量与质点动量的矢积叫质点对该点的角动量（或动量矩）。
用“L ”表示。
L r mv r p =⨯=⨯L是矢量：其大小：以r 和p为邻边的平行四边形的面积。
sin L rp γ=γ ：由r 逆时针转道p ，r 和p的夹角其方向：垂直r 和p 平面且r 、p 和L构成右手螺旋关系。
2说明：L r mv r p =⨯=⨯：含有因子p，因此L和参考系选择有关。
含有因子r ，r依赖于参考点的位置，故L和参考点的选择有关。
如图所示：O 点离直线运动的轨迹越远，L越大。
为了明确L 对参考点的依赖性，作图时常把角动量L矢量的起点置于参考点上。
3量纲：21dim L L MT -= 4单位：SI 中：2/kg m s ⋅ 二 力对一参考点的力矩O ：空间一参考点； F：作用力； A ：受力质点（力的作用点）1力矩：受力质点A 相对O 点的位置矢量r与力F矢量的矢积τ，叫做力F对参考点O 的力矩。
r F τ=⨯是矢量。
大小：sin rF τα= α：由r 沿小于π的角转到F 时，r 和F成的角方向：垂直于r和F决定的平面，r、F和τ成右手螺旋关系。
2说明：τ 依赖于r ，所以τ 和参考点的选择有关。
τ的起点也画在参考点上。
3单位：SI 中：“牛顿米”（N m ） 4量纲：22L MT-oOrp5几个力的力矩的矢量和若一个质点同时受几个力的作用，则诸力力矩的矢量和：12i ni r F r F r F r F r F ⨯=⨯+⨯++⨯=⨯∑∑结论：诸力矩的矢量和等于合力对于参考点的力矩三 质点对参考点的角动量定理和守恒定律 1质点对参考点的角动量定理()i d F mv dt =∑ ()()i d d r F r mv r mv dt dt⨯=⨯=⨯∑ 又()()()d dr d d r mv mv r mv v mv r mv dt dt dt dt⨯=⨯+⨯=⨯+⨯而0v mv ⨯=所以()()i d d d r F r mv r mv L dt dt dt τ=⨯=⨯=⨯=∑ 质点对参考点的角动量定理的数学表达式：d L dtτ=内容：质点对参考点O 的角动量对时间的变化率等于作用于质点合力对该点的力矩。
例题：习题5.132质点对参考点的角动量守恒定律若 τ=0，则0d L dt= L =恒矢量内容：若作用于质点的合力对参考点O 的力矩总保持为零，则质点对该点的角动量不变。
例1：质点作匀速直线运动，所受合力为零，对任何参考点的力矩也为零，角动量为恒量。
例2：行星受万有引力的作用绕太阳转动，万有引力是有心力，力心在太阳中心，有心力对力心的力矩为零，所以行星对太阳中心的角动量守恒。
四 质点对轴的角动量定理和守恒定律 1力对轴的力矩：O ：参考点； 质点A 受力F ，A 相对于O 点的位矢为r，力F 对O 点的力矩：r F τ=⨯定义：过O 点取z 坐标轴，F对O 点的力矩在z 轴上的投 影z τ叫力对z 轴的力矩。
过质点A 作一平面和z 轴垂直，将r分解成和z 轴平行与垂直的1r 和2r；F 分解为在平面内的1F 及和z 轴平行的2F。
则： 121211122122()()r F r r F F r F r F r F r F τ=⨯=+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯因为 22r F，所以220r F ⨯=令 112r F τ=⨯，12F τ⊥，而2F z轴，所以1τ和z 轴垂直。
令221r F τ=⨯，22r τ⊥ ，而2r z 轴，所以2τ和z 轴垂直所以力对O 点力矩在z 轴上的投影11sin z r F τα=α ：面对z 轴观察，由1r逆时针转到1F转过的角度。
力对轴（z 轴）的力矩：力F 对O 点的力矩在过O 点轴（z 轴）上的投影，或者说力F对z轴上O 点的力矩在z 轴上的投影称为力对轴（z 轴）的力矩，用z τ表示。
F对z 轴上不同点点的力矩不同，但在z 轴上的投影相同。
若 r和F恰在与z 轴垂直的平面上，则力对z 轴的力矩为：sin z rF τα= 2质点对轴的动量矩依照上面研究力矩的方法定义：质点对轴上某点的动量矩在轴上的投影叫质点对轴的动量矩，用“z L ”表示。
11()sin z z L r p r p γ=⨯=γ：面对z 轴观察由1r 逆时针转到1p转过的角度。
1r ：质点到轴的垂直距离； 1p：动量在与z 轴垂直平面上的分量。
若 r 和p恰在与z 轴垂直的平面上，则sin z L rp γ= 3 质点对轴的角动量定理质点对参考点O 的角动量定理： d L dtτ=过O 点作z 轴，将上式对z 轴投影得：zz dL dtτ= 4 质点对轴的角动量守恒定律：若0z τ=，则0zdL dt=，z L =恒量。
§5.2质点系的角动量定理及角动量守恒定律一质点系对参考点的角动量定理及角动量守恒定律1质点系对参考点的角动量：质点系内各质点对于参考点O 的角动量的矢量和 即：i i i i L F mv L =⨯=∑∑2质点系对参考点的角动量定理：质点 i 受的力i F分为：内力in F和外力iw F；所受力矩i τ也分为内力矩in τ和外力矩iw τ则 i i d L dt τ=得：in iw i d L dtττ+=对所有质点求和：in iw i i i i d L dtττ+=∑∑∑根据牛顿第三定律，质点i 和质点j 的相互作用力：ij ji F F =-且作用于一条直线，这一对相互作用力的力矩之和：()in i ij j ji i j ij r F r F r r F τ=⨯+⨯=-⨯ij F 和()i j r r -共线， 0in τ∴=即成对出现的内力对O 点的力矩矢量和为零，0in τ=∑而 i i dL ddL L dt dt dt==∑∑所以质点系对参考点O 的角动量定理：iw dL dtτ=∑表述：质点系对参考点O 的角动量随时间的变化率等于外力对该点力矩的矢量和。
3 质点系对参考点O 的角动量守恒定律若0iw τ=∑，则L =恒量表述：若外力对参考点O 的力矩的矢量和始终为零，该质点系对该点的角动量保持不变。
二 质点系对轴的角动量定理及守恒定律仅研究几个质点均分别在与z 轴垂直的平面内运动的情况 1质点系对轴的角动量定理：对质点系中的某个质点i ：(sin )iz iz i i i i dL drm v dt dtτγ== 质点i 所受的合力对z 轴的力矩可分为内力矩inz τ和外力矩iwz τ(sin )inz iwz i i i i drm v dtττγ∴+=对n 个质点求和：(sin )inz iwz i i i i drm v dtττγ+=∑∑∑由于0inτ=∑0i n z τ∴=∑Oi rj rij Fji F()i j r r -(sin )iwz i i i i z d d rm v L dt dtτγ∴==∑∑质点系对轴的角动量定理：质点系对于z 轴的角动量随时间的变化率等于质点系所受一切外力对z 轴的力矩之和。
2 质点系对轴的角动量守恒定律： 若0i n zτ=∑ 则sin z i i i i L rmv γ==∑恒量表述：若质点系所受一切外力对z 轴的力矩之和始终为零，则质点系对z 轴的角动量保持不变。
若各质点绕z 轴作圆周运动，2i πγ=±，sin 1i γ=，质点系对z 轴的角动量2z ii ii i iL r m v m r ω==∑∑若i m 一定时，i r 越大，i ω越大，z L 越大。
若z L 一定时，i r 变小，则i ω增大；i r 增大，i ω减小。
例题：如图所示，滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相同而处于平衡。
现有距盘底为h 质量为'm 的胶泥自由落下，求胶泥粘在盘上时获得初速度。
滑轮和绳的质量忽略不计，不计轴承摩擦及绳的伸长。
分析：盘、物体、胶泥视为质点系，所受外力即为重力和绳的拉力。
拉力相等，盘和物体所受重力相等，他们对轴心O 的力矩也相等，但方向相反，之和为零。
所以质点系所受外力对O 轴的力矩之和就等于胶泥的重力矩，不等于零。
但在胶泥和盘相碰时，内力矩远大于重力矩，故重力矩可以忽略，近似认为它们相碰时质点系对O 轴的角动量守恒。
取垂直纸面朝外的方向为O 轴的正方向。
设胶泥粘在盘上时获得初速度为v 胶泥落到盘底的速度0v =又因为 ''120()R m m v Rmv Rmv ++=绳不可伸长则 12v v v =='0'2m v v m m ==+ 此题不能用动量守恒定率解答，因为1 盘、物体、胶泥这个质点系在相碰过程中受外力为绳的拉力和重力，由于冲击绳的拉力会增大，重力无变化，外力之和不等于零，所以动量不守恒。
2 由计算系统的动量直接说明总动量不守恒。
