2018年广西柳州市高考数学一模试卷(理科)
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2018年广西柳州市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(★)设集合 ，集合B={y|y=2 x，x＜0}，则A∪B=（ ）
A．（-1，1]
B．[-1，1]
C．（-∞，1]
D．[-1，+∞）
2．(★)已知复数Z= （i是虚数单位），则复数Z的共轭复数是（ ）
A．1+i
B．1-i
C．
D．
3．(★)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（ ）
A．壬子年
B．辛子年
C．辛丑年
D．庚丑年
4．(★)设f（x）= costdt，则f（f（ ））=（ ）
A．1
B．sin
C．sin 2
D．2sin
5．(★★★)抛物线y 2=4x的焦点到双曲线 的渐近线的距离是（ ）
A．
B．
C．1
D．
6．(★)函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间 内的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．(★)如图是把二进制数11111 （2）化为十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞4
B．i≤4
C．i＞5
D．i≤5
8．(★★)如图所示的由8根长均为10cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，把一个皮球放入其中，使皮球的表面与8根铁丝都相切，则皮球的半径（ ）
A．
B．10
C．
D．5
9．(★★★)《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”．今共有粮98石，按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”，已知乙分得28石，则“衰分比”为（ ）
A． B．2 C．或2 D．或
10．(★★)设a∈R，若函数y=x+alnx在区间（ ，e）有极值点，则a取值范围为（ ）
A．（，e）
B．（-e，-）
C．（-∞，）∪（e，+∞）
D．（-∞，-e）∪（-，+∞）
11．(★★)某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（ ）
A．22种
B．24种
C．25种
D．36种
12．(★★)设P为椭圆C： （a＞b＞0）上的动点，F 1、F 2为椭圆C的焦点，I为△PF 1F 2的内心，则直线IF 1和直线IF 2的斜率之积（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(★★)设A（1，1）、 ，点C满足 =2 ，则点C到原点O的距离为
．
14．(★★★)设x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最小值是 ．
15．(★★)（1+3x） n（其中n∈N且n≥6）的展开式中，x 5与x 6的系数相等，则n= ．
16．(★★★)设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E，F在棱A 1B 2上，动点P、Q分别在棱AD、CD上，若EF=1，A 1E=x，DQ=y，DP=Z，（x，y，z＞0），则下列结论中正确的是
．
①EF∥平面DPQ；
②三菱锥P---EFQ的体积与Y的变化有关，与x、z的变化无关；
③异面直线EQ和AD 1所成角的大小与x、y、z的变化无关．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(★★★)如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且2acosC-c=2b．
（1）求角A的大小；
（2）若∠ABC= ，AC边上的中线BD的长为 ，求△ABC的面积．
18．(★★★)未来制造业对零件的精度要求越来越高，3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模具，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，测量其内径为99.7，99.7，99.8，100.2，100.5，100.7，100.8，100.9，101.3，101.4；（单位：um）．
（1）计算平均值μ与标准差σ；假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ 2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，测量其内径分别为（单位：um）：99.1，99.5，101.5，102.1，102.2，试问此打印设备是否需要进一步调试，请说明理由．
（2）为判断一个零件的优劣，从加工中的零件重任意抽取一件，记其内径为x，并根据下表规则进行划定等级：
从抽取的10个零件重，抽取3个，设抽出的3个零件中是优秀零件的个数为X，并求X的分布列及数学期望．
参考数据：P（u-2σ＜Z＜u+2σ）=0.9544，P（u-3σ＜Z＜u+3σ）=0.9974．
质量指标值分组 x＜98.7
[98.7，99.9）
[99.9，101.1）
[101.1，102.3）
X＞102.3
等级
不合格
合格
优秀
合格
不合格
19．(★★★★)如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．
20．(★★★)如图，抛物线顶点在原点，圆（x-1） 2+y 2=1的圆心恰是抛物线C的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设抛物线的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与抛物线C交于A、B两点，l 2与抛物线C交于D、E两点，求 的最小值．
21．(★★★★★)已知函数f（x）=xlnx．
（1）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；
（2）若函数g（x）=x 2 存在两个极值点x 1，x 2，其中x 1＜x 2，证明不等式：
．
（二）选考题：共10分，请考生在第22-23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(★★★★)在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为 （β为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ （1）将C 1的方程化为普通方程，将C 2的方程化为直角坐标方程；
（2）已知直线l的参数方程为 （ ＜α＜π，t为参数，且t≠0），l与C 1交于点A，l与C 2交于点B，且|AB|= ，求α的值．
23．(★★★)已知函数 ，且f（x）≥t恒成立．
（1）求实数t的最大值；
（2）当t取最大时，求不等式 的解集．
