2009年广州市普通高中毕业班综合测试(理科)(二)

试卷类型：A

2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数 学（理科）

2009.４

本试卷共4页，21小题， 满分150分。 考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式ShV31， 其中S是锥体的底面积， h是锥体的高．

球的表面积公式24SR，其中R为球的半径．

如果事件A、B互斥，那么PABPAPB．

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率C1nkkknnPkpp．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如果复数22356immmm是纯虚数，则实数m的值为

A．0 B．2 C．0或3 D．2或3

2．已知函数4040.xxxfxxxx≥，，， 则函数fx的零点个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知全集UR，集合3Ax≤7x，27100Bxxx，则 ABRIð

A．,35,U B．,35,U

C．,35,U D．,35,U

4．命题“xR，2210xx”的否定是

A．xR，221xx≥0 B．xR，2210xx

C．xR，221xx≥0 D．xR，2210xx

1?x

开始

输入x 1?x

y=x 否 是 否

是

图2 结束 输出y y=1 y=x24x+4 5．已知点1,0A，直线l：24yx，点R是直线l上的一点，若RAAPuuuruuur，则点P的轨迹方程为

A．2yx B．2yx C．28yx D．24yx

6．函数cosfxxx的导函数fx在区间,上的图像大致是

A. B. C. D.

7．现有4种不同颜色要对如图1所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有

A．24种 B．30种 C．36种 D．48种

8．设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面、截球O的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角l的平面角为150o，则球O的表面积为

A．4 B．16 C．28 D．112

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～12题）

9．在空间直角坐标系中，以点4 1 9A，，，101 6B，，， 4 3Cx，，为顶点的ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为 ．

10．在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其他7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为 分．

11．阅读如图2所示的程序框图，若输出y的值为0， 则输入x的值为 ．

12．在平面内有n*,nnN≥)3条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n条直线把平面分成fn个平面区域，则5f的值是 ，fn的表达式是 ．

（二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题）

图3 图1

A B C D 1A 1C 1D

图4 13．（几何证明选讲选做题）如图3所示，在四边形ABCD中，EFBCP，

FGADP，则EFFGBCAD的值为 ．

14．（不等式选讲选做题） 函数fx＝12xx的最小值为 ．

（坐标系与参数方程选做题）直线24,13xttyt为参数被圆25cos,15sinxy（为参数）所截得的弦长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知向量2cos 12x，m，sin 12x，nxR，设函数1fxgmn．

（1）求函数fx的值域；

（2） 已知锐角ABC的三个内角分别为A，B，C，若513fA，35fB，求fC 的值．

17．（本小题满分12分）

在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，过1A、1C、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCDACD，且这个几何体的体积为403．

（1）求棱1AA的长；

（2）在线段1BC上是否存在点P，使直线1AP与1CD垂直，

如果存在，求线段1AP的长，如果不存在，请说明理由．

18．（本小题满分14分）

已知等比数列na的前n项和为nS，若ma，2ma，1ma*mN成等差数列，试判断mS，2mS，1mS是否成等差数列，并证明你的结论．

19．（本小题满分14分）

一个口袋中装有2个白球和n个红球（n≥2且*nN），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．

（1）试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率p；

（2）若3n，求三次摸球恰有一次中奖的概率；

（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为fp，当n为何值时，fp最大？

20．（本小题满分14分）

已知函数2afxxx，lngxxx，其中0a．

（1）若1x是函数hxfxgx的极值点，求实数a的值；

（2）若对任意的12,1xxe，（e为自然对数的底数）都有1fx≥2gx成立，求实数a的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知双曲线C：22221xyab00（，）ab的离心率为233，左、右焦点分别为1F、2F，在双曲线C上有一点M，使12MFMF，且12MFF的面积为1．

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点3,1P的动直线l与双曲线C的左、右两支分别相交于两点A、B，在线段AB

上取异于A、B的点Q，满足APQBAQPBgg．证明：点Q总在某定直线上．

2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号 1 2 3 4 5 6 7

8

答案 A C B C B A D

D

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前二题得分．第12题第1个空3分，第2个空2分.

9．2 10．79 11．0 或 2 12．16，222nn

13．1 14．3 15．6

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）

解：（1）12cos 1sin 1122xxfxgg，，mn

2cossin11sin22xxx．

∵xR，

∴函数fx的值域为1 1-，．

（2）∵513fA，35fB，∴5sin13A，3sin5B．

∵,AB都为锐角，∴212cos1sin13AA，24cos1sin5BB．

∴sinsinsinfCCABAB

sincoscossinABAB

541235613513565．

∴fC的值为5665．

17．（本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等基本知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

解：（1）设1AAh,∵几何体111ABCDACD的体积为403，