浙江省杭州市七校高二下学期期中考试数学试题

2015学年第二学期期中杭州地区七校联考

高二年级数学学科 试题

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）

1. 抛物线28yx的焦点坐标是 ( ▲ )

A（—2，0） B（0，—2） C （2，0） D （0，2）

2、已知点(3,1,4)A，则点A关于原点对称的点的坐标为 ( ▲ )

A．)4,1,3( B．)4,1,3( C．)4,1,3( D．(3,1,4)

3、椭圆22221124xymm的焦距是 ( ▲ )

A．4 B．22 C．8 D．与m有关

4、下列有关命题的说法正确的是 ( ▲ )

A．命题“若1,12xx则”的否命题为：“若1,12xx则”；

B．“1x”是“0652xx”的必要不充分条件；

C．命题“若yx，则yxsinsin”的逆否命题为假命题；

D．命题“若022yx，则yx、不全为零”的否命题为真命题.

5、设双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别是1F、2F，过点2F的直线交双曲线右支于不同的两点M、N．若△1MNF为正三角形，则该双曲线的离心率为 ( ▲ )

A．6 B．3 C．2 D．33

6、不等式|25|7x成立的一个必要而不充分条件是 ( ▲ )

A．0x B．6x C．61xx或 D． 1x

7、正方体1111ABCDABCD中，E是棱11AB的中点，则1AB与1DE所成角的余弦值 ( ▲ )

A．510 B．1010 C．55 D．105

8、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

( ▲ )

A.63 B. 265 C. 155 D. 105 C1D1B1A1CDABPMC1D1CA1ABDB1

（第8题） （第9题）

9、如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点P是平面ABCD上的动点，点M在棱AB上， 且13AM，且动点P到直线11AD的距离与点P到点M的距离的平方差为4，则动点P的轨迹是

( ▲ )

A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线

10、过M(－2,0)的直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为

( ▲ )

A．－12 B．－2 C.12 D．2

二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）

11、命题“存在实数x，使1x”的否定是 .

12、已知点P到点(3,0)F的距离比它到直线2x的距离大1，则点P满足的方程为

.

13、M是椭圆221259xy上的点，1F、2F是椭圆的两个焦点，1260FMF，则12FMF的面积等于

．

14、已知椭圆C：2213xy，斜率为1的直线l与椭圆C交于,AB两点，且322AB，则直线l的方程为 .

15、在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为

.

16、已知向量(0,1,1)a，(4,1,0)b，||29ab且0，则

= .

17、抛物线22xy上两点),(11yxA、),(22yxB关于直线mxy对称，且2121xx，则m等于

三、解答题（本题共5小题，共52分） 18、(本题满分8分)已知双曲线与椭圆1244922yx共焦点，且以xy34为渐近线，求双曲线方程．

19、(本题满分10分)设命题:p“对任意的2,2xxxaR”，命题:q “存在xR，使2220xaxa”。如果命题pq为真，命题pq为假，求实数a的取值范围。

20、(本题满分10分)已知(1,2,3),(1,01)ab，2,,cabdmab求实数m的值，使得（1）cd （2）//cd

21、（本题满分10分）已知抛物线C：)0(22ppxy的焦点F(1,0)， O为坐标原点，A、B是抛物线C上异于O的两点。

（1）求抛物线C的方程；

（2）若OBOA,求证直线AB过定点。

22、（本题满分14分）如图所示，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥底面ABCD, AD⊥AB，AB∥DC，

AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．

(1)证明：BE⊥DC；

(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F - AB - P的余弦值．

2015学年第二学期期中杭州地区七校联考

高二年级数学学科参考答案

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

答案 C A C D B A B D B

A

二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）

11、对任意的x，都有1x 12、212yx 13、33 14、1.yx

15、23 16、3 17、1

三、解答题（本题共5小题，共52分）

18、(本题满分8分)

解：由椭圆1244922yx5c．…………………………………………………………2＇

设双曲线方程为22221(0,0)xyabab，…………………………………………………3＇

由渐近线为xy34，则4,3ba又2225ab……………………………………………5＇

得229,16ab ……………………………………………………………………………7＇

故所求双曲线方程为116922yx……………………………………………………………8＇

19、(本题满分10分)

解：P：axx22对任意的Rx恒成立，

令11222xxxt 1mint ………………………………………2＇

1a…………………………………………………………………………………3＇

0244:2aaq 12aa或……………………………5＇

中一真一假则为假为真命题qp，q，pqp,………………………………7＇

12121aaaqp假真 …………………………………………………8＇ 或1121aaaaqp或真假…………………………………………………9＇

112aaa或的取值范围为………………………………………………10＇

20、（本题满分10分）

解：（1）1,2,11,0,123,2,1c ………………………………………………2＇

13,2,11,0,13,2,1mmmmd……………………………………4＇

013411mmmdc ……………………………………6＇

0m………………………………………………………………………7＇

（2）dc// cd 1132211mmm ………………………………9＇

21m…………………………………………………………………………10＇

21、（本题满分10分）

解：（1）依题意知12p，.4,22xyp抛物线方程为………………………………4＇

（2）ABxtym依题意知，设：，)(,,2211yxByxA……………………………5＇

由OAOB，则12120(1)OAOBxxyy…………………………………6＇

044,422mtyymtyxxy则由，………………………………………………………7＇

2221212124,44yyyymxxm……………………………………………………8＇

.40,0412或）式，得代入（mmm……………………………………………9＇ 不合题意。的两点，是抛物线上异于0,mOBA.4m因此

.04,4:），过定点（直线ABtyxAB……………………………………………10＇

22、解：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．

(1)证明：向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，

故BEDC＝0，

所以BE⊥DC. ………………………………………………………………………………4＇

(2)向量BD＝(－1，2，0)，PB＝(1，0，－2)．

设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，

则00nBDnPB 2020xyxz即

不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)为平面PBD的一个法向量．于是有