初等数论2.

填空题答案

1．7除29的商是 4 。

2．12除26的余数是 2 。

3．5的正因数是 1, 5 。

4．{4.5}= 0.5 。

5．[8.3] +[-8.3] = -1 。

6．30的最小质因数是 2 。

7．在所有质数中，是偶数的是 2 。

8．在所有质数中，最小的奇质数是 3 。

9．大于4小于16的素数有___5,7,11,13__ ____。

10．不定方程cbyax有整数解的充分必要条件是 (a,b)|c 。

11．模5的最小非负完全剩余系是 0,1,2,3,4 。

12．模4的绝对最小完全剩余系是 -1,0,1,2 。

13．5555的个位数是 5 。

14．77的个位数是_______ 3 ________。

15．316的十进位表示中的个位数字是 1 。

16．66的个位数是 6 。

17．710被11除的余数是 1 。

18．（1516，600）= 4 。

19．6的所有正因数的和是 12 _。

20．24与60的最大公因数是 12 。

21．35的最小质因数是 5 。

22．46的个位数是 6 。

23．8的所有正因数的和是 15 _。

24．18的标准分解式为 23218 。

25．20的欧拉函数值)20(= 8 。

湖北师范学院数学与统计学院精品课程《初等数论》(2010-5-26)

第0章序言(2)

余红宴

(湖北师范学院数学与统计学院,湖北黄石435002)

摘要:这一讲主要介绍初等数论的一些基本历史以及研究的内容，

一些基本的问题和学习初等数论的一些建议。

关键词:自同构群;有限Abel群;群构造;Euler函数

中图分类号:O152.1MR(2000)主题分类:20E45

文献标识码:A文章编号:

§1引言

一、什么是数论？

数论是研究整数的性质、关系以及特殊的类型的数的一个数学的分支。在数论的研

究的集合中，最重要是正整数集合。特别是素数（即除了1和自己以外再也别的真因

子的数）是非常重要的。数论中有一个关键性的定理（算术基本定理）告诉我们每

一个正整数都能唯一的分解为素数的乘积，除排列次序外。对素数的研究兴趣追溯

到2500年前，古希腊数学家的研究。

（问题1）素数是否有无限个？古希腊数学家Euclid给出了一个证明：素数有无限

个。在十七、十八世纪，当时的数学家如Fermat、Euler证明了许多重要的结果，对

备课日期:2010-5-26Email:yhy710502@基金项目:湖北师范学院教学研究项目资助（2009034）湖北师范学院研究生科研启动基金资助(2008D35)作者简介：余红宴(1971-),男,讲师,硕士,主要从事有限群理论、代数图论及其密码学应用方向的研究.2精品课程《初等数论》version1.02010.5

于生成素数的一些猜想。素数的研究进程主要是在19世纪，主要是素数的算术进

程以及不超过整数x的素数的个数的估计。在二十世纪，我们已经看到关于素数研究

的一些强有力的技术的发展。但即使有这些强有力的技术，还是有许多的问题没有

被解决。一个著名的未解决的问题的例子是:是否有无限多个Twinprime?研究者持

续工作在许多开放性的涉及素数的问题。

（问题2）现代数论的发展是由德国数学家Guass，数学历史上伟大的数学家之一，

1 ▎高一·第5讲·联赛班·教师版 ▎

【例1】 （常规题型）数1978n与1978m最后三位相等，试求使得mn最小的正整数mn，，其中nm

【解析】 意即19781978mod1000nm

所以19781978mod8nm

19781978mod125nm

1978的100次方满足mod125余1

容易算出1978的1次方，4次方，20次方均不满足mod125余1

（常见证法）立刻知道nm至少为100

又19781978mod8nm，3m≥

106mn，当3106mn，时取得最小值

【例2】 （常规题型）数列13511nx，，，满足关系112nnnxxx，n大于等于2；数列nx为71755161，，，，……满足关系1123nnnyyy，n大于等于2.

证明：此两数列没有相等的项

【解析】 写出此两数列的的前若干项，容易发现（mod8）后他们都是周期数列：

1，3，5，3，5，3，5……

7，1，7，1，7，1，7，1……

于是容易得证。

【点评】 类似的递推公式必然会得到一个mod m周期数列，（证明略）要讲明白这一点。

5 数论

同余问题选讲

2 ▎高一·第5讲·联赛班·教师版 ▎ 【例3】 试找出两个互素的四位数A和B，使得对于任何正整数m和n，数mA和nB都至少相差2009

【解析】 取40018001AB，考虑mod4000，立刻得证

【例4】 设p为给定之正整数，试确定2221nmpp之最小正值，这里mn，为任意正整数。

【解析】 最小正值为2222141ppp.下面给出证明：

222mod42ppp

22121mod42ppp

于是22211mod42mnppp

又22222112mod4mnpppp，

第一章 §1

1 证明：naaa,,21都是m的倍数。

存在n个整数nppp,,21使

nnnmpampampa,,,222111

又nqqq,,,21是任意n个整数

mpqpqqpaqaqaqnnnn)(22112211

即nnaqaqaq2211是m的整数

2 证： )12)(1()12)(1(nnnnnnn

)1()1()2)(1(nnnnnn

)1()1/(6),2)(1(/6nnnnnn

)1()1()2)(1(/6nnnnnn

从而可知 )12)(1(/6nnn

3 证： ba,不全为0

在整数集合ZyxbyaxS,|中存在正整数，因而

有形如byax的最小整数00byax

Zyx,，由带余除法有00000,)(byaxrrqbyaxbyax

则Sbqyyaqxxr)()(00，由00byax是S中的最小整数知0r

byaxbyax/00 下证8P第二题

byaxbyax/00 （yx,为任意整数） bbyaxabyax/,/0000

).,/(00babyax 又有bbaaba/),(,/),(

00/),(byaxba 故),(00babyax

4 证：作序列,23,,2,0,2,,23,bbbbbb则a必在此序列的某两项之间 即存在一个整数q，使bqabq212成立

)(i当q为偶数时，若.0b则令bqabsatqs2,2，则有

22220btbqbqabqatbsa

若0b 则令bqabsatqs2,2，则同样有2bt

)(ii当q为奇数时，若0b则令bqabsatqs21,21，则有