tonelli定理

托内利定理

托内利定理（Tonnelli’s Theorem）是实变函数领域中著名的一个定理，它被广泛用于测度论和概率论中，可以帮助我们研究像积分和乘积测度这样的问题。本文将对托内利定理的定义、性质、证明和应用进行阐述。

一、定理的定义

托内利定理是指对于任意两个积分可求的非负实值函数 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$，存在一个公共区域 $E

\subset \mathbb{R}^2$，使得

$$ \int\!\!\!\int_E u(x,y)v(x,y)

\mathrm{d}x\mathrm{d}y =

\int_{\mathbb{R}}\left[\int_{\mathbb{R}}u(x,y)

\mathrm{d}x\right]\left[\int_{\mathbb{R}}v(x,y)

\mathrm{d}y\right] \mathrm{d}y =

\int_{\mathbb{R}}\left[\int_{\mathbb{R}}u(x,y)

\mathrm{d}y\right]\left[\int_{\mathbb{R}}v(x,y)

\mathrm{d}x\right] \mathrm{d}x $$

注意到这个公式涉及到的三个积分算子可以互换位置，这表明了托内利定理的一个重要性质，即对于这些积分算子，乘积测度可以交换次序，而不会改变原来的结果。

二、定理的性质 托内利定理有一些十分有用的性质，我们在此简单列举如下：

1. 对于 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$，如果其中一个是

$L^1$ 函数，那么上述积分是有限的。这个性质保证了托内利定理可以应用到许多实际问题中。

2. 如果 $u(x,y)$ 或 $v(x,y)$ 在 $E$ 中是有界的，那么对于任意的积分可交换。而对于有限最大值和最小值的 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$，则称为“交叉集合（cross-collections）”，在这种情况下，我们不能直接应用托内利定理，而需要进行一些额外的操作。

e and All ts in their being ar X&Z专题之切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段

1切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

以及与圆有关的比例线段

［学习目标］

1.切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，

具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理

对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆

上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经

过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过

这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）

4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段

定理 图形已知结论证法

相交弦定

理

⊙O中，AB、CD为弦，

交于P.PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证：△

APC∽△DPB.

相交弦定

理的推论

⊙O中，AB为直径，

CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.用相交弦定理.

t tie and All things in their being are good for sometX&Z专题之切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段

2切割线定

理

⊙O中，PT切⊙O于T，

割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△

PTB∽△PAT

切割线定

理推论

PB、PD为⊙O的两条割

用tonelli序列和ascoli引理

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用Tonelli序列和Ascoli引理在实分析中的应用

Fubini Tonelli定理的反例

Fubini-Tonelli定理的反例

Fubini-Tonelli定理是测度论中的重要定理，它讨论了对于可积函数的可积性与积分的可交换性。然而，这个定理并不总是成立，存在一些反例能够证明其局限性。本文将介绍Fubini-Tonelli定理的反例，揭示该定理的不完备性。

在开始探讨反例之前，我们先回顾一下Fubini-Tonelli定理的陈述。该定理表明，对于可积函数，其在可测集上的积分等于其在该集合上的可积函数的积分。简而言之，对于适当定义的可积函数，其积分次序是可以交换的，并且交换后的积分值相等。这一定理在测度论中有着重要应用，为我们提供了便利和理论支持。

然而，Fubini-Tonelli定理并不是对所有函数都成立的。存在一些反例，即存在一些函数，使得交换积分次序后得到的积分值并不相等。下面我们来看一个经典的反例：

考虑定义在单位圆上的函数f(x, y)，其表达式为：

f(x, y) = (xy) / (x² + y²)^(3/2)

我们尝试交换积分次序，按照 Tonelli 定理，可以得到以下计算过程：

∬(D) f(x, y) dxdy = ∫[0, 1] ∫[0, 2π] (xy) / (x² + y²)^(3/2) dydx

其中 D 表示单位圆。我们首先对 y 进行积分，计算累次积分的结果： ∫[0, 1] ( ∫[0, 2π] (xy) / (x² + y²)^(3/2) dy ) dx

内层积分 ∫[0, 2π] (xy) / (x² + y²)^(3/2) dy 的计算结果为：

= 2π [ (xy / √(x² + y²)) ] [0,1]

= 2π (x√(x² + 1) - x)

再对外层的 x 进行积分，我们得到：

∫[0, 1] 2π (x√(x² + 1) - x) dx

对该式进行求解，可以得到最终的积分结果。

然而，如果我们尝试先对 x 进行积分，再对 y 进行积分，按照