十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题14 坐标系与参数方程(新课标Ⅰ卷)(解析版)

专题14坐标系与参数方程

历年考题细目表

题型

年份 考点 试题位置

解答题 2019 参数方程 2019年新课标1文科22

解答题 2018 综合测试题 2018年新课标1文科22

解答题 2017 综合测试题 2017年新课标1文科22

解答题 2016 综合测试题 2016年新课标1文科23

解答题 2015 综合测试题 2015年新课标1文科23

解答题 2014 综合测试题 2014年新课标1文科23

解答题 2013 综合测试题 2013年新课标1文科23

解答题 2012 综合测试题 2012年新课标1文科23

解答题 2011 综合测试题 2011年新课标1文科23

解答题 2010 综合测试题 2010年新课标1文科23

历年高考真题汇编

1．【2019年新课标1文科22】在直角坐标系Oy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθρsinθ+11＝0．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值． 【解答】解：（1）由（t为参数），得，

两式平方相加，得（≠﹣1），

∴C的直角坐标方程为（≠﹣1），

由2ρcosθρsinθ+11＝0，得．

即直线l的直角坐标方程为得；

（2）设与直线平行的直线方程为，

联立，得162+4m+m2﹣12＝0．

由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4．

∴当m＝4时，直线与曲线C的切点到直线的距离最小，为．

2．【2018年新课标1文科22】在直角坐标系Oy中，曲线C1的方程为y＝||+2．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．

转换为直角坐标方程为：2+y2+2﹣3＝0，

转换为标准式为：（+1）2+y2＝4．

（2）由于曲线C1的方程为y＝||+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．

由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．

所以：必有一直线相切，一直线相交．

则：圆心到直线y＝+2的距离等于半径2．

故：，或 解得：或0，

当＝0时，不符合条件，故舍去，

同理解得：或0

经检验，直线与曲线C2没有公共点．

故C1的方程为：．

3．【2017年新课标1文科22】在直角坐标系Oy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．

（1）若a＝﹣1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．

【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：y2＝1；

a＝﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：+4y﹣3＝0；

联立方程，

解得或，

所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（，）．

（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：+4y﹣a﹣4＝0，

椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），

所以点P到直线l的距离d为：

d，φ满足tanφ，且的d的最大值为． ①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，

|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|＝|5+a+4|＝17

解得a＝8和﹣26，a＝8符合题意．

②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时

|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|＝|5﹣a﹣4|＝17，

解得a＝﹣16和18，a＝﹣16符合题意．

4．【2016年新课标1文科23】在直角坐标系Oy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ．

（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．

【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，2+（y﹣1）2＝a2．

∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．

化为一般式：2+y2﹣2y+1﹣a2＝0．①

由2+y2＝ρ2，y＝ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2＝0；

（Ⅱ）C2：ρ＝4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2＝4ρcosθ，

∴2+y2＝4，②

即（﹣2）2+y2＝4．

由C3：θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，得y＝2，

∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，

∴y＝2为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，

①﹣②得：4﹣2y+1﹣a2＝0，即为C3 ，

∴1﹣a2＝0，

∴a＝1（a＞0）．

5．【2015年新课标1文科23】在直角坐标系Oy中，直线C1：＝﹣2，圆C2：（﹣1）2+（y﹣2）2＝1，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

【解答】解：（Ⅰ）由于＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C1：＝﹣2 的 极坐标方程为 ρcosθ＝﹣2，

故C2：（﹣1）2+（y﹣2）2＝1的极坐标方程为：

（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2＝1，

化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0．

（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ（ρ∈R）代入

圆C2：（﹣1）2+（y﹣2）2＝1，

可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0，

求得ρ1＝2，ρ2，

∴|MN|＝|ρ1﹣ρ2|，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，

△C2MN的面积为•C2M•C2N•1•1．

6．【2014年新课标1文科23】已知曲线C：1，直线l：（t为参数）

（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．

（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：1，可令＝2cosθ、y＝3sinθ，

故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．

对于直线l：，

由①得：t＝﹣2，代入②并整理得：2+y﹣6＝0； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．

P到直线l的距离为．

则，其中α为锐角．

当sin（θ+α）＝﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．

当sin（θ+α）＝1时，|PA|取得最小值，最小值为．

7．【2013年新课标1文科23】已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．

（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（﹣4）2+（y﹣5）2＝25，

即C1：2+y2﹣8﹣10y+16＝0，

将代入2+y2﹣8﹣10y+16＝0，

得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0．

∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0．

（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．

∴曲线C2的直角坐标方程为2+y2﹣2y＝0，

联立，

解得或，

∴C1与C2交点的极坐标为（）和（2，）．

8．【2012年新课标1文科23】已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）． （1）求点A，B，C，D的直角坐标；

（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．

【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为

点A，B，C，D的直角坐标为

（2）设P（0，y0），则为参数）

t＝|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2＝42+4y2+16＝32+20sin2φ

∵sin2φ∈[0，1]

∴t∈[32，52]

9．【2011年新课标1文科23】在直角坐标系Oy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足2，P点的轨迹为曲线C2

（Ⅰ）求C2的方程；

（Ⅱ）在以O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．

【解答】解：（I）设P（，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，

所以即

从而C2的参数方程为

（α为参数）

（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ．

射线θ与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，

射线θ与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin．

所以|AB|＝|ρ2﹣ρ1|． 10．【2010年新课标1文科23】已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），

（Ⅰ）当α时，求C1与C2的交点坐标；

（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

【解答】解：（Ⅰ）当α时，C1的普通方程为，C2的普通方程为2+y2＝1．

联立方程组，

解得C1与C2的交点为（1，0）．

（Ⅱ）C1的普通方程为sinα﹣ycosα﹣sinα＝0①．

则OA的方程为cosα+ysinα＝0②，

联立①②可得＝sin2α，y＝﹣cosαsinα；

A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），

故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，

P点轨迹的普通方程．

故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．

考题分析与复习建议

本专题考查的知识点为：极坐标方程与直角坐标方程的转化，极坐标几何意义的应用，参数方程与普通方程的互化，参数方程的应用。历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程与普通方程的互化，参数方程的应用.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程与普通方程的互化，参数方程的应用为重点较佳.