一次函数的应用

一次函数的应用

一次函数的应用一、学习目标：

1. 巩固一次函数的知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题．

2. 熟练掌握一次函数与方程，不等式的关系，有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．

二、重点、难点：

运用一次函数与正比例函数的图象和性质解决实际问题。各种数学思想的渗透和应用。

三、考点分析：

利用函数解决实际问题，并求最值，这是近三年中考应用题的新特点。一次函数的概念、图象和性质是中考的必考内容，一次函数的应用是中考的热点内容。中考对这部分内容的要求是结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数的表达式；会画一次函数的图象，根据图象与表达式探索并理解其性质；根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；利用一次函数解决实际问题。利用一次函数解决实际问题的题型多样，填空、选择、解答、综合题都有，主要考查学生应用函数知识分析、解决问题的能力．

典型例题

此前我们学习了有关一次函数的一些知识，认识了变量间的变化情况，并系统学习了一次函数的有关概念及应用，且用函数观点重新认识了方程及不等式，利用函数观点把方程（组）、不等式有机地统一起来，使我们解决相关实际问题时更方便了．

例1. 乘坐某种出租汽车，当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元（即起步价4元）；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米的部分每千米收费1.5元．

（1）请你求出x≥2时乘车费用y（元）与行驶路程x（千米）之间的函数关系式；

（2）按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整（如计费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元），小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x的范围。

思路分析：

1）题意分析：本题考查一次函数与不等式的综合运用。

2）解题思路：注意审题。注意考虑函数的取值范围，能灵活应用所学知识解决问题。

解答过程：

（1）根据题意可知：y＝4+1.5（x－2），

∴ y＝1.5x+1（x≥2）

（2）依题意得：7.5≤1.5x+1＜8.5

∴≤x＜5

解题后的思考：一次函数的性质：当k>0，时y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小。

例2. 某住宅小区计划购买并种植甲、乙两种树苗共300株．已知甲种树苗每株60元，乙种树苗每株90元．

（1）若购买树苗共用21000元，问甲、乙两种树苗应各买多少株？

（2）据统计，甲、乙两种树苗每株树苗对空气的净化指数分别为0.2和0.6，问如何购买甲、乙两种树苗才能保证该小区的空气净化指数之和不低于90而且费用最低？

思路分析：

1）题意分析：本题考查一次函数的实际应用。

2）解题思路：根据题意，先将实际问题转化为数学问题，第（1）问可通过列方程解决问题；第（2）问可建立一次函数模型，通过函数性质解决问题。 解：（1）设甲种树苗买x株，则乙种树苗买(300－x)株．

60x+90(300－x)＝21000

x＝200

300－200＝100

答：甲种树苗买200株，乙种树苗买100株．

（2）设买x株甲种树苗，(300－x)株乙种树苗时该小区的空气净化指数之和不低于90．

0.2x+0.6(300－x)≥90

0.2x+180－0.6x≥90

－0.4x≥－90

x≤225

此时费用y＝60x+90(300－x)

y＝－30x+27000

∵ y是x的一次函数，y随x的增大而减小

∴当x最大＝225时，y最小＝－30×225+27000＝20250(元)

即应买225株甲种树苗，75株乙种树苗时该小区的空气净化指数之和不低于90，费用最小为20250元．

解题后的思考：注意实际问题中自变量的取值范围必须使实际问题有意义。一次函数的增减性是其重要性质，不仅可以用这一特点解决系数中字母取值范围的问题，还可以利用这一性质解决实际问题中的最值问题。

例3. 某市组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售，按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种湘莲，根据下表提供的信息，解答以下问题：

湘 莲 品 种 A B C

每辆汽车运载量（吨） 12 10 8

每吨湘莲获利（万元） 3 4 2

（1）设装运A种湘莲的车辆数为x，装运B种湘莲的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；

（2）如果装运每种湘莲的车辆数都不少于2辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；

（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．

思路分析：

1）题意分析：此题为方案问题。

2）解题思路：y与x的函数关系式应结合车辆总数和外销湘莲总吨数来建立函数模型，每种湘莲的利润等于每辆车的运载量×车辆数×每吨湘莲的获利，利用题意中的数量关系建立函数模型，利用自变量及其相关的代数式的实际意义确定其取值范围，是求函数实际问题中的常用方法。

解答过程：

解题后的思考：审题时应抓住重点，利用题意中的数量关系建立函数模型。

例4. 某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．

（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？

（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？

（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？

思路分析：

1）题意分析：此题是一元一次方程（组）、一元一次不等式（组）、一次函数型的最值问题

2）解题思路：根据题目所给的信息，结合一次函数的知识求解。

解答过程：

解题后的思考：

1. 解一元一次不等式可看作是:当一次函数的值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．

2. 解关于x的不等式kx+b>mx+n可转化为：

（1）当自变量x取何值时，直线y＝（k－m）x+b－n上的点在x轴的上方．

（2）求当x取何值时，直线y＝kx+b上的点在直线y＝mx+n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理） 例5. 近海处有一可疑船只B正向公海方向行驶，我边防局接到情报后迅速派出快艇A追赶，图中l1,l2分别表示A艇和B船相对于海岸的距离y（n mile）与追赶时间x（min）之间的一次函数的关系，根据图象，

（1）分别求出l1,l2的函数关系式；

（2）当B船逃到离海岸12n mile的公海时，A艇将无法对其进行检查，问A艇能否在B船逃入公海前将其拦截（A，B速度均保持不变）。

思路分析：

1）题意分析：此题利用数形结合思想解决实际问题。

2）解题思路：由直线通过已知点的坐标可分别求出函数解析式，先假设A艇能追上B船，通过求出追上时x,y的值，再判断此时B船是否已逃入公海。将实际问题中能否将其拦截的问题转化为求二元一次方程组的解，再由方程组的解来说明实际问题是解本题的关键，请同学们注意领会。

解题后的思考： 注意：二元一次方程与一次函数的联系

（1）任意一个二元一次方程都可化成y＝kx+b的形式，即令每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线。

（2）直线y＝kx+b上每一点的坐标均为这个二元一次方程的解。

二元一次方程组与一次函数的关系

（1）二元一次方程组中的每个方程为可看作函数解析式。

（2）求二元一次方程组的解可看作求两个一次函数的交点坐标。

例6. 小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离学校的路程S（千米）与所经过的时间T（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：

（1）小聪在天一阁查阅资料的时间为________分钟，小聪返回学校的速度为_______千米/分钟。

（2）请你求出小明离开学校的路程S（千米）与所经过的时间T（分钟）之间的函数关系式；

（3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？

思路分析：

1）题意分析：本题是涉及函数与几何的综合题，运用数形结合的思想可求。 答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米。

解题后的思考：由于一次函数y＝kx+b中需要求出k与b的数值，所以需要知道两个点的坐标（或两个相互独立的条件），再代入解析式中，从而得到关于k与b的二元一次方程组，通过解方程组求出k与b的值。注意解题步骤要熟练。

例7. 某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：

（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时； （2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？

（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定．

思路分析：

1）题意分析：本题是数形结合类的题目。

2）解题思路：由直线经过已知点的坐标可分别求出函数解析式。

解答过程：

（1）1.9

（2）设直线EF的解析式为y乙＝kx+b

∵点E（1.25,0）、点F（7.25,480）均在直线EF上

（3）符合约定。 由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后，在点B和点D处相距最远。

在点B处有y乙－y甲＝80×4.9－100－（100×4.9－20）＝22千米＜25千米

在点D处有y甲－y乙＝100×7－220－（80×7－100）＝20千米＜25千米

∴按图象所表示的走法符合约定。

解题后的思考：函数的应用是灵活运用函数的知识解决实际问题，题中的信息有的是利用表格提供，要善于从图文、表格中准确地获取信息，用函数的知识分析和解决实际问题。提高分析、审题能力和建立数学模型的能力。

小结：

正确理解、掌握一次函数的概念、图象和性质。

能够利用一次函数的图象处理应用问题。初步形成数形结合的思想。

掌握用待定系数法求一次函数解析式。

学会用函数的思想去思考问题，把实际问题转化为数学问题，尤其是最值问题。

提分技巧

熟记以下内容对提高解题能力、理解函数的相关知识用处较大。

重点一：自变量x的取值范围

重点二：函数图象的观察

1. 观察要有目的，考虑问题要全面

2. 注意横、纵轴的意义，弄清函数图象上的点的横、纵坐标所代表的意义。

3. 注意

（1）图象的几何特征：形态及变化趋势；

（2）图象的数量特征：关键点的坐标。

4. 解决实际问题的常用方法：待定系数法。