信道的数学模型及分类

授课题目 信道的数学模型及分类 授课类型 理论课

首次授课时间 学时 2 课时

教学目标 1、理解信道的基本分类；

2、掌握基本信道模型；

3、掌握无记忆信道的特性；

4、掌握并理解几类特殊的信道；

重点与难点 1、基本信道模型；

2、无记忆信道的特性公式；

教学手段与方法 第二章习题课+讲授

教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分具体内容、时间分配等）

授课思路与过程设计：

回顾通信系统的基本模型，并简要对第二章中信源的信息量测量进行简要回顾，

引出本章要讲述的基本内容，并对本次课进行简要的介绍。

首先对信道的分类进行简要的介绍，之后引出离散信道的基本模型，注意其中无记忆信道的特性、有干扰无记忆信道的特性；接下来介绍几种特殊的信道，最后对本次课进行简要的小结。

时间分配：

内 容 时间分配

信道分类介绍 10 分钟

离散信道的基本模型 15 分钟

几类特殊的信道 10 分钟

小 结 5 分钟

在一般的广义通信系统中，信道是很重要的一部分。信道的任务是以信号方式传输信息和存储信息。我们研究信道就是研究信道中能够传送或存储的最大信息量，即信道容量问题。

信源输出的是携带着信息的消息，而消息必须首先转换成能在信道中传输或存储的信号，然后通过信道传送到收信者。并且认为噪声或干扰主要是从信道中引入，它使信号通过信道后产生错误和失真。故信道的输入和输出信号之间一般不是确定的函数关系，而是统计依赖的关系。只要知道了信道的输入信号、输出信号，以及它们之间的统计依赖关系，则信道的全部特性就确定了。

一、信道的分类

根据信道用户的多少，可以分为：

（1） 两端（单用户）信道。只是一个输入端和一个输出端的信道；

（2） 多端（多用户）信道。它是在输入端或输出端至少有一端有两个以上的用户，并且还可以是双向通信的信道。

根据信道输入端和输出端的关联，可以分为：

（1） 无反馈信道。信道输出端无信道反馈到输入端，即输出端对输入端信号无影响；

（2） 反馈信道。信道输出端的信号反馈到输入端，影响输入端信号发生变化；

根据信道的参数与时间的关系，信道又可分为：

（1） 固定参数信道。信道的统计特性不随时间变化而改变；

（2） 时变参数信道。信道的统计特性随时间变化而变化；

根据输入和输出信号的特点，信道又分为：

（1）离散信道。它是指输入和输出的随机序列取值都是离散的信道；

（2）连续信道。输入输出的随机序列的数值均是连续的信道；

（3）半离散半连续信道；

（4）波形信道。输入和输出信号都是时间上连续的随机信号。在此，我们研究无反馈、固定参数的单用户离散信道。

二、离散信道的数学模型

离散信道的数学模型一般如右图所示，输入和输出信道用随机矢量表示。输入信号，输出信号。每个随机变量和又

分 别 取 值 于 符 号 集 和

。另外，图中条件概率 描述

了输入信号和输出信号之间的统计依赖关系，反映了信道的统计特性。

根据信道的统计特性即条件概率的不同，离散信道又可分成三种情况。

1、 无干扰信道。信道中没有随机性的干扰或者干扰很小，输出信号与输入信号之间有确定的一一对应的关系，即

并且满足

2、 有干扰无记忆信道。实际信道中有干扰，即输出符号与输入符号之间无确定的对应关系。这时信道输入和输出之间的条件概率不同于上式，而是一般的概率分布。若信道任一时刻输出符号只统计依赖于对应时刻的输入符号，与非对应时刻的输入符 信道 号及其他任何时刻的输出符号无关，则这种信道称为无记忆信道。满足离散无记忆信道的充要条件是：

证明：充分性，即满足上式的离散信道为无记忆信道。

而

根据假设，上式可以继续作如下推导：

在离散信道中，有

即有

所以有

.…..

因此有

同理，

同理可得，

……

和

根据以上推导可知，只要满足 ，

则离散信道在 时刻的输出 只与 时刻的输入 有关，与以前的输入和输出无关，与以 后的输出也无关，此信道就是离散无记忆信道。

必要性。若离散信道是无记忆信道，则根据离散无记忆的信道的定义，得

……

因此，有

因此， 是离散无记忆信道的充要条件。

3、 有干扰有记忆信道

这是更一般的情况，既有干扰又有记忆。实际信道往往是这种类型。例如，在数字信道中，由于信道滤波使频率特性不理想时造成了码字之间的干扰，在这一类信道中某一瞬间的输出符号不但与对应时刻的输入符号有关，而且还与此以前其他时刻信道的输入符号以及输出符号有关，这样的信道称为有记忆信道，这时信道的条件概率

不再满足 。

处理这类有记忆信道时，最直观的方法就是把记忆较强的 个符号当做一个矢量符号来处理，而各矢量符号之间认为是无记忆的，这样就转化为无记忆信道的问题。这样处理一般会引入误差，因为实际上第一个矢量的最末几个符号一般是与第二个矢量的最前面几个符号是有关联的。 取值越大，误差越小。

另一种处理方法是把 看成马尔可夫链的形式，这是有限记忆信道的问题，

把信道某时刻的输入和输出序列看成为信道的状态，那么信道的编译特性可用在已知现时刻的输入符号和输出序列看成为信道的状态，那么，信道的统计特性可用在已知现时刻的输入符号和前时刻信道所处的状态的条件下，信道的输出符号和所处的状态

的联合条件概率来描述，即用来描述。然而，在一般情况下这种方法仍

很复杂，只有在每一个输出符号只与前一个输入符号有关的简单情况下，才可得到比较简单的结果。

我们着重研究无记忆信道，从最简单的单符号信道入手。

三、单符号离散信道的数学模型

单符号离散信道的输入变量为 ，取值于；输出变量为 ，取值于

，并且有条件概率

这一组条件概率称为信道的传递概率或转移概率。

1-p

p

p

1-p 因为信道中有干扰存在，若信道输入为 时，输出的是哪一个符号 ，事先无法确定，但信道输出一定是中的一个，即有

由于信道的干扰使输入符号 在传输中发生错误，所以可以用传递概率

来描述干扰的大小。因此，一般简单的单符号

离散信道的数学模型可以用概率空间来描述，另外，也可以用图来描述，

如下图所示。

例1 二元对称信道，简记为 BSC。

这是很重要的一种特殊信道，它的输入符号 取值于；输出符号 取值于

。此时， ，而且 。又有传递概率

X

a1=0

a2=0 Y

b1=0

b2=1

如右图所示，很明显，表示信道输入符号为 0 而收到符号为 1 的概率，而

表示信道输入符号为 1 而接收到的符号为 0 的概率。它们都是单个符号传输发生

错误的概率，通常用 表示。而和都是无错误传输的概率，通常用表示。

这些传递概率满足下式：

对于这些传递概率，可用矩阵来表示，由此得二元对称对称信道的传递矩阵为：

， q

 1 2 s 2 2 例 2 二元删除信道 BEC

这时。输入符号 取值于，输出符号 取值于，传递概率如下图所示，传递矩阵为

0  p

1 0 2 1

1 p 01 q 这种信道实际是存在的，假如有一个信道，它的输入是代表0和1 的两个正、负波形方波信道，如下图(a)所示。那么，信道送入译码器的将是受干扰后的方波信号

，如图(b)所示。我们可以用积分来判别发送的信号是 0 还是 1，如果

是正的，且大于某一电平，那么判别发送的是 0，若 是负的，且小于某一电平，则判别发送的是 1，而若 的绝对值很小，不能做出确切的判断，就认为接收到的是特殊符号“2”，假如信道干扰不是很严重的话，那么 和 的可能性要比 和

的可能性小得多，所以假设是较合理的。

由此可知，一般离散单符号信道的传递概率可用矩阵形式表示，即

b1

a1  P(b1 | a1 )

a P(b | a ) b2

P(b2 | a1 ) L

P(b2 | a2 ) L bs

P(bs | a1 )P(b | a )M a P(b M | a ) P(b M | a ) L P(b M | a )并满足 r  1 r 2 r s r 为了表述方便，可以写成 。于是信道的传递矩阵为 0 s

2 1 2 r 1 r 2 r s r 

并且满足以及 。

上述矩阵称为信道矩阵，它表达了输入符号集，又表达了输出

符号集，同时还表达了输入与输出的传递概率关系，则信道矩阵 同

样能完整地描述了所给定的信道。因此，也可以用信道矩阵 作为离散单符号信道的另一种数学模型的形式。

下面来推导一般单符号离散信道的一些概率关系。设信道的输入概率空间为

 X    a1 , a2 , L, ar P(x) P(a ) P(a ) L, P(a )又设输出 的符号集为 。给定信道矩阵为

 P(b1 | a1 ) P(b | a )

P   1 2 P(b2 | a1 ) L

P(b2 | a2 ) L P(bs | a1 )P(b | a ) M P(b | a ) M

P(b | a ) L M P(b | a )（1） 输入和输出符号的联合概率为，则有

式中，是信道传递概率，即发送为 ，通过信道传输接收为的概率，又称为前向概率。它是由于信道噪声引起的，所以描述了信道噪声的特性，而是已知信道输出端接收到符号为但发送的是符号 的概率，称其为后向概率。有时，也把称为先验概率，而对应地把称为输入符号的后验概率。

（2） 根据联合概率可得输出符号的概率

也可以写成