矩阵分解
矩阵分解
矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三⾓分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种.
矩阵的三⾓分解、正交三⾓分解、满秩分解将矩阵分解为形式⽐较简单或性质⽐较熟悉的⼀些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、⾏列式、特征值及奇异值等. 另⼀⽅⾯, 构造分解式的⽅法和过程也能够为某些数值计算⽅法的建⽴提供了理论依据. 接下来就讨论⼀下矩阵的三⾓分解.1 矩阵的三⾓分解
1.1 矩阵的三⾓分解基本概念与定理
定义1.1[]5设m n
∈和上三⾓矩
L C?
A C?
∈,如果存在下三⾓矩阵m n
阵n m
∈, 使得A=LU, 则称A可作三⾓分解或LU分解.
U C?
定义1.2设A为对称正定矩阵, D为⾏列式不为零的任意对⾓矩阵,则T=成⽴：
A A
=, U为⼀个单位上三⾓矩阵, 且有A LDU
1) 如果L是单位下三⾓矩阵, D是对⾓矩阵, U是单位上三⾓矩阵, 则称分解D
=为LD U分解.
A L U
2) 如果L=LD
是下三⾓矩阵, ⽽U是单位上三⾓矩阵, 则称三⾓分解A LUCrout分解;
= 为克劳特()
3) 如果U DU
是单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵, 则称三⾓=
分解A LUDoolittle分解;
= 为杜利特()
4) 如果11D A L U
LDD DU LDU --=== , 称为不带平⽅根的乔累斯
基()Cholesky 分解;5) 如果1
2
L D L = , 1
2D U U
= , 则
11
22A LD U LD D U LU
=== , 由于
T U
L = , 则T A LL
= , 称为带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解. 定理 1.1
n
阶⾮奇异矩阵A
可作三⾓分解的充要条件是k 0A ≠()1,2,,1k n =- ,这⾥A k
为A 的k 阶顺序主⼦阵, 以下同.
证明 必要性. 设⾮奇异矩阵A 有三⾓分解A L U=
分块矩阵的三角分解与局部重新分解
及其在电力系统中的应用
一、 引 言
众所周知,矩阵的三角分解法是一种非常有效的手段,已广泛应用于电力系统应用程序,诸如：潮流（牛顿-拉夫逊法）、快速解藕潮流、状态估计、安全分析、最优潮流、暂态稳定等。
本文对分块矩阵的三角分解与局部重新分解列出了几种算法,作了论证和分析比较,并给出了在电力系统中的应用
二、 分块矩阵的分解方法
方法1、 按行列逐一形成法
对于非奇异n阶方阵Α,可分割成分块矩阵：
式中,Α12,,和Α22分别为n1阶和n2阶方阵, n1+ n2=n, Α11又为非奇异阵,L1和U1分别为下三角阵和上三角阵。
分块矩阵的划分由一组正整数n1, n2, „ , nq确定,且n1+ n2+ „ + nq=n。将Α写作Α（1）,并根据式（1）记：
则又可将Α（1）分割成分块矩阵：
式中，A)2(11和A)2(22分别为n1阶和n1- n2阶方阵，A)2(11为非奇异阵。
再记
逐次作类似上述处理,矩阵Α便得（推导略）：
分块矩阵的三角分解与局部重新分解
及其在电力系统中的应用
一、 引 言
众所周知,矩阵的三角分解法是一种非常有效的手段,已广泛应用于电力系统应用程序,诸如：潮流（牛顿-拉夫逊法）、快速解藕潮流、状态估计、安全分析、最优潮流、暂态稳定等。
本文对分块矩阵的三角分解与局部重新分解列出了几种算法,作了论证和分析比较,并给出了在电力系统中的应用
二、 分块矩阵的分解方法
方法1、 按行列逐一形成法
对于非奇异n阶方阵Α,可分割成分块矩阵：
式中,Α12,,和Α22分别为n1阶和n2阶方阵, n1+ n2=n, Α11又为非奇异阵,L1和U1分别为下三角阵和上三角阵。
分块矩阵的划分由一组正整数n1, n2, … , nq确定,且n1+ n2+ … + nq=n。将Α写作Α（1）,并根据式（1）记：
则又可将Α（1）分割成分块矩阵：
式中，和分别为n1阶和n1- n2阶方阵，为非奇异阵。
再记
逐次作类似上述处理,矩阵Α便得（推导略）：
式中,子矩阵都是n1阶方阵,q=n/ n1是正整数。若n1, n2,…, nq不尽相等,也可作类似处理。若Α为对称矩阵,则U=。若Α为关联对称矩阵,则U≠,但稀疏结构相同。
方法2、直接计算法
将Α、L、D和U写成展开形式,就不难证明可由下列诸式来表述式(5(如果,k=1,2 ,…,q都非奇异,因而可藉以直接计算。
式中, k=1,2 ,…,q,分块矩阵的划分由一组正整数n1, n2,…, nq确定,且n1+ n2+ … + nq=n。
在电力系统应用程序中,矩阵Α是稀疏的,子矩阵、有很多是零阵,作LDU分解后所得的三角矩阵也有高度的稀疏性。在很多程序中, n1= n2= … =nq=2。
方法3、简单局部重新分解法
只重新分解矩阵元素变化了的子矩阵,如图1的阴影部分。即从矩阵元素开始有变化的k值起用式（9）-（12）计算一遍。
因此,要更新的子矩阵的大小以及重新分解的工作量取决于变化了的矩阵元素所处的位置,如接近矩阵顶部,则重新分解的工作量节约甚微以至没有。
２０１４－０５ 教学实践 矩 三偏分舒的探讨 文／王亚梅 摘要：矩阵是数学中最重要的基本概念之一，是代数的一个主要研究对象，也是数学研究及应用的一个重要工具。对矩阵三角分 解的相关内容进行系统的介绍，给出分解的思想、分解方法、分解的存在性及分解的条件等相关内容，然后就矩阵三角分解思想研究它 在解决具体问题中的应用。 关键词：矩阵；三角分解；ＬＵ分解 在近代数学、工程技术、经济理论管理科学中，大量涉及矩阵 理论的知识，很多问题都可以归结为矩阵并最终通过矩阵来解决。 经查阅发现，目前关于矩阵三角分解的应用研究不少，但对三角分 解缺乏系统的研究。 矩阵三角分解法是指高斯消去法解线性方程组的变形解法。 其实质就是将系数矩阵Ａ分解为两个三角形矩阵，Ｊ和 相乘，即 Ａ＝ＬＵ。 一、矩阵的直接三角分解 矩阵的直角三角分解即可以不经过消元步骤，直接将矩阵进 行分解。 定义１设Ａ∈Ｒ一，若Ａ能分解为一个下三角矩阵 与一个上 三角矩阵ｕ的乘积，即Ａ＝ＬＵ，则称这种分解为矩阵Ａ的三角分解。 （１）如果Ａ可分解为Ａ＝ＬＤＵ，其中Ｌ是单位下三角矩阵，Ｄ是 对角矩阵，Ｕ是单位上三角矩阵，则称Ａ可作ＬＤＵ分解； （２）如果在Ａ＝ＬＵ中， 是单位下三角矩阵， 为上三角矩阵， 则称此三角分解为杜利特（Ｄｏｏｌｉｔｔｌｅ）分解； （３）如果在Ａ＝ＬＵ中， 是下三角矩阵， 是单位上三角矩阵， 则称此三角矩阵为克劳特（Ｃｒｏｕｔ）分解。 定理１ ｎ阶方阵Ａ非奇异的充要条件为（或Ａ经行、列变换 后）存在ＬＤＵ分解。其中 为ｎ阶单位下三角矩阵，Ｄ为ｎ阶非奇 异对角阵， 为ｎ阶单位上三角矩阵。 推论１奇异矩阵不能进行ＬＤＵ分解。 推论２若矩阵Ａ有奇异主子矩阵，则Ａ不能直接进行ＬＤＵ 分解。 定理２方阵Ａ的ＬＤＵ分解唯一的充要条件为Ａ的各主子 矩阵非奇异。 推论１设ｎ阶矩阵 的各阶顺序主子式皆不为零，则Ａ存 在唯一Ｃｒｏｕｔ的分解。 推论２设ｎ阶矩阵Ａ的各顺序主子式皆不为零，则Ａ存在 唯一的分解Ａ＝ＬＤＵ 其中Ｌ为单位下三角矩阵，Ｄ为对角矩阵，Ｕ为单位匕三角矩阵。 二、常用的三角分解公式及其应用 １．杜利特（Ｄｏｏｌｉｔｔｌｅ）分解 下面直接用矩阵乘法求￡及 的元素，由 Ａ＝ ａｌ１ ａ１２‘一ａｌｎ ｏ，ｚｌ ｏ …Ⅱ２，ｌ Ⅱｒ“ａ，ａ…ａ １ ｌ １ ｉ ｉ ’．１ ６ １ ６ …Ｚ １ １ Ｈ１１ Ｕ１２…Ｕｌｎ “２２…Ｈ Ⅱ栅 步骤如下：步骤１ ｌＺｌｉ＝ａ¨ｉ＝２，３，…ｒｔ Ｉｌｌ＝ａｌｅ／ｉｔ１１，ｉ＝２，３，…ｎ 计算Ｕ第ｒ行， 的第ｒ列元素，ｒ＝－２，３，…ｎ 卜１ 步骤２ ｕ ＝ 一∑ｚ ｕ“（ ｒ’ｒ＋１，…ｎ） ：ｌ 步骤３ （％一∑ （ ｒ，ｒ＋ｌ，…ｎ，ｒ≠ｎ） 求解Ｌｙ＝ｂ，Ｕｘ－－ｙ计算公式。 ｆｙｌ＝ｂｌ 步骤４ １－１∑ｉ－ＩＹｌ （越 ３ ） ｌ＝６ 一 （ ＝２，，… Ｉ ，ｌ＝， ｌ＝“埘 步骤５ ∑ｉ－Ｉ （／＝ｎ－１，ｎ－２，＂＇＂，１） 例 用直接三角分解法解『 ］ ］＝ｆ １ 解：由计算公式，得 ＝『 三／５。］ｆ２ ］＝ ． 求解Ｌｙ＝（４，６，５） ，得 （４，４，３，５） ， 步骤１ “ｌ ｌｆ（ １，２，…ｎ），ｆ 咖ｌｌ（ ＝２，３，…ｎ） 步骤２ ｌｕ＝ａ￣一∑ｚ ‰，ｉ＝１，２，…ｎ，ｊ＝１，２，－＂ｉ， 步骤３“ ｛ 一∑ｚ ，２… ，ｊ＝ｉ＋ｌ，…，ｎ 『４ ８ ４］ 【例】试将下列矩阵进行克劳特分解：Ａ＝ｌ２ ７ ２ Ｉ 【１ ２ ３ Ｊ 解首先我们约定，当上限小于下限时，和号“∑”取０，根据 上式有１Ｈ＝ ＝４， 贿Ａ＝ＬＵ＝ ２ ３ ０ １ ０１ ０ ２ ］则有 ｌ ｌｌ Ｊ【 ｌ Ｊ
