2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试〔辽宁卷〕

数 学〔理〕

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1．复数的1i1z模为

( )

A.12 B.22

C.2

D.2

【测量目标】复数代数形式的四则运算.

【考查方式】直接给出复数，利用2i1对复数进行化简，然后再求模.

【难易程度】容易

【参考答案】B

【试题解析】111112i,ii122222zz.

2．已知集合4|0log1Axx，|2Bxx，则 AB

〔

〕

A．01，

B．02，

C．1,2

D．12，

【测量目标】集合的基本运算.

【考查方式】考查了对数不等式及交集运算.

【难易程度】容易

【参考答案】D

【试题解析】4|0log1|14Axxxx，|2Bxx，

14212ABxxxxxx.

3．已知点1,3A，4,1B，则与向量AB同方向的单位向量为 〔 〕

A.3455，- B.4355，- C.3455， D.4355，

【测量目标】向量的基本概念.

【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量.

【难易程度】容易

【参考答案】A

【试题解析】3,4AB，则与其同方向的单位向量34(,)55ABABe.

4．下面是关于公差0d的等差数列na的四个命题：

1p：数列na是递增数列； 2p ：数列nna是递增数列；

3p：数列nan是递增数列； 4p：数列3nand是递增数列；

其中的真命题为 〔 〕

A.12,pp B.34,pp C.23,pp D.14,pp 【测量目标】等差数列的性质.

【考查方式】给出d的等差数列，求数列的增减性.

【难易程度】中等

【参考答案】D

【试题解析】根据等差数列的性质判定.0d,1nnaa,1p是真命题， 〔步骤1〕

1nn,但是na的符号不知道，2p是假命题. 〔步骤2〕

同理3p是假命题.13(1)340nnandandd,4p是真命题. 〔步骤3〕

5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20,40,40,60，

60,80,80,100，假设低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是

〔 〕

A.45 B.50 C.55 D.60

第5题图

【测量目标】频率分布直方图.

【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数.

【难易程度】容易

【参考答案】B

【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是00050012003...（），所以该班的学生人数是15500.3.

6．在ABC△上，内角,,ABC所对的边长分别为,,.abc1sincossincos,2aBCcBAb且,ab则B

( )

A．π6 B．π3 C．2π3 D．5π6

【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式.

【考查方式】给出三角形各边长及内角和边长的公式，求角.

【难易程度】中等

【参考答案】A

【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得sinsincosABC1sinsincossin2CBAB, 〔步骤1〕 又sin0B, sincosAC1sincos2CA,1sinsin2(AC)B.〔步骤2〕

ab,π6B.

〔步骤3〕

7．使得13nxnxxN 的展开式中含有常数项的最小的n为

〔 〕

A．4

B．5 C．6

D．7

【测量目标】二项式定理.

【考查方式】考查了二项展开式的通项公式.

【难易程度】中等

【参考答案】B

【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解.5211=C3C3rnrnrrrnrrnnTxxxx，当1rT是

常数项时，502nr，当2r，5n时成立.

8．执行如下图的程序框图，假设输入10n，则输出的S

〔 〕

A．511 B．1011

C．3655 D．7255

第8题图

【测量目标】循环结构的程序框图.

【考查方式】给出输入值10n，求输出值S.

【难易程度】中等

【参考答案】A

【试题解析】13S，410i， 21123415S，610i，〔步骤1〕22135617S，

8<10i，23147819S，1010i，2415910111S，1210i，输出S.

〔步骤2〕

9．已知点30,0,0,,,.OAbBaa假设OAB△为直角三角形，则必有 〔 〕

A．3ba B．31baa

C．3310babaa D．3310babaa

【测量目标】直线的倾斜角与斜率.

【考查方式】给出三点坐标，由三角形l的边的性质，求出,ab之间的关系. 【难易程度】中等

【参考答案】C

【试题解析】根据直角三角形的直角的位置求解.假设以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此

时O，B重合，不符合题意；〔步骤1〕假设π2A，则30ba，假设π2B，根据斜率关系可知

321abaa，3()1aab，即310baa.以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件.

〔步骤2〕

10．已知直三棱柱111ABCABC的6个顶点都在球O的球面上，假设34ABAC，，ABAC，

112AA，则球O的半径为 〔

〕

A．3172 B．210 C．132 D．310

【测量目标】立体几何的综合问题.

【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径.

【难易程度】较难

【参考答案】C

【试题解析】根据球的内接三棱柱的性质求解.直三棱柱中13412AB,AC,AA,ABAC,

5BC,且BC为过底面ABC是截面圆的直径，取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面11BCCB内，矩形11BCCB的对角线长即为球直径，22212513R,即132R.

11．已知函数2222fxxaxa，22228gxxaxa.设

1()Hxmax,fxgx，2min,Hxfxgx，max,pq表示,pq中的较大值，

min,pq表示,pq中的较小值，记1Hx的最小值为A，2Hx的最小值为B，则AB( )

A.2216aa B.2216aa C.16 D.16

【测量目标】二次函数的图象与性质.

【考查方式】给出两函数解析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值.

【难易程度】较难

【参考答案】C

【试题解析】根据二次函数图象的特征解决.由()()fxgx，得2()4xa ， 〔步骤1〕

当2xa和2xa时，两函数值相等.()fx图象为开口向上的抛物线，()gx图象为开口向下

的抛物线，两图象在2xa和2xa处相交，则

1()Hx()(2),()(22),()(2),fxxagxaxafxxa2()(2),()()(22),()(2),gxxaHxfxaxagxxa 〔步骤2〕 1min()(2)44AHxfaa，2max()(2)412BHxgaa，

16.AB〔步骤3〕

12．设函数fx满足2e2xxfxxfxx，2e28f，则0x时，fx 〔 〕

A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值

【测量目标】利用导数求函数的极值.

【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力.通过导数判断函数单调性，考查知识的

灵活应用能力.

【难易程度】较难

【参考答案】D

【试题解析】由题意知2'33e2()e2()()xxfxxfxfxxxx.〔步骤1〕

令2()e2()xgxxfx，则

222e2()e2()4()e2()2()ee1xxxxxgxxfxxfxxfxxfxxx.

〔步骤2〕

由()0gx得2x，当2x时，222mine()e2208gx，即()0gx，则当0x时，3()()0gxfxx，〔步骤3〕

故fx在0,上单调递增，既无极大值也无极小值.〔步骤4〕

二、填空题：本大题共4小题，每题5分.

13.某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积是 .

第13题图

【测量目标】由三视图求几何体的体积.

【考查方式】给出三视图，求体积.

【难易程度】容易

【参考答案】16π16

【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为

4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π16.

14.已知等比数列na是递增数列，nS是na的前n项和，假设13aa，是方程2540xx的两个根，