四边支承矩形薄板自振频率计算

第３８卷第５期　２　０　１　２年２月　山　西　建　筑　ＳＨＡＮＸＩ　ＡＲＣＨＩＴＥＣＴＵＲＥ　Ｖｏ１．３８　Ｎｏ．５　Ｆｅｂ．２０１２　・６３・　文章编号：１００９－６８２５（２０１２）０５—００６３—０３　四边支承矩形薄板自振频率计算　靠为华　摘要：从弹性薄板的基本振动微分方程出发，利用可以满足各边边界条件的振型函数，根据能量法推导出四边支承六种　不同边界条件的矩形薄板的最低自振频率计算公式，为楼板结构的自振频率计算和舒适性设计提供了指导。　关键词：舒适度，矩形薄板，振动微分方程，自振频率，边界条件　中图分类号：ＴＵ３１１．３　文献标识码：Ａ　０　引言　随着结构分析能力和施工技术的提高、新型高强轻质材料的　运用，大跨度楼盖在机场、火车站、体育建筑、阶梯教室、歌舞剧　院、商场、医院、工业建筑等不同结构形式、不同使用功能建筑中　使用日趋广泛。然而，大跨度楼盖一般具有阻尼较小、柔性大、基　频低特性，在人的活动和其他动力作用下楼板会产生竖向振动，　超过一定限度就会引起使用者的不安和心理恐慌。特别是对于　医院、特殊实验室等建筑，过大的楼盖振动可能会导致部分精密　仪器设备无法正常工作。因此，对于大跨度楼盖设计，在满足强　度、变形要求的同时，还应充分考虑振动舒适度问题。而楼板自　振频率是评价楼板舒适度的重要指标之一。　１　基本假定及振动微分方程　弹性板是假定其厚度远小于其他两尺寸的板，且材料假设为　各向同性。板的振动理论是以以下几个假定为基础的：　１）板中原来在中面法线上的各点，在板弯曲变形后仍在中　面的法线上。这个假设称为直法线假设，表示横向剪切变形忽　略不计。　２）板的挠度比板厚小很多，板弯曲时中面不产生变形，即中　面为中性面。　３）板的横向正应力与其他两个方向正应力相比较，可以忽略　不计。　在此基础上，若假定板的挠度不从平面位置算起，而从平衡　位置算起，对板内平行六面体进行微元分析，由平衡条件、变形协　调条件和物理方程得板的弯曲平衡方程式，然后分析板在振动过　程中的动力平衡，可得板的自由振动微分方程…：　Ｄ　ｏ－ｗ＋Ｄ　＋２Ｄ三　＋　：０　（１）　Ｏｘ　ａｆ　ａｘ‘广　ａｔ‘　Ｌ３　其中，Ｄ＝　，Ｅ，　分别为板的弹性模量和泊松比，ｈ　ｌ　ｌ—　，　为板的厚度；ｍ为板的单位面积的质量；Ｄ为板的弯曲刚度。　微分方程（１）的解答形式为薄板上每一点（　，Ｙ）的挠度Ｗ＝　∑（ＡｍＣＯＳＯ）　ｔ＋Ｂｍｓｉｎｔｏ　ｆ）Ｗｍ（Ｘ，ｙ）。被表示成无数多个简谐振　动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的圆频率是　。另一方　面，薄板在每一瞬时ｔ的挠度，则表示成为无数多种振型下的挠度　相叠加，而每一种振型下的挠度是由振型函数　（　，Ｙ）表示的，　为求出各种振型下的振型函数　，以及与之相应的圆频率∞　，　我们取Ｗ＝（Ａｃｏｓｔｏｔ十Ｂｓｉｎｔｏｔ）　（　，），）代入方程（１）消除因子　（Ａｃｏｓｔｏｔ＋Ｂｓｉｎｔｏｔ）得到振型微分方程：　。　＋。　Ｏｙ＋２Ｄ　Ｏｘ　Ｙ　（２）　ｄ　２边界条件　振型函数需要满足各边界条件，板的边界一般有固支边，简　支边，自由边三种情况，这里以　＝０的边为例，其相应的边界条　件为：　固定边：沿固定边的位移和转角为０，ｏ０（ｗ）　＝０，（　＝　０：　简支边：沿简支边的位移和弯矩为０，即（　）　：。：０，　（警）　一ｏ．　自由边．沿自由边的弯矩和剪力为ｏ’即（警＋　）　：　。，［　］　－ｏｏ　

115 第六章 薄板的屈曲

钢结构大型梁、柱等构件，通常都由板件组合而成，为了节省材料，板件通常宽而薄，薄板在面内压力作用下就可能失稳，并由此导致整个构件的承载力下降；另外，在构件连接的节点也存在板件失稳的可能性。因此，对板件失稳和失稳后性态的研究也是钢结构稳定的重要问题。

板根据其厚度分为厚板、薄板和薄膜三种。设板的最小宽度为b，厚度为t。当t/b>1/5~1/8时称为厚板，这时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不能忽略剪切变形的影响。当1/80~1/100

与前面所介绍过的失稳问题比较，板的失稳有如下几个特点：

⑴作用于板中面的外力，不论是一个方向作用有外力还是在两个方向同时作用有外力，屈曲时板产生的都是出平面的凸曲现象，产生双向弯曲变形，因此在板的任何一点的弯矩xM、yM和扭矩xyM以及板的挠度w都与此点的坐标（x，y）有关。

⑵板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理想矩形板可以直接求解其分岔屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条件的板，用平衡法很难求解。可以用能量法（如瑞利—里兹法，伽辽金法）或者数值法（如差分法、有限元法等）求解屈曲荷载，在弹塑性阶段，用数值法可以得到精度很高的板屈曲荷载。

⑶理想薄板失稳属于稳定分岔失稳。对于有刚强侧边支承的板，凸屈后板的中面会产生薄膜应变，从而产生薄膜应力。如果在板的一个方向有外力作用而凸曲时，在另一个方向的薄膜拉力会对它产生支持作用，增强板的抗弯刚度进而提高板的强度，这种凸屈后的强度提高称为屈曲后强度。

⑷按照小挠度理论分析只能得到板的分岔屈曲荷载，而按照有限挠度理论，或称为大挠度理论分析才能得到板的屈曲后强度和板的挠度。

6.1 小挠度理论板的弹性曲面微分方程

等厚度薄板的坐标系如图6.1(a)所示，板厚1／2平面，即xy平面为板的中面。从板中任取一微元体dxdydz，在每一个面上作用的正应力和剪应力见图6.1（b）。

风压力 ＝ 抗风压力 × 风力系数

抗风压力 ＝0．56 × 风力系数 × 风速的2次方

比如风力系数是1 玻璃设计抗风压力是1500N/㎡

1500＝0．56 × 1 × 风速的2次方

所以此玻璃最大可以抵抗风速51．7米/秒玻璃抗风压设计

4.1风荷载的确定

4.1.1 作用在建筑玻璃上的风荷载标准值应按下式计算：

wk=βgz μs μz Wο （4.1.1）

式中wk——作用在建筑玻璃上的风荷载标准值，kPa；

βgz——阵风系数，应按现行国家标准《建筑结构荷载规范》GB 50009的有关规定采用；

μs——风荷载体型系数，应按现行国家标准《建筑结构荷载规范》GB 50009采用；

μz——风压高度变化系数，应按现行国家标准《建筑结构荷载规范》GB 50009采用；

Wο——基本风压（kPa），应按现行国家标准《建筑结构荷载规范》GB 50009采用。

4.1.2 按本规程式（4.1.1）计算的风荷载标准值小于0.75 kPa时，应按0.75 kPa采用，高层建筑玻璃风荷载标准值宜按计算值加大10%采用。

4.2抗风压设计

4.2.1 幕墙玻璃抗风压设计应按现行行业标准《玻璃幕墙工程技术规范》JGJ 102执行。

4.2.2 四边支承玻璃的最大许用面积可按本规程附录A选用，也可按下列公式计算：

式中 wk ——风荷载标准值，kPa;

Amax ——玻璃的最大许用面积，m2

t——玻璃的厚度，mm；钢化、半钢化、夹丝、压花玻璃按单片玻璃厚度进行计算；夹层玻璃按总厚度进行计算；中空玻璃按两单片玻璃中薄片厚度进行计算；

α——抗风压调整系数，应按表4.2.2的规定采用。若夹层玻璃工作温度超过70℃，调整系数应为0.6；钢化玻璃和单片防火玻璃的抗风压调整系数应经试验确定；组合玻璃的抗风压调整系数应采用不同类型玻璃抗风压调整系数的乘积。

表4.2.2 玻璃的抗风压调整系数α

玻璃种类 普通退火玻璃 半钢化玻璃 钢化玻璃 夹层玻璃 中空玻璃 夹丝玻璃 压花玻璃 单片防火玻璃 调整系数α 1.0 1.6 2.0~3.0 0.8 1.5 0.5 0.6 3.0~4.5

实用文档 1.3 整体式双向板梁板结构

由两个方向板带共同承受荷载，在纵横两个方向上发生弯曲且都不能忽略的四边支承板，称为双向板。

双向板的支承形式：四边支承、三边支承、两边支承或四点支承。

双向板的平面形状：正方形、矩形、圆形、三角形或其他形状。

双向板梁板结构。又称为双向板肋形楼盖。图1.3.1。

双重井式楼盖或井式楼盖。

我国《混凝土结构设计规范》（GB50010-2002）规定：对于四边支承的板，

 当长边与短边长度之比小于或等于2时，应按双向板计算；

 当长边与短边长度之比大于2，但小于3时，宜按双向板计算；若按沿短边方向受力的单向板计算时，应沿长边方向布置足够数量的构造钢筋；

 当长边与短边长度之比大于或等于3时，可按沿短边方向受力的单向板计算。

1.3.1 双向板的受力特点

1、四边支承双向板弹性工作阶段的受力特点 实用文档 整体式双向梁板结构中的四边支承板，在荷载作用下，板的荷载由短边和长边两个方向板带共同承受，各个板带分配的荷载，与长跨和短跨的跨度比值0201ll相关。

当跨度比值0201ll接近时，两个方向板带的弯矩值较为接近。随着0201ll的增大，短向板带弯矩值逐渐增大，最大正弯矩出现在中点；长向板带弯矩值逐渐减小。而且，最大弯矩值不发生在跨中截面，而是偏离跨中截面，图1.3.2。这是因为，短向板带对长向板带具有一定的支承作用。

2、四边支承双向板的主要试验结果

 位移与变形 实用文档 双向板在荷载作用下，板的竖向位移呈碟形，板的四角处有向上翘起的趋势。

 裂缝与破坏

对于均布荷载作用下的正方形平面四边简支双向板：

 在裂缝出现之前，基本处于弹性工作阶段；

 随着荷载的增加，由于两个方向配筋相同（正方形板），第一批裂缝出现在板底中央部位，该裂缝沿对角线方向向板的四角扩展，直至因板底部钢筋屈服而破坏。

 当接近破坏时，板顶面靠近四角附近，出现垂直于对角线方向、大体呈圆弧形的环状裂缝。这些裂缝的出现，又促进了板底对角线方向裂缝的发展。图1.3.3a。