2021年九年级数学上册单元测试定心卷：第二十二章相似形(2)(能力提升)(教师版沪科版)

九上数学第二十二章检测题(R J )(考试时间：120分钟 满分：120分)第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(共12小题，每小题3分，共36分)1．在同一坐标系中作y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2的图象，它们的共同特点是 ( D )A ．都是关于x 轴对称，抛物线开口向上B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下C ．都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点2．(兰州中考)在下列二次函数中，其图象的对称轴为x ＝－2的是 ( A )A ．y ＝(x ＋2)2B ．y ＝2x 2－2C ．y ＝－2x 2－2D ．y ＝2(x －2)23．在一次足球比赛中，守门员用脚踢出去的球的高度h 随时间t 的变化而变化，可以近似地表示这一过程的图象是 ( C )4．(贵港中考)将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是 ( C )A ．y ＝(x －1)2＋1B ．y ＝(x ＋1)2＋1C ．y ＝2(x －1)2＋1D ．y ＝2(x ＋1)2＋1,第5题图) 5．若二次函数y＝ax2＋bx＋a2－2(a，b为常数)的图象如图所示，则a的值为(D) A．－2 B．－ 2 C．1 D.26．(东营中考)若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋12m＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为(D) A．0 B．0或2 C．2或－2 D．0，2或－2 7．一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(C)8．某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽为8 m，两侧距地面3 m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m(如图所示)，则大门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计) (A) A．6.9 m B．7.0 m C．7.1 m D．6.8 m,第8题图),第12题图) 9．(枣庄中考)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是(D) A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)B ．当a ＝－2时，函数图象与x 轴没有交点C ．若a ＜0，函数图象的顶点始终在x 轴的下方D ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而增大10．(苏州中考)已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m (m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是 ( B )A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝311．(徐州中考)若函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是 ( A )A ．b ＜1且b ≠0B ．b ＞1C ．0＜b ＜1D ．b ＜112．★(恩施中考)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c ＞0；④若点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 2为函数图象上的两点，则y 1＜y 2.其中正确的结论是 ( B )A ．②④B ．①④C ．①③D ．②③第Ⅱ卷(非选择题 共84分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)13．抛物线y ＝12x 2－3与y 轴的交点为 (0，－3) ．14．若抛物线y ＝(m －1)x m 2－m 开口向下，则m ＝ －1 ．15．把二次函数y ＝x 2＋6x ＋4配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，得__y ＝(x ＋3)2－5__，它的顶点坐标是__(－3，－5)__．16．若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134，y 1，B (－1，y 2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，y 3是抛物线y ＝－(x ＋2)2－1上的三点，则y 1，y 2，y 3按从小到大的顺序为 y 3＜y 1＜y 2 ．17．某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h (m)与时间t (s)的关系可以用公式h ＝－5t 2＋150t ＋10表示．经过 15 s ，火箭达到它的最高点．18．★如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(－1，0)，且对称轴为直线x ＝1，有下列结论：①abc ＜0；②10a ＋3b ＋c ＞0；③抛物线经过点(4，y 1)与点(－3，y 2)，则y 1＞y 2；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线都经过同一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a ，0；⑤am 2＋bm ＋a ≥0，其中所有正确的结论是__②④⑤__．三、解答题(本大题共8小题，共66分)19．(6分)已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：(1)(2)当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？解：(1)y ＝x 2－4x ＋5；(2)当x ＝2时，y 最小值＝1；20．(6分)已知一个二次函数的对称轴是直线x ＝1，图象上最低点P 的纵坐标是－8，图象过点(－2，10)且与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴交于点C ，求：(1)这个二次函数的解析式；(2)△ABC 的面积．(3)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？解：(1)y ＝2x 2－4x －6；(2)S △ABC ＝12；(3)x ＞1(写x ≥1也可)．21．(8分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，2)且方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3，1.(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标；(3)当x 取何值时，y ＞0.解：(1)依题意设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋3)(x －1)，把(－1，2)坐标代入得2＝a (－1＋3)(－1－1)，∴a ＝－12，故所求的解析式为y ＝－12(x ＋3)(x －1)即y ＝－12x 2－x ＋32.(2)由y ＝－12x 2－x ＋32＝－12(x ＋1)2＋2，所以抛物线的顶点为(－1，2)．(3)－3＜x ＜1.22．(8分)(南京中考)已知函数y ＝mx 2－6x ＋1(m 为常数)．(1)求证：无论m 为何值，该函数图象与y 轴总有一个固定交点；(2)若该函数与x 轴只有一个交点，求m 的值．(1)证明：当x ＝0时，y ＝1，故y ＝mx 2－6x ＋1与y 轴总有一固定交点(0，1)；(2)解：①若y ＝mx 2－6x ＋1为一次函数，则m ＝0，此时函数与x 轴有唯一交点；②若y ＝mx 2－6x ＋1为二次函数，则Δ＝36－4× m × 1＝0，m ＝9，综上可得m ＝0或m ＝9.23．(8分)如图，抛物线y ＝ax 2－x －32与x 轴正半轴交于点A (3，0)．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF .(1)求a 的值；(2)求点F 的坐标．解：(1)把A (3，0)代入y ＝ax 2－x －32中得a ＝12.(2)∵A (3，0)，∴OA ＝3.∵四边形OABC 是正方形，∴OC ＝OA ＝3，当y ＝3时，12x 2－x －32＝3，即x 2－2x －9＝0，解得x 1＝1＋10，x 2＝1－10＜0(舍去)，∴CD＝1＋10，在正方形OABC中，AB＝CB，同理BD＝BF，∴AF＝CD＝1＋10.∴点F的坐标为(3，1＋10)．24．(10分)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门，已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，求能建成的饲料室面积最大值为多少m2.解：设宽为x，则长为30－3x，面积为y，∴y＝x(30－3x)＝－3(x－5)2＋75(0＜x＜10)∵a＜0，∴x＝5时，y有最大值，y最大值＝75 m2.答：能建成饲养室面积的最大值是75 m2.25．(10分)(安徽中考)某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求y 与x 之间的函数解析式；(2)设商品每天的总利润为W (元)，求W 与x 之间的函数解析式(利润＝收入－成本)；(3)试说明(2)中总利润W 随售价x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx ＋b ，⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝100，60k ＋b ＝80，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝200. 即y 与x 之间的函数解析式是y ＝－2x ＋200；(2)由题意可得，W ＝(x －40)(－2x ＋200)＝－2x 2＋280x －8 000，即W 与x 之间的函数解析式是W ＝－2x 2＋280x －8 000；(3)∵W ＝－2x 2＋280x －8 000＝－2(x －70)2＋1 800，40≤x ≤80， ∴当40≤x ≤70时，W 随x 的增大而增大，当70≤x ≤80时，W 随x 的增大而减小，当x ＝70时，W 取得最大值，此时W ＝1 800，答：当40≤x ≤70时，W 随x 的增大而增大，当70≤x ≤80时，W 随x 的增大而减小，售价为70元时获得最大利润，最大利润是1 800元．26.(10分)定义：如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A，B两点不重合)，如果△ABP 的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．(1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标．(2)如图②，已知抛物线C：y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数解析式．(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP 的Q点(异于点P)的坐标．解：(1)抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标为(0，1)；(2)抛物线y＝ax2＋bx过原点，即点A(0，0)，如图，作PG⊥x轴于点G，∵点P的坐标(1，3)，∴AG＝1，PG＝3，P A＝AG2＋PG2＝12＋（3）2＝2，∵PGAG＝3，∴∠P AG＝60°，在Rt△P AB中，AB＝4，∴点B坐标为(4，0)，设y＝ax(x－4)，将点P(1，3)代入得a＝－33，∴y＝－33x(x－4)＝－33x2＋433x；(3)①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为3，则有－33x2＋433x＝3，解得x1＝3，x2＝1(不符合题意，舍去)，∴点Q的坐标为(3，3)；②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为－3，则有－33x2＋433x＝－3，解得x1＝2＋7，x2＝2－7，∴点Q的坐标为(2＋7，－3)或(2－7，－3)；综上，满足条件的点Q有3个：(3，3)或(2＋7，－3)或(2－7，－3)．。

九年级数学上册第22章《二次函数》单元检测卷（满分120分）班级_________姓名_________学号_________成绩_________题号一二三总分得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A．y＝x﹣1 B．y＝C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝﹣2x2+12．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象为（）A．B．C．D．3．已知A（0，y1），B（1，y2），C（4，y3）是抛物线y＝x2﹣3x上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y3＞y2＞y1D．y2＞y1＞y34．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或5．一次函数y＝ax+c（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．6．下表是满足二次函数y＝ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（）x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4y﹣0.80 ﹣0.54 ﹣0.20 0.22 0.72A．1.6＜x1＜1.8 B．1.8＜x1＜2.0 C．2.0＜x1＜2.2 D．2.2＜x1＜2.47．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是（）A．2.5米B．3米C．3.5米D．4米8．如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．B．C．D．9．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2，则这条抛物线的解析式是（）A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2C．y＝﹣x2+x+2 D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+210．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是．12．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为．13．二次函数y＝x2﹣16x﹣8的最小值是．14．二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），则m的值为．15．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．16．如果将抛物线y＝x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是．17．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为min．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．三．解答题（共7小题，满分58分）19．（6分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．20．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．21．（8分）如图，已知抛物线y＝x2﹣（k+1）x+1的顶点A在x轴的负半轴上，且与一次函数y＝﹣x+1交于点B 和点C．（1）求k的值；（2）求△ABC的面积．22．（8分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积．（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积是△ABC的面积的3倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（8分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）24．（10分）设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}＝﹣1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}＝，max{0，3}＝；（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为（3，0），经过A点的直线交抛物线于点D（2，3）．（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；（2）过x轴上的点E（a，0）作直线EF∥AD，交抛物线于点F，是否存在实数a，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A、该函数中自变量x的次数是1，属于一次函数，故本选项错误；B、该函数是反比例函数，故本选项错误；C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x+1，属于一次函数，故本选项错误；D、该函数符合二次函数定义，故本选项正确．故选：D．2．解：∵a＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；∵c＜0，∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，故第一个选项错误；∵a＜0、b＞0，对称轴为x＝＞0，∴对称轴在y轴右侧，故第四个选项错误．故选：B．3．解：把x1＝0，x2＝1，x3＝4分别代入y＝x2﹣3x得，y1＝0，y2＝﹣2，y3＝4，∴y3＞y1＞y2，故选：B．4．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4，解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．5．解：A、一次函数y＝ax+c与y轴交点应为（0，c），二次函数y＝ax2+bx+c与y轴交点也应为（0，c），图象不符合，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，a的取值矛盾，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．故选：D．6．解：∵﹣0.20＜0＜0.22，∴2.0＜x1＜2.2．故选：C．7．解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，2.25＝a（0﹣1）2+3，解得a＝﹣0.75，∴y＝﹣（x﹣1）2+3，当y＝0时，﹣（x﹣1）2+3＝0，解得，x1＝﹣1，x2＝3，∴点B的坐标为（3，0），∴OB＝3，答：水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．故选：B．8．解：∵函数y＝（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m＝（1﹣2）2+1＝1，n＝（4﹣2）2+1＝3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC＝4﹣1＝3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′＝3AA′＝9，∴AA′＝3，即将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2+4．故选：D．9．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），∵OC＝2，∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝2，解得a＝﹣1，此时抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2；把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝﹣2，解得a＝1，此时抛物线解析式为y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．故选：D．10．解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，即x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，则点A（1，0），B（3，0），由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），当y＝x+m1与C2相切时，令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，即2x2﹣15x+30+m1＝0，△＝﹣8m1﹣15＝0，解得m1＝﹣，当y＝x+m2过点B时，即0＝3+m2，m2＝﹣3，当﹣3＜m＜﹣时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故选：D．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，解得k＝0或k＝3；又∵k﹣3≠0，∴k≠3．∴k的值是0时．故答案为：0．12．解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，∴顶点坐标是（1，8）．故答案为：（1，8）．13．解：y＝x2﹣16x﹣8＝（x﹣8）2﹣72，由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣72，故答案为：﹣72．14．解：∵根二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），∴5﹣m2＝4，解得m＝±1．故答案为±1．15．解：∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k≤，又∵k﹣1≠0，∴k≠1，∴k的取值范围是k≤且k≠1；故答案为：k≤且k≠1．16．解：设平移后的抛物线解析式为y＝x2+2x﹣1+b，把A（0，3）代入，得3＝﹣1+b，解得b＝4，则该函数解析式为y＝x2+2x+3．故答案是：y＝x2+2x+3．17．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，则最佳加工时间为3.75min．故答案为：3.75．18．解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故答案为①②⑤．三．解答题（共7小题，满分58分）19．解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得，解得，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3．20．解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x＝2；（2）列表得：x…﹣1 0 1 2 3 4 5 …y…﹣5 0 3 4 3 0 ﹣5 …描点，连线．（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．21．解；（1）∵抛物线y＝x2﹣（k+1）x+1的顶点A在x轴的负半轴上，∴＝0，且﹣＜0，解得，k＝﹣3；（2）∵k＝﹣3，∴抛物线为y＝x2+2x+1，解x2+2x+1＝﹣x+1得，x1＝0，x2＝﹣3，∴B（﹣3，4），C（0，1），由直线y＝﹣x+1可知与x轴的交点D为（1，0），∵抛物线为y＝x2+2x+1＝（x+1）2，∴A（﹣1，0），∴AD＝2，∴S△ABC＝×2×4﹣＝3．22．解：（1）配方得：y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，故顶点D的坐标是（2，﹣1），∵二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C．∴0＝（x﹣2）2﹣1，解得：x＝1或3，则图象与x轴交点为：A（1，0），B（3，0），则图象与y轴交点为：C（0，3），故△ABC的面积为：S△ABC＝×2×3＝3．S△ABD＝×2×1＝1．则S四边形ACBD＝3+1＝4；（2）∵△ABP的面积是△ABC的面积的3倍，C的纵坐标是3．∴P的纵坐标是9或﹣9（舍去）．把y＝9代入y＝x2﹣4x+3，得x2﹣4x+3＝9，解得：x1＝2+或x2＝2﹣．则P的坐标是（2+，9）或（2﹣，9）．23．解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝（x﹣50）（﹣5x+550）＝﹣5x2+800x﹣27500∴y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500∵a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，∴当x＝80时，y最大值＝4500；（3）当y＝4000时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000，解得x1＝70，x2＝90．∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，解得x≥82．∴82≤x≤90，∵50≤x≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间．24．解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y＝﹣x+2，如图所示，观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．25．解：（1）把点B和D的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得：，解得：b＝2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3，或x＝﹣1，∵B（3，0），∴A（﹣1，0）；设直线AD的解析式为y＝kx+a，把A和D的坐标代入得：，解得：k＝1，a＝1，∴直线AD的解析式为y＝x+1；（2）分两种情况：如图所示：①当a＜﹣1时，DF∥AE且DF＝AE，则F点即为（0，3），∵AE＝﹣1﹣a＝2，∴a＝﹣3；②当a＞﹣1时，显然F应在x轴下方，EF∥AD且EF＝AD，设F（a﹣3，﹣3），由﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3＝﹣3，解得：a＝4±；综上所述，满足条件的a的值为﹣3或4±．。

华东师大版数学九年级上册第22章单元测试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.下列方程中，是一元二次方程共有（）①x2−x3+3=0②2x2−3xy+4=0③x2−1x=4④x2=1⑤3x2+x=20．A.2个B.3个C.4个D.5个2.一元二次方程x2−1=0的根为（）A.x=1B.x=−1C.x1=1，x2=−1D.x=23.把方程(2x−1)(3x+2)=x2+2化成一般形式后，二次项的系数和常数项分别是（）A.5，−4B.5，1C.5，4D.1，−44.方程x2=x的两根分别为（）A.x1=−1，x2=0B.x1=1，x2=0C.x1=−l，x2=1D.x1=1，x2=15.已知2是关于x的方程：x2−x+a=0的一个解，则2a−1的值是（）A.5B.−5C.3D.−36.用配方法解方程x2−2x−6=0时，原方程应变形为（）A.(x+1)2=7B.(x−1)2=7C.(x+2)2=10D.(x−2)2=107.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①若a+c=0，方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2−4ac=(2am+b)2成立，其中正确的只有（）A.①②④B.②③C.③④D.①④8.已知关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有两个正整数根，则m可能取的值为（）A.m>0B.m>4C.−4，−5D.4，59.设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b=a2+ab，则方程x△(x−2)=12的实数根是（）A.x1=−2，x2=3B.x1=2，x2=−3C.x1=−1，x2=6D.x1=1，x2=−610.关于x的一元二次方程x2−mx+5(m−5)=0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+ x2=7，则m的值是（）A.2B.6C.2或6D.7二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）11.用配方法解方程时，把方程x2−8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，则m−n=________．12.某公司一月份的产值为70万元，二、三月份的平均增长率都为x，三月份的产值比二月份产值多10万元，则可列方程为________．13.方程√2x2−√3x−1=0的解为________．14.红星化工厂要在两年内使工厂的年利润翻一番，那么在这两年中利润的年平均增长率是________．15.若两个连续偶数的积为288，则这两个连续偶数的和为________．16.方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，则√αβ+√βα的值为________．17.已知关于x的一元二次方程x2−(k+1)x−6=0的一个根是2，求方程的另一根x1=________和k=________．18.设a、b是方程x2+x−2014=0的两个实数根，则(a+1)2+b的值为________．19.方程√3x−2=x的解是________．20.如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程________．三、解答题（共6小题，每小题10分，共60分）21.解方程：①(2x−1)2=9（直接开平方法）②x2+3x−4=0（用配方法）③x2−2x−8=0（用因式分解法）④(x+4)2=5(x+4)⑤(x+1)(x+2)=2x+4⑥x2+2x−9999=0．22.已知关于x的方程x2−(2m+1)x−(2m−1)=0的一个根为1，求m的值．23.已知m是方程x2−2014x+1=0的一个根，求代数式2m2−4027m−2+2014m2+1的值．24.把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)5x2=3x；(2)(√2−1)x+x2−3=0；(3)(7x−1)2−3=0；(4)(x2−1)(x2+1)=0；(5)(6m−5)(2m+1)=m2．25.设x1、x2是关于x的方程x2−4x+k+1=0的两个实数根．试问：是否存在实数k，使得x1⋅x2>x1+x2成立，请说明理由．26.已知：关于x 的方程x 2+(2m +4)x +m 2+5m 没有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若关于x 的一元二次方程mx 2+(n −2)x +m −3=0有实数根，求证：该方程两根的符号相同；(3)设(2)中方程的两根分别为α、β，若α:β=1:2，且n 为整数，求m 的最小整数值．参考答案：1.B2.C3.A4.B5.B6.B7.D8.C9.A 10.B 11.−1712.70(1+x)2=70(1+x)+10 13.x 1=√6+√3√2+84，x 2=√6−√3√2+8414.√2−1 15.34或−34 16.317.−3−2 18.201419.x 1=1，x 2=220.(30−2x)(20−x)=6×78 21.解：①(2x −1)2=9，开方得：2x −1=3或2x −1=−3， 解得：x 1=2，x 2=−1； ②x 2+3x −4=0，方程变形得：x 2+3x =4， 配方得：x 2+3x +94=254，即(x +32)2=254，开方得：x +32=±52，解得：x 1=1，x 2=−4；③x 2−2x −8=0，分解因式得：(x −4)(x +2)=0， 解得：x 1=4，x 2=−2；④方程整理得：(x +4)2−5(x +4)=0， 分解因式得：(x +4)(x +4−5)=0， 解得：x 1=−4，x 2=1；⑤方程整理得：(x +1)(x +2)−2(x +2)=0， 分解因式得：(x +2)(x +1−2)=0，解得：x1=−2，x2=1；⑥方程移项得：x2+2x=9999，配方得：x2+2x+1=10000，即(x+1)2=10000，开方得：x+1=100或x+1=−100，解得：x1=99，x2=−101．22.解：把x=1代入x2−(2m+1)x−(2m−1)=0得1−2m−1−2m+1=0，解得m=14．23.解：∵m是方程x2−2014x+1=0的一个根，∴m2−2014m+1=0，∴m2=2014m−1，m2+1=2014m，∴原式=2(2014m−1)−4027m−2+20142014m=m+1m−4=m2+1m−4=2014mm−4=2014−4=2010．24.解：(1)方程整理得：5x2−3x=0，二次项系数为5，一次项系数为−3，常数项为0；(2)x2+(√2−1)x−3=0，二次项系数为1，一次项系数为√2−1，常数项为−3；(3)方程整理得：49x2−14x−2=0，二次项系数为49，一次项为−14，常数项为−2；(4)方程整理得：14x2−1=0，二次项系数为14，一次项系数为0，常数项为−1；(5)方程整理得：11m2−4m−5=0，二次项系数为11，一次项系数为−4，常数项为−5．25.解：∵方程有实数根，∴b2−4ac≥0，∴(−4)2−4(k+1)≥0，即k≤3．∵x=4±√(−4)2−4(k+1)2=2±√3−k，∴x1+x2=(2+√3−k)+(2−√3−k)=4，x1⋅x2=(2+√3−k)⋅(2−√3−k)=k+1若x1⋅x2>x1+x2，即k+1>4，∴k>3．而k≤3，因此，不存在实数k，使得x1⋅x2>x1+x2成立．26.解：(1)∵关于x的方程x2+(2m+4)x+m2+5m没有实数根，∴△=(2m+4)2−4×1×(m2+5m)<0，∴m>4，∴m 的取值范围是m >4；(2)由于方程mx 2+(n −2)x +m −3=0有两个实数根可知m ≠0， 当m >4时，m−3m>0，即方程的两根之积为正，故方程的两根符号相同． (3)由已知得：m ≠0，α+β=−n−2m，α·β=m -3m．∵α:β=1:2， ∴3α=−n−2m，2a 2=m−3m．(n−2)29m 2=m−32m，即(n −2)2=92m(m −3)． ∵m >4，且n 为整数，∴m 为整数；当m =6时，(n −2)2=92×6×3=81．∴m 的最小值为6．华东师大版数学九年级上册第23章单元测试题一、选择题(每小题3分，共24分)1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A ．4cm ，2cm ，1cm ，3cm B ．1cm ，2cm ，3cm ，5cm C ．3cm ，4cm ，5cm ，6cm D ．1cm ，2cm ，2cm ，4cm2．如果x 2＝y 3，那么x ＋yx －y的值是（ ）A ．5B ．1C ．－5D ．－13．如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为（ ）A ．1∶25B ．1∶5C ．1∶2.5D ．1∶ 54．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为（ ） A ．4 B ．7 C ．3 D ．12第4题图5．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (4，4)，B (6，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 和D 的坐标分别为（ ）A ．(2，2)，(3，2)B ．(2，4)，(3，1)C ．(2，2)，(3，1)D ．(3，1)，(2，2)第5题图6．如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)，B(2，0)，点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似(不包括全等)，则点C的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4第6题图7．阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离EC＝8.7米，窗口高AB＝1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（）A．4米 B．3.8米 C．3.6米 D．3.4米第7题图8．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（）A.22B.32C．1 D.62第8题图二、填空题(每小题3分，共30分)9．如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB 的中点M，N，测得MN＝32m，则A，B两点间的距离是m.第9题图10．如图，是象棋棋盘的一部分，若位于点(1，－2)上，位于点上，则位于点(－2，1)上．第10题图11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，DE ＝6，则BC 的长是.第11题图12．如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，连接CD ，请添加一个适当的条件，使△ABC ∽△ACD (只填一个即可)．13．在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度得到的，如果图形a 中的点A 的坐标为(4，－2)，则图形b 中与点A 对应的点A ′的坐标为．第12题图14．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶3，点A 的坐标为(0，1)，则点E 的坐标是．第14题图第15题图15．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DE 为Rt △CDB 的斜边BC 上的高．若BE ＝6，CE ＝4，则CD ＝.16．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，AC ＝10 2.四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形(点D 、E 、F 在三角形的边上)，则此正方形的面积是.第16题图第17题图第18题图17．如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB ，AB 与地面平行，当支点O 在距离A 端2米时，A 端的人可以将B 端的人跷高1.5米，那么当支点O 在AB 的中点时，A 端的人下降同样的高度可以将B 端的人跷高米．18．如图，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD .E 为四边形ABCD 内一点且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°，使BC 与DC 重合，得到△DCF .连接EF 交CD 于M ，已知BC ＝10，CF ＝6，则ME ∶MF 的值为.三、解答题(共66分)19．(8分)图中的两个多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A ＝∠D 1＝135°，∠B ＝∠E 1＝120°，∠C 1＝95°. (1)求∠F 的度数；(2)如果多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，求C 1D 1的长度．20．(6分)如图所示，AD 、BE 是钝角△ABC 的边BC 、AC 上的高，求证：AD BE ＝ACBC.21．(6分)如图，M 、N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米、AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．22．(7分)已知：△ABC在平面直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是(2，－2)；(2分)(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2∶1，点C2的坐标是(1，0)；(3)△A2B2C2的面积是10平方单位．23．(7分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，BD＝2.过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE＝∠B.求线段EC的长度．24．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．25．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.M为AD中点，连接CM 交BD于点N，且ON＝1.(1)求BD的长；(2)若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．26．(12分)如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(－4，4)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP 的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连接PE.设点P运动的时间为t(s)．(1)∠PBD的度数为45°，点D的坐标为(t，t)(用t表示)；(2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？参考答案：1．D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D 7.A8．C 解析：作MH ⊥AC 于H ，如图.∵四边形ABCD 为正方形，∴∠MAH ＝45°，∴△AMH 为等腰直角三角形，∴AH ＝MH ＝22AM ＝22×2＝2. ∵CM 平分∠ACB ，∴BM ＝MH ＝2，∴AB ＝2＋2，∴AC ＝2AB ＝(2＋2)×2＝22＋2，∴OC ＝12AC ＝2＋1，CH ＝AC －AH ＝22＋2－2＝2＋2. ∵BD ⊥AC ，∴ON ∥MH ，∴△CON ∽△CHM ，∴ON MH ＝OCCH ，即ON 2＝2＋12＋2， ∴ON ＝1.故选C.9．64 10.(－2，1) 11.1812．∠B ＝∠ACD (答案不唯一) 13.(4，－5) 14．(3，3) 15.210 16.25 17.118．3∶4 解析：由题意知△BCE 绕点C 顺时转动了90°，∴△BCE ≌△DCF ，∠ECF ＝∠DFC ＝90°，∴CD ＝BC ＝10，DF ∥CE ，∴∠ECD ＝∠CDF .∵∠EMC ＝∠DMF ，∴△ECM ∽△FDM ，∴ME ：MF ＝CE ：DF .∵DF ＝CD 2－CF 2＝8，∴ME ：MF ＝CE ：DF ＝6：8＝3：4.19．解：(1)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似，又∠C 和∠C 1、∠D 和∠D 1、∠E 和∠E 1是对应角，∴∠C ＝95°，∠D ＝135°，∠E ＝120°.由多边形内角和定理，知∠F ＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°；(4分)(2) ∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，∴C 1D 1＝15×1.5＝22.5(cm)．(8分)20．解：∵AD 、BE 是钝角△BAC 的高，∴∠BEC ＝∠ADC ＝90°.(2分)又∵∠DCA ＝∠ECB ，∴△DAC ∽△EBC .(5分)∴AD BE ＝AC BC.(6分) 21．解：在△ABC 与△AMN 中，∠A ＝∠A ，AC AB ＝3054＝59，AM AN ＝10001800＝59， ∴AC AB ＝AM AN ，即AC AM ＝AB AN，∴△ABC ∽△ANM ，(3分) ∴AC AM ＝BC MN ，即301000＝45MN，∴MN ＝1.5千米．(5分) 答：M 、N 两点之间的直线距离是1.5千米．(6分)22．解：(1)(2，－2)(2分)(2)(1，0)(4分)(3)10(7分)22．解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .(2分)∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ，而∠B ＝∠ADE ，∴∠BAD ＝∠EDC .(5分)∴△ABD ∽△DCE .∴AB DC ＝BD EC .∴84＝2EC.∴EC ＝1.(7分) 23．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .(1分)∵∠APD ＝∠B ，∴∠APD ＝∠B ＝∠C .∵∠APC ＝∠BAP ＋∠B ，∠APC ＝∠APD ＋∠DPC ，∴∠BAP ＝∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ，(3分)∴BP CD ＝AB CP ，∴AB ·CD ＝CP ·BP .∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP ·BP ；(5分)(3) 解：∵PD ∥AB ，∴∠APD ＝∠BAP .∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C .∵∠B ＝∠B ，∴△BAP ∽△BCA ，∴BA BC ＝BP BA .(8分)∵AB ＝10，BC ＝12，∴1012＝BP 10，∴BP ＝253.(10分) 24．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，OB ＝OD ，∴∠DMN ＝∠BCN ，∠MDN ＝∠NBC ，∴△MND ∽△CNB ，∴MD CB ＝DN BN.(2分)∵M 为AD 中点，∴MD ＝12AD ＝12BC ，即MD CB ＝12， ∴DN BN ＝12，即BN ＝2DN . 设OB ＝OD ＝x ，则有BD ＝2x ，BN ＝OB ＋ON ＝x ＋1，DN ＝x －1， ∴x ＋1＝2(x －1)，解得x ＝3，∴BD ＝2x ＝6；(5分)(2) ∵△MND ∽△CNB ，且相似比为1∶2，(3) ∴MN ∶CN ＝DN ∶BN ＝1∶2，(4) ∴S △MND ＝12S △CND ＝1，S △BNC ＝2S △CND ＝4. (5) ∴S △ABD ＝S △BCD ＝S △BCN ＋S △CND ＝4＋2＝6，(8分)(6) ∴S 四边形ABNM ＝S △ABD －S △MND ＝6－1＝5.(10分)26．解：(1)45° (t ，t )(4分)(2)由题意，可得AP ＝OQ ＝1×t ＝t ，∴AO ＝PQ .(5分)∵四边形OABC 是正方形，∴AO ＝AB ，∴AB ＝PQ .∵DP ⊥BP ，∴∠BPD ＝90°.∴∠BPA ＝90°－∠DPQ ＝∠PDQ .又∵∠BAP ＝∠PQD ＝90°，∴△PAB ≌△DQP .(7分)∴AP ＝DQ ＝t ，PB ＝PD .显然PB ≠PE ，分两种情况：若EB ＝EP ，则∠EPB ＝∠EBP ＝45°，此时点P 与O 点重合，t ＝4； 若BE ＝BP ，则△PAB ≌△ECB .∴CE ＝PA ＝t .(9分)过D 点作DF ⊥OC 于点F ，易知四边形OQDF 为正方形，则DF ＝OF ＝t ，EF ＝4－2t .∵DF ∥BC ，∴△BCE ∽△DFE ，∴BC DF ＝CE EF ，∴4t ＝t 4－2t.解得t ＝－4±42(负根舍去)． ∴t ＝42－4.(11分)综上，当t ＝42－4或4时，△PBE 为等腰三角形．(12分)。

沪科版九年级数学上册《第二十二章相似形》单元测试卷-带参考答案一、单选题1．已知三个数1，2，4，若添一个数使得四个数成比例，这个数可以是（ ）A ．8B ．8-C ．3D ．3-2．已知35x y =，则x x y+的值为（ ） A ．25 B ．38C ．32 D ．233．已知2a ＝3b （a≠0，b≠0），那么下列变形中错误的是（ ）A ．23b a = B ．32a b = C ．32a b= D ．b ：a ＝2：34．若x 是3和6的比例中项，则x 的值为（ ）A ．32B ．32-C ．23±D ．32±5．如图，在△ABC 中，DE△BC ，AD ＝5，AB ＝12，AE ＝3，则EC 的长是（ ）A ．365B ．215C ．20D ．156．已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP ＞NP ，且MP=51）cm ，则NP 等于（ ）A ．2cmB ．（35cmC ．5﹣1）cmD ．5+1）cm7．如图，直线 123l //l //l ，一等腰 Rt ABC 的三个顶点 A 、 B 、 C 分别在直线 1l 、 2l 和 3l上， ACB 90∠=︒ ， AC 交 2l 于点 D. 若 1l 与 2l 的距离为 1 ， 1l 与 3l 的距离为 4 ，则ABBD的值是（ ）A 2B 34C 42D 528．如图，AD△BE△CF ，直线l 1、l 2这与三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．89．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，△B ＝△DAC ，则线段AC 的长为（ ）A ．4B ．42C ．6D ．4 310．下列各组数中，能成比例的是（ ）A ．3，4，5，6B ．-1，-2， 2，4C ．-3，1，3，0D ．-1，2，-3，4二、填空题11．如图，已知AB CD EF ，若632AC CE DF ===，，，则BD 的长为 ．12．如图，△ABC 是边长为a 的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A 重合，三角板30°角的两边与BC 交于D 、E 两点，则DE 长度的取值范围是 ．13．如图，在等腰直角△ABC 中，AB=4，点D 在边AC 上一点且AD=1，点E 是AB 边上一点，连接DE ，以线段DE 为直角边作等腰直角△DEF( D 、E 、F 三点依次呈逆时针方向)，当点F 恰好落在BC 边上时，则AE 的长是 ．三、解答题14．已知：如图，在△ABC 中，△ACB ＝90°，CD △AB ，垂足为D ，AD ＝3，BD ＝6，求CD 的长．15．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF△AE ，垂足为F ．（1）求证：△ABE△△DFA ． （2）若AB=6，BC=4，求DF 的长．16．在△ABC 中，点D 、E 分别边AB 、AC 上的点，若AD ＝2，DB ＝7，AE ＝3，EC ＝3，求DE ：BC的值.17．如图，四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，求△α、△β 的大小和EH 的长度．四、综合题18．在矩形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 、 BD 的交点，直角 EPF ∠ 的顶点 P 与 O 重合， OE 、 OF 分别与 AB 、 BC 边相交于 E 、 F ，连接 EF ， BC k AB =⋅ （ k 为常数）.（1）发现问题：如图1，若 1k = ，猜想：OEOF= ； （2）类比探究：如图2， 1k ≠ 探究线段 OE ， OF 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若 FO FC = ， 2k =和 6OD =，求 EF 的长.19．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且CD 2＝AD •BC ．（1）求证：△APD △△PBC ； （2）求△APB 的度数．20．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，在四边形 ABCD 中 80ABC ∠=︒ ， 140ADC ∠=︒ 对角线 BD 平分ABC ∠ ．求证： BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”；（2）如图2，已知 FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线” 30EFH HFG ∠=∠=︒ ．连接EG ，若 EFG ∆ 的面积为 3，求 FH 的长．21．（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图：在ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点， AD 、CE 相交于点G ．求证：13GE GD CE AD ==． 证明：连接ED ．（1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．（2）（结论应用）如图②，在ABC 中，D 、F 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CF 相交于点G ，GE AC 交BC 于点E ，GH AB 交BC 于点H ，则EGH 与ABC 的面积的比值为 ．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：设添加的数是x根据题意得 124x =：： 即24=1x ⨯⨯ 解得：=8x 故答案为：A ．【分析】如果两个数的比值与另两个数的比值相等 就说这四个数成比例 据此解答即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵35x y =∴设x=3k y=5k∴33358x k x y k k ==++故答案为：B ．【分析】根据35x y = 设x=3k y=5k 再将x 、y 的值代入x x y+计算即可。

人教版九年级数学上册第二十二章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列关于x 的函数一定为二次函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝ax 2＋bx ＋cC ．y ＝－5x 2－3D ．y ＝x 3＋x ＋12．把二次函数y ＝2x 2－8x ＋3用配方法化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式时，应为( ) A ．y ＝2(x －2)2＋5 B ．y ＝2(x －2)2－1C ．y ＝2(x －2)2－5D ．y ＝2(x －2)2＋73．[2023丽水]一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t (秒)时球距离地面的高度h (米)适用公式h ＝10t －5t 2，则球弹起后又回到地面所花的时间t (秒)是( )A ．5B ．10C ．1D ．24．抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 经过三点(－4，y 1)，(－2，y 2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A ．y 2＞y 3＞y 1 B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 25．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋2，当－1≤x ≤1时，y 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．76．在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝－x 2＋2x －1经过平移可以与抛物线y＝－x 2互相重合，那么这个平移是( ) A ．向上平移1个单位 B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位7．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝bx ＋a 的图象可能是( )8．如图，九(1)班同学准备用8 m 长的围栏，在本班劳动实践基地内围出一块一边靠墙的等腰三角形菜地，他们能围出的最大面积是()A．4 3 m2B．(10 3－10) m2C．8 m2D．(20 2－20) m2(第8题) (第9题) (第10题)9．[2023眉山]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为直线x＝－1，下列四个结论：①abc＜0；②4a－2b＋c ＜0；③3a＋c＝0；④当－3＜x＜1时，ax2＋bx＋c＜0．其中正确结论的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个10．[2023南通]如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20．点D从点A出发沿折线A－C－B运动到点B停止，过点D作DE⊥AB，垂足为E．设点D运动的路径长为x，△BDE的面积为y，若y与x的对应关系如图②所示，则a－b的值为()A．54 B．52 C．50 D．48二、填空题(每题3分，共18分)11．[2023哈尔滨]抛物线y＝－(x＋2)2＋6与y轴的交点坐标是________．12．二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为________．13．已知二次函数y＝x2－(m＋1)x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m 的取值范围是________．14．如图是某公园一座抛物线形拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数y＝－12，在正常水位时水面宽AB＝30 m，当水位上升5 m时，则水面宽CD＝25x________m．(第14题) (第15题)(第16题) 15．[2023娄底]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝________．16．[2023成都]在平面直角坐标系中，抛物线y＝－14x2＋32x＋4(0≤x≤8)如图所示，对任意的0≤a＜b≤8，称W为a到b时y的值的“极差”(即a≤x≤b时y的最大值与最小值的差)，L为a到b时x的值的“极宽”(即b与a的差值)，则当L ＝7时，W的取值范围是________．三、解答题(共72分)17．(6分) 已知函数y＝m(m＋2)x2＋mx＋m＋1．(1)当m为何值时，此函数是一次函数？(2)当m为何值时，此函数是二次函数？18．(8分)已知抛物线y＝－x2＋4x＋5．(1)用配方法将y＝－x2＋4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式；(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．19．(10分)[2024广州期中]如图，抛物线的顶点为C(1，9)，与x轴交于A，B(4，0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线与y轴交点为D，求S△BCD．20．(10分)[2023兰州]一名运动员在10 m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m 时离水面的距离为7 m．(1)求y关于x的函数解析式；(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离O B．21．(12分)[2023鞍山]网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1 kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x的函数解析式．(2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？22．(12分)[2023乐山节选]已知(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线C1：y＝－14x2＋bx(b为常数)上的两点，当x1＋x2＝0时，总有y1＝y2．(1)求b的值；(2)将抛物线C1平移后得到抛物线C2：y＝－14(x－m)2＋1(m＞0)．当0≤x≤2时，若抛物线C1与抛物线C2有一个交点，求m的取值范围．23．(14分)[2023巴中]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(－1，0)和B(0，3)，其顶点的横坐标为1．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN＋MN有最大值，并求出最大值；(3)若点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在(2)的条件下求得的点M，是否能与A，P，Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．答案一、1．C2．C3．D4．B5．C 【点拨】由题意得二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线x＝－－42×1＝2．∴当x＜2时，y随x的增大而减小．∵－1≤x≤1，∴当x＝1时，二次函数y＝x2－4x＋2有最小值，最小值为12－4×1＋2＝－1．6．C【点拨】由y＝－x2＋2x－1得y＝－(x－1)2．∵抛物线y＝－(x－1)2的顶点为(1，0)，抛物线y＝－x2的顶点为(0，0)，从(1，0)到(0，0)是向左平移了1个单位，∴抛物线y＝－x2＋2x－1向左平移1个单位得到抛物线y＝－x2．7．C【点拨】先确定一个基础函数图象，再根据这个基础函数图象确定待定系数的取值范围，然后再看求出的待定系数的取值范围是否满足另一个函数图象．8．C【点拨】设等腰三角形菜地的面积为S m2．如图①，当底边靠墙时，过点A作AD⊥BC于点D．∵用8 m长的围栏围出一块一边靠墙的等腰三角形菜地，∴腰长为8÷2＝4(m)．∴S＝12×4×AD＝2AD．当AD和腰长相等时，此时为等腰直角三角形，S取得最大值，此时S＝8，即等腰三角形菜地的最大面积为8 m2．如图②，当一条腰靠墙时，过点B作BD⊥AC于点D，设AB＝AC＝x m，则BC＝(8－x)m，∴S＝AC·BD2<x（8－x）2＝－（x－4）2＋162≤8．∴当一条腰靠墙时，围出的等腰三角形菜地的最大面积一定小于8 m2．综上可得，能围出的最大面积是8 m2．9．D【点拨】∵二次函数图象开口向上，且与y轴交于y轴负半轴，∴a＞0，c＜0．∵二次函数图象的对称轴为直线x＝－1，∴－b2a＝－1，∴b＝2a＞0，∴abc＜0，故①正确；∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为直线x＝－1，∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为(－3，0)，∴当x＝－2时，y＜0，∴4a－2b＋c＜0，故②正确；∵当x＝1时，y＝0，∴a＋b＋c＝0．∵b＝2a，∴a＋2a＋c＝0，即3a＋c＝0，故③正确；由函数图象易知当－3＜x＜1时，ax2＋bx＋c＜0，故④正确．10．B【点拨】∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，∴AB＝25．当x＝10时，点D 在线段AC上，则AD＝10，∴CD＝15－10＝5．在Rt△CDB中，由勾股定理得BD2＝CD2＋BC2＝52＋202＝425．设AE＝z，则BE＝25－z，∴BE2＝(25－z)2＝z2－50z＋625．在Rt△ADE中，由勾股定理得DE2＝AD2－AE2＝100－z2，在Rt△DEB中，由勾股定理得BD2＝DE2＋BE2，即425＝100－z2＋z2－50z＋625，解得z＝6，∴DE＝8，BE＝19．∴a＝S△BDE＝12×19×8＝76．当x＝25时，点D在线段BC上，则CD＝25－15＝10，∴BD＝20－10＝10．设BE＝q，则AE＝25－q，∴AE2＝(25－q)2＝625－50q＋q2．连接AD，在Rt△CDA中，由勾股定理得AD2＝AC2＋CD2＝152＋102＝325．在Rt△BDE 中，由勾股定理得DE2＝BD2－BE2＝100－q2．在Rt△DEA中，由勾股定理得AD2＝DE2＋AE2，即325＝100－q2＋625－50q＋q2，解得q＝8，∴BE＝8，DE＝6．∴b＝S△BDE＝12×6×8＝24．∴a－b＝76－24＝52．二、11．(0，2)12．113．m≤1【点拨】∵y＝x2－(m＋1)x＋1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－－（m＋1）2＝m＋12．∵当x>1时，y随x的增大而增大，∴m＋12≤1，解得m≤1．14．2015．4【点拨】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(1，0)，B(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1＋32＝2．∵当x ＝0时，y ＝c ，∴C (0，c)．∵CD ∥x 轴，∴C ，D 关于直线x ＝2对称，∴D (4，c )．∴CD ＝4－0＝4．16．4≤W ≤254【点拨】根据题意得y ＝－14x 2＋32x ＋4＝－14(x －3)2＋254，∴抛物线的对称轴为直线x ＝3，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，254．∵L ＝7，即b 与a 的差值为7，∴b ＝a ＋7．∵0≤a ＜b ≤8，∴0≤a ＜a ＋7≤8．∴0≤a ≤1．∴7≤a ＋7≤8．∵－14<0，∴当a ≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，当3＜x ≤a ＋7时，y 随x 的增大而减小．∴当x ＝3时，y 有最大值，最大值为254；当x ＝a ＋7时，y 有最小值，最小值为－14(a ＋4)2＋254．∴W ＝254－[－14(a ＋4)2＋254]＝14(a ＋4)2，则其对称轴为直线a ＝－4．∴当0≤a ≤1时，W 随a 的增大而增大．∴当a ＝0时，W 有最小值，最小值为4；当a ＝1时，W 有最大值，最大值为254．综上所述，4≤W ≤254． 三、17．【解】(1)∵函数y ＝m (m ＋2)x 2＋mx ＋m ＋1是一次函数，∴m (m ＋2)＝0且m ≠0，解得m ＝－2．(2)∵函数y ＝m (m ＋2)x 2＋mx ＋m ＋1是二次函数， ∴m (m ＋2)≠0，∴m ≠－2且m ≠0．18．【解】(1)y ＝－x 2＋4x ＋5＝－x 2＋4x －4＋4＋5＝－(x －2)2＋9．(2)∵y ＝－(x －2)2＋9，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，9)．19．【解】(1)∵抛物线的顶点为C(1，9)，∴设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2＋9． ∵抛物线与x 轴交于点B (4，0)， ∴a (4－1)2＋9＝0，解得a ＝－1．∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋9＝－x 2＋2x ＋8． (2)过点C 作C E ⊥y 轴于点E ，则四边形O BC E 为梯形． ∵抛物线与y 轴交点为D ， ∴易得D(0，8)．∴O D ＝8． ∵B(4，0)，C(1，9)，∴C E ＝1，OE ＝9，O B ＝4．∴D E ＝OE －O D ＝1．∴S △BCD ＝S 梯形O BC E －S △C E D －S △O BD ＝12×(1＋4) ×9－12×1×1－12×4×8＝6．20．【解】(1)由题意得抛物线的对称轴为直线x ＝1，经过点(0，10)，(3，7)．设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝1，c ＝10，9a ＋3b ＋c ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝10，∴y 关于x 的函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋10．(2)令y ＝0，则－x 2＋2x ＋10＝0，解得x 1＝1＋11，x 2＝1－11(负值舍去)，∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 为(1＋11) m ．21．【解】(1)设y 与x 的函数解析式为y ＝kx ＋b ．将点(8，2 200)和点(14，1 600)的坐标代入，得⎩⎨⎧8k ＋b ＝2 200，14k ＋b ＝1 600，解得⎩⎨⎧k ＝－100，b ＝3 000，∴y 与x 的函数解析式为y ＝－100x ＋3 000．(2)设销售这种荔枝日获利w 元，根据题意，得w ＝(x －6－2)(－100x ＋3 000)＝－100x 2＋3 800x －24 000＝－100(x －19)2＋12 100．∴抛物线开口向下，且对称轴为直线x ＝19．∴当x <19时，y 随x 的增大而增大．∵销售价格不高于18元/kg ，∴当x ＝18时，w 取得最大值，最大值为12 000，即当每千克荔枝的销售价格定为18元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12 000元．22．【解】(1)由题意知y 1＝－14x 12＋bx 1，y 2＝－14x 22＋bx 2．∵当x 1＋x 2＝0 时，总有 y 1＝y 2，∴当x 1＋x 2＝0时，－14x 12＋bx 1＝－14x 22＋bx 2，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4 b )＝0．∵x 1≠x 2，∴x 1－x 2≠0．∴x 1＋x 2－4b ＝0．∴b ＝0．(2)由(1)知抛物线C 1的解析式为y ＝－14x 2，将x ＝0代入，得y ＝0，将x ＝2代入，得y ＝－1． 如图①，当抛物线 C 2 过点(0，0)时， 将点(0，0)的坐标代入y ＝－14(x －m )2＋1，得－14m 2＋1＝0，解得m ＝2或m ＝－2(舍去)．如图②，当抛物线 C 2 过点(2，－1)时， 将点(2，－1)的坐标代入y ＝－14(x－m )2＋1，得－14(2－m )2＋1＝－1，解得m ＝2＋2 2或m ＝2－2 2(舍去)．综上所述，m 的取值范围为2≤m ≤2＋2 2．23．【解】(1)∵抛物线的顶点的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1．∵抛物线经过点A (－1，0)，∴抛物线与x 轴的另一交点坐标为(3，0)．将(－1，0)，(3，0)，(0，3)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3．(2)由题意知0<m <3，易知点M (m ，－m 2＋2m ＋3)，点N (m ，0)，则MN ＝－m 2＋2m ＋3，AN ＝m ＋1，∴AN ＋MN ＝m ＋1＋(－m 2＋2m ＋3)＝－m 2＋3m ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322＋254．∵－1＜0，且0＜m ＜3，∴当m ＝32时，AN ＋MN 有最大值，最大值为254．(3)能构成．∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴该抛物线向左平移1个单位长度后得到的抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4．将x ＝32代入y ＝－x 2＋2x ＋3，得y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋2×32＋3＝154，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，154． 假设存在以A ，P ，Q ，M 为顶点的平行四边形，设点Q 的坐标为(n ，－n 2＋4)．∵点P 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴上一动点，∴点P 的横坐标为1． ①当AM 为对角线时，则对角线AM ，PQ 互相平分，∴－1＋322＝1＋n 2，解得n ＝－12，∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，154； ②当AP 为对角线时，则对角线AP ，MQ 互相平分，∴－1＋12＝32＋n 2，解得n ＝－32，∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，74； ③当AQ 为对角线时，对角线AQ ，PM 互相平分，∴－1＋n 2＝1＋322，解得n ＝72，∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－334． 综上所述，存在以A ，P ，Q ，M 为顶点的平行四边形，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，154或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，74或⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－334．。

第22章《相似形》单元测试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P 是线段AB 上一点（AP ＞BP ），若满足，则称点P 是AB 的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x 米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x 满足的方程是（ ）A ．（20﹣x ）2＝20xB ．x 2＝20（20﹣x ）C ．x （20﹣x ）＝202D ．以上都不对2．如图，点D ，E ，F 分别在的边上，，，，点M 是的中点，连接并延长交于点N ，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．3．将含有的三角板按如图所示放置，点在直线上，其中，分别过点，作直线的平行线，，点到直线，的距离分别为，，则的值为（ ）BP APAP AB=ABC V 13AD BD =DE BC ∥EF AB ∥EF BM AC ENAC32029161730︒ABC A DE 15BAD ∠=︒B C DE FG HIB DE HI 1h 2h 12h hA ．1 BCD4．如图，点D 是△ABC 中AB 边上靠近A 点的四等分点，即4AD ＝AB ，连接CD ，F 是AC 上一点，连接BF 与CD 交于点E ，点E 恰好是CD 的中点，若S △ABC ＝8，则四边形ADEF 的面积是（ ）A ．4B ．C ．2D ．5．如图，在边长为的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点为位似中心，画使它与的相似比为，则点的对应点的坐标是（ ）A ．B ．C ．或D ．或6．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（ ）11-1181171ABC V O 111A B C △ABC V 2B 1B ()42，()42--，()42，()42--，()42，()42，-AB BC ⊥DC BC ⊥AC BD O OM BC ⊥M E BD EF BC ⊥G AC F 4AB =6CD =OM EF -A．B ．C ．D ．7．如图，在平面直角坐标系中，为原点，为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，四边形是矩形，平分，，、的延长线交于点，连接，连接交于点．下列结论错误的是（）A ．图中共有三个等腰直角三角形B ．C ．D ．9．如图，在平面直角坐标系中，点，点B 是线段上任意一点，在射线上取一点C ，使，在射线上取一点D ，使．所在直线的关系式为，点F 、G分别为线段的中点，则的最小值是（）751253525O OA OB ==C 32BC =AC M AC :1:2CM MA =OM M36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ABCD CE BCD ∠AE CE ⊥EA CB F DE BD CE G DGC EBC∠=∠AB AD CG CE⋅=⋅∽CDG CEBV V ()E OE OA OB BC =BC BD BE =OA 12y x =OC DE 、FGABC ．D ．4．810．如图所示，正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，且内接于正方形，连接，．已知正方形与正方形面积之比为，若，则（ ）A BCD ．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．已知，且，则 ．12．在中，M ，N 分别是BC ，AC 边上一点，连接AM ，BN 交于点P ，若，，则 ．13．正方形中，E ，F 分别是，上的点，连结交对角线于点G ，若恰好平分，，则的值为 ．ABCD FGHI DE BE CE>ABCD FGHI 59DE CH ∥BECE=32::3:5:7a b c =10a b c -+=a b c ++=ABC V :2:3BM CM =:1:4AN CN =:AP MP =ABCD AD DC EF BD BE AEF ∠413DG GB =DE AE14．宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD 为黄金矩形，AB ＜AD ，以AB 为边在矩形ABCD 内部作正方形ABEF ，若AD ＝1，则DF ＝ ．15．如图，矩形的两条对角线相交于点O ，，垂足为E ，F 是的中点，连接交于点P，那么．16．如图，中，，，，若正方形的顶点在上，顶点、都在上，射线交边于点，则长为 ．17．如图：等腰直角三角形中，E 为边上一点，．将沿着翻折得到线段，连接，若．ABCD AC BD ，OE AB ⊥OC EF OB OPPB=ABC V 90ACB ∠=︒2BC =4AC =DEFC D AB F G AC AF BC H CH ABC BC 3BE CE =AB AE AD CD AB =CD =18．如图，在矩形中，，，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，相交于点，则的最小值为 ．三、解答题19．（8分）如图，，于点D ，M 是的中点，交于点P ，．若，求的长．ABCD 5cm AB =6cm BC =E AD A 0.5cm F BC B 2cm BE AF 、G BG CG +cm AB AC =AD BC ⊥AD CM AB DN CP ∥6cm AB =PN20．（8分）如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，AC 平分∠BAD ，点P 是AC 延长线上一点，且PD ⊥AD ．（1）证明：∠BDC=∠PDC ；（2）若AC 与BD 相交于点E ，AB=1，CE ：CP=2：3，求AE 的长．21．（10分）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12m ，塔影长 m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，求塔高AB．18DE22．（10分）如图1，在，，，D 为上一点，连接，分别过点A 、B 作于点N ，于点M ．（1）求证：；（2）若点D 满足，求的长；（3）如图2，若点E 为中点，连接，求证：．图1 图2Rt ABC △90ACB ∠=︒1AC BC ==AB CD AN CD ⊥BM CD ⊥ACN CBM V V ≌21BDAD =∶∶DM AB EM 45EMN ∠=︒23．（10分）如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）求证：；（3）若的长．ABCD G BD CG AB E DA F AG CG AG =2AB BE DF =⋅GE =GC =EF24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A 在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，且，线段、的长是一元二次方程的两个根，且.（1）求点A 、点的坐标；（2）求点的坐标；（3）若直线过点A 交线段于点，且，求点坐标；（4）在平面内是否存在一点，使得以为直角顶点的与相似，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.x B x C y 90ACB ∠=︒OB OA 213360x x -+=OB OA <B C l BC D :1:2ABD ADC S S =△△D P P APC △ABC V P答案一、单选题1．A【分析】点P 是AB 的黄金分割点，且PB ＜PA ，PB ＝x ，则PA ＝20−x ，则，即可求解．解：由题意知，点P 是AB 的黄金分割点，且PB ＜PA ，PB ＝x ，则PA ＝20−x ，∴，∴（20−x ）2＝20x ，故选：A ．2．A【分析】过点F 作交AC 于点G,可证．同理，可得，，；由,得，于是；设，则，，，从而得．解：过点F 作交AC 于点G,∴∴．BP AP AP AB=BP AP AP AB =FG BN ∥EN GN =13AE AD EC DB ==3EC AE =13AE BF EC FC ==FG BN ∥13BF NG FC GC ==3GC NG =EN NG a ==3=GC a 5EC a =203AC a =320EN AC =FG BN ∥1EN EM GN FM==EN GN =∵，∴．∴．∵，∴．∵,∴．∴．设，则，∴∴．∴．∴．∴．故选：A3．B【分析】设交于点，由，得三角形BCM 为等腰直角三角形，再由含30度角直角三角形三边长比及等腰直角三角形的边长比，设BC 为x ，可得MA 为，再由平行线分线段成比例求解．解：设交于点，∵，，DE BC ∥13AE AD EC DB ==3EC AE =EF AB ∥13AE BF EC FC ==FG BN ∥13BF NG FC GC ==3GC NG =EN NG a ==3=GC a 5EC EN NG GC a=++=35EC AE a ==53AE a =520+533AC AE EC a a a =+==320203EN a AC a ==CE FG M 45DAC BAD CAB ∠=∠+∠=︒MA x =-CE FG M 30CAB ∠=︒15BAD ∠=︒∴，∵，∴，三角形为等腰直角三角形，在Rt △ABC 中，设长为，则，∵，∴，∴，∵，∴，故选：B ．4．D【分析】过D 点作DG∥EF ，连接AE ，，GF ＝FC ，再计算△ADE 和△AEF 的面积即可．解：过D 点作DG ∥EF ，连接AE ，∵点E 恰好是CD 的中点，4AD ＝AB ，∴，GF ＝FC ，设AG ＝k ，则AF ＝4k ，GF ＝3k ，FC ＝3k ，∴，∵，S △ABC ＝8，∴，∴，∵，∴，∴＝．45DAC BAD CAB ∠=∠+∠=︒//FG DE 45CMB DAC ∠=∠=︒BCM BC x CM BC x ==30CAB ∠=︒CA ==MA x =-////HI FG DE 121h MA h CM ===14AG AD AF AB ==14AG AD AF AB ==43AF FC =14ACD ABC S AD S AB ∆∆==124ACD ABC S S ∆∆==112ADE AEC ACD S S S ∆∆∆===43AEFCEF S AF S CF ∆∆==4477AEF AEC S S ∆∆==417ADE AEF ADEF S S S ∆∆=+=+四边形117故选：D ．5．C【分析】直接利用位似图形的性质画出三角形顶点的对应点，再顺次连接即可画出图形，根据点的位置写出坐标即可．解：如图所示，当和在原点同侧时，∵与的相似比为2，，∴，即；如图所示，当和在原点两侧时，∵与的相似比为2，，∴，即；综上所述，或，故选C．1B ABC V 111A B C △111A B C △ABC V ()2,1B ()122,12B ⨯⨯()142B ，ABC V 111A B C △111A B C △ABC V ()2,1B ()122,12B -⨯-⨯()142B --，()142B --，()142B ，6．A【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．解：、，，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴，点是的中点，，，，∴，，∴，∴，故选：．7．DCOM CAB △∽△BOM BDC V V ∽OM CM AB BC =OM BM DC BC =125OM =132EG CD ==122FG AB ==1EF EG FG =-=AB BC ⊥ DC BC ⊥OM BC ⊥OM AB CD ∥∥COM CAB ∴V V ∽BOM BDC V V ∽OM CM AB BC =OM BM DC BC =4OM CM BC =6OM BM BC=125OM =EF BC ⊥ EG AB CD ∥∥ E BD BE DE ∴=BG CG ∴=CF AF ∴=132EG CD ==122FG AB ==1EF EG FG =-=75OM EF -=A【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解．解：∵点为平面内一动点，，∴点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，∵∴∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，C B 32OB x 0D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭BD C M CF OA ⊥ME OA ⊥F E OAM DAC V V ∽23OM OA CD AD ==CD OM D B C B DC CD BDO CDF V V ∽AEM AFC V V ∽C 32BC =C B 32OB x 0D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭BD C M CF OA ⊥ME OA ⊥F E OA OB ==AD OD OA =+=23OA AD =:1:2CM MA =23OA CM AD AC==OAM DAC ∠∠=OAM DAC V V ∽23OM OA CD AD ==CD OM D B C B DC CD∵∴，∴，∵，∴，∵轴轴，，∴，∵，∴，∴，解得同理可得，，∴，解得∴∴当线段取最大值时，点的坐标是，故选D ．8．A【分析】根据矩形的性质以及角平分线的性质得，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，由证明，可得，，则，是等腰直角三角形，由，可得，由三角形外角的性质可得，证明，列比例式并结合等量代换可得．OAOB ==OD =BD =152==9CD BC BD =+=23OM CD =6OM =y x ⊥CF OA ⊥90DOB DFC ∠∠==︒BDO CDF ∠∠=BDO CDF V V ∽OB BD CF CD =1529=CF =AEM AFC V V ∽23ME AM CF AC ==23=ME =OE ===OM M 45DCE BCE ∠=∠=︒CEF △45F DCE ∠=∠=︒ABF △SAS (SAS)≌EBF EDC V V FEB CED ∠=∠BE ED =90FEB CEB CEB CED ∠+∠=∠+∠=︒BED V EBF EDC △≌△FEB CED ∠=∠DGC EBC ∠=∠∽CDG CEB V V AB AD CG CE ⋅=⋅解：如图：四边形是矩形，，，，平分，，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，故A 错误；，，，，故B 正确；，，故D正确；ABCD AB CD ∴=90ABC BCD ADC ∠=∠=∠=︒90ABF ∴∠=︒CE BCD ∠45DCE BCE ∴∠=∠=︒AE CE ⊥ 90FEC ∴∠=︒CEF ∴V EF CE ∴=45F ∠=︒ABF ∴V BF AB CD ∴==45F DCE ∠=∠=︒ (SAS)≌EBF EDC ∴V △FEB CED ∴∠=∠BE ED =90FEB CEB CEB CED ∴∠+∠=∠+∠=︒BE ED = BED ∴V DCH V 45EBD ∴∠=︒45DGC GCB CBG CBG ∠=∠+∠=︒+∠ 45EBC EBD CBG CBG ∠=∠+∠=︒+∠DGC EBC ∴∠=∠DCG ECB ∠=∠ ∽CDG CEB ∴V V，，，，，故C 正确．故选：A ．9．A【分析】如图所示，连接，设射线交射线于H ，过点H 作于M ，连接，先根据三线合一定理得到，，进而证明四边形是矩形，得到，，故当点B 与点M 重合时，最小，即最小，最小值为，设，则，求出，利用相似三角形的性质求出（舍去），则的最小值为．解：如图所示，连接，设射线交射线于H ，过点H 作于M ，连接，∵，，点F 、G 分别为线段的中点，∴，，∵，∴，即，∴四边形是矩形，∴，，∴当最小时，最小，∴当点B 与点M 重合时，最小，即最小，最小值为，∵点H 在直线上，∴可设，∴，∵，CD CG CE CB∴=CD AB = BC AD =AB CG CE AD∴=AB AD CG CE ∴⋅=⋅BF BG ，ED OA HM OE ⊥BH BF OC BG DE ⊥，⊥OBF CBF DBG EBG ==∠∠，∠∠BFHG FG BH =90OHE ∠=︒BH FG HM ()2H m m ，2OM m HM m ==，OE =OMH HME △∽△m =0m =FG BF BG ，ED OA HM OE ⊥BH OB BC =BD BE =OC DE 、BF OC BG DE ⊥，⊥OBF CBF DBG EBG ==∠∠，∠∠180OBF CBF DBG EBG +++=︒∠∠∠∠90CBF DBG +=︒∠∠90FBG ∠=︒BFHG FG BH =90OHE ∠=︒BH FG BH FG HM 12y x =()2H m m ，2OM m HM m ==，()E∴∵，∴，又∵，∴，∴，∴∴（舍去），经检验，∴，故选A ．10．A【分析】设，，则，根据正方形与正方形面积之比为，得到，求出，作交于点M ，作交于点P ，证明出，设，则然后利用相似三角形的性质得到，然后解方程求解即可．解：由题意可得，∴设，，则，∵，∴，OE =90MEH HOE MHO MOH +=︒=+∠∠∠∠MHO MEH =∠OMH HME =∠∠OMH HME △∽△OM HM HM ME=2m m =m =0m =m =FG CI DH a ==CH b =IH a b =+ABCD FGHI 59()22259a b a b +=+2BI CH a ==BM GH ⊥GH NE BM ⊥BM BPE ENC ∽V V CN m =IN BP a m ==+a m a a m +=BIC CHD ≌V V CI DH a ==CH b =IH a b =+90H ∠=︒22222CD CH DH a b =+=+∵正方形与正方形面积之比为，∴，即，∴整理得，∴，解得或（舍去），∴，∴，如图所示，作交于点M ，作交于点P ，由题意可得，，∵，∴四边形，是矩形，∴，，∴，∴设，则，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，ABCD FGHI 592259CD IH =()22259a b a b +=+222520a ab b -+=25220a a b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭12a b =2a b=2b a =2BI CH a ==BM GH ⊥GH NE BM ⊥BM AGD DHC ≌V V ED CH ∥BINP ENHD 2PN BI a ==EN DH a ==PE PN EN a =-=CN m =IN BP a m ==+BE CE ⊥90BEP CEN ∠+∠=︒BP PN ⊥90BEP PBE ∠+∠=︒CEN PBE ∠=∠90BPE ENC ∠=∠=︒BPE ENC ∽V V∴，即，∴整理得，∴，∴解得，∴故选：A ．二、填空题11．30【分析】设，，，根据得到，求得，从而得出，，，代入进行计算即可．解：，设，，，，，解得：，，，，，故答案为：30．12．【分析】过点M 作，交于点Q ，根据平行线分线段成比例可得，设，求出，即可求解．解：过点M 作，交于点Q ，BP PE BE EN CN CE ==a m a a m+=220a am m -+=210a a m m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭a m =BE CE =3a k =5b k =7c k =10a b c -+=35710k k k -+=2k =6a =10b =14c =::3:5:7a b c = ∴3a k =5b k =7c k =10a b c -+= 35710k k k ∴-+=2k =6a ∴=10b =14c =6101430a b c ∴++=++=5:8MQ BN ∥AC 23BM NQ CM CQ ==2,3NQ k CQ k ==54k AN =MQ BN ∥AC∵，∴，设，∴，∵，∴，则，∵，∴，故答案为：．13．或4【分析】延长交于R ，作于T ，不妨设，，，可证得是等腰三角形，可推出，进而表示出，然后解，从而求出x 的值，进而可得结果．解：如图，延长交于R ，作于T ，，不妨设，，则，设，MQ BN ∥23BM NQ CM CQ ==2,3NQ k CQ k ==5CN NQ CQ k =+=:1:4AN CN =154AN k =54k AN =MQ PN ∥55428kAP AN MP NQ k ===5:812EF BC GT DE ⊥4DG =13GB =4DE x =REB V 413EG DE DG RG BR BG ===EG DEG △EF BC GT DE ⊥ 413DG GB =∴4DG =13GB =17BD =4DE x =四边形是正方形，，，，，，恰好平分，，，，，在中，，由勾股定理得，解得，，当，当，综上所述，或4，故答案为：或4．14【分析】先根据黄金矩形求出AB ，再利用正方形的性质求出AF ，然后进行计算即可解答．解：∵矩形ABCD 为黄金矩形，AB ＜AD ，ABCD ∴BC AD ∥AD ==∴EBC AEB ∠=∠4AE AD DE x =-=413EG DE DG RG BR BG ===∴13BR x = BE AEF ∠∴AEB FEB ∠=∠∴EBC FEB ∠=∠∴13ER BR x ==∴4521717EG ER x ==Rt EGT V GT DT DG ===4ET DE DT x =-=-((22252417x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭1x =2x =∴4DE x ==DE =AE ==∴4DE AE=DE =AE ==∴12DE AE =12DE AE =12∴∴∵四边形ABEF 是正方形，∴∴DF=AD -AF=15．【分析】根据矩形性质得到，利用三角形的三线合一得，过O 作交于点Q ，则有，，计算即可．解：∵是矩形，∴，∵F 是的中点，∴，又∵，∴，过O 作交于点Q ，∴，，∴，故答案为：．16．AB AD =AB AD ==1=13OA OB OC ==AE EB =OQ AB P EF OQF AEF V V ∽OQP BEP V V ∽ABCD OA OB OC ==OC 1122OF OC OA ==OA OB =OE AB⊥AE EB =OQ AB P EF OQF AEF V V ∽OQP BEP V V ∽13OP OQ OQ OF PB BE AE AF ====1343【分析】证明，，由相似三角形的性质得出 ， ，设， 可得，， 从而可得出答案．解：∵四边形为正方形， ，∴，，∴，， ∴， ， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴．故答案为 ．17．2【分析】如图，作，使，连接，，交于，过作于，可得，，可得，求解，，可得，由对折可得：，，，证明，可得，再证明，可得，有，，求解，可得，从而可得答案．解：∵等腰直角三角形，∴，如图，作，使，连接，，交于，过作于，△∽△ADG ABC AEF AHC V V ∽DG AG BC AC=EF AF CH AC =DG EF x ==24x AG =4x AG x CH +=DGFE 90ACB ∠=︒DG EF BC ∥∥DG EF =△∽△ADG ABC AEF AHC V V ∽DG AG BC AC=EF AF CH AC =DG EF x ==24xAG =4x AG x CH +=2AG x =24x x x CH +=43CH =43AH AE ⊥AH AE =DE EH CH DE K A AF BC ⊥F BAE CAH ∠=∠BC ==12AF CF BC ===()SAS BAE CAH ≌△△454590BCH ∠=︒+︒=︒BE CH ==CE EF ==AH AE ===52EH ==AB AD ==BAE DAE ∠=∠DE BE =45ADE ABE ∠=∠=︒()SAS AEC AHD V V ≌90ECH EDH ∠=∠=︒()Rt Rt HL HEC EHD V V ≌HED CHE ∠=∠CH DE ==EK HK =CK DK =EK HK ==CK DK ===HKE CKD V V ∽ABC AB =AB AC ==BC =AH AE ⊥AH AE =DE EH CH DE K A AF BC ⊥F∵等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，，∴∴，由对折可得：，，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，ABC 90BAC EAH ∠=︒=∠AB AC ==45B ACB ∠=∠=︒BAE CAH ∠=∠BC ==12AF CF BC ===()SAS BAE CAH ≌△△BE CH =45B ACH ∠=∠=︒454590BCH ∠=︒+︒=︒3BE CE =BE CH ==CE EF ==AH AE ===52EH =AB AD ==BAE DAE ∠=∠DE BE ==45ADE ABE ∠=∠=︒90BAC EAH ∠=∠=︒90BAE EAC DAE DAH ∠+∠=︒=∠+∠EAC DAH ∠=∠AE AH =AB AC AD ==()SAS AEC AHD V V ≌45ACE AHD ∠=∠=︒CE HD ==454590EDH ∠=︒+︒=︒90ECH EDH ∠=∠=︒EH EH =CE DH =()Rt Rt HL HEC EHD V V ≌∴，，∴，，由勾股定理可得：，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案为：218．10【分析】过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，易知四边形、、为矩形，证明，由相似三角形的性质可得；设两点运动时间为，则，，易得，；作点关于直线的对称点，由轴对称的性质可得，故当三点共线时，的值最小，即取最小值，此时，在中，由勾股定理求得的值，即可获得答案．解：如下图，过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，HED CHE ∠=∠CH DE ==EK HK =CK DK =222EK CE CK =+222EK EK ⎫=-+⎪⎪⎭EK HK ==CK DK ===45DK CK EK HK ===HKE DKC ∠=∠HKE CKD V V ∽45CD CK HE HK ==4452552CD EH ==⨯=G MN BC ⊥AD BC M N 、G PQ CD ∥AB DC P Q 、ABNM PBNG GNCQ GAE GFB V V ∽AE GM BF GN =E F 、t 0.5AE t =2BF t =1cm GM =4cm GN =C PQ K CG KG =B G K 、、BG KG +BG CG +Rt BCK △BK G MN BC ⊥AD BC M N 、G PQ CD ∥AB DC P Q 、易知四边形、、为矩形，，∵四边形为矩形，∴，∴，，∴，∴，设两点运动时间为，则，，则有，即，∵，∴，，∵四边形为矩形，∴，作点关于直线的对称点，如图，则，，由轴对称的性质可得，当三点共线时，的值最小，即取最小值，此时，在中，，∴的最小值为．故答案为：10．三、解答题19．ABNM PBNG GNCQ 5cm MN AB ==ABCD AD BC ∥AB DC∥GAE GFB ∠=∠GEA GBF ∠=∠GAE GFB VV ∽AEGM BF GN=E F 、t 0.5AE t =2BF t =0.5124GM t GN t ==4GN GM =5cm MN =1cm GM =4cm GN =GNCQ 4cm QC GN ==C PQ K 4cm QK QC ==8cm KC QK QC =+=CG KG =B G K 、、BG KG +BG CG +Rt BCK △10cm BK ===BG CG +10cm解：∵，，∴，又∵，∴，∴，∵点M 是线段的中点，，∴，∴，∴，∵，∴．20．解：（1）证明：∵AB=AD ，AC 平分∠BAD ，∴AC ⊥BD ，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD ，∴∠ACD=∠ADC ，∴∠ADC+∠BDC=90°，∵PD ⊥AD ，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC ；（2）解：过点C 作CM ⊥PD 于点M ，AB AC =AD BC ⊥BD DC =DN CM ∥1BN BD PN DC==BN NP =AD DN CM ∥1AP AM PN MD==AP PN =13PN AB =6cm AB =()1162cm 33PN AB ==⨯=∵∠BDC=∠PDC ，∴CE=CM ，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P ，∴△CPM ∽△APD ，∴=，设CM=CE=x ，∵CE ：CP=2：3，∴PC=x ，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1-=．21．解：如图，过点D 作，交AE 于点F ，过点F 作，垂足为点G.由题意得，，∴，∵，，∴，∴，答：塔高AB 为24m.CM AD PC PA32x 13x 23x 12+131323DF CD ⊥FG AB ⊥1.62DF DE =18 1.6214.4(m)DF =⨯÷=16m 2GF BD CD === 1.61AG GF =1.669.6(m)AG =⨯=14.49.624(m)AB =+=22．解：（1）证明：∵，，∴，，又∵，∴，∴∵，∴；（2）解：∵，，∴，∴，设，则，由（1）知，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：延长，相交于点H，AN CD ⊥BM CD ⊥90ANC ∠=︒90BMC ∠=︒90ACB ∠=︒90ACN BCM BCN CBM ∠+∠=∠+∠=︒ACN CBM∠=∠AC BC =()ACN CBM ASA V V ≌AND BMD ∠=∠ADN BDM ∠=∠AND BMD V V ∽12AN DN AD BM DM DB ===AN x =2BM x =AN CM x ==2BM CN x ==222AN CN AC +=()22221x x +=x =CM =CN =MN 2233DM MN ===ME AN∵E 为的中点，∴∵，，∴，∴，，∴，∴，又∵，∴，又∴，∴，∴．23．解：（1）证明：∵是正方形的对角线，∴，，在和中，，∴，∴；（2）证明：∵四边形是正方形，∴，，，AB AE BE=90ANM ∠=︒90BMN ∠=︒AN BM ∥HAE MBE ∠=∠AHE BME ∠=∠()AAS AHE BME V V ≌AH BM =BM CN =CN AH =CM AN=MN HN =45HMN ∠=︒45EMB ∠=︒BD ABCD 45C D B A D B ∠=∠=︒DC DA =CDG V ADG △DC DA CDG ADG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS CDG ADG ≌△△CG AG =ABCD 90CBE FDC ∠=∠=︒CB CD AB ==CB DF ∥∴，∴，∴，即，∴；（3）解：∵∴，∵四边形是正方形，∴，，，∴，∴，，∴，∴，设，则，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴的长为24．（1）解：∵，∴．∴．∵点A 在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，BCE DFC ∠=∠BCE DFC ∽△△CB FD BE DC =AB FD BE AB=2AB BE DF =⋅GE =GC =CE CG GE =+=ABCD CD AB ∥CD AB =CB AD ∥BE CD ∥EBG CDG ∠=∠BEG DCG ∠=∠BEG DCG ∽△△BE GE DC GC ==BE =6CD x =(66AE AB BE CD BE x x =-=-==AF CB ∥FAE CBE ∠=∠AFE BCE ∠=∠AFE BCE △∽△EF AE EC BE==EF =EF 213360x x -+=(4)(9)0x x --=124,9x x ==x B x∴A 点坐标为，B 点坐标为，（2）∵A 点坐标为，B 点坐标为，∴，设点C 的坐标为，则，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，解得，经检验，是方程的解且符合题意，∴点C 的坐标是；（3）过点D 作轴于点E ，轴于点F ，如图，则，∴，，∵，∴．∴；，∵，，∴；，()9,0()4,0-()9,0()4,0-9,4OA OB ==()0,t ()0t >OC t =90ACB ∠=︒90AOC COB ∠=∠=︒90OCB ACO OCB OBC ∠+∠=∠+∠=︒ACO OBC ∠=∠ACO CBO V V ∽OC AO OB OC=94tt =6t =6t =()0,6DE x ⊥DF y ⊥DE OC ∥DF OB∥BED BOC V V ∽CDF CBO V V ∽:1:2ABD ADC S S =△△:1:2BD DC =13DE BD OC BC ==23DF CD BO BC ==4OB =6OC =2DE =243DF =解得．∴．（4）解：存在，求解过程如下：设，由题意可得：，，当时，，即，，解得，或，即点坐标为或，当时，，即，，解得或，即点坐标为或，综上可知，满足条件的P 点为：或或或83DF =8,23D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(,)P x y 13AB OB OA =+=BC ===AC ===AP =CP =APC ACB △∽△AP AC PC AC AB CB ==29AC AP AB===6AC CB CP AB ⨯===00x y =⎧⎨=⎩721310813x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩P (0,0)72108,1313⎛⎫⎪⎝⎭APC BCA △∽△AP AC PC BC AB AC ==6AC BC AP AB ⨯===29AC CP AB===96x y =⎧⎨=⎩45133013x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩P ()9,64530,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭(0,0)72108,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭()9,64530,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭。

九年级数学上册第21-22章测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是 （ ）A ．3(x+1)²=2(x+1)B ．xx 112+-2=0C ．a x²+bx+c=0D ．x²-x(x+7)=0 2．方程x²-2x=0的根是 （ ）A ．x ₁=0,x ₂=2B ．x ₁=0,x ₂=-2 C. x=0 D ．x=23．方程x²-x+2=0的根的情况是 （ ）A ．只有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根4．若a 是不等于零的实数，对于二次函数y=|a|x²的图象有如下判断：①开口方向向上；②与函数y=x²形状相同；③以y 轴为对称轴；④以原点为顶点；⑤无论x 为何实数，函数y 总是非负数．其中判断正确的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．把抛物线y=-x²向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 （ ）A ．y=-(x-1)²-3B ．y=-(x+1)²-3C ．y=-(x-1)²+3D ．y=-(x+1)²+36．关于x 的方程x²+mx-1=0的两根互为相反数，则m 的值为 （ ）A ．0B ．2C ．1D ．-27．已知二次函数y=a x²+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则点M ⎪⎭⎫⎝⎛a cb,在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x²-7x+10=0的一个实数根，则这个三角形的周长是 （ ）A ．19B ．19或16C ．16D ．229．若二次函数y=a x²+c(a ≠0)，当x 分别取x ₁,x ₂(x ₁≠x ₂)时，函数值相等，则当x取x ₁+x ₂时，函数值为 （ ）A ．a+cB ．a-cC ．-cD ．c10.某饲料厂今年一月份生产饲料500 t ，三月份生产饲料720 t ，若二月份和三月份这两个月的月平均增长率为x ，则有 （ ）A ．500(1+2x)=720B ．500(1+x)²=720C ．500(1+x²)=720D ．720(1+x)²=500二、填空题（每小题3分，共30分）1．若方程(4-m)2-m x +3x-2=0是一元二次方程，则m=_________.2．用配方法解一元二次方程2x²+3x+1=0，变形为(x+m)²=k ，则m=_________,k=_________．3.若抛物线y=x²-kx+k-1的顶点在x 轴上，则k=_________．4．若关于x 的方程x²-2x+m=0有两个相等的实数根，则m=_________．5．若二次函数y=a x²+2x+a²-1(a ≠0)的图象如图所示，则a 的值是_________．6．已知关于x 的一元二次方程x²+(2m-3)x+m ²=0的两个不相等的实数根α，β满足111=+βα，则m 的值为_________． 7．如果二次函数y=a x²+bx+c(a ≠0)图象的顶点为(-2，4)，且过点(-3，0)，则其图象在x=-1的右侧y 随x 的增大而_________．8．一个长为10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1 m ，梯子的底端下滑xm ，可得方程_________． 9．定义新运算“※”：规则a ※b=⎩⎨⎧≥),(),(b a b b a a ＜如1※2=2，()22※5-=,若x²+x-1=0的两根为x ₁, x ₂，则x ₁※x ₂=_________．10.对于某个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一个特点： 甲：对称轴是直线x=4；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积是3． 满足上述全部特点的一个二次函数的解析式为___________________． 三、解答题（共90分）1．用适当的方法解下列方程：（每小题5分，共20分） (1)(6x-1)²=25； (2)4x²-1=12x ；(3) x ²-8122-=x ； (4)x(x-7)=8(7-x)．2．用配方法写出下列抛物线的对称轴和顶点坐标．（共12分）(1)y=2x²-4x+1； (2)y=-21x ²+x-4．3．（14分）已知关于x 的一元二次方程m x²-(2m+1)x+m+3=0． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；(2)如果方程的一个根x ₁=-1，求另一个根x ₂及(x ₁-3)(x ₂-3)的值．4．（14分）某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元．(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？5．（15分）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围绕成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x 的取值范围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？求出这个最大值；(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．6．（15分）如图，已知点O(0，0)，A(-5，0)，B(2，1)，抛物线l：y=-(x-h)²+1(h 为常数)与y轴的交点为C．(1)l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；(2)设点C的纵坐标为cy，求c y的最大值，此时l有两点(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，其中x₁＞x₂≥0，比较y₁与y₂的大小；(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．参考答案一、1．A 2.．A 3．D 4．D 5．D 6．A7．A 8．A 9：D 10．B 二、1．-4 2.16143 3.2 4.1 5．-1 6．-3 7．减小 8.7²+(6+x)²=10² 9.21-5 10．y=358512+-x x 三、1．(1)x ₁=1，x ₂=-32(2)21023,2102321-=+=x x (3)x ₁=x ₂=42(4)x ₁=7, x ₂=-8 2．解：(1)y=2x²-4x+1=2(x²-2x)+1=2(x²-2x+1)-2×1+1=2(x-1)²-1． 所以，抛物线y=2x²-4x+1的对称轴为x=1，顶点坐标为(1，-1)．(2) y=-21x²+x-4=-21(x²-2x)-4=-21(x²-2x+1)+21-4=-21(x-1)²-27．所以，抛物线y=-21x²+x-4的对称轴为x=1，顶点坐标为(1，-27)．3．解：(1)[-(2m+1)]²-4m(m+3)＞O ，得-8m+1＞0，m ＜81．又∵方程为一元二次方程，∴m ＜81且m ≠0.(2)把x ₁=-1代入原方程，解得m=-1． ∴原方程为-x²+x+2=0，解得另一根为x ₂=2．∴(x ₁-3)(x ₂-3)=(-1-3)·(2-3)=1-3．4．解：(1)设这个降价率为x ，则40(1-x)²=32.4.解得x ₁=0.1，x ₂=1.9(不合题意，舍去)，所以降价率为10%. (2)2.04.32-40×10+500=880(件)． 5．解：(1)y=30-2x (6≤x ＜15)；(2)设矩形苗圃园的面积为S ，则S=xy=x(30-2x)=-2x²+30x.∴S=-2(x-7.5)²+112.5. 由(1)知，6≤x ＜15，∴当x=7.5时，最大值S =112.5 m²．即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5 m 时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5 m²． (3)6≤x ≤11．6．解：(1)把点B 的坐标B(2，1)代入y=-(x-h)²+1，得1=-(2-h)²+1．解得h=2. 则该函数解析式为y=-(x-2)²+1(或y=-x²+4x-3)． 故抛物线l 的对称轴为x=2，顶点坐标是(2，1)．(2)点C 的横坐标为0，则c y =-h ²+1．当h=0时，y c 有最大值1，此时，抛物线l 为：y=-x ²+1，对称轴为y 轴，开口方向向下，所以当x ≥0时，y 随x 的增大而减小，所以x ₁＞x ₂≥0，y ₁＜y ₂.(3)∵线段OA 被l 只分为两部分，且这两部分的比是1：4，且O(0，0)，4(-5，0)， ∴当线段OA 被l 只分为两部分的点的坐标分别是(-1，0)，(-4，0). 把x=-1，y=0代入y=-(x-h)²+1，得 0=-(-1-h)²+1．解得h ₁=0，h ₂=-2．但是当h=-2时，线段OA 被抛物线l 分为三部分，不合题意，舍去．同样，把x=-4，y=0代入y=-(x-h)²+1，得h=-5或h=-3(舍去)．综上所述，h的值是0或-5．。

第22章相似形数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（）A.△AOD∽△BOCB.△AOB∽△DOCC.CD=BCD.BC•CD=AC•OA2、如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（）A.如果EF∥AB，那么AF：AC＝BD：ABB.如果AD：AB＝CF：AC，那么EF∥ABC.如果△EFC∽△ABC，那么EF∥ABD.如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE3、如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（）A.△PAB∽△PCAB.△PAB∽△PDAC.△ABC∽△DBAD.△ABC∽△DCA4、如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，点M为边AD的中点，连接BD交CM于点N，则BN的长是（）A.1B.C.D.5、如图所示，△ABC∽△ACD，且AB=10cm，AC=8cm，则AD的长是（）A.6.4cmB.6cmC.2cmD.4cm6、如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（4，4）、D（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD缩小为线段AB，若点B的坐标为（3，1），则点A的坐标为（）A.（0，3）B.（1，2）C.（2，2）D.（2，1）7、已知= ，则下列结论一定正确的是（）A.x=2，y=3B.2x=3yC.D.8、已知，下列变形错误的是（）A. B. C. D.9、若△ABC∽△DEF，且对应中线比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A.3：2B.2：3C.4：9D.9：1610、若，则的值为( )A. B. C. D.11、如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC= ,E、F分别是AD、CD的中点,连接BE、BF、EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为 ( )A.2B.C.D.312、如图，过菱形ABCD的顶点C的直线与AB的延长线交于点E，与AD的延长线交于点F，若菱形的边长为x，BE＝a，DF＝b，则a，b，x满足的关系是（）A.2x＝a+bB.x 2＝a•bC.x（a+b）＝a•bD.2x 2＝a 2+b 213、把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等C.△ABC与△A′B′C′的相似比为D.△ABC与△A′B′C′的相似比为14、如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为( )A. B. &nbsp;C. D.115、下列命题中，①有一组邻边互相垂直的菱形是正方形②若2x=3y，则=③若（﹣1，a）、（2，b）是双曲线y= 上的两点，则a＞b正确的有（）个．A.1B.2C.3D.0二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点Q在对角线AC上，且AQ=AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP=________．17、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果=m，=n．那么m与n满足的关系式是：m=________（用含n的代数式表示m）．18、小明身高是1.6m，影长为2m，同时刻教学楼的影长为24m，则楼的高是________．19、在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D，E均与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE=________20、如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________米．21、已知线段AB=1，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC=________（精确到0.01）22、如图，在Rt△BEG中，∠BEG=90°，ED平分∠BEG，点H、F在EG上，∠CFG=2∠EDH，∠EBG=∠DEB+∠EDH，BD=CD=CG=2，则CF的长为________。

2023-2024学年秋学期九年级数学上册第22章单元检测卷二次函数（满分120分）一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．如图是二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的一部分，给出下列命题：①0a b c ++=；②2b a >；③方程20ax bx c ++=的两根分别为3-和1；④当1x <时，0y <；⑤对于任意实数m ，2am bm c a b c ++≥-+恒成立．其中正确的命题是（）A ．②③④B ．①③④C ．①②③D ．①③⑤2．在平面直角坐标系中，将抛物线y=﹣x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A ．y=﹣x 2﹣x ﹣B ．y=﹣x 2+x ﹣C ．y=﹣x 2+x ﹣D ．y=﹣x 2﹣x ﹣3．函数2y x =的图象向右平移2个单位后解析式变为（）A ．22y x =+B ．22y x =-C ．()22y x =-D ．()22y x =+4．如图，抛物线y =a 1x 2与抛物线y =a 2x 2+bx 的交点P 在第三象限，过点P 作x 轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M 、N ，若23PM PN =，则12a a 的值是（）A ．3B ．2C ．23D ．125．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度，090x ︒<≤︒）近似满足函数关系()20y ax bx c a =++≠如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开同一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A ．29︒B ．30︒C ．42︒D ．49︒6．定义[a ，b ，c]为函数y=ax 2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为[m ﹣1，m+1，﹣2m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）A ．当m=2时，函数图象的顶点坐标为325,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．当m ＞1时，函数图象截x 轴所得的线段长大于3C ．当m ＜0时，函数在x ＜12时，y 随x 的增大而增大D ．不论m 取何值，函数图象经过两个定点7．若抛物线y ＝x 2+mx +n 的顶点在x 轴上，且过点A （a ，b ），B （a +6，b ），则b 的值为（）A ．9B ．6C ．3D ．08．若二次函数23y ax bx =+-的图象经过点()2,1-，则代数式2a b -的值为（）A ．2-B ．2C ．1-D ．19．二次函数()()246y x x =--+的顶点坐标是（）A ．()2,6B ．()4,6C ．()3,5-D ．()3,510．已知二次函数2y x bx c =-++的图像如图，其中b ，c 的值可能是（）A ．2,1b c =-=B ．2,1b c ==C ．2,1b c ==-D ．2,1b c =-=-11．（2021·陕西·汉滨区汉滨初级中学九年级月考）已知点()11,A x y ，()22,B x y 在二次函数()23y a x c =-+的图象上，若1233x x ->-，则下列结论正确的是（）A ．120y y +>B ．120y y ->C ．()120a y y +>D ．()120a y y ->12．将二次函数243y x x =-+通过配方可化为2()y a x h k =-+的形式，结果为（）A ．2(2)1y x =--B ．2(2)3y x =-+C ．2(2)3y x =++D ．2(2)1y x =+-三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．如果2(2)mmy m x -=-是关于x 的二次函数，则m ＝．14．如图，抛物线22y x =-+，将该抛物线在x 轴和x 轴上方的部分记作1C ，将x 轴下方的部分沿x 轴翻折后记作2C ，1C 和2C 构成的图形记作3C ．关于图形3C ，给出如下四个结论：①图形3C 关于y 轴成轴对称；②图形3C 有最小值，且最小值为0；③当0x >时，图形3C 的函数值都是随着x 的增大而增大的；④当22x -≤≤时，图形3C 恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是．15．已知直线1y mx n =+和抛物线22a y x bx c =++的图象大致位置如上图所示，若2mx n ax bx c +>++，则x 的取值范围是．16．如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是BC 边上的动点（点M 不与点B ，C 重合），过点C 作CN DM ⊥交AB 于点N ，连结OM 、ON ，MN .下列五个结论：①CNB DMC ≅ ；②ON OM =；③ON OM ⊥；④若=2AB ，则OMN S 的最小值是1；⑤222AN CM MN +=.其中正确结论是；（只填序号）17．如图，在平面直角坐标系中，点A 、点B 均在抛物线2y x =上，且AB x ∥轴，点C 、点D 为线段AB 的三等分点，以CD 为边向下作矩形CDEF ，矩形CDEF 的顶点E 、F 均在此抛物线上，若矩形CDEF 的面积为2，则AB 的长为．18．如图，菱形ABCD 的三个顶点在二次函数()2220y ax ax a =++<的图象上，点,A B 分别是该抛物线的顶点和抛物线与y 轴的交点，则点D 的坐标为．19．二次函数2y ax bx c =++(a ，b ，c 是常数，0a ≠)的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表：x…-10125…2y ax bx c=++⋯m 1-1-nt⋯且当12x =-时，与其对应的函数值0y >，有下列结论：①0abc >；②当1x >时，y 随x 的增大而减小；③关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根是5和15-；④103m n +>．其中正确的结论是．(填写序号)20．已知点()12,y 与()23,y 在函数()22113y x =-+的图像上，则1y 、2y 的大小关系为．三、解答题21．当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化.例如：由抛物线y=x 2－2mx+m 2+2m －1①有y=(x －m)2+2m －1②，所以抛物线顶点坐标为（m ，2m －1），即x=m ③,y=2m －1④.当m 的值变化时，x ，y 的值也随之变化，因而y 的值也随x 值的变化而变化.将③代入④，得y=2x －1⑤.可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足关系式：y=2x －1；根据上述阅读材料提供的方法，确定点（－2m,m －1）满足的函数关系式为_______.(2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线22211y x x m m m=-+++顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式.22．如图，已知二次函数的图象M 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （2，﹣6）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点G 是线段AC 上的动点（点G 与线段AC 的端点不重合），若△ABG 与△ABC 相似，求点G 的坐标；（3）设图象M 的对称轴为l ，点D （m ，n ）（(12)m -<<）是图象M 上一动点，当△ACD 的面积为278时，点D 关于l 的对称点为E ，能否在图象M 和l 上分别找到点P 、Q ，使得以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．23．为实现农村经济可持续发展，石家庄市相关部门指导对口帮扶县区的村民，加工包装当地特色农产品进行销售，以增加村民收入．已知该特色农产品每件成本10元，日销售量y （袋）与每袋的售价x （元）之间关系如下表：每袋的售价x （元）…2030…日销售量y （袋）…2010…如果日销售量y （袋）是每袋的售价x （元）的一次函数，请回答下列问题：(1)求日销售量y （袋）与每袋的售价x （元）之间的函数表达式；(2)求日销售利润P （元）与每袋的售价x （元）之间的函数表达式；(3)当每袋特色农产品以多少元出售时，才能使每日所获得的利润最大?最大利润是多少元?24．如图，已知抛物线23y ax bx =+-，与x 轴交于()1,0A ，()3,0B -两点，与y 轴交于点C ．点P 是线段BC 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接CD ，是否存在点P ，使得PCD 是以PD 为腰的等腰三角形，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．25．投掷实心球是2024年银川市高中阶段学校招生体育考试新增的选考项目．如图①是一名学生投掷实心球的示范动作，已知实心球行进路线是一条抛物线，距地面高度(m)y 与距起点水平距离(m)x 之间的函数关系如图②所示，掷出时起点A 处距地面高度为5m 3，行进过程中最高点B 与O 点的连线与地平面成45︒角，且B 点距地面的高度h 为3m ．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)若实心球落地点C 与原点O 的距离可以近似看作本次掷实心球的成绩，则该学生掷实心球的成绩为多少？8参考答案：1．D2．A3．C4．B5．C6．C7．A8．B9．D10．B11．D12．A 13．－114．①②④15．45x -<<16．①②③⑤17．318．()2,2-19．①③④20．12y y </21y y >21．（1）y=112x --；（2）11y x =+22．（1）234y x x =--；（2）G （23，103-）；（3）P （72，94-）或P （12-，94-）．23．(1)y =-x +40；(2)P =-x 2+50x -400；(3)当每袋特色农产品以25元出售时，才能使每日所获得的利润最大，最大利润是225元．24．(1)223y x x =+-(2)存在，()23,2--或()2,1--25．(1)y 关于x 的函数表达式为()243327y x =--+；(2)该学生掷实心球的成绩为7.5m ．。

2021-2021学年度第一学期新人教版九年级数学上册第22章二次函数单元测试卷一、选择题：1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是〔〕A.a>0，b<0，c<0B.a>0，b>0，c>0C.a<0，b<0，c<0D.a<0，b>0，c<02.开口向上，顶点坐标为(−9, 3)的抛物线为〔〕A.y=2(x−9)2−3B.y=2(x+9)2+3C.y=−2(x−9)2−3D.y=−2(x+9)2+33.把函数y=−3x2的图象沿x轴向右平移5个单位，得到的图象的解析式为〔〕A.y=−3x2+5B.y=−3x2−5C.y=−3(x+5)2D.y=−3(x−5)24.二次函数y=2(x+2)2−1的图象是〔〕A. B.C. D.5.以下函数中，是二次函数的为〔〕A.y=8x2+1B.y=8x+1C.y=8x D.y=8x26.把函数y=−2x2的图象沿x轴对折，得到的图象的解析式为〔〕A.y=−2x2B.y=2x2C.y=−2(x+1)2D.y=−2(x−1)27.以下四个函数中，y随x增大而减小的是〔〕A.y=2xB.y=−2xC.y=x2D.y=−x28.二次函数y=a(x−1)2+c的图象如下图，那么直线y=−ax−c不经过〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1, 0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称．〞根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是〔〕A.过点(3, 0)B.顶点是(2, −2)C.在x轴上截得的线段长是2D.与y轴的交点是(0, c)10.抛物线的形状、开口方向与y=12x2−4x+3一样，顶点在(−2, 1)，那么关系式为〔〕第 1 页A.y=12(x−2)2+1 B.y=12(x+2)2−1C.y=12(x+2)2+1 D.y=−12(x+2)2+111.如图，抛物线顶点坐标是P(1, 3)，那么函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是〔〕A.x>3B.x<3C.x>1D.x<112.二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，对称轴是x=1，那么以下结论中正确的选项是〔〕A.ac>0B.b<0C.b2−4ac<0D.2a+b=013.假如二次函数y=−x2−2x+c的图象在x轴的下方，那么c的取值范围为〔〕A.c<−1B.c≤−1C.c<0D.c<114.如图，二次函数y=x2−4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C，那么△ABC的面积为〔〕A.6B.4C.3D.115.二次函数y=x2+10x−5的最小值为〔〕A.−35B.−30C.−5D.2016.圆的面积S与其半径r的函数关系用图象表示大致是〔〕A. B.C. D.17.在函数①y=3x2；②y=12x2+1；③y=−43x2−3中，图象开口大小按题号顺序表示为〔〕A.①>②>③B.①>③>②C.②>③>①D.②>①>③18.抛物线y=x2+3x的顶点在〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限19.抛物线y=−3x2+2x−1的图象与x轴交点的个数是〔〕A.没有交点B.只有一个交点C.有且只有两个交点D.有且只有三个交点20.二次函数y=4x2−mx+5，当x<−2时，y随x的增大而减小；当x>−2时，y随x的增大而增大，那么当x=1时，函数y的值为〔〕A.−7B.1C.17D.2521.二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是〔〕A.a>0，b2−4ac<0B.a<0，b2−4ac>0C.a>0，b2−4ac>0D.a<0，b2−4ac<022.二次函数y=ax2+bx+c，假如a>b>c，且a+b+c=0，那么它的大致图象应是〔〕A. B.C. D.23.关于函数y=2x2−8x，以下表达中错误的选项是〔〕A.函数图象经过原点B.函数图象的最低点是(2, −8)C.函数图象与x轴的交点为(0, 0)，(4, 0)D.函数图象的对称轴是直线x=−224.二次函数y=m2x2−4x+1有最小值−3，那么m等于〔〕A.1B.−1C.±1D.±12)所在的象限是〔〕25.二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，那么点P(a, cbA.一B.二C.三D.四26.如下图，当b<0时，函数y=ax+b与y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是〔〕A. B.C. D.27.抛物线y=2(x+3)(x−1)的对称轴是〔〕D.x=−2A.x=1B.x=−1C.x=1228.以下判断中唯一正确的选项是〔〕A.函数y=ax2的图象开口向上，函数y=−ax2的图象开口向下B.二次函数y=ax2，当x<0时，y随x的增大而增大C.y=2x2与y=−2x2图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全一样D.抛物线y=ax2与y=−ax2的图象关于x轴对称x2−6x+24的顶点是〔〕29.抛物线y=12A.(−6, −6)B.(−6, 6)C.(6, 6)D.(6, −6)30.一个二次函数的图象经过点A(0, 0)，B(−1, −11)，C(1, 9)三点，那么这个二次函数的关系式是〔〕A.y=−10x2+xB.y=−10x2+19xC.y=10x2+xD.y=−x2+10x二、填空题31.用长与宽分别是6cm、8cm的矩形纸片剪下一个边长为x cm的正方形后，剩余局部的面积S与x之间的关系式为________，其中S是x________函数．32.某种商品的价格为5元，准备进展两次降价，假如每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y〔单位：元〕随每次降价的百分率x的变化而变化，那么y与x之间的关系式为________．33.抛物线y=−3x2的对称轴是________，顶点是________，开口________，顶点是最________点，第 3 页与x轴的交点为________．34.假设二次函数y=x2+bx+c的图象经过(−4, 0)，(2, 6)，那么这个二次函数的解析式为________．35.假设函数y=ax2+b的图象经过点(0, 1)，(1, 2)，那么a+b=________．36.抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−2, 7)，B(6, 7)，C(3, −8)，那么该抛物线的解析式为________，该抛物线上纵坐标为−8的另一个点的坐标为________．37.用配方法将二次函数y=4x2−24x+26写成y=a(x−ℎ)2+k的形式是________，对称轴为________，顶点坐标为________．38.将抛物线y=−2x2+4x向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到抛物线的解析式为________．39.将二次函数解析式y=2x2−8x+5配方成y=a(x−ℎ)2+k的形式为________．40.函数y=ax2−ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，写出a所有可能的值________．41.二次函数y=x2−2x−8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，那么△ABC的面积为________．42.二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图．(1)这个二次函数的解析式为________；(2)这个二次函数的对称轴是________；(3)函数y有最________值，当x=________时，y的最值为________；(4)当x=________时，y=3．43.某商人开场时将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件，他想采用进步售价的方法来增加利润，经试验，发现这种商品每件进步1元，每天的销售量就会减少5件．(1)写出售价x〔元/件〕与每天所得的利润y〔元〕之间的函数关系式是y=________；(2)每件售价定为________元时，才能使一天的利润最大．44.抛物线y=−2(x+3)2−4是________对称图形，开口向________，顶点坐标是________，对称轴是________，与x轴的交点为________．45.假设二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0, −1)，(5, −1)，那么它的对称轴方程是________．46.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为P(−2, 3)，且过A(−3, 0)，那么抛物线的关系式为________．47.二次函数y=mx2−3x+2m−m2的图象经过点(−1, −1)，那么m=________．48.二次函数y=x2−2x+m的最小值为5时，m=________．49.假设抛物线y=ax2+3x−1与x轴有两个交点，那么a的取值范围是________．50.假设二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，那么ac________0〔填“>〞或“=〞或“<〞〕．(x−1)(x+2)与x轴的交点坐标是________，与y轴的交点坐标是________．51.抛物线y=−1552.函数y=x2+2x−1的最小值是________．53.二次函数y=mx2+2x+m−4m2的图象经过原点，m=________，这个二次函数的对称轴是________，开口方向________，顶点坐标________，y的最________值是________．54.抛物线y=x2−5x+6与y轴交点是________，x轴交点是________．三、解答题55.正方形的周长是Ccm，面积是Scm2．(1)求S与C之间的函数关系式；(2)当S=1cm2时，求正方形的边长；(3)当C取什么值时，S≥4cm2？答案1.【答案】D【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进展推理，进而对所得结论进展判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a<0，与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c<0，>0，∵对称轴为x=−b2a∴a、b异号，即b>0．应选D．2.【答案】B【解析】利用顶点式结合抛物线的开口方向可求得答案．【解答】解：∵抛物线顶点坐标为(−9, 3)，∴可设抛物线解析式为y=a(x+9)2+3，∵抛物线开口向上，∴a>0，应选B．3.【答案】D【解析】抛物线平移不改变a的值．【解答】解：原抛物线的顶点为(0, 0)，向右平移5个单位，那么新抛物线的顶点为(5, 0)．可设新抛物线的解析式为y=−3(x−ℎ)2+k，代入得：y=−3(x−5)2．应选D．4.【答案】C【解析】先根据解析式确定抛物线的顶点坐标、对称轴，然后对图象进展讨论选择．【解答】解：∵a=2>0，∴抛物线开口方向向上；∵二次函数解析式为y=2(x+2)2−1，∴顶点坐标为(−2, −1)，对称轴x=−2．应选C．5.【答案】A【解析】根据二次函数的定义对各选项进展逐一分析即可．【解答】解：A、y=8x2+1是二次函数，故本选项正确；B、y=8x+1是一次函数，故本选项错误；C、y=8是反比例函数，故本选项错误；xD、y=8是反比例函数，故本选项错误．x2应选A．6.【答案】B【解析】关于x轴对称的两点x坐标一样，y坐标互为相反数．第 5 页【解答】解：函数y=−2x2的图象沿x轴对折，得到的图象的解析式−y=−2x2，所以y=2x2．应选B．7.【答案】B【解析】直接根据正比例函数的性质和二次函数的性质判断即可．【解答】解：A、y=2x中，k=2>0，故y随x增大而增大；B、y=−2x中，k=−2<0，故y随x增大而减小；C、D中y=x2和y=−x2是二次函数，其增减性在对称轴的左右相反．应选B．8.【答案】B【解析】根据抛物线的位置，判断a、c的符号；再根据a、c的符号，判断直线y=−ax−c经过的象限，得出不经过的象限．【解答】解：由二次函数y=a(x−1)2+c的图象可知：a<0，二次函数y=a(x−1)2+c的顶点坐标为(1, c)，∴c>0，∴−a>0，−c<0，所以，直线y=−ax−c经过一、三、四象限，不经过第二象限．应选B．9.【答案】B【解析】由题目条件可知对称轴为x=2，可求得抛物线与x轴的另一交点，那么可判断A、C，把x=0代入可求得y=c，可判断D，那么可得出答案．【解答】解：由题可知抛物线与x轴的一交点坐标为(1, 0)，∵抛物线对称轴为x=2，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3, 0)，∴在x轴上截得的线段长是2，∴A、C正确，把x=0代入可求得y=c，∴抛物线与y轴的交点坐标为(0, c)，∴D正确，由条件无法确定抛物线的顶点坐标，∴B不正确，应选B．10.【答案】C【解析】抛物线y=ax2+bx+c的开口方向，形状只与a有关；y=a(x−ℎ)2+k的顶点坐标是(ℎ, k)．据此作答．【解答】解：抛物线的形状、开口方向与y=12x2−4x+3一样，所以a=12．顶点在(−2, 1)，所以是y=12(x+2)2+1．应选C．11.【答案】C【解析】需要根据抛物线的对称轴及开口方向，判断函数的增减性．【解答】解：∵抛物线顶点坐标是P(1, 3)，∴对称轴为x=1，又∵抛物线开口向下，∴函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是x>1．应选C．12.【答案】D【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进展推理，进而对所得结论进展判断．【解答】解：A、由抛物线的开口向下知a<0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c>0，因此ac<0，故不正确；=1，得2a=−b，∴a、b异号，即b>0，故错误；B、对称轴为x=−b2aC、而抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故错误；=1，得2a=−b，即2a+b=0，故正确．D、对称轴为x=−b2a应选D．13.【答案】A【解析】根据x轴下方的点的纵坐标小于0列出不等式解那么可．<0，解得c<−1，【解答】解：由题意得−4c−4−4应选A．14.【答案】C【解析】根据解析式求出A、B、C三点的坐标，即△ABC的底和高求出，然后根据公式求面积．【解答】解：在y=x2−4x+3中，当y=0时，x=1、3；当x=0时，y=3；即A(1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)×2×3=3；故△ABC的面积为：12应选C．15.【答案】B【解析】此题考察二次函数最大〔小〕值的求法，用配方法比拟简单．【解答】解：∵y=x2+10x−5=x2+10x+25−30=(x+5)2−30，∴y的最小值为−30．应选B．16.【答案】C【解析】根据圆的面积公式即可找出圆的面积S与其半径r的函数关系式，结合二次函数的图象即可得出结论．【解答】解：∵圆的面积S与其半径r的函数关系式为S=πr2(r≥0)，∴其函数图象与选项C相符．应选C．17.【答案】C【解析】由于抛物线的开口大小是由二次项系数a的绝对值的大小确定，|a|越大那么开口越小．利用这个结论即可判断开口大小．【解答】解：∵物线的开口大小是由二次项系数a的绝对值的大小确定，|a|越大那么开口越小．第 7 页∴开口大小按题号顺序表示为②>③>①． 应选C ．18. 【答案】C【解析】对y =x 2+3x 可以先配成顶点坐标式，求出顶点坐标，再根据顶点横纵坐标的正负判断顶点所处的象限．【解答】解：将y =x 2+3x 变形，可得：y =(x +32)2−94， 那么顶点坐标为(−32, −94)，那么此点位于第三象限．应选C ．19. 【答案】A【解析】根据b 2−4ac 与零的关系即可判断出二次函数y =−3x 2+2x −1的图象与x 轴交点的个数．【解答】解：∵b 2−4ac =22−4×(−3)×(−1)=−8<0 ∴二次函数y =−3x 2+2x −1的图象与x 轴没有交点． 应选A20. 【答案】D【解析】因为当x <−2时，y 随x 的增大而减小；当x >−2时，y 随x 的增大而增大，那么可知对称轴就是x =−2，结合顶点公式法可求出m 的值，从而得出函数的解析式，再把x =1，可求出y 的值．【解答】解：∵当x <−2时，y 随x 的增大而减小， 当x >−2时，y 随x 的增大而增大， ∴对称轴x =−b2a =−−m 8=−2，解得m =−16，∴y =4x 2+16x +5，那么当x =1时，函数y 的值为25． 应选D ．21. 【答案】D【解析】二次函数y =ax 2+bx +c 的值永远为负即函数图象的开口向下且函数与x 轴没有交点，根据此即可算出a 和b 2−4ac 的取值．【解答】解：因为二次函数y =ax 2+bx +c 的值永远为负值， 所以函数图象的开口向下，所以a <0．此外，函数与x 轴没有交点，所以b 2−4ac <0，所以二次函数y =ax 2+bx +c 的值永远为负值的条件是a <0，b 2−4ac <0． 应选D ．22. 【答案】A【解析】根据条件，采用形数结合的方法，探究图象经过的点，字母系数的符号对图象的影响，逐一排除．【解答】解：因为a +b +c =0，故函数图象过(1, 0)排除D ； 因为a +b +c =0，a >b >c ，所以a >0，排除C ；由图B 可知，c =1>0，对称轴x =−b2a >0，得b <0，与b >c 矛盾，排除B 应选A ．23. 【答案】D【解析】根据二次函数的性质，求得结果．【解答】解：A：由解析式可得c=0，故函数图象经过原点，所以A正确；B：由顶点公式可得：−b2a =2，4ac−b24a=−8，所以函数图象的最低点是(2, −8)，B正确；C：使解析式y=2x2−8x=0，得x1=0，x2=4，所以函数图象与x轴的交点为(0, 0)，(4, 0)，C正确；D：由对称轴x=−b2a=2，那么D错误．应选D．24.【答案】C【解析】对二次函数y=m2x2−4x+1，a=m2>0，存在最小值，且在顶点获得，有4ac−b24a=−3，求得m的值即可．【解答】解：在y=m2x2−4x+1中，m2>0，那么在顶点处获得最小值，4ac−b24a =4m2−164m2=−3，解得：m=±1．应选C．25.【答案】D【解析】根据函数图象可得各系数的关系：a>0，b<0，c>0，那么点P(a, cb)所在的象限即可断定．【解答】解：由函数图象可得各系数的关系：a>0，b<0，c>0，那么a>0，cb<0，因此P(a, cb)位于第四象限．应选D．26.【答案】B【解析】此题可先由一次函数y=ax+b象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+ bx+c的图象相比拟看是否一致．【解答】解：A、由一次函数的图象可知a>0b>0，二次函数对称轴x=−b2a<0，错误；B、由一次函数的图象可知a>0b<0，二次函数对称轴x=−b2a>0，正确；C、由一次函数的图象可知a>0b<0，由二次函数的图象可知a<0，错误；D、由一次函数的图象可知a<0b>0，由二次函数的图象可知a>0，错误；应选B．27.【答案】B【解析】首先确定抛物线与x轴的两个交点坐标，然后确定对称轴即可．【解答】解：令y=2(x+3)(x−1)=0，解得：x=−3或x=1，所以抛物线与x轴的两个交点坐标为(−3, 0)和(1, 0)，所以对称轴为x=−3+12=−1，应选B．第 9 页28. 【答案】D【解析】利用二次函数的图象与a 的关系逐项判断即可． 【解答】解：A 、假设当a <0时，那么函数y =ax 2的图象开口向下，函数y =−ax 2的图象开口向上，故A 不正确；B 、假设a >0时，那么二次函数y =ax 2开口向上，当x <0时，y 随x 的增大而减小，故B 不正确；C 、由于两函数中二次项系数互为相反数，故两抛物线的开口方向相反，故C 不正确；D 、因为a 和−a 互为相反数，所以抛物线y =ax 2与y =−ax 2的开口方向相反，对称轴、顶点坐标都一样，故其图象关于x 轴对称； 应选D ．29. 【答案】C【解析】化为顶点式表达式即可求出抛物线y =12x 2−6x +24的顶点坐标． 【解答】解：抛物线y =12x 2−6x +24=12(x −6)2+6， 所以抛物线y =12x 2−6x +24的顶点是(6, 6)．应选：C ． 30. 【答案】D【解析】由于抛物线经过原点，那么可以设其函数关系式为y =ax 2+bx ，再将B 、C 两点坐标代入即可求出函数关系式．【解答】解：由于抛物线经过原点，那么可以设其函数关系式为y =ax 2+bx ， 将B 、C 两点坐标代入，得， {a −b =−11a +b =9， 解得：{a =−1b =10，那么函数关系式为：y =−x 2+10x ， 应选D ．31. 【答案】S =48−x 2(0<x <6),二次【解析】根据剩余局部的面积S =矩形的面积-正方形的面积列出代数式．【解答】解：依题意得：S =6×8−x 2=48−x 2(0<x <6)，这是一个二次函数． 故答案是：S =48−x 2(0<x <6)，二次． 32. 【答案】y =5(1−x)2【解析】根据题意可得第一次降价后的价格为5(1−x)，第二次降价后价格为5(1−x)(1−x)，进而可得y 与x 之间的关系式．【解答】解：由题意得：y =5(1−x)2， 故答案为：y =5(1−x)2．33. 【答案】y 轴,(0, 0),向下,高,(0, 0)【解析】抛物线y =−3x 2的二次项系数−3<0，抛物线开口向下，一次项系数，常数项都为0，故对称轴是y 轴，顶点为(0, 0)．【解答】解：抛物线y =−3x 2的对称轴是y 轴，顶点是：(0, 0)，开口向下，顶点是最高点，与x 轴的交点为：(0, 0)．第 11 页故答案为：y 轴，(0, 0)，向下，高，(0, 0)．34. 【答案】y =x 2+3x −4【解析】用待定系数法求b 、c 的值，将(−4, 0)，(2, 6)代入y =x 2+bx +c 即可求得．【解答】解：将(−4, 0)，(2, 6)代入y =x 2+bx +c 中，得：{16−4b +c =04+2b +c =6，解得{b =3c =−4， ∴这个二次函数的解析式为：y =x 2+3x −4．35. 【答案】2【解析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把(1, 2)代入解析式可得到a +b 的值．【解答】解：∵二次函数y =ax 2+bx 的图象经过点(1, 2)，∴a +b =2，故答案为2．36. 【答案】y =x 2−4x −5,(1, −8)【解析】把三点的坐标分别代入y =ax 2+bx +c 可得关于a 、b 、c 的方程组，然后解方程组求出a 、b 、c 的值，从而得到抛物线解析式；再求出当y =−8时x 的值即可得点的坐标．【解答】解：因为抛物线过点A(−2, 7)、B(6, 7)，所以抛物线的对称轴为直线x =2，根据题意得{4a −2b +c =736a +6b +c =79a +3b +c =−8，解得{a =1b =−4c =−5，所以抛物线的解析式为y =x 2−4x −5，当y =−8时，x 2−4x −5=−8，解得：x =1或x =3，∴抛物线上纵坐标为−8的另一个点的坐标为(1, −8)，故答案为：y =x 2−4x −5，(1, −8)．37. 【答案】y =4(x −3)2−10,x =3,(3, −10)【解析】把二次函数y =4x 2−24x +26写成y =a(x −ℎ)2+k 的形式后再写出抛物线的对称轴方程和顶点坐标那么可．【解答】解：y =4x 2−24x +26=4(x 2−6x)+26=4(x 2−6x +9−9)+26=4(x −3)2−10∴对称轴是x =3，顶点坐标是(3, −10)故此题答案为：y =4(x −3)2−10；x =3；(3, −10)．38. 【答案】y =−2(x +1)2+5【解析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标减求出新函数的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．【解答】解：抛物线y =−2x 2+4x =−2(x −1)2+2的顶点坐标为(1, 2)，向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到抛物线的顶点坐标为(−1, 5)，得到新抛物线的解析式是y =−2(x +1)2+5．故答案为：y =−2(x +1)2+5．39. 【答案】y =2(x −2)2−3【解析】先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．【解答】解：提出二次项系数得，y =2(x 2−4x)+5，配方得，y =2(x 2−4x +4)+5−8，即y =2(x −2)2−3．故答案为：y=2(x−2)2−3．40.【答案】0，1，9【解析】分类讨论：当a=0时，函数解析式为y=3x+1，此一次函数与x轴只有一个交点；当a≠0时，利用△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△=(3−a)2−4a=0，然后解关于a的一元二次方程即可．【解答】解：当a=0时，函数为一次函数，此时函数图象与x轴只有一个交点；当a≠0时，抛物线y=ax2+(3−a)x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么△=(3−a)2−4a=0，解得a1=1，a2=9，综上所述，当a为0或1或9时，函数y=ax2−ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点．故答案为：0，1，9．41.【答案】24【解析】根据解析式分别求出A、B、C的坐标即可．【解答】解：根据二次函数y=x2−2x−8，可得A、B两点的横坐标为−2，4；C的纵坐标为−8；×8×6=24．那么△ABC的面积为1242.【答案】y=x2−2x; x=1; 小,1,−1; =−1或3【解析】根据抛物线的对称轴性，抛物线的顶点坐标是(1, −1)，利用待定系数法求抛物线的表达式那么可．; ; ;【解答】解：(1)根据题意，抛物线的顶点坐标是(1, −1)，设抛物线的表达式为y=a(x−1)2−1，抛物线过(0, 0)，所以a−1=0，a=1．y=(x−1)2−1=x2−2x．; (2)∵y=(x−1)2−1，∴对称轴是直线x=1；; (3)∵a=1，∴数y有最小值，当x=1时，y的最值为−1；; (4)y=3时，x2−2x=3，解得x=−1或3，∴当x=−1或3时，y=3．43.【答案】−5x2+190x−1200; 19【解析】(1)根据题意可以得到售价x〔元/件〕与每天所得的利润y〔元〕之间的函数关系式；; (2)将(1)中y与x的关系式化为顶点式即可解答此题．【解答】解：(1)由题意可得，y=(x−8)[100−(x−10)×5]=−5x2+190x−1200，即售价x〔元/件〕与每天所得的利润y〔元〕之间的函数关系式是y=−5x2+190x−1200；; (2)∵y=−5x2+190x−1200=−5(x−19)2+605，∴x=19时，y获得最大值；44.【答案】轴,下,(−3, −4),直线x=−3,没有交点【解析】根据二次项系数的符号得出抛物线的开口方向，将一般式转化为顶点式即可得出对称轴和顶点坐标，当y=0，求得与x轴的交点即可．【解答】解：y=−2(x+3)2−4，抛物线是轴对称图形，∵a=−2<0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为(−3, −4)，对称轴为直线x=−3，令y=0，得−2(x+3)2−4=0，方程无解，与x轴没有交点故答案为：轴；下；(−3, −4)；直线x=−3；没有交点；45.【答案】x=52【解析】由题意二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0, −1)，(5, −1)，观察此两点y值一样，说明这两点关于对称轴对称，从而求出抛物线的性质．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0, −1)，(5, −1)，∵此两点y值一样，其关于抛物线对称轴对称，∴它的对称轴方程是：x=0+52=52．46.【答案】y=−3x2−12x−9【解析】由题知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为P(−2, 3)，且过A(−3, 0)，将点代入抛物线解析式，再根据待定系数法求出抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为P(−2, 3)，∴对称轴x=−b2a=−2…①，又∵抛物线过点P(−2, 3)，且过A(−3, 0)代入抛物线解析式得，{4a−2b+c=3…9a−3b+c=0…由①②③解得，a=−3，b−12，c=−9，∴抛物线的关系式为：y=−3x2−12x−9．47.【答案】4或−1【解析】此题可以将点(−1, −1)代入y=mx2−3x+2m−m2，求得m的值．【解答】解：由于二次函数y=mx2−3x+2m−m2的图象经过点(−1, −1)，代入(−1, −1)，那么−1=m+3+2m−m2，解得：m=4或−1．48.【答案】6【解析】直接用公式法求此二次函数的最值即可解答．【解答】解：由二次函数y=x2−2x+m的最小值为5可知，4ac−b24a =4m−44=5，解得m=6．49.【答案】a>−94且a≠0【解析】根据题意，令y=0，得方程ax2+3x−1=0，有两个不同的根得△>0，从而解出a的范围．【解答】解：∵抛物线y=ax2+3x−1与x轴有两个交点，∴a≠0，△>0，∴9−4a×(−1)>0，∴a>−94，故答案为a>−94且a≠0．第 13 页50. 【答案】<【解析】首先由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，进而判断ac 与0的关系．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a <0，∵与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，∴c >0，∴ac <0．故答案为<．51. 【答案】(1, 0)，(−2, 0),(0, 25)【解析】抛物线解析式为：y =−15(x −1)(x +2)是函数的两点式，易求其与x 轴的交点，然后再令x =0，求得函数与y 轴的交点坐标．【解答】解：∵抛物线y =−15(x −1)(x +2)，∴x 轴的交点坐标是：(1, 0)，(−2, 0)，令x =0，得y =−15×(−2)=25，∴y 轴的交点坐标是：(0, 25)．52. 【答案】−2【解析】把解析式化为顶点式可求得其顶点坐标，那么可求得其最小值．【解答】解：∵y =x 2+2x −1=(x +1)2−2，∴其顶点坐标为(−1, −2)，∴其最小值为−2，故答案为：−2．53. 【答案】4,x =−12,上,(−12, −1),小,−1【解析】把原点代入解析式可得到关于m 的方程，可求得m 的值，那么可得到抛物线解析式，化为顶点式，可求得答案．【解答】解：∵二次函数y =mx 2+2x +m −4m 2的图象经过原点，∴m −4m 2=0且m ≠0，解得m =4，此时抛物线解析式为y =4x 2+2x =4(x +12)2−1，∴抛物线对称轴为x =−12，开口向上，顶点坐标为(−12, −1)，y 的最小值是−1， 故答案为：4；x =−12；上；(−12, −1)；小；−1．54. 【答案】(0, 6),(3, 0)，(2, 0)【解析】由题意令x =0，可以求出抛物线与y 轴的交点，令y =0，得方程x 2−5x +6=0，解出x 的值，从而求出抛物线与x 轴的交点．【解答】解：令x=0得，y=6，∴抛物线y=x2−5x+6与y轴交点是(0, 6)，令y=0得，x2−5x+6=0，解得x=2或3；故答案为(0, 6)，(3, 0)、(2, 0)．55.【答案】解：(1)S=(C4)2=C216；; (2)当S=1时，由S=C216，那么1=C216，解得C=4或C=−4〔舍去〕．∴C=4，∴正方形边长为4÷4=1(cm)．; (3)∵S=C216，∴欲使S≥4，需C216≥4，∴C2≥64．∴C≥8或C≤−8〔舍去〕，∴C≥8．【解析】(1)由正方形周长求出边长，然后求出面积的表达式，; (2)当S=1，求出边长，;(3)令S≥4，求出x．【解答】解：(1)S=(C4)2=C216；; (2)当S=1时，由S=C216，那么1=C216，解得C=4或C=−4〔舍去〕．∴C=4，∴正方形边长为4÷4=1(cm)．; (3)∵S=C216，∴欲使S≥4，需C216≥4，∴C2≥64．∴C≥8或C≤−8〔舍去〕，∴C≥8．第 15 页。

最新沪科版九年级数学上册第22章相似形单元检测试卷（附答案）班级：___________姓名：___________等级：___________时间：120分钟满分：150分一、单选题（共10题；共30分）1.已知△ABC，以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出（）个A. 1个B. 2个C. 4个D. 无数个【答案】B本题主要考查了对位似图形的认识．根据题意作图，注意有两种作法，在位似中心的两侧或同侧．所以这样的图形可以作出2个．解：如图：∴这样的图形可以作出2个．故选B．2.两个多边形相似的条件是（）A. 对应角相等B. 对应边相等C. 对应角相等，对应边相等D. 对应角相等，对应边成比例【答案】D试题分析：根据多边形相似的条件依次分析各项即可判断.两个多边形相似的条件是对应角相等，对应边成比例，故选D.考点：多边形相似的条件点评：本题是判定多边形相似的基础应用题，难度一般，学生只需正确理解多边形相似的判定方法即可轻松完成.3. 小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）A. 0.5mB. 0.55mC. 0.6mD. 2.2m【答案】A根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，设小刚举起的手臂超出头顶是xm ，则有1.71.10.850.85x =-，x=0.5． 4.某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ） 舞蹈社 溜冰社 魔術社上學期 3 45 下學期 43 2A. 舞蹈社不变，溜冰社减少B. 舞蹈社不变，溜冰社不变C. 舞蹈社增加，溜冰社减少D. 舞蹈社增加，溜冰社不变 【答案】D【解析】若甲：乙：丙=a ：b ：c ，则甲占全部的a a b c ++，乙占全部的b a b c ++，丙占全部的c a b c++． 【详解】由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：∴舞蹈社增加，溜冰社不变．故选D ．【点睛】本题考查了比例的性质．找出各社团人数占全部人数的比例是解题的关键．5.如下图，已知⊙O 的直径为AB ，AC ⊥AB 于点A, BC 与⊙O 相交于点D ，在AC 上取一点E ，使得ED=EA ．下面四个结论：①ED 是⊙O 的切线；②BC=2OE ③△BOD 为等边三角形；④△EOD ∽ △CAD ，正确的是（ ）A. ①②B. ②④C. ①②④D. ①②③④【答案】C解：如图，连接OD．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．在△AOE与△DOE中，∵OA=OD，AE=DE，OE=OE，∴△AOE≌△DOE（SSS），∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．故①正确；∵△AOE≌△DOE，∴∠AOE=∠DOE，∵OB=OD，∴∠B=∠BDO，∵∠B+∠BDO=∠AOE+∠DOE，∴∠B=∠AOE，∴OE∥BC，∵AO=OB，∴OE是△BAC的中位线，∴BC=2OE,故②正确；∵OE∥BC，∴∠AEO=∠C．∵△AOE≌△DOE，∴∠DEO=∠C，∠ODE=∠OAE=90°，∴∠ODE=ADC=90°，∴△EOD∽△CAD，∴正确的①②④．故选C．点睛：本题考查了切线的判定，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质以及三角形相似的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．6.下列图形中一定相似的一组是（）A. 邻边对应成比例的两个平行四边形；B. 有一个内角相等的两个菱形；C. 腰长对应成比例的两个等腰三角形；D. 有一条边相等的两个矩形【答案】B分析：利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．解答：解：A、邻边对应成比例的两个平行四边形，对应的角不一定相等，因而不一定相似，故本选项错误；B、有一个内角对应相等的两个菱形相似，故本选项正确；C、腰长对应对应成比例的等腰三角形不一定相似，故本选项错误；D、有一条边相等的两个矩形不一定相似，故本选项错误．故选B．7.如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝6，DB＝7，则BC的长是（）A. 91B. 73C. 134D. 130【答案】D【解析】连接CA、CD，根据翻折的性质可得弧CD所对的圆周角是∠CBD，再根据AC弧所得的圆周角也是∠CBA，然后求出AC=CD，过点C作CE⊥AB于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED=12AD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，然后求出△ACE和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例求出CE2，再求出BE，然后利用勾股定理列式计算即可求出BC．【详解】如图，连接CA、CD，根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是∠CBD，∵弧AC所对的圆周角是∠CBA，∠CBA=∠CBD，∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等），过点C作CE⊥AB于E，则AE=ED=12AD=12×6=3，∴BE=BD+DE=7+3=10，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵CE⊥AB，∴∠ACB=∠AEC=90°，∴∠A+∠ACE=∠ACE+∠BCE=90°，∴∠A=∠BCE，∴△ACE∽△CBE，∴AE CE CE BE，即CE2=AE•BE=3×10=30，在Rt △BCE 中，BC=22BE CE +=21030+=130，故选D ．【点睛】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线并求出AC=CD 是解题的关键．8.如图，将矩形ABCD 密铺在长为4cm ．宽为2cm 的矩形纸片右侧，若组成的新矩形与原矩形（图中阴影部分）相似，则AB=（ ）cm ．A. 3B. 6C. 8D. 17﹣1【答案】A【解析】 此时的矩形与原来的矩形相似，则相对应的边长成比例.【详解】可得24=42AB -，AB=3，所以答案选择A 项. 【点睛】本题考查了相似，熟悉找出对应边是解决本题的关键.9.如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度( )A. 增大1.5米B. 减小1.5米C. 增大3.5米D. 减小3.5米【答案】D 试题分析：设小明在A 处时影长为x ，B 处时影长为y ．∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴BD BNOP ON=，，则，∴x=5；，∴y=1.5，∴x﹣y=3.5，故变短了3.5米．故选D．考点：中心投影．10.如图，已知矩形ABCD满足AB：BC=1：2，把矩形ABCD对折，使CD与AB重合，得折痕EF，把矩形ABFE绕点B逆时针旋转90°，得到矩形A′BF′E′，连结E′B，交A′F′于点M，连结AC，交EF于点N，连结AM，MN，若矩形ABCD面积为8，则△AMN的面积为（）A. 4 2B. 4C. 2D. 1【答案】C【解析】先根据已知条件判定△E'A'B∽△ABC，得出∠A'BE'=∠ACB，进而判定AC∥BE'，连接BN，则△AMN 的面积=△ABN的面积，根据N为AC的中点，故△ABN的面积为△ABC面积的一半，进而得到△AMN 的面积为△ABC面积的一半，即矩形ABCD面积的四分之一，据此可得结论．【详解】如图：由折叠可得，BE=12BC=AF，而AB：BC=12，∴1222BCAFAB AB==，由旋转可得，AF=A'E'，AB=A'B ， ∴2A E A B ''='， 又∵2AB BC =， ∴A E AB A B BC''='， 又∵∠E'A'B=∠ABC=90°，∴△E'A'B ∽△ABC ，∴∠A'BE'=∠ACB ，∴AC ∥BE'，连接BN ，则△AMN 的面积=△ABN 的面积，由题可得，N 为AC 的中点，故△ABN 的面积为△ABC 面积的一半，∴△AMN 的面积为△ABC 面积的一半，即矩形ABCD 面积的四分之一，∴△AMN 的面积=14×8=2， 故选C ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质以及旋转的性质，相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是依据相似三角形的对应角相等，得出平行线．解题时注意：平行线之间的距离处处相等．二、填空题（共10题；共30分） 11.如图，线段AC 、BD 交于点O ，请你添加一个条件：________，使△AOB ∽△COD ．【答案】OB=OD ．(答案不唯一)【解析】AO=OC ，有一对对顶角∠AOB 与∠COD ，添加OB=OD ，即得结论．【详解】解： ∵OA=OC ，∠AOB=∠COD （对顶角相等），OB=OD ，∴△ABO ≌△CDO （SAS ）．故答案为：OB=OD ．(答案不唯一)【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．12.△ABC 与△DEF 的相似比为3：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为________．【答案】3:4【解析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【详解】∵△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为3：4，∴△ABC 与△DEF 的周长之比3：4，故答案为：3:4．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．13.如图标记了△ABC 与△DEF 边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC ∽△DEF ，那么这个条件可以是________．（只填一个即可）【答案】∠C=60°．（答案不唯一）【详解】解：添加：∠C=60°，∵∠A=80°=∠D ，∠C=∠F=60°，∴△ABC ∽△DEF ，故答案为∠C=60°．（答案不唯一） 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握和运用相似三角形的判定方法是解题的关键． 14.如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）．【答案】见解析 【解析】 【详解】∵锐角三角形ABC 的边AB 和AC 上的高线CE 和BF 相交于点D∴∠AEC=∠BEC=∠AFB=∠CFB=90°∵∠ABF=∠DBE，∠ACE=∠DCF∴△ABF∽△DBE，△ACE∽△DCF∵∠EDB=∠FDC∴△EDB∽△FDC∴△ABF∽△DBE∽△DCF∽△ACE答案不唯一，如△ABF∽△DBE或△ACE∽△DCF或△EDB∽△FDC等．15.如图，在△ABC中，DE∥AB分别交AC，BC于点D，E，若AD=2，CD=3，则△CDE与△CAB的面积的比为________．【答案】3 5【解析】由平行线可得两个三角形相似，再由其周长比等于其对应边的比，进而即可得出结论．【详解】解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，又相似三角形的周长比等于其对应边的比，∴△CDE与△CAB的周长比=CD3 AC5=．故答案为35．16.△ABC中，∠BAC=90°AD⊥BC于D，若AB=2，BC=3，则CD的长=________．【答案】5 3【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，又∠BAC=90°，∴∠ADB=∠BAC，又∠B=∠B，∴△ABD∽△CAB，∴AB BDBC AB=，即AB2=BC•BD，∵AB=2，BC=3，∴BD=43，则CD=BC-BD=3-43=53．17.已知三条线段的长分别是4cm，5cm和10cm，则再加一条________ cm的线段，才能使这四条线段成比例． 【答案】252或8或2 【解析】 运用比例的基本性质，将所添的数当作比例式::a b c d =中的任何一项，进行计算即可．【详解】解：设所加的线段是x ,则得到：4105x =或4510x =或5410x =， 解得：252x =或x =8或2. 故答案为252x =或x =8或2． 【点睛】本题主要考查了成比例线段，解题的关键是理解成比例线段的概念，写比例式的时候，要注意分情况讨论．18.如图，点G 为△ABC 的重心，GE ∥BC ，BC=12，则GE=________．【答案】4．【解析】试题分析：首先根据G 点为△ABC 的重心，判断出AG ：AD=2：3；然后根据平行线的性质，判断出23GE AG CD AD ==，即可求出GE =23CD=263⨯=4． 考点：三角形的重心19.如图，已知零件的外径为30 mm ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等，OC=OD ）测量零件的内孔直径AB ．若OC ∶OA=1∶2，且量得CD ＝12 mm ，则零件的厚度x=________mm ．【答案】3.试题分析：要求零件的厚度，由题可知只需求出AB即可．因为CD和AB平行，可得△AOB∽△COD，可以根据相似三角形对应边成比例即可解答：∵两条尺长AC和BD相等，OC=OD，∴OA=OB.∵OC：OA=1：2，∴OD：OB=OC：OA=1：2.∵∠COD=∠AOB，∴△AOB∽△COD．∴CD：AB=OC：OA=1：2.∵CD=12mm，∴AB=24mm∴2x+24=30．∴x=3mm．考点：相似三角形的应用．20.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转到AE，使得∠DAE=∠BAC，连接DE交AC于F，请写出图中一对相似的三角形：________（只要写出一对即可）．【答案】△ABD∽△AEF(或△ABD∽△DCF或△DCF∽△AEF或△ADE∽△ABC)分析：先根据等腰三角形的性质，由AB=AC得∠B=∠C，再利用旋转的性质得∠ADE=∠E=∠B=∠C，且∠BAD=∠CAE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽AEF．详解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵线段AD绕点A逆时针旋转到AE，使得∠DAE=∠BAC，∴∠ADE=∠E=∠B=∠C，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽AEF．故答案为△ABD∽AEF．点睛：本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．三、解答题（共8题；共60分）21.正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在图中正方形网格（每个小正方形边长为1）中有一格点△ABC和一线段DE（1）以DE为一边做格点△DEF与△ABC相似；（2）直接写出△DEF的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）7.5．【解析】（1）由于每个小正方形边长为1，先利用勾股定理求出△ABC的三边分别为AB=5，BC=2，AC=5，DE=5，根据三边对应成比例的两三角形相似，可以画出格点△DEF，使DF=5，EF=10；（2）根据三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）如图所示，△DEF与△ABC相似；（2）△DEF的面积=12×5×3=7.5．【点睛】本题考查了利用相似变换作图，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积，熟练掌握网格结构，根据相似比准确找出对应点的位置是解题的关键．22.已知：在Rt△ABC中∠C=90°，CD为AB边上的高．求证：Rt△ADC∽Rt△CDB ．【答案】详见解析.【解析】求出∠ADC=∠CDB=90°，根据∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，根据相似三角形的判定推出即可．【详解】∵CD为AB边上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD ，∵∠ADC=∠CDB=90°，∴Rt△ADC∽Rt△CDB ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，相似三角形的判定的应用，解题的关键是推出∠A=∠BCD，∠ADC=∠CDB．23.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．【答案】河宽为17米．【分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长.【详解】∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°，∵∠CAB＝∠EAD，∴∆ABC∽∆ADE，∴AD DE AB BC=，又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，∴8.5 1.51 ABAB+=，∴AB＝17，即河宽为17米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.24.如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，求AP的长．【答案】AP=247或AP=2或AP=6【解析】试题分析:由AD//BC, ∠B=90°,可证∠PAD=∠PBC=90°,又由AB=8,AD=3,BC=4,设AP的长为x,则BP 长为8-x,然后分别从APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分析,利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案.试题解析:∵AB⊥BC,∴∠B=90°,∵AD∥BC,∴∠A=180°﹣∠B=90°,∴∠PAD=∠PBC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,设AP长为x,则BP长为8﹣x,若AB边上存在P点,使△PAD与△PBC相似,那么分两种情况:若△APD∽△BPC,则AP:BP=AD:BC,即x:（8﹣x）=3:4,解得x=24 7,若△APD∽△BCP,则AP:BC=AD:BP，即x:4=3:（8﹣x）,解得x=2或x=6,所以AP=247或AP=2或AP=6．25.如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？【答案】相似【解析】先根据正方形的性质得∠A=∠D=90°，AB=AD=CD，设AB=AD=CD=4a，利用E为边AD的中点，CF=3FD，得到AE=DE=2a，DF=a，则可计算出AB AEDE DF==2，加上∠A=∠D，于是根据相似三角形的判定方法即可得到△ABE∽△DEF．【详解】△ABE与△DEF相似．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠D=90°，AB=AD=CD，设AB=AD=CD=4a，∵E为边AD的中点，CF=3FD，∴AE=DE=2a，DF=a，∴=2，=2，∴=2而∠A=∠D，∴△ABE∽△DEF．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了正方形的性质26.一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD 的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF 后，余下的矩形EFDC 与原矩形相似，求余下矩形EFDC 的面积．【答案】（1）22（2）2.【解析】（1）设它的另一边长为2x ，则AM=DM=x ，根据相似多边形的性质得AM AB =AB AD ，即x 2=22x ，然后解方程求出x 则可得到矩形ABCD 的另一边长；（2）设DF=a ，根据相似多边形的性质得CD AD =DF AB ，即24=2DF ，然后利用比例性质求出DF ，再利用矩形面积公式计算矩形EFDC 的面积.【详解】解：()1由已知得2MN AB ==，1122MD AD BC ==， ∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，DM MN AB BC=， ∴DM BC AB MN ⋅=⋅，即2142BC =， ∴22BC =它的另一边长为22()2∵矩形EFDC 与原矩形ABCD 相似，∴DF CD AB BC=， ∵2AB CD ==，4BC =， ∴1AB CD DF BC ⋅==， ∴矩形EFDC 的面积212CD DF =⋅=⨯=． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比. 27.如图，△ABC 中，A 、B 两点在x 轴的上方，点C 的坐标是（-1，0）．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形 A B C '''V ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点 B ' 的横坐标是2，求点B 的横坐标．【答案】-2.5解：过点B 、B '分别作BD ⊥x 轴于D ,B E '⊥x 轴于E ，90BDC B EC '∴∠=∠=︒. ……………………1分∵ABC ∆的位似图形是A B C ∆''，∴点B 、C 、B '在一条直线上，BCD B CE ∴∠='∠．……………………2分BCD B CE ∴'V V ∽． 3分CD BC CE B C∴='．………………………4分 又∵12BC B C '=， 12CD CE ∴=. 又∵点B '的横坐标是2，点C 的坐标是(-1，0) ，3CE ∴=，32CD ∴=．…………………………………………5分 52OD ∴=． ∴点B 的横坐标为52-．…………………………………………6分28.在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN．直线BD与MN 相交于E．（1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD－2DE=2BM；（2）如图2，当点M在BC延长线上时，BD、DE、BM之间满足的关系式是什么？；（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若DE=2，且AF：FD=1：2时，求线段DG的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）BD+2DE=BM；（3）2．试题分析：（1）过点M作MF⊥BC交BD于点F，推出FM=DN，根据AAS证△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（2）过点M作MF⊥BC交BD于点F，推出FM=DN，根据AAS证△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（3）根据已知求出CM的长，证△ABF∽△DNF，得出比例式，代入后求出CD长，求出FM长即可．试题解析：（1）过点M作MF⊥BC交BD于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=90°，∴FM∥CD，∴∠NDE=∠MFE，∴FM=BM，∵BM=DN，∴FM=DN，在△EFM和△EDN中，∵∠NDE=∠MFE，∠NED=∠MEF，DN=FM，∴△EFM≌△EDN，∴EF=ED，∴BD﹣2DE=BF，根据勾股定理得：BF=BM，即BD﹣2DE=BM；（2）过点M作MF⊥BC交BD于点F，与（1）证法类似：BD+2DE=BF=BM，故答案为BD+2DE=BM；（3）由（2）知，BD+2DE=BM，BD=BC，∵DE=，∴CM=2，∵AB∥CD，∴△ABF∽△DNF，∴AF：FD=AB：ND，∵AF：FD=1：2，∴AB：ND=1：2，∴CD：ND=1：2，CD：（CD+2）=1：2，∴CD=2，∴FD=43，∴FD：BM=1：3，∴DG：BG=1：3，∴DG=22．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．相似三角形的判定与性质；4．和差倍分．。