高一数学集体备课基本初等函数小结与复习

数学·必修1(人教版)基本初等函数一、目标解读函数是高中数学的主要内容之一，这是因为函数思想方法灵活多样，逻辑思维性强，许多数学问题都可以从函数的角度来认识、研究．函数知识与数学的其他各分支的巧妙结合容易形成综合性较强的新颖的试题，这样的试题往往成为高考中极具份量的一类解答题，综合考查考生应用函数知识分析问题、解决问题的能力．而在命题的具体设计上，总是具有从易到难、逐步设问的特点，以较隐蔽的方式给出解题思路，在考查函数内容的同时也考查应用函数的思想方法，观察问题、分析问题和解决问题的能力，同时考查学生数形结合的思想和分类讨论的思想的应用能力．函数是中学数学的重要组成部分．它所涉及的内容是升入大学继续学习的基础，因此，函数不仅是中学数学教学的重点，也是高考考查的重点．近年来，函数的分值占30%左右．函数是高中代数的主线．它体系完整，内容丰富，应用广泛．由于它描述的是自然界中量的依存关系，是对问题本身数量的制约关系的一种刻画，所以是对数量关系本质特征的一种揭示，为我们从运动、变化、联系、发展的角度认识问题打开了思路．本章主要研究的是基本初等函数：指数函数、对数函数和幂函数的概念、图象和性质．包括理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，理解对数的概念，掌握对数的运算性质，能运用函数的一般性质和指数函数、对数函数的特征性质解决某些简单的实际问题．指数函数与对数函数都是初等超越函数．在历年的高考题中出现的频率较大．出现在小题时是较基本的考查方式；出现在大题中时，往往与其他知识综合形成开放性问题，加大对开放性问题的考查力度．通过本章的学习达到以下基本目标：①了解指数函数模型的实际背景，体会指数函数是一类重要的函数模型．②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．③理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．④了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型．⑤能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．⑥理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．⑦了解指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．⑧了解幂函数的概念，结合函数y ＝x α(α＝1,2,3，12，－1)的图象，了解它们的变化情况．二、主干知识(一)指数与指数幂的运算 1．整数指数幂的概念． (1)正整数指数幂的意义：(2)零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．(3)负整数指数幂：a －n ＝1an (a ≠0，n ∈N *)．2．整数指数幂的运算性质： ①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(a m )n ＝a mn ；③(ab )n ＝a n b n .3．如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞0，且n ∈N *.(1)当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时a 的n 次方根用符号na 表示．(2)方根的性质：①当n 是奇数时，na n＝a ； ②当n 是偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥0，－a a ＜0.4．分数指数幂．(1)正数的分数指数幂的意义：设a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1，规定(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．5．有理指数幂的运算性质： ①a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q)；②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q)；③(ab )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．(二)指数函数及其性质1．函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量．2．指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象和性质(见下表)：(1．如果a x＝N (a ＞0，a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数．记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．对数式的书写格式：(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数log 10N 简记为lg N ；(2)以无理数e ＝2.718 28……为底的对数，叫自然对数，并把自然对数log e N 简记为ln N .2．指数与对数的关系：设a ＞0，且a ≠1，则a x＝N ⇔log a N ＝x .3．对数的性质．(1)在指数式中N ＞0，故0和负数没有对数，即式子log a N 中N 必须大于0；(2)设a ＞0，a ≠1，则有a 0＝1，所以log a 1＝0，即1的对数为0；(3)设a ＞0，a ≠1，则有a 1＝a ，所以log a a ＝1，即底数的对数为1.4．对数恒等式．(1)如果把a b＝N 中的b 写成log a N 形式，则有(2)如果把x ＝log a N 中的N 写成a x 形式，则有log a a x＝x .5．对数的运算性质．设a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，简记为：积的对数＝对数的和；(2)log a M N ＝log a M －log a N ，简记为：商的对数＝对数的差；(3)log a M n＝n log a M (n ∈R)．(四)对数函数及其性质1．函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象、性质(见下表)：函数y＝log a x(a＞1)y＝log a x(0＜a＜1)图象定义域R＋R＋值域R R单调性增函数减函数过定点(1,0)(1,0)(1)当a＞1时，若x＞1，则log a x＞0，若0＜x＜1，则log a x＜0；(2)当0＜a＜1时，若0＜x＜1，则log a x＞0，若x＞1，则log a x＜0.3．函数y＝a x与y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(五)幂函数1．形如y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中α为常数．只研究α为有理数的情形．3．幂函数的性质．(1)幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)当α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸；当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸．(3)当α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．4．图象形状：当α＞0(α≠1)时，图象为抛物线型；当α＜0时，图象为双曲线型；当α＝0,1时，图象为直线型．1．正数的分数指数幂的意义：设a>0，m，n∈N*，n>1，规定：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．2．有理指数幂的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．答案：12 011►跟踪训练解析：由平方差公式化简即得答案．答案：－27答案：－6a指数幂的运算3．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值是________．答案：131．设a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x ；a log a N ＝N; log a a x＝x .2．设a >0，a ≠1, M >0，N >0 ，则有 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，(2)log a M N＝log a M －log a N ，(3)log a M n＝n log a M (n ∈R)．3．设a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，则log a x ＝log b xlog b a.设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100解析：由2a ＝5b＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10，又∵m ＞0，∴m ＝10.答案：A►跟踪训练4．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3解析：α＋1＝2，故α＝1，选B. 答案：B指数与对数运算5．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1C ．2D ．4解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 答案：C6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，2x，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( ) A ．4 B.14C ．－4D ．－147．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析：答案：121．指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的定义域是R ，值域是()0，＋∞，过定点(0,1)．当a >1时，指数函数y ＝a x 是R 上的增函数；当0<a <1时，指数函数y ＝a x是R 上的减函数．2．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域是()0，＋∞，值域是R ，过定点(1,0)． 当a >1时，对数函数y ＝log a x 是()0，＋∞上的增函数；当0<a <1时，对数函数y ＝log a x 是()0，＋∞上的减函数．函数y ＝1log 0.54x －3的定义域为( )指数函数与对数函数的性质A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) 解析：由log 0.5(4x －3)＞0且4x －3＞0可解得34＜x ＜1，故A 正确．答案：A►跟踪训练8．函数y ＝2x 的图象大致是()答案：C9．函数f (x )＝lg(x －1)的定义域是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞) 解析：x －1＞0，得x ＞1，选B. 答案：B10．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案：A研究由基本初等函数的和与差等运算构成的新函数的性质时，必须明确各基本初等函数的相关性质．设函数的集合P ＝f (x )＝log 2(x ＋a )＋研究基本初等函数及其组合的性质A ．4个B ．6个C ．8个D ．10个解析：当a ＝0，b ＝0；a ＝0，b ＝1；a ＝12，b ＝0; a ＝12，b ＝1；a ＝1，b ＝－1；a ＝1，b ＝1时满足题意，选B.答案：B►跟踪训练11．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x的定义域均为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数解析：f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x＝－g (x )． 答案：BA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案：B13．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R)是偶函数，则实数a ＝________.解析：由条件知，g (x )＝e x ＋a e －x为奇函数，故g (0)＝0，得a ＝－1. 答案：－1数形结合的思想方法是根据数量与图形的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种思想方法．转化与化归的思想方法则是将问题不断转化，直到转化为比较容易解决或已经解决的问题．而分类讨论的核心是通过增强条件来分情况逐一研究，使问题易于解决．一、数形结合思想数学思想方法的应用直线y ＝1与曲线y ＝x 2－||x ＋a 有四个交点，则a 的取值范围是 _______ .解析：曲线y ＝x 2－|x |＋a 关于y 轴对称，当x ≥0时，y ＝x 2－x ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋a －14，结合图象要使直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －14＜1，解得1＜a ＜54.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54►跟踪训练14．已知c ＜0，下列不等式中成立的一个是( )A ．c ＞2cB ．c ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12cC ．2c ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12cD ．2c＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12c解析：在同一直角坐标系下作出y ＝x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝2x 的图象，显然c ＜0时，x ＜2x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，即c ＜0时，c ＜2c＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12c .答案：C15．下列函数图象中，正确的是( )答案：C16．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，y ＝f (x )是减函数，并且f (1)>0>f (2)，则方程f (x )＝0的实根的个数是_________个．答案：2二、转化与化归的思想设a ＝333＋1334＋1，b ＝334＋1335＋1，试比较a 、b 的大小． 解析：如果比较a －b 与0或a b与1的大小，即用作差法、作商法来做，较繁杂、不易判断．由于a 、b 两数的结构特点可构造函数f (x )＝3x ＋13x ＋1＋1，则a ＝f (33)，b ＝f (34)，若能判断出此函数的单调性，那么就可简捷地比较出a 、b 的大小．f (x )＝3x ＋13x ＋1＋1＝3x ＋1＋333x ＋1＋1＝3x ＋1＋1＋233x ＋1＋1＝13＋233x ＋1＋1. ∵3x ＋1在R 上递增，∴233x ＋1＋1在R 上递减． ∴ f (x )＝13＋233x ＋1＋1在R 上递减． ∴ f (33)＞f (34)，即a ＞b .►跟踪训练17．解方程：(lg 2x )·(lg 3x )＝lg 2·lg 3.解析：原方程可化为(lg 2＋lg x )(lg 3＋lg x )＝lg 2·lg 3，即lg 2x ＋lg 6·lg x ＝0，解得lg x ＝0或lg x ＝－lg 6.∴x ＝1或x ＝16， 经检验x ＝1，x ＝16都是原方程的解． ∴原方程的解为x 1＝1或 x 2＝16.18．比较log 0.30.1和log 0.20.1的大小．解析：log 0.30.1＝1log 0.10.3＞0， log 0.20.1＝1log 0.10.2＞0. ∵log 0.10.3＜log 0.10.2，∴log 0.30.1＞log 0.20.1.19．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如下图所示．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m 2；③野生水葫芦从4 m 2蔓延到12 m 2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3, 则有t 1＋t 2＝t 3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有 ______________ (填序号)．答案：①②④三、分类讨论思想若a >0，且a ≠1，p ＝log a (a 3＋a ＋1)，q ＝log a (a 2＋a ＋1)，则p 、q 的大小关系为( )A ．p ＝qB ．p <qC ．p >qD ．a >1时，p >q ；0<a <1时，p <q解析：要比较p 、q 的大小，只需先比较a 3＋a ＋1与a 2＋a ＋1的大小，再利用对数函数的单调性．而决定a 3＋a ＋1与a 2＋a ＋1的大小的a 值的分界点为使(a 3＋a ＋1)－(a 2＋a ＋1)＝a 2(a －1)＝0的a 值：a ＝1，当a >1时，a 3＋a ＋1>a 2＋a ＋1，此时log a (a 3＋a ＋1)>log a (a 2＋a ＋1)，即p >q .当0<a <1时，a 3＋a ＋1<a 2＋a ＋1，此时log a (a 3＋a ＋1)>log a (a 2＋a ＋1)，即p >q .可见，不论a >1还是0<a <1，都有p >q .答案：C►跟踪训练20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0. 若f (a )＝12，则a ＝( ) A ．－1 B. 2C ．－1或 2D ．1或－ 2解析：讨论a >0和a ≤0两种情况．答案：C21．已知函数f (x )＝log a x 在[2，π]上的最大值比最小值大1，则a 等于( ) A.2π B.π2C.2π或π2D ．不同于A 、B 、C 答案解析：研究函数的最值需考查函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a 的取值有关，故应对a 进行分类讨论．(1)当a >1时，f (x )在[2，π]上是增函数，最大值是f (π)，最小值是f (2)，据题意，f (π)－f (2)＝1，即log a π－log a 2＝1，∴a ＝π2. (2)当0<a <1时，f (x )在[2，π]上是减函数，最大值是，最小值是f (π)，故f (2)－f (π)＝1，即log a 2－log a π＝1，∴a ＝2π. 由(1)(2)知，选C.答案： C22．已知f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2试比较f (x )和g (x )的大小．解析：f (x )－g (x )＝log x 3x 4. (1)当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，3x 4＞1⇒x ＞43，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1⇒0＜x ＜1，即x >43或0<x <1时，f (x )>g (x )． (2)当3x 4＝1即x ＝43时，f (x )＝g (x )． (3)当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，0＜3x 4＜1⇒1＜x ＜43，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1⇒x ∈∅，即1<x <43时，f (x )＜g (x )． 综上所述：①当x ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，f (x )＞g (x )； ②当x ＝43时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43时，f (x )＜g (x )．23．已知f (x )＝log a (a x －1)(a ＞0且a ≠1)．(1)求定义域；(2)讨论函数的单调区间．解析：(1)由a x －1＞0⇒a x ＞1，当a ＞1时，函数定义域为(0，＋∞)，当0＜a ＜1时，函数定义域为(－∞，0)．点评：底数含字母a ，要进行分类讨论．。

基本初等函数知识点总结基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

它们在数学和实际问题中具有广泛的应用，因此掌握基本初等函数的性质和特点对于学习和理解数学非常重要。

下面将对基本初等函数的知识点进行总结。

一、多项式函数多项式函数是由常数乘以各个整数幂的变量构成的函数。

它的一般形式为：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x+a_0$$其中，$a_n, a_{n-1},\dots,a_1,a_0$为常数，$n$为正整数，$a_n \neq 0$。

多项式函数的特点包括：定义域为实数集，值域为实数集，可导且导函数为次数比原来次数低一的多项式函数。

二、指数函数指数函数的一般形式为：$$f(x) = a^x$$其中，$a$为正实数且不等于1。

指数函数的特点包括：定义域为实数集，值域为正实数集，可导且导函数为$a^x\ln a$。

三、对数函数对数函数的一般形式为：$$f(x) = \log_a x$$其中，$a$为正实数且不等于1，$x$为正实数。

对数函数的特点包括：定义域为正实数集，值域为实数集，可导且导函数为$\frac{1}{x\ln a}$。

四、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们的一般形式为：$$\sin x, \cos x, \tan x$$其中，$x$为实数。

三角函数的特点包括：定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]，具有周期性，可导且导函数是相关三角函数的倍数。

五、反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。

它们的一般形式为：$$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$$其中，$x$在相应的定义域内。

反三角函数的特点包括：定义域为闭区间[-1, 1]，值域为实数集，可导且导函数是相关函数的倒数。

基本初等函数的性质还包括：1. 奇偶性对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数；如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数。

复习课: 基本初等函数(二)一、【教学目标】重点：掌握指数及对数运算；指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质．难点：函数单调性的应用知识点：指数、对数与幂函数的图象和性质．能力点：培养学生良好的分析理解能力和熟练的计算能力教育点：提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认识结构自主探究点：例题及变式解题思路的探寻考试点：三类基本初等函数的图象和性质易混点：指数函数与幂函数拓展点：“换元法”的应用二、【知识梳理】三、(一)1.比较大小例1 比较下列几组数的大小：(1)352log 2,log 2,log 3;a b c ===(2)13212112,log ,log ;33a b c -=== (3)0.81.2512,,2log 2.2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭【分析】化成同底数或者同指数,然后利用单调性进行比较.【解答】(1);b a c <<(2);b a c <<(3).c b a <<【点评】①化成同底数或者同指数(尤其是比较指数函数值与幂函数值的大小),然后利用单调性进行比较；②借助中间值“0”、“1”比较大小.【变式训练】比较大小：985316,8,4,2,2【解答<<2.解不等式例2 (1)已知log (6)2,a a ->求a 的取值范围.(2)设函数122,1()1log ,1,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x ≤的x 的取值范围是( ).A.[1,2]-B.[0,2]C.[1,)+∞D.[0,)+∞【分析】根据底数的不同讨论函数的单调性,同时注意定义域.【解答】(1)当1a >时,260,6,a a a ->⎧⎨->⎩因此12a <<；当01a <<时,260,6,a a a ->⎧⎨-<⎩,此时无解.因此a 的取值范围是12a <<.(2)D【点评】指数函数、对数函数由于底数的范围不同,单调性也会发生变化,因此要对底数进行分类讨论.【变式训练】设函数212log ,0,()log (),0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()(),f a f a >-则实数a 的取值范围____. 【解答】1a >或10.a -<<3.复合函数的单调性例3(1)y =的单调递增区间是_______.(2)已知函数log (2)a y ax =-在[0,1]上是减函数,则实数a 的取值范围是________.【分析】考察复合函数的单调性“同增异减”【解答】(1)2230,1,3].x x -++≥∴-函数的定义域为[因此所求区间为[1,1]-.(2)应满足()20([0,1],0).g x ax x a =->∈>(1)20, 2.g a a ∴=->∴<【点评】在考虑复合函数的单调性“同增异减”的同时,不要忘记定义域的要求【变式训练】已知函数2lg(21)y x ax a =-++在(,1]-∞上是减函数, 则实数a 的取值范围是________.【解答】1,1210,a a a ≥⎧⎨-++>⎩1 2.a ∴≤< 4.最值例 4 (1)若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数,则_____.a =(2)若不等式2log 0m x x -<在1(0,)2内恒成立,求实数m 的取值范围.【分析】由底数的不同讨论函数单调性的不同.【解答】(1)1140,.4m m ->∴<当1a >时,24,2,a a =∴=11,24m ∴=>不合题意；当01a <<时,114,,4a a -∴==1,16m ∴=1.4a ∴= (2)由题意知,0 1.m <<令2()log ,(),m g x x f x x ==则()g x 在1(0,)2内单调递减,()f x 在1(0,)2内单调递增.因此只需11()(),22g f >即11log ,24m >1 1.16m ∴<< 【点评】由底数的不同讨论函数单调性的不同.【变式训练】1.函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[1,2]上的最大值比最小值大,2a 则_____.a = 2.设0a >且1a ≠,函数221x x y a a =+-在[]1,1-上的最大值是14,求a 的值.【解答】1.13;22a =或 2. 13a =或3. (二)函数性质的综合应用 例5 已知函数)1,0(11log )(≠>--=a a x mx x f a是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)判断函数)(x f 在()+∞,1上的单调性,并给出证明．【分析】已知函数的奇偶性求参数的值,可以借助奇函数的定义;而复合函数的单调性可以先判断内函数的单调性,还要讨论1>a 还是1<a .【解答】(1)由于)(x f 是奇函数,故11log 11log ---=--+x mx x mx a a ,所以11111--=--+x mx x mx ,解得1-=m . (2)令11-+=x x t ,则t y a log =.当1>a 时,设()+∞∈,1,21x x ,且21x x <,则1211212121----+=-x x t t ())1(1)(22112---=x x x x ,因为211x x <<,知012>-x x ,,011>-x ,012>-x 所以21t t >,21log log t t a a >.故当1>a 时,)(x f 在()+∞,1上是减函数；同理,当10<<a 时,)(x f 在()+∞,1上是增函数.【变式训练】 已知函数211()log 1x f x x x +=--,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性、单调性. 【解答】0x ≠且101x x+>-,11x -<<且0x ≠,即定义域为(1,0)(0,1)-； 221111()log log ()11x x f x f x x x x x-+-=-=-+=--+-为奇函数； 212()log (1)11f x x x=-+-在(1,0)(0,1)-和上为减函数.五、【布置作业】必做题： 1．若312=x ,则x 的值等于( ) ． A. 3log 2 B. 21log 3 C. 2log 3 D.2log 31 2．函数x x f a log )(= (π≤≤x 2)的最大值比最小值大1,则a 的值( ) ．A 2πB π2C 2π或π2 D 无法确定 3． 函数),2[,31+∞∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x 的值域是___________________． 选做题：1.函数)13(log )(3-=x x f +4的定义域是_____________________．2.已知函数)1,0(11log )(≠>-+=a a xx x f a (1)求)(x f 的定义域；(2)判断函数)(x f 的奇偶性,并予证明；(3)当1>a 时,求使0)(>x f 的x 的取值范围．【解答】必做题：1.B;2.C;3.1(0,].9选做题：1.1(,);3+∞ 2.(1)(1,1)-;(2)奇函数；(3)(0,1).六、【教后反思】1、亮点：首先以结构图呈现基本初等函数知识,直观简明;其次题目设计合理,层层推进;最后在作业的布置上,选择高考中的低档题,对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.2、不足：复习课的内容较多,在一些具体问题中,学生容易忽略小细节,例题不能面面俱到.。

函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结函数是数学中一种重要的概念，它描述了一种特定的关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。

函数在高中数学中占据了重要的地位，是数学学习的基础。

在这篇文章中，我们将总结函数的概念以及一些基本的初等函数的知识点。

一、函数的概念函数是一种特定的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。

通常用字母f表示函数，例如f(x)。

其中x是函数的自变量，f(x)是函数的值或因变量。

函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是函数可能取值的集合。

函数可以用图像、表格或公式来表示。

函数有一些重要的特点：1.单值性：对于定义域中的每个自变量值，函数只能有一个对应的值。

2.定义域：函数的自变量可能取值的集合。

3.值域：函数的值可能取值的集合。

4.对称性：函数可能具有一些对称性质，例如奇函数和偶函数。

5.增减性：函数可能随着自变量的增大或减小而增加或减少。

初等函数是一类经过常见运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等）和函数复合（如求和、求积、复合函数等）得到的函数。

下面是一些常见的初等函数及其特点和知识点：1.幂函数：幂函数的表达式是y=x^m，其中m是实数。

幂函数的图像可能是一条直线、二次曲线、指数曲线等。

幂函数的正负性、单调性和奇偶性与指数m的关系密切。

2.指数函数：指数函数的表达式是y=a^x，其中a是大于0且不等于1的实数。

指数函数的图像是一个递增的曲线。

指数函数的性质包括连续性、正负性、单调性和极限等。

3.对数函数：对数函数的表达式是 y = log_a(x)，其中 a 是大于 0 且不等于 1 的实数。

对数函数是指数函数的反函数，其图像是对数曲线。

对数函数的性质包括连续性、正负性、单调性和极限等。

4.三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们的图像是周期性的波浪曲线。

三角函数的性质包括周期性、奇偶性、单调性和求导等。

5.反三角函数：反三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数的反函数，用sin^(-1)(x)、cos^(-1)(x)、tan^(-1)(x) 表示。

高中数学必修4-基本初等函数小结高中数学必修4-基本初等函数小结基本初等函数是高中数学中最重要的内容之一，它是研究数学的基础，也是理解其他数学分支的重要工具。

基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

幂函数是一种非常基础的函数，它的形式为y=x^n，其中n为任意实数。

它有两个特殊情况：n为正整数时，函数图像是单调递增的，n为负整数时，函数图像是单调递减的。

幂函数有很多重要的性质，比如定义域和值域的确定，奇偶性的判断和函数图像的变化规律。

指数函数是以指数为自变量，以底数为底的函数，它的形式为y=a^x，其中a为一个实数且大于0且不等于1。

指数函数是以底数是常数的变异函数，具有指数函数特有的性质。

指数函数的图像具有一些重要的特点，比如当a>1时，函数图像是上升的；当0<a<1时，函数图像是下降的；在反比例函数中，a=1时，函数图像变为常数。

对数函数是指数函数的逆函数，它的形式为y=loga(x)，其中a 为一个实数且大于0且不等于1。

对数函数有很多重要的性质，比如定义域和值域的确定，奇偶性的判断和函数图像的变化规律。

对数函数和指数函数是基本相关的，可以通过对数函数求解指数函数问题。

三角函数是研究三角关系的基础，它的形式为y=sin(x)，y=cos(x)和y=tan(x)。

三角函数有很多重要的性质，比如定义域和值域的确定，周期性和奇偶性的判断。

在解决三角关系的问题中，三角函数起着重要的作用，可以通过三角函数的计算来求解各种三角关系。

反三角函数是三角函数的逆函数，它的形式为y=arcsin(x)，y=arccos(x)和y=arctan(x)。

反三角函数有很多重要的性质，比如定义域和值域的确定，函数图像的变化规律。

在解决三角关系的问题中，反三角函数起着重要的作用，它可以通过三角函数的计算来求解各种三角关系。

总结而言，基本初等函数在高中数学中起着非常重要的作用，它们是数学学习的基础，也是理解其他数学分支的重要工具。

数学·必修1(人教版)基本初等函数一、目标解读函数是高中数学的主要内容之一，这是因为函数思想方法灵活多样，逻辑思维性强，许多数学问题都可以从函数的角度来认识、研究．函数知识与数学的其他各分支的巧妙结合容易形成综合性较强的新颖的试题，这样的试题往往成为高考中极具份量的一类解答题，综合考查考生应用函数知识分析问题、解决问题的能力．而在命题的具体设计上，总是具有从易到难、逐步设问的特点，以较隐蔽的方式给出解题思路，在考查函数内容的同时也考查应用函数的思想方法，观察问题、分析问题和解决问题的能力，同时考查学生数形结合的思想和分类讨论的思想的应用能力．函数是中学数学的重要组成部分．它所涉及的内容是升入大学继续学习的基础，因此，函数不仅是中学数学教学的重点，也是高考考查的重点．近年来，函数的分值占30%左右．函数是高中代数的主线．它体系完整，内容丰富，应用广泛．由于它描述的是自然界中量的依存关系，是对问题本身数量的制约关系的一种刻画，所以是对数量关系本质特征的一种揭示，为我们从运动、变化、联系、发展的角度认识问题打开了思路．本章主要研究的是基本初等函数：指数函数、对数函数和幂函数的概念、图象和性质．包括理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，理解对数的概念，掌握对数的运算性质，能运用函数的一般性质和指数函数、对数函数的特征性质解决某些简单的实际问题．指数函数与对数函数都是初等超越函数．在历年的高考题中出现的频率较大．出现在小题时是较基本的考查方式；出现在大题中时，往往与其他知识综合形成开放性问题，加大对开放性问题的考查力度．通过本章的学习达到以下基本目标：①了解指数函数模型的实际背景，体会指数函数是一类重要的函数模型．②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．③理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．④了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型．⑤能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．⑥理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．⑦了解指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．⑧了解幂函数的概念，结合函数y ＝x α(α＝1,2,3，12，－1)的图象，了解它们的变化情况．二、主干知识(一)指数与指数幂的运算 1．整数指数幂的概念． (1)正整数指数幂的意义：(2)零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．(3)负整数指数幂：a －n ＝1an (a ≠0，n ∈N *)．2．整数指数幂的运算性质： ①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(a m )n ＝a mn ；③(ab )n ＝a n b n .3．如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞0，且n ∈N *.(1)当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时a 的n 次方根用符号na 表示．(2)方根的性质：①当n 是奇数时，na n＝a ； ②当n 是偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥0，－a a ＜0.4．分数指数幂．(1)正数的分数指数幂的意义：设a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1，规定(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．5．有理指数幂的运算性质： ①a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q)；②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q)；③(ab )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．(二)指数函数及其性质1．函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量．2．指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象和性质(见下表)：(1．如果a x＝N (a ＞0，a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数．记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．对数式的书写格式：(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数log 10N 简记为lg N ；(2)以无理数e ＝2.718 28……为底的对数，叫自然对数，并把自然对数log e N 简记为ln N .2．指数与对数的关系：设a ＞0，且a ≠1，则a x＝N ⇔log a N ＝x .3．对数的性质．(1)在指数式中N ＞0，故0和负数没有对数，即式子log a N 中N 必须大于0；(2)设a ＞0，a ≠1，则有a 0＝1，所以log a 1＝0，即1的对数为0；(3)设a ＞0，a ≠1，则有a 1＝a ，所以log a a ＝1，即底数的对数为1.4．对数恒等式．(1)如果把a b＝N 中的b 写成log a N 形式，则有(2)如果把x ＝log a N 中的N 写成a x 形式，则有log a a x＝x .5．对数的运算性质．设a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，简记为：积的对数＝对数的和；(2)log a M N ＝log a M －log a N ，简记为：商的对数＝对数的差；(3)log a M n＝n log a M (n ∈R)．(四)对数函数及其性质1．函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象、性质(见下表)：函数y＝log a x(a＞1)y＝log a x(0＜a＜1)图象定义域R＋R＋值域R R单调性增函数减函数过定点(1,0)(1,0)(1)当a＞1时，若x＞1，则log a x＞0，若0＜x＜1，则log a x＜0；(2)当0＜a＜1时，若0＜x＜1，则log a x＞0，若x＞1，则log a x＜0.3．函数y＝a x与y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(五)幂函数1．形如y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中α为常数．只研究α为有理数的情形．3．幂函数的性质．(1)幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)当α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸；当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸．(3)当α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．4．图象形状：当α＞0(α≠1)时，图象为抛物线型；当α＜0时，图象为双曲线型；当α＝0,1时，图象为直线型．1．正数的分数指数幂的意义：设a>0，m，n∈N*，n>1，规定：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．2．有理指数幂的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．答案：12 011►跟踪训练解析：由平方差公式化简即得答案．答案：－27答案：－6a指数幂的运算3．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值是________．答案：131．设a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x ；a log a N ＝N; log a a x＝x .2．设a >0，a ≠1, M >0，N >0 ，则有 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，(2)log a M N＝log a M －log a N ，(3)log a M n＝n log a M (n ∈R)．3．设a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，则log a x ＝log b xlog b a.设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100解析：由2a ＝5b＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10，又∵m ＞0，∴m ＝10.答案：A►跟踪训练4．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3解析：α＋1＝2，故α＝1，选B. 答案：B指数与对数运算5．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1C ．2D ．4解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 答案：C6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，2x，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( ) A ．4 B.14C ．－4D ．－147．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析：答案：121．指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的定义域是R ，值域是()0，＋∞，过定点(0,1)．当a >1时，指数函数y ＝a x 是R 上的增函数；当0<a <1时，指数函数y ＝a x是R 上的减函数．2．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域是()0，＋∞，值域是R ，过定点(1,0)． 当a >1时，对数函数y ＝log a x 是()0，＋∞上的增函数；当0<a <1时，对数函数y ＝log a x 是()0，＋∞上的减函数．函数y ＝1log 0.54x －3的定义域为( )指数函数与对数函数的性质A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) 解析：由log 0.5(4x －3)＞0且4x －3＞0可解得34＜x ＜1，故A 正确．答案：A►跟踪训练8．函数y ＝2x 的图象大致是()答案：C9．函数f (x )＝lg(x －1)的定义域是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞) 解析：x －1＞0，得x ＞1，选B. 答案：B10．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案：A研究由基本初等函数的和与差等运算构成的新函数的性质时，必须明确各基本初等函数的相关性质．设函数的集合P ＝f (x )＝log 2(x ＋a )＋研究基本初等函数及其组合的性质A ．4个B ．6个C ．8个D ．10个解析：当a ＝0，b ＝0；a ＝0，b ＝1；a ＝12，b ＝0; a ＝12，b ＝1；a ＝1，b ＝－1；a ＝1，b ＝1时满足题意，选B.答案：B►跟踪训练11．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x的定义域均为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数解析：f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x＝－g (x )． 答案：BA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案：B13．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R)是偶函数，则实数a ＝________.解析：由条件知，g (x )＝e x ＋a e －x为奇函数，故g (0)＝0，得a ＝－1. 答案：－1数形结合的思想方法是根据数量与图形的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种思想方法．转化与化归的思想方法则是将问题不断转化，直到转化为比较容易解决或已经解决的问题．而分类讨论的核心是通过增强条件来分情况逐一研究，使问题易于解决．一、数形结合思想数学思想方法的应用直线y ＝1与曲线y ＝x 2－||x ＋a 有四个交点，则a 的取值范围是 _______ .解析：曲线y ＝x 2－|x |＋a 关于y 轴对称，当x ≥0时，y ＝x 2－x ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋a －14，结合图象要使直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －14＜1，解得1＜a ＜54.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54►跟踪训练14．已知c ＜0，下列不等式中成立的一个是( )A ．c ＞2cB ．c ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12cC ．2c ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12cD ．2c＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12c解析：在同一直角坐标系下作出y ＝x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝2x 的图象，显然c ＜0时，x ＜2x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，即c ＜0时，c ＜2c＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12c .答案：C15．下列函数图象中，正确的是( )答案：C16．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，y ＝f (x )是减函数，并且f (1)>0>f (2)，则方程f (x )＝0的实根的个数是_________个．答案：2二、转化与化归的思想设a ＝333＋1334＋1，b ＝334＋1335＋1，试比较a 、b 的大小． 解析：如果比较a －b 与0或a b与1的大小，即用作差法、作商法来做，较繁杂、不易判断．由于a 、b 两数的结构特点可构造函数f (x )＝3x ＋13x ＋1＋1，则a ＝f (33)，b ＝f (34)，若能判断出此函数的单调性，那么就可简捷地比较出a 、b 的大小．f (x )＝3x ＋13x ＋1＋1＝3x ＋1＋333x ＋1＋1＝3x ＋1＋1＋233x ＋1＋1＝13＋233x ＋1＋1. ∵3x ＋1在R 上递增，∴233x ＋1＋1在R 上递减． ∴ f (x )＝13＋233x ＋1＋1在R 上递减． ∴ f (33)＞f (34)，即a ＞b .►跟踪训练17．解方程：(lg 2x )·(lg 3x )＝lg 2·lg 3.解析：原方程可化为(lg 2＋lg x )(lg 3＋lg x )＝lg 2·lg 3，即lg 2x ＋lg 6·lg x ＝0，解得lg x ＝0或lg x ＝－lg 6.∴x ＝1或x ＝16， 经检验x ＝1，x ＝16都是原方程的解． ∴原方程的解为x 1＝1或 x 2＝16.18．比较log 0.30.1和log 0.20.1的大小．解析：log 0.30.1＝1log 0.10.3＞0， log 0.20.1＝1log 0.10.2＞0. ∵log 0.10.3＜log 0.10.2，∴log 0.30.1＞log 0.20.1.19．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如下图所示．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m 2；③野生水葫芦从4 m 2蔓延到12 m 2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3, 则有t 1＋t 2＝t 3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有 ______________ (填序号)．答案：①②④三、分类讨论思想若a >0，且a ≠1，p ＝log a (a 3＋a ＋1)，q ＝log a (a 2＋a ＋1)，则p 、q 的大小关系为( )A ．p ＝qB ．p <qC ．p >qD ．a >1时，p >q ；0<a <1时，p <q解析：要比较p 、q 的大小，只需先比较a 3＋a ＋1与a 2＋a ＋1的大小，再利用对数函数的单调性．而决定a 3＋a ＋1与a 2＋a ＋1的大小的a 值的分界点为使(a 3＋a ＋1)－(a 2＋a ＋1)＝a 2(a －1)＝0的a 值：a ＝1，当a >1时，a 3＋a ＋1>a 2＋a ＋1，此时log a (a 3＋a ＋1)>log a (a 2＋a ＋1)，即p >q .当0<a <1时，a 3＋a ＋1<a 2＋a ＋1，此时log a (a 3＋a ＋1)>log a (a 2＋a ＋1)，即p >q .可见，不论a >1还是0<a <1，都有p >q .答案：C►跟踪训练20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0. 若f (a )＝12，则a ＝( ) A ．－1 B. 2C ．－1或 2D ．1或－ 2解析：讨论a >0和a ≤0两种情况．答案：C21．已知函数f (x )＝log a x 在[2，π]上的最大值比最小值大1，则a 等于( ) A.2π B.π2C.2π或π2D ．不同于A 、B 、C 答案解析：研究函数的最值需考查函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a 的取值有关，故应对a 进行分类讨论．(1)当a >1时，f (x )在[2，π]上是增函数，最大值是f (π)，最小值是f (2)，据题意，f (π)－f (2)＝1，即log a π－log a 2＝1，∴a ＝π2. (2)当0<a <1时，f (x )在[2，π]上是减函数，最大值是，最小值是f (π)，故f (2)－f (π)＝1，即log a 2－log a π＝1，∴a ＝2π. 由(1)(2)知，选C.答案： C22．已知f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2试比较f (x )和g (x )的大小．解析：f (x )－g (x )＝log x 3x 4. (1)当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，3x 4＞1⇒x ＞43，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1⇒0＜x ＜1，即x >43或0<x <1时，f (x )>g (x )． (2)当3x 4＝1即x ＝43时，f (x )＝g (x )． (3)当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，0＜3x 4＜1⇒1＜x ＜43，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1⇒x ∈∅，即1<x <43时，f (x )＜g (x )． 综上所述：①当x ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，f (x )＞g (x )； ②当x ＝43时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43时，f (x )＜g (x )．23．已知f (x )＝log a (a x －1)(a ＞0且a ≠1)．(1)求定义域；(2)讨论函数的单调区间．解析：(1)由a x －1＞0⇒a x ＞1，当a ＞1时，函数定义域为(0，＋∞)，当0＜a ＜1时，函数定义域为(－∞，0)．点评：底数含字母a ，要进行分类讨论．。

高一上学期数学知识点小结高一上学期，学生们在数学课上接触到了许多新的知识点和概念。

这些知识点对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力至关重要。

在本文中，将会对高一上学期数学课程中的一些重要知识点进行小结。

一、代数与函数1. 多项式函数：学生们学习了多项式函数的定义、性质以及多项式的运算法则。

他们了解了多项式的次数和根的概念，并学习了如何求解方程和不等式。

2. 一次函数与二次函数：学生们通过研究一次函数和二次函数的图像，掌握了它们的基本特征和变化规律。

他们学会了求解一次方程和二次方程，并应用函数的相关知识解决实际问题。

3. 指数与对数：学生们学习了指数和对数的基本运算法则，并研究了指数函数和对数函数的图像和性质。

他们了解了指数函数和对数函数在科学、经济等领域中的应用。

二、几何1. 平面几何：学生们学习了平面几何中的基本概念和性质，包括直线、角、三角形、四边形等。

他们熟练掌握了求解直线和平面几何问题的方法，并能够运用这些知识进行推理和证明。

2. 空间几何：学生们学习了空间几何中的基本概念和定理，包括点、直线、平面、立体图形等。

他们能够应用空间几何知识解决与现实生活相关的问题，并能够进行几何证明。

三、概率与统计1. 概率：学生们学习了概率的基本概念和性质，包括随机事件、样本空间、概率的计算等。

他们能够运用概率知识进行问题的分析和解答，并了解概率在生活中的应用。

2. 统计：学生们学习了统计的基本概念和方法，包括数据的收集、整理和展示等。

他们能够运用统计知识进行数据的分析和解释，并了解统计在科学研究和社会调查中的作用。

四、数学建模数学建模是高中数学的重要组成部分，通过数学建模，学生们能够把数学知识应用到实际问题中，培养他们的问题解决能力和创新思维能力。

在高一上学期，学生们尝试了一些简单的数学建模问题，例如：通过建立函数模型来解决实际问题，利用统计方法分析数据并做出预测等。

这些实践培养了学生们的逻辑思维和团队合作能力。

小结与复习一.三维目标1.知识与技能（1）理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系.（2）能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题.2.过程与方法通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质.3.情感、态度、价值观（1）提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构.（2）培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力.二.重点、难点重点：指数函数与对数函数的性质。

难点：灵活运用函数性质解决有关问题。

三、学法与教具1、学法：讲授法、讨论法。

2、教具：投影仪。

四、教学设想1、回顾本章的知识结构2、指数与对数指数式与对数式的互化幂值真数b N log N ＝ b指数←→对数值提问：在对数式中，a ，N ，b 的取值范围是什么？例1：已知54log 27＝a ，54b ＝3，用108,log 81a b 表示的值解法1：由54b ＝3得54log 3＝b∴108log 81＝5454log 81log 108＝54545454log 27log 3log 212log 272a b a b a+++==+-- 解法2：由54log 275427a ==得设108log 81,10881x x ==则所以21(5427)327x-⨯=⨯即：2(5454)5454a x b a -⨯=⨯ 所以25454,2x axa b x ax a b -+=-=+即 因此得：2a b x a +=- （1）法1是通过指数化成对数，再由对数的运算性质和换底公式计算结果.法2是通过对数化成指数，再由指数的运算性质计算出结果，但法2运算的技巧性较大。

2．指数函数与对数函数问题1：函数log x x a y a y ==与中,a与x 分别必须满足什么条件.问题2：在同一直角坐标系中画出函数log x x a y a =与的图象，并说明两者之间的关系. 问题3：根据图象说出指数函数与对数函数的性质.例2：已知函数()y x 的图象沿x 轴方向向左平移1个单位后与()3xf x =的图象关于直线y x =对称，且(19)2g a =+，则函数3(01)ax y x =<≤的值域为 .分析：函数3x y =关于直线y x =对称的函数为3log (1)y x =-∴33(19)log 182log 2g ==+∴3log 23log 2,3(3)2ax x a y x =∴===∵(0,1],(1,2]x y ∈∈则小结：底数相同的指数函数与对数函数关于y x =对称，它们之间还有一个关系式子：log (1,0,0)a N a N a a N =≠>>例3：已知1()log (01)1a x f x a a x+=>≠-且 （1）求()f x 的定义域（2）求使()0f x >的x 的取值范围分析：（1）要求1()log 1a x f x x+=-的定义域， 则应有10101010101x x x x x x +>+<⎧⎧+>⇔⎨⎨->-<-⎩⎩或 （2）注意考虑不等号右边的0化为log 1a ，则（2）小题变为1log log 1,1a a x x +>-再分a>1和0<a<1两种情况分别求出1110111x x x x++><<--和. 建议：通过提问由学生作答课堂小结：1．指数与对数实质上只是同一数量关系的两种不同的形式，它们之间可以互化，这种等价互化也是指数运算和对数运算的常用方法.2．底数相同的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于y x =对称，它们在各自的定义域内增减性是一致的，通过函数图象，利用数形结合，记作指数函数与对数函数的性质.。