贵州省遵义市第四中学2020学年高二数学上学期第一次月考试题 理

遵义四中2016～2017学年度第一学期9月月考试卷高二数学第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，把答案填涂在答题卡相应位置1．已知集合{|21}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则A B =（ ） A ．{|01}x x << B ．{|01}x x ≤< C ．{|11}x x -<≤ D ． {|21}x x -<≤ 2．0sin210=（ ）A ．12 B ．12- C ．32 D ．32- 3．下列命题中正确的个数为（ ）①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；③用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好． A ．1 B ．2 C ．3 D ．04．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A S 和B S ，则（ ）A ．B A B A S S x x <>, B ．,A B A B x x S S >>C ．,A B A B x x S S <>D ．,A B A B x x S S << 5．执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的（ ）A. 67B. 49C. 89D. 10116．二进制数1101(2)化为五进制数为（ ）A 、32(5)B 、23(5)C 、21(5)D 、12(5)7．根据秦九韶算法求1x =-时432()4361f x x x x x =+-+-的值，则2v 为 （ ） A.1- B.5- C.21 D.22- 8．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．2 9．等差数列{}n a 中，如果42a =，那么26a a 的最大值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．函数2()sin sin()3f x x x π=+-图象的一条对称轴为（ ） A ．2x π=B ．x π=C ．6x π=D ．3x π=11.在三棱柱111ABC A B C -中,ABC ∆是等边三角形，⊥1AA 平面ABC ,2=AB ,21=AA ，则异面直线1AB 和1BC 所成角的正弦值为（ ） A ．1 B ．77 C ．12D ．32 12．已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ）A ．(4,16)B ．(0,12)C ．(9,21)D ．(15,25)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13．右边的程序中, 若输入5x =，则输出的y = ． 14．用辗转相除法求两个数323、893的最大公约数是__________.15．某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号，…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第10组抽出的号码应是_________． 16．在直径AB ＝2的圆上有长度为1的动弦CD ，则BD AC ⋅的最大值是 ．三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 [)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[)115,125频数 62638228（1）作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标值的平均数及中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,保留一位小数）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足1(1)2n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设函数13()log f x x =，12()()()n n b f a f a f a =+++…，求1231111n nT b b b b =++++…．19．已知在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且0)cos(3sin 22=++C B A . （1）求角A 的大小； （2）若ABC ∆的面积S a ==求sin sin B C +的值.20．在一段时间内，某种商品价格x （万元）和需求量y 之间的一组数据为：（2）如果x 与y 之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当价格定为 1.9万元，需求量大约是多少？（精确到0.01）参考数据：8.1=x ，4.7=y ，6.16512=∑=i i x ，6251=∑=i i i y x ，2.53)(512=-∑=i i y y61.428.21≈参考公式：相关系数∑∑∑===-⋅---=ni ni iini iiy yx x y yx x r 11221)()())((回归方程x b a yˆˆˆ+= 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．22．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．x byaˆˆ-=∑∑==---=niiniiixxyyxxb121)())((ˆ参考答案1．B【解析】试题分析：解二次不等式可得,故选B.考点：1、集合的基本运算；2、二次不等式.2．B【解析】试题分析：由题意得，，故选B．考点：诱导公式、三角函数求值．3．A【解析】试题分析：根据“残差”的意义、线性相关系数和相关指数的意义，即可作出正确的判断．解：根据线性相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，判断①错误；根据比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果就越好，判断②正确；根据用相关指数R2刻画回归的效果时，R2的值越大说明模型的拟合效果就越好，判断③错误；综上，正确的命题是②．故选：A．考点：相关系数．4．A【解析】试题分析：由图象，得；故选A．考点：样本的数字特征．【思路点睛】本题考查样本的数字特征、折线图和学生的识图能力；样本平均数反映的是样本数据的平均水平，比较两图象中各点的纵坐标，可得两样本的平均数的大小关系，样本方差或标准差反映的是样本数据的稳定性和集中性，由图象中的各点的集中程度可比较两样本的标准差的大小关系. 5．B【解析】试题分析：当i=2时，,i=4；当i=4时，,i=6；当i=6时，，i=8；当i=8时，,i=10；不满足循环的条件i≤8，退出循环，输出S=,故选B．考点：程序框图6．B【解析】试题分析：利用二进制化为十进制和十进制化为其它进制的“除5取余法”方法即可得出,1101（2）=1×23+1×22+0+1×20=13（10） ,再由“除5取余法”得13,即化成5进制是23（5）,故选B考点：进位制的转化规则7．B【解析】试题分析：，考点：秦九韶算法8．D【解析】试题分析：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是，下底是，垂直于底边的腰是，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是，∴四棱锥的体积是，故选D．考点：由三视图求面积、体积.【方法点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，在三个图形中，俯视图确定锥体的名称，即是几棱锥，正视图和侧视图确定锥体的高，注意高的大小，容易出错．几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是，下底是，垂直于底边的腰是，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是，侧视图是最不好理解的一个图形，注意图形上底虚线部分，根据体积公式得到结果．9．B【解析】试题分析：由等差数列的性质及，得，由题意可知当为正时，最大，且，即，当且仅当时，取最值，故选项为B.考点：（1）等差数列的性质；（2）均值不等式.10．D【解析】试题分析：，故选D.考点：三角函数的图象与性质.11．A【解析】试题分析：如图，作交的延长线于，连接，则就是异面直线和所成的角（或其补角），由已知，，，由知，所以异面直线和所成的角为直角，正弦值为1．故选A．考点：异面直线所成的角．12．B【解析】试题分析:在平面直角坐标系中，作出函数的图象如图所示：因为存在实数，，，，满足，且，所以由图象知：，，，，当时，直线与函数的图象有个交点，直线越往上平移，的值越小，直线直线越往下平移，的值越大，因为当时，，当时，，所以的取值范围是，故选B．考点：函数的图象．13．2【解析】试题分析：INPUT的意思就是输入一数，然后作出选择，IF即为假如输入的数小于0，THEN即则执行；ELSE即为假如输入的数大于或等于0时，执行，最后输出结果；本题输入的是，所以执行，即。

贵州省遵义四中2020┄2021学年高二上学期第一次月考（文）化学试卷时间：60分钟满分：100分出题人：申妮审核人：刘艳可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Mg-24 Al-27 Fe-56 Zn-65考生注意：将试题答案填写在答题卡上，只交答题卡。

一、单项选择题（每小题只有一个正确选项，每小题2分，共70分）1、下列说法中，正确的是（）A．放热反应的发生均无需加热B．需要加热后才能发生的反应均是吸热反应C．伴有能量变化的都是化学变化D．物质发生化学反应都伴随着能量变化2、下列不属于化学键的是（）A．极性共价键B．非极性共价键C．离子键D．分子间作用力3、危险化学药品要在包装签上印有警示性标志。

酒精应选用的标志是（）4、中国食盐产量居世界首位。

下列实验室的操作类似“海水煮盐”原理的（）A．蒸馏 B．蒸发C．过滤 D．搅拌5、下列实验操作或装置正确的是（）6、将新制的Cu（OH）2加入某人的尿液中，加热煮沸后，若观察到砖红色沉淀，则此人尿液中含有（）A．醋酸 B．葡萄糖 C．蛋白质 D．食盐7、甲烷与氧气的质量之比为1：2时极易爆炸，此时甲烷与氧气的体积比是（）A．1：1 B．2：1 C．1：2 D．1：48、将30mL 0.5mol/L NaOH溶液稀释到500mL，稀释后溶液中NaOH的物质的量浓度为（）A．0.03mol/L B．0.3mol/L C．0.4mol/L D．0.04mol/L9、在一定温度和压强下，气体体积的大小主要决定于（）A．气体分子的数目 B．气体分子相对分子质量C．气体分子间的间距 D．气体分子的大小10、下列说法正确的是（）A．22.4 L O2中一定含有6.02×1023个氧分子B．将80 g NaOH溶于1 L 水中，所得溶液中NaOH的物质的量浓度为2 mol/L C．18 g H2O在标准状况下的体积是22.4 LD．在标准状况时，20 mL NH3与60 mL O2 所含的分子个数比为1：311、下列各组物质中，全部属于纯净物的是（）A．小苏打、空气、浓硫酸 B．碘酒、Mg、Ca（OH）2C．CuSO4•5H2O、生石灰、乙醇 D．H2O、淀粉胶体、苏打12、下列电离方程式中，正确的是（）A．H2SO4 = 2H+ + SO4—2B．Ba（OH）2 = Ba2+ + OH2—C．Al2（SO4）3 = 2Al3+ + 3SO42—D．Ca（NO3）2 = Ca2+ + 2（NO3—）13、下列离子方程式中，正确的是（）A．稀硫酸滴在铜片上：Cu+2H+ = Cu2+ + H2↑B．铜片擦入硝酸银溶液中：Cu + 2Ag+ = 2Ag + Cu2+C．稀硫酸与氢氧化钡溶液混合：H+ + SO42— + OH— + Ba2+ = BaSO4↓+ H2OD．氧化铜与硫酸混合：O2—+ 2H+ = H2O14、下列各组中的离子，能在溶液中大量共存的是（）A．Mg2＋、H＋、C1—、OH—B．Na＋、Ba2＋、CO32-、NO3—C．Na＋、H＋、Cl—、CO32- D．K＋、Cu2＋、NO3—、SO42—15、下列有关氧化还原的反应中，正确的是（）A．一定有氧元素参加B．氧化还原反应中一定有电子转移C．电解质溶液导电过程发生氧化还原反应D．元素由化合态转化为游离态时，该元素一定被还原16、下列反应中，属于氧化还原反应的是（）A．CaCO3 + 2HCl ＝ CaCl2 + H2O + CO2↑B．SO2 + H2O ＝ H2SO3C．Cl2 + 2NaOH ＝NaCl + NaClO + H2OD．NaBr + AgNO3＝AgBr↓+NaNO317、碘酒是一种常用的外用消毒药，关于它的消毒原理说法正确的是（）A．氧化细菌，使蛋白质变性 B．溶解细菌C．使细菌缺氧而死 D．使细菌缺水而死18、取一小块钠放在玻璃燃烧匙里加热，下列实验现象正确的是（）①金属先熔化②在空气中燃烧火焰呈黄色③燃烧时火星四射④燃烧后生成淡黄色固体⑤燃烧后生成白色固体A．①②④ B．①②③C．①②⑤ D．①③⑤19、下列物质既能与酸反应，又能与碱反应的是（）A．NaHCO3B．Mg C．HCl D．NaOH20、如图所示的实验中，投入铝片后（）A．①中产生气泡，②中不产生气泡B．①和②中都产生气泡且都是H2C．①和②中都不产生气泡D．①和②中都产生气泡①中是H2②中是O221、下列说法正确的是（）A．陶瓷、玻璃、水泥都是硅酸盐产品B．水晶、玛瑙、硅胶、硅石的主要成分都是SiO2C．SiO2很稳定，与所有的酸都不反应D．单质硅可以用于计算机芯片和光导纤维22、在冶金工业中，通常用电解法得到钠、镁等金属，其原因是（）A．成本低 B．这些金属很活泼C．它们都是轻金属 D．这些金属的熔点相对较低23、Se是人体必需微量元素，下列关于7834Se和8034Se说法正确的是（）A．7834Se和8034Se互为同素异形体 B．7834Se和8034Se互为同位素C．7834Se和8034Se分别含有44和46个质子 D．7834Se和8034Se都含有34个中子24、下列反应属于放热反应的是（）A．碳还原氧化铜 B．Ba（OH）2• 8H2O晶体与NH4Cl晶体的反应 C．甲烷在空气中燃烧的反应 D．铁与水蒸气反应25、下列物质中，互为同分异构体的是（）A．淀粉和葡萄糖 B．蔗糖和纤维素C．淀粉和纤维素 D．果糖和葡萄糖26、下列各物质中，不能发生水解反应的是（）A．油脂 B．纤维素 C．葡萄糖 D．酶27、鉴别织物成分是真蚕丝还是“人造丝”，在如下①-④的各方法中正确的是（）①滴加浓硝酸②滴加浓硫酸③滴加酒精④灼烧．A．①和③ B．③和④ C．①和④ D．①和②28、在日常生活中，出现了“加碘食盐”、“增铁酱油”、“高钙牛奶”、“富硒茶叶”、“含氟牙膏”等商品。

贵州省遵义市航天高级中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1、若直线经过()()3,4,0,1B A 两点，则直线的倾斜角为（ ）A.30 B.45 C.60 D.120 2、过点()3,1P ，且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A.012=-+y xB.052=-+y xC.052=-+y xD.072=++y x 3、已知,m n 为两条不同的直线, ,αβ为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A. ,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒ B. //,//,//m n m n αβαβ⊂⇒ C. ,//m m n n αα⊥⊥⇒ D. //,n m n m αα⊥⇒⊥4、已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S ，底面周长为C ，则圆柱的体积为（ ）A ．S C π43B ．34C S π C ．π2CSD ．π4CS5、若直线()()213a x a y ++-=与直线()()12320a x a y -+++=互相垂直,则a 等于( )A.1B.1-C.1±D.2- 6、．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的 体积为（ ） A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π俯视图7、在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为AD AB ,的中点， 则异面直线C B 1与EF 所成角的大小为（ ）A. 30B. 45C. 60D.908、 P 是△ABC 所在平面外一点, ,,PA PB PC 两两垂直.且OP ⊥平面ABC 于点 O ,则O 是△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心9、由直线2+=x y 上的点向圆()()12422=++-y x 引切线，则切线长的最小值为（ ）A. 30B. 31C.24D. 33 10、曲线214y x =+- ([]2,2x ∈-)与直线()=-+y k x 24有两个公共点时,则实数k 的取值范围是( ) A. 50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦11、已知定义在R 上的函数()x f 满足()()x f x f -=+1，且当[]1,1-∈x 时，()2x x f =；令()()k kx x f x g --=，若在区间[]3,1-内，方程()0=x g 由4个不相等实根，则实数k 的取值范围是（ ） A.()+∞,0B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,4112、（理科）如图,在120二面角l αβ--内半径为1的圆1O 与半径为2的圆2O 分别在半平面α、β内,且与棱l 切于同一点P ,则以圆 1O 与圆2O 为截面的球的表面积为( )A. 4πB.283π C. 1123π D.4483π（文科）已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，在该球的体积为A. 332πB.π4C.34πD. π2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13、直线043=+-k y x 在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k 的值为 ． 14、四边形ABCD 的直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形D C B A ''''，那么四边形ABCD 的面积为 ．15、如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点， 点F 在边CD 上，且2DC DF =，则AE BF 的值是 ．16、已知六棱锥ABCDEF P -的底面是正六边形，AB PA ABC PA 2=⊥，平面，则下列结论正确的是 ．①AD PB ⊥; ②ABC PAB 平面平面⊥ ③PAE PAB 平面平面⊥ ④直线PAEBC 平面//⑤直线PD 与平面ABC 所成的角为45三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17、（本小题满分10分）图1是由矩形ADEB 、ABC Rt ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中BF BE =，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2． （1）证明：图2中的D G C A ,,,四点共面； （2）证明：BCGE ABC 平面平面⊥。

遵义四中2018—2019学年度第一学期第一次月考高二文科数学 试 卷（满分：150 分，完成试卷时间：120 分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、学籍号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{}{}2,,41≤=∈<<=x x B Z x x x A ，则集合=B A I （ ） A.()1,0 B.(]2,0 C.{}2 D.(]2,1 2、已知n m ,是两条不同的直线, βα,是两个不同的平面,给出下列命题： ①若βα⊥,α//m ,则β⊥m ； ②若α⊥m ,β⊥n ,且n m ⊥,则βα⊥； ③若β⊥m ,α//m ,则βα⊥； ④若α//m ,β//n ,且n m //,则βα//． 其中正确命题的序号是（ ）A.①④B.②④C.②③D.①③ 3、定义一种运算S a b =⊗，在如图所示的框图所表达的算法中揭示了这种运算“⊗”的含义，那么按照运算“⊗”的含义，tan 60tan30cos60cos30S =⊗+⊗=o o o o （ ）A.332+ B.434 C.19312 D.113162+4、与直线0534=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为（ ）A.0534=-+y xB.0534=++y xC.0534=+-y xD.0534=--y x5、直线0932=-+y x 与直线0126=++my x 平行，则两直线间的距离为（ ）A.131321 B.13 C.21 D.13 6、设变量y x ,满足约束条件0024236x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则y x z 34+=的最大值是（ ）A.7B.8C.9D.10 7、《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ） A.4 B.2 C.246+ D.244+8、已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1BB 中点，则异面直线AE 与1DC 所形成角的余弦值为（ ）A.310 B.35 C.10D.15 9、在正四面体ABCD 中，Q 是AB 的中点，则CQ 与平面BCD 所成角的余弦值为（ ）A.32 B.37 C.46 D.41010、直线R y x ∈=++-+λλλλ,0)2()1(恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上，其中0,0>>n m ，则nm 12+的最小值为（ ） A.22 B.4 C.25 D.29 11、已知函数)(x f 是定义在()+∞,0上的单调函数，且对任意的正数y x ,都有)()()(y f x f xy f +=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足))(2()()2(*∈=-+N n f a f S f n n ，则=n a （ ）A.n 2B.nC.12-nD.123-⎪⎭⎫⎝⎛n12、三棱锥ABC S -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2====SC SB SA AB ,则该三棱锥的外接球的体积为( ) A.π2768 B.π934 C.π2734 D.π27332 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知2,1==b a ，a 与b 的夹角为︒60，则=-b a 2 .14、若直线l 过点)3,2(P ，且在两轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程为 . 15、已知直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=，若21l l ⊥，则=m . 16、如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边AB 的中点．将ADE ∆沿DE 翻 折，得到四棱锥1A DEBC -．设线段1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题： ① 总有//BM 平面1A DE ； ② 三棱锥1C A DE -体积的最大值为423； ③ 存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90︒． 其中正确的命题是 ．（写出所有．．正确命题的序号） 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（满分10分）已知直线042:=-+y x l .⑴求与l 垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4直线方程； ⑵求圆心为)4,1(，且与直线l 相切的圆的方程. 18、（满分12分）已知函数x x x x f 2cos 21)6cos()sin()(+--=ππ. ⑴求函数)(x f 的最小值；⑵已知ABC ∆的面积为34，且角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若10,21)(=+=c b A f ，求a 的值.19、（满分12分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足5424211,10,1a b b a a b a ==+==.EFPABC D⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵求和：12531-++++n b b b b Λ.20、（满分12分）某校高二某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，其可见部分如图，据此解答下列问题：⑴求分数在[]60,50的频率及全班人数；⑵求分数在[]90,80之间的频数，并计算频率分布直方图中[]90,80间的矩形的高； ⑶若分数80分及以上的为优秀，求从分数优秀的同学中任选3人，恰有2人分数在[]90,80之间的概率.21、（满分12分）如图所示，ABCD 是正方形，PA ABCD ⊥平面，E F 、是AC PC 、的中点.⑴求证：⊥AC 平面DEF ；⑵若2,1PA AB ==，求三棱锥PED F -的体积．22、（满分12分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，已知21==AB AA ，E D ,分别是BC AA ,1的中点.⑴求证：//AE 平面1DBC ；⑵求直线DB 与平面1BCC 所成角的正弦值.高二数学第一次月考答案（文）二、填空题13、 14、15、16、①②三、解答题17、（1）所以所求直线方程为：（2）因为圆心到直线的距离为18、（1）所以（3）因为又因为且19、（1）20,、（1）由已知可得（2）（3）之间的概率为。

遵义四中第一学期高二半期考试试卷文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合22{|},{|}A x y x B y y x ====，则A B =A ．AB ．BC ．{|0}y y >D ．R2．某校为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二800人、高三1000人中，抽取48人进行问卷调查，则高二被抽取的人数为 A ．8 B ．12 C ．16 D ．24 3．设0.35a =，3log 2b =，5log 0.3c =，则 A ．c<b <aB ． c <a<bC ． a <b <cD ． b<c<a4．已知点(sin ,cos )P αα在第四象限，则角α的终边在A ． 第一象限B ． 第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．在同一个坐标系中画出函数x y a =和sin y ax = 的部分图象，其中a >0且1a ≠,则下列所给图象中可能正确的是6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且526a a -=，39S =，则10a = A ．10 B ．12 C ．19 D ．21 7．在ABC △中，点P 在BC 上，且2BP PC =，若()4,3AB =，()1,5AC =，则PC =A ．()3,2-B ．()3,2-C ．2(1,)3-D ．2(1,)3-8．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm )如右图所示，则该几何体的侧面积为A ．B ．C ．D ．A ．482cmB ．1442cmC ．802cmD ．642cm9．如右图给出的是计算11113533++++的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是 A ．2n n =+，17i > B ．2n n =+，17i = C ．1n n =+，17i > D ．1n n =+，17i =10．从[5,5]-上任取两个数x 、y ，则使得2225x y +≥的A ．14π-B ．4πC ．45D ．1511．已知直线l ：22(sin 1)10x y α+-+=的倾斜角为α，则α的可能取值是A ．4πB ．4π或2πC ．4π或34πD ．34π或2π12．已知函数()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在(0,6)内的实根至少有A ．2个B ．3个C ．5个D ．7个第Ⅱ卷（60分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将每题的答案写在答题卡的相应位置）．13．有4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为奇数的概率是 ． 14．将八进制数32 转化为二进制数是 ．15．若x 、y 满足约束条件1121x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 ．16．边长为2的正方形ABCD ，其内切圆与边BC 切于点E ，内切圆上任意一点F ，则AE AF ⋅取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18—22题每小题12分，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）． 17（本题满分10分）在ABC △中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c ，已知2a =，3A π=．（Ⅰ）若ABC △3，试判断ABC △的形状，并说明理由；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2A B C C +-=且C 为锐角，求ABC △的面积．某校从参加2016年数学能力竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成)50,40[，)60,50[，)70,60[，)80,70[，)90,80[，]100,90[六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求分数在[)80,70内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数． 19．（本题满分12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C ）与该小卖部的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：日 期 1月11日 1月12日 1月13日 1月14日 1月15日平均气温x （°C ） 9 10 12 11 8 销量y （杯）2325302621（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （Ⅱ）根据（Ⅰ）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温7（°C ），请预测该奶茶店这种饮料的销量．（参考公式：121()()ˆˆˆ()niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑，．）在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点．（Ⅰ）求证：DE 平面ACF ；（Ⅱ）若1CE =，2AB =E ACF -的体积．21．（本题满分12分）已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． （Ⅰ）求M 的轨迹方程；（Ⅱ）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程． 22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，)(3,1*11N n a a a a n nn ∈+==+．（Ⅰ）求证：11{}2n a +是等比数列；（Ⅱ）数列{}n b 满足n n n n a nb ⋅⋅-=2)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ．文科数学参考答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

贵州省遵义市2020学年高二数学上学期第一次月考试题 文（无答案）第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选答案填涂在答题卡内相应序号上）1．已知集合{}11|<≤-=x x A ，{}1,0,1-=B ，则B A ⋂＝（ ）（A ）{0，1} （B ）{-1，0} （C ）{0} （D ）{-1，0，1}2．下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）（A ）3y x = （B ）cos y x = （C ）x y tan = （D ）ln y x = 3．某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（ ）（A ）15,5,25 （B ）10,5,30（C ）15,10,20 （D ）15,15,154．如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2x y +的最大值为（ ）（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3 5． 不论m 取何值，直线都过定点（ ）（A ）（-2，1） （B ）（2，1）（C ）（1，-2） （D ）（-1，2）6．某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内为（ ）（A ）k ＞4? （B ）k ＞5?（C ）k ＞6? （D ）k ＞7?7． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1BC 所成的角（ ）（A ）（B ） （C ） （D ） 8.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差绝对值为2的概率是（ ）（A ）21（B ）61（C ）31 （D ）41 9．已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）（A ）,////m n m n αα⊂⇒ （B ）,m n m n αα⊂⊥⇒⊥（C ） ,n n βααβ⊂⊥⇒⊥ （D ）,//,////m m l l αββααβ⊂⊂⇒，第6题图第7题图10. 已知点，若直线与线段AB 相交，则k 的取值范围是 （A ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 （B ）(]2,-∞-（C ）()⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∞-,212,Y （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,2 11．若三棱锥ABC P -的所有顶点都在球O 的球面上,ABC ∆是边长为的正三角形，且⊥PA 平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）（A ）48π（B ）43π（C ）（D ）323π 12．已知函数()x f 满足()()x f x f -=π，且当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 时，()x e x f x sin +=，则（ ） （A ）()()()213f f f <<（B ）()()()321f f f << （C ）()()()132f f f << （D ）()()()123f f f <<第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡内相应横线上）13．已知关于x 的偶函数函数b ax x x f +-=2)(的图像经过点（2,3），则()x f 的零点为______．14．若直线0=++c by ax 的斜率3-=k ，倾斜角为α，则=αsin ______．15．某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的表面积是______．16.在中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且A,B,C 成等差数列，则的取值范围为_____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，只写答案不给分.）17．（本小题满分10分）已知(3sin ,1)a x =r ，(cos ,2)b x =r ．（1）若//a b r r ，求x tan 的值；第15题图（2）若()()f x a b b =-⋅r r r，求()f x 的单调递增区间．18. （本小题满分12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 为D A 1的中点.（1）求证：//1B A 平面AFC ；（2）求证：平面⊥D B A 11平面AFC .19. （本小题满分12分）2020 年“国庆”期间，高速公路车辆较多。

2017-2018学年贵州省遵义市第四中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}()(){}2|4,|310M x x N x x x =<=-+< ,则集合M N ⋂=A. {}|2x x <-B. {}3x x C. {}|12x x -<< D. {}|23x x << 【答案】C【解析】M ={}2|4x x <={}|22,x x -<<N =()(){}|310x x x -+<={|13}x x -<<,∴{}|12M N x x ⋂=-<<. 故选C.2．若任取[]0,1x y ∈、,则点(),P x y 满足y x >的概率为 A.23 B. 13 C. 12 D. 34【答案】C【解析】由题意可得[]0,1x y ∈、所对应区域为边长为1的正方形,面积为1,记“点P (x ,y )满足y >x 为事件A ,则A 包含的区域满足01{0 1 x y y x≤≤≤≤>，如图：根据几何概型的概率计算公式可知P =11112112⨯⨯=⨯.故选C.3．在ABC 中， AB c = ， AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ ）A.2133b c + B. 5233c b - C. 2133b c - D. 1233b c + 【答案】A【解析】试题分析：，故选A ．【考点】向量的加减运算．4．已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的半径为1,则该几何体的体积为A. 24-3π2 B. 24-π3 C. 24- π D. 24-π2【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是一个长方体挖去了半个圆柱，V =21243π132⨯⨯-⨯⨯⨯=3π24.2-故选A.5．将二进制数10001(2)化为五进制数为( ) A ．32(5) B ．23(5) C ．21(5) D ．12(5) 【答案】A【解析】将10001(2)化为十进制数为：10001(2)＝1×24＋0×23＋0×22＋0×21＋1×20＝17， 将17化为五进制数为32(5)， ∴10001(2)＝32(5)6．点P 在平面ABC 外,若P A =PB =PC ,则点P 在平面ABC 上的射影是ABC 的 A. 外心 B. 重心 C. 内心 D. 垂心 【答案】A【解析】过点P 作平面ABC 上的射影O ,由题意P A =PB =PC, ∵PO ⊥平面ABC ,∴PAO PBO PCO ≅≅ , ∴AO BO CO ==, ∴O 是ABC 的外心.7．设动点(),P x y 满足条件1{1 0x y x y ≤≤+≥,则z x y =-取得最大值时,点P 的坐标是 A. ()0,0 B. ()1,1- C. ()1,1- D. ()1,1 【答案】B【解析】作出约束条件1{1 0x y x y ≤≤+≥表示的平面区域如图所示:平移直线y x z =-，当直线l 经过点B (1,-1)时, z 取最大值. 故选B.8．设m n 、是两条不同的直线, αβ、是两个不同的平面.下列四个命题中,正确的是 A. ,,m n αβαβ⊂⊂ ,则m n B. αβ⊥, m β⊥,则m α⊂ C.,,,m n m n αβαβ⊥⊂⊂⊥则 D. ,,m n αββα⊥ , 则m n ⊥【答案】D【解析】A. ,,m n αβαβ⊂⊂ ,则m n 、平行或异面,选项错误; B. αβ⊥, m β⊥,则m α⊂,m 也可以与α平行，选项错误;C.根据面面垂直的性质可知,选项错误.D. ,,m n αββα⊥ , 则m n ⊥，正确.故选D.9．如图的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,二面角D 1-AB-D 的大小是A. 300B. 450C. 600D. 900【解析】连接1AD ,有： 1AB AD ⊥, AB AD ⊥ 则1DAD ∠即为所求二面角的平面角， 易知1DAD ∠=45︒.故选B.点睛：本题考察了二面角的求法,属于基础题,作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.10．函数()f x =sin x +sin (2π3-x )图象的一条对称轴为 A. π2x = B. πx = C. x =π6 D. π3x =【答案】D【解析】()2πs i n si n3fx x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭= 1sin sin 2x x x +=3sin 2x x +π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 令π,62x k k Z ππ+=+∈，解得π,3x k k Z π=+∈，当0k =时， π3x =. π3x =是对称轴. 故选D.点睛：研究三角函数()()f x Asin x ωϕ=+的性质，最小正周期为2πω，最大值为A .求对称轴只需令π2,2x k k Z ωϕπ+=+∈，求解即可， 求对称中心只需令,x k k Z ωϕπ+=∈，单调性均为利用整体换元思想求解.11．在三棱柱111ABC A B C -中, ABC 是等边三角形, 1AA 平面1,2,2A B C A B ==,则异面直线1AB 和1BC 所成角的正弦值为A. 1B.C. 12D.【解析】如图，作1//BD AB 交11A B 的延长线于D ，连接1DC ，则1DBC ∠就是异面直线1AB 和1BC 所成的角（或其补角），由已知6BD ==，11BC C D =，由22211BD BC C D +=，知190,DBC ∠=∴ 异面直线1AB 和1BC 所成的角为直角，正弦值为1，故选A.【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角立体几何解题的“补型法”，属于难题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.12．若函数()()f x g x 、分别是R 上的奇函数、偶函数,且满足()()f x g x -=e x ,则有 A. ()()()230f f g << B. ()()()023g f f << C. ()()()203f g f << D. ()()()032g f f << 【答案】B【解析】因为函数()()fx g x 、分别是R上的奇函数、偶函数,且满足()()f x g x -=e x ,所以()()f x g x --=ex-,所以()()e e e e ,22x x x x f x g x ---+==-,且()e e 2x x f x --=为增函数. ()()()0102?3g f f =-<<<.故选B.点睛：本题主要考查函数解析式的求法，函数奇偶性的应用，单调性的应用. 通过函数的奇偶性构建. ()()f x g x 、的方程组，进而求解方程组得函数解析式. 通过函数的单调性的性质，由增函数减去减函数为增函数易知函数为增函数，即可比较大小.13．过点()()0,1,2,0A B 的直线的方程为__________. 【答案】x +2y -2=0【解析】由两点式得,直线方程为101,020y x --=--即220.x y +-= 答案为： 220.x y +-=14．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是32π3,则这个三棱柱的体积是________.【答案】 【解析】由34π3r =32π3,得2r =.所以正三棱柱的高为4, 由已知得底面正三角形的重心到边的距离为2,设底面边长为1,32a a=2, 所以a=所以V(24=答案为：点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般内切球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于内切球的性质，球心到各面距离相等计算即可，当球心位置不好确定时，可以用等体积法求球半径. 15．已知函数()f x =211214x x+++,若()f a =1,则()f a -=_____. 【答案】2【解析】因为()f x =211214x x+++, 所以()()fx+-=212112141214x x x x--+++++++=()22222443,222244x x xxx xx x----+++++=++++ 因为()f a =1,所以()f a -=2. 答案为：2.16．如图，在三棱锥A BCD -中，2BC DC AB AD BD ====，平面ABD ⊥平面,BCD O 为BD 中点， ,P Q 分别为线段,AO BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为_________.【答案】48【解析】试题分析：设(),0,1AP x x =∈，因为O 为BD 中点， AD AB ==以AO BD ⊥，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以AO ⊥平面BCD ，所以PO 是三棱锥P QCO -的高，1AO =，所以1,(0O Px x =-<<，在B C O ∆中，1BC OB ==，所以1OC =，所以045OCB ∠=，所以，所以()()21211332P OCQOCQ x x V PQ S x x x -∆+-⎫=⋅=⨯-=-≤=⎪⎝⎭，当且仅当12x =时取等号，所以三棱锥体积的最大值为48.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【方法点晴】本题主要考查了结合体的体积的最值的求法，其中解答中涉及到直线与平面垂直的判定定理和平面与平面垂直的性质定理，以及几何体的体积公式和基本不等式的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，解答中正确利用线面位置关系，以及数量关系表示出几何体的体积是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题17．在ABC ∆中,角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且满足()()sin sin a b A B --=sin sin c C a B -． (1)求角C 的大小;(2)若c.ABC ABC ∆∆且求的周长 【答案】(1)C =π3.(2)5+ 【解析】试题分析：(1)利用正弦定理将已知条件中角的关系都转化成边的关系,然后利用余弦定理求解; (2)利用面积公式S = 1sin 2ab C ,先求出,ab 再利用余弦定理求出a b +. 试题解析：(1)由题意知()()sin sin a b A B --= sin sin ,c C a B - 由正弦定理可知, ()()2a b a b c --=-ab,化简可得222a b c +-=ab,利用余弦定理cos C=222a b c ab+-=12,C =π3. (2)S=1sin 2ab C = 由(1)知sin 2C =,ab=6, 结合余弦定理得,cos C=222a b c ab +-=()222a b ab c ab+--=1,2则5,a b +=所以ΔABC的周长518．函数()f x 是实数集R 上的奇函数,当0x >时, ()2log 3f x x x =+-. (1)求()1f -的值和函数()f x 的表达式;(2)求证:方程()0f x =在区间()0,∞+上有唯一解.【答案】(1)f (x )＝()22log 3,0{0,0 log 3,0x x x x x x x -++<=++>;(2)见解析.【解析】试题分析：(1)根据函数的奇偶性,利用()()11f f --＝即可解答;根据奇函数的性质求出()f x 的解析式,特别注意当0x ＝时, ()00f ＝;(2)因为()2f ＝log 2223+-＝0,所以方程()0f x ＝在区间()0,∞＋上有根2x ＝.然后根据函数的单调性证明解的唯一性即可. 试题解析：(1)函数f (x )是实数集R 上的奇函数. 所以f (-1)＝-f (1).因为当x ＞0时,f (x )＝log 2x ＋x -3,所以f (1)＝log 21＋1-3＝-2. 所以f (-1)＝-f (1)＝2.当x ＝0时,f (0)＝f (-0)＝-f (0),解得f (0)＝0,当x ＜0时,-x ＞0,所以f (-x )＝log 2(-x )＋(-x )-3＝log 2(-x )-x -3. 所以-f (x )＝log 2(-x )-x -3,从而f (x )＝-log 2(-x )＋x ＋3.所以f (x )＝()22log 3,0{0,0 log 3,0x x x x x x x -++<=++> (2)因为f (2)＝log 22＋2-3＝0,所以方程f (x )＝0在区间(0,＋∞)上有解x ＝2. 易知()2log 3f x x x =+-在区间(0,＋∞)上为增函数，由零点存在性定理可知,方程f (x )＝0在区间(0,＋∞)上有唯一解.点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数()f x 在[],a b 上单调且()()0f a f b ⋅<，则()f x 在(),a b 上只有一个零点. 19．已知函数()f x = ()2πcos 2cos23x x x ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭R (1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)△ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2B f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-b =1, c=且a >b ,试求角B 和角C .【答案】(1)[k π﹣π12,k π+5π12],x ∈Z;(2)B =π6,C =π3. 【解析】试题分析：(1)利用辅助角公式将函数进行化简,然后根据正弦型函数的单调性的求法解答; (2) 2B f ⎛⎫⎪⎝⎭=即可求出,B ∠然后利用正弦定理求出C .并加以检验. 试题解析： (1)f (x )=cos(2x ﹣2π3)﹣cos2xx ﹣32cos 2xx ﹣π3), 令2k π﹣π2≤2x ﹣π3≤2k π+π2, k ∈Z,解得:k π﹣π12≤x ≤k π+5π12, k ∈Z, 则函数f (x )的递增区间为[k π﹣π12,k π+5π12], k ∈Z;(2)∵f (B )=B -π3)=∴sin(B ﹣π3)=﹣12, ∵0＜B ＜π,∴﹣π3＜B ﹣π3＜2π3, ∴B ﹣π3=﹣π6,即B =π6,又b =1,c∴由正弦定理sin b B =sin c C 得:sin C =sin c B b ∵C 为三角形的内角,∴C =π3或2π3, 当C =π3时,A =π2;当C =2π3时,A =π6 (不合题意,舍去),则B =π6,C =π3.20．如图,在△ABC 中,BC 边上的高AM 所在的直线方程为x -2y +1=0,∠A 的平分线所在的直线方程为y =0与BC 相交于点P ,若点B 的坐标为(1,2).(1)分别求AB 和BC 所在直线的方程; (2)求P 点坐标和AC 所在直线的方程． 【答案】(1) 240x y +-=.(2) 10.x y ++=【解析】试题分析：(1)由210{ 0x y y -+==得顶点()1,0A -,再根据点斜式方程求出AB所在直线的方程,根据垂直的条件求出直线BC 的斜率,再根据点斜式方程求出BC 所在直线的方程. (2)由0{240y x y =+-=得()2,0P , 由于x 轴是A ∠的角平分线,故AC 的斜率为1-, 再根据点斜式方程求出AC 所在直线的方程. 试题解析：(1)由210{ 0x y y -+==得顶点()1,0A -. 又AB 的斜率AB k =()2011---=1. 所以AB 所在直线的方程为1y x =+,即10x y -+=,BC 边上的高AM 所在的直线方程为210x y -+=,所以直线BC 的斜率为2-,所在的直线方程为()221y x -=--.即240x y +-=.(2)由0{ 240y x y =+-=得()2,0.P因为x 轴是A ∠的平分线,故AC 的斜率为1,AC -所在直线的方程为y =()1x -+,即10.x y ++=21．如图，边长为4的正方形与矩形所在平面互相垂直，分别为的中点，．（1）求证：平面； （2）求证：平面；（3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】（I ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）存在，【解析】试题分析：（I ）由面面垂直的性质定理可直接证得。

2019-2020学年贵州省贵阳一中高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合(){}lg 10A x x =+≤，{}1B x x =<，则()UA B =（ ）A ．(],0-∞B ．()0,∞+C ．(]()10,-∞-+∞,D ．(]1,0-【答案】C【解析】求出{}|10A x x =-<≤，然后可得{}|10A B x x ⋂=-<≤，然后可得答案. 【详解】全集U =R ，集合(){}{}|lg 10|10,{|1}A x x x x B x x =+≤=-<≤=<, 所以{}|10A B x x ⋂=-<≤. 所以(){|1UA B x x ⋂=≤-或0}x >.故选：C 【点睛】本题主要考查的是集合的运算，较简单.2．用辗转相除法，计算56和264的最大公约数是( )． A ．7 B ．8C ．9D ．6【答案】B【解析】根据辗转相除法计算最大公约数. 【详解】因为26456440,564016,401628,1682=⨯+=+=⨯+=⨯ 所以最大公约数是8，选B. 【点睛】本题考查辗转相除法，考查基本求解能力.3．某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ） A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为6163D ．都相等，且为127【答案】C【解析】抽样要保证机会均等，由此得出正确选项. 【详解】抽样要保证机会均等，故从815名学生中抽取30名，概率为306815163=，故选C. 【点睛】本小题主要考查简单随机抽样、系统抽样等抽样方法的概念，属于基础题.4．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x y +的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】观察茎叶图，利用甲组数据的中位数与乙组数据的平均数分别求出x y 、，相加即可. 【详解】因为甲组数据的中位数为17，所以7x =， 因为乙组数据的平均数为17.4，所以91616(10)2917.45y +++++=，解得7y =，所以14x y +=. 故选：C 【点睛】本题考查根据茎叶图求数据的中位数与平均数，属于基础题. 5．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．283π-B ．483π-C ．8π-D ．1689π-【答案】B【解析】根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心． 【详解】根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心，故剩余的体积为：3414828.383ππ-⨯⨯=- 故答案为B. 【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.6．在k 进制中，十进制数119记为()315k ，则k 等于（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】根据k 进制化为十进制的计算公式进行求解. 【详解】235119k k ++=，即231140k k +-=，解得6k =或193k =-（舍去）. 故选：C 【点睛】本题考查进位制的算法，属于基础题.7．已知向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为（ ） A ．1 B ．2C ．12D ．3【答案】A【解析】由a b ⊥，转化为0a b ⋅=，结合数量积的坐标运算得出tan 2θ=，然后将所求代数式化为222222sin cos cos sin 2cos 2sin cos cos sin cos θθθθθθθθθθ++=+=+，并在分子分母上同时除以2cos θ，利用弦化切的思想求解． 【详解】由题意可得 sin 2cos 0a b θθ⋅=-=，即 tan 2θ=．∴222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1cos sin 1tan θθθθθθθθθ+++===++，故选A ． 【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角θ弦的n 次分式齐次式，分子分母同时除以cos n θ，可以将分式由弦化为切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角θ的二次整式，然后除以22cos sin θθ+化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以2cos θ可以实现弦化切．8．某程序框图如图所示，若输出的结果是62，则判断框中可以是（ ）A ．7?i ≥B ．6?i ≥C ．5?i ≥D ．4?i ≥【答案】B【解析】逐步计算每次运算的结果至第五步可求得62S =，此时6i =，因此6i =需满足判断框中的条件，而5i =不满足判断框中的条件，即可判断. 【详解】第一次2,2S i ==；第二次2226,3S i =+==；第三次36214,4S i =+==；第四次414230,5S i =+==；第五次530262,6S i =+==.若输出的结果是62，则6i =需满足判断框中的条件，而5i =不满足判断框中的条件，因此判断框中可以是6?i ≥. 故选：B 【点睛】本题考查循环结构框图，属于基础题.9．设一直角三角形两直角边均是区间()0,1上的随机数，则斜边长小于1的概率为（ ） A ．12B ．34C ．4π D ．316π【答案】C【解析】由题可得，以直角边长组成的点(),x y在边长为1的正方形内部，满足斜边长小于1的点在14的圆内部，利用几何概型概率公式即可求解．【详解】设直角边长分别为x，y，则()0,1x∈，()0,1y∈，建立直角坐标系，(),x y对应的点在边长为1的正方形内部，如图由斜边长小于1得：221x y+<，即221x y+<，所以满足斜边长小于1的点(),x y在图中14的圆内部，所以斜边长小于1的概率为：414pππ==故选C【点睛】本题主要考查了几何概型概率计算及转化思想，属于基础题10．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，y与x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是0.3y x a=+，预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y约为（）A．6.1 B．5.1 C．3.5 D．5.2【答案】A【解析】算出,x y，然后求出ˆa，然后可得答案.【详解】2456855x ++++==，3444545y ++++== 代入0.3y x a =+可得ˆ0.340.35 2.5ay x =-=-⨯=， 所以回归方程为ˆ0.3 2.5yx =+． 当12x =时，0.312 2.5ˆ 6.1y=⨯+=， 即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克． 故选：A 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，较简单.11．已知x ，y 满足10,0,3,x y x y x --≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22245z x y x y =+--+的取值范围是（ ）A ．[]4,29B ．2,29⎡⎤⎣⎦C ．[]2,29D ．[]5,25【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，再由22245x y x y +--+=22(1)(2)x y -+-的几何意义，即可行域内的动点与定点(1,2)P 距离的平方求解得答案． 【详解】由约束条件10{03x y x y x --+作出可行域如图，22245x y x y +--+=22(1)(2)x y -+-的几何意义为可行域内的动点与定点(1,2)P 距离的平方，由图可知，22245x y x y+--+的最小值为211211()22⨯-⨯-=，22245x y x y+--+的最大值为2222||((31)(32))29PA=-+--=．22(1)(2)x y∴-+-的取值范围是[2，29]．故选：C【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12．设函数()1,2log21,2,1axf xx x a=⎧=⎨-+≠>⎩，若函数()()()2g x f x bf x c⎡⎤=++⎣⎦有三个零点1x，2x，3x，则122313x x x x x x++=（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】先画出函数()f x的图象，再将“函数()()()2g x f x bf x c⎡⎤=++⎣⎦有三个零点”转化为“关于t的方程20t bt c++=只能有一个根1t=”，接着求出1x，2x，3x的值分别为1，2，3，最后求122313x x x x x x++即可.【详解】由函数的解析式()1,2log21,2,1axf xx x a=⎧=⎨-+≠>⎩画出函数()f x的图象，如图由图可得关于x的方程()f x t=的解有两个或三个（1t=时有三个，1t≠时有两个），所以关于t的方程20t bt c++=只能有一个根1t=（若有两个根，则关于x的方程()()2f x bf x c++=⎡⎤⎣⎦有四个或五个根），由()1f x=，可得1x，2x，3x的值分别为1，2，3，所以12231312231311x x x x x x++=⨯+⨯+⨯=，故选：C.【点睛】本题主要考查分段函数的图象和解析式、函数零点与方程根之间的关系，还考查了数形结合思想的应用，是难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的图象的交点个数问题.本题判定方程()f x t =的根的个数是就利用了方法③.二、填空题13．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______.7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 【答案】01【解析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，⋯，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论． 【详解】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读， 第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件， 第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01， 故第5个数为01． 故答案为： 01 【点睛】本题主要考查简单随机抽样，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．设a ，b 是从集合{}1,2,3,4中随机选取的数，则直线40ax by ++=与圆222x y +=没有公共点的概率为______. 【答案】14【解析】根据条件可得228a b +<，然后列举出(),a b 的所有结果和满足228a b +<的结果即可. 【详解】当圆心到直线距离d =>228a b <⇒+<；又(),a b 共有如下结果：()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4,4,1,4,2,4,3,4,4，共16种，使得228a b +<成立的有()()()()1,1,1,2,2,1,2,2，共5种，所以没有公共点的概率是41164P ==. 故答案为：14【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系和古典概型，考查了学生的基础知识，较简单. 15．各项为正的等差数列{}n a 中,4a 与14a 的等差中项为8,则27211log log a a +的最大值为__________． 【答案】6 【解析】4a 与14a 的等差中项为8，4142721116,log +log a a a a ∴+=()()2271171162711222log log =log log 2644a a a a a a ++=≤==，当711=a a 时等号成立；故答案为6.【易错点晴】本题主要考查利用等差数列的性质及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 16．若函数()f x 在定义域D 内的某区间M 上是增函数，且()f x x在M 上是减函数，则称()f x 在M 上是“弱增函数”.已知函数()()24g x x a x a =+-+在(]0,2上是“弱增函数”，则实数a 的值为______. 【答案】4【解析】由()g x 在(]0,2上的单调性求出a 的一个范围，再令()()f x h x x=，则()h x 在(]0,2上是减函数，分类讨论根据()h x 的单调性求参数a 的范围，两范围取交集即可得解. 【详解】由题意可知函数()()24g x x a x a =+-+在(]0,2上是增函数，402a -∴≤，解得4a ≤， 令()()4f x ax a xxh x +==+-，则()h x 在(]0,2上是减函数， ①当0a ≤时，()h x 在(]0,2上为增函数，不符合题意；②当0a >时，由对勾函数的性质可知()h x 在上单调递减，2≥，解得4a ≥，又4a ≤，4a ∴=.故答案为：4 【点睛】本题考查函数的单调性、一元二次函数的单调性，属于中档题.三、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()cos 2cos b C a c B =-． （1）求角B 的大小；（2）若不等式210x +>的解集是()(),,a c -∞⋃+∞，求ABC 的周长．【答案】（1）3π；（2 【解析】试题分析：（1）由()cos 2cos b C a c B =-，根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，从而sin 2sin cos A A B =，进而1cos 2B =，由此能求出B ；（2）依题意,a c 是方程2610x x -+=的两根，从而6,1a c ac +==，由余弦定理得3b =，从而能求出ABC ∆的周长.试题解析：（1）由得,()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-即sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，得，即，得，又()0B π∈，，于是（2）依题意a 、c 是方程的两根，由余弦定理得()23a c ac=+-，ABC ∆6318．近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示： 组号 分组频数 频率第1组[)160165，0.100第2组[)165,170 ①第3组 [)170,175 20 ②第4组 [)175,180 200.200 第5组 [)180,18510 0.100合计1001.00（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为了能选拔出最优秀的选手，组委会决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取5名选手进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，组委会决定在5名选手中随机抽取2名选手接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名选手被考官A 面试的概率.【答案】（1）见解析；（2）第3、4、5组分别抽取2人、2人、1人进入第二轮面试；（3）710. 【解析】【详解】【分析】试题分析：（1）由频率的意义可知，每小组的频率=频数/总人数， 由此计算填表中空格；（2）先算出第3、4、5组每组选手数，分层抽样得按比例确定每小组抽取个体的个数，求得第3、4、5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试．（3）根据概率公式计算，事件“5名选手中抽2名选手”有10种可能，而且这些事件的可能性相同，设第3组的2位选手为1A ，2A ，第4组的2位选手为1B ，2B ，第5组的1位选手为1C 其中事件“第4组的2位选手1B ，2B 中至少有一位选手入选”可能种数是7，那么即可求得事件A 的概率． 试题解析：（1）第1组的频数为1000.10010⨯=人，所以①处应填的数为()1001020201040-+++=人，从而第2组的频率为400.400100=，因此②处应填的数为()10.10.40.20.10.200-+++=， 频率分布直方图如图所示，（2）因为第3、4、5组共有50名选手，所以利用分层抽样在50名选手中抽取5名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为： 第3组：205250⨯=人，第4组：205250⨯=人，第5组：105150⨯=人，所以第3、4、5组分别抽取2人、2人、1人进入第二轮面试.（3）设第3组的2位选手为1A ，2A ，第4组的2位选手为1B ，2B ，第5组的1位选手为1C ，则从这五位选手中抽取两位选手有()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()12,B B ，()11,B C ，()21,B C ，共10种.其中第4组的2位选手1B ，2B 中至少有一位选手入选的有：()11,A B ，()12,AB ，()21,A B ，()22,A B ，()12,B B ，()11,BC ，()21,B C ，共有7种，所以第4组至少有一名选手被考官A 面试的概率为710. 19．如图几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD .且22PD AD EC ===.（1）求证：//BE 平面PDA ；（2）求PA 与平面PBD 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）6π. 【解析】（1）首先证明平面BEC //平面PDA ，即可由BE ⊂平面BEC 推出//BE 平面PDA ；（2）连接AC 交BD 于点O ，连接PO ，证明APO ∠即为P A 与平面PBD 所成角，求出sin APO ∠即可求得APO ∠.【详解】 （1）四边形ABCD 为正方形，//BC AD ∴,又AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ，//BC ∴平面PDA ， 又//EC PD ，PD ⊂平面P AD ，EC ⊄平面P AD ，//EC ∴平面PDA ，EC BC ⊂、平面BEC ，EC BC C =，∴平面BEC //平面PDA ，BE ⊂平面BEC ，//BE ∴平面PDA ；（2）连接AC 交BD 于点O ，连接PO ，底面ABCD 为正方形，AO BD ∴⊥PD ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， ,PD AO PDBD D ∴⊥=,AO ∴⊥平面PBD ，APO ∴∠即为P A 与平面PBD 所成角，2PD AD ==且PD AD ⊥，22PA ∴= 又221122222AO AC ==+=1sin 2AO APO PA ∴∠==，6APO π∴∠=，即P A 与平面PBD 所成角为6π. 【点睛】本题考查线面平行的证明、线面角的求法，属于中档题.20．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，0n a >，且()42n n n S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()211nn n n a b a a =-+，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，求n T .【答案】（1）2n a n =，*n N ∈；（2）21n nT n n =++. 【解析】（1）运用数列的递推式：1n =时，11a S =，2n 时，1n n n a S S -=-，化简整理，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）()()21111+1122121n n n n a b a a n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，然后利用分组求和法可求出答案.【详解】（1）由0n a >，且4(2)n n n S a a =+，可得1n =时，111144(2)a S a a ==+，可得12a =，2n 时，1114(2)n n n S a a ---=+，又4(2)n n n S a a =+，相减可得114(2)(2)n n n n n a a a a a --=+-+， 即为11()(2)0n n n n a a a a --+--=，可得12n n a a --=，则数列{}n a 为首项和公差均为2的等差数列， 则2n a n =，*n N ∈； （2）()()()()()()22411111+=1+112121212122121n n n n a n b a a n n n n n n ⎛⎫===- ⎪-+-+-+-+⎝⎭所以11111111111111+11+1+1+1232352572212122121n nn n n n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=+-=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭=⎭【点睛】本题考查数列的递推式的运用，等差数列的定义和通项公式，分组求和法和裂项相消法，化简运算能力，属于中档题．21．进入春天，大气流动性变好，空气质量随之提高，自然风光越来越美，自驾游乡村游也就越来越热．某旅游景区试图探究车流量与景区接待能力的相关性，确保服务质量和游客安全，以便于确定是否对进入景区车辆实施限行．为此，该景区采集到过去一周内某时段车流量与接待能力指数的数据如表：（I ）根据表中周一到周五的数据，求y 关于x 的线性回归方程．（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为该线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？附参考公式及参考数据：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()1122211()ˆ nni i i i i i nni i i i x x y y x y nxy x x x nxb====----==--∑∑∑∑；a y b x =-【答案】（I ）ˆ258yx =+ （Ⅱ）是可靠的，详见解析 【解析】（I ）根据表格中的数据，利用公式求得ˆˆ,ba 的值，即可求得回归直线的方程. （Ⅱ）由（I ）中的回归直线的方程，分别代入8x =和8.5x =进行验证，即可得到结论. 【详解】（I ）由表中的数据，可得15x =（10+9+9.5+10.5+11）＝10， 15y =（78+76+77+79+80）＝78， 又由()()51iii x x y y =--=∑5，521()ii x x =-=∑ 2.5，则()()121 522.5 ()ˆni i i ni i x x y y x x b ==---===-∑∑，ˆˆa y bx =-=78﹣2×10＝58． 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ258yx =+； （Ⅱ）当8x =时，ˆ285874y=⨯+=，满足|74﹣73|＝1＜2， 当8.5x =时，ˆ28.55875y=⨯+=，满足|75﹣75|＝0＜2， 所以是可靠的． 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及回归分析的应用，其中解答中认真审题，利用公式准确求解回归直线方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 22．已知圆22:230C x y x ++-=.（1）已知直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，求证：1211+x x 为定值；（2）斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求直线m 的方程，使CDE △的面积最大.【答案】（1）证明见解析；（2）直线m 的方程为30x y -+=或10x y --=. 【解析】（1）设经过坐标原点且不与y 轴重合的直线l 的方程为y kx =，联立直线与圆的方程，进而结合韦达定理，可得1211+x x 为定值23， （2）设斜率为1的直线:0m x y C -+=与圆C 相交于D ，E 两点，令圆心(1,0)C -到直线l 的距离为d ，利用基本不等式，可得当且仅当224d d =-，即d =CDE∆的面积最大，代入点到直线距离公式，可得C 值，进而得到直线方程． 【详解】（1）设经过坐标原点且不与y 轴重合的直线l 的方程为y kx =， 由直线l 与圆C 相交1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，联立方程22230x y x y kx⎧++-=⎨=⎩可得：22(1)230k x x ++-=，则12221x x k +=-+，1223·1x x k =-+，∴21212122211213·31x x k x x x x k -+++===-+， 即1211+x x 为定值23， （2）设斜率为1的直线:0m x y C -+=与圆C 相交于D ，E 两点， 令圆心(1,0)C -到直线l 的距离为d ，则DE ==CDE ∆的面积221(4)·222d d S DEd +-====，当且仅当224d d =-，即d =此时：d ==，解得：3C =，或1C =-，故直线m 的方程为30x y -+=或10x y --=． 【点睛】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的一般方程，基本不等式，点到直线的距离公式，是不等式与解析几何的简单综合应用，难度中档．。

遵义四中2016—2017学年度第二学期第一次月考理数试题第I卷（选择题)一、选择题1．设，则 ( ）A. B。

C。

D。

2．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为（ )A. B。

C。

D。

3．已知，下列不等关系中正确的是（）A. B. C. D.4．已知是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题：①若,，则；②若，，则；③若，，，则；④若是异面直线，，，，则．其中真命题是（）A。

①和④ B. ①和③ C. ③和④ D。

①和②5．在区间上随机地取一个数,则事件“"发生的概率为（）.A. B. C。

D.6．设等差数列的前项和为,且，则当取最小值时，等于（）A. 6 B。

7 C. 8 D。

97．设实数满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A。

B。

C。

D.8.若点P是曲线2lny x x=-上任一点，则点P到直线2y x=-的最小距离是（）A。

2 B. 1 C。

22 D. 39．函数,则（）A。

为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点C。

为函数的极大值点 D。

为函数的极小值点10．已知函数()y f x=满足()'234f x x x=--，则()3y f x=+的单调减区间是( ）A.()4,1-B。

()1,4-C。

3,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ D。

3,2⎛⎫-∞⎪⎝⎭11．已知椭圆,是椭圆的右焦点，为左顶点，点在椭圆上，轴,若，则椭圆的离心率为( ）A. B。

C. D。

12。

已知函数()()()22()xf x x a e a a R=-+-∈，若存在0x R∈使得()12f x≤成立,则实数a的值为（ )A.13 B。

2C。

2D.12第II卷（非选择题）二、填空题13．已知则___________.14．函数的图像在处的切线方程为__________．15．以曲线xy2cos=为曲边的曲边形(如下图阴影部分)面积为．16.已知函数()f x为定义在()0,+∞上的连续可导函数，且()'()f x xf x>，则不等式()21x f f xx⎛⎫-<⎪⎝⎭的解集是____ ______.三、解答题17．已知函数. （Ⅰ）求在处的切线方程；（Ⅱ)求的极值点。

2019-2020学年贵州省遵义四中高二（上）第一次月考数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，则A∩B=()A. {x|2<x<3}B. {x|1<x<3}C. {x|1<x<2}D. {x|x>1}2.已知平面α，β，γ，直线l，m，点A，在下面四个命题中正确的是()A. 若l⊂α，m∩α=A，则l与m必为异面直线B. 若l//α，l//m，则m//αC. 若l⊂α，m⊂β，l//β，m//α，则α//βD. 若α⊥γ，α∩γ=m，γ∩β=l，l⊥m，则l⊥α3.设π2<x<3π4，a=sinx，b=cosx，c=tanx，则()A. a<b<cB. c<b<aC. b<c<aD. b<a<c4.与直线2x−y+1=0关于x轴对称的直线方程为()A. 2x+y+1=0B. 2x−y−1=0C. 2x+y−1=0D. x−2y+1=05.两直线3x+y−3=0与6m x+y+1m=0平行，则它们之间的距离为()A. 4B. 213√13 C. 526√13 D. 720√106.若变量x，y满足约束条件{x+y⩾3x−y⩾−12x−y⩽3，则z=yx的最大值为()A. 4B. 2C. 12D. 547.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的正方形，俯视图是正三角形，则这个几何体的体积是()A. 2√3B. 4√3C. 23√3D. 88.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2√2，E为CC1的中点，则直线BE与AC1所成角的余弦值为()A. √24B. √66C. √22D. √639.正四面体A−BCD中，棱AC所在直线与平面BCD所成角的余弦值为()A. 12B. √22C. √32D. √3310.已知直线y−1=k(x−1)恒过定点A，若点A在直线mx+ny−1=0(m,n>0)上，则1m +1n的最小值为()A. 2B. 12C. 4 D. 1411.已知数列{a n}的前n项为S n，且满足关系式lg(S n−1)=n(n∈N∗)，则数列{a n}的通项公式a n=()A. 9⋅10n−1B. {11,n=19⋅10n−1,n≥2C. 10n+1D. {9,n=110n+1,n≥212.已知三棱锥P−ABC中，PA=√23，AB=3，AC=4，AB⊥AC，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为()A. 16B. 28C. 64D. 96二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗=(3,−4)，b⃗ =(2,3)，则2|a⃗|−3a⃗⋅b⃗ =______ ．14.已知直线l过点P(2,2)，且直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为__________．15.已知直线l1：3x+my+4=0与l2：x−y+1=0.若l1//l2，则m=______；若l1⊥l2，则m=______．16.如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为边AB的中点，将△ADE沿线段DE翻转成△A1DE，构成四棱锥A1−BCDE，若M为线段A1C的中点，在翻转过程中有如下三个命题：①MB//平面A1DE1；②存在某个位置，使DE⊥A1C；③存在某个位置，使A1D⊥CE.其中正确的命题序号是________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知点P(2,0)及圆C：x2+y2−6x+4y+4=0．(1)若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；(2)设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程．18.在△ABC中，若b=4cos A2，c=4sin A2．(1)求△ABC的面积的最大值；(2)求边长a的最小值．19.等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=1a n a n+1，求b1+b2+b3+⋯+b10的值．20.某高校自主招生面试成绩的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，其可见部分信息如图所示，据此解答下列问题；(Ⅰ)求参加此次高校自主招生面试的人数n、面试成绩的中位数及分数分别在[80,90)，[90,100)内的人数；(Ⅱ)若从面试成绩在[80,100)内的学生中任选两人进行随机复查，求恰好有一人分数在[90,100)内的概率．21.如图所示，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A−MBC的体积．22.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，PC=PD=√2，E为PB中点．(Ⅰ)求证：PD//平面ACE；(Ⅱ)求二面角E−AC−D的余弦值；(Ⅲ)在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求PM的值；若不存在，说明理由．PD-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，∴A∩B={x|2<x<3}，故选：A．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：D解析：【分析】A.分析点A与直线l的位置关系，去判断l与m的位置关系．B.由于直线m与平面α的位置不确定，所以无法确定直线和平面的关系．C.利用平行的性质定理，分析当l，m都平行则α，β的交线时，也满足条件．从而判断C是错误的．D.根据线面垂直的相关性质可知，D正确．本题考查空间点线面的位置关系．正确掌握平行或垂直的判断定理和性质定理是解决这类问题的关键，同时要结合图形来判断．【解答】解：A.当A∉l时，l与m为异面直线．当A∈l时，l与m相交．所以A错误．B.由于直线m与平面α的位置不确定，所以当m⊈α时，可得m//α.当直线m⊂α时，不成立．所以B错误．C.当l⊂α，m⊂β，l//β，m//α时，α与β也有可能相交．所以C错误．D.因为γ∩β=l，所以l⊂γ，因为α⊥γ，α∩γ=m且l⊥m，所以根据面面垂直的性质定理可知，在平面内垂直于交线的直线必垂直于面，所以l⊥α.所以D正确．故选D．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查三角函数值大小的比较，属于基础题.根据特殊角以及三角函数的性质求出a，b，c的范围，再比较大小即可．解：∵π2<x<3π4，∴√22<sinx<1，−√22<cosx<0，tanx<−1．∴c<b<a．故选B．4.答案：A解析：【分析】本题考查直线关于直线对称的直线方程的求法，属于基础题.本题采用相关点法解答，也可以利用两点式、点斜式等直线方程的方法求解．设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于x=1的对称点的坐标，代入已知直线方程化简即可．【解答】解：设直线2x−y+1=0关于x轴对称的直线上任意点的坐标为(x,y)，则(x,y)关于x轴的对称点的坐标为：(x,−y)代入直线2x−y+1=0可得所求对称直线方程：2x+y+1=0；故选A.5.答案：D解析：解：两直线3x+y−3=0与6m x+y+1m=0平行，所以m=2，即两直线3x+y−3=0与3x+y+12=0平行，它们之间的距离为：|3+1 2 |√32+1=720√10．故选：D．通过直线平行求出m，然后利用平行线之间的距离求解即可．本题考查两条平行线之间的距离的求法，基本知识的考查．6.答案：B解析：本题考查线性规划的应用，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：画出约束条件{x +y ⩾3x −y ⩾−12x −y ⩽3，所表示的平面区域，如图所示，由目标函数z =y x ，可化为z =y−0x−0，表示平面区域的点与原点O(0,0)连线的斜率， 结合图象可知，当过点A 时，此时直线的斜率最大， 由{x +y =3x −y =−1 ，解得A(1,2)， 此时z =21=2． 故选B ．7.答案：A解析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，代入柱体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱， 底面是一个边长为2的等边三角形， 故底面面积S =√34⋅22=√3，高ℎ=2，故体积V =Sℎ=2√3， 故选：A解析：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴， 建立空间直角坐标系，由已知得B(2,2，0)，E(0,2，√2)， A(2,0，0)，C 1(0,2，2√2)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，√2)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，2√2)，|cos <BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|√6⋅√16|=√63． ∴直线BE 与AC 1所成角的余弦值为√63．故选：D ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与AC 1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．9.答案：D解析： 【分析】本题考查了直线和平面所成角的问题，考查解三角形问题，正确作出辅助线是解题的关键．过A 做底面BCD 的垂线，垂足为O ，连接CO ，令正四面体的棱长为a ，通过解三角形求出即可． 【解答】解：过A 作底面BCD 的垂线，垂足为O ，连接CO ， 设四面体的棱长为a ，因为四面体A −BCD 为正四面体，所以点A 在底面的垂足O 为三角形BCD 的中心， ∠ACO 即为直线AC 与平面BCD 所成的角，所以CO =23ℎ(其中h 为底面的高，且ℎ=√a 2−(12a)2=√32a)所以CO =23×√32a =√33a ，所以，故选D ．10.答案：C解析： 【分析】本题考查利用基本不等式求最值和直线方程，属于基础题．根据直线方程得其过定点(1,1)，即m +n =1，再根据乘1法求结果． 【解答】解：由已知直线y −1=k(x −1)，恒过定点A 的坐标为(1,1)， ∴m +n =1，∵m,n >0，∴1=m +n ≥2√mn ， ∴mn ≤14，当且仅当m =n =12时取等号， ∴1m+1n=m+n mn=1mn≥4，故选：C ．11.答案：B解析：解：∵lg(S n −1)=n(n ∈N ∗)， ∴S n −1=10n ，即S n =10n +1， 当n =1时，a 1=S 1=11．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=10n +1−(10n−1+1)=9⋅10n−1． ∴a n ={11,n =19⋅10n−1,n ≥2．故选：B ．lg(S n −1)=n(n ∈N ∗)，化为S n =10n +1，利用递推关系即可得出．本题考查了数列的通项公式、递推关系、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：∵三棱锥P −ABC 中，PA =√23，AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，PA ⊥面ABC ， ∴以AB ，AC ，AP 为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P −ABC 的外接球， ∴三棱锥P −ABC 的外接球的半径R =√23+9+162=2√3，设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a ， 则R =√3a 2=2√3，解得a =4，∴此三棱锥的外接球的内接正方体的体积V =a 3=43=64． 故选：C ．以AB ，AC ，AP 为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P −ABC 的外接球，三棱锥P −ABC=2√3，解得的外接球的半径R=2√3，设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a，则R=√3a2a=4，由此能求出此三棱锥的外接球的内接正方体的体积．本题考查三棱锥的外接球的内接正方体的体积的求法，考查三棱锥及外接球、球的内接正方体等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.答案：28解析：解：∵a⃗=(3,−4)∴|a⃗|=√32+(−4)2=5a⃗⋅b⃗ =3×2−4×3=−6∴2|a⃗|−3a⃗⋅b⃗ =28故答案为28．利用向量模的坐标公式求出|a⃗|，利用向量的数量积公式求出向量的数量积，代入求出值．本题考查向量模的坐标形式的公式、向量的数量积公式．14.答案：x−y=0解析：解：直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，设所求的直线l方程为x−y+m=0，m>0或y=kx．把点P(2,2)代入上述方程可得：m=0或k=1．故所求的直线l方程为：x−y=0；故答案为：x−y=0．设所求的直线l方程为x−y+m=0，或y=kx.把点P(2,2)代入上述方程即可得出．本题考查了直线的截距式方程，属于基础题．15.答案：−3；3解析：【分析】本题考查了直线平行与垂直斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用直线平行与垂直与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：直线l1：3x+my+4=0与l2：x−y+1=0．∵l1//l2，∴−3−m=0，解得m=−3．∵l1⊥l2，∴3−m=0，解得m=3．故答案为：−3，3．16.答案：①③解析：【分析】取A1D的中点N，连结MN，EN，则可证明四边形MNEB是平行四边形，从而BM=//EN，于是BM//平面A1DE，从而可判断①一定成立，假设②③成立，则可推出DE⊥A1E，得出矛盾．本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．【解答】解：取A1D的中点N，连结MN，EN，则MN为△A1CD的中位线，CD，∴MN=//12∵E是矩形ABCD的边AB的中点，CD，∴BE=//12∴MN=//BE，∴四边形MNEB是平行四边形，CD，∴MN=//12∵E是矩形ABCD的边AB的中点，CD，∴MN=//BE，∴BE=//12∴四边形MNEB是平行四边形，∴BM=//EN，又NE⊂平面A1DE，BM⊄平面A1DE，∴MB//平面A1DE，故①正确；由勾股定理可得DE=CE=2√2，∴DE2+CE2=CD2，∴DE⊥CE，若DE⊥A1C，又A1C∩CE=C，∴DE ⊥平面A 1CE ， 又A 1E ⊂平面A 1CE ，∴DE ⊥A 1E ，而这与∠AED =45°矛盾．故②错误，③正确． 故答案为①③．17.答案：解：(1)由题意知，圆的标准方程为：(x −3)2+(y +2)2=9，①设直线l 的斜率为k(k 存在)则方程为y −0=k(x −2)即kx −y −2k =0 又⊙C 的圆心为(3,−2)，r =3， 由2=1⇒k =−34所以直线方程为y =−34(x −2)即3x +4y −6=0； ②当k 不存在时，直线l 的方程为x =2． 综上，直线l 的方程为3x +4y −6=0或x =2；(2)由弦心距d =√r 2−(AB2)2=√5，即|CP|=√5，设直线l 的方程为y −0=k(x −2)即kx −y −2k =0则圆心(3,−2)到直线l 的距离d =√k 2+1=√5，解得k =12，所以直线l 的方程为x −2y −2=0联立直线l 与圆的方程得{x −2y −2=0(x −3)2+(y +2)2=9，消去x 得5y 2−4=0，则P 的纵坐标为0，把y =0代入到直线l 中得到x =2， 则线段AB 的中点P 坐标为(2,0)，所求圆的半径为：12|AB|=2， 故以线段AB 为直径的圆的方程为：(x −2)2+y 2=4．解析：此题考查点到直线的距离公式化简求值，灵活运用垂径定理，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程，属于中档题．(1)把圆的方程变为标准方程后，分两种情况①斜率k 存在时，因为直线经过点P ，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d ，让d 等于1列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，根据k 的值和P 的坐标写出直线l 的方程即可；②当斜率不存在时显然得到直线l 的方程为x =2；(2)利用弦|AB|的长和圆的半径，根据垂径定理可求出弦心距|CP|的长，然后设出直线l 的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d ，让d 等于|CP|列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，写出直线l 的方程，把直线l 的方程与已知圆的方程联立消去x 得到关于y 的一元二次方程，利用韦达定理即可求出线段AB 中点的纵坐标，把纵坐标代入到直线l 的方程中即可求出横坐标，即可得线段AB 的中点坐标即为线段AB 为直径的圆的圆心坐标，圆的半径为|AB|的一半，根据圆心和半径写出所求圆的标准方程即可．18.答案：解：=4sin 2A ，，∴S ≤4，即△ABC 的面积的最大值为4； (2)由余弦定理得，∴a ≥2√2．∴边长a 的最小值2√2．解析：本题考查余弦定理和三角形面积公式及三角函数的性质，属中档题． (1)直接用角A 的正余弦表示面积，然后找最值即可； (2)利用余弦定理表示边a ，再求最值即可．19.答案：解：(I)设等差数列{a n }的公差为d ．由已知得{a 1+d =4(a 1+3d)+(a 1+6d)=15解得{a 1=3d =1，所以a n =a 1+(n −1)d =n +2； (II)∵a n =n +2， ∴b n =1a n a n+1=1(n+2)(n+3)=1n+2−1n+3，∴b 1+b 2+⋯+b 10=13−14+14−15+⋯+112−113=13−113=1039．解析：本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．(I)设等差数列{a n }的公差为d.运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项； (II)变形b n =1an a n+1=1(n+2)(n+3)=1n+2−1n+3，运用裂项相消求和，即可得到所求值．20.答案：解析：(Ⅰ)面试分数在[50,60)内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在[90,100)内同样有2 人，由2n =10×0.01，得n =20． 由茎叶图可知面试成绩的中位数为74+762=75．分数在[80,90)内的人数为20−(2+5+7+2)=4．(Ⅱ)将[80,90)内的四人编号为a，b，c，d，[90,100)内的2人编号为A，B，在[80,100)内任选两人的基本事件为：ac，ab，ad，bc，bd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB，共15个，其中恰好有一人分数在[90,100)内的基本事件为：aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，共8个，∴恰好有一人分数在[90,100)内的概率为815．解析：(Ⅰ)由频率分布直方图可以看出，分数在[90,100]内同样有2人．即可得到抽测的人数n，算出分数在[80,90)之间的人数．(Ⅱ)由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件可以通过列举得到结果数，看出满足条件的事件数，根据古典概型公式得到结果．这是一个统计综合题，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．21.答案：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，AB、BD⊂平面ABD；∴CD⊥平面ABD；(2)解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD，∵AB=BD=1，∴S△ABD=12，∵M为AD中点，∴S△ABM=12S△ABD=14，∵CD⊥平面ABD，∴V A−MBC=V C−ABM=13S△ABM⋅CD=112．解析：本题考查线面垂直，考查三棱锥A−MBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键，属于中档题．(1)证明：CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；(2)利用转换底面，V A−MBC=V C−ABM=13S△ABM⋅CD，即可求出三棱锥A−MBC的体积．22.答案：(共14分)证明：(I)设BD 交AC 于点F ，连结EF ． 因为底面ABCD 是矩形，所以F 为BD 中点． 又因为E 为PB 中点，所以EF//PD ． 因为PD ⊄平面ACE ，EF ⊂平面ACE ， 所以PD//平面ACE.….(4分) (II)取CD 的中点O ，连结PO ，FO ． 因为底面ABCD 为矩形，所以BC ⊥CD ．因为PC =PD ，O 为CD 中点，所以PO ⊥CD ，OF//BC.所以OF ⊥CD ．又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PCD ，平面PCD ∩平面ABCD =CD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图，建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(1,−1,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),E(12,12,12)设平面ACE 的法向量为m =(x,y ，z)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,0),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,32,12) 所以{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m =0,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m =0⇒{−x +2y =0,−12x +32y +12z =0⇒{x =2y,z =−y. 令y =1，则x =2，z =−1，所以m =(2,1，−1)． 平面ACD 的法向量为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，cos <m,OP ⃗⃗⃗⃗⃗>=m⋅OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m|⋅|OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√66． 如图可知二面角E −AC −D 为钝角，所以二面角E −AC −D 的余弦值为−√66.….(10分)(Ⅲ)在棱PD 上存在点M ，使AM ⊥BD ．设PMPD =λ(λ∈[0,1]),M(x,y,z)，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,D(0,−1,0)． 因为(x,y ，z −1)=λ(0，−1，−1)，所以M(0,−λ,1−λ)．AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1−λ,1−λ),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,0)． 因为AM ⊥BD ，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0． 所以1−2(1−λ)=0，解得λ=12∈[0,1]．所以在棱PD 上存在点M ，使AM ⊥BD ，且PMPD =12.….(14分)解析：(I)设BD 交AC 于点F ，连结EF.推导出EF//PD.由此能证明PD//平面ACE ．(II)取CD 的中点O ，连结PO ，FO.推导出PO ⊥平面ABCD.建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出二面角E −AC −D 的余弦值．(Ⅲ)在棱PD 上存在点M ，使AM ⊥BD.设PMPD =λ(λ∈[0,1]),M(x,y,z)，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,D(0,−1,0).利用向量法能求出在棱PD 上存在点M ，使AM ⊥BD ，且PMPD =12．本题考查线面平行的证明，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．。