2020年江西省鹰潭市高考数学一模试卷(二)(有答案解析)

2020年全国普通高等学校招生统一考试（新课标Ⅰ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|||2}P x x =>，2{|230}Q x x x =--≤，则P Q =I A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(2,3]D ．[1,2)-2．已知i 为虚数单位，(2i)67i z -=+，则复平面内与z 对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若26cos 2cos21αα+=-，则tan α= A ．2±B ．3±C ．2D ．3-4．已知实数,,a b c 满足lg 222,log ,sin a b a c b ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>5．已知函数()sin 3cos f x x x ωω=-（0ω>）的图象与x 轴的交点中，两个相邻交点的距离为π，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移3π个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，则下列命题中正确的是 A ．()g x 是奇函数B ．()g x 的图象关于直线6x π=对称 C ．()g x 在[,]312π-π上是增函数D ．当[,]66x π-π∈时，()g x 的值域是[0,2]6．函数2()cos sin(1)31x f x x =⋅-+的图象大致为7．在ABC △中，已知1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，13AE AD =u u u r u u u r ，若以,AD BE u u u r u u u r 为基底，则DC u u u r可表示为A ．2133AD BE +u u ur u u u rB ．23AD BE +u u ur u u u rC ．13AD BE +u u u r u u u rD ．1233AD BE +u u ur u u u r8．记不等式组21312y x x y y y kx ≤-⎧⎪+≤⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩表示的平面区域为D ，若平面区域D 为四边形，则实数k 的取值范围是A ．11144k << B ．11144k <≤ C ．11133k <<D ．11133k ≤≤9．1872年，戴德金出版了著作《连续性与无理数》，在这部著作中以有理数为基础，用崭新的方法定义了无理数，建立起了完整的实数理论．我们借助划分数轴的思想划分有理数，可以把数轴上的点划分为两类，使得一类的点在另一类点的左边．同样的道理把有理数集划分为两个没有共同元素的集合A 和B ，使得集合A 中的任意元素都小于集合B 中的任意元素，称这样的划分为分割，记为A /B ．以下对有理数集的分割不会出现的类型为 A ．A 中有最大值，B 中无最小值 B ．A 中无最大值，B 中有最小值 C ．A 中无最大值，B 中无最小值D ．A 中有最大值，B 中有最小值10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，A 为OM 的中点，若C 的渐近线与以AM 为直径的圆相切，则双曲线C 的离心率等于 A 32 B 23C 3D 211．已知函数()|2|2f x x =-+，()ln g x ax x =-，若0(0,e)x ∀∈，12,(0,e)x x ∃∈满足0()f x = 12()()g x g x =，其中12x x ≠，则实数a 的取值范围是 A ．5[,e)eB ．1(,e)eC ．1[1,e)e+D ．15[1,]e e+12．如图，已知平面四边形P'CAB 中，AC BC ⊥，且6AC =，27BC =，214P'C P'B ==BC 将P'BC △折起到PBC △的位置，构成一个四面体，当四面体PABC 的体积最大时，四面体PABC 的外接球的体积等于 A ．5003πB ．2563πC ．50πD ．96π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重难2-1 函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）y cx d=+或cx d y ax b +=+的结构，可用cx d t +=”换元；（2）y ax b cx d =+±+,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用“cx d t +=”换元；（3）22y bx a x =-型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x =+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b+（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。

2019-2020年高三数学第一次统一考试试题 理（含解析）【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面以全新的面貌来诠释新课改的理念.【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】 l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．11 D ．12【知识点】集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性. A1 【答案】【解析】C 解析：{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}C =，故选C. 【思路点拨】利用已知求得集合C 即可.【题文】 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为 A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．3|2a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 【知识点】复数的运算；复数的几何意义. L4 【答案】【解析】B 解析：12z z ()()()()312332612121255ai i ai a a i i i i ----+===-++-，因为12zz 复平面内对应的点在第四象限，所以32036602a a a ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故选 B.【思路点拨】先把复数z 化为最简形式，在利用复数的几何意义求解.【题文】3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程22x R)∈的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．12+ B ．12C ．．【知识点】已知三角函数式的值，求另一个三角函数式的值. C7 【答案】【解析】A解析：由已知得1sin cos 2θθ+=2sin cos 2θθ⇒=-又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+，故选 A.【思路点拨】由已知得1sin cos 2θθ-+=2sin cos 2θθ⇒=-，又θ为第二象限角，所以sin -cos θθ==12+. 【题文】4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 【知识点】演绎推理的定义及特点. M1【答案】【解析】B 解析：A ：小前提不正确；C 、D 都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以A 、C 、D 都不正确，只有B 正确，故选 B.【思路点拨】演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理，及其推理的一般模式---“三段论”，由三段论的含义得出正确选项.【题文】5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A ．38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-【知识点】几何体的三视图；几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知此几何体是：棱长为2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何体，其体积为3212212833ππ-⨯⨯⨯=-，故选 D.【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】6．已知 ()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是，A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b【知识点】函数奇偶性，单调性的应用. B3 B4【答案】【解析】C 解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递减，且22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 22tantan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又∵2sin 5a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且2220cos sin tan 555πππ<<<，∴ c<a<b ，故选 C.【思路点拨】由已知得函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，而2sin5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22coscos 55b f f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22tan tan 55c f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以只需比较 222cos,sin ,tan555πππ的大小关系即可. 【题文】7.执行如图的程序，则输出的结果等于 A ．9950 B ．200101 C ．14950 D ． 15050【知识点】对程序框图描述意义的理解. L1【答案】【解析】A 解析：根据框图中的循环结构知，此程序是求下式的值：1111136104950T =+++++222222612209900=+++++1111212233499100⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1111111212233499100⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎝⎭1992110050⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故选A. 【思路点拨】由程序框图得其描述的算法意义.【题文】 8．在△ABC 中，D 为AC 的中点，3BC BE =，BD 与 AE 交于点F ，若 AF AE λ=，则实数λ的值为 A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 45【知识点】平面向量的线性运算. F1 【答案】【解析】C 解析：作EFAC 交BD 于G ，因为13BE BC =,所以13EG DC =，因为 D 为AC 的中点，所以13EG AD =，所以1334EF AF AE FA =⇒=，故选C.【思路点拨】画出几何图形，利用平行线分线段成比例定理求得结论.【题文】9．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83B ．2C ．D ．2【知识点】双曲线的性质. H6【答案】【解析】D 解析：设P 是第一象限点，且12,PF m PF n ==，则222181m n m m n n ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨+==⎩⎪⎩，所以所求= 2m n c +==，故选 D. 【思路点拨】根据双曲线的定义及勾股定理，求得P 到两焦点的距离，这两距离和与焦距的比值为所求. 【题文】10.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的 周长的最小值为A. 4+5+ 【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6 【答案】【解析】A 解析：∵21y x '=-，∴00201:()l y y x x x -=--即20020x x y x +-=， 可得A(02x ,0)，B(0,02x )，∴△OAB的周长00224l x x =+≥+当01x =时等号成立.故选 A.【思路点拨】由导数的几何意义得直线l 的方程，从而求得A 、B 的坐标，进而用0x 表示△OAB 的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.【题文】11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平 面区域有公共点，则实数λ的取值范围是 A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞ B ． 13(,1)(9,)7-+∞ C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-【知识点】简单的线性规划. E5【答案】【解析】A 解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B(5,2)，C(3,4) 而直线(31)(1)660x y λλλ++-+-=恒过定点P(0,-6),且斜率为311λλ+-，因为 7810,,253PA PB PC k k k ===,所以由8317512λλ+<<-得λ∈13(,)(9,)7-∞-+∞，故选A.【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA 、PB 、PC 的斜率，其中最小值85，最大值72，则由8317512λλ+<<-得λ的取值范围. 【题文】12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的 中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈.过点M 作圆 22(3)2x y -+= 的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．． C ． 72 D. 52【知识点】曲线与方程；距离最值问题. H9 【答案】【解析】A 解析：设M(x,y)，1(,2)2P b -，则Q(0,b),由QM ⊥FP 得 (,)(1,2)02()0x y b b x b y b -⋅-=⇒-+-=.由()MP OF R λλ=∈得y=2b,所以点M 的轨迹方程为22y x =，M 到圆心距离=，易知当d 去最小ST 取最小值，此时MT ==，由三角形面积公式得：11222ST ST ==故选A. 【思路点拨】先求得点M 的轨迹方程22y x =，分析可知当M 到圆心距离最小时ST 最小，所以求M 到圆心距离d 得最小值，再用三角形面积公式求得ST 的最小值. 【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【题文】13.设随机变量 2(,)N ξμσ，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(20)P ξ-<<= _____________．【知识点】正态分布的意义. I3【答案】【解析】0.2 解析：因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称， 又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯=【思路点拨】根据正态分布的性质求解.【题文】14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______．【知识点】组合体的意义；几何体的结构. G1【答案】【解析】2(3π- 解析：根据题意得正四梭锥的底面面积为4，一个侧面面积为R ，则由等体积法得，()111442332R R =⨯⨯⇒=,所以球的表面积为2(3π.【思路点拨】由等体积法求得此四棱锥内切球的半径，再由球的表面积公式求得结论. 【题文】15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移3π个单位，所得图象关于y轴对称，则正数 ω的最小值为________．【知识点】sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4 【答案】【解析】 1 解析：函数()sin()223y sin x x ωωπ=+=1sin()sin()cos()2222x x x ωωω⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=21sin ()sin()cos()2222x x x ωωω+=11sin()264x πω-+，向右平移3π个单位后为： 1111sin[()]sin 23642364y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫=--+=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，这时图像关于y 轴对称，所以31362k k πωπππω+=+⇒=+，k Z ∈,所以正数 ω的最小值为1.【思路点拨】先利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，把已知函数化为： y=11sin()264x πω-+,再由其平移后关于y 轴对称得31k ω=+，k Z ∈，所以正数 ω的最小值为1.【题文】 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．【知识点】余弦定理；三角形的面积公式. C8【答案】解析：当C 取最大值时，cosC 最小，由22223111cos 3244a b c c C c ab c c +-+⎛⎫===+≥⎪⎝⎭得，当且仅当c= 3时C 最大，且此时sinC=12，所以△ABC的面积为111sin 21222ab C c =⨯⨯⨯=【思路点拨】由余弦定理求得C 最大的条件，再由三角形面积公式求解.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】17．（本小题满分10分） 已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC 满足 315OC a OA a OB =+，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。

2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。

2020年高考数学模拟考试卷一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合要求的。

）1、（理）复数z a i（ a R, i 为虚数单位），若z 是纯虚数，则实数 a 的值为（）1iA． 1B．－ 1C． 2 D ． 0（文）已知向量a(cos15 , sin15 ), b (sin15 ,cos15 ), 则 | a b | 的值为（）A．3B．1C．2 D ．3 2r r r r r rR) 的模的最小值为（2、已知向量a, b为单位向量，且＜a, b＞＝，则 a tb (t）A. 2B.2C. cosD. sin33、已知等差数列n25P( n，a n ) 、 Q( n＋ 2，a n2)( n∈{ a n} 的前n项和为S，且S ＝ 10，S ＝ 55，则过点N* ) 的直线的一个方向向量的坐标为()A.( 1， 4)B( 1， 3)C( 1，2) D ( 1，1)4、（理）某中学高三年级期中考试数学成绩近似地遵从正态分布Ｎ( 110，102) （查表知Φ( 1) ＝ 0. 8413），则该校高三年级数学成绩在120 分以上的学生人数占总人数的百分比为（）A. 84. 13% B. 42. 065% C.15.87% D. 以上均不对( 文 ) 某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500 人，此中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300，此刻按1: 100 的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）Ａ. 8 B. 11 C. 16. D. 105、 ( 理 ) 曲线y ln(2 x1) 上的点到直线 2x y 30 的最小距离是（）A、 0B、5C、2 5 D 、3 5(文 )若函数 f( x)＝ x2＋ bx＋ c 的图象的极点在第四象限，则函数f/ ( x) 的图象是（）y y y yo x ox o x o xA B C D6、 ( 理 ) 已知f ( x)x 1 2，则 lim f (x) 的值（）x3x 3A 、不存在B 、 0C 、1D 、 443 x 2 y 7,( 文 )y x 1,3x 4y 的最大值是( )已知实数 x 、 y 满足则 u x 0,y 0,A. 0B. 4C. 7D. 117、函数 f(x)＝ log 2y|x|， g(x)＝－ x 2＋2，则 f(x)·g(x)的图象只可能是y x 1M( 1, 2)13 x4 y 118、三棱锥 P － ABC 的四个极点在同一个球面上， 若 PA ⊥底面 ABC ，底面 ABC 为直角三角形， PA ＝ 2 a AC＝ BC ＝ a ，则此球的表面积为（）O 3x 2 y7 xA ． π a 2 B. 6π a 2 C. 8π a 2D. 9π a 2 第 6 题图P 29 、 已 知 ( ax ＋ n及 ( x ＋ a) 2 n ＋n1) 21的 展 开 式 中 ， x 系 数 相 等（ (aR 且 a 0, nN * ) ，则 a 的值所在区间是（）A ． ( －∞ , 0) B.( 0， 1) AC ． ( 1, 2)D.(2，＋∞ )10、椭圆1： x 2 y 2 1(a b0) 的左准线为 l ，左右焦点分别为12CBC a 2 b 2F 、 F ，抛物线 C 2 的准线为 l ，一个焦点为 F 2， C 1 与 C 2 的一个交点为 P ，则| F 1F 2 | | PF 1 |）| PF 1 |等于（| PF 2 |A ．－ 1B ． 1C ．1 12D ．211、在四周体 D － ABC 中, AB ＝ 2, S ABC ＝ 4, S ABD ＝6, 面 ABC 与面 ABD 所成二面角的大小为，则四周6体 D －ABC 的体积为（ ）DA. 4B. 4 3C. 3D. 4 2C B2y2Auuur uuur12、设 F 1 、 F 2为双曲线 x1 的两焦点，点 P 在双曲线上， 当 F 1PF 2的面积为 1 时，PF 1gPF 24的值为（ ）A 、1C 、 1D 、 2B 、 02二、填空（本大共 4 小，每小 4 分，共 16 分，把答案填在中横上。

2019-2020学年江西省⾼三（上）第⼀次⼤联考数学试卷2（含答案解析）2019-2020学年江西省⾼三（上）第⼀次⼤联考数学试卷2⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =lg(1?x)}，B ={y|y =2x +1}，则( )A. A ∩B ={x|x <0}B. A ∪B =RC. A ∪B ={x|x >1}D. A ∩B =? 2. 已知集合M ={x|?2x +1>0}，N ={x|x 12 B. a <12 C. a ≤12 D. a ≥12 3. 下列命题中的真命题是( )A. 2>5B. (?1)2<0C. 12≥5D. a 2<04. 函数f(x)=x 2?2ax +3在区间[2,3]上是单调函数，则a 的取值范围是( )A. a ≤2或a ≥3B. 2≤a ≤3C. a ≤2D. a ≥35. 函数y =lnx 2的图像可能是( )A. B.C. D.6. 设函数f (x ?2)=2x +5，则f (2)=( )A. 11B. 13C. 15D. 97. 如果log 12x x >1D. x >y >1 8. 已知x ，y ∈R ，则“x +y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”的( )A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充分且必要条件D. 不充分也不必要条件 9. 已知函数f(x)=2lnx +x 22+(5?m)x 在(4,5)上单调递增，则实数m 的取值范围是( )A. (?∞,5+2√2]B. (?∞,192)C. (?∞,5+2√2)D. (?∞,192] 10. 已知函数f(x)是定义在上的偶函数，且当x ≤0时，f(x)=log 2(1?x).若f(a 2?1)<1，则实数a 的取值范围是( )A. (?√2,0)∪(0,√2)B. (?√2,√2)C. (?1,0)∪(0,1)D. (?1,1)11. 函数f(x)={1?x 2(x <1)2?x (x ≥1),f[f(?4)]=( ) A. 12 B. 18 C. 2 D. 812.已知函数f(x)=lnx?(a+1)x，若关于x的不等式f(x)>0恰有3个整数解，则这3个整数解为()A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，6⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.函数f(x)=1xlnx的单调递增区间是______ ．14.曲线f(x)=2?xe x在点(0,2)处的切线⽅程为______ ．15.命题“?x∈[?1,1]，x2?3x+1<0”的否定是______．16.函数的最⼤值为______，此时x=__________________．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70.0分）17.已知：命题p：和是⽅程的两个实根，且不等式对任意实数m∈[?1,1]恒成⽴；命题q：函数的定义域为R.若命题p是假命题，命题q是真命题，求a的取值范围．18.已知函数f(x)=a?b2x+1(a,b为常数)是奇函数，且f(1)=13．(1)求实数a，b的值；(2)若函数g(x)=(4x?1)f(x)?k有两个不同零点，求实数k的取值范围；19.已知函数f(x)=e x?x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(x)>kx对任意的x>0恒成⽴，求实数k的取值范围．20.已知函数f(x)=x2?2ax+2，x∈[?2,3]．(1)当a=?2时，求函数f(x)的最⼤值和最⼩值．(2)求y=f(x)在区间[?2,3]上的最⼩值．21.已知函数f(x)=xlnx+ax+b在(1,f(1))处的切线为2x?2y?1=0．(1)求实数a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．+ln(1+x)22.设函数f(x)=11+x(1)求函数f(x)的单调区间；x2+1．(2)证明：当x∈(0,1)时，f(x)<(1?ln2)x3+12-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A ={x|y =lg(1?x)}={x|x <1}，B ={y|y =2x +1}={y|y >1}，∴A ∩B =?．故选：D ．先分别求出集合A 和B ，利⽤交集定义能求出结果．本题考查交集的求法，考查交集、并集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能⼒，考查函数与⽅程思想，是基础题．2.答案：D解析：解：M ={x|?2x +1>0}={x|x <12}，∵M ?N ，由数轴得∴a ≥12.故选：D ．化简集合M ，利⽤数轴求解．本题考查了集合的包含关系，属于基础题．3.答案：C解析：解：∵2>5为假命题；(?1)2=1<0为假命题；12≥5为真命题a 2≥0恒成⽴，a 2<0为假命题；故选C根据实数⼤⼩的关系，可以判断A ，C 的真假，根据实数平⽅具有⾮负性，可以判断B ，D 的真假，进⽽得到答案．本题考查的知识点是命题的真假判断与应⽤，是对真假命题定义的直接考查，属于基础题，认真解答，属于送分题．4.答案：A解析：解：∵函数f(x)=x 2?2ax +3的图象是开⼝⽅向向上，且以x =a 为对称轴的抛物线故函数f(x)=x 2?2ax +3在区间(?∞,a]为减函数，在区间[a,+∞)上为增函数，若函数f(x)=x 2?2ax +3在区间[2,3]上为单调函数，则a ≤2，或a ≥3，故答案为：a ≤2或a ≥3．故选：A ．由已知中函数的解析式f(x)=x 2?2ax +3，根据⼆次函数的图象和性质，判断出函数f(x)=x 2?2ax +3在区间(?∞,a]为减函数，在区间[a,+∞)上为增函数，由函数f(x)=x 2?2ax +3在区间[2,3上为单调函数，可得区间在对称轴的同⼀侧，进⽽构造关于a的不等式，解不等式即可得到实数a 的取值范围．本题考查的知识点是⼆次函数的性质，其中根据函数f(x)=x2?2ax+3在区间[2,3]上为单调函数，判断出区间在对称轴的同⼀侧，进⽽构造关于a的不等式是解答本题的关键．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的图像．【解答】解：因为函数为偶函数，图像关于y轴对称，故排除C，D⼜函数y=lnx2在(0,+∞)上为增函数，故排除A，故选B．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的基本概念，是基础题．令x=4，代⼊解析式即可求值．【解答】解：因为f(x?2)=2x+5，令x=4，所以f(2)=f(4?2)=2×4+5=13．故选B．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查了对数函数的单调性．利⽤底数⼩于1时，对数函数为减函数得出x，y，1的⼤⼩关系．【解答】解：log12x2y<0=log121，因为为减函数，则x>y>1．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键，属于简单题．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进⾏解答即可．【解答】解：若x≤12且y≤12”，则x+y≤12+12=1成⽴，即必要性成⽴，当x=1，y=0时，满⾜x+y≤1，但x≤12且y≤12不成⽴，即充分性不成⽴，则“x+y≤1”是“x≤12且y≤12”必要不充分条件，故选：B．9.答案：D解析：解：函数在(4,5)上单调递增，∴f′(x)=2x+x+5?m≥0，化为：m≤2x+x+5，⽽g(x)=2x+x+5在(4,5)上单调递增，∴g(x)>g(4)=192．∴m≤192．则实数m的取值范围是(?∞,192].故选：D．函数f(x)=2lnx+x22+(5?m)x在(4,5)上单调递增，f′(x)≥0，化为：m≤2x+x+5，⽽g(x)=2x+x+5在(4,5)上单调递增，即可得出最⼩值．本题考查了利⽤导数研究函数的单调性极值与最值、分离参数法，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．10.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性，⼀元⼆次不等式的解法，属于中档题．当x≤0时，f(x)=log2(1?x)为减函数，结合偶函数f(x)满⾜f(?1)=1，可得答案．。

高考数学试卷一、单选题 1.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.255± B.255 C.55 D.55±2.已知函数2()24,()2x x f x e x g x x e -=+-=-，若12()()0f x g x +=，则12x x +=（ ）A.4B.3C.2D.13.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.255± B.255 C.55 D.55± 4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0),-∞上单调递增的是（ ）A ．2(1)f x x =B ．()21f x x =+C ．()2f x x =D ．()2x f x -= 5．设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（ ）A.12B.6C.27D.306.已知函数2()2sin cos 33(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值。

7.tan 3π=（ ）C ．18．2020年，一场突如其来的“肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n 的值为（ ）A ．40B ．50C ．80D ．100 9.定义区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -，已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为（ ）10.在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB 与CD 所成角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°11.某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（ ） A ．120 B ．35 C ．310 D ．910二、填空题12．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()1f x g x g x =--+，对任意的1212,(1,1),x x x x ∈-≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则关于x 的不等式(21)()2f x f x ++>的解集为13.已知函数25(0),()8(0).x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩则[(2)]f f -的值是 . 14.已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于______.三、解答题15.已知函数2()2sin cos 23sin 3(0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.16.已知α、β是方程24420x mx m -++=的两个实根，设()22f m a β=+（1）求函数()f m 的解析式；（2）当m 为何值时，()f m 取得最小值？17.已知函数()()21log 01+=>-ax f x a x 是奇函数 （1）求a 的值与函数()f x 的定义域；（1）用定义证明函数()f x 在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；（2）当函数()lg y f x k =-有两个大于0的零点时，求实数k 的取值范围。

数学模拟试卷02第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·浙江台州市·高一期中）设集合U =R ,{|1A x x =<-或2}x >，则UA（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞ B ．[1,2]- C ．(,1][2,)-∞-+∞D ．(1,2)-2．（2020·贵州省铜仁第一中学高一期中）设函数212(2)()5(2)x x f x x x x ⎧-=⎨-->⎩，则()3f f ⎡⎤⎣⎦等于（ ） A ．1-B ．1C ．5-D ．53．（2020·重庆市云阳江口中学校高三月考）下列命题中正确的是（ ） A ．()0,x ∃∈+∞，23x x > B ．()0,1x ∃∈，23log log x x <C ．()0,x ∀∈+∞，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭4．（2020·安徽高三月考（理））函数153()sin 2152x x f x x π-⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5.（2019·浙江高一期中）函数12()log (2)f x x =-的单调递增区间是( )A ．(,2)-∞B ．(,0)-∞C ．(2,)+∞D ．(0,)+∞6．已知2παπ<<，1sin cos 5αα+=，则tan α等于（ ） A. 34-B. 34-或43- C.34或43D.357．（2020·沙坪坝区·重庆一中高三月考）设sin 5a π=，2log3b =2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<9．（2020·陕西省定边中学高三月考（文））已知225sin sin 240αα+-=，α在第二象限内，那么cos 2α的值等于（ ） A ．35±B ．35C ．35D ．以上都不对10．（2020·河北高二学业考试）关于函数()()()1sin 1sin 2cos f x x x x =-++，[]π,πx ∈-，有以下四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在[]π,0-是增函数，在[]0,π是减函数 ③()f x 有且仅有1个零点 ④()f x 的最小值是1-，最大值是3 其中正确结论的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2018·江苏苏州市·高一期末）函数lg(2)y x =-的定义域是______．12．（2020·江苏南通市·高三期中）已知函数()()3,0,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3log 2f =________.13．（2020·浙江杭州市·高一期末）函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为___________．14．（2020·北京师大附中高一期末）设α是第一象限角，3sin 5α=，则tan α=______.cos2=α______. 15．（2020·忻州市第二中学校高三月考（文））某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()T A t b ωϕ=++2πϕπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，那么这一天6时至14时温差的最大值是_______°C ；图中曲线对应的函数解析式是________.16．（2020·江苏南通市·高一期中）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log b a a N b N =⇔=，现已知2log 6,336ba ==，则12a b+=____，2=ab _____．17．（2020·江苏高一月考）设函数2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，当a =1时，f (x )的最小值是________；若2()f x a ≥恒成立，则a 的取值范围是_________.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·河北沧州市·高二期中）已知:p 1，:q 2221x x a -<-(0a >) （1）当2a =时，若p 和q 均为真命题，求x 的取值范围： （2）若p 和q 的充分不必要条件，求a 的取值范围． 19. （2020·安徽高三月考（理））已知函数()4sin 33f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，先将()f x 的图象向左平移12π个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象. （1）当2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域； （2）求函数()g x 在[0,2]π上的单调递增区间.20. （2020·甘肃省静宁县第一中学高三月考（文））已知函数()2sin cos f x x x x =-+（1）求函数()f x 的单调增区间； （2）若()035f x =，0ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值. 21．（2020·安徽高三月考（理））已知()f x 是定义在[3,3]-上的奇函数，且当[0,3]x ∈时，()43x xf x a =+⋅（a 为常数）.（1）当[3,0)x ∈-时，求()f x 的解析式； （2）若关于x 的方程1()23xx f x m --=⋅+在[2,1]--上有解，求实数m 的取值范围.22．（2020·河北高二学业考试）已知函数()22f x x x =+，()24g x ax a =+．（Ⅰ）解不等式()()f x g x ≥；（Ⅱ）用{}max ,p a 表示p ，q 中的较大值，当0a >时，求函数()()(){}max ,H x f x g x =的最小值．。

2023年江西省重点中学盟校高考数学第一次联考试卷（理科）1. 若集合，则( )A. B. C. D.2. 若复数z是方程的一个根，则的虚部为( )A. 2B. 2iC. iD. 13. 袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中、华、道、都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”、“都”两个字的小球都被取到，则停止取球.现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0，1，2，3分别代表“中、华、道、都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果.现经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 231 021 122 203 012231 130 133 231 031 123 122 103 233由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为( )A. B. C. D.4. 已知等差数列的前n项和，若，则( )A. 150B. 160C. 170D. 与和公差有关5. 法国数学家加斯帕蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆：的蒙日圆为C：，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.6. 阅读程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为( )A. B. C. D.7. 如图，内接于圆O，AB为圆O的直径，，，平面ABC，E为AD的中点，且异面直线BE与AC所成角为，则点A到平面BCE的距离为( )A.B.C.D.8. 若正项递增等比数列满足：，则的最小值为( )A. B. 2 C. D. 49. 已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为( )A. B. C. D. 010. 长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是，夏季来的概率是，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择3处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为( )A. B. C. D.11.已知双曲线的左右焦点分别为，，A为双曲线右支上一点，设，，若，则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.12. 定义在R上的函数与的导函数分别为和，满足，，且为奇函数，则( ) A. B. C. D.13. 设向量满足，则______ .14. 设，若且，则取值范围为______ .15. 已知函数，所有满足的点中，有且只有一个在圆C上，则圆C的方程可以是______ 写出一个满足条件的圆的方程即可16. 若时，关于x的不等式恒成立，则正整数n的取值集合为______ 参考数据：，，17. 在中，已知求；若D是AB边上的一点，且，求面积的最大值.18.如图，在梯形ABCD中，，，现将沿AC翻折成直二面角证明：；若，二面角余弦值为，求异面直线PC与AB所成角的余弦值.19. 中医药在抗击新冠肺炎疫情中，发挥了重要作用.中药可以起到改善平常上呼吸道的症状，同时可以起到抑制病毒繁殖的效果就可以达到治疗新型冠状病毒肺炎的作用.某地种植药材收到了很好的经济效益.根据资料显示，产出的药材的箱数单位：十箱与成本单位：千元的关系如下：x34679y78y与x可用回归方程其中为常数，且精确到进行模拟.若农户卖出的该药材的价格为500元/箱，试预测该药材10箱的利润是多少元；利润=售价-成本据统计，4月份的连续20天中农户每天为甲地可配送的药材的箱数的频率分布直方图如图，用这20天的情况来估计相应的概率.通过频率分布直方图计算农户每天平均可配送的药材的箱数同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表；一个运输户拟购置3辆小货车专门运输农户为甲地配送的该药材，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该药材，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利400元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.试计算此项业务每天的利润平均值的大小.参考数据：设，则参考公式：对于一组数据…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，20. 设抛物线C：的焦点为F，过焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，抛物线在A，B两点切线交于点P，当直线AB垂直y轴时，面积为求抛物线的方程；若，求直线AB的方程.21. 已知函数，讨论函数极值点的个数；存在直线与与曲线共有五个不同的交点，求a的取值范围.注：是自然对数的底数22. 在直角坐标系xOy中，笛卡尔叶形线的参数方程为为参数，曲线的普通方程为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.写出的普通方程与的极坐标方程；若与有公共点，求a的取值范围.23. 已知a，b，c都是正数，且，证明：；答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，则故选：求出集合B，利用交集定义能求出本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：，即，解得或，当时，，当时，，故的虚部为故选：根据已知条件，先求出z，再结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意可知，恰好取球三次就停止的有：023，203，123，共3组随机数，故恰好取球三次就停止的概率为故选：根据已知条件，先求出满足题意的随机数，再结合古典概型的概率公式，即可求解．本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，等差数列中，若，则，故故选：根据题意，由等差数列的性质可得，由此计算可得答案．本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：直线，与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点在圆C：上，，即，椭圆的离心率故选：由题意可知，点在圆C：上，代入后结合隐含条件求解椭圆的离心率．本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i 是否继续循环循环前 1 1第一圈 3 2 是第二圈 7 3 是第三圈 15 4 是第四圈 31 5 否所以当时．输出的数据为31，故选分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．本题主要考查了循环结构，解题的关键是弄清各变量之间的关系，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：AB为圆O的直径，，，，，平面ABC，AC，平面ABC，，，，CD，平面BCD，平面BCD，，CD，平面ACD，平面ACD，F为CD中点，连接EF，FB，如图，E为AD的中点，，，平面BCD，平面BCD，，异面直线BE与AC所成角为，，，，，，，，E到平面ABC的距离为，，故选：F为CD中点，异面直线BE与AC所成角为，可得，由已知条件求解所需线段的长，设点A到平面BCE的距离为h，由，能求出点A到平面BCE的距离．本题考查异面直线所成角、点到平面距离公式、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为q，由于数列是正项递增等比数列，则，由于，则有，变形可得，则，又由，，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时等号成立，即的最小值为故选：据题意，设等比数列的公比为q，将变形可得，由此可得，由基本不等式的性质分析可得答案．本题考查数列与不等式的综合应用，涉及等比数列的性质，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：由题意知：正方体的外接球的球心为O，正方体的外接球的直径，则O为AB的中点，所以，且，故，由于，所以的最小值故选：首先利用球和正方体的关系求出正方体的外接球的直径，进一步利用向量的线性运算和数量积运算求出结果．本题考查的知识要点：正方体和球的关系，向量的线性运算，向量的数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．10.【答案】C【解析】解：设冬季去了一眼望三国为事件A，夏季去了一眼望三国为事件B，则，，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为，故选：先利用古典概型的概率计算公式求出，，再利用互斥事件的概率加法公式求解即可．本题考查互斥事件的概率加法公式和古典概型的概率计算公式，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：如图，设的内切圆的圆心为I，设内切圆I与x轴的切点为H，根据内切圆的切线长相等及双曲线的性质可得：，又，，，为双曲线的右顶点，且，又根据内切圆的概念易知：，，，，，，，，，，，，，双曲线的渐近线方程为，故选：设的内切圆的圆心为I ，设内切圆I 与x 轴的切点为H ，根据内切圆的切线长相等及双曲线的性质可得：，又，从而可得，，从而可得H 为双曲线的右顶点，且，又根据内切圆的概念易知：，，从而再根据题意建立方程，化归转化，即可求解．本题考查双曲线的几何性质，双曲线焦点三角形的内切圆的性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．12.【答案】A【解析】解：，，则，，，即，，令，则，解得，①，，又为奇函数，，即②，由①+②得③，④，由③-④得，是周期为4的周期函数，令，由②得，解得，令，由③得，令，由③得，，，故选：利用导数的定义可得，结合题意可得，令，求出c，根据奇函数的性质可得是周期为4的周期函数，可求出，即可得出答案．本题考查导数的定义和抽象函数的应用，考查转化思想，考查赋值法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：已知向量满足，则，则，故答案为：由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．14.【答案】【解析】解：，若且，不妨，，所以，显然时，差值取得最小值，因为，所以，所以取值范围为故答案为：利用已知条件，结合余弦函数的图象的特征，转化求解取值范围即可．本题考查余弦函数的图象与性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．15.【答案】【解析】解：函数，是R上的增函数，且是奇函数，故满足的点，满足，即，故有，即，故点在直线上．再根据有且只有一个点在圆C上，故圆C和直线相切，故圆的方程可以为，故答案案为：由题意可得是单调递增的奇函数，点在直线上，再根据直线与圆相切，可得一个圆C的方程．本题考查函数的性质及导数的综合运用，训练了利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，是中档题．16.【答案】【解析】解：令，则，又因为，所以，所以在上单调递增，易知函数在单调递减，单调递增，其中，则，即恒成立，又因为，，，所以，设，则，，令，函数定义域为，，令，解得，，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，所以，即当时，有，所以，可得，即，又在上单调递增，当时，，时，，时，，只有和时，有恒成立，所以满足条件的n的取值集合为故答案为：不等式恒成立，则函数的最小值大于0，利用导数研究函数单调性，由，有恒成立，结合参考数据计算即可．本题考查了转化思想、导数的综合运用及恒成立问题，也考查了计算能力，属于难题．17.【答案】解：因为，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，即，又因为，可得；因为因为，则，可得，则，因为，，整理可得，当且仅当时取等号，可得，所以，所以面积的最大值为【解析】由题意及正弦定理可得，再由余弦定理可得，可得的值，再由C角的范围，可得C角的大小；由向量的关系可得，平方，由余弦定理及均值不等式，可得ab的最大值，代入三角形的面积公式，可得面积的最大值．本题考查正余弦定理的应用及均值不等式的应用，属于中档题．18.【答案】证明：取AB的中点E，连接CE，，四边形ADCE是平行四边形，，，，即，又平面平面ACB，且两平面的交线为AC，平面PAC，又平面PAC，；解：由知，，取AC的中点O，则，，且，OC，OE，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，易得平面PAC的一个法向量为，设平面PAB的一个法向量为，由，取，得，，故，二面角余弦值为，，解得，则，设异面直线PC与AB所成角为，则，所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为【解析】取AB的中点E，连接CE，证明，由平面平面ACB，得平面PAC，可证；取AC的中点O，以O为原点建立空间直角坐标系，设，由二面角余弦值为，利用向量法求a的值，再由向量法求异面直线PC与AB所成角的余弦值．本题考查了线线垂直的证明以及二面角和异面直线所成的角的计算，属于中档题．19.【答案】解：，，，，，所以，所以又，所以，所以10箱药材，时，千元，即该水果10箱的成本为4860元，故该水果10箱的利润为元，所以农户每天平均可配送125箱药材；根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该水果的箱数的概率分布表为：箱数P该运输户购3辆车时每天的利润为Y元，则Y的可能取值为1200，600，0，其分布列为：Y12006000P，故此项业务每天的利润平均值为900元．【解析】根据公式可求得，，从而得到，当时求得，进而求得利润；利用频率分布直方图估计平均数的计算公式可求；根据频率分布直方图，可求该农户每天可配送的该水果的箱数的概率分布表，进而求得分布列，最后根据均值的计算公式求得此项业务每天的利润平均值即可．本题考查由频率分布直方图估计平均，简单离散型随机变量分布列的应用，属于中档题．20.【答案】解：由，得，则有，直线轴时，不妨设，曲线C在点A处切线PA的斜率为，切线方程为：，同理切线PB的方程为：，联立方程得，则，得抛物线的方程；设直线AB方程：，，，与抛物线方程联立方程组得：，则有，，由，得，则有，所以，切线AP方程：，切线BP方程：，联立得，，，又，得，又，所以，，所以，则直线AB方程：或【解析】直线AB垂直y轴，设，利用导数求切点处切线的斜率，得切线PA和切线PB的方程，联立方程组求得点P坐标，再由面积为4，求出，得抛物线的方程；直线AB方程：，，，利用导数求切点处切线的斜率，得切线PA和切线PB的方程，联立方程组求得点P坐标，与抛物线方程联立，韦达定理可证，，得，由，解出k，得直线AB的方程．本题考查了直线与抛物线的综合运用，属于中档题．21.【答案】解：函数，，的定义域为，求导得，令，所以函数在上单调递增，，，所以函数在上有唯一的零点，，而，，若，由，，得，当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以有两个极值点，当时，恒有成立，当且仅当时取等号，在上单调递增，无极值，若时，由，得或时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，有两个极值点，所以当或时，函数有两个极值点，当时，函数无极值点．由知，当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，当时，，当时，与都单调递增，取值集合分别为，，即当时，函数的取值集合为，因为存在直线，与曲线共有五个不同的交点，则取，直线与曲线有2个公共点，直线与曲线必有3个公共点，当且仅当，由，得，，，令，当时，，所以函数在上单调递增，，由得，令，，，所以函数在上单调递增，所以，则，当时，在上单调递增，直线，与曲线最多只有两个不同的交点，不符合题意，当时，函数在，上单调递在，在上单调递减，当时，函数取得极小值，当时，取得极大值，当时，与都单调递增，取值集合分别为，，即当时，函数的取值集合为，因为存在直线，与曲线共有五个不同的交点，则取，直线与曲线有两个公共点，直线与曲线必有3个公共点，当且仅当，，所以当时，由得，单调递增，由得，单调递减，，所以不等式，不成立，综上所述，，所以a的取值范围为【解析】求出函数的导函数，再分类讨论函数的零点个数．按a的取值求出的极值，结合函数的图象特征列出不等式，求解作答．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：在曲线的参数方程中，当时，，当时，，于是，整理得，显然满足上式，因此，所以的普通方程是，的极坐标方程是；把代入得：，与的极坐标方程联立整理得：，因为，即，即有，，则，，不妨令，因此，所以a的取值范围是【解析】消去的参数方程中参数得的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化公式可得的极坐标方程；求出的极坐标方程，再与的极坐标方程联立，结合三角函数性质求解作答．本题考查了参数方程和普通方程，极坐标方程间的转化，属于中档题．23.【答案】证明：因为a，b，c都是正数，且，所以，所以，当且仅当，即时取等，故成立；因为a，b，c都是正数，且，所以，，，由柯西不等式可得，即，当且仅当，即，，时取等号，因为a，b，c都是正数，所以有，得证．第21页，共21页【解析】由已知可得，再利用基本不等式证明即可；由已知可得，，，再利用柯西不等式证明即可．本题主要考查不等式的证明，考查逻辑推理能力，属于中档题．。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U（A ∪B）＝（）A．{﹣2，3}B．{﹣2，2，3）C．{﹣2，﹣1，0，3}D．{﹣2，﹣1，0，2，3}【分析】先求出A∪B，再根据补集得出结论．【解答】解：集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则A∪B＝{﹣1，0，1，2}，则∁U（A∪B）＝{﹣2，3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的交并补运算，属于基础题．2．（5分）若α为第四象限角，则（）A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0【分析】先求出2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，即可判断．【解答】解：α为第四象限角，则﹣+2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，则﹣π+4kπ＜2α＜4kπ，∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，∴sin2α＜0，故选：D．【点评】本题考查了角的符号特点，考查了转化能力，属于基础题．3．（5分）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名【分析】由题意可得至少需要志愿者为＝18名．【解答】解：第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算，因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为＝18名，故选：B．【点评】本题考查了等可能事件概率的实际应用，属于基础题．4．（5分）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【分析】由题意可得从内到外每环之间构成等差数列，且公差d＝9，a1＝9，根据等差数列的性质即可求出n＝9，再根据前n项和公式即可求出．【解答】解：设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差d ＝9，a1＝9，由等差数列的性质可得S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列，且（S3n﹣S2n）﹣（S2n﹣S n）＝n2d，则n2d＝729，则n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9+×9＝3402块，故选：C．【点评】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．5．（5分）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．【分析】由已知设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，（2，1）代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．【解答】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0．故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，再把点（2，1）代入，求得a＝5或1，故要求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）；故圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离d＝＝或d＝＝；故选：B．【点评】本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．6．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a m+n＝a m a n．若a k+1+a k+2+…+a k+10＝215﹣25，则k＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】在已知数列递推式中，取m＝1，可得，则数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的前n项和公式列式求解．【解答】解：由a1＝2，且a m+n＝a m a n，取m＝1，得a n+1＝a1a n＝2a n，∴，则数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，∴a k+1+a k+2+…+a k+10＝＝215﹣25，∴k+1＝5，即k＝4．故选：C．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．7．（5分）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（）A．E B．F C．G D．H【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出图形中的对应点．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图：根据三视图和几何体的的对应关系的应用，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，所以在侧视图中与点E对应．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换、主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．（5分）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．32【分析】根据双曲线的渐近线方程求出点D，E的坐标，根据面积求出ab＝8，再根据基本不等式即可求解．【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别将x＝a，代入可得y＝±b，即D（a，b），E（a，﹣b），则S△ODE＝a×2b＝ab＝8，∴c2＝a2+b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴C的焦距的最小值为2×4＝8，故选：B．【点评】本题考查了双曲线的方程和基本不等式，以及渐近线方程，属于基础题．9．（5分）设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在（，+∞）单调递增B．是奇函数，且在（﹣，）单调递减C．是偶函数，且在（﹣∞，﹣）单调递增D．是奇函数，且在（﹣∞，﹣）单调递减【分析】求出x的取值范围，由定义判断为奇函数，利用对数的运算性质变形，再判断内层函数t＝||的单调性，由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由，得x．又f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数；由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝，∵＝＝．可得内层函数t＝||的图象如图，在（﹣∞，）上单调递减，在（，）上单调递增，则（，+∞）上单调递减．又对数式y＝lnt是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查复合函数单调性的求法，是中档题．10．（5分）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O 的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A．B．C．1D．【分析】画出图形，利用已知条件求三角形ABC的外接圆的半径，然后求解OO1即可．【解答】解：由题意可知图形如图：△ABC是面积为的等边三角形，可得，∴AB＝BC＝AC＝3，可得：AO1＝＝，球O的表面积为16π，外接球的半径为：4πR2＝16，解得R＝2，所以O到平面ABC的距离为：＝1．故选：C．【点评】本题考查球的内接体问题，求解球的半径，以及三角形的外接圆的半径是解题的关键．11．（5分）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（）A．ln（y﹣x+1）＞0B．ln（y﹣x+1）＜0C．ln|x﹣y|＞0D．ln|x﹣y|＜0【分析】由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），结合函数的单调性可得x，y的大小关系，结合选项即可判断．【解答】解：由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），所以x＜y，即y﹣x＞0，由于y﹣x+1＞1，故ln（y﹣x+1）＞ln1＝0，故选：A．【点评】本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于基础试题．12．（5分）0﹣1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列a1a2…a n…满足a i∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整数m，使得a i+m＝a i（i＝1，2，…）成立，则称其为0﹣1周期序列，并称满足a i+m＝a i（i＝1，2…）的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0﹣1序列a1a2…a n…，C（k）＝a i a i+k（k＝1，2，…，m﹣1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0﹣1序列中，满足C（k）≤（k＝1，2，3，4）的序列是（）A．11010…B．11011…C．10001…D．11001…【分析】分别为4个选项中k＝1，2，3，4进行讨论，若有一个不满足条件，就排除；由题意可得周期都是5，每个答案中都给了一个周期的排列，若需要下个周期的排列，继续写出，如C答案中的排列为10001 10001 10001．【解答】解：对于A选项：序列11010 11010C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+0+0）＝，C（2）＝a i a i+2＝（0+1+0+1+0）＝，不满足C（k）≤（k＝1，2，3，4），故排除A；对于B选项：序列11011 11011C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+1+1）＝，不满足条件，排除；对于C选项：序列10001 10001 10001C（1）＝a i a i+1＝（0+0+0+0+1）＝，C（2）＝a i a i+2＝（0+0+0+0++0）＝0，C（3）＝a i a i+3＝（0+0+0+0+0）＝0，C（4）＝a i a i+4＝（1+0+0+0+0）＝，符合条件，对于D选项：序列11001 11001C（1）＝a i a i+1＝（1+0+0+0+1）＝不满足条件．故选：C．【点评】本题考查序列的周期性及对5个两项乘积之和的求法，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省重点中学协作体2024届高三第一次联考数学参考答案一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案BCDACBDC与丙比赛，丙输，131C 3⨯，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意.若丙全赢（概率是21()3）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于6分，只有平或输，一平一输，概率是1221C ()3，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是23，两场均平，概率是21()3，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，两场甲都输，概率是21()3，乙丁这场比赛只能平，概率是13.综上，概率为12122232511121118C ([C ()((]33333333⨯⨯⨯⨯⨯++⨯=，D 正确．8.【答案】C【详解】因为()3g x +为偶函数，()()1g x f x '=+，所以()()44f x f x ''+=-+，对(2)(2)4f x f x x +--=两边同时求导，得(2)(2)4f x f x ''++-=，所以有(4)()4(4)()4(4)()4(8)(),f x f x f x f x f x f x f x f x ''''''''++-=⇒-+-=⇒++=⇒+=所以函数()f x '的周期为8，在(2)(2)4f x f x ''++-=中，令0x =，所以(2)2f '=，因此()()()171822g f f ''===，因为()3g x +为偶函数，所以有()()()()()()()3373311g x g x g g x g x g ''=-⇒=--⇒=-'+-'+，()()()()()()()(8)()7171712f x f x g x g x g x g x g g ''''''+=⇒+=-⇒+=-⇒=-，由()()1,2可得：()70g '=，所以()()7172g g '+=.，B正确;BM的距离为定值，的距离为半径的圆锥上，截圆锥的轨迹为双曲线的一支，即C错误；为半径的圆(如图)，易知11,,,DC NQ DC BQ NQ BQ Q NQ BQ ⊥⊥=⊂ 、平面BNQ ，∴1DC ⊥平面BNQ ，∵1DC ⊂平面1BDC ，∴平面1BDC ⊥平面BNQ ，而222232sin 311122NBNQB BQ∠===⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设NQ 与圆的交点分别为E，F(点E 位于点F，Q 之间，如上图所示)，易知当点A 分别位于点E，F 时，点A 到平面1BDC 的距离分别取到最小值和最大值，且距离的最小值min 2231sin 1223d NQB ⎛⎫⎛⎫=-⋅∠=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，距离的最大值max 2231sin 1223d NQB ⎛⎫⎛⎫=+⋅∠=+⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵1BDC 的面积()2132sin 6022S =⋅⋅=，min max 1323121323121,132236123223612V V ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅=-=⋅⋅+⋅=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选项D 正确．综上，正确选项为ABD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】24【详解】二项式6)(y x +的展开式通项公式为*-+∈≤=N r r y xC T r rr r ,6,661，当4=r 时，424246515y x y x C T ==，当5=r 时，5515666xy y x C T ==，因此展开式中含42y x 的项为4254224(6152y x yxxy y x =-⋅+⋅，故所求系数为24.13.【答案】(]4,∞-.14.【答案】12220242023-.四、解答题：本大题共5小题，共77分.15.(13分)解(1)由题可得：CD=2BD，故33232==∆∆ABC ACD S S …………………2分又ADCCDADS ACD∠⋅⋅=∆sin21,即33223121=⨯⨯⨯CD，38=∴CD，即34=BD………………4分在ABD∆中，根据余弦定理得ADBBDADADBDAB∠⋅⋅-+=cos2222即21341219162⨯⨯⨯++=AB…………………6分337=∴AB，即337=c，…………………7分(2)BDCD2=，ACABAD3132+=∴…………………8分ACABACABAD⋅++=∴949194222，即BACbcbc∠⋅++=cos94994122又11422=+cb，21cos-=∠⋅∴BACbc①…………………11分又3sin21=∠⋅BACbc②，由①②得：34tan-=∠BAC…………………12分734sin=∠∴BAC…………………13分16.(15分)(1)证明：在ACD∆中222cos222=⋅-+=∠ADACCDADACCAD，︒=∠∴45CAD………1分过点D作DO⊥AC于点O，连接BO，则345sin=︒⋅=ADDOCBCDADAB==，，∴ABC∆≌ADC∆，即OD=OB=3………………3分又OBODBDODOBBD⊥∴=+∴=，，22223又OD⊥AC，ABCODCOB平面，⊥∴=OA………………5分又，平面ACDOD⊂∴平面ACD⊥平面ABC…………………6分(2)由(1)知，OA、OB、OD两两垂直，以O为原点建立坐标系xyzO-，)0,0,4()3,0,0()0,3,0()0,0,3(-CDBA，，，，)43,0,3(4CD-∴=ECE，………………8分设),,(zyxn=是平面ABE的一个法向量则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅43633zxyxAEnABn811===zyx，，则令，)8,1,1(=∴n…………………12分而)1,0,0(=m是平面ABC的一个法向量，33664||||cos=⋅>=⋅<∴nmnmnm (14)分设二面角C AB E --平面角的大小为θ，则82tan =θ82的正切值为二面角C AB E --∴………………15分17.(15分)解(1)设),(11y x C ，由题可知，BN AM BC AC k k k k ⋅=⋅………………2分又27N M BNAM yy k k =⋅，由93321211111-=-⋅+=⋅x y x y x y k k BC AC …………………4分上在点E y x C )(11 ，1592121=+∴y x ，∴95-=⋅BC AC k k …………………5分15-=⋅∴N M y y ………………6分（2)由题可知，直线MA 的方程为：)3(9+=x yy M 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=4595)3(922y x x y y M 可得：040596)45(2222M =-+++M M y x y x y )4059)(45(436222-+-=∆∴M M M y y y =45>0………………7分2214540593MM y y x +-=- ，∴221451353MM y y x ++-=………………8分又)3(911+=x y y M，214530MM y y y +=∴，）（2224530,451353M M M M y y y y C +++-∴同理可得点D 的坐标为）（222510,5153MMM M y y y y +-+-………………9分(i)当直线CD 垂直于x 轴时，D C x x =，即22225153451353MM M M y y y y +-=++-,152=∴M y 23==∴D C x x ，此时直线CD 的方程为23=x ………………10分(ii)当直线CD 不垂直于x 轴时，22222251534513535104530M M M M M MM M CD y y y y y y y y k +--++-+++=67533002043+-+=M MM y y y ………………11分故直线CD 的方程为（224325153675330020510MM M M M MM y y x y y y y y y +--+-+=++………………12分令y=0，则（224225153675330251MM MM My y x y y y +--+-+=+整理得231504022256032424=++++=MMMMyyyyx，此时直线CD经过定点)0,23(……………14分综上，直线CD经过定点)0,23(………………15分另解：(ii)当直线CD不垂直于x轴时，由对称性知定点在x轴上，设)0,(tQ由C、D、Q三点共线知=-++-+tyyyyMMMM2224513534530tyyyyMMMM-+--+-2225153510化简得：()06090462=-+-tyt M，则23=t此时直线CD经过定点)0,23(……………14分综上，直线CD经过定点)0,23(………………15分解法二：(1)设),(11yxC，则),9()3(11MyAMyxAC=+=，，，∵A、C、M三点共线，∴3911+=xyy M，…………………2分同理：3311-=xyy N，∴9272121-=⋅xyyy NM…………………4分又点),(11yxC在曲线E上，∴1592121=+yx，代入上式得：15-=⋅NMyy………………6分(2)由ACBMMBMMACkkykyk339===得又95331111-=-⋅+=⋅xyxykk BCAC，∴353-=⋅=⋅ACBCBDBCkkkk…………………8分由题可得直线CD显然不与x轴平行设直线CD的方程为：),(),()3(2211yxDyxCnnmyx，，±≠+=由⎪⎩⎪⎨⎧=++=459522yxnmyx得045510)95(222=-+++nmnyym…………………9分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+>∆9545595102221221mnyymmnyy得由…………………11分又332211-⋅-=⋅xyxykk BDBC)3)(3(2121-+-+⋅=nmynmyyy96)(3)(2212121221+-++-++⋅=nnyymyymny ymyy8154945522+--=nnn…………………13分由)(323358154945522舍去或得==-=+--n n n n n …………………14分∴直线CD：23+=my x ，∴直线CD 经过定点)0,23(…………………15分18.(17分)解(1)若n=2，X 的取值为0，1，2，Y 的取值为0，1，2，…………………1分则P （X=0，Y=0）=91312=，…………………2分P （X=0，Y=1）=，92313112=⨯⨯C …………………3分P （X=0，Y=2）=91312=，P （X=1，Y=0）=92313112=⨯⨯C …………………4分P （X=1，Y=1）=，92313112=⨯⨯C P （X=2，Y=0）=91312=…………………5分P （X=1，Y=2）=P （X=2，Y=1）=P （X=2，Y=2）=0…………………6分故（X ，Y ）的联合分布列为（X ，Y ）01209192911929202910…………………7分(2)当，时0),(,===>+m Y k X P n m k …………………9分故∑∑∑-=--==⋅=======kn m nm k n k n k n m n m k C C m Y k X P m Y k X P p 031),(),(…………………11分=k n k k nkn m k n nknm kn nk nC C C C --=--==∑)32(31(2330…………………13分所以]32(31([00kn k nk nk k n k kC kp -==∑∑=，…………………15分由二项分布的期望公式可得∑==nk k nkp 03.…………………17分19.(17分)解(1)若1a =-，则()2ln 21f x x x x =++，所以()ln 14f x x x '=++，所以()1145f '=+=，又()1213f =+=，………………2分所以()f x 的图象在1x =处的切线方程为()351y x -=-，即520x y --=.………………3分(2)(i)由题意知()ln 14f x x ax '=+-.令()()ln 41g x f x x ax '==-+，则()14g x a x'=-.因为()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，所以()0g x =有两个不等正实根1x ，()212x x x <.若0≤a ，()0g x '>，则()g x 在()0,+∞上递增，所以()g x 在()0,+∞上至多有一个零点，不符合题意；………………5分若0a >，令()0g x '=，解得14x a=，所以当104x a <<时，()0g x '>，当14x a >时，()0g x '<，所以()g x 在10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,4a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减.所以14x a =时，()g x 取得极大值，即最大值为()1ln 44g a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，………………6分所以()1ln 404g a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，解得104a <<.………………7分当104a <<时，104g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又140e e a g -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以1104e g g a ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在性定理知：存在唯一的111,e 4x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x =.………………8分又2221114ln 412ln 1g a a a a a a ⎛⎫=-⋅+=--+ ⎪⎝⎭，令()42ln 1x x x μ=--+，所以()222442xx x x x μ-'=-+=，所以当02x <<时，()0x μ'>，当2x >时，()0x μ'<，所以()x μ在()0,2上递增，在()2,+∞上递减，所以()()42ln 122ln 210a a aμμ=--+=--<≤，所以210g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以21104g g a a ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在性定理知：存在唯一的2211,4x a a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()20g x =.………………10分所以当104a <<时，()0g x =有两个不等正实根1x ，2x .综上，a 的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭.………………11分(ii)证明：由①知104a <<，且12104x x a <<<，所以114a>，因为()g x 在10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，及()1140g a =->，所以11x <，…………………12分又214x a >，所以21114x x a->-.………………13分因为()10g x =，()20g x =，所以11ln 410x ax -+=，22ln 410x ax -+=，所以()1212ln ln 4x x a x x -=-，所以121214ln ln x x a x x -=-.………………14分令()()()21ln 011x h x x x x -=-<<+，所以()()()()222114011x h x x x x x -'=-=>++，所以()h x 在()0,1上递增，因为12x x <，所以121x x <，所以()1210x h h x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+，所以121212ln ln 2x x x x x x -+<-，………………16分所以12121214ln ln 2x x x x a x x -+=<-，即1212x x a+>.所以()()211221111322222x x x x x x a a a-=++->+-=-.………………17分。

一、单选题二、多选题1.定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x 的不等式的解集为（ ）A．B．C．D．2. 下列函数是偶函数的是（ ）A．B．C．D．3. 在等比数列中，已知是方程的两根，则A ．1B．C．D ．34. 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 平面向量与的夹角为，且，为单位向量，则（ ）A．B．C ．19D ．76. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 在三棱锥中，平面平面，，，，的面积为，则三棱锥的外接球体积为（ ）A．B．C．D．8. 复数的共轭复数为（ ）A．B．C．D．9. 下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）．A．B．C．D．10. 已知函数，，则（ ）A ．与的定义域不同，与的值域只有1个公共元素B．在与的公共定义域内，的单调性与的单调性完全相反C．的极小值点恰好是的极大值点，的极大值点恰好是的极小值点D．函数既无最小值也无最大值，函数既有最小值也有最大值11. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《励智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列说法不成立的是（ ）A ．若且，则B ．若，则C ．若，则D ．若且，则江西省重点中学协作体2024届高三一模数学试题三、填空题四、解答题12. 已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ）A ．若，则直线恒过定点B ．若，则圆可能过点C ．若，则圆关于直线对称D ．若，则直线与圆相交所得的弦长为213.已知平面上三点、、满足，，，则的值等于____________．14. 如图，以Ox 为始边作钝角α，角α的终边与单位圆交于点P （x 1，y 1），将角α的终边顺时针旋转得到角β．角β的终边与单位圆相交于点Q （x 2，y 2），则x 2﹣x 1的取值范围为_____．15. 已知的边，且，则的面积的最大值为___________.16. 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本万元.（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？17.已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.18. 如图，正方体的棱长为1，E ，F是线段上的两个动点．(1)若平面，求的长度；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．19.如图，在平面内，四边形的对角线交点位于四边形内部，，，为正三角形，设.(1)求的取值范围；(2)当变化时，求四边形面积的最大值.20. 如图，四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，侧面为矩形，，，.(1)证明：平面平面；(2)求三棱锥的体积.21. 已知函数．(1)求证：；(2)证明：当，时，．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（江西卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：样本数据1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y 的回归方程：y a bx =+其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =- 锥体体积公式1212,n n x x x y y y x y n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+== 13V Sh = 其中S 为底面积，h 为高第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若()2,,x i i y i x y R -=+∈，则复数x yi +=（ ） A.2i -+ B.2i + C.12i - D.12i + 答案：B2.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ） A.M N ⋃ B.M N ⋂ C.()()U U C M C N ⋃ D.()()U U C M C N ⋂ 答案：D3.若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为( )A.1(,0)2-B.1(,)2-+∞C.1(,0)(0,)2-⋃+∞D.1(,2)2-答案：C4.曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C.e D.1e答案：A5.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B6.观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20117的末两位数字为（ ）A.01B.43C.07D.49 答案：B7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均值为x ，则（ ） A.e o m m x== B.e o m m x =<C.e o m m x <<D.o e m m x <<答案：D 计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选D父亲身高x （cm ） 174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ） 175 175176177177则y 对x 的线性回归方程为A.y = x-1B.y = x+1C.y = 88+12x D.y = 176 C 线性回归方程bx a y +=，()()()∑∑==---=ni i ni ii x x y y x x b 121，x b y a -=9.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）答案：D 左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案。

江西高三模拟考试(文科)数学试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：__________一、单选题1．设集合{}2560A x x x =--<和{}4,2,0,2,4B =--，则A B =（ ）A ．{}0,2B ．{}2,0-C ．2,0,2D ．{}0,2,42．复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，22z i =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（ ）. A ．75B ．75-C ．7i 5D ．7i 5-3．在ABC ∆中AB =AC=1，B=30°，和ABC S ∆=，则C = A ．60或120B ．30C ．60D ．454．已知x 与y 的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为0.7 1.05y x =+，则m 的值是（ ）A ．3.8B ．3.85C ．3.9D ．4.05．已知tan 2x =，则sin cos 1x x +=（ ） A ．25B ．75C ．2D ．36．已知直线:210l x y k +++=被圆22:4C x y +=所截得的弦长为4，则k 为（ ） A ．1-B ．2-C ．0D ．27．若0a >，0b >且24a b +=，则4ab的最小值为（ ） A ．2B ．12C ．4D ．148．已知命题:p 已知实数,a b ，则0ab >是0a >且0b >的必要不充分条件，命题:q 在曲线cos y x =上存在 （ ） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题9．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为7，则框图中①处可以填入（ ）A ．7S >？B ．15S >？C ．21S >？D ．28S >？10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 椭圆C 在第一象限存在点M ，使得112=MF F F ，直线1F M 与y 轴交于点A ，且2F A 是21MF F ∠的角平分线，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()22e (e =--x xf x x x a ）有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1e -）B ．（0，2e -）C ．（0，1）D ．（0，e ）12．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中E 是正方形BB 1C 1C 的中心，M 为C 1D 1的中点，过A 1M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的截面面积为（ ）A ．B ．CD ．3二、填空题13．已知向量(),2AB m =，()1,3AC =和()4,2BD =--，若B ，C ，D 三点共线，则m =______．14．双曲线2219x y -=的渐近线方程为__________.15．已知f （x ）＝sin 6x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ω＞0），f （6π）＝f （3π），且f （x ）在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有最小值，无最大值，则ω＝_____．16．已知过点(0,1)M 的直线与抛物线22(0)x py p =>交于不同的A ，B 两点，以A ，B 为切点的两条切线交于点N ，若0NA NB ⋅=，则p 的值为__________．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n *=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13log n n b a =，n C ={}n C 的前n 项和n T18．如图，三棱柱111ABC A B C 各棱长均为2，且13C CA π∠=.(1)求证1AC BC ⊥；(2)若1BC 与平面ABC 所成的角为6π，求三棱柱111ABC A B C 的体积. 19．某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为(1)求该产品的次品率；(2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X ，求随机变量X 的分布列与期望()E X ． 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且过点()3,1A .(1)求椭圆C 的方程；(2)点M ，N 在椭圆C 上，且AM AN ⊥.证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.21．已知函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当x>0时f (x )<0，且(1)2f =-. (1)判断()f x 的奇偶性；(2)求()f x 在区间[-3,3]上的最大值；(3)若2()22f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立，求实数m 的取值范围.22．数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，极坐标方程()1cos a ρθ=+（0a >）表示的曲线为心形线，它对称优美，形状接近心目中的爱心图形.以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.(1)求直线l 的极坐标方程和心形线的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为()2,0，若P 为心形线上的点，直线l 与心形线交于A ，B 两点（异于O 点），求ABP 的面积.23．已知函数()2|1|||(R)f x x x a a =-+-∈． (1)若()f x 的最小值为1，求a 的值；(2)若()||6f x a x <+恒成立，求a 的取值范围．参考答案与解析1．D【分析】求出集合A 中元素范围，然后求A B ⋂即可.【详解】{}{}256016A x x x x x =--<=-<<，又{}4,2,0,2,4B =--{}0,2,4A B ∴=.故选：D. 2．B【解析】根据题意，先得到113z i =+，再由复数的除法运算求出12z z ，即可得出其虚部. 【详解】因为复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，所以113z i =+ 又22z i =-+所以()()()()1213213263171722241555i i z i i i i i z i i i +--+++--+===-=-=--+-+--+因此其虚部为75-.故选：B.【点睛】本题主要考查求复数的虚部，考查复数的除法运算，涉及复数的几何意义，属于基础题型. 3．C【分析】由三角形面积公式可得A ，进而可得解.【详解】在ABC ∆中AB 1AC =与30B =12ABC S AB ACsinA ∆=⋅=，可得1sinA =，所以90A = 所以18060C A B =--=【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题. 4．D【分析】计算样本中心，将样本中心 710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭代入线性回归方程中即可求解. 【详解】因为()17234542x =⨯+++= ()1102.5 3.0 4.544m y m +=⨯+++=．所以样本中心为710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入回归方程0.7 1.05y x =+得1070.7 1.0542m +=⨯+，解得4m =． 故选：D ． 5．B【分析】利用同角三角函数的平方关系、商数关系，将目标式化为2tan 1tan 1xx ++，结合已知即可求值.【详解】222sin cos tan 27sin cos 1111sin cos tan 155x x x x x x x x +=+=+=+=++． 故选：B ． 6．A【分析】利用点线距离公式求弦心距，再由弦长与半径、弦心距的几何关系列方程求参数k . 【详解】设圆心()0,0到直线:210l x y k +++=的距离为d ，则由点到直线的距离公式得|1|d k ==+由题意得：42==1k =-．故选：A 7．A【分析】利用基本不等式可求出2ab ≤，即可得出所求. 【详解】0a > 0b >42a b ∴=+≥2a b =，即1,2a b ==时等号成立所以2ab ≤，则42ab≥，即4ab 的最小值为2.故选：A. 8．C【分析】首先判断命题,p q 的真假，再判断选项.【详解】00ab a >⇒> 且0b >，反过来0a >且00b ab >⇒>，所以0ab >是0a > 且0b >的必要不充分条件，所以命题p 是真命题cos y x =，[]sin 1,1y x '=-∈-根据导数的几何意义可知曲线cos y x =所以命题q是假命题根据复合命题的真假判断可知()p q ∧⌝是真命题. 故选：C 9．C故选：C. 10．B【分析】根据题意和椭圆定义可得到2MF ，AM 和a ，c 的关系式，再根据122MF F MF A ∽△△，可得到关于a ，c 的齐次式，进而可求得椭圆C 的离心率e ． 【详解】由题意得1122F M F F c == 又由椭圆定义得222MF a c =- 记12MF F θ∠=则212AF F MF A θ∠=∠= 121222F F M F MF MAF θ∠=∠=∠= 则2122AF AF a c ==- 所以42AM c a =- 故122MF F MF A ∽△△则2122MF AMF F MF = 则2a c c a c a c --=-，即222010c ac a e e e +-=⇔+-=⇒=（负值已舍）． 故选：B ． 11．A【分析】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a ，得到22e 0-=x x或e 0x x a -=，令()22e =-xg x x ，易知有一个零点，转化为则e 0x x a -=有两个根求解.【详解】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a所以22e 0-=x x 或e 0x x a -=令()22e =-xg x x ，则()()2e '=-x g x x令()2(e )=-x h x x ，则()2(1)e '=-xh x当(,0)x ∈-∞时()0h x '>，h (x )在（－∞，0）上单调递增； 当,()0x ∈+∞时()0h x '<，h (x )在（0，＋∞）上单调递减 所以()(0)20h x h ≤=-<，即()0g x '< 所以g (x )在R 上单调递减，又()2110g e-=->，g （0）＝20-< 所以存在0(1,0)x ∈-使得()00g x =所以方程e 0x x a -=有两个异于0x 的实数根，则xxa e = 令()x x k x e =，则()1xx e xk -=' 当(,1)x ∞∈-时()0k x '>，k (x )在（－∞，1）上单调递增；当(1,)x ∈+∞时()0k x '<，k (x )在（1，＋∞）上单调递减，且()0k x >．所以()1()1k x k e≤= 所以()xxk x e =与y a =的部分图象大致如图所示由图知10a e<< 故选：A ． 12．B【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知1A MNC ，则1A ，,,M C N 四点共面记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥． 连接EF ，则EF MC ⊥EFDF F =，EF DF ⊂，平面DEF所以MC ⊥平面DEF又DE ⊂平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥ NC MC C =则DE ⊥平面1A MCN 所以平面1A MCN 即平面α四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形其对角线1AC = MN =所以其面积12S =⨯=故选：B【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 13．1-【分析】根据给定条件，求出向量BC 坐标，再利用共线向量的坐标表示计算作答. 【详解】因为向量(),2AB m =，()1,3AC =则(1,1)BC AC AB m =-=-，而()4,2BD =-- 又B ，C ，D 三点共线，则有//BC BD ，因此2(1)4m --=-，解得1m =- 所以1m =-. 故答案为：-1 14．30x y ±-=【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程的形式直接求出双曲线2219x y -=的渐近线方程.【详解】通过双曲线方程可知双曲线的焦点在横轴上,3,1a b ==,所以双曲线2219x y -=的渐近线方程为：1303b y x y x x y a =±⇒=±⇒±-=. 故答案为30x y ±-=【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程,通过双曲线方程判断双曲线的焦点的位置是解题的关键. 15．163【分析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得3462πππω+=，由此求得ω的值. 【详解】对于函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得函数图象关于6324x πππ+==对称 又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值可得()32462k k Z πππωπ+=+∈，即()1683k k Z ω=+∈，又342Tππ-≤，即12ω≤ 所以163ω=. 故答案为163. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题． 16．2【分析】设()()1122,,,A x y B x y ,设直线AB 的方程为1y kx =+，利用“设而不求法”得到122x x p =-.利用导数求出两条切线斜率为1x p 和2x p，得到121x x p p ⋅=-,即可求出p =2.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,且设直线AB 的方程为1y kx =+,代入抛物线的方程得2220x pkx p --=,则122x x p =-.又22x py =,得22x y p=,则x y p '=，所以两条切线斜率分别为1x p 和2x p .由0NA NB ⋅=,知NA NB ⊥,则121x x p p ⋅=-,所以221pp -=-,即p =2. 故答案为：2 17．(1)13n n a =(2)1n T =【分析】（1）由n a 与n S 关系可推导证得数列{}n a 为等比数列，由等比数列通项公式可得n a ； （2）由（1）可推导得到,n n b C ，采用裂项相消法可求得n T . (1)当1n =时111221a S a =-=，解得：113a =；当2n ≥时1122211n n n n n a S S a a --=-=--+，即113n n a a -=∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，1133nn n a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭. (2)由（1）得：131log 3n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭n C ∴==11n T ∴=⋅⋅⋅=18．(1)证明见解析【分析】（1）通过线面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，则进一步知平面1BDC ⊥平面ABC ，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则1C E ⊥平面ABC ，求出1C E 的大小即可求解.【详解】（1）证明：取AC 的中点D ，连接BD ，1C D 和1C A ，则BD AC ⊥因为12CC CA ==，13C CA π∠=所以1ACC △为等边三角形又D 为AC 的中点，所以1C D AC ⊥ 因为1C D BD D =，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以AC ⊥平面1BDC ，.又1BC ⊂平面1BDC ，所以1AC BC ⊥.（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，又AC ⊂平面ABC ，所以平面1BDC ⊥平面ABC平面1BDC 平面ABC BD =，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则E 一定在直线BD 上，因为1BC 与平面ABC 所成的角为6π，所以16C BD π∠= 由题意知1C D BD =，所以123C DB π∠=所以13BC == 所以113sin 62C E BC π==.（或：由题意知1C D BD =13C DE π∠=，所以113sin 32C E CD π===）所以11322sin 232ABC V S C E π=⋅=⨯⨯⨯⨯=△19．(1)14(2)分布列见解析，()34E X =【分析】（1）利用相互独立事件的乘法概率计算公式能求出产品为正品的概率，即可由对立事件求次品概率（2）由题意得X 0=，1，2，3，分别求出其相对应的概率，能求出X 的分布列和数学期望．【详解】（1）产品正品的概率为：11131111011124P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以为次品的概率为31144-= （2）由题意得X 0=，1，2，3，且13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭3327(0)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 2133127(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 223319(2)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 311(3)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ X ∴的分布列如下：∴()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．(1)221124x y += (2)证明详见解析，定点坐标3122⎛⎫ ⎪⎝⎭，-【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得222,,a b c ，从而求得椭圆C 的方程.（2）根据直线MN 的斜率进行分类讨论，结合根与系数关系以及·0AM AN =求得定点坐标.【详解】（1）由题意可得：22222911c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2221248a b c ===，， 故椭圆方程为221124x y +=. （2）设点()()1122,,,M x y N x y若直线MN 斜率存在时设直线MN 的方程为：y kx m =+代入椭圆方程消去y 并整理得：()2221363120k x kmx m +++-= 可得122613km x x k +=-+ 212231213m x x k -=+ 因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121233110x x y y --+--=根据1122,kx m y kx m y =+=+有()()()()221212121239110x x x x k x x k m x x m -++++-++-=整理可得： ()()()()22121213190k x x km k x x m ++--++-+= 所以()()()222223126131901313m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭ 整理化简得2299210k km m m ++--=则有()()321310k m k m +++-=得3210k m ++=或310k m +-=若3210k m ++=，则直线MN 的方程为：3122y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，恒过3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 若310k m +-=，则直线MN 的方程为：()31y k x =-+，过A 点，舍去.所以直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当直线MN 的斜率不存在时可得()11,N x y -由·0AM AN =得：()()()()121233110x x y y --+--=得()1221210x y -+-=()2211310x y -+-=，结合22111124x y += 解得：132x = 或23x =（舍去），此时直线MN 方程为32x =,过点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 综上，直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 21．（1）奇函数（2）6（3）{2,m m 或者2}m <-【分析】（1）令x ＝y ＝0⇒f （0）＝0，再令y ＝﹣x ，⇒f （﹣x ）＝﹣f （x ）；（2）设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，结合条件用单调性的定义证明函数f （x ）为R 上的增函数，从而得到()f x 在区间[-3,3]上的最大值；（3）根据函数f （x ）≤m 2﹣2am ﹣2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，说明f （x ）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a 的函数，m 为参数系数，解不等式组，即可得出m 的取值范围．【详解】（1）取x=y=0，则f （0+0）=f （0）+f （0）；则f （0）=0；取y =﹣x ，则f (x ﹣x )=f (x )+f (﹣x )∴f (﹣x )=﹣f (x )对任意x ∈R 恒成立∴f (x )为奇函数；（2）任取x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0；∴f （x2）+f (﹣x1）=f （x2﹣x1）＜0； ∴f （x2）＜﹣f （﹣x1）又∵f （x ）为奇函数∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数；∴对任意x ∈[﹣3，3]，恒有f （x ）≤f （﹣3）而f （3）=f （2+1）=f （2）+f （1）=3f （1）=﹣2×3=﹣6； ∴f （﹣3）=﹣f （3）=6；∴f （x ）在[﹣3，3]上的最大值为6；（3）由（2）可知函数()f x 在[]1,1-的最大值为()12f -=所以要使()222f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立只需要()()2max 2212m am f x f -+>=-=即220m am ->对所有[]1,1a ∈-恒成立令()[]22,1,1g a m am a =-∈-，则()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即222020m m m m ⎧+>⎨->⎩解得22m m ><-，或者 所以实数m 的取值范围是{}2,2m m m <-或者【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．22．(1)极坐标方程为π3θ=或4π3θ=；()()222222x y ax a x y +-=+【分析】（1）先消去参数t 得到直线l 的普通方程，进而得到极坐标方程，由()1cos a ρθ=+，得到2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=求解.（2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+得到1a =，进而得到1cos ρθ=+，分别与直线l 的极坐标方程联立，求得A ，B 坐标求解.【详解】（1）解：消去参数t 得到直线l 的普通方程为y = 所以极坐标方程为π3θ=或4π3θ=； （π3θ=（ρ∈R 也正确）由()1cos a ρθ=+，得2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=化简得心形线的直角坐标方程为()()222222x y ax a x y +-=+. （2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+，得1a =∴1cos ρθ=+.由π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得3π,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由4π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得14π,23B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴13π112π2sin 2sin 223223ABP AOP BOP S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△23．(1)0或2(2)[)3,4【分析】（1）根据1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-结合取等条件即可得解；（2）把()||6f x a x <+恒成立，转化为()2160g x x x a a x =-+---<恒成立，分情况讨论去绝对值符号，从而可得出答案.【详解】（1）因为1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()(1)0x a x --≤时取等号()2|1||||1||1||1|f x x x a x a a =-+-≥-+-≥-，当且仅当1x =时取等号 所以11a -=，解得0a =或2a =故a 的值为0或2；（2）令g()2|1|||6x x x a a x =-+---，由题意知()0g x <恒成立 当{1x x x ∈≥且}x a ≥时 ()()()g()21638x x x a ax a x a =-+---=---,要使得()0g x <恒成立则30,a -≤可得3,a ≥当3a ≥时()()()()()34,034,0118,138,a x a x a x a x g x a x a x a a x a x a ⎧-+-<⎪-++-≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪---≥⎩因为()0g x <恒成立, 则max ()0g x <,由图像可知()max ()0g x g = 所以()g()g 040x a ≤=-<,所以4a < 综上可知实数a 的取值范围为[)3,4．。

2020届江西师范大学附属中学高三第二次模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项1.答题前,务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚,必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草纸上答题无效.第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只一项是符合题目要求的.1.设集合{}2,3,4A =,{}2,4,6B =,若x A ∈且x B ∉,则x 等于（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 6【答案】B【详解】试题分析：由{}2,3,4x A ∈=得x 可以是2,3,4中的任意一个,但{}2,4,6x B ∉=,所以x 只能是3．故选：B考点：集合的概念和元素与集合的关系2.若i 为虚数单位,图中复平面内点Z 表示复数z ,则表示复数1zi+的点是（ ）A. HB. GC. FD. E【答案】A分析：先由复数的几何意义得到复数z ,再利用复数的除法法则化简,再利用复数的几何意义进行求解.详解：由复数的几何意义,得2i z =+,则2i (2i)(1i)31i 1i 1i (1i)(1i)22z ++-===-+++-, 则该复数对应的点为31(,)22-,即点H .3.已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1,2a]上的偶函数,那么a+b 的值是A. 13-B. 13C. 12-D.12【答案】B 【解析】依照偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f （﹣x ）=f （x ）,且定义域关于原点对称,a ﹣1=﹣2a,即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称,且f （x ）是定义在[a –1,2a]上的偶函数,得a –1=–2a,解得a=13,又f （–x ）=f （x ）,∴b=0,∴a+b=13．故选B ．【点睛】本题考查偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f （﹣x ）=f （x ）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称,定义域区间两个端点互为相反数．4.若()()221f x xf x '=+,则()0f '等于（ ）A. 2B. 0C. -2D. -4【答案】D 【解析】先求导,算出()1f ',然后即可求出()0f '【详解】因为()()221f x xf x '=+,所以()()212f x f x ''=+所以()()1212f f ''=+,得()12f '=- 所以()42f x x '=-+,所以()04f '=- 故选：D5.已知4cos ,(0,)5=∈ααπ,则tan α的值等于（ ）A. 43B. 34C. 43-D. 34-【答案】B 【解析】先根据4cos 0,(0,)5ααπ=>∈,利用平方关系得到sin α,再用商数关系求解.【详解】因为4cos 0,(0,)5ααπ=>∈,所以3sin 5α==,所以3tan 4α=.故选：B6.在ABC 中,()2BC BA AC AC +⋅=,则ABC 的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【答案】D 【解析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系,再判断三角形形状.【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=,所以222a c b -=,即ABC 是直角三角形,选D. 【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用πA B C ++=这个结论．7.数列111111,3,5,7,,(21),248162n n -+的前n 项和n S 的值等于（ ）A. 2112n n +-B. 21212n n n -+-C. 21112n n -+-D. 2112n n n -+-【答案】A 【解析】根据通项形式1(21)2nn -+,可分组求和即可求解. 【详解】11(1321)(21)24n n n S =+++-++++11(1)(121)221212n n n -+-⋅=+- 2112n n =+-,故选：A8.的直线与双曲线22221x y a b -=恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是（ ）A.[2,)+∞B. (2,)+∞C. D. )+∞【答案】B 【解析】根据直线与双曲线的交点的个数,利用已知直线与双曲线的渐近线的斜率关系求解.的直线与双曲线22221x y a b -=恒有两个公共点,所以ba>所以2c e a ==>所以双曲线离心率的取值范围是(2,)+∞故选：B9.若函数2log y x =的图象上存在点(,)x y ,满足约束条件30220x y x y y m +-≤⎧⎪-+⎨⎪⎩,则实数m 的最大值为（ ） A.12B. 1C.32D. 2【答案】B 【解析】作出不等式组表示的可行域,再作出函数2log y x =的图象,易得与直线30x y +-=交于点()2,1A ,当该点在区域内时,图象上存在点(,)x y 满足不等式组,此时m 达到最大值. 【详解】由30220x y x y y m +-≤⎧⎪-+⎨⎪⎩,作出可行域如图所示阴影部分,再作出函数2log y x =的图象,与直线30x y +-=交于点()2,1A ,当该点在区域内时,图象上存在点(,)x y 满足不等式组,且此时m 达到最大值. 所以实数m 的最大值为1. 故选：B10.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为（ ）A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π【答案】C试题分析：由三视图分析可知,该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．,,所以几何体的表面积为．11.已知抛物线22(0)y px p=,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 A. 1x = B. 1x =- C. 2x = D. 2x =-【答案】B 【解析】∵y 2=2px 的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭,∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-2p ,即x=y+2p,将其代入y 2=2px 得y 2=2py+p 2,即y 2-2py-p 2=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1+y 2=2p,∴122y y +=p=2,∴抛物线的方程为y 2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.12.抛物线22y px =与直线40ax y +-=交于A,B 两点,其中A 点的坐标是(1,2)．该抛物线的焦点为F,则FA FB +=（ ） A. 7B. 35C. 6D. 5【答案】A分析：首先应用曲线的交点应该同时落在各条曲线上,得到点(1,2)A 既在抛物线22y px =上,又在直线40ax y +-=上,利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线方程,从而求得,p a 的值,联立方程组求得另一个交点B 的坐标,之后结合抛物线的定义求得最后的结果. 详解：将点A ()1,2的坐标代入抛物线22y px =与直线40ax y +-=,得2a p ==, 所以得抛物线24y x =与直线240x y +-=,由22404x y y x +-=⎧⎨=⎩得12x y =⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=-⎩,所以得()4,4B -, 又抛物线的准线是1x =-,再结合抛物线的定义得()][()11417FA FB ⎡⎤+=--+--=⎣⎦,故选A.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分,第（13）题～第（21）题为必考题,每个试题考生都必须作答.第（22）题、第（23）题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,满分20分.第16题第一空2分,第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13. 某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为___________.【答案】3.2试题分析：四棱柱的高为1,底面为等腰梯形,面积为13(12)122⨯+⨯=,因此体积为3.2考点】三视图【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形,对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形,一个四边形,对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形,一个圆,对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形,两个四边形,对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形,对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形,一个圆,对应的几何体为圆柱.14.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6,则应从一年级本科生中抽取_______名学生．【答案】60【解析】采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556⨯=+++.故答案为60.15.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,第i次观测得到的数据为a i,具体如下表所示：在对上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a是这8个数据的平均数),则输出的S的值是____．【答案】7【详解】本程序框图的含义是计算这组数据的方差,计算可得4041434344464748448a +++++++==222128(44)(44)(44)8a a a S -+++++==568=7. 16.双曲线22221x y a b -=(0a >,0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA,OC 所在的直线,点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2,则a=_______________. 【答案】2试题分析：因为四边形OABC 是正方形,所以45AOB ∠=︒,所以直线OA 的方程为y x =,此为双曲线的渐近线,因此a b =,又由题意知22OB =,所以22222(22)a b a a +=+=,2a =．故答案为2．【名师点睛】在双曲线的几何性质中,渐近线是其独特的一种性质,也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此,双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式,当,,时为椭圆,当时为双曲线.三、解答题：本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中,设内角、、A B C 的对边分别是a b c 、、,()cos ,sin m A A =,()2sin ,cos n A A =-,且2m n +=（1）求角A 的大小；（2）若42b =,且2c a =,求ABC 的面积． 【答案】(1)4A π=；(2)16.【详解】（1）222(cos 2sin )(sin cos )m n A A A A +=+-++422(cos sin )A A =+-=44cos()4A π++44cos()4,4A π∴++=cos()0,4A π∴+=又因为(0,)A π∈, 故42A ππ+=,∴4A π=；（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,即222(42)(2)2422cos4a a a π=+-⨯⨯,解得42a =,∴8c =, ∴.18.某百货公司1~6月份的销售量与利润的统计数据如表: 月份1 2 3 4 5 6 销售量x/万件 10 11 13 12 8 6 利润y/万元 222529261612(1)根据2~5月份的统计数据,求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆb y=x+ˆa ; (2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元,则认为得到的回归直线方程是理想的,试问所得回归直线方程是否理想?附：1122211()()ˆ)()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxybxx xnx====---==--∑∑∑∑【答案】(1)ˆ187y =x-30;7(2) 该小组所得线性回归方程是理想的. 【详解】试题分析：（1）直接根据线性回归方程的公式进行计算.（2）利用求出的线性回归方程检验预测值与实际值的差是否不超过2万元.解析：（1）根据表中2～5月份的数据,计算得11,24x y ==,521125132912268161092i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑,52222221113128498i i x ==+++=∑,所以525222241092411241849841174i ii i i x y xyb x x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑,1830241177a y bx =-=-⨯=-.故y 关于x 的回归直线方程为：183077y x =-. (2)当10x =时,183015010777y =⨯-=,此时1502227-<；当6x = 时,1830786777y =⨯-=,此时781227-< .故所得的回归直线方程是理想的． 19.如图所示,已知正方体1111ABCD A B C D -中,E F ，分别为11D C ,11C B 的中点,ACBD P =,11A C EF Q =.求证：（1）D B F E ，，，四点共面；（2）若1A C 交平面DBEF 于R 点,则P Q R ，，三点共线. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）由中位线定理可知//EF BD ,故四点共面（2）PQ 是平面11AAC C 与平面DBFE 的交线,可证R 是两平面公共点,故PQ 过R ,得证. 【详解】证明：（1）EF 是111D B C ∆的中位线,11//EF B D ∴.在正方体1AC 中,11//B D BD ,//EF BD ∴.,EF BD ∴确定一个平面,即D B F E ，，，四点共面.（2）正方体1AC 中,设11A ACC 确定的平面为α, 又设平面BDEF 为β.11,Q AC Q α∈∴∈.又Q EF ∈,Q β∴∈, 则Q 是α与β的公共点,a PQ β∴⋂=.又11,AC R R AC β⋂=∴∈.R a ∴∈,且R β∈,则R PQ ∈,故P Q R ，，三点共线.20.已知点P 是圆22:1O x y +=上任意一点,过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ,延长QP 到点M ,使=QP PM .（1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）过点(,0)C m 作圆O 的切线l ,交（1）中曲线E 于,A B 两点,求AOB 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1.（1）设(,)M x y ,根据=QP PM ,结合PQ y ⊥轴于点Q ,得到(,)2xP y ,将P 的坐标代入221x y +=即可.（2）设直线为,x ty m t R =+∈,根据直线与圆相切,1=,将x ty m =+代入2214x y +=,得()2222404mt t y y m ++-+=,利用弦长公式结合韦达定理求得AB ,再求得原点到直线的距离,然后由12AOBSAB d =结合基本不等式求解. 【详解】（1）设(,)M x y ,因为=QP PM , 所以P 为QM 的中点, 又因为PQ y ⊥轴于点Q ,所以(,)2xP y ,因为P 是圆22:1O x y +=上任意一点,所以2214xy +=.即点M 的轨迹E 的方程为2214xy +=.（2）根据题意直线与y 轴不垂直,设直线为()()1122,,,,,x ty m t R A x y B x y =+∈, 因为直线与圆相切,1=,即221m t =+,将x ty m =+代入2214x y +=,得()2222404mt t y y m ++-+=,()()()2224244480t mt m ∆=+--=>,212122224,44mt m y y y y t t -+=-⋅=++,12AB y y =-===,原点到直线的距离为1d ==,所以112213AOBm mSAB d =≤=+==,当且仅当3m m=,即m =,取等号.所以AOB 面积的最大值为1 21.已知()()ln 1f x x a x =+-. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.【答案】(1) 0a ≤时 ()0f x '>,()f x 在()0,∞+是单调递增；0a >时,()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（2）()0,1. 【详解】试题分析：（Ⅰ）由()1f x a x'=-,可分0a ≤,0a >两种情况来讨论；（II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,∞+无最大值,当0a >时()f x 最大值为1ln 1.f a a a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,∞+是增函数,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1. 试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,∞+,()1f x a x'=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,∞+是单调递增；若0a >,则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤时()f x 在()0,∞+无最大值,当0a >时()f x 在1x a=取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,∞+是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时,请用2B 铅笔在答题卡上,将所选题号对应的方框涂黑.22.在极坐标系中,已知三点2,(2,0)36M N P ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、.（1）将,,M N P 三点的极坐标化为直角坐标； （2）判断,,M N P 三点是否在一条直线上.【答案】（1）((1,(2,0)M N P 、、；（2）在一条直线上,详见解析. 【解析】（1）根据极坐标公式求解.（2）分别求出直线,MN NP 的斜率即可.【详解】（1）因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,所以,,M N P 三点的直角坐标分别是((1,(2,0)M N P 、、.（2）因为MN NP k k ====所以MN NP k k =所以,,M N P 三点在一条直线上.23.设0,|1|,|2|33>-<-<a aa x y ,求证：|24|+-<x y a .【答案】详见解析. 【解析】运用绝对值不等式的性质||a b a b +≤+,结合不等式的基本性质求解. 【详解】证明：因0,|1|,|2|33>-<-<a a a x y ,所以()|24||212|x y x y +-=-+-,221233a ax y a ≤-+-<+=. 所以|24|+-<x y a 成立.。

2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。

2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。

4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。