下载文档原格式
课时提升作业(三十四)一元二次不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·咸阳模拟)若A={x|2<2x<16,x∈Z}B={x|x2-2x-3<0},则A∩B 中元素的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选B.因为A={x|2<2x<16,x∈Z}={x|1<x<4,x∈Z}={2,3},B={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},所以A∩B={2},选B.2.(2015·汉中模拟)不等式≥-1的解集为( )A.(-∞,0]∪(1,+∞)B.[0,+∞)C.[0,1)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)【解析】选A.≥-1⇔+1≥0⇔≥0,所以⇒x≤0或x>1.【加固训练】不等式≤0的解集为( )A.B.C.∪[1,+∞)D.∪[1,+∞)【解析】选A.≤0等价于不等式组①或②解①得-<x≤1,解②得x∈∅,所以原不等式的解集为.3.函数f(x)=的定义域是( )A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,3)【解析】选D.由题意知即故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).4.已知不等式|x-2|>1的解集与不等式x2+ax+b>0的解集相同,则a,b 的值为( ) A.a=1,b=3 B.a=3,b=1C.a=-4,b=3D.a=3,b=-4【解析】选C.解不等式|x-2|>1,得x-2>1或x-2<-1,即x>3或x<1,所以方程x2+ax+b=0的两个根是1和3,由根与系数的关系,得a=-(1+3)=-4,b=1×3=3.5.(2015·杭州模拟)若x=1满足不等式ax2+2x+1<0,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-3) B.(-3,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,1)【解析】选A.因为x=1满足不等式ax2+2x+1<0,所以a+2+1<0,所以a<-3.故选A.6.关于x的不等式x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件是( )A.a<0或a>4B.0<a<2C.0<a<4D.0<a<8【解析】选B.本题考查一元二次不等式的解法及充分必要条件的判断.由x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立可知,Δ=a2-4a<0,所以0<a<4.当0<a<2时,Δ=a2-4a<0,x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立;反之不成立.故其充分不必要条件为0<a<2.7.已知函数f(x)=ax2-x-c,且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图像为( )【解析】选B.因为函数f(x)=ax2-x-c,且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},所以a<0,方程ax2-x-c=0的两个根为-2和1,-2+1=,-2×1=-,所以a=-1,c=-2,所以f(x)=ax2-x-c=-x2-x+2,所以f(-x)=-x2+x+2,其图像开口向下,与x轴交点为(-1,0),(2,0),故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知函数f(x)=若f(f(1))>3a2,则a的取值范围是.【解析】f(1)=21+1=3,所以f(f(1))=f(3)=9+6a.由f(f(1))>3a2得9+6a>3a2,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.答案:(-1,3)【误区警示】此题是分段函数,代入求值时容易出现因不同的取值而出现错误,应注意分段函数分段求值,不能代错.9.(2015·九江模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x.那么,不等式f(x+2)<5的解集是. 【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(|x|).又当x≥0时,f(x)=x2-4x,不等式f(x+2)<5⇒f(|x+2|)<5⇒|x+2|2-4|x+2|<5⇒(|x+2|-5)(|x+2|+1)<0⇒|x+2|-5<0⇒|x+2|<5⇒-5<x+2<5⇒-7<x<3. 故解集为(-7,3).答案:(-7,3)10.(2015·临沂模拟)若关于x的不等式ax2-x+2a<0的解集为∅,则实数a的取值范围是 .【解析】依题意可知,问题等价于ax2-x+2a≥0恒成立,当a=0时,-x≥0不恒成立,故a=0不合题意;当a≠0时,要使ax2-x+2a≥0恒成立,即f(x)=ax2-x+2a的图像均在x轴及x轴上方,所以即解得a≥,即a的取值范围是.答案:(20分钟40分)1.(5分)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中,恰有3个整数,则a 的取值范围是( )A.(4,5)B.(-3,-2)∪(4,5)C.(4,5]D.[-3,-2)∪(4,5]【解析】选D.原不等式可化为(x-1)(x-a)<0,当a>1时得1<x<a,此时解集中的整数为2,3,4,则4<a≤5,当a<1时得a<x<1,此时解集中的整数为-2,-1,0.则-3≤a<-2,故a∈[-3,-2)∪(4,5].【加固训练】若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},则a+b的值为( )A.3B.1C.-3D.-1【解析】选A.因为不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},所以1和2为方程(x-a)(x-b)=0的两个根,则有或所以a+b=1+2=3,即a+b的值为3.2.(5分)已知函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)<0的解集为{x|x<-3或x>1},则函数y=f(-x)的图像可以为( )【解析】选B.由f(x)<0的解集为{x|x<-3或x>1}知a<0,y=f(x)的图像与x轴交点为(-3,0),(1,0),所以f(-x)图像开口向下,与x轴交点为(3,0),(-1,0).3.(5分)(2015·南昌模拟)不等式x2-3>ax-a对一切3≤x≤4恒成立,实数a的取值范围是.【解析】因为x2-3>ax-a对一切3≤x≤4恒成立,所以a<在x∈[3,4]恒成立,令g(x)=,x∈[3,4],即a<g(x)min,而g(x)===(x-1)-+2在x∈[3,4]单调递增,故g(x)在x=3时取得最小值3,所以a<3.答案:(-∞,3)【加固训练】(2015·温州模拟)若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为.【解析】因为4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,所以4x-2x+1≥a在[1,2]上恒成立.令y=4x-2x+1=(2x)2-2×2x+1-1=(2x-1)2-1.因为1≤x≤2,所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知:当2x=2,即x=1时,y有最小值0,所以a的取值范围为(-∞,0].答案:(-∞,0]4.(12分)已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.当x∈(-3,2)时,f(x)>0.(1)求f(x)在[0,1]内的值域.(2)若ax2+bx+c≤0的解集为R,求实数c的取值范围.【解题提示】(1)由题意得-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根,故有且a<0,解得a和b,然后再根据函数单调性解出函数在[0,1]内的值域即可.(2)在已知a和b的情况下,不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,列式,可解出实数c的取值范围.【解析】(1)因为当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0,当x∈(-3,2)时,f(x)>0,所以-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根,所以可得所以a=-3,b=5,所以f(x)=-3x2-3x+18=-3+18.75,函数图像关于x=-0.5对称,且抛物线开口向下,所以在区间[0,1]上f(x)为减函数,所以函数的最大值为f(0)=18,最小值为f(1)=12,故f(x)在[0,1]内的值域为[12,18].(2)由(1)知,不等式ax2+bx+c≤0化为-3x2+5x+c≤0,因为二次函数y=-3x2+5x+c的图像开口向下,要使-3x2+5x+c≤0的解集为R,只需即25+12c≤0⇒c≤-,所以实数c的取值范围为.【加固训练】1.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值.(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.【解析】(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.由根与系数的关系,得解得(2)不等式ax2-(ac+b)x+bc<0,即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.所以,当c>2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|2<x<c}; 当c<2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为∅.2.(2014·黄山模拟)已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.(1)解关于a的不等式f(1)>0.(2)若不等式f(x)>0的解集为(-1,3),求实数a,b的值.【解析】(1)因为f(1)>0,所以-3+a(6-a)+b>0,即a2-6a+3-b<0.Δ=(-6)2-4(3-b)=24+4b.①当Δ≤0,即b≤-6时,原不等式的解集为∅.②当Δ>0,即b>-6时,方程a2-6a+3-b=0有两根a1=3-,a2=3+,所以不等式的解集为(3-,3+).综上所述:当b≤-6时,原不等式的解集为∅;当b>-6时,原不等式的解集为(3-,3+).(2)由f(x)>0,得-3x2+a(6-a)x+b>0,即3x2-a(6-a)x-b<0.因为它的解集为(-1,3),所以-1与3是方程3x2-a(6-a)x-b=0的两根.所以解得或5.(13分)(能力挑战题)某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域.(2)若要求该商品一天营业额至少为10260元,求x的取值范围.【解析】(1)由题意得y=100·100.因为售价不能低于成本价,所以100-80≥0.所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2].(2)由题意得20(10-x)(50+8x)≥10260,化简得8x2-30x+13≤0.解得≤x≤.所以x的取值范围是.关闭Word文档返回原板块。
温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
专项强化训练(四)立体几何的综合问题1.如图,在边长为1的等边△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC 的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图所示的三棱锥A-BCF,其中BC=.(1)证明:DE∥平面BCF.(2)证明:CF⊥平面ABF.(3)当AD=时,求三棱锥F-DEG的体积V F-DEG.【解析】(1)在等边△ABC中,AD=AE,所以=,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,所以DE∥BC.因为DE⊈平面BCF,BC平面BCF,所以DE∥平面BCF.(2)在等边△ABC中,F是BC的中点,所以AF⊥FC,BF=CF=.因为在三棱锥A-BCF中,BC=,所以BC2=BF2+CF2,CF⊥BF.因为BF∩AF=F,所以CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知GE∥CF,结合(2)可得GE⊥平面DFG.V F-DEG=V E-DFG=··DG·FG·GE=××××=.【加固训练】(2015·佛山模拟)如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AD=CD=AB=2,点E为AC中点,将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.(1)求证:AD⊥BC.(2)在CD上找一点F,使AD∥平面EFB.【解析】(1)在题图1中,可得AC=BC=2,从而AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.因为平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,BC平面ABC,所以BC⊥平面ADC.又AD平面ADC,所以AD⊥BC.(2)取CD的中点F,连接EF,BF,在△ACD中,因为E,F分别为AC,DC的中点,所以AD∥EF,EF平面EFB,AD⊈平面EFB,所以AD∥平面EFB.2.(2015·南阳模拟)如图所示,正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD,AE⊥平面CDE.(1)求证:AB⊥平面ADE.(2)在线段BE上存在点M,使得直线AM与平面EAD夹角的正弦值为,试确定点M 的位置.【解析】(1)因为AE⊥平面CDE,CD平面CDE,所以AE⊥CD.在正方形ABCD中,CD⊥AD,因为AD∩AE=A,所以CD⊥平面ADE.因为AB∥CD,所以AB⊥平面ADE.(2)由(1)知平面EAD⊥平面ABCD,取AD中点O,连接EO,因为EA=ED,所以EO⊥AD,所以EO⊥平面ABCD,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1),设M(x,y,z),所以=(x-1,y-2,z),=(-1,-2,1),因为B,M,E三点共线,所以=λ,所以M(1-λ,2-2λ,λ),所以=(-λ,2-2λ,λ).设AM与平面AED的夹角为θ,因为平面AED的法向量n=(0,1,0),所以sinθ=|cos<,n>|==,解得λ=.即M为BE的中点.【方法技巧】求直线与平面夹角的方法及注意点1.方法:有传统法和向量法两种.传统法关键是找斜线在平面内的射影,从而找出所求角;向量法则可建立坐标系,利用向量的运算求解.2.注意点:注意直线与平面所成角的范围为.3.(2015·六安模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角,AB ∥CD,AD=CD=2AB,E,F分别为PC,CD的中点.(1)求证:CD⊥平面BEF.(2)设PA=kAB(k>0),且平面EBD与平面BDC夹角的大小为30°,求此时k的值. 【解题提示】以A为坐标原点建立空间直角坐标系,(1)求出,,,证明·=0,·=0.(2)求出两个平面的法向量,利用向量的夹角公式构建方程求解.【解析】以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴,以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则A(0,0,0),P(0,0,k),B(1,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),E,F(1,2,0).(1)因为=,=(0,2,0),=(-2,0,0),所以·=0,·=0,所以CD⊥BE,CD⊥BF,BE∩BF=B,所以CD⊥平面BEF.(2)设平面BCD的一个法向量为n1,则n1=(0,0,1),设平面BDE的一个法向量为n2=(x,y,z),因为=(-1,2,0),=,所以所以n2=.因为平面EBD与平面BDC的夹角等于30°,所以|cos<n1, n2>|=||=,所以=3,即15k2=4,又因为k>0,所以k=.4.(2015·惠州模拟)如图,已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.(1)求O点到平面ABC的距离.(2)求平面EAB与平面ABC夹角的正弦值.【解析】方法一:(1)取BC的中点D,连AD,OD,因为OB=OC,则OD⊥BC,AD⊥BC,所以BC⊥平面OAD.过O点作OH⊥AD于H,则OH⊥平面ABC,OH的长就是所要求的距离.BC=2,OD==.因为OA⊥OB,OA⊥OC,所以OA⊥平面OBC,则OA⊥OD.AD==,在直角三角形OAD中,有OH===..(2)连接CH并延长交AB于F,连接OF,EF.因为OC⊥面OAB,所以OC⊥AB.又因为OH⊥平面ABC,所以CF⊥AB,EF⊥AB,则∠EFC就是所求角的平面角.作EG⊥CF于G,则EG=OH=.在直角三角形OAB中,OF==,在直角三角形OEF中,EF===,sin∠EFG===,故所求的正弦值是.方法二:(1)以O为原点,OB,OC,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则有A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0).设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),则由n1⊥知: n1·=2x-z=0;由n1⊥知: n1·=2y-z=0,取n1=(1,1,2),则点O到面ABC的距离为d===.(2)=(2,0,0)-(0,1,0)=(2,-1,0),=(2,0,0)-(0,0,1)=(2,0,-1),设平面EAB的一个法向量为n =(x,y,z),则由n⊥知: n·=2x-z=0;由n⊥知: n·=2x-y=0.取n =(1,2,2).由(1)知平面ABC的法向量为n1=(1,1,2),则cos< n, n1>====.结合图形可知,平面EAB与平面ABC夹角的正弦值是.【加固训练】(2015·长春模拟)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,AA1=2.底面ABC是边长为2的正三角形,其重心为G点,E是线段BC1上一点,且BE=BC1.(1)求证:GE∥侧面AA1B1B.(2)求平面B1GE与底面ABC夹角的正切值.【解析】(1)因为侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,所以∠A1AB=60°,又AA1=AB=2,取AB的中点O,则A1O⊥底面ABC.以O为原点建立空间直角坐标系,如图,则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(,0,0),A1(0,0,),B1(0,2,),C1(,1,). 因为G为△ABC的重心,所以G.因为=,所以E,连接AB1,所以==.B,AB1侧面AA1B1B,所以GE∥侧面AA1B1B.又GE⊈侧面AA(2)设平面B1GE的一个法向量为n=(a,b,c),则由得可取n=(,-1,).又底面ABC的一个法向量为m=(0,0,1).设平面B1GE与底面ABC夹角大小为θ,则cosθ==.由于θ为锐角,所以sinθ==,进而tanθ=.故平面B1GE与底面ABC夹角的正切值为.5.(2015·武汉模拟)如图所示,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E,F 分别在边CD,CB上,点E与点C,D不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O,将△CEF沿EF翻折到△PEF的位置,使平面PEF⊥平面ABFED.(1)求证BD⊥平面POA.(2)当PB取得最小值时,请解答以下问题:①求四棱锥P-BFED的体积;②若点Q满足=λ(λ>0),试探究:直线OQ与平面PBD的夹角的大小是否一定大于?并说明理由.【解析】(1)因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC,所以BD⊥AO.因为平面PEF⊥平面ABFED,平面PEF∩平面ABFED=EF,PO⊥EF,PO平面PEF,所以PO⊥平面ABFED.因为BD平面ABFED,所以PO⊥BD.因为AO∩PO=O,所以BD⊥平面POA.(2)如图所示,以O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz.①设AO∩BD=H.因为∠DAB=60°,所以△BDC为等边三角形,故BD=4,HB=2,HC=2.设PO=x,则OH=2-x,OA=4-x,所以O(0,0,0),P(0,0,x),B(2-x,2,0),故=-=(2-x,2,-x),所以||==,当x=时,||取得最小值,即||=.此时PO=,OH=.由(1)知PO⊥平面BFED,所以V四棱锥P-BFED=·S梯形BFED·PO=·×=3.②设点Q的坐标为(a,0,c),由①知A(3,0,0),B(,2,0), D(,-2,0),P(0,0,).所以=(a-3,0,c),=(-a,0,-c).因为=λ,所以解得所以Q,所以=.设平面PBD的一个法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0.因为=(,2,-),=(0,-4,0),所以取x=1,解得y=0,z=1,所以n=(1,0,1).设直线OQ与平面PBD的夹角为θ,圆学子梦想 铸金字品牌- 11 - 则sin θ=|cos<,n >|== ==· =·. 又因为λ>0,所以sin θ>. 因为θ∈,所以<θ≤.所以直线OQ 与平面PBD 的夹角一定大于.关闭Word 文档返回原板块。
温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业(十二)函数的应用(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )，即相当于图像上的点(t，Q)与原【解析】选B.由题知运输效率即Qt点连线的斜率，即连线斜率逐步提高．由题知选项A，效率不变，选项C逐步减小，选项D先减小，再增大，选项B为逐步提高，故选B.2 (2015·咸宁模拟)某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(近似抛物线的一段)，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大( )A．3 B．4 C．5 D．6【解析】选C.求得：y＝－(x－6)2＋11，y25=-+≤-=12(x)12102,x x所以y有最大值2，此时x＝5.x3．(2015·淮南模拟)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( ) A.108元 B.105元 C.106元 D.118元【解析】选A.设该家具的进货价为x元，由题意，得1.1x=0.9×132，解得x=108，即该家具的进货价是108元.4.(2015·岳阳模拟)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%，则该公司的年收入是( )A.560万元B.420万元C.350万元D.320万元【解题提示】设年收入为x，构建分段函数模型求解.【解析】选D.设该公司的年收入为x,纳税额为y,则由题意，得y=()()x p%,x 280,280p%x 280p 2%,x 280,⨯≤⎧⎪⎨⨯+-⨯+>⎪⎩万万 依题意有, ()()280p%x 280p 2%x⨯+-⨯+ =(p+0.25)%,解之得x=320(万元).【加固训练】(2014·朝阳模拟)由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，现在价格为8 100元的计算机经过15年价格应降为( )A. 2 000元B. 2 400元C. 2 800元D. 3 000元【解析】选B.设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×(1-13)3＝2 400.5．图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S ＝S(a)(a ≥0)是图形M 介于平行线y ＝0及y ＝a 之间的那一部分面积，则函数S(a)的图像大致是( )【解析】选C.依题意，当0≤a ≤1时，()()2a 2a 1S a 2a a 3a;22-=+=-+ 当1<a ≤2时，S(a)＝12＋2a ；当2<a ≤3时，S(a)＝12＋2＋a ＝a ＋52； 当a>3时，S(a)＝12＋2＋3＝112，于是 S(a)＝21a 3a,0a 1212a ,1a 2,25a ,2a 3,211,a 3.2⎧-+≤≤⎪⎪⎪+<≤⎪⎨⎪+<≤⎪⎪⎪>⎩由解析式可知选C.【一题多解】本题还可以采用如下方法选C.直线y ＝a 在［0,1］上平移时S(a)的变化量越来越小，故可排除选项A ，B.而直线y ＝a 在［1,2］上平移时S(a)的变化量比在［2,3］上的变化量大，故可排除选项D.二、填空题(每小题5分，共15分)6．有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为_________(围墙厚度不计)．【解题提示】根据题目中条件，建立二次函数模型，采用配方法求最高值即可.【解析】设矩形场地的宽度为x m，则矩形场地的长为(200-4x)m，面积S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500.故当x=25时，S取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m2.答案:2 500 m27.某单位“五一”期间组团包机去上海旅游，其中旅行社的包机费为30 000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团中的人数在30或30以下，飞机票每张收费1 800元.若旅游团的人数多于30人，则给以优惠，每多1人，机票费每张减少20元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为_______人时，旅行社获得的利润最大.【解析】设旅游团的人数为x人，飞机票为y元，利润为Q元，依题意，①当1≤x≤30时，y =1 800元，此时利润Q=yx-30 000=1 800x-30 000，此时最大值是当x=30时，Q max =1 800×30-30 000=24 000(元);②当30＜x ≤75时，y=1 800-20(x-30)=-20x+2 400,此时利润Q=yx-30 000=-20x 2+2 400x-30 000=-20(x-60)2+42 000,所以当x=60时，旅行社可获得的最大利润42 000元.综上，当旅游团的人数为60人时，旅行社获得的利润最大. 答案:608.(2015 ·武昌模拟)某地西红柿从2 月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系.Q=at+b,Q=at 2+bc+c,Q=a ·b t ,Q=a ·log b t利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________.(2)最低种植成本是________(元/100kg).【解析】根据表中数据可知函数不单调，所以Q=at 2+bt+c 且开口向上，对称轴b 60180t 120.2a 2+=-== 代入数据3600a 60b c 116,10000a 100b c 84,32400a 180b c 116,++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩得b 2.4, c224, a0.01.=-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120.最低种植成本是14 400a+120b+c=14 400×0.01+120×(-2.4)+224=80. 答案:(1)120 (2)80三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015·上饶模拟)某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：(1)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x,y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y=f(x).(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x 的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润.【解析】(1)实数对(x,y)对应的点如图所示，由图可知y是x的一次函数.设f(x)=kx+b ，则6030k b,3040k b,=+⎧⎨=+⎩解得k 3,b 150.=-⎧⎨=⎩所以f(x)=-3x+150,30≤x ≤50，经检验成立.(2)P=(x-30)〃(-3x+150)=-3x 2+240x-4 500=-3(x-40)2+300,30≤x ≤50， 因为x=40∈［30,50］，所以当销售单价为40元时，所获日销售利润最大.10．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积x(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝k 20x 100+(x ≥0，k 为常数)．记F(x)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共消耗的电费之和．(1)试解释C(0)的实际意义，并建立F(x)关于x 的函数关系式.(2)当x 为多少平方米时，F(x)取得最小值？最小值是多少万元？【解析】(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的电费，即未安装太阳能供电设备时企业每年消耗的电费为C(0)＝k100＝24，得k＝2 400，所以F(x)＝15× 2 40020x100+＋0.5x＝1 800x5++5＋0.5x(x≥0)．(2)因为F(x)＝1 800x5+＋0.5(x＋5)－2.5≥＝57.5，当且仅当1 800x5+＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，所以当x为55平方米时，F(x)取得最小值，最小值为57.5万元．【加固训练】围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数.(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【解析】(1)设矩形的另一边长为a m，则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360，由已知xa＝360，得a＝360x ，所以y＝2360225xx+－360(x>2)．(2)因为x>2，所以225x ＋2360x ≥10 800， 所以y ＝225x ＋2360x －360≥10 440.当且仅当225x ＝2360x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．(20分钟 40分)1.(5分)已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用P A =lg(n A )来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，则下列判断中正确的个数为( )①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A菌个数多了10个；③假设科学家将B 菌个数控制为5万个，则此时5＜P A ＜5.5.A.0B.1C.2D.3【解析】选B.当n A =1时P A =0,故①错误；若P A =1，则n A =10，若P A =2，则n A =100,故②错误；设B 菌的个数为n B =5×104，所以n A =10410510⨯=2×105, 所以P A =lg(n A )=lg 2+5.又因为lg 2≈0.3,所以5＜P A ＜5.5，故③正确.2．(5分)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的范围为( )A ．［2,4］B ．［3,4］C ．［2,5］D ．［3,5］ 【解析】选B.根据题意知，12(AD ＋BC)h ，其中AD ＝BC ＋2×x 2＝BC ＋x ，h＝2x ， 所以12(2BC ＋x)，得BC ＝18x －x 2，由h x 18x BC 0x 2⎧=≥⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩得2≤x<6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x 2(2≤x<6)，由y ＝18x ＋3x2≤10.5解得3≤x ≤4.因为［3,4］⊆［2,6)，所以腰长x 的范围是［3,4］．故选B. 3．(5分)(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p q2+ B.()()p 1q 112++-【解析】选D.设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，则由已知，列得(1+x)2=(1+p)(1+q)，解得－1.4.(12分)(2015·蚌埠模拟)某产品原来的成本为1 000元/件，售价为1 200元/件，年销售量为1万件，由于市场和顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级，据市场调查，若投入x万元，每件产品的成本将降低34x，在售价不变的情况下，年销售量将减少2x万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润为f(x)(单位：万元).(1)求f(x)的函数解析式.(2)求f(x)的最大值，以及f(x)取得最大值时x的值.【解题提示】(1)求出升级后每件的成本、利润及年销售量，则利润的函数解析式可求.(2)利用基本不等式求出f(x)的最大值.【解析】(1)依题意，产品升级后，每件的成本为1 000-3x4元，利润为200+3x4元，年销售量为1-2x万件，纯利润为f(x)=3x2(200)(1)x4x+--=198.5-400xx4-.(2)f(x)=198.5-400xx4-≤198.5-2=178.5.等号当且仅当400xx4=,即x=40时成立.所以f(x)取最大值时的x的值为40.【加固训练】如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度应在什么范围内？(2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小值． 【解析】设AN 的长为x(x ＞2)米， 由DN DC ,ANAM=得|AM|＝3xx 2-， 所以S 矩形AMPN ＝|AN|〃|AM|＝23x x 2-.(1)由S 矩形AMPN ＞32，得23x x 2-＞32，又x ＞2，于是3x 2－32x ＋64＞0， 解得2＜x ＜83或x ＞8，即AN 长的取值范围为(2，83)∪(8，＋≦)．(2)S 矩形AMPN ＝()()223x 212x 2123x x 2x 2-+-+=--＝()123x 21212x 2-++≥-＝24， 当且仅当3(x －2)＝12x 2-，即x ＝4时，y ＝23x x 2-取得最小值24.所以当AN=4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小为24平方米. 5.(13分)(2015·合肥模拟)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为：y=321x 640,x 1030)25x 40x 1 600,x 3050⎧+∈⎪⎨⎪-+∈⎩［，，［，］，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品.(1)当x ∈［30，50］时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？【解析】(1)当x ∈［30，50］时，设该工厂获利为S ，则S=20x-(x 2-40x+1 600)=-(x-30)2-700，所以当x ∈［30，50］时，S ＜0，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损.(2)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为P(x)=21640x ,x 1030)y 25x1 600x x 40,x 3050x⎧+∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩［，，［，］，①当x ∈［10，30)时，P(x)=21640x 25x+， 所以P ′(x)=()3222x 8 0002640x 25x 25x--=， 因为x ∈［10，30)，所以当x ∈［10，20)时，P ′(x)＜0，P(x)是减少的；当x ∈［20，30)时，P ′(x)≥0，P(x)是增加的，所以当x=20时，P(x)取得极小值P(20)=2206402520+=48.②当x ∈［30，50］时，P(x)=x+1 600x -40≥，当且仅当x=1 600x，即x=40∈［30，50］时，P(x)取最小值P(40)=40， 因为48＞40，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少. 【加固训练】某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设f(n)表示前n 年的纯利润总和(f(n)=前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额). (1)该厂从第几年开始盈利？(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方法： ①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂，②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？【解析】(1)由题意，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，可知每年的支出构成一个等差数列，用g(n)表示前n 年的总支出， 所以g(n)=12n+()n n 12-×4=2n 2+10n(n ∈N *)， 因为f(n)=前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额，所以f(n)=50n-(2n2+10n)-72=-2n2+40n-72.由f(n)＞0,即-2n2+40n-72＞0,解得2＜n＜18. 由n∈N*知，从第三年开始盈利.(2)方案①：年平均纯利润为()f nn=40-2(n+36n)≤16,当且仅当n=6时等号成立.故方案①共获利6×16+48=144(万元)，此时n=6.方案②：f(n)=-2(n-10)2+128.当n=10时，f(n)max=128.故方案②共获利128+16=144(万元).比较两种方案，获利都是144万元，但由于方案①只需6年，而方案②需10年，故选择方案①更合算.关闭Word文档返回原板块。
单元评估检测(六)第六章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a<b<0,则下列不等式不成立的是( )A.>B.>C.|a|>|b|D.a2>b2【解析】选A.特值法:令a=-2,b=-1,代入可知A不成立.2.(2015·湖北八校联考)不等式组表示的平面区域是( )A.矩形B.三角形C.直角梯形D.等腰梯形【解析】选D.由(x-y+3)(x+y)≥0,得或且0≤x≤4,故所求平面区域为等腰梯形.3.(2015·惠州模拟)已知集合A={x|y=lg(x+3)},B={x|x≥2},则A∩B= ( )A.(-3,2]B.(-3,+∞)C.[2,+∞)D.[-3,+∞)【解析】选C.由y=lg(x+3),得到x+3>0,即x>-3,所以A=(-3,+∞),因为B=[2,+∞),所以A∩B=[2,+∞).故选C.4.有以下结论:(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2.(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是( )A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确;(2)的假设错误D.(1)的假设错误;(2)的假设正确【解析】选 D.用反证法证题时一定要将对立面找全.在(1)中应假设p+q>2.故(1)的假设是错误的,而(2)的假设是正确的,故选D.5.(2015·广州模拟)将正偶数2,4,6,8,…,按表的方式进行排列,记a ij 表示第i行第j列的数,若a ij=2014,则i+j的值为( )A.257B.256C.254D.253【解析】选C.因为2014=16×125+2×7,2014=8×252-2,所以可以看作是125×2行,再从251行数7个数,也可以看作252行再去掉2个数,也就是2014在第252行第2列.即i=252,j=2,所以i+j=252+2=254.故选C.6.(2015·长春模拟)设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则2x+y的最大值和最小值分别为( )A.1,-1B.2,-2C.1,-2D.2,-1【解析】选B.由约束条件|x|+|y|≤1,作出可行域如图,设z=2x+y,则y=-2x+z,平移直线y=-2x,当经过点A(1,0)时,z取得最大值2,当经过点B(-1,0)时,z取得最小值-2,故选B.7.已知关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0的解集是(-∞,-1)∪,则a=( ) A.2 B.-2 C.- D.【解析】选B.根据不等式与对应方程的关系知-1,-是一元二次方程ax2+x(a-1)-1=0的两个根,所以-1×=-,所以a=-2,故选B.8.(2015·北京模拟)已知关于x的方程x2+2px+(2-q2)=0(p,q∈R)有两个相等的实数根,则p+q的取值范围是( )A.[-2,2]B.(-2,2)C.[-,]D.(-,)【解题提示】利用Δ=0,得到p,q的关系,再利用基本不等式的变形公式求得p+q的范围.【解析】选A.由题意知4p2-4(2-q2)=0,即p2+q2=2,因为≤=1,所以-1≤≤1,即-2≤p+q≤2,故选A.9.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M,使函数y=a x(a>0,a≠1)的图像过区域M的a的取值范围是( )A.[1,3]B.[2,]C.[2,9]D.[,9]【解析】选C.作二元一次不等式组的可行域如图所示,由题意得A(1,9),C(3,8).当y=a x过A(1,9)时,a取最大值,此时a=9;当y=a x过C(3,8)时,a取最小值,此时a=2,所以2≤a≤9.10.(2015·沈阳模拟)已知直线ax+by+c-1=0(bc>0)过圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则+的最小值为( )A.9B.18C.13D.20【解析】选A.由圆的一般方程x2+y2-2y-5=0,知圆心的坐标为(0,1),又因为直线ax+by+c-1=0(bc>0)经过该圆心,所以a×0+b×1+c-1=0,即b+c=1,所以+=+=4+++1=5++,因为bc>0,所以>0,>0,所以+=5++≥5+2=9,经计算,当且仅当b=,c=时,等号成立.故选A.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知x,y为正实数,且满足4x+3y=12,则xy的最大值为. 【解析】因为12=4x+3y≥2,所以xy≤3.当且仅当4x=3y,4x+3y=12,即x=,y=2时xy取得最大值3.答案:312.(2015·铜川模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是. 【解析】因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,f(x)=-x2+2x.作出f(x)的大致图像如图中实线所示,结合图像可知f(x)在R上是增加的,由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,即-2<a<1.答案:(-2,1)13.(2015·北京模拟)某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x= .【解析】该公司一年购买货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买次,又运费为4万元/次,所以一年的总运费为·4万元,又一年的总存储费用为4x万元,则一年的总运费与总存储费用之和为·4+4x(万元),·4+4x≥160,当=4x,即x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小.答案:2014.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为.【解析】由值域为[0,+∞),当x2+ax+b=0时有Δ=a2-4b=0,即b=,所以f(x)=x2+ax+b=x2+ax+=,所以f(x)=<c,解得-<x+<,--<x<-.因为不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),所以-=2=6,解得c=9.答案:915.(2015·福州模拟)对于30个互异的实数,可以排成m行n列矩形数阵,如图所示的5行6列的矩形数阵就是其中之一.将30个互异的实数排成m行n列的矩形数阵后,把每行中最大的数选出,记为a1,a2,…,a m,并设其中最小的数为a;把每列中最小的数选出,记为b1,b2,…,b n,并设其中最大的数为b.两位同学通过各自的探究,得出结论如下:①a和b必相等; ②a和b可能相等;③a可能大于b; ④b可能大于a.以上四个结论中,正确结论的序号是(请写出所有正确结论的序号).【解析】由题意可得a的值最小为6,最大为30;而b的值最小为6,最大为26,且在同一个5行6列的矩形数阵中,一定有a≥b,故②③正确,而①④不正确.答案:②③三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知函数f(x)=ax2+x-a,a≥0,求不等式f(x)>1的解集. 【解析】f(x)>1,即ax2+x-a>1,(x-1)(ax+a+1)>0,①当a=0时,解集为{x|x>1};②当a>0时,(x-1)·>0,因为1>-1-,所以解集为;综上a=0时不等式解集为{x|x>1};a>0时,不等式解集为.17.(12分)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值.【解析】因为x>0,y>0,2x+8y-xy=0,(1)xy=2x+8y≥2,当且仅当2x=8y时取等号.所以≥8,所以xy≥64.故xy的最小值为64.(2)由2x+8y=xy,得:+=1,所以x+y=(x+y)·1=(x+y)=10++≥10+8=18,当且仅当x=2y时取等号.故x+y的最小值为18.18.(12分)观察此表:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,…问:(1)此表第n行的第一个数与最后一个数分别是多少?(2)此表第n行的各个数之和是多少?(3)2015是第几行的第几个数?【解析】(1)此表第n行的第一个数为2n-1,第n行共有2n-1个数,依次构成公差为1的等差数列.由等差数列的通项公式,此表第n行的最后一个数是2n-1+(2n-1-1)×1=2n-1.(2)由等差数列的求和公式,此表第n行的各个数之和为=22n-2+22n-3-2n-2.(3)设2015在此数表的第n行.则2n-1≤2015≤2n-1可得n=11.故2015在此数表的第11行,设2015是此数表的第11行的第m个数,而第11行的第1个数为210, 因此,2015是第11行的第992个数.19.(12分)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的四周墙壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计).(1)污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低.(2)如果受地形限制,污水处理池的长、宽都不能超过14.5米,那么此时污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低.【解析】(1)设污水处理池的长为x米,则宽为米,总造价f(x)=400×+100×+60×200=800×+12000≥1600+12000=36000(元),当且仅当x=(x>0),即x=15时等号成立.即污水处理池的长设计为15米时,可使总造价最低.(2)记g(x)=x+(0<x≤14.5),显然是减函数,所以x=14.5时,g(x)有最小值,相应造价f(x)有最小值,此时宽也不超过14.5米.20.(13分)(2015·上饶模拟)设f(x)是R上的奇函数,且对任意的实数a,b,当a+b≠0时,都有>0.(1)若a>b,试比较f(a),f(b)的大小.(2)若存在实数x∈,使得不等式f(x-c)+f(x-c2)>0成立,试求实数c的取值范围.【解析】(1)由已知得=>0,又因为a>b,所以a-b>0,所以f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b).(2)因为f(x)是奇函数,所以f(x-c)+f(x-c2)>0等价于f(x-c)>f(c2-x),又由(1)知f(x)是增加的,所以不等式等价于x-c>c2-x,即c2+c<2x.因为存在实数x∈,使得不等式c2+c<2x成立,所以c2+c<3,所以c的取值范围为.21.(14分)一种计算装置,有一数据入口点A和一个运算出口点B,按照某种运算程序:①当从A口输入自然数1时,从B口得到,记为f(1)=;②当从A口输入自然数n(n≥2)时,在B口得到的结果f(n)是前一个结果f(n-1)的倍.试问:当从A口分别输入自然数2,3,4时,从B口分别得到什么数?试猜想f(n)的关系式,并证明你的结论.【解析】由已知得f(n)=f(n-1)(n≥2,n∈N*),当n=2时,f(2)=×f(1)=×=,同理可得f(3)=,f(4)=,猜想f(n)=(*).下面用数学归纳法证明(*)成立①当n=1,2,3,4时,由上面的计算结果知(*)成立.②假设n=k(k≥4,k∈N*)时,(*)成立,即f(k)=,那么当n=k+1时,f(k+1)=f(k)=·,即f(k+1)=,所以当n=k+1时,(*)也成立.关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业(六)函数的奇偶性与周期性(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·九江模拟)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )A.y=2|x|B.y=lg(x+)C.y=2x+2-xD.y=lg【解析】选 D.A中因为f(-x)=f(x),所以为偶函数;B中因为f(-x)=-f(x),所以为奇函数;C中因为f(-x)=f(x),所以为偶函数;D中定义域是(-1,+∞),定义域不关于原点对称,所以既不是奇函数也不是偶函数.2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增加的为( )A.y=cos2x,x∈RB.y=log2|x|,x∈R且x≠0C.y=,x∈RD.y=x3+1,x∈R【解析】选B.由函数是偶函数可以排除C和D,又函数在区间(1,2)内是增加的,而此时y=log2|x|=log2x是增加的,所以选B.3.(2015·南昌模拟)设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+3)=-,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(107.5)=( )A.10B.C.-10D.-【解析】选B.因为f(x+3)=-,所以f(x+6)=f(x),所以函数f(x)是周期为6的周期函数,又f(107.5)=f(18×6-0.5)=f(-0.5)=-=-,而f(-2.5)=-10,故f(107.5)=,故选B.【方法技巧】周期性问题常与奇偶性相结合,解题时注意以下两点:(1)周期的确定:特别是给出递推关系要明确周期如何确定.(2)周期性与奇偶性在解题时,一般情况下周期性起到自变量值转换作用,奇偶性起到调节转化正负号的作用.【加固训练】(2014·皖北八校模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-2,0)时,f(x)=2x+,则f(2013)=( )A.-1B.0C.1D.±1【解析】选 A.因为f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.因为f(x-2)=f(x+2),所以f(x+4)=f(x),即函数的周期为4.所以f(2013)=f(4×503+1)=f(1).因为f(-1)=2-1+=1,f(-1)=-f(1)=1,即f(1)=-1,所以f(2013)=f(1)=-1,故选A.4.若函数f(x)=是奇函数,则a的值为( )A.0B.1C.2D.4【解析】选A.由f(-1)=-f(1),得=,所以(-1+a)2=(1+a)2,解得a=0.5.(2015·重庆模拟)已知函数y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lgx,则f的值等于( )A. B.- C.lg2 D.-lg2【解析】选D.因为当x>0时,f(x)=lgx,所以f=lg=-2,则f=f(-2),因为函数y=f(x)是奇函数,所以f=-f(2)=-lg2.6.(2015·南昌模拟)函数f(x)=下列结论不正确的是( )A.此函数为偶函数B.此函数是周期函数C.此函数既有最大值也有最小值D.方程f(f(x))=1的解为x=1【解析】选D.若x为有理数,则-x也为有理数,所以f(-x)=f(x)=1;若x为无理数,则-x也为无理数,所以f(-x)=f(x)=π,所以恒有f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,所以A正确;当T为有理数时,若x为有理数,易知x+kT(k为整数)还是有理数,有f(x+T)=f(x),若x为无理数,易知x+kT(k为整数)还是无理数,仍有f(x+T)=f(x),综上可知,任意非0有理数都是f(x)的周期,B正确;由分段函数的表达式可知,当x为有理数时,f(x)=1,当x为无理数时,f(x)=π,所以函数的最大值为π,最小值为1,所以C正确;当x为有理数时,f(x)=1,则f(f(x))=f(1)=1,此时方程成立,当x为无理数时,f(x)=π,则f(f(x))=f(π)=π,所D错误.7.(2015·延安模拟)f(x),g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)<f(x)g′(x),且f(-3)=0,<0的解集为( )A.(-∞,-3)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-3,0)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)【解析】选C.由题意是奇函数,当x<0时,f′(x)g(x)<f(x)g′(x),′=<0,则在(-∞,0)上是减少的,在(0,+∞)上也是减少的,又有f(-3)=0,则有=0,=0,可知<0的解集为(-3,0)∪(3,+∞).二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·阜阳模拟)f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=log2(1-x),则f(3)=________.【解析】f(3)=-f(-3)=-log24=-2.答案:-29.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________.【解析】因为函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,所以|-x+a|=|x+a|,所以a=0.答案:010.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上递减,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围是________.【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以不等式f(1-m)<f(m),等价于f(|1-m|)<f(|m|).又当x∈[0,2]时,f(x)是减少的.所以解得-1≤m<.答案:(20分钟40分)1.(5分)若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则y=f(x)的图像与y=log4|x|的图像的交点个数是( ) A.3 B.4 C.6 D.8【解析】选C.由于f(x)是满足f(x+2)=f(x)的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x,故f(x)是周期为2的周期函数,其图像如图所示,根据函数y=log4|x|也是偶函数,其图像也关于y轴对称,容易知道它们的交点共有6个.故选C.2.(5分)(2014·山东高考)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( )A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tanxD.f(x)=cos(x+1)【解题提示】本题为新定义问题,准确理解准偶函数的概念再运算.【解析】选D.由f(x)=f(2a-x)可知,f关于x=a对称,准偶函数即偶函数左右平移得到的.【加固训练】定义两种运算:a⊗b=,a⊕b=,则f(x)=是( ) A.奇函数 B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A.因为2⊗x=,x⊕2=,所以f(x)===,该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2],且满足f(-x)=-f(x).故函数f(x)是奇函数.3.(5分)(2015·六安模拟)奇函数f(x)在(0,+∞)上的解析式是f(x)=x(1-x),则在(-∞,0)上f(x)的函数解析式是________.【解析】设x<0,则-x>0,f(-x)=-x(1+x),又f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x(1+x).答案:f(x)=x(1+x)4.(12分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值.(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增加的,求x的取值范围.【解析】(1)因为对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.(2)f(x)为偶函数.证明如下:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x-1)<2,等价于f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0,+∞)上是增加的.所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1.所以x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)= f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性.(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2014,2014]上根的个数,并证明你的结论.【解析】(1)若y=f(x)为偶函数,则f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(x+2))=f(4+x)= f(x),所以f(7)=f(3)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是偶函数.若y=f(x)为奇函数,则f(0)=-f(0),所以f(0)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是奇函数.综上可知:函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)由⇒⇒f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10),从而知函数y=f(x)的周期T=10.由f(3)=f(1)=0,得f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0.故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知函数y=f(x)在[0,2014]上有404个解,在[-2014,0]上有402个解,所以函数y=f(x)在[-2014,2014]上共有806个解.。
单元评估检测(四)第四章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015·赣州模拟)已知复数满足i3z=1+2i,则z等于( )A.-2-iB.-2+iC.2+iD.2-i【解析】选B.由i3z=1+2i,得i·i3z=(1+2i)i,即z=(1+2i)i=-2+i. 【加固训练】(2015·新余模拟)已知i是虚数单位,则等于( ) A.i B.-iC.-iD.-i【解析】选D.====-i.2.已知向量a=(2,1),b=(-1,2),且m=t a+b,n=a-k b(t,k∈R),则m⊥n的充要条件是( )A.t+k=1B.t-k=1C.t·k=1D.t-k=0【解题提示】写出m,n坐标后利用m·n=0可求.【解析】选D.由已知得m=t(2,1)+(-1,2)=(2t-1,t+2),n=(2,1)-k(-1,2)=(k+2,1-2k).又m⊥n,故m·n=0即(2t-1)(k+2)+(t+2)(1-2k)=0,整理得t-k=0.3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若m a+4b与a-2b共线,则m的值为( )A. B.2 C.- D.-2【解析】选D.m a+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1),由于m a+4b与a-2b 共线,所以-1(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.4.已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则的值为( ) A. B.- C. D.-【解题提示】由已知可求两向量位置关系,结合图像求解.【解析】选B.设向量a与b夹角为θ,由已知a·b=-6,即|a||b|·cos θ=-6即cosθ=-1,所以a与b夹角为π.如图.可得A(-2,0),B(3,0),故=.5.(2015·铜川模拟)函数y=在区间[-π,π]上的图像是( )【解析】选 B.由于函数y=f(x)=的定义域为R,且满足f(-x)==-=-f(x),故函数y是奇函数,故它的图像关于原点对称,根据当x∈时,y=f(x)≥0,再结合所给的答案,可知B正确.6.(2015·吉安模拟)定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数z对应的点在( )A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限【解题提示】运用所给新运算把复数化为代数形式再判断其对应点所在象限.【解析】选 D.由=0得z(1-i)-(1-2i)(1+2i)=0,所以z(1-i)=5,设z=x+yi(x,y∈R),所以z(1-i)=(x+yi)(1-i)=5,(x+y)+(y-x)i=5,解得因为x=y=>0,所以复数z对应的点在第一象限.7.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于( )A.-B.-C.D.【解析】选A.=2⇒P是AM的一个三等分点,延长PM到H,使得MH=MP,·(+)=·=·=-=-.8.(2015·淮北模拟)如图,正六边形ABCDEF中,有下列四个结论:①+=2;②=2+2;③·=·;④(·)=(·).其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.+=+==2,故①对;取AD的中点O,则=2=2+2,故②对;设||=1,则·=×2×cos=3,而·=2×1×cos=1,故③错;设||=1,则||=2,(·)=(2×1×cos60°)=.(·)=(1×1×cos120°)=-=,故④正确.综上,正确结论为①②④,故选C.9.给出下列命题:p:函数f(x)=sin4x-cos4x的最小正周期是π;q:存在x∈R,使得log2(x+1)<0;r:已知向量a=(λ,1),b=(-1,λ2),c=(-1,1),则(a+b)∥c的充要条件是λ=-1.其中所有真命题是( )A.qB.pC.p,rD.p,q【解析】选D.f(x)=sin4x-cos4x=(sin2x-cos2x)·(sin2x+cos2x)=sin2x-cos2x=-cos2x,故最小正周期为π,故命题p正确;当0<x+1<1,即-1<x<0时,log2(x+1)<0,故命题q正确;a+b=(λ-1,λ2+1),故(a+b)∥c的充要条件为λ-1=-(λ2+1),解得λ=-1或λ=0,故命题r不正确.10.(2014·昆明模拟)已知平面向量a=(sin2x,cos2x),b=(sin2x,-cos2x),R是实数集,f(x)=a·b+4cos2x+2sinxcosx.如果存在m∈R,对任意x∈R,f(x)≥f(m),那么f(m)= ( )A.2+2B.3C.0D.2-2【解题提示】本题解题实质是求f(x)的最小值.【解析】选C.由已知可得f(x)=sin4x-cos4x+4cos2x+2sinxcosx=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+4cos2x+2sinxcosx=sin2x-cos2x+4cos2x+2sinxcosx=-cos2x+2(cos2x+1)+sin2x=sin2x+cos2x+2=2sin+2.故f(x)min=0,因此f(m)=0.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2015·贵阳模拟)已知复数z=,则复数z·= . 【解析】因为i+i2+i3+i4=0,而2015=4×503+3,所以i+i2+i3+…+i2015=i+i2+i3=-1,所以z==-+i,所以=--i,所以z·=-=+=.答案:12.(2015·芜湖模拟)已知|a|=2,e为单位向量,当a,e的夹角为时,a+e在a-e上的射影为.【解析】a·e=|a|·|e|cos=2×1×=-1,a+e在a-e上的射影为===.答案:13.已知平面向量α,β,且|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|=.【解析】由α⊥(α-2β)得α·(α-2β)=α2-2α·β=0,所以α·β=,所以(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4×12+22+4×=10,所以|2α+β|=.答案:【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特别要注意乘法公式的应用.(2)熟记公式a2=|a|2=a·a,在遇到向量模的问题时,可将所给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决.14.在△ABC中设角A,B,C的对边分别为a,b,c,若m=(cosC,2a-c),n=(b,-cosB)且m·n=0,b=,则△ABC外接圆的半径为.【解题提示】由已知条件先求角B,再利用正弦定理可求.【解析】由m·n=0得bcosC-(2a-c)cosB=0,即b·=(2a-c)·,整理得ac=a2+c2-b2,又cosB===.又因为0<B<π,所以B=.设△ABC外接圆半径为R,由正弦定理=2R可得2R==2,故R=1.答案:115.(能力挑战题)设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=a cosθ-b sin θ,若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为 .【解题提示】根据e1·e2=求e1与e2的夹角,进而确定e2与-e1的夹角,根据新定义求向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的数量积,由此确定其夹角. 【解析】设e1,e2的夹角为α,则e2与-e1的夹角为π-α,由题意,得|e1|=|e2|=1,所以e1·e2=|e1||e2|cosα=cosα=,故α=,π-α=π.所以f(e1,e2)=e1cos-e2sin=e1-e2,f(e2,-e1)=e2cosπ-=e1-e2,f(e1,e2)·f(e2,-e1)==-e1·e2+=-=0.所以f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为.答案:【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特别要注意乘法公式的应用.(2)熟记公式a2=|a|2=a·a,在遇到向量模的问题时,可将所给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2015·上饶模拟)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若++=0,求||.(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.【解析】(1)因为++=0,又因为++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y), 所以解得即=(2,2),故||=2.(2)因为=m+n,所以(x,y)=(m+2n,2m+n),所以两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t 取得最大值1,故m-n的最大值为1.17.(12分)(2015·南昌模拟)已知复平面内平行四边形ABCD(A,B,C,D 按逆时针排列),A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i.(1)求点C,D对应的复数.(2)求平行四边形ABCD的面积.【解题提示】由点的坐标得到向量的坐标,运用向量、复数间的对应关系解题.【解析】(1)设点O为原点,因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,又=+,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i,又=+=(1+2i)+(3-i)=4+i,=-=2+i-(1+2i)=1-i,所以=+=1-i+(4+i)=5,所以点D对应的复数为5.(2)由(1)知=(1,2),=(3,-1),因为·=||||cosB,所以cosB===,所以sinB=,又||=,||=,所以面积S=||||sinB=××=7.所以平行四边形ABCD的面积为7.18.(12分)设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积a⊗b=(a1b1,a2b2),已知向量m=,n=,点P(x,y)在y=sinx的图像上运动.Q是函数y=f(x)图像上的点,且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点),求函数y=f(x)的值域.【解题提示】设出Q点坐标,与P点坐标建立联系后可求得y=f(x)的解析式从而可求值域.【解析】设Q(x,y),P(x1,y1),则由已知可得(x,y)=⊗(x1,y1)+=+=.故即又因为P点在y=sinx上,故2y=sin,故f(x)=sin,因为x∈R,故-≤f(x)≤.19.(12分)已知向量=,=,定义函数f(x)=·.(1)求函数f(x)的表达式,并指出其最大值和最小值.(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A)=1,bc=8,求△ABC的面积S.【解析】(1)f(x)=·=(-2sinx,-1)·(-cosx,cos2x)=sin2x-cos2x=sin,所以f(x)的最大值和最小值分别是和-.(2)因为f(A)=1,所以sin=.所以2A-=或2A-=.所以A=或A=.又因为△ABC为锐角三角形,所以A=.因为bc=8,所以△ABC的面积S=×8×=2.20.(13分)(2015·宜春模拟)设函数f(x)=cos(x+π)+2cos2,x∈R.(1)求f(x)的值域.(2)记△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,若f(B)=1,b=1,c=,求a的值.【解析】(1)f(x)=cosxcos-sinxsin+cosx+1=-cosx-sinx+cosx+1=cosx-sinx+1=cos+1,因为x∈R,所以-1≤cos≤1,所以0≤f(x)≤2,所以f(x)的值域为[0,2].(2)由f(B)=1得:cos+1=1,即cos=0.又因为在△ABC中,0<B<π,故B=.在△ABC中,由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos,所以a2-3a+2=0解得:a=1或a=2.21.(14分)(2015·西安模拟)已知向量a=(sin(ωx+φ),2),b=(1,cos(ωx+φ)),函数f(x)=(a+b)·(a-b),y=f(x)图像的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1,且经过点M.(1)求函数f(x)的解析式.(2)当-1≤x≤1时,求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)f(x)=(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=sin2(ωx+φ)+3-cos2(ωx+φ)=-cos(2ωx+2φ)+3,由题意得周期T==4,故ω=,又图像过点M,所以=3-cos,即sin2φ=,而0<φ<,故2φ=,则f(x)=3-cos.(2)当-1≤x≤1时,-≤x+≤.所以当-≤x+≤0时,即x∈时,f(x)是减少的.当0≤x+≤时,即x∈时,f(x)是增加的.则函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.。
