2015高考数学预测专题之数列中的最值问题

专题一：函数的极值、最值问题一、知识要点归纳(1)函数中与极值以及最值相关的常见题型1．直接求极值或者最值问题这类题的一般思路为：利用导数分析单调性，结合导函数图象(或者决定导函数符号的函数图象)写出单调区间，求出极值、最值。

注：对于求导后含参数的函数，一定要具备分类讨论的意识,一般来讲求导后，① 若函数极值点是否存在不确定，则需要分析导函数()0f x '=有根或者无根的条件，说得通俗一点，就 是要找到导函数()0f x '=有根或无根时，参数满足的相应条件是什么，之后再以条件为标准进行分类讨论 ②若极值点与定义域的关系不确定（给定定义域与单调区间关系不确定），则需要分析极值点在定义域的条件，之后再由此得到一些条件作为标准进行分类讨论② 若定义域内极值点之间大小不确定，则需要分析极值点之间大小确定的条件，之后也由此得到一些条件作为标准进行分类讨论③ ④若求最值时，端点函数值、极值之间大小无法确定，则需要分析函数值与极值之间大小确定的条件，之后再以所得条件为标准进行分类讨论值得指出的是，一般这类分类讨论的大题，通常都会夹杂以上几种需要讨论的情况，为此我们需要掌握分类讨论本质，才能得心应手。

2．间接的求极值或者最值的问题这类题的一般思路为：把要解决的问题转化化归到函数极值或者最值问题。

常见的问题：① 恒成立、能成立问题这类问题往往涉及需要转化化归到最值问题。

② 不等式证明问题这类问题细分两小类问题：第一类：纯函数不等式的证明问题，例如在指定条件下证明()()f x g x >，这类问题需要先构造合理函数，再将函数不等式证明问题转化化归到恒成立问题，之后再转化为所构造的函数最值问题；对于不等式()()f x g x >恒成立的证明构造函数所用的技巧有：()()()h x f x g x =-、()()()f x h xg x =、或对不等式()()f x g x >作代数恒等变形后再构造函数。

第二章数列与不等式专题08 数列中的最值问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．探求数列中的最值问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题；2.常见思路二：构建函数模型，应用导数研究函数的最值；3.常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值；4.常见思路四：应用基本不等式，确定最值．【压轴典例】例1.（河南省开封市2019届高三第三次模拟（理)）已知等比数列满足：，，则取最小值时，数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设等比数列的公比为当时，，则当时，，两式相减得：即解得又当且仅当时，等号成立.取最小值1时，故选A.例2.（安徽省黄山市2019届高三第二次检测）已知数列和的前项和分别为和，且，，，若对任意的 ，恒成立，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以, 因为，所以,因此，,从而,即的最小值为，选B.例3.（2016高考上海文）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.【答案】max 4k =【解析】当1n =时，12a =或13a =；当2n …时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *∈，当n k …时，0k a =.其中数列{}n a ：2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅满足条件，所以max 4k =. 例4.（广西柳州市2019届高三1月模拟）已知点在函数的图象上（）.数列的前项和为，设，数列的前项和为.则的最小值为____【答案】【解析】点在函数图象上，,是首项为，公比的等比数列，，则，是首项为，公差为2的等差数列，当，即时，最小，即最小值为.例5.（广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、广雅中学、深圳中学2019届高三上期末）等差数列的前n 项和为，，，对一切恒成立，则的取值范围为__ __.【答案】【解析】，，所以，，，，由得，由函数的单调性及知，当或时，最小值为30，故.例6.（2018·江苏高考真题）已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}nB x x n N ==∈．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________． 【答案】27【解析】设=2kn a ，则12[(211)+(221)+(221)][222]k k n S -=⨯-⨯-+⋅-++++()11221212212(12)222212k k kk k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时25[(211)+(221)+(21)][222]n S m =⨯-⨯-+-++++25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >. 由25122212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥，得满足条件的n 最小值为27.例7.（2019·天津高考模拟（文））已知数列{}n a 是正项等比数列，1342310,2a a a a a +=-=,数列{}n b 满足条件123(2)n b n a a a a =.(Ⅰ) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (Ⅱ) 设11n n nc a b =-,记数列{}n c 的前n 项和n S . ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意n *∈N ，均有k n S S ≥.【答案】（1）2nn a =，()1;n b n n =+（2）①11;12nn S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭②4k =.【解析】（1）设数列{}n a 是正项等比数列的公比为0q >，因为1310a a +=，4232a a a -=所以有1113211110222a a q a a q a q a qq +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，所以2;nn a = (1232nb n a a aa =2312322222n n b b n n +++⋅⋅⋅+⇒⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⇒=(1)2222(1);n b n n n b n n +⇒=⇒=+（2）①因为 11n n nc a b =-， 所以，123n n S c c c c =+++⋅⋅⋅+，123123()()n n n S a a a a b b b b ⇒=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+，11[1()]111122[],1122334(1)12n n S n n -⇒=-+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+-111111111()(1),2223341n n S n n ⇒=---+-+-+⋅⋅⋅+-+11111()1().2112n n n S n n ⇒=--+=-++②令11111111(1)(2)2()()22122(1)(2)n n n n n n n n S S n n n n ++++++--=--+=++⋅++， 由于12n +比(1)(2)n n ++变化的快，所以10n n S S +->，得4n <， 即1234,,,S S S S ,递增而456,,,,n S S S S ⋅⋅⋅递减，4S ∴是最大， 即当4k =时，对任意*n N ∈，均有k n S S ≥.例8.（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M－数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e .列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【压轴训练】1．（2019·安徽高考模拟（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ） A ．16 B ．17C ．18D ．19【答案】C 【解析】由8109S S S <<得，90a >，100a <，9100a a +>，所以公差大于零.又()117179171702a a S a +==>，()1191910191902a a S a +==<，()()1181891018902a a S a a +==+>，故选C.2．（2019·北京师大附中高考模拟（文））已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12，则1m +9n的最小值为（ ） A ．32B ．83C ．114D ．不存在【答案】C 【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7=a 6+2a 5得：a 6q=a 6+62a q， 化简得，q 2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），因为a m a n =16a 12，所以()()1111m n a qa q --=16a 12，则qm+n-2=16，解得m+n=6，所以191191918(m n)10106663n m m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝… . 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为mn 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 验证可得，当m=2、n=4时，19m n+取最小值为114，故选：C ．3.（2019·北京高三期末（理））已知为等差数列，为其前项和.若，，则公差___；的最大值等于___. 【答案】 12【解析】由a 2＝4，a 3+a 5＝0得得，则S n ＝6n（﹣2）＝﹣n 2+7n ＝﹣（n ）2，则当n ＝3或4时，S n 取得最大值，最大值为S 3＝﹣9+21＝12， 故答案为：﹣2，124.（2019·山东枣庄八中高三月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a +=，则使不等式2221286n a a a +++＜成立的n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】根据题意，数列{}n a 满足12n n S a +=， 当1n =时，1121a a =+，得11a =，当2n ≥时，()112n n n n n a a S S a ---=-=，即12n n a a -=，所以12nn a a -= 又∵11a =满足上式，即{}n a 是以2为公比，1为首项的等比数列则12n n a -=， 则214n n a -=，则数列{}2na 是以1为首项，4为公比的等比数列，则()()22212114141143n nn S a a a -=+++==--，若2221286n a a a +++<，则有()141863n-<， 变形可得：4259n <，又由*n N ∈，则4n ≤，即n 的最大值为4； 故选：B ．5.（2019·江苏高考模拟）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥-， 当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --＝3故答案为：6.（2019·广东高考模拟）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=10，S 8=36，当n∈N *时，nn 3a S +的最大值为______． 【答案】71 【解析】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4810,36S S ==，设首项为1a ，公差为d ，则11434102878362a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得11a d ==，所以，所以(1)2n n n S +=， 则2322(3)(4)1271272nn a n n n n S n n n n+===++++++，当12n n +取最小值时，3n n a S +取最大值，结合函数()12(0)f x x x x =+>的单调性，可得当3n =或4n =时，317n n max a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭． 故答案为：71． 7.（2019·天津高考模拟（文））已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，若m ，n *∈N ，满足224m n a a a =，则21m n+的最小值为__________． 【答案】1 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，则首项1a q =由224m n a a a =得：()()22113111m n a q a q a q --⋅=则：28m nqq += 28m n ∴+=()2112114142224888n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅++=⋅+++=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴*,m n N ∈ 40,0n mm n∴>>则44n m m n +≥=（当且仅当4n m m n =，即2n m =时取等号） ()min 2114418m n ⎛⎫∴+=⨯+= ⎪⎝⎭ 本题正确结果：18.（2019·江苏金陵中学高考模拟）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14760a a a ++=，25851a a a ++=，若对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，则正整数k 的值为_______．【答案】10 【解析】因为数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，14760a a a ++=，25851a a a ++=，两式相减， 得：3d ＝－9，所以，d ＝－3， 由等差中项得14743=60a a a a ++=，即14=320a a d +=，解得：1a ＝29，所以，(1)29(3)2n n n S n -=+⨯-＝236122n n -+　，当n ＝616时，n S 取得最大值，但n 是正整数，所以，当n ＝10时，n S 取得最大值， 对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，显然k ＝10. 故答案为：109.（2019·江苏扬州中学高考模拟）数列{}n a 是等差数列，11a =,公差[]1,2d ∈,且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为______. 【答案】12- 【解析】41016111153(9)1515a a a a d a d a d λλ++=∴+++++=,15()219f d dλ==-+，因为[]1,2d ∈，所以令19,[10,19]t d t =+∈，因此15()2f t t λ==-，当[10,19]t ∈，函数()f t λ=是减函数，故当10t =时，实数λ有最大值，最大值为1(10)2f =-.10.（2019·福建高考模拟（理））在数列{}n a 中，1253a a +=，()()11280n n n a na n N *+--+=∈，若()12n n n n b a a a n N *++=⋅⋅∈，则{}n b 的前n 项和取得最大值时n 的值为__________．【答案】10 【解析】解法一：因为()11280n n n a na +--+=① 所以()211280n n na n a ++-++=②，①-②，得122n n n na na na ++=+即122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列． 在①中，取1n =，得1280a -+=即128a =，又1253a a +=，则225a =， 所以313n a n =-．因此12100a a a >>>>，1112130a a a >>>>所以1280b b b >>>>，99101180b a a a =⋅⋅=-<，10101112100b a a a =⋅⋅=>，1112130b b b >>>>所以12389T T T T T <<， 9101112T T T T >>又1089108T T b b T =++>，所以10n =时，n T 取得最大值． 解法二：由()11280n n n a na +--+=，得()12811n n a a n n n n +-=---， 令1n n a c n +=，则11111282811n n c c n n n n -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即1211281281n c c a n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 代入得()()1222812828n n a nc na n n a +==+-=+-，取1n =，得1280a -+=，解得128a =，又1253a a +=，则225a =，故1283n a n +=-所以313n a n =-，于是()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++=⋅⋅=---． 由0n b ≥，得()()()3132832530n n n ---≥，解得8n ≤或10n =， 又因为98b =-，1010b =， 所以10n =时，n T 取得最大值．11.（2019·全国高考真题（文））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5． （1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 【答案】（1）210n a n =-+； （2）110()n n N *≤≤∈. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩， 解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+； （2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-， 由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-， 因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤， 解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n N *≤≤∈12.（2017·上海高考真题）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案； （2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.试题分析： （1）（2），即第42个月底，保有量达到最大，∴此时保有量超过了容纳量.13．（2018·河南高三期中（文））已知非零数列{}n a 满足*13()n n a a n +=∈N ，且1a ，2a 的等差中项为6．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log n n b a =，求12233411111n n b b b b b b b b +++++…取值范围． 【答案】(1) 3nn a = (2) 11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由()*13n n a a n N +=∈，得{}na 为等比数列且公比3q =.设首项为1a ，12,a a 的等差中项为6，即1212a a q +=，解得13a =，故3nn a =.(2)由32log 2na nb n ==得到：()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭， ∴1223341111111111111114223141n n b b b b b b b b n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 因为11141n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭可以看成关于n 的单调递增函数，所以n=1时，最小为18，且1111414n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， ∴1223341111111,84n n b b b b b b b b +⎡⎫++++∈⎪⎢⎣⎭. 14.（2019·湖南高考模拟（文））已知数列{}n a 的首项13a =，37a =，且对任意的n *∈N ，都有1220n n n a a a ++-+=，数列{}n b 满足12n nb a -=，n *∈N .（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使122018n b b b +++>成立的最小正整数n 的值.【答案】（Ⅰ）21n a n =+，21nn b =+;（Ⅱ）10【解析】（Ⅰ）令1n =得，12320a a a -+=，解得25a =. 又由1220n n n a a a ++-+=知211n n n n a a a a +++-=- 212a a ==-=，故数列{}n a 是首项13a =，公差2d =的等差数列，于是21n a n =+，1221n nn b a -==+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21nn b =+.于是11n n T b b b =+++ ()122222n =++++ ()12122212n n n n +-=+=+--.令()122n f n n +=+-，易知()f n 是关于n 的单调递增函数，又()1092921031f =+-=，()111021022056f =+-=，故使112018n b b b +++>成立的最小正整数n 的值是10.15.（2019·山东日照一中高三期中（理））已知数列{a n }中，1123123n a a a a na =+++⋯+=，（n∈N *）（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{na n }是等比数列，并求数列{a n }的通项a n ； （Ⅱ）求数列{n 2a n }的前n 项和T n ； （Ⅲ）对任意n∈N *，使得恒成立，求实数λ的最小值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） (Ⅲ)【解析】（Ⅰ）[证明]：由a 1+2a 2+3a 3+…+na n =，得a 1+2a 2+3a 3+…+（n ﹣1）a n ﹣1=（n≥2），①﹣②：，即（n≥2），∴当n≥2时，数列{na n }是等比数列，又a 1=1，a 1+2a 2+3a 3+…+na n =，得a 2=1，则2a 2=2，∴，∴（n≥2），∴；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，∴T n =1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n ﹣2，则，两式作差得：，得：；（Ⅲ）解：由≤（n+6）λ，得≤（n+6）λ，即对任意n∈N *恒成立．当n=2或n=3时n+有最小值为5，有最大值为，故有λ≥，∴实数λ的最小值为．16.（2019·山东高考模拟（文））已知数列的各项均为正数，，且对任意，为和1的等比中项，数列满足.（1）求证：数列为等比数列，并求通项公式；（2）若，的前项和为，求使不小于360的的最小值. 【答案】（1）证明见解析，；（2）18.【解析】（1）由题意得：，即数列成等比数列，首项为，公比为，又为正项数列（2）由（1）得：，即或（舍去）所以不小于的的最小值为。

专题讲座：数学压轴题中国正在解郭本龙曾劲松黄文辉模块一函数、数列、不等式1.首先是翻译：读你的感觉像三月2.“萌萌哒”邂逅新概念3.再议审题：都云作者痴，谁解其中味？4.像个难题：我很丑，可是我很温柔5.讨论，还是不讨论？这是个问题6.弱水三千，只取一瓢7.著粉则太白，施朱则太赤8.要有分寸，别乱了方寸9.僧敲月下门，为寻突破口10.与自然数有关，所以很自然11.这一个条件貌似“鸡肋”12.一山二虎，谁主沉浮？13.学会整理：待从头，收拾旧山河14.百思不得其解的零点15.设而不求，兵不血刃16.分离更兼构造，总把新桃换旧符17.过犹不及与“过得刚好”18.岁月静好，人类想入非非19.不定方程：退一步海阔天空20.春江水暖，收放自如21.放缩法：让我一次爱个够22.在庸常的日子里守住常规、悄然绽放23.远上寒山石径斜24.既要沉进去，还得跳出来25.何去何从，让感觉与众不同26.问自己十万个为什么27.执果索因：为何会是这样？28.函数赋值：赋到沧桑句便工29.积与和，“告诉我我们都差不多”30.从未知数的丛林中突围31.说说心态：不畏难，不轻易32.加一项减一项，天堑变通途33.动作片：反证、迭代、搭配34.我要“累加”，风吹雨打也不怕35.至少还有你——数学归纳法36.凑项，为了不在命运中交错37.一段一段，“单调”的回忆38.曾经沧海，余音绕梁39.如层层剥笋，如潺潺流水模块二三角函数、平面向量40.熟记公式和结论，让自己满腹经纶41.函数与方程的无缝对接42.看方向、找关系、定顺序、顾大局43.一个“三角题”的现场直播44.山重水复，草根逆袭45.基底：向量的根基和底牌46.解析法一到，我们乐逍遥47.两大法宝，居家必备48.掀起向量的盖头来49.那一回，她最后一个出场模块三平面解析几何50.回到方程——解几问题的基本归宿51.汝果欲学诗，功夫在诗外52.“求轨迹方程”那些事儿53.由定义可定性，因定性而定型54.奔波操劳只为了那一“点”55.有点儿伟大的韦达定理56.继续研究，往前一步是幸福57.曲线有破洞，像很潮的牛仔裤58.你是我的“眼”59.朴素为文，一如朴实为人60.消元如PK，我为什么选择离开？61.字母“轮换”，风水轮流转62.都是动点？我不变，我等你63.对称弦：讲“理”与守“法”64.定值：先算计，再计算65.定点：先踩点，再打点66.定曲线：先找到它，再说服你67.为了三点共线，过着两点一线的生活68.变形须彻底：如果爱，请深爱69.关键词：直接、稳妥、简约70.求助于双曲线的“闺蜜”71.请这哥俩演一回二次曲线72.这次第，怎一个“繁”字了得？模块四立体几何73.工欲善其事，必先利其器74.三视图：横看成岭侧成峰75.推理如落霞，向量似孤鹜76.面面相觑二面角77.坐标系，治愈系78.最值问题：“把水倒掉”79.折折叠叠都是为了你80.点在何处？吾将上下而求索81.“四个平面”牵动四面八方82.看它们欢聚一堂、勾心斗角模块五概率统计83.庖丁之理解，郢人之鼻斵84.我们所“期望”的出场顺序85.谁说不胜枚举？只要不厌其烦86.有了递推关系就没关系了87.找一种模型自圆其说88.“概率”是黑马，你以梦为马牛师与后生的聊天记录时间——下午课外活动地点——某中学西校区人物——牛师，数学老师。

数列和最值问题
数列和最值问题是一个在数学中非常常见的问题类型，涉及到对一系列数字（数列）进行求和，并找到这些和的最大值或最小值。

这类问题在数学、物理、工程和经济等多个领域都有应用。

数列和最值问题通常可以通过以下几种方法来解决：
1. 直接计算：对于一些简单的数列，可以直接计算出数列的和，然后找到其中的最大值或最小值。

2. 数学归纳法：对于一些复杂的数列，可以使用数学归纳法来证明数列和的性质，从而找到最值。

3. 函数性质：将数列和表示为函数，然后利用函数的性质（如单调性、凹凸性等）来找到最值。

4. 优化算法：对于大规模的数列和最值问题，可以使用优化算法（如梯度下降、遗传算法等）来找到最优解。

在实际应用中，需要根据具体的问题场景和数据规模选择合适的方法来解决数列和最值问题。

一、选择题1．已知等差数列 的前 项和是 ,若,,则 最大值是A.B.C.D.【答案】C【解析】由等差数列的前 n 项和的公式可得：故则,故在数列 中,当时,,当,所以 时, 达到最大值.2．若等差数列 的前 项和,则的最小值为A．B.8C.6D.7【答案】D3.已知正项等比数列 的前 项和为 ,且,则为 A. 10 B. 15 【答案】CC. 20D. 25【解析】由题意可得：,由可得由等比数列的性质可得： 可得：成等比数列,则的最小值, ,综上,当且仅当时等号成立.综上可得,则的最小值为 20.4.已知数列 的通项公式为最大值为 A．4 【答案】CB．5C．6【解析】,记数列 的前 项和为,则使 D．8成立的 的 ,,,…,所以使成立的 的最大值为 ,故选 C.5．设数列 为等差数列, 为其前 项和,若,,,则 的最大值为A. 3 B. 4 C.D.【答案】B【解析】∵S4≥10,S5≤15,∴a1+a2+a3+a4≥10,a1+a2+a3+a4+a5≤15,∴a5≤5,a3≤3,a1+4d≤5,a1+2d≤3,两式相加得：2（a1+3d）≤8,∴a4≤4,故选 B.6. 等比数列 的前 项和（ 为常数）,若恒成立,则实数的最大值是 A. 3 B. 4 【答案】CC. 5D. 67. 正项等比数列｛an｝中,存在两项 am,a（n m,n的最小值为 A. 5 B. 6 【答案】BC. 7D. 8）使得 aman=16a12,且 a7=a6+2a5,则 +【解析】∵,∴∴,又,∴,,∴,即,,当且仅当,即时等号成立,∴的最小值为 6,故选 B．8. 等差数列 的公差为 ,关于 的不等式的解集为 ,则使数列的前 项和 最大的正整数 的值是 A． B． C． D． 【答案】B9. 已知等差数列 的公差,且 , , 成等比数列,若, 为数列 的前 项和,则的最小值为A． 4B．3【答案】A【解析】由已知有公式C． ,所以有D．2,数列 通项,所以,当且仅当,即时等号成立.故选A.10. 已知三个数 ,,成等比数列,其倒数重新排列后为递增的等比数列 的前三项,则能使不等式成立的自然数 的最大值为A．9 【答案】CB．8【解析】因为三个数C．7D．5等比数列,所以,倒数重新排列后恰好为递增的等比数列 的前三项,为,公比为 ,数列是以 为首项, 为公比的等比数列,则不等式等价为,整理,得,故选 C．11. 设等差数列 满足:,公差, 若当且仅当是A．B．【答案】A时, 的前 项和 取得最大值,则首项 的取值范围C．D.12. 设 数 列首项 ,当 取最大值时,,为的前 项和,若A． 4 【答案】DB．2C． 6D． 3【解析】由题意得,所以当且仅当时取等号,故选 D. 二、填空题 13.将 10 个数 1,2,3,…,9,10 按任意顺序排列在一个圆圈上,设其中连续相邻的 3 数之和为 , 则 的最大值不小于__________． 【答案】1814.已知 是等比数列,且,【答案】【解析,则 的最大值为__________． 】,即 的最大值为 .15．设等差数列 满足 __________． 【答案】-12 【解析】因为数列,,且是等差数列,且有最小值,则这个最小值为,所以,是一元二次方程,或,的二根,由 ,当,当得 时,时,取得最小值,由解得,时,取得最小值,此时 ,,当 ,当时,时,取得最小值,由解得,时,取得最小值,此时, 故答案为 .16．设等差数列 的前 项和为 ,且又,数列 的前 项和为 ,若最大值是__________. 【答案】2（ 是常数,）,,对恒成立,则正整数 的17.数列{an}是等差数列,数列{bn}满足 bn=anan+1an+2（n∈N*）,设 Sn 为{bn}的前 n 项和．若,则当 Sn 取得最大值时 n 的值等于_____．【答案】【解析】设 的公差为 ,由得,,即,所以,从而可知时,,,,,因为,所以中 最大,故答案为 16.,时,,,,所以,从而 ,故,所以 ,故18.已知等比数列 的首项为 ,公比为 ,前 项和为 ,则的最大值与最小值之和为__________． 【答案】【解析】由等比数列前 n 项和公式可得,令,当 为奇数时,单调递减,,当 为偶数时,单调递增,,则,即,令,函数单调递减,则：,最大值与最小值之和为. 19.等差数列 满足,则的取值范围是________.【答案】.三、解答题20．已知数列 的各项为正数,其前 项和为 满足,设. （1）求证：数列 是等差数列,并求 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ,求 的最大值.（3）设数列 的通项公式为,问: 是否存在正整数 t,使得成等差数列？若存在,求出 t 和 m 的值；若不存在,请说明理由.21．已知数列 是首项等于 且公比不为 1 的等比数列, 是它的前 项和,满足．（1）求数列 的通项公式；（2）设且,求数列 的前 项和 的最值．【解析】（1）,,.整理得,解得或（舍去）..（2）.1）当 时,有增的等差数列.由,得 .所以数列是以为公差的等差数列,此数列是首项为负的递 . 的没有最大值.2）当时,有递减的等差数列.,得 ,,数列 是以为公差的等差数列,此数列是首项为正的. 的没有最小值.。

求数列最值的12种题型题型一：递推问题1、已知数列{a n }中,a 1>0,且a n +1=3+a n 2.(1)试求a 1的值,使得数列{a n }是一个常数数列；(2)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；(3)若a 1=4,设b n =|a n +1-a n |(n =1,2,3…),并以S n 表示数列{b n }的前n 项和,试证明：S n <52.解：（Ⅰ）欲使数列{a n }是一个常数数列,则a n +1=3+a n 2=a n ,又依a 1>0,可以得a n >0并解出：a n =32.a n =-1(舍)即a 1=32（Ⅱ）研究a n +1-a n =3+a n 2-3+a n-12=a n -a n-12(3+a n 2+3+a n-12)(n ≥2)注意到：2(3+a n 2+3+a n-12)>0因此,a n +1-a n ,a n -a n -1,…,a 2-a 1有相同的符号.要使a n +1>a n 对任意自然数都成立,只须a 2-a 1>0即可.由3+a 12-a 1>0,解得：0<a 1<32.（Ⅲ）用与（Ⅱ）中相同的方法,可得当a 1>32时,a n +1<a n 对任何自然数n 都成立.因此当a 1=4时,a n +1-a n <0∴S n =b 1+b 2+…+b n .=|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n +1-a n |=a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n +1=a 1-a n +1=4-a n +1又：a n +2<a n +1即3+a n+12<a n+1,可得a n +1>32,故S n <4-32=52.题型二：最值问题2、已知数列{a n }满足：a 1=1,a n +1=a n 2a n +1(*n N ∈),数列{b n }的前n 项和S n =12-12(23)n (*n N ∈).(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设n n nb C a =,是否存在*m N ∈,使9m C ≥成立？并说明理由.解答：（1）由1111221n n n n n a a a a a ++=⇒=++,∴112(1)21n n n a =+-=-,*1()21n a n N n =∈-.由21212()3n n S =-⋅及1121212()(2)3n n S n --=-⋅≥,可得124()(2)3n n n n b S S n -=-=⋅≥,令1n =,则11121212()43b S ==-⋅=也满足上式,∴124()(*)3n n b n N -=⋅∈.1122(2)(21)4()4(21)(33n n n n n b C n n a --==-⋅=-,设m C 为数列{}n C 中的最大项,则12111224(21)()4(23)()33224(21)()4(21)()3327(21)23322521(21)32m m m m m mm m m m C C C C m m m m m m m m ----+⎧-≥-⎪≥⎧⎪⇒⎨⎨≥⎩⎪-≥+⎪⎩⎧⎧-⋅≥-≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪-≥+⋅≥⎪⎪⎩⎩,∴3m =.即3C 为{}n C 中的最大项.∵2328020(939C ==<,∴不存在*m N ∈,使9m C ≥成立.题型三：公共项问题3、设A n 为数列{a n }的前n 项的和，A n ＝32(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3。

考点12 三角函数的最值及其应用1.（2015.北京.理，15）已知函数2()2sin cos 2sin 222x x x f x =-．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．2.（2015.北京.文，15）已知函数()2sin 23sin 2xf x x =- （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.3.（2015.天津.理，15）已知函数f （x ）=sin 2x ﹣sin 2（x ﹣），x ∈R ．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．4.（2015.重庆.理，18）已知函数2()sin()sin 3cos 2f x x x x π=--（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 则2[,]63ππ上的单调性。

5.（2015.重庆.文，18）已知函数f （x ）=sin2x ﹣cos 2x ．（Ⅰ）求f （x ）的最小周期和最小值；（Ⅱ）将函数f （x ）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象．当x ∈时，求g （x ）的值域．6.（2015.山东.理，16）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+（1）求()f x 的单调区间（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()02Af =，1a =，求ABC ∆面积的最大值7.（2015.安徽.文，16）已知函数x x x x f 2cos )cos (sin )(2++= （I ）求f (x ) 最小正周期；（II ）求f (x ) 在区间 ]20[π， 上的最大值和最小值．8.（2015.福建.文，21）已知函数()2103sin cos 10cos 222x x xf x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．。

教学目标：通过研究数列的特征和性质，让学生掌握判定数列中的项的常用方法，学会处理数列单调性的相关问题，从而提高学生对问题分析、转化与突破的能力. 教学重点：求解方程整数解的方法与作差法处理数列的单调性. 教学难点：方程整数解的存在性判定，离散型不等式恒成立的转化. 教学过程：开场白，明确本课的主题.一．小题训练参考答案：1.等差数列，从而31n a n =-，从而9=26a ；或者119n a a dn -=+=.2.先求基本量，则2(12)(10)(18)d d d +=++，得1d =，从而n a n =，即99a =.3.判断为等差数列，从而29n a n =-；利用待定系数法，得28n S n n =-，从而29n a n =-. 二．例题分析 1.判定从属关系例1(必修5，p32，习题2.1，4)已知数列{}n a 的通项公式是232n a n n =++，56是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？ 分析：只需要判定方程是否有正整数解.解：构建方程23256n n ++=，则23540n n +-=，解得9n =-或者6n =，说明56是数列{}n a 中的第6项.点评：处理关键是建立方程，从而加以求解.其可以通过因式分解或者配方的方法处理. 变式1：若数列{}n a 的通项为332n a n n =++，判断56是否为数列{}n a 中的项？分析：此时基本的想法是构造方程332=56n n ++，整理得：3354=0n n +-，现在问题是如何解？方法1：为了求未知数n ，经过分析2(3)54n n +=，则2543nn +=说明n 为54的正因子，所以1,2,3,6,9,18,27,54n =，此时已经缩小了范围，经过检查，每个都不是解，说明56不是其中的项.方法2：利用方程与函数的关系，把方程的解转化成函数的零点，从而构造：3()354f x x x =+-，又2()33f x x '=+，从而函数在[0,)+∞单调增，又因为(3)0,(4)0f f <>，从而根据零点的存在性定理，知零点0(3,4)x ∈， 故不存在正整数解，即56不是其中的项.点评：通过以上特殊问题的研究，不难发现判定项的问题，其实就是建立方程加以求解. 其方程具有特殊性，求整数解，除了可以利用函数的观点来处理，还可以有独特的处理方法，即因子分析加以缩小范围.分析：等差数列的基本量，题目中提供了两个等量关系，所以容易得到首相和公差，从而得到通项和和式.而第二小问，需要我们判断是否为其中的项，首先要具体化，从而来观察，发现分子两次，分母一次，希望“作除法”的过程中没有余数，既能被整除.解答：(1)设公差为d ，则22222543a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以43=0a a +，即125=0a d +，又由77S =得411,31a a d =+=，解得15,2a d =-=， 所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-. (2)122222(4)(2)(27)(25)82236m m m m m m m a a a a m m m a m a a a ++++++----+-===-+为整数，从而因为2m a +是奇数，所以2m a +可取的值为1±，当21m a +=，3m =时，123m m m a a a ++=为数列中第5项；当21m a +=-，1m =时，1215m m m a a a ++=-不是数列中的项，从而满足条件的正整数为2m =.点评：对于整数的问题，我们要思考其特殊性，如果我们了解一点整数理论的知识，也许我们可以通过相邻三个奇数是两两互质的，那么很快可以得到分母只能是1±，从而更快捷的解决问题. 2.判断单调特性例2`(必修5，p32，习题2.1，6(2))已知数列{}n a 的通项公式是285n a n n =-+，这个数列所有项中有没有最小项？分析：由于数列是离散型的函数，因此可以通过图象加以观察.解答：通过配方，2(4)11n a n =--，所以当4n =时，此项最小，即第四项是最小项. 点评：数列也是一种函数，其特殊性在于离散型，可以参考函数的研究方法.变式2. 已知数列{}n a 的通项公式为25n a n kn =++，若对于任意正整数n ，都有1n n a a +>，则实数k 的范围为 .分析：我们刚才把这个问题看成函数处理的，此时判断对称轴的位置，那么本题是否也可以借鉴，那需要注意什么？如果不这么处理，我们该如何刻画一个比一个大？这种比较大小该如何转化？方法1：函数的观点.考察函数25y x kx =++，其对称轴与1，2比较而言，应该靠近1，从而322k x =-<，即3k <-. 方法2：不等式比较.转化为恒成立问题，具体化之后22(1)(1)5>5n k n n kn ++++++恒成立，整理得：(21)k n <-+恒成立，从而3k <-.点评：虽然数列是特殊的函数，可以从单调性（图象）来观察，但要注意其离散性，这对我们以后讨论一些离散型的问题应该有所启发．两者相比较而言，就本题而言，比较倾向于“比较法”．练习：若数列{}n a 的通项为22n n a n =-，则数列{}n a 是否存在最小项？分析：暂时不能画出其函数图象，但可以从函数的角度观察到：当自变量足够大的时候，应该整体是单调增的，从而只需要考虑前面几个，因此可以通过“走几步看看”来实现作为填空题的愿望，同时也能得到一个直观的感觉，从而可以选择“先猜后证”的处理方法．1234561,0,1,0,7,28,a a a a a a ===-===，从而感觉到最小项是第三项，我们如何加以证明呢？方法１：通过对函数22,x y y x ==关系的研究，发现只有当24x <<时，220x x -<，从而最小项确定．方法２：通过1n n a a +-的正负来判断增减性．12(21)n n n a a n +-=-+，可知当3n ≥时，2(21)(11)(21)0n n n n n -+≥++++-+>，从而从第三项起，数列单调递增，于是只需要考察前三项，从而第三项为最小项．点评：通过以上方法的考察，不难发现，数列中的具体数值的计算，可以带给我们数列整体的感觉；另外函数的观点要起到一个先导性的作用，可以给我们指明方向，但具体的证明或者理由还需要依赖相邻两项的比较，进而确定通过这样的递推关系，得到数列的单调性． 真题2(2008全国II) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．(1)设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； (2)若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．分析：已知条件中给出的和式和通项的混合关系，因此需要将其中一个转化，得到递推关系，此时观察到第一小问给我们作了精妙的提示，也就是我们首先需要研究的问题是数列中的和式，由此需要将其中的通项转化为和式，从而得到和式的关系，再用代入法处理数列{}n b 的递推关系. 从第二小问的角度，可以首先得到和式，再一次转化为通项来比较大小，得到参数的范围.解：(1)由和式与通项的关系，得到113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+， 由此得11132(3)2n n n n n n b S S b +++=-=-=．因此类似等比数列的通项，从而得到： 所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ． (2)由(1)知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是， 当2n ≥时，1n n n a S S -=-13(3)n n na a ---=+-⨯---⨯1223(3)2n n a --=⨯+-， 12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22322[12()3]n n a --=⨯+-， 从而当2n ≥时，231212()30n n n a a a -+⇔⨯+-≥≥恒成立，从而分离变量，得到9a -≥．说明此时从第二项起单调递增，于是比较前两项的关系为：2113a a a =+>，恒成立．综上，所求的a 的取值范围是[9)-+∞，． 方法2：由1n n a a +≥，即1133n n n n S S ++++≥，从而112323n n n n b b +++⨯+⨯≥恒成立， 于是，11(3)223(3)223nn n n a a +--+⨯-+⨯≥，化简得：332n a -⨯≥-，因此9a -≥.点评：在处理和式和通项关系的时候，应该根据需要的方向即时选择，可以说是要“因题制宜”，当然题目铺设了更好的台阶提供给我们，更为我们处理的时候方便. 对于第二小问的问题，如果要求通项，则无统一形式；但题目中可以根据特殊性进行转化，也是对题目的一种研究.三．课堂小结本节课我们花了点时间研究了数列中项的两个问题，其一判断是否为其项，主要涉及等量关系，即方程的整数解，可分析因子，或者研究函数零点；其二是数列的单调性，主要涉及不等关系中的离散情况的恒成立情况，主要就是作差比较的方法.涉及到的数学思想方法，包括函数与方程的思想，数形结合的思想，也有一些方法值得注意，数列的整体感觉，先猜后证的研究方法，估算缩小范围的想法等. 作业：1.若数列{}n a 的通项公式为n a =2+是该数列中的第 项.2.已知数列{}n a 的通项公式为(2)n n a q q =>满足：存在正整数k 使得21()k k k a a a ++-+为数列{}n a 中的某一项，求公比q = .3.若数列{}n a 的通项公式为225n n n a +=，则该数列的最大项是第 项.4.已知不等式1(1)(1)2n n na +--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围为 .5.已知函数()22x x f x -=-，数列{}n a 满足2(log )2n f a n =-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：数列{}n a 是递减数列.思考题：(2010重庆) 在数列{}n a 中，1a =1，11(21)(*)n n n a ca c n n N ++=++∈，其中实数0c ≠.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若对一切*k N ∈，有221k k a a ->，求c 的取值范围.。