222 223 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程 课件人教A选修4 4

[研一题]
[ 例 3] 如 果 椭 圆 右 焦 点 和 右 顶 点 分 别 是 双 曲 线
x＝4secθ， y＝3tan θ
(θ 为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双
曲线渐近线的最大距离． [精讲详析] 本题考查椭圆及双曲线的参数方程，解答本题需
要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条
则 5y4＋16y2－16＝0，
解得 y2＝45或 y2＝－4(舍去)，则 x＝54y2＝1.
[读教材·填要点]
1．双曲线的参数方程
(1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线xa22－by22＝1 的参数方程是
x＝asecφ y＝btan φ
规定参数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)且 φ≠π2，φ≠32π
(2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线ay22－xb22＝1 的参数方程是
[通一类]
2．已知抛物线 C：xy＝＝22tt2 (t 为参数)，设 O 为坐标原点，点 M 在抛物线 C 上，且点 M 的纵坐标为 2，求点 M 到抛物线焦点 的距离．
解：由xy＝＝22tt2 ，得 y2＝2x，即抛物线的标准方程为 y2＝2x. 又∵M 点的纵坐标为 2，∴M 点的横坐标也为 2. 即 M(2,2)． 又∵抛物线的准线方程为 x＝－12. ∴由抛物线的定义知|MF|＝2－(－12)＝2＋12＝52. 即点 M 到抛物线焦点的距离为52.
θ－12sin 5
θ|
＝3|
41sin 5
θ－φ| (tan
φ＝54)．
∴dmax＝3
41 5.
[悟一法] 对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同， 当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是 常量，这一点尤其重要．
[通一类] 3．(2011·广东高考)已知两曲线参数方程分别为xy＝＝sin5cθos θ
提示：参数φ是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点 M的离心角)，而不是OM的旋转角．
2．如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？
提示：如果 x 对应的参数形式是 asecφ，则焦点在 x 轴上；
如果 y 对应的参数形式是 asecφ，则焦点在 y 轴上．
3．若抛物线的参数方程表示为xy＝＝ttaa22nnppα2α. ，
设 M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长 线上，且 M 为线段 OP 的中点，抛物线的参数方程为xy＝＝22tt2，， 由中点坐标公式得xy00＝＝44tt2，，
变形为 y0＝14x20，即 x2＝4y. 表示的为抛物线．
[悟一法] 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需 要引入一个中间变量即参数(将 x，y 表示成关于参数的函数)，然 后消去参数得普通方程．这种方法是参数法，而涉及曲线上的点 的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
[研一题] [例 2] 连结原点 O 和抛物线 2y＝x2 上的动点 M，延长 OM 到 P 点，使|OM|＝|MP|，求 P 点的轨迹方程，并说明它是何曲线． [精讲详析] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用．解 答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出 M、P 的坐标，然 后借助中点坐标公式求解．
件求出椭圆的参数方程求解即可． ∵1x62 －y92＝1，∴右焦点(5,0)，右顶点(4,0)．
设椭圆xa22＋by22＝1，∴a＝5，c＝4，b＝3. ∴方程为2x52 ＋y92＝1.
设椭圆上一点 P(5cos θ，3sin θ)，
双曲线一渐近线为 3x－4y＝0，
∴点
P
到直线的距离
d＝|3×5cos
则参数 α 的几何意
义是什么？
提示：参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M，以射线
OM 为终边的角．
[研一题]
[例 1] 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P，使 P 到直线 y＝x 的
距离为 2. [精讲详析] 本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题
需要先求出双曲线的参数方程，设出 P 点的坐标，建立方程求解．
[悟一法] 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲 线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解 过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可 将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．
[通一类] 1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶
x＝btan φ
y＝asecφ
.
2．抛物线的参数方程 (1)抛物线 y2＝2px 的参数方程为
x＝2pt2 y＝2pt
，t∈R .
(2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点
连线的 斜率的倒数 ．
[小问题·大思维] 1．在双曲线的参数方程中，φ的几何意义是什么？
(0≤θ≤π)和x＝54t2 (t∈R)，它们的交点坐标为___________． y＝t
解析：由xy＝＝sin5cθos θ (0≤θ≤π)得x52＋y2＝1(y≥0)，
由x＝54t2 y＝t
(t∈R)得 x＝54y2.
联立方程可得xx52＝＋54yy22＝1，
设 P 的坐标为(secφ，tan φ)，由 P 到直线 x－y＝0 的距离为 2
得|secφ－tan φ|＝ 2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
得|co1s φ－csions φφ|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|
平方得 1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)， 即 5sin 2φ－2sin φ－3＝0. 解得 sin φ＝1 或 sin φ＝－35. sin φ＝1 时，cos φ＝0(舍去)． sin φ＝－35时，cos φ＝±45. ∴P 的坐标为(54，－34)或(－54，34)．
点． 证明：设双曲线为 x2－y2＝a2，取顶点 A(a,0)， 弦 B′B∥Ox，B(asecα，atan α)，则 B′(－asecα，atan α)． ∵kB′A＝－aasteacnαα－a，kBA＝asaetcaαn－α a， ∴kB′A·kBA＝－1. ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点.