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第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课标要求考情分析1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.本节是高考中的重点考查内容，主要涉及直线与圆的位置关系、弦长问题、最值问题等．2．常与椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也与对称性等性质结合考查．3．题型以选择、填空为主，有时也会以解答题形式出现，属中低档题.知识点一直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.直线与圆的位置关系的常用结论(1)当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形．(2)弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝(1＋k2)[(x A＋x B)2－4x A x B].知识点二圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).两圆相交时公共弦的方程求法：设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x ＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×)(4)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(√)2．小题热身(1)已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m值为(D)A．±3B．±3 3C．±32D．±1(2)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(B)A．内切B．相交C．外切D．相离(3)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围为[－3,1]．(4)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝2 2.(5)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为2 2.解析：(1)将y＝mx代入x2＋y2－4x＋2＝0，得(1＋m2)x2－4x＋2＝0，因为直线与圆相切，所以Δ＝(－4)2－4(1＋m2)×2＝8(1－m2)＝0，解得m＝±1.(2)两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋12＝17.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．(3)由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.(4)由题意知圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|－1－1|2＝2，所以|AB |＝222－(2)2＝2 2.(5)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.考点一 直线与圆的位置关系命题方向1 位置关系的判断【例1】 在△ABC 中，若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，则圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【解析】 因为a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0， 所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝0.故圆心C (0,0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝1＝r ，故圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0相切，故选A.【答案】 A命题方向2 弦长问题【例2】 (1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( )A ．4πB ．2πC ．9πD ．22π【解析】 (1)因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. (2)易知圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0的圆心为(0，a )，半径为a 2＋2.圆心(0，a )到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|a |2，由直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，|AB |＝23，可得a 22＋3＝a 2＋2，解得a 2＝2，故圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π，故选A.【答案】 (1)D (2)A命题方向3 切线问题【例3】 已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． 【解】 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2. (1)∵(2＋1－1)2＋(2－22－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1.∴过点P 的圆C 的切线方程是 y －(2－2)＝x －(2＋1)， 即x －y ＋1－22＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M 在圆C 外部． 当过点M 的直线斜率不存在时， 直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离 d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∴|MC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.∴x ＝3时，切线长为1. 方法技巧(1)判断直线与圆的位置关系的常见方法 ①几何法：利用d 与r 的关系. ②代数法：联立方程之后利用Δ判断.③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.1．(方向1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(A)A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．2．(方向2)已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为(D)A．1 B．±1C. 3 D．±3解析：圆的方程可以化为x2＋(y－3)2＝3，圆心为C(0,3)，半径为3，根据△ABC为等边三角形可知AB＝AC＝BC＝3，所以圆心C(0,3)到直线y＝ax的距离d＝32×3＝32，所以32＝|a×0－3|a2＋1⇒2＝a2＋1⇒a＝±3.3．(方向2)已知a∈R且为常数，圆C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点(1,2)的直线l与圆C相交于A，B两点．当∠ACB最小时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为(B) A．2 B．3C．4 D．5解析：圆的方程配方，得(x＋1)2＋(y－a)2＝1＋a2，圆心为C(－1，a)，当弦AB长度最短时，∠ACB最小，此时圆心C与定点(1,2)的连线和直线2x－y＝0垂直，所以a－2－1－1×2＝－1，a＝3.4．(方向3)若直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2恰有一个公共点，则b的取值范围是(D) A．(－1,1] B．{－2}C．{－2，2} D．(－1,1]∪{－2}解析：由x＝1－y2知，曲线表示半圆，如图所示，当－1<b≤1时，直线y＝x＋b与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时|b|2＝1(b<－1)，解得b＝－ 2.考点二圆与圆的位置关系命题方向1位置关系判定【例4】分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交和相切．【解】将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，则圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k，k<50.从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当|50－k－1|<5<50－k＋1，即4<50－k<6，即14<k<34时，两圆相交．当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切；当|50－k－1|＝5，即k＝14时，两圆内切．所以当k＝14或k＝34时，两圆相切．命题方向2 公共弦问题【例5】 已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．【解】 (1)证明：由题意得，圆C 1和圆C 2一般方程化为标准方程， 得(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝16， 则圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11， 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2， ∴圆C 1和C 2相交．(2)圆C 1和圆C 2的方程相减， 得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0. 圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离 d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.方法技巧(1)判断两圆位置关系的方法,常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法,两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到.(3)两圆公共弦长的求法,求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解.1．(方向1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(B)A．内切B．相交C．外切D．相离解析：∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝|a|2，由几何知识得⎝⎛⎭⎫|a|22＋(2)2＝a2，解得a＝2.∴M(0,2)，r1＝2.又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，∴|MN|＝(1－0)2＋(1－2)2＝2，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2<|MN|<r1＋r2，∴两圆相交，故选B.2．(方向2)圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0与圆x2＋y2＋2x－13＝0相交于P，Q两点，则直线PQ的方程为x－2y＋6＝0.解析：两个圆的方程两端相减，可得2x－4y＋12＝0.即x－2y＋6＝0.。
第3讲 圆的方程[考纲解读] 1.掌握确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，能根据不同的条件，采取标准式或一般式求圆的方程．(重点)2．掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的热点．预测2021年将会考查：①求圆的方程；②根据圆的方程求最值；③与圆有关的轨迹问题．试题以客观题的形式呈现，难度不会太大，以中档题型呈现.1.圆的定义及方程定义平面内与□01定点的距离等于□02定长的点的集合(轨迹)标准方程□03(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) 圆心：□04(a ，b )，半径：□05r 一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)圆心：□06⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径：□0712D 2＋E 2－4F 2．点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着以下关系： 设d 为点M (x 0，y 0)与圆心(a ，b )的距离(1)d >r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔M 在□01圆外； (2)d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在□02圆上； (3)d <r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔M 在□03圆内．1．概念辨析(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )(3)点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y －y1)(y－y2)＝0.()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析由，得所求圆的圆心坐标为(1,1)，半径r＝12＋12＝2，所以此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)假设方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，那么m的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－23)∪(23，＋∞)答案 B解析假设方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，那么m应满足m2＋(－2)2－4×3>0，解得m<－22或m>2 2.(3)假设原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，那么实数m的取值范围是________．答案(－1,1)解析因为原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，所以(0－2m)2＋(0－m)2<5.解得－1<m<1.(4)圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________． 答案 x 2＋(y －2)2＝1解析 由题意，可设所求圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为此圆过点(1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2.故所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝ 1.题型一 求圆的方程1．经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的标准方程为________．答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝25解析 解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，那么有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r ＝5.所以圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.解法二：(直接法)由题意，知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0.因为弦的垂直平分线过圆心，所以由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)，半径为r ＝42＋(－3)2＝5，所以圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.2．一圆经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6，求此圆的方程．解 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 两点的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．见举例说明1解法二．(2)待定系数法①假设条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，那么设圆的标准方程，依据条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．见举例说明1解法一．②假设条件没有明确给出圆心或半径，那么选择圆的一般方程，依据条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．见举例说明2.1．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，那么有⎩⎨⎧ba －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.应选D. 2．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析 解法一：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，又因为圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，22＋02＋2D ＋0E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0， 所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.解法二：记O (0,0)，A (1,1)，B (2,0)，线段OB 的垂直平分线方程为x ＝1，线段OA 的垂直平分线方程为y －12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x ＋y －1＝0.解方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －1＝0，得圆心坐标为(1,0)．所以半径r ＝1，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.解法三：在平面直角坐标系中，画出圆上的三点，另证这三个点构成直角三角形，显然圆心坐标为(1,0)，半径为1，所以圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1.题型二 与圆有关的最值问题角度1 建立函数关系求最值1．(2019·厦门模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，那么P A →·PB→的最大值为________．答案 12解析 ∵P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，P (x ，y )在圆上，∴P A →·PB →＝x 2－4＋y 2＝6y －8－4＝6y －12，∵2≤y ≤4，∴P A →·PB→≤12. 角度2 借助几何性质求最值2．(2019·湖南师大附中模拟)点A (－2,0)，B (0,1)，假设点C 是圆x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0上的动点，△ABC 面积的最小值为3－2，那么a 的值为________．答案 1或－5解析 由题意，知圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，那么圆心为(a,0)，半径r ＝1，又A (－2,0)，B (0,2)可得直线AB 的方程为x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0.所以圆心到直线AB 的距离d ＝|a ＋2|2，那么圆上的点到直线AB 的最短距离为d －r ＝|a ＋2|2－1，又|AB|＝4＋4＝22，所以△ABC面积的最小值为12|AB|·(d－r)＝2⎝⎛⎭⎪⎫|a＋2|2－1＝3－2，解得a＝1或－5.求解与圆有关的最值问题的两大规律(1)建立函数关系式求最值．如举例说明1.根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式；然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．(2)借助几何性质求最值．如举例说明2.1．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是() A．1＋ 2 B．2C．1＋22D．2＋2 2答案 A解析将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，那么圆心到直线x－y＝2的距离d＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝2＋1，应选A.2．(2019·兰州模拟)假设直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，那么12a＋2b的最小值为()A．10 B．8 C．5 D．4 答案 B解析由，得圆心C(－4，－1)在直线ax＋by＋1＝0上，所以－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，又因为a>0，b>0，所以12a＋2b＝⎝⎛⎭⎪⎫12a＋2b(4a＋b)＝b2a＋8ab＋4≥2b2a·8ab＋4＝8，当且仅当b2a＝8ab时，等号成立，此时b＝4a，结合4a＋b＝1，知a＝18，b＝12.所以当a＝18，b＝12时，12a＋2b取得最小值8.题型三与圆有关的轨迹问题1．Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求直角顶点C的轨迹方程．解解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，又k AC＝yx＋1，k BC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．2．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解 如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，那么线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆⎝ ⎛⎭⎪⎫因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.1．掌握“三方法〞2．明确“五步骤〞(2019·潍坊调研)圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)假设∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，那么ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.组 基础关1．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，假设0<a <1，那么原点与圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定答案 B解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即(0＋a )2＋(0＋1)2>2a ，所以原点在圆外．2．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝5 B ．(x －2)2＋y 2＝5 C ．x 2＋(y ＋2)2＝5 D ．(x －1)2＋y 2＝5答案 B解析 因为所求圆的圆心与圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为5，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.应选B.3．假设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，那么方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，应选B.4．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，那么a ＝( )A ．－43B ．－34 C. 3 D ．2答案 A解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，那么圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.应选A.5．(2019·合肥二模)圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，那么以OC 为直径的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25 答案 C解析 由圆C 的圆心坐标C (6,8)，得OC 的中点坐标为E (3，4)，半径|OE |＝32＋42＝5，那么以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.6．(2020·黄冈市高三元月调研)圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称，那么k 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1D ．0答案 A解析 化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1.那么圆心坐标为(－k 2，－1)，∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于直线y ＝x 对称，∴－k 2＝－1，得k ＝±1.当k ＝1时，k 4－4k ＋1<0，不符合题意，∴k ＝－1.应选A.7．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析 设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，那么⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.应选A.8．(2019·太原二模)假设圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋F ＝0的半径为1，那么F ＝________.答案 1解析 由圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋F ＝0得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－F ，由半径r ＝2－F ＝1，解得F ＝1.9．圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．答案 (0，－1)解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．10．实数x ，y 满足(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，那么|3x ＋4y －26|的最小值为________．答案 15解析 解法一：|3x ＋4y －26|最小值的几何意义是圆心到直线3x ＋4y －26＝0的距离减去半径后的5倍，|3x ＋4y －26|min ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3a ＋4b －26|32＋42－r ，(a ，b )是圆心坐标，r 是圆的半径．圆的圆心坐标为(－2,3)，半径是1，所以圆心到直线的距离为|3×(－2)＋4×3－26|5＝4，所以|3x ＋4y －26|的最小值为5×(4－1)＝15.解法二：令x ＋2＝cos θ，y －3＝sin θ，那么x ＝cos θ－2，y ＝sin θ＋3，|3x ＋4y －26|＝|3cos θ－6＋4sin θ＋12－26|＝|5sin(θ＋φ)－20|，其中tan φ＝34，所以其最小值为|5－20|＝15.组 能力关1．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B ．一个圆 C ．两个圆 D ．两个半圆答案 D解析 由题意知|y |－1≥0，那么y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1,1)为圆心，1为半径的上半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心，1为半径的下半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆．选D.2．(2019·南昌二模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．〞诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马〞问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤1，假设将军从点A (2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马〞的最短总路程为( )A.10－1 B ．22－1 C ．2 2 D.10答案 A解析 设点A 关于直线x ＋y ＝3的对称点为A ′(a ，b )，那么AA ′的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，b 2，k AA ′＝b a －2， 故⎩⎨⎧ba －2·(－1)＝－1，a ＋22＋b2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，那么从点A 到军营的最短总路程，即为点A ′到军营的距离，那么“将军饮马〞的最短总路程为32＋12－1＝10－1.3．(2019·贵阳模拟)圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A (2,3)作圆C 的任意弦，那么这些弦的中点P 的轨迹方程为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝54解析 设P (x ，y )，圆心C (1,1)．因为P 点是过点A 的弦的中点，所以P A →⊥PC →.又因为P A →＝(2－x,3－y )，PC →＝(1－x,1－y )．所以(2－x )·(1－x )＋(3－y )·(1－y )＝0.所以点P 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －2)2＝54.4．(2020·柳州摸底)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解 (1)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由f (x )＝x 2－x －6得，其图象与两坐标轴的交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，将交点坐标代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧36－6E ＋F ＝0，4－2D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1，E ＝5，F ＝－6，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－52，假设直线经过原点，那么直线l 的方程为5x ＋y ＝0；假设直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，那么a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.5．圆O ：x 2＋y 2＝1，点A (－1,0)，点B (1,0)．点P 是圆O 上异于A ，B 的动点．(1)证明：k AP ·k BP 是定值；(2)过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足2PQ →＝－PM →，求点M 的轨迹方程C ；(3)证明：k AM ·k BM 是定值．解 (1)证明：由，直线AP ，BP 的斜率存在，AB 是圆O 的直径，所以AP ⊥BP ，所以k AP ·k BP ＝－1是定值．(2)设P (m ，n )，M (x ，y )，那么Q (m,0)， 那么PQ→＝(0，－n )，PM →＝(x －m ，y －n )， 因为2PQ→＝－PM →，所以2(0，－n )＝－(x －m ，y －n )， 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－x ＋m ，－2n ＝－y ＋n ，即⎩⎨⎧m ＝x ，n ＝13y ，①因为点P 在圆O 上，所以m 2＋n 2＝1， ②将①代入②，得x 2＋y29＝1，又点P 异于A ，B ， 所以x ≠±1，即点M 的轨迹方程C 为x 2＋y29＝1(x ≠±1)．(3)证明：由，直线AM ，BM 的斜率存在， k AM ＝yx ＋1，k BM ＝yx －1， 由(2)知，x 2－1＝－y 29， 所以k AM ·k BM ＝yx ＋1·yx －1＝y 2x 2－1＝－9，即k AM ·k BM 是定值．。
8.3圆的方程必备知识预案自诊知识梳理1.圆的定义与方程圆心:-D 2,-E2注意:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点(-D2,-E2);当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有意义,不表示任何图形.2.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),点M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点M在圆上;(2)(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点M在圆外;(3)(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点M在圆内.考点自诊1.判断如下结论是否正确,正确的画“√〞,错误的画“×〞.(1)圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.()(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.()(3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为-a2,-a,半径为12√-3a2-4a+4的圆.()(4)点A(x1,y1),B(x2,y2),如此以线段AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.()(5)假如点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,如此x02+y02+Dx0+Ey0+F>0.()2.假如圆C的半径为1,圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,如此圆C的标准方程为()A.x2+y2=1B.(x-3)2+y2=1C.(x-1)2+y2=1D.x2+(y-3)2=13.以A(-2,1),B(1,5)为半径两端点的圆的方程为()A.(x+2)2+(y-1)2=25B.(x-1)2+(y-5)2=25C.(x+2)2+(y-1)2=25或(x-1)2+(y-5)2=25D.(x+2)2+(y-1)2=5或(x-1)2+(y-5)2=54.假如圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,如此圆C的标准方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=15.点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,如此△AOB外接圆的方程为.关键能力学案突破考点求圆的方程【例1】(1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),如此圆C的方程为.(2)圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0截得的弦长为√6,如此圆C的方程为.解题心得求圆的方程的方法对点训练1(1)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.(2)(多项选择)圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,如此如下说法正确的有()A.圆M的圆心坐标为(4,-3)B.圆M被x轴截得的弦长为8C.圆M的半径为25D.圆M被y轴截得的弦长为6考点与圆有关的轨迹问题【例2】直角三角形ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0).(1)求直角顶点C的轨迹方程;(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程.解题心得求与圆有关的轨迹方程的方法对点训练2(1)从圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ 的长度等于点P到原点O的距离,如此点P的轨迹方程为()A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0(2)点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点,如此点M的轨迹方程为.考点与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助目标函数的几何意义求最值【例3】点M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;(2)求n-3m+2的最大值和最小值.解题心得借助几何性质求与圆有关的最值问题,常根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(1)形如u=y-bx-a(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.的最大值与最小值分别为和.对点训练3实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,如此z=y+1x考向2借助圆的几何性质求最值【例4】点A(0,2),点P在直线x+y+2=0上运动,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上运动,如此|PA|+|PQ|的最小值是.解题心得形如|PA|+|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点:(1)减少动点的个数;(2)“曲化直〞,即将折线段转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.对点训练4(2020某某某某模拟)两点A(0,-3),B(4,0),假如点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,如此△ABP的面积的最小值为.考向3建立函数关系求最值【例5】(2020某某某某模拟)设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),如此PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为.解题心得利用函数关系求最值时,先根据条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或根本不等式求最值.对点训练5(2020某某某某模拟)设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),如此|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为.8.3圆的方程必备知识·预案自诊知识梳理1.定点定长(a,b)r √D2+E2-4F22.(1)= (2)> (3)<考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.A因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称,所以圆心C(0,0).又圆C的半径为1,所以圆C的标准方程为x2+y2=1.3.C由题意得半径r=√(-2-1)2+(1-5)2=5,假如以A(-2,1)为圆心,如此所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=25,假如以B(1,5)为圆心,如此所求圆的方程为(x-1)2+(y-5)2=25.应当选C.4.A因为圆心在第一象限,且与x轴相切,所以设圆心的坐标为(a,1)(a>0).又圆C与直线4x-3y=0相切,所以|4a-3|5=1,解得a=2.所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.5.(x-1)2+(y-2)2=5(方法1)由题意知OA⊥OB,如此△AOB外接圆的圆心为AB的中点(1,2),半径为12|AB|=√5,所以△AOB外接圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.(方法2)设△AOB外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为该圆过点A(2,0),B(0,4),O(0,0)三点,所以{4+2+F=0,16+4E+F=0,F=0,解得{D=-2,E=-4,F=0,如此△AOB外接圆的方程为x2+y2-2x-4y=0,即(x-1)2+(y-2)2=5.关键能力·学案突破例1(1)(x-3)2+y 2=2(2)(x-1)2+(y+1)2=2(1)(方法1)由得k AB =0,所以线段AB 的垂直平分线的方程为x=3.①过点B 且垂直于直线x-y-1=0的直线的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0. ②联立①②,解得{x =3,y =0,所以圆心坐标为(3,0),半径r=√(4-3)2+(1-0)2=√2,所以圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2.(方法2)设圆C 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),因为点A (4,1),B (2,1)都在圆C 上,所以{(4-a)2+(1-b)2=r 2,(2-a)2+(1-b)2=r 2,解得a=3.由题意可知b -1a -2=-1,所以b=0.所以r=√(4-3)2+(1-0)2=√2.故圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2.(2)由圆C 的圆心在直线x+y=0上,可设圆心坐标为(a ,-a ),又圆C 与直线x-y=0相切,所以圆的半径r=√2|a|.因为圆心到直线x-y-3=0的距离d=√2,圆C 被直线x-y-3=0截得的弦长为√6,所以d 2+(√62)2=r 2,即(2a -3)22+32=2a 2,解得a=1,所以圆C 的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.对点训练1(1)x 2+y 2-2x=0(2)ABD(1)设点O ,A ,B 的坐标分别为(0,0),(1,1),(2,0),如此AO=AB ,所以点A 在线段OB 的垂直平分线上.又因为OB 为该圆的一条弦,所以圆心在线段OB 的垂直平分线上,可设圆心坐标为(1,y ),所以(y-1)2=1+y 2,解得y=0,所以该圆的半径为1,其方程为(x-1)2+y 2=1,即x 2+y 2-2x=0.(2)由x 2+y 2-8x+6y=0,得(x-4)2+(y+3)2=25,故圆M 的圆心坐标为(4,-3),半径为5,显然选项A 正确,选项C 不正确.令y=0,解得x 1=0,x 2=8,故圆M 被x 轴截得的弦长为8,同理,圆M 被y 轴截得的弦长为6,应当选项B,D 均正确.应当选ABD .例2解(1)设点C (x ,y ),因为A ,B ,C 三点不共线,所以y ≠0.又AC ⊥BC ,所以k AC ·k BC =-1. 又k AC =yx+1,k BC =yx -3, 所以yx+1·yx -3=-1,化简得x 2+y 2-2x-3=0.故直角顶点C 的轨迹方程为x 2+y 2-2x-3=0(y ≠0).(2)设点M (x ,y ),C (x 0,y 0),因为点B (3,0),M 是线段BC 的中点,所以x=x 0+32,y=y 0+02,所以x 0=2x-3,y 0=2y.由(1)知,点C 的轨迹方程为x 2+y 2-2x-3=0(y ≠0),即(x-1)2+y 2=4(y ≠0),将x 0=2x-3,y 0=2y 代入得(2x-4)2+(2y )2=4(y ≠0),即(x-2)2+y 2=1(y ≠0).故点M 的轨迹方程为(x-2)2+y 2=1(y ≠0).对点训练2(1)D(2)(x-1)2+(y-3)2=2(1)由题意得,圆心C 的坐标为(3,-4),半径r=2,如图.因为|PQ|=|PO|,且PQ ⊥CQ ,所以|PO|2+r 2=|PC|2,所以x 2+y 2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以点P 的轨迹方程为6x-8y-21=0.应当选D .(2)依题意,圆C 的方程可化为x 2+(y-4)2=16,所以圆心C (0,4).设点M (x ,y ),如此CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y-4),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x ,2-y ). 由题意知CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故x (2-x )+(y-4)(2-y )=0,即(x-1)2+(y-3)2=2. 因为点P 在圆C 的内部,所以点M 的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.例3解(1)(方法1)依题意,圆心C (2,7),半径r=2√2.设m+2n=t ,如此点M (m ,n )为直线x+2y=t 与圆C 的公共点, 所以圆心C 到该直线的距离d=√12+22≤2√2,解得16-2√10≤t ≤16+2√10. 所以m+2n 的最大值为16+2√10.(方法2)由x 2+y 2-4x-14y+45=0,得(x-2)2+(y-7)2=8.因为点M (m ,n )为圆C 上任意一点,所以可设{m -2=2√2cosθ,n -7=2√2sinθ,(θ为参数)即{m =2+2√2cosθ,n =7+2√2sinθ,(θ为参数) 所以m+2n=2+2√2cos θ+2(7+2√2sin θ)=16+2√2cos θ+4√2sin θ=16+2√10sin(θ+φ),其中tan φ=12.因为-1≤sin(θ+φ)≤1,所以m+2n 的最大值为16+2√10. (2)设点Q (-2,3).如此直线MQ 的斜率k=n -3m+2. 设直线MQ 的方程为y-3=k (x+2),即kx-y+2k+3=0.由直线MQ 与圆C 有公共点,得√k 2+1≤2√2,解得2-√3≤k ≤2+√3,即2-√3≤n -3m+2≤2+√3.所以n -3m+2的最大值为2+√3,最小值为2-√3.对点训练34+√734-√73由题意,得y+1x表示过点A (0,-1)和圆(x-2)2+(y-1)2=1上的动点P (x ,y )的直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值与最小值.设切线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,如此√k 2+1=1,解得k=4±√73.所以z max =4+√73,z min =4-√73.例42√5依题意,圆心C (2,1),半径r=√5.设点A (0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m ,n ),如此{m+02+n+22+2=0,n -2m -0=1,解得{m =-4,n =-2,故A'(-4,-2).连接A'C 交直线x+y+2=0于点P ,交圆C 于点Q (图略),此时|PA|+|PQ|取得最小值.由对称性可知此时|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=2√5.对点训练4112依题意,圆心C (0,1),半径r=1.如图,过圆心C 向直线AB 作垂线交圆C 于点P ,连接BP ,AP ,此时△ABP 的面积最小.因为直线AB 的方程为x4+y-3=1,即3x-4y-12=0,所以圆心C 到直线AB 的距离d=165.又|AB|=√32+42=5,所以△ABP 的面积的最小值为12×5×(165-1)=112.例512由题意,知PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x ,-y ),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2-x ,-y ),所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2-4.因为点P (x ,y )是圆x 2+(y-3)2=1上的点,所以x 2+(y-3)2=1,2≤y ≤4,所以x 2=-(y-3)2+1,所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ =-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.因为2≤y≤4,所以当y=4时,PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最大,最大值为6×4-12=12.对点训练510由题意,知PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x,2-y),PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x,-2-y),所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2x,-2y),所以|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√x2+y2.因为点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的点,所以(x-3)2+y2=4,1≤x≤5,所以PBy2=-(x-3)2+4,所以|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√x2-(x-3)2+4=2√6x-5.因为1≤x≤5,所以当x=5时,|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ |的值最大,最大值为2√6×5-5=10.PB。
高考数学一轮复习精品学案：第八章平面解析几何第二节直线与圆【高考新动向】一、圆的方程（一）考纲点击1、掌握确定圆的几何要素，掌握确定圆的标准方程与一般方程；2、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
（二）热点提示1、圆的方程的求法、圆的几何性质是高考的重点；2、常和圆的几何性质结合,重点考查待定系数法、方程的曲线与曲线的方程的概念；3、题型多以选择题和填空题为主，属中低档题目.二、直线、圆的位置关系（一）考纲点击1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
（二）热点提示1、直线与圆的位置关系、特别是直线与圆相切是高考的重点；2、常与直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的几何性质结合,重点考查待定系数法、直线与圆的位置关系；3、题型以选择题和填空题为主，属中低档题目.有时与其他知识点交汇在解答题中出现.【考纲全景透析】一、圆的定义、方程1．圆的定义（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
（2）确定一个圆的要素是圆心和半径。
注：方程220x y D x E y F++++=表示圆的充要条件是2240D E F+->3．点与圆的位置关系已知圆的方程为222()()x a y b r-+-=，点00(,)M x y。
则：（1）点在圆上⇔222 00()()x a y b r-+-=；（2）点在圆外⇔222 00()()x a y b r-+->；（3）点在圆内⇔22200()()x a y b r-+-<。
4．确定圆的方程方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于a,b,r 或D 、E 、F 的方程组； （3）解出a,b,r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程。
[备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.掌握确定圆的几何要素． 2.掌握圆的标准方程与一般方程.圆的方程、圆心坐标、半径、圆的性质等是高考考查圆的基础知识时最常涉及的要素．大多以选择题或填空题的形式考查，有时也会穿插在解答题中，如2012年江苏T12等. [归纳·知识整合] 1．圆的定义 (1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． (2)确定一个圆的要素是圆心和半径． 2．圆的方程 (1)标准方程 两个条件：圆心(a，b)，半径r； 标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆的一般方程 一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； 方程表示圆的充要条件为：D2＋E2－4F>0； 圆心坐标，半径r＝. [探究] 1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？ 提示：不一定．只有当D2＋E2－4F>0时，上述方程才表示圆． 2．如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？ 提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示： 3．点与圆的位置关系 (1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三个结论 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0) (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆上； (x0－a)2＋(y0－b)2>r2点在圆外； (x0－a)2＋(y0－b)2<r2点在圆内． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( ) A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：选D 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 2．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是( ) A．－1<k<4 B．－4<k<1 C．k1 D．k4 解析：选D 由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k4. 3．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是( ) A．－10)， 则 解得D＝－4，E＝－2，F＝－5. 所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0. (2)根据题意可知圆心坐标为(－1,0)，圆的半径长为＝，故所求圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2. [答案] (1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10) (2)(x＋1)2＋y2＝2 ——————————————————— 求圆的方程的两种方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法： 几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量． 1．求下列圆的方程： (1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)； (2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)． 解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有 解得a＝1，b＝－4，r＝2. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为 y＋2＝x－3. 与y＝－4x联立可得圆心为(1，－4)， 所以半径r＝＝2. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. (2)法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 则 解得D＝－2，E＝－4，F＝－95， 所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0. 法二：由A(1,12)，B(7,10)得AB的中点坐标为(4,11)， kAB＝－，则AB的中垂线方程为3x－y－1＝0. 同理得AC的中垂线方程为x＋y－3＝0. 联立得 即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10， 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100. 与圆有关的最值问题 [例2] 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最大值和最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． [自主解答] (1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±. 所以的最大值为，最小值为－. (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±. 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4， x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 本例条件不变，求点P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值． 解：圆心(2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝＝， P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为＋，最小值为－. ——————————————————— 与圆有关的最值问题及解题方法 (1)形如u＝型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题； ?2?形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；?3?形如?x－a?2＋?y－b?2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题. 2．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是多少？ 解：由题意知，r2＝＝， 所以当m＝－1时，r＝，所以Smax＝πr2＝π. 与圆有关的轨迹问题 [例3] 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． [自主解答] (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)． 因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. ——————————————————— 求轨迹方程的一般步骤 (1)建系设点：建立平面直角坐标系，设动点坐标为(x，y)； (2)列式：列出几何等式； (3)坐标化：用坐标表示得到方程； (4)化简：化简几何等式得到的方程； (5)证明作答：除去不合题意的点，作答． 3．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程． 解：设动点P(x，y)，由题意可知P是ABD的重心． 由A(－1,0)，B(1,0)，令动点C(x0，y0)， 则D(2x0－1,2y0)，由重心坐标公式得， 则 代入x2＋y2＝1，整理得，所求轨迹方程为 2＋y2＝(y≠0)． 1种方法——待定系数法求圆的方程 (1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 3个性质——常用到的圆的三个性质 在解决与圆有关的问题时，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化思路，简便运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任意一弦的垂直平分线上； (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 创新交汇——高考中与圆有关的交汇问题 1．近年来高考对圆锥曲线的要求相对降低，因此圆的相关问题成了高考命题的一个新热点．圆的性质使其具有很强的交汇性，对圆的考查可以与集合、直线、向量、三角函数、不等式、线性规划等知识交汇命题． 2．对于这类问题，要特别注意圆的定义及其性质的运用，同时要有丰富的相关知识储备，解题时只有做到平心静气地认真研究，不断寻求解决问题的方法和技巧，才能真正把握好问题． [典例] (2011·江苏高考)设集合A＝，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，yR}．若A∩B≠，则实数m的取值范围是________． [解析] 由题意知A≠，则≤m2，即m≤0或m≥.因为A∩B≠，则有： (1)当2m＋1<2，即m2，即m>1时， 圆心(2,0)到直线x＋y＝2m的距离为d2＝≤|m|， 化简得m2－4m＋2≤0， 解得2－≤m≤2＋， 所以10，b>0)始终平分圆C：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则ab的最大值为( ) A．4 B．2 C．1 D. 解析：选C 圆C的圆心坐标为(－4，－1)， 则有－4a－b＋4＝0，即4a＋b＝4. 所以ab＝(4a·b)≤2＝×2＝1. 当且仅当a＝，b＝2时取等号． 2．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为________． 解析：由点P在平面区域 上，画出点P所在的平面区域．由点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，画出点Q所在的圆，如图所示． 记Q所在曲线的圆心为点M(0，－2)，又(－1,0)为图中的阴影区域的左顶点，(－1,0)与M的连线垂直于阴影区域的下边界．因此，|PQ|的最小值为圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离减去半径1.又圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离为＝，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为－1. 答案：－1 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．若直线2x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0的相切，则a的值为( ) A．± B．±5 C．3 D．±3 解析：选B 圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线与圆相切，所以＝，即a＝±5. 2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值是( ) A．8 B．－4 C．6 D．无法确定 解析：选C 因为圆上两点A，B关于直线x－y＋3＝0对称，所以直线x－y＋3＝0过圆心，从而－＋3＝0，即m＝6. 3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A．π B．4π C．8π D．9π 解析：选B 设P(x，y)，由题意知有，(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4.可知圆的面积为4π. 4．(2012·广州模拟)若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( ) A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5 C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5 解析：选D 设圆心为(a,0)(a0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是( ) A．x2＋y2－x－2y－＝0 B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0 C．x2＋y2－x－2y＋1＝0 D．x2＋y2－x－2y＋＝0 解析：选D 抛物线y2＝2x(y>0)的准线为x＝－，圆与抛物线的准线及x轴都相切，则圆心在直线y＝x＋(y>0)上，与y2＝2x(y>0)，联立可得圆心的坐标为，半径为1，则方程为2＋(y－1)2＝1，化简得x2＋y2－x－2y＋＝0. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·开封模拟)若PQ是圆O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是________． 解析：由圆的几何性质知kPQkOM＝－1.kOM＝2， kPQ＝－，故直线PQ的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. 答案：x＋2y－5＝0 8．(2013·金华十校联考)已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A、B，且AB＝，则该圆的标准方程是________． 解析：依题可设C：(x－1)2＋(y－b)2＝1(b>0)，且2＋b2＝1，可解得b＝， 所以C的标准方程为(x－1)2＋2＝1. 答案：(x－1)2＋2＝1 9．定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合A，则称A为一个开集，给出下列集合： ；； ； . 其中是开集的是________(请写出所有符合条件的序号)． 解析：集合表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)， 由开集的定义知，集合A应该无边界，故由表示的图形知，只有符合题意． 答案： 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程． 解：因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－＝－6， 其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23. 又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y－＝－，即5x＋7y－50＝0上， 则解得圆心为(3,5)， 所以半径为(9－3)2＋(6－5)2＝， 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37. 11．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)， 直线CD的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)则由P在CD上得a＋b－3＝0. 又直径|CD|＝4，|PA|＝2. (a＋1)2＋b2＝40. 由解得或 圆心P(－3,6)或P(5，－2)． 圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. 12．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切． (1)求圆O的方程； (2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求·的取值范围． 解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线 x－y＝4的距离，即r＝＝2， 所以圆O的方程为x2＋y2＝4. (2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)． 设P(x，y)，则|PA|，|PO|，|PB|成等比数列得， · ＝x2＋y2， 即x2－y2＝2. ·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)， 由于点P在圆O内，故 由此得y2<1，所以·的取值范围为[－2,0)． 1．一动圆与两圆x2＋y2＝1和x2＋y2＋8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 解析：选C 设圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，圆x2＋y2＋8x＋12＝0的圆心为O1(－4,0)，O′为动圆的圆心，r为动圆的半径，则|O′O1|－|O′O|＝(r＋2)－(r＋1)＝1，由双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 2．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________． 解析：过点M的最短的弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，kCM＝＝1，最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0. 答案：x＋y－1＝0 3．已知圆C：(x－1)2＋y2＝2，过点A(－1,0)的直线l将圆C分成弧长之比为13的两段圆弧，则直线l的方程为________． 解析：设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，圆心C(1,0)到直线l的距离为，因为直线l将圆C分成弧长之比为13的两段圆弧，所以直线l被圆所截得的弦所对的圆心角为，又圆C的半径为，所以 cos＝，得k2＝，即k＝±， 故直线l的方程为y＝(x＋1)或y＝－(x＋1)． 答案：y＝(x＋1)或y＝－(x＋1) 4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P为圆上的动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大值、最小值及对应的P点坐标． 解：若设P(x0，y0)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝(x0＋1)2＋y02＋(x0－1)2＋y02＝2(x02＋y02)＋2，欲求d的最值，只需求w＝x＋y的最值，即求圆C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求． 设过O，C两点的直线交圆C于P1，P2两点， 则wmin＝(|OC|－1)2＝16＝|OP1|2， 此时dmin＝2×16＋2＝34，P1； wmax＝(|OC|＋1)2＝36＝|OP2|2， 此时dmax＝2×36＋2＝74，P2.。
第三节圆的方程1．圆的定义、方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0条件：D2＋E2－4F>0圆心：⎝⎛⎭⎫－D2，－E2半径：r＝12_D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(2)点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(3)点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.1．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件：A＝C≠0，B＝0，且D2＋E2－4AF＞0.2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1．(基础知识：圆的一般方程与标准方程的互化)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是() A．(2，3) B．(－2，3)C．(－2，－3) D．(2，－3)答案：D2．(基本方法：求圆的方程)过点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 答案：C3．(基本方法：求圆的方程)△AOB 中，A (4，0)，B (0，3)，O (0，0)，则△AOB 外接圆的方程为________________．答案：x 2＋y 2－4x －3y ＝04．(基础知识：二元二次方程表示圆的条件)x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值X 围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－2，23 5．(基本能力：数形结合)半径为3，圆心的横、纵坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为________________．答案：(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9题型一 求圆的方程[典例剖析][典例] (1)圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1，2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝4解析：根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1，2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案：A(2)在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，求半径最大的圆的标准方程．解析：因为直线与圆相切，所以半径等于圆心到直线的距离，r ＝|m －0－2m －1|1＋m 2＝|m ＋1|1＋m 2＝（1＋m ）21＋m2＝1＋2m 1＋m 2，因为1＋m 2≥2m ，所以2m 1＋m2≤1，所以r ≤1＋1＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.方法总结求圆的方程的方法方法解读适合题型几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程，常用的几何性质如下：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线 题设条件中有明显的几何特征待定系数法(1)根据条件设出圆的方程，一般地，若题目中有与圆心和半径有关的信息，选择标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，若已知圆上三点坐标(或三点坐标易求)，选择一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0；(2)由题目给出的条件，列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组；(3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程题设条件中有明显的代数特征[对点训练]1．(母题变式)将本例(1)改为圆心在y 轴上，且过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，可设圆的方程为x 2＋(y －r )2＝r 2，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.答案：B2．(母题变式)本例(2)改为：在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，0)作直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )的垂线，垂足为B ，以A ，B 的连线段为直径的所有圆中，半径最大的圆的一般方程为________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )过定点 C (2，－1)，所以直径AB 的最大值为|AC |＝2， 所以所求半径最大的圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝12， 化为一般方程为x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝0. 答案：x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝03．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________________．解析：法一(几何法)：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a ).又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |， 即（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2，解得a ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，a －2b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法三(待定系数法)：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－D2－2×⎝⎛⎭⎫－E 2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，4＋25－2D －5E ＋F ＝0，解得D ＝2，E ＝4，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10题型二 与圆有关的轨迹问题[典例剖析]类型 1 直接法求与圆有关的轨迹方程[例1] 已知点M 与两个定点O (0，0)，A (3，0)的距离的比为12，则点M 的轨迹方程为________________．解析：设点M (x ，y )，由题意得x 2＋y 2（x －3）2＋y 2＝12， 整理得x 2＋y 2＋2x －3＝0. 答案：x 2＋y 2＋2x －3＝0类型 2 相关点(代入法)求轨迹方程[例2] 设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程．解析：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285. 方法总结与圆有关的轨迹问题的四种求法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解的方法； (2)定义法：根据圆的定义列方程求解的方法； (3)几何法：利用圆的几何性质，得出方程的方法；(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式的方法．[题组突破]1．(2020·某某模拟)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程． 解析：(1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4， 所以圆C 1的圆心坐标为(3，0). (2)设M (x ，y )，因为点M 为线段AB 的中点，所以C 1M ⊥AB ， 所以kC 1M ·k AB ＝－1，当x ≠3时可得y x －3·y x ＝－1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94， 又当直线l 与x 轴重合时，M 点坐标为(3，0)，代入上式成立．设直线l 的方程为y ＝kx ，与x 2＋y 2－6x ＋5＝0联立，消去y 得，(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0. 令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k 2)×5＝0，得k 2＝45，此时方程为95x 2－6x ＋5＝0，解上式得x ＝53，因此53＜x ≤AB 的中点M 的轨迹的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53＜x ≤3. 2．已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0).求： (1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解析：(1)法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0).法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点).所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0).(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0).题型三 与圆有关的最值[典例剖析][典例] 已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值与最小值；(2)求y －x 的最大值、最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值、最小值． 解析：(1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心(2，0)到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 方法总结与圆有关的最值问题的几何转化法(1)形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[对点训练]已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|P A |＋|PQ |的最小值是________．解析：因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0， 故圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎨⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2).连接A ′C 交圆C 于Q (图略)，由对称性可知 |P A |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5. 答案：2 5再研高考挖掘圆的几何性质1．(2020·高考全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55B ．255C ．355D ．455解析：由题意可知圆心在第一象限，设为(a ，b ).∵圆与两坐标轴均相切，∴a ＝b ，且半径r ＝a ，∴圆的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2.∵点(2，1)在圆上，∴(2－a )2＋(1－a )2＝a 2，∴a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5.当a ＝1时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255； 当a ＝5时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2×5－5－3|22＋（－1）2＝255. 综上，圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255. 答案：B 2．(2020·高考全国卷Ⅰ)已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：⊙M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，则圆心M (1，1)，⊙M 的半径为2.如图所示，由题意可知PM ⊥AB ，∴S 四边形P AMB ＝12|PM |·|AB |＝|P A |·|AM |＝2|P A |， ∴|PM |·|AB |＝4|P A |＝4|PM |2－4.当|PM |·|AB |最小时，|PM |最小，此时PM ⊥l . 故直线PM 的方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴P (－1，0). 又∵P A 与⊙M 相切，∴直线P A 的方程为x ＝－1(∵在⊙M 中，－1≤x ≤1)，∴P A ⊥x 轴，P A ⊥MA ，∴A (－1，1).又直线AB 与l 平行，设直线AB 的方程为2x ＋y ＋m ＝0，将A (－1，1)的坐标代入2x ＋y ＋m ＝0，得m ＝1.∴直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0.答案：D素养升华数形结合求X 围若x ，y ∈R ，且x ＝1－y 2，则y ＋2x ＋1的取值X 围是________． 解析：x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)，此方程表示圆的一半，如图，设P (x ，y )是此曲线上的点，则y ＋2x ＋1表示过点P (x ，y )，Q (－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1).从而由|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.又k BQ ＝3，∴所求X 围是⎣⎡⎦⎤34，3.答案：⎣⎡⎦⎤34，3。
第三节 圆的方程课程标准解读回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.[知识排查·微点淘金]知识点一 圆的定义与方程知识点二 点与圆的位置关系圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ，设M 的坐标为(x 0，y 0)．[微思考]1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ 提示：⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0.2．写出圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0和两坐标轴都相切的条件．提示：⎩⎪⎨⎪⎧D 2＋E 2－4F ＞0，D 2＝E 2＝4F .常用结论以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)·(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.[小试牛刀·自我诊断]1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(3)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( )(4)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的圆．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知圆C 经过A (5,2)，B (－1，4)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________. 答案：(x －1)2＋y 2＝203．点M (3，－6)到圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝16上点的最大距离为________. 答案：84．(忽视圆的充要条件)若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是________.解析：将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m24－2. 由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.答案：(－∞，－22)∪(22，＋∞)5．(错用点与圆的位置关系判定)若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是__________.解析：因为点(1,1)在圆内， 所以(1－a )2＋(1＋a )2<4， 即－1<a <1. 答案：(－1,1)一、综合探究点——求圆的方程(师生共研)[典例剖析][例1] (1)圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的一般方程为________________.[解析] 法一：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )．又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |， 即 (2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2 ＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝|CA |＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.即x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0. 法二：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.即x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0 法三：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－2·⎝⎛⎭⎫－E2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，4＋25－2D －5E ＋F ＝0，解得D ＝2，E ＝4，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0. [答案] x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0(2)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的标准方程为__________.[解析] 法一：由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3 ①.过B 点且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0 ②，联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为(3,0)，半径r ＝(4－3)2＋(1－0)2＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，因为点A (4,1)，B (2,1)在圆上，故⎩⎪⎨⎪⎧(4－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，又因为b －1a －2＝－1，解得a ＝3，b ＝0，r ＝2，故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2.[答案] (x －3)2＋y 2＝2求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．(2)代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解．[学会用活]1．(2021·湖北八校联考)已知圆C 的圆心在y 轴上，点M (3,0)在圆C 上，且直线2x －y －1＝0经过线段CM 的中点，则圆C 的标准方程是( )A ．x 2＋(y －3)2＝18B ．x 2＋(y ＋3)2＝18C ．x 2＋(y －4)2＝25D ．x 2＋(y ＋4)2＝25解析：选C 设圆C 的圆心坐标为(0，b )，则线段CM 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，b 2，因为直线2x －y －1＝0经过线段CM 的中点，所以2×32－b2－1＝0，解得b ＝4，所以圆C 的圆心坐标为(0,4)，半径r ＝|CM |＝ (0－3)2＋(4－0)2＝5，所以圆C 的标准方程是x 2＋(y －4)2＝25.故选C ．二、综合探究点——与圆有关的轨迹问题(思维拓展)[典例剖析][例2] (1)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1[解析] 选A 设圆上任意一点的坐标为(x 1，y 1)，其与P 点连线的中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4， 得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.(2)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A (2，3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为__________.[解析] 设P (x ，y )，圆心C (1,1)．因为P 点是过点A 的弦的中点，所以P A →⊥PC →.又因为P A →＝(2－x,3－y )，PC →＝(1－x,1－y )． 所以(2－x )·(1－x )＋(3－y )·(1－y )＝0. 所以点P 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝54. [答案] ⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝54 [拓展变式][变条件]若将本例(2)中点A (2,3)换成圆上一点B (1,4)，其他条件不变，则这些弦的中点P 的轨迹方程为__________.解析：设P (x ，y )，圆心C (1,1)．当点P 与点B 不重合时，因为P 点是过点B 的弦的中点，所以PB →⊥PC →，又因为PB →＝(1－x,4－y )，PC →＝(1－x,1－y )．所以(1－x )·(1－x )＋(4－y )·(1－y )＝0.所以点P 的轨迹方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝94；当点P 与点B 重合时，点P 满足上述方程．综上所述，点P 的轨迹方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝94. 答案：(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝94求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．[学会用活]2．已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3，0)，求： (1)三角形直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解：(1)法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．三、应用探究点——与圆有关的最值问题(多向思维)[典例剖析]思维点1 几何法求与圆有关的最值问题[例3] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则(1)yx 的最大值和最小值分别为________和________； (2)y －x 的最大值和最小值分别为________和________； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值分别为________和________.[解析] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6，所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.[答案] (1)3 －3 (2)－2＋6 －2－6 (3)7＋43 7－4 3借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解． (1)形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．思维点2 代数法求与圆有关的最值问题[例4] 设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则P A →·PB →的最大值为__________.[解析] 由题意，知P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.由圆的方程x 2＋(y －3)2＝1，易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.[答案] 12根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值．[学会用活]3．(2021·桂林一模)已知A (0,2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|P A |＋|PQ |的最小值是__________.解析：因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2,1)为圆心，半径r ＝5的圆． 设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2)．连接A ′C 交圆C 于Q ，由对称性可知， |P A |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q | ＝|A ′C |－r ＝2 5. 答案：2 54．(2021·银川一模)设点P (x ，y )是圆：(x －3)2＋y 2＝4上的动点，定点A (0,2)，B (0，－2)，则|P A →＋PB →|的最大值为________.解析：由题意，知P A →＝(－x,2－y )，PB →＝(－x ，－2－y )，所以P A →＋PB →＝(－2x ，－2y )，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程(x －3)2＋y 2＝4，故y 2＝－(x －3)2＋4，所以|P A →＋PB →|＝4x 2＋4y 2＝26x －5.由圆的方程(x －3)2＋y 2＝4，易知1≤x ≤5，所以当x ＝5时，|P A →＋PB →|的值最大，最大值为26×5－5＝10.答案：10。
