18.2.1矩形(1)测考试试题1

18.2.1矩形同步练习一．选择题1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）A．∠A+∠B＝180°B．∠B+∠C＝180°C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D2．如图，矩形ABCD的长BC＝20cm，宽AB＝15cm，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则AE、ED的长分别为（）A．15cm和5cm B．10cm和5cm C．9cm和6cm D．8cm和7cm3．取一张长方形纸片，过长方形的任意一个顶点将纸片折叠（只折一次），那么折痕和该顶点所在的长方形的两边所成角的关系是（）A．互余B．互补C．相等D．不确定4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若BE ＝EO，则AD的长是（）A．6B．2C．3D．25．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，连接BM、DN．若AB＝4，AD＝8，则MD的长为（）A．3B．4C．5D．66．如图，E、F分别是矩形ABCD边上的两点，设∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，若∠AED ＝α+β，下列结论正确的是（）A．α＝βB．α＝γC．α+β+2γ＝90°D．2α+γ＝90°7．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD、BC于E、F两点．若AC＝2，∠DAO＝30°，则FC的长度为（）A．1B．2C．D．8．如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C 处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝50°，那么∠AFE的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（）A．1B．1.5C．2D．0.8或1.210．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④CF＝DF；⑤BC﹣CF＝2HE，其中正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二．填空题11．如图在矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为．12．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A、C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E，F都在CD上，点P在AD上，连接PE，若EF＝PE，∠FBP＝∠ABP，2∠APB+∠DPE＝180°，则线段AP的长为．14．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，△CEF为等腰直角三角形，CE＝EF，∠CEF＝90°，∠BAD的平分线交CF于点H，连接BH．若BH＝，AF＝，则△ABH的面积为．15．如图，矩形ABCD，O为对角线交点，以AO，AB为邻边作平行四边形ABC1O，AC1交OB 于点O1；以AO1，AB为邻边作平行四边形ABC2O1…，若S矩形ABCD＝a，则＝．三．解答题16．如图，点E在矩形ABCD的边BC上，延长EB到点F，使BF＝CE，连接AF．求证：AD ＝EF．17．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．参考答案一．选择题1．解：A、当∠A+∠B＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；B、当∠B+∠C＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；C、当∠A＝∠B时，∠A＝∠B＝90°，可判定平行四边形ABCD是矩形；D、当∠B＝∠D时，不可判断平行四边形ABCD是矩形；故选：C．2．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝20cm，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE＝15cm，∴DE＝AD﹣AE＝5cm，故选：A．3．解：如图所示：∵四边形ABCD是长方形，∴∠BAD＝90°，∵AE是任意一条折痕，∴∠BAE+∠DAE＝90°，即折痕和该顶点所在的长方形的两边所成角的关系是互余；故选：A．4．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵BE＝EO，AE⊥BD，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝2，故选：B．5．解：∵对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，∴MB＝MD，设MD长为x，则MB＝DM＝x，在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2即x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，∴MD长为5．故选：C．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∵∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，∴α+β+γ＝90°，∵∠AED+α＝90°，∠AED＝α+β，∴2α+β＝90°，∴α+β+γ＝2α+β，∴α＝γ，故选：B．7．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴∠AOD＝120°，∵EF⊥BD，∠AEO＝120°，∴∠EDO＝30°，∠DEO＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF＝∠OCF＝30°，∠BFO＝60°，∴∠FOC＝60°﹣30°＝30°，∴OF＝CF，又∵Rt△BOF中，BO＝BD＝AC＝，∴OF＝tan30°×BO＝1，∴CF＝1，故选：A．8．解：∵四边形CDEF为矩形，∴EF∥DC，∴∠AGE＝∠1＝50°，∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A＝30°，∴∠AFE＝∠AGE﹣∠A＝20°．故选：B．9．解：如图，设A′B′交AC于点E，tan∠DAC＝＝，设AA′＝x，A′D＝2﹣x，∵AD＝2，DC＝3，∴＝，∴A′E＝x，∵两个三角形重叠部分的面积是S＝AE×A′D＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，解当x＝1时，阴影部分的面积最大，AA′＝1，故选：A．10．解：①设AB＝a，则AD＝a，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∴BA＝BE．∴在Rt△ABE中，AE＝a，∴AE＝BE．①正确；②∵DH⊥AH，∠DAE＝45°，AD＝a，∴DH＝AH＝a．∴DH＝DC．根据到角两边距离相等的点在角的平分线上定理可知DE平分∠AEC，即②∠AED＝∠CED 正确；③∵AH＝AB＝a，∴∠ABH＝∠AHB．∵AB∥CD，∴∠ABF+∠DFB＝180°．又∠AHB+∠BHE＝180°，∴∠BHE＝∠HFD．∠HEB＝∠FDH＝45°，又BE＝DH＝a，∴△BHE≌△HFD（AAS），∴BH＝HF，③正确；④由△BHE≌△HFD得到HE＝DF，HE＝AE﹣AH＝，则CF＝a﹣（）＝2a﹣，∴，即CF＝DF，∴④错误；⑤BC＝a，CF＝2a﹣，HE＝，∴BC﹣CF＝2HE，∴⑤正确；综上所述，正确的是①②③⑤共4个．故选：B．二．填空题11．解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，AB＝2，∴AC＝2AB＝2×2＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝4．故答案为：4．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠F AH＝∠AED，∵∠ADE＝∠AHF＝∠DAF＝90°，AD＝2，FH＝2，∴AD＝FH，∴△ADE≌△F AH（AAS），∴AF＝AE，∵AE∥CF，AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF＝AE，∴四边形AECF是菱形，设DE＝x，则BF＝x，CE＝CF＝3﹣x，在Rt△BCF中，（3﹣x）2＝x2+22，解得x＝；故答案为：．13．解：分别延长PE、BF，交于点G，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝6，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，BC＝AD＝6，AB＝CD＝8，∵2∠APB+∠DPE＝180°，∴∠APB＝∠GPB．在△P AB和△PGB中，，∴△P AB≌△PGB（ASA），∴PG＝P A，∠A＝∠G＝90°，在△DPG和△EFG中，，∴△DPE≌△GFE（AAS），∴DP＝DG，∴PE+GE＝DE+EF，即PG＝DF，∴PG＝DF＝P A，即CF＝8﹣DF＝8﹣AP，∴GF＝DP＝AD﹣AP，即BF＝8﹣GF＝8﹣（6﹣AP）＝2+AP，∵∠C＝90°，∴BC2+CF2＝BF2，即62+（8﹣AP）2＝（2+AP）2，∴AP＝．故答案为：．14．解：如图，连接EH，延长AH交DC的延长线于N，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠DEC＝90°，∴∠AFE＝∠DEC，在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（SAS），∴AE＝CD，DE＝AF＝，∴AE＝CD＝AB，∵AH平分∠BAD，∴∠BAH＝∠DAH＝45°，∵∠ADC＝90°，∴∠DAN＝∠N＝45°，∴AD＝DN，∴AF＝CN，在△AFH和△NCH中，，∴△AFH≌△NCH（AAS），∴FH＝HC，又∵∠ABC＝90°，∴BH＝FH＝HC＝，∴CF＝2，设BF＝x，则AB＝+x，∴AD＝2+x＝BC，∵CF2＝BF2+BC2，∴40＝x2+（2+x）2，∴x＝2，（负值舍去），∴BF＝2，BC＝4，∴BF＝2AF，∴S△AFH＝S△BFH，∵S△BFC＝×BF×BC＝×2×4＝8，∴S△BFH＝4，S△AFH＝2，∴S△ABH＝2+4＝6，故答案为：6．15．解：∵四边形ABCD是矩形，四边形ABC1O是平行四边形，∴S△ABO＝S矩形ABCD，S△ABO＝S，∴S＝S矩形ABCD＝，同理可得：平行四边形ABC2O1的面积＝，平行四边形ABC3O2的面积＝，…∴平行四边形ABC2020O2019的面积＝．故答案为：．三．解答题16．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∵EF＝BF+BE，∵BC＝CE+BE，BF＝CE，∴EF＝BC，∴AD＝EF．17．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AQ的长是4．设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．。

18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形基础闯关全练1．（2018山东淄博高青一模）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CDB．AD=BCC．AB=BCD．AC=BD2．（2018广西南宁马山期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分3．如图18-2-1-1．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为（）A．4B．3C．2D．1.4．（2018天津河西三中期中）如图18-2-1-2，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AB=1，∠AOB=60º，则AD=_______.5．如图18-2-1-3，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为_______.6．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C ．测量一组对角是否都为直角D.测量三个角是不是直角7．如图18-2-1-4，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AB=CDB ．AC=BDC ．当∠ABC=90º时，它是矩形D.AC 与BD 互相平分能力提升全练1．（2018四川内江中考）如图18-2-1-5，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ，已知∠BDC=62º．则∠DFE 的度数为（ ）A ．31ºB ．28ºC ．62ºD ．56º2．（2018四川成都中考）如图18-2-1-6，在矩形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和C 为圆心，以大于21AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交CD 于点E ．若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC 的长为_______．3．（2018四川攀枝花中考）如图18-2-1-7，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P 满足ABCD 矩形PAB △S 31=S ，则点P 到A ，B 两点的距离之和PA+PB 的最小值是_______.三年模拟全练一、选择题1．（2018湖北宜昌东部期中，10，★★☆）八年级(3)班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，如图18-2-1-8．计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了49盆红花，还需要从花房运来红花（）A．48盆B．49盆C．50盆D．51盆2．（2018重庆巴蜀期末，8，★☆☆）如图18-2-1-9，已知在矩形ABCD中，AC与BD相交于D，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15º，则∠COE的度数为（）A．75ºB．85ºC．90ºD．65º3．（2018江西萍乡期末，9，★☆☆）如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形4．（2018四川资阳期末，9，★★☆）如图18-2-1-10．在△ABC中，∠C=90º，AC=6，BC=8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（）A．1.2B．2.4C．2.5D．4.8二、填空题5．（2017重庆荣昌盘龙中学期中，17，★☆☆）如图18-2-1-11，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，可添加的条件是___________.6．（2018陕西西安东仪中学期末，13，★★☆）如图18-2-1-12，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若CD=5．则EF的长为_________.三、解答题7．（2018安徽桐城期末，20，★★☆）如图18-2-1-13，在△ABC中，D是边BC上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF.(1)求证：BD=CD；(2)如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．五年中考全练一、选择题1．（2018上海中考，5，★☆☆）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠BB．∠A=∠CC．AC=BDD．AB⊥BC二、填空题2．（2018福建中考，13，★☆☆）如图18-2-1-14，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AB=6，D 是AB的中点，则CD=________．3．（2018湖南株洲中考，14，★☆☆）如图18-2-1-15，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为________．4．（2018黑龙江龙东中考,3，★☆☆）如图18-2-1-16，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________，使平行四边形ABCD是矩形．5．（2018广西贵港中考,16,★★☆）如图18-2-1-17，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC 的对应边B′C′与CD交于点M，若∠B′MD=50º，则∠BEF的度数为________.三、解答题6．（2018山东青岛中考,21,★★☆）如图18-2-1-18，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.(1)求证：AB=AF；(2)若AG=AB，∠BCD=120º，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．核心素养全练1．阅读以下材料，然后解答下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，那么称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图18-2-1-19①所示，矩形ABEF为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”：(2)如图18-2-1-19②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90º．在图18-2-1-19②中画出△ABC 的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3)若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图18-2-1-19③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．2．长与宽之比为2：1的矩形纸片称为标准纸，请思考并解答下列问题：(1)将一张标准纸ABCD(AB＜BC)对开，如图18-2-1-20所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸，请给予证明．(2)在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上的点F处，折痕为AE(如图18-2-1-21甲)；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上的点N处，折痕为DG(如图18-2-1-21乙)，此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图18-2-1-21丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是不是标准纸，请说明理由．(3)不难发现：将一张标准纸按如图18-2-1-22所示的方式一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸，现有一张标准纸ABCD ，AB=1，BC=2，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2018次对开后所得标准纸的周长．18.2特殊的平行四边形18.2.1 矩形1．D 添加AC=BD ，∵四边形ABCD 的对角线互相平分，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC=BD ，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知四边形ABCD 是矩形，故选D ．2．C 矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．3．A 因为矩形的对角线相等且互相平分，OA=2，所以AC=20A=4，BD=AC ，所以BD 的长为4．4．答案 3解析 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,∠BAD=90º，∴AO=BO,∵∠A OB=60º，∴AO=BO=AB=1.∴BD=2,∴AD=3122222=-=-AB BD ．5．答案10解析 ∵AD ⊥BC ，E 为AC 的中点，∴DE 是Rt △ADC 斜边上的中线,∴AC=2DE=10.又AB=AC,∴ AB=10.6．D 根据有三个角是直角的四边形是矩形可以判定此四边形是矩形．7.B 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB=CD ，AC 与BD 互相平分，当∠A BC=90º时，它是矩形，所以选项A 、C 、D 中结论正确，故选B ．1．D ∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∠A DC=90º，∴∠FDB=90º-∠B DC=90º-62º=28º,∵AD ∥BC,∴ ∠C BD =∠FDB=28º，∵矩形ABCD 沿对角线BD 折叠,∴∠FBD=∠CBD=28º，∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28º+28º=56º.2．答案30解析如图，连接AE ，由作图可知MN 垂直平分AC ，∴EA=EC=3，∵四边形ABCD 是矩形,∴∠D =90º．∴在Rt △ADE 中,AD=5232222=-=-DE AE ， ∴在Rt △ADC 中，AC=()()303252222=++=+DC AD .3．答案42解析 如图，设点P 到AB 的距离是h ，则21AB •h=31AB •AD ，即21×4h=31×4×3,∴h=2，可见点P 是直线EF(EF ∥AB,且EF 与AB 间的距离是2)上的动点，作点B 关于EF 的对称点B ′，连接AB ′交EF 于点P ，则此时PA+PB 的值最小，最小值为AB ′=24′22=+BB AB ．一、选择题1．A ∵矩形的对角线互相平分且相等，∴一条对角线用了49盆红花，中间一盆为对角线交点,∴还需要从花房运来红花49-1=48盆，故选A ．2．A 由题意知∠C DE=∠CED=45º，又∠B DE=15º，所以∠CDO=60º，由矩形的特征“对角线相等且互相平分”可知OD=OC ，故△OCD 是等边三角形，从而有OC=OD=CE ，∠DCO=60º，∠OCB=30º，进而求得∠COE=230-180=75º． 3.B 因为“平行四边形的两组时角分别相等”“邻角互补”，所以相邻两个角的平分线组成的角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形的四个角都是直角，是矩形．故选B ．4.D 连接PC ，∵PE ⊥CA,PF ⊥BC ，∴∠PEC =∠PFC =∠C =90º，∴四边形ECFP 是矩形，∴EF=PC ，∴当PC 最小时，EF 也最小，又∵当CP ⊥AB 时，PC 最小，且AC=6，BC=8，∴由勾股定理得AB=10．因此由等面积法，得PC=1086⨯=⋅AB BC AC =4.8，故选D ． 二、填空题5．答案EF ⊥FC(答案不唯一) 解析 连接AC ，∵E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=21AC ，同理，HG ∥AC,HG=21AC ，∴EF ∥HG 、EF=HG 、∴四边形EFGH 是平行四边形，要使四边形EFGH 是矩形，则需有一个角为直角，如EF ⊥FG ．答案不唯一．6．答案5解析 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得AB=2CD=10．根据三角形的中位线性质，可得EF=21AB ，因此EF=5． 三、解答题7．解析 (1)证明：由题意知AF ∥BD,∴∠AFE =∠ECD ，∵E 为AD 的中点，∴AE=DE ，又∠A EF =∠D EC ，∴△AEF ≌△DEC(AAS),∴AF=CD ，又AF=BD ，∴BD=CD.(2)四边形AFBD 为矩形，证明：∵AB=AC ，由(1)知BD=CD ，∴AD ⊥BC(三线合一)，即∠A DB=90º．又∵AF ∥BD ，AF=BD ，∴四边形AFBD 为平行四边形，∴四边形AFBD 是矩形，一、选择题1．B ∵∠A=∠B，AD ∥BC,∴∠A =∠B=90º，故A 选项能判定：∵∠A=∠C 是一组对角相等，任意平行四边形都具有的性质，故B 选项不能判定：∵对角线相等的平行四边形是矩形，故C 选项能判定，∵AB ⊥B C,∴∠B=90º，故D 选项能判定．故选B ．二、填空题2．答案3解析 ∵∠A CB=90º，D 为AB 的中点，∴CD=21AB=21×6=3． 3．答案 25 解析 ∵四边形ABCD 是矩形，∴BD=AC=10,OD=21BD ，∴OD=5，∵P,Q 分别为AO 、AD 的中点，∴PQ=21OD=25． 4．答案AC=BD 或∠A BC=90º或∠B CD=9025或∠CDA=9025或∠DAC=9025或AB ⊥BC 等（答案不唯一）解析 根据矩形的判定可知：添加AC=BD 或∠A BC=90º或∠B CD=90º或∠C DA=90º或∠DAC=90º或AB ⊥BC 等条件后可使平行四边形ABCD 是矩形．5．答案70º解析 依题意得∠B=∠B′=∠B′MD+∠B′EA=90º，所以∠B′EA=90º-50º=40º．所以∠B ′EB=180º-∠B′EA=140º，又∠B ′EF=∠BEF ，所以∠BEF=21∠B ′EB=70º． 三、解答题6．解析(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD,∴∠AFC =∠D CF,∵G 为AD 的中点，∴GA=GD ，又∠A GF=∠DGC ，∴△AGF ≌△DGC(AAS),∴AF=CD,∴AB=AF.(2)四边形ACDF 是矩形，证明：∵AF=CD ，AF ∥CD ，∴四边形ACDF 是平行四边形．∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B AD =∠B CD=120º，∴∠FAG=60º,∵AB=AC=AF ，∴△AGF 是等边三角形，∴AG=GF ，∵△AGF ≌△DGC,∴ FG=CG=21CF, ∵AG=GD=21AD ，∴AD=CF ，∴四边形ACDF 是矩形． 1．解析 (1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．(2)如图，共有两个“友好矩形”，分别为矩形BCAD 、矩形ABEF ．易知，矩形BCAD 、ABEF 的面积都等于△ABC 面积的2倍，所以，Rt △ABC 的两个“友好矩形”的面积相等．(3)如图，共有3个“友好矩形”，分别为矩形BCDE 、矩形CAFG 和矩形ABHK ，其中矩形ABHK 的周长最小．证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，设其面积为S ，矩形BCDE ，CAFG 及ABHK 的周长分别为L ₁，L ₂，L ₃，BC=a ，CA=b ，AB=c ，则L ₁=a S 2+2a,L ₂=b S 2+2b,L ₃=cS 2+2c, L ₁-L ₂=(a S 2+2a)-(b S 2+2b)=-ab S 2（a-b ）+2(a-b)=2(a-b)•ab S ab ,∵ab＞S,a ＞b,∴L ₁-L ₂＞0，即L ₁＞L ₂,同理可得，L ₂＞L ₃,∴L ₁＞L ₂＞L ₃，∴L ₃最小，即矩形ABHK 的周长最小．2．解析(1)证明：∵矩形纸片ABCD 是标准纸，且AB ＜BC ， ∴2=ABBC . 由对开的含义知AF=21BC ，∴222221==⋅==AC AB BC AB AF AB , ∴矩形纸片ABEF 是标准纸．(2)是标准纸．理由如下：设AB=CD=a ，a ＞0．由图形折叠可知△ABE ≌△AFE ，∴∠BAE=∠FAE，∴∠DAE=21∠B AD=45º， 由图形折叠知DG ⊥EM ，∴∠A GD=90º,∴△ADG 是等腰直角三角形，又由图形折叠知DG=CD=a ，∴在Rt △ADG 中，AD=a DG AG 222=+， ∴22==aa AB AD .∴矩形纸片ABCD 是标准纸，(3)∴第5次对开后所得的标准纸的周长为422+， 第2018次对开后所得的标准纸的周长为1008221+．。

18.2.1矩形测试题、选择题1．若矩形对角线相交所成钝角为120 °，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．A.3.6cmB.7.2cmC.1.8cmD.14.4cm 2．已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中∠ 1 与∠2 一定不相等的是( )二、填空题6．矩形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于O，∠ AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝ _____________ c m，BC ＝_____ c m．7．如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D 的折痕DE 将A 角翻折，使点A 落在BC 上的A1处，则∠ EA1B＝_________ °。

3.如图,在矩形ABCD 中，AB<BC ，AC ，BD 相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(A.8B. 6C.44.已知直角三角形ABC 的周长为A.5B. 6C. 714, 斜边AB 上的中线D.8CD 长为3,则直角三角形ABC 的面积为5.如图,在Rt△ ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若∠A=20°，则∠ BDC= （）A.30B.40C.45D.2D.608. 如图，在△ABC 中，∠C= 90 °，AB=10 ，A B C C 34，过AB 边上一点PF丄BC于点F，则EF的最小值是9.如图，矩形OABC 中，OA 在x轴上，OC在y轴上，且OA = 2，AB对折得到△AB'C，AB'交y轴于D点，则D 点的坐标为 ___________ .三、解答题10．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点的延长线于F，且AF＝DC ，连结CF．(1)求证：D是BC的中点；(2) 如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．11．如图，矩形ABCD 中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使点EF 的长。

18.2.1矩形同步习题一．选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角相等C．对边相等D．对角线相等2．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（）A．5B．C．D．3．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，6cm，则它的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．15cm2D．48cm24．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，DE＝3BE．求AE的长（）A．B．3C．D．5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，AB＝6，∠ACB＝30°则MN的长为（）A．3B．4C．5D．66．如图所示，矩形ABCD中，BC＝2AB，E为BC上的一点，且AE＝AD，则∠EDC的度数是（）A．30°B．75°C．45°D．15°7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是边BC的中点，AO＝，AD＝4，则OE的长为（）A．1B．C．2D．8．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（）A．4.2B．4.5C．5.2D．5.59．如图，长方形ABCD中，F是BC上（不与B、C重合）的任意一点，图中面积相等的三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对10．如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠OAD＝55°，则∠OBA的度数为．12．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为AB，OA的中点．若MN＝2，CD＝4，则∠ACB的度数为．13．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把矩形OABC 沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为．14．如图，点E是矩形ABCD内任一点，若AB＝4，BC＝7．则图中阴影部分的面积为．15．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD 于F，则PE+PF的值为_____．三．解答题16．如图，在矩形ABCD中，点F是BC边上一点，DE⊥AF于E，且DE＝DC，求证：△ABF ≌△DEA．17．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E在AD上，点F在BC边上，FE平分∠DFB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若点F是BC的中点，求AE的长．18．如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F，连接CE，EF，CF，得到△CEF．且CD＝1，AF＝2，CF＝3．（1）求BC的长；（2）求证：CE⊥EF．参考答案一．选择题1．解：A、矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的．，故本选项不符合；B、矩形、平行四边形的对角都是相等的，故本选项不符合；C、矩形、平行四边形的对边都是相等的，故本选项不符合；D、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合；故选：D．2．解：∵矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，又∵AB＝3，∠ABC＝90°，∴BC＝＝，∴AD＝BC＝，故选：D．3．解：∵直角三角形斜边上中线长6cm，∴斜边＝2×6＝12（cm），∴面积＝×12×4＝24（cm2）．故选：B．4．解：∵DE＝3BE，∴BD＝4BE，∵四边形ABCD是矩形，∴BO＝DO＝BD＝2BE，∴BE＝EO，又∵AE⊥BO，∴AB＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABO＝60°，∴∠ADB＝30°，又∵AE⊥BD，∴AE＝AD＝3，故选：B．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△ABO是等边三角形，∴BO＝AB＝6，∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN＝BO＝3，故选：A．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝∠ADC＝90°，∵BC＝2AB，AE＝AD，∴AE＝2AB，∴∠AEB＝30°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝15°，故选：D．7．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，AC＝2AO＝2，∠ADC＝90°，∴CD＝＝＝2，∵E是边BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE＝CD＝1，故选：A．8．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠1＝∠E．又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠E．∴BE＝BD．∵AE＝10，∴BD＝BE＝10﹣AB．在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．∴AB＝4.2．故选：A．9．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝S矩形ABCD，∴S△ABD＝S△AFD＝S矩形ABCD，S△ABF＝S△BFD，∴S△ADF＝S△BCD，S△ABE＝S△DEF，故选：C．10．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD＝BD＝6，∵∠BOC＝120°＝∠AOD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，当OP⊥AD时，OP有最小值，∴OP＝OD＝3，故选：A．二．填空题11．解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴∠DAB＝90°，DB＝AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵∠OAD＝55°，∴∠ODA＝∠OAD＝55°，∴∠OBA＝90°﹣∠ADB＝90°﹣55°＝35°，故答案为：35°．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO，∵M，N分别为AB，OA的中点，∴BO＝2MN＝4，∴AO＝BO＝AB＝4，∴△ABO是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，故答案为：30°．13．解：设BD与OA交于点E，作DF⊥OA于点F，∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），∴OC＝2，OA＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥OA，∴∠CBO＝∠AOB，由翻折变换的性质可知，∠DBO＝∠CBO，∴∠OBD＝∠AOB，∴BE＝OE，在Rt△EAB中，设BE＝OE＝x，则AE＝4﹣x，由勾股定理得22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，即BE＝，∴OE＝BE＝，在Rt△ODE中，OD＝OC＝2，DE＝BD﹣BE＝4﹣＝，由OE•DF＝OD•DE得וDF＝×2×，∴DF＝，在Rt△ODF中，由勾股定理得OF2＝OD2﹣DF2＝22﹣（）2＝，∴OF＝，∴点D的坐标为（，﹣），故答案为：（，﹣）．14．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝7，设两个阴影部分三角形的底为AD，BC，高分别为h1，h2，则h1+h2＝AB，∴S△EAB+S△ECD＝AD•h1+BC•h2＝AD（h1+h2）＝AD•AB＝矩形ABCD的面积＝×7×4＝14；故答案为：14．15．解：连接OP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AC＝2AO＝2OC，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD，∴OA＝OD＝OC＝OB，∴S△AOD＝S△DOC＝S△AOB＝S△BOC＝14S矩形ABCD＝14×6×8＝12，在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD＝22226810 AB AD+=+=，∴AO＝OD＝5，∵S△APO+S△DPO＝S△AOD，∴×AO×PE+×DO×PF＝12，∴5PE+5PF＝24，PE+PF＝24 5，故答案为：24 5．三．解答题16．证明：如图，连接DF，∵四边形ABCD是矩形，∴DC⊥CF，又∵DE＝DC，DE⊥AF，∴DF平分∠CFE，∴∠CFD＝∠DFE，∵CB∥AD，∴∠CFD＝∠ADF，∠AFB＝∠DAE，∴∠DF A＝∠ADF，∴AF＝AD，在△ABF和△DEA中，，∴△ABF≌△DEA（ASA）．17．解：（1）△DEF是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∠C＝90°，∴∠BFE＝∠DEF，∵FE平分∠DFB，∴∠BFE＝∠DFE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵AB＝1，BC＝2，∴CD＝1，AD＝2，∵点F是BC的中点，∴FC＝＝1，Rt△DCF中，∠C＝90°，∴DF＝，∴DE＝DF＝，∴AE＝AD﹣DE＝2﹣．18．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，CD＝1，∴AB＝1，∠ABC＝∠FBC＝90°，∵AF＝2，∴BF＝1，∵Rt△CBF中，∠FBC＝90°，BF＝1，CF＝3，∴根据勾股定理得CF2＝BC2+BF2，∴BC＝＝＝，∴BC的长是；（2）证明：矩形ABCD中，AD＝BC＝，∵E是AD的中点，∴AE＝DE＝，∵Rt△AEF中，∠A＝90°，AE＝1，AF＝2，∴根据勾股定理得，EF＝＝，∵Rt△CDE中，∠D＝90°，CD＝1，DE＝1，∴根据勾股定理得，EC＝＝，∵△CEF中，EC＝，EF＝，CF＝3，∴CE2+EF2＝CF2，∴△CEF是直角三角形，∴CE⊥EF．。

人教版数学八年级下册《18．2．1 矩形》单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若矩形的邻边长分别是，，则的长是A．B．C．D．2．如图，矩形的对角线，相交于点，是的中点，连接若，，则对角线的长为A．B．C．D．3．在数学活动课上，老师和同学们想判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的位同学拟定的方案，其中正确的是A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量四边形的三个角是否都为直角4．已知平行四边形中，下列条件：；；；平分，其中能说明平行四边形是矩形的是A．B．C．D．5．如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点．连接，，，且，，则的长是A．B．C．D．6．如下图，在中，，点，点分别是，的中点，是斜边上一点，添加下列条件可以使四边形成为矩形的是A．B．C．D．7．如图，四边形是矩形，，，点在第二象限，则点的坐标是A.B．C．D．(7) (8)8．如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，若，则的值为A．B．C．D．9．如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为A.B．C．D．(9)(10)10．如图，中，，，，是上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值是A．B．C．D．二、填空题11．如图，在矩形中，，对角线，相交于点，垂直平分于点，则的长为________．(11)(13)12．在四边形中，对角线，交于点，从；；；；；，这六个条件中，可选取三个推出四边形是矩形，如四边形是矩形．请再写出符合要求的两个组合：________________，________________．13．如下图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则__________14．如图，在矩形中，是边上一点，，，是边的中点，，则______ ．15．如图，在矩形中，，，是边一个动点，将沿对折成，则线段长的最小值为______．(14) (15)三、解答题16．如图，已知矩形，过点作交的延长线于点求证：．17．已知：如图，四边形是平行四边形，延长至点，使，连接、、，与交于点．求证：四边形是平行四边形；若求证：四边形是矩形．18．如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交、边于点、．求证：四边形是平行四边形；当时，求的长．19．如图，，是的中点，，．求证：四边形是矩形；若，，是上一点，且，求的长．20．如图，在中，是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角的平分线于点．求证：若，，求的长连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形请说明理由．参考答案一、选择题1-10二、填空题11、12、；13、14、15、三、解答题16、证明：四边形是矩形，，．又，四边形是平行四边形．．．17、证明：▱中，且，又，，，四边形是平行四边形；▱中，，，又，，，，又平行四边形中，，，平行四边形是矩形．18、证明：四边形是矩形，，，又因为，，≌，，又因为，四边形是平行四边形；解：，四边形是平行四边形四边形是菱形，，，，设，则在中，根据勾股定理，有，解之得：，，在中，根据勾股定理，有，，在中，根据勾股定理，有，，．19、证明：因为，所以是等腰三角形．因为是中点，所以，因为，所以因为，所以四边形是平行四边形．又因为，所以四边形是矩形；解：在中，，，，所以因为于，所以，，解得．20、证明：如图所示，交的平分线于点，交的外角平分线于点，，，，，，，，，，；解：，，，，，，；解：当点在边上运动到中点时，四边形是矩形．理由如下：当为的中点时，，，四边形是平行四边形，，平行四边形是矩形．。

人教版 八年级数学下册 18.2.1 矩形 培优练习（含答案）1.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB =60°，AD =2，则AC 的长是（ ）A ．2B ．4C ．23D ．432.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A ．当AB=BC 时，它是菱形B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当∠ABC=90°时，它是矩形D ．当AC=BD 时，它是正方形3.下列命题是假命题的是（ ） A.不在同一直线上的三点确定一个圆 B.矩形的对角线互相垂直平分 C.正六边形的内角和是720° D.角平分线上的点到角两边的距离相等4.矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm ，较短边的长为（ ）cm ． A.12 B.10 C.7.5 D.55.如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接EB ，EC ，DB 。

添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ）A.AB=BEB.BE ⊥DCC.∠ADB=90°D.CE ⊥DE 6.下列命题是假命题的是（ ）A ．四个角相等的四边形是矩形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．对角线垂直的四边形是菱形D ．对角线垂直的平行四边形是菱形 7.以下四个命题正确的是（ ） A. 任意三点可以确定一个圆 B. 菱形对角线相等C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D. 平行四边形的四条边相等8.如图，四边形ABCD 是矩形，AB=6cm ，BC=8cm ，把矩形沿直线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 与AD 相交于点F ，连接AE.下列结论中结论正确的个数有 ( ) ①△FBD 是等腰三角形； ②四边形ABDE 是等腰梯形； ③图中有6对全等三角形；BC O DAOD C B A A B C DEF EDA④四边形BCDF的周长为532；⑤AE的长为145cm.A．2个B．3个 C.4个D．5个9.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A．4.8 B．5 C．6 D．7.2二、填空题（共有7道小题）10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AB=4，则AC的长为。

18.2.1《矩形》一、选择题1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分2.如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A.10cmB.8cmC.6cmD.5cm3.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（）A.（2，2）B.（3，2）C.（3，3）D.（2，3）4.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠一次，则图中全等三角形有（）A.2对B. 3对C. 4对D.5对5.下列关于矩形的说法，正确的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直且平分D.矩形的对角线相等且互相平分6.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（）A． B．6 C．4 D．57.下列命题中，假命题是（）A.有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形B.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形C.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形D.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形8.在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BDB．AO=CO，BO=DO，∠A=90°C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BDD．∠A=∠B=90°，AC=BD9.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A.1.8B.2.4C.3.2D.3.610.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8．则D′F的长为( )A．2 B．4 C．3 D．2二、填空题11.如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．12.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，若∠DBC=56°，则∠1= °.13.如图，将矩形纸片ABCD沿BE、DF折叠后，顶点A、C恰好都落在对角线BD的中点O 处．若BD=6 cm，则四边形B EDF的周长是cm．15.如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．三、解答题16.如图，四边形ABCD是矩形.(1)用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F(不写作法，保留作图痕迹)；(2)若BC=4，∠BAC=30°，求BE的长.17.如图，已知在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．参考答案1.C.2.D3.B4.C5.D6.B7.C ．8.C9.D 10.C.11.答案为：AC ⊥BD 12.答案为：62 13.答案为：14.答案为：6； 15.答案为：DE=5． 16.解： (1)如图所示：(2)∵四边形ABCD 是矩形，EF 是线段AC 的垂直平分线，∴AE=EC ，∠CAB=∠ACE=30°，∴∠ECB=60°，∴∠ECB=30°，∵BC=4，∴BE=.17.提示：证明△BFE ≌△CED ，从而BE=DC=AB ，∴∠BAE=45°，可得AE 平分∠BAD18.2.2 菱形一、选择题（本大题共5道小题）1. 如图，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．82. 如图，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒3. 四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小 C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关P FREDCBA4. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒5. 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm二、填空题（本大题共6道小题）6. 如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH的长等于 ．7. 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为8. 如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD的边长是______．9. 如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21CBA10. 已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是 E F DBCA11. 如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，则PE PC +的最小值为DB三、解答题（本大题共5道小题）12. 如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA13. 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA14. 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB15. 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA16. 如图，四边形ABCD 中，AB CD E F G H =，，，，分别是AD BC BD AC ，，，的中点，求证：EF GH ，相互垂直平分ABEFGH GF EDCBA人教版 八年级数学下册 18.2.2 菱形 巩固练习-答案一、选择题（本大题共5道小题） 1. 【答案】A【解析】由菱形的对角线互相垂直平分及勾股数可知选A 2. 【答案】D 3. 【答案】C【解析】连结AR ，利用三角形的中位线可得12EF AR =与点P 无关． 4. 【答案】D 5. 【答案】A二、填空题（本大题共6道小题） 6. 【答案】3 7. 【答案】8【解析】根据菱形的性质可知：共有8对 8. 【答案】4 9. 【答案】120︒【解析】由题意可知：构成三角形为等边三角形 10. 【答案】150︒【解析】如图，过点A 作AE BC ⊥于E ，则12AC BD BC AE ⋅=⋅，又2AC BD AB ⋅=，得1302AE AB ABC =∠=︒，，150BAD ∠=︒ EDCBA11.【答案】30AE BC BAE PE PC AE ⊥∠=︒+===，，为最小值三、解答题（本大题共5道小题）12. 【答案】∵EF 是BD 的中垂线 ∴BE DE BF DF ==，，∴DBE BDE ∠=∠ ∵EBD DBF ∠=∠∴DBF EDB ∠=∠，所以BC DE ∥ 同理AB DF ∥所以四边形BEDF 是菱形13. 【答案】18︒【解析】连接AC ，∵四边形ABCD 为菱形ABCDEF∴AB BC CD AD ===∴ABC △和ACD △为等边三角形 ∴60AB AC B ACD BAC =∠=∠=∠=︒， ∵60EAF ∠=︒ ∴BAE CAF ∠=∠ ∴ABE ACF △≌△ ∴AE AF = ∵60EAF ∠=︒∴AEF △为等边三角形 ∴60AEF ∠=︒∵AEC B BAE AEF CEF ∠=∠+∠=∠+∠ ∴18CEF ∠=︒14. 【答案】∵EF 垂直平分AC ， ∴,EF AC AO CO ⊥=.∴90AOE COF ∠=∠=. 又∵ABCD 平行四边形， ∴EAO FCO ∠=∠. ∴AOE ∆≌COF ∆. ∴OE OF =.∴四边形AECF 是平行四边形.又由AC EF ⊥可知，四边形AECF 是菱形.15. 【答案】100︒同理D AFD ∠=∠∵四边形ABCD 是菱形∴AD BC B D BAD C ∠=∠∠=∠∥，，，∴AEB AFD ∠=∠∵B D ∠=∠ ∴BAE DAF ∠=∠∵DE EF AF ==，∴AEF △是等边三角形，∴60EAF ∠=︒设BAE x ∠=，则602BAD x ∠=︒+∵180ABE ABE BAE ∠+∠+∠=︒，∴902x ABE ∠=︒-∵AD BC ∥，∴180B BAD ∠+∠=︒，∴906021802x x ︒-+︒+=︒ ∴20x =︒ ∴602100C BAD x ∠=∠=︒+=︒16. 【答案】A B CD EF GH连结EG GF FH HE ，，，，根据题意，EG HF ，分别是DAB CAB ∆∆，的中位线，所以12EG HF AB ==，同理可证：12GF EH CD ==，因为AB CD =，所以EG HF GF EH ===，则四边形EGFH 是菱形，所以EF GH ，相互垂直18.2.3正方形1.下列四边形：①正方形、②矩形、③菱形，对角线一定相等的是（ ）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③2.平行四边形，菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等且互相平分B ．对角线相等且互相垂直平分C ．对角线互相平分D ．四条边相等，四个角相等3.正方形面积为36，则对角线的长为（ ）A ．6B ．C ．9D ．4.正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ） A ．8 B ．4 C ．8 D ．165.如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP=BC ，则∠ACP 度数是（ ）A ．45°B ．22.5°C ．67.5°D ．75°6.如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，A．75°B．60°C．55°D．45°7.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．B．C．D．8.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．69.如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（）A．B．C．D．10.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为（）A．3 B．4C．D．11.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，延长AB至点E，使得BE＝1，EF⊥AE，EF＝AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）A．2B．3C．D．12.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为．13.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．14.有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2=．15.如图，将边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、A n分别是正方形的中心，则2019个这样的正方形重叠部分的面积和为．考点二：正方形的判定16.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了题目，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使□ABCD为正方形（如图所示），现有如下四种选法，你认为其中错误的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④17.（2015•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．考点三：正方形的性质与判定18.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为．19.如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是．20.（2018•湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．21.（2018•遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．22.如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．23.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．。

A 18.2.1矩形的性质与判定练习题1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分2、下列命题中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形C ．有一个角是直角的四边形是矩形D ．内角都相等的四边形是矩形3、下列条件中，能判断一个四边形是矩形的是( )A. 对角相等B. 对角线互相垂直C. 对角线互相垂直且相等D. 对角线互相平分且相等4、四边形ABCD 的对角线交于点O ，在下列条件中，不能说明它是矩形的是 （ ）A. AB=CD ，AD=BC ，∠BAD =90°B.∠BAD=∠ABC =90°,∠BAD+∠ADC=180°C ∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠ADC=180° D. AO=CO,BO=DO,AC=BD5、下列条件中，不能判定四边形ABCD 为矩形的是（ ）．A ．AB ∥CD ，AB=CD ，AC=BD B ．∠A=∠B=∠D=90°C ．AB=BC ，AD=CD ，且∠C=90° D ．AB=CD ，AD=BC ，∠A=90°6、已知一矩形的周长是24cm ，相邻两边之比是1:2，那么这个矩形的面积是 （ ）A ．24cm 2B ． 32cm 2C ．48cm 2D ．128cm 27、如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE 等于（ ）．A ．15° B.30° C.45° D.60°（7题） （8题） （9题） （10题） 8、如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC,∠ADE=21∠CDE,那么∠BDC 等于 （ ） A ．60° B ．45° C ．30° D ．22.5°9、如图，△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D 在BC 上，且AD =BD ，AD 、CE 相交于点F ，若∠B =20°，则∠DFE 等于( ) A ．70° B ．60° C ．50° D ．40°10、如图，△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，AC = 4，BC =3，P 为AB 上一动点，且PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，则线段EF 长度的最小值为 ．11、已知，如图，等边△ABC 中，AD=DC ，BF=FC ，△BDE 是等边三角形．求证：四边形AEBF 是矩形．12、已知，如图，矩形ABCD 中，F 在CB 延长线上，AE=EF ，CF=CA ．求证：BE ⊥DE ．13、如图，矩形ABCD 的两边AB=3，BC=4，P 是AD 上任一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F 。

第1题第2题第4题 第6题 第9题 第12题 《18.2.1 矩形的性质》练习一、选择——基础知识运用1．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm ，则这个矩形的一条较短边的长度为（ ）A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．5cm 2．如图，在矩形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，EF ⊥AD交AD 于点F ，若EF =3，AE =5，则AD 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．Rt △ABC 中，∠C =90°，锐角为30°，最短边长为5cm ，则最长边上的中线是（ ）A ．5cmB ．15cmC ．10cmD ．2.5cm4．如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，EF =7，BC=10，则△EFM 的周长是（ ）A ．17B ．21C ．24D ．27 5．如图，在矩形ABCD 中，AF ⊥BD 于E ，AF 交BC 于点F ，连接DF ，则图中面积相等但不全等的三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC ，OA =3，OC =6，将△ABC沿对角线AC 翻折，使点B 落在点B ′处，AB ′与y 轴交于点D ，则点D的坐标为（ ）A ．（0，-）B ．（0，-）C ．（0，-）D ．（0，-）7.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（ ）A.（2，2）B.（3，2）C.（3，3）D.（2，3）8.已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）A .B .C .D .9.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5．过对角线交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，则AE 的长是（ ）A .1.6B .2.5C .3D .3.410.一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（ ）A.50B.50或40C.50或40或30D.50或30或2011.菱形具有而矩形不具有性质是（ ）第5题第13题 第14题 第15题 第16题 第18题 A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分且相等12.在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，AF 平分∠DAB ，过C 点作CE ⊥BD 于E ，延长AF .EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED ．正确的是（ ）A.②③B.③④C.①②④D.②③④13.如图，在矩形ABCD 中，EF ∥AB ，GH ∥BC ，EF 、GH 的交点P 在BD上，图中面积相等的四边形有（ ）A.3对B.4对C.5对D.6对14. 将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′＝60°，则∠AED 的大小是（ ）A.60°B.50°C.75°D.55°15.如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于E ，F 点，连接CE ，则△CDE 的周长为（ ）A.5cmB.8cmC.9cmD.10cm16.如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，则图中全等的直角三角形共有（ ）A.6对B.5对C.4对D.3对17.矩形ABCD 中的顶点A 、B 、C 、D 按顺时针方向排列，若在平面直角坐标系内，B 、D 两点对应的坐标分别是（2，0）.（0，0），且A 、C 两点关于x 轴对称，则C 点对应的坐标是（ ）A.（1，1）B.（1，﹣1） C .（1，﹣2） D.（，﹣）18.如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（ ）A.600m 2B.551m 2C.550m 2D.500m 2二、填空——知识巩固运用19．如果把电视屏幕看作一个长方形平面，建立一个直角坐标系，若左下方的点的坐标是（0，0），右下方的点的坐标是（32，0），左上方的点的坐标是（0，28），则右上方的点的坐标是 .20．长方形ABCD 面积为12，周长为14，则对角线AC 的长为 .21.如图，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y轴上，连接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在A ′的位置上．若OB ＝，21＝OC BC ，求点A ′的坐标为 ．22.在矩形ABCD 中，A （4，1），B （0，1），C （0，3），则点D 的坐标为 ．23.如图，一张矩形纸片沿AB 对折，以AB 中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD 剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD 等于_________．第21题 第22题 第24题第23题24.如图，点A、D、G、M在半⊙O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a、b、c的大小关系为______________．三、解答——知识提高运用25．如图，自矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD，E为垂足，延长EC至F，使CF =BD，连接AF，求∠BAF的大小.26．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，DC⊥DB，BE⊥EC，F为BC上的一个动点，猜想：当F为于BC上的什么位置时，△FDE是等腰三角形，并证明你的猜想是正确的.27．如图，在矩形ABCD中，AD=12，AB=7，DF平分∠ADC，AF⊥EF.（1）求证：AF=EF；（2）求EF长．第27题28．八年级（12）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线，如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？29.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积是多少？30.如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝8，DF＝4，则菱形ABCD的边长为多少？31.如图，矩形的长与宽分别为a和b，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则a和b要满足什么数量关系？32.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是CD上一点，且AE＝AB，则∠CBE的度数是多少？4.参考答案一、选择——基础知识运用1．【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC= AC，OD=OB= BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=20，∴AC=BD=10cm，∴OA=OB=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=5cm，故选D。

18.2.1 矩形同步测试题1.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )A.AB=CDB.AD=BCC.∠AOB=45°D.∠ABC=90°2.如图,小贤为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变化,下列判断错误的是( )A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形B.BD的长度增大C.四边形ABCD的面积不变D.四边形ABCD的周长不变3.如图,在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是( )A.△AFD≌△DCEB.AF=ADC.AB=AFD.BE=AD-DF4.如图,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE,连接BE交CD于点O,连接AO,下列结论中不正确的是( )A.△AOB≌△BOCB.△BOC≌△EODC.△AOD≌△EODD.△AOD≌△BOC5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,将△ABD沿对角线BD折叠,得到△EBD,DE与BC 交于点F,∠ADB=30°,则EF=( )A. B.2 C.3 D.36.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法错误的是( )A.∠ABC=90°B.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD7.(2016·菏泽)在▱ABCD中,AB=3,BC=4,连接AC,BD,当▱ABCD的面积最大时,下列结论正确的有( )①AC=5;②∠BAD+∠BCD=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④8.如图,P是矩形ABCD的对角线AC的中点,E是AD的中点.若AB=6,AD=8,则四边形ABPE的周长为( )A.14B.16C.17D.189.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AC,AB边的中点,连接DE,CE.则下列结论中不一定正确的是( )A.ED∥BCB.ED⊥ACC.∠ACE=∠BCED.AE=CE10.如图,在矩形ABCD中,O为AC的中点,EF过O点且EF⊥AC分别交DC,AB于点F,E,点G是AE的中点,且∠AOG=30°,则下列结论正确的有( )①DC=3OG;②OG=BC;③△OGE是等边三角形;④S△AOE=S矩形ABCD.A.1个B.2个C.3个D.4个11.图,AB=6,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=120°,P是直线l上一点,当△APB 为直角三角时,AP= .12.如图,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证:BE=CF.13.如图,AC为矩形ABCD的对角线,将边AB沿AE折叠,使点B落在AC上的点M处,将边CD沿CF折叠,使点D落在AC上的点N处.(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积.14.如图所示,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD,△BCE,△ACF,连接DE,EF.请回答下列问题:(1)四边形ADEF是什么四边形?并说明理由.(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?15.如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P沿AB边从点A开始向点B 以2 cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6).(1)当t为何值时,△QAP为等腰三角形?(2)求四边形QAPC的面积,并探索一个与计算结果有关的结论.参考答案1.【答案】D解：因为四边形ABCD的对角线互相平分,所以四边形ABCD为平行四边形,A,B 两选项为平行四边形具有的性质,C选项添加后也不一定是矩形,根据矩形的定义知D可以.故选D.2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】A解：∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠ADO=∠EDO=∠C=90°.∵AD=DE,∴BC=DE.在△BOC与△EOD中,∠BOC=∠DOE,∠C=∠EDO=90°,BC=DE,∴△BOC≌△EOD.故B选项正确.在△AOD和△EOD中,AD=DE,∠ADO=∠EDO=90°,OD=OD,∴△AOD≌△EOD.故C选项正确.由B,C知△AOD≌△BOC,故D选项正确.而A选项中两三角形明显不全等.5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】B解：当▱ABCD的面积最大时,四边形ABCD为矩形,得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°,AC=BD,根据勾股定理求出AC,即可得出结论.8.【答案】D 9.【答案】C10.【答案】C解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=AG=GE=AE,再根据等边对等角可得∠OAG=30°,根据直角三角形两锐角互余求出∠GEO=60°,从而判断出△OGE是等边三角形,判断出③正确;设AE=2a,则OE=a,利用勾股定理求出AO的长,从而得到AC的长,再求出BC的长,然后利用勾股定理求出AB=3a,从而判断出①正确,②错误;再根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列式判断出④正确.11.【答案】3或3或3解：当∠APB=90°时,分两种情况讨论.情况一:如图①,∵O为AB中点,∴PO=AB,AO=BO.∴PO=BO.∵∠1=120°,∴∠PBA=30°.∴AP=AB=3;情况二:如图②,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=BO.∵∠1=120°,∴∠BOP=60°.∴△BOP为等边三角形.∴BP=AB=3.∴AP===3.当∠BAP=90°时,如图③,∵∠1=120°,∴∠AOP=60°,∴∠APO=30°,∴PO=2AO=6.∴AP===3.当∠ABP=90°时,如图④,∵∠1=120°,∴∠BOP=60°,∴∠BPO=30°,∴PO=2BO=6.∴BP===3.∴AP===3.12.证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AC=BD.∴BO=CO.∵BE⊥AC于E,CF⊥BD于F,∴∠BEO=∠CFO=90°.又∵∠BOE=∠COF,∴△BOE≌△COF.∴BE=CF.13.(1)证明:由折叠知AM=AB,CN=CD,∠FNC=∠D=90°,∠AME=∠B=90°,∴∠ANF=90°,∠CME=90°.∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,AD∥BC.∴∠FAN=∠ECM,AM=CN.∴AM-MN=CN-MN,即AN=CM.在△ANF和△CME中,∴△ANF≌△CME(ASA).∴AF=CE.又∵AF∥CE,∴四边形AECF是平行四边形.(2)解:∵AB=6,AC=10,∴BC=8.设CE=x,则EM=BE=8-x,CM=10-6=4. 在Rt△CEM中,(8-x)2+42=x2,解得x=5. ∴四边形AECF的面积为CE·AB=5×6=30.14.解:(1)四边形ADEF是平行四边形.理由:∵△ABD,△BEC都是等边三角形,∴BD=AB,BE=BC,∠DBA=∠EBC=60°.∴∠DBE=60°-∠EBA,∠ABC=60°-∠EBA, ∴∠DBE=∠ABC.∴△DBE≌△ABC.∴DE=AC,又∵△ACF是等边三角形,∴AC=AF.∴DE=AF.同理可得△ABC≌△FEC,∴EF=BA=DA.∵DE=AF,DA=EF,∴四边形ADEF为平行四边形.(2)若四边形ADEF为矩形,则∠DAF=90°,∵∠DAB=∠FAC=60°,∴∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°.∴当△ABC满足∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形.15.解:(1)由题意得DQ=t cm,AP=2t cm,∴AQ=(6-t)cm.若△QAP为等腰三角形,则只能是AQ=AP,于是6-t=2t,∴t=2.故当t=2时,△QAP为等腰三角形.(2)S四边形QAPC=S矩形ABCD-S△CDQ-S△BPC=12×6-×12t-×(12-2t)×6=72-6t-36+6t=36(cm2).结论:在点P,Q的移动过程中,四边形QAPC的面积始终不变,为36 cm2.。