(08各专业)数学分析试题

南开大学2008年数学分析考研试题.一．计算题1．求极限21lim[ln(1)]x x x x→∞-+。

2．求和()()∑∞=-+-1121n n n n 。

3．已知()()()1f x x f x ''-=-，求()x f ？ 4．设2ln 261txdt e π=-⎰，则x =？5．设区域()[][]{}1,1,2,0,-∈∈=y x y x D ，求Dx y dxdy -⎰⎰。

二．设61-≥x 61+=+n n x x ，(1,2,)n = ，证明数列{}n x 收敛，并求其极限。

三．设()[]b a C x f ,∈，并且[]b a x ,∈∀，[]b a y ,∈∃，使()()x f y f 21≤，证明[]b a ,∈∃ξ，使得()0=ξf .四．设()x f 在[)+∞,a 一致连续，且广义积分()af x dx +∞⎰收敛，求证()0lim =+∞→x f x 。

五．设()x f 在(,)-∞+∞上可微，对任意(,)x ∈-∞+∞，()0f x >， ()()f x mf x '≤， 其中10<<m ，任取实数0a ，1ln ()n n a f a -=，(1,2,)n = ，证明级数11||n n n a a ∞-=-∑收敛。

六．证明函数项级数()1nxn f x ne∞-==∑，（1）在()+∞,0上收敛，但不一致收敛；（2）和函数()x f 在()+∞,0上任意次可导。

七．作变换xy u =，x v =，w xz y =-，将方程2222z z yyyx∂∂+=∂∂变换为w 关于自变量(),u v 方程。

八．求由曲面2224x y az a ++=将球体2224x y z az ++≤分成两部分的体积之比。

九、设()f x 是(0,)+∞上具有二阶连续导数的正函数，且()0f x '≤，(0,)x ∈+∞，()f x ''在(0,)+∞上有界，则lim ()0x f x →+∞'=。

例 1.设:n n f R R →，且()1nf C R ∈，满足()()f x f yx y -≥-，对于任意,nx y R∈，都成立.试证明f 可逆，且其逆映射也是连续可导的. 证明 显然，对于任意,n x y R ∈，x y ≠，有()()f x f y ≠，f 是单射，所以1f -存在，由()()11f x f y x y ---≤-，知1f -连续，由()()f x f y x y -≥-，得对任意实数0,t ≠向量,n x h R ∈,有()()f x th f x t h +-≥，在()()f x th f x ht+-≥中令0t →，取极限，则有 得()Jf x h h ≥，任何,n x h R ∈,从而必有|()|0Jf x ≠，Jf 可逆，由隐函数组存在定理，所以1f-存在，且是连续可微的。

例2. 讨论序列()sin n ntf t n t=在()0,+∞上一致收敛性. 解 方法一 显然()11n f t n t≤⋅，对任意()0,t ∈+∞，有()lim 0n n f t →∞=，()sin n nt ntf t t n t n t=≤=， ()0lim 0n t f t +→=，关于n 是一致的；对任意0δ>，当[),t δ∈+∞时，()11n f t n δ≤⋅， 于是(){}n f t 在[),δ+∞上是一致收敛于0的， 综合以上结果，故(){}n f t 在()0,+∞上是一致收敛于0的.方法二 由()sin sin 1n nt nt nt f t n tn tn t n=≤≤≤， 即得(){}n f t 在()0,+∞上是一致收敛于0的 例3、 判断1nn nx ∞=∑在1x >上是否一致收敛. 例4. 设()f x 在(),-∞+∞上一致连续，且()f x dx +∞-∞⎰收敛，证明()lim 0x f x →∞=.例5.求有曲面2221x y za b c⎛⎫++= ⎪⎝⎭所围成的立体的体积其中常数,,0a b c >.例6、 设D 为平面有界区域，(),f x y 在D 内可微，在D 上连续，在D 的边界上(),0f x y =，在D 内f 满足方程f f f x y∂∂+=∂∂. 试证：在D 上(),0f x y ≡.证明 因为(),f x y 在D 上连续， 设()(),max ,x y DM f x y ∈=，则0M =，假若0M >，则存在()00x y D ∈，使得()00f x y M =， 于是有()000f x y x ∂=∂，()000fx y y∂=∂， 这与()()00000f f x y f x y x y ⎛⎫∂∂+=> ⎪∂∂⎝⎭矛盾，假若0M <，亦可得矛盾.同理，对()(),min ,x y Dm f x y ∈=，亦有0m =，故(),0f x y =，(),x y D ∈.华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答一．求解下列各题 1、设0a ≠，数列{}n x 满足lim 0n n n x ax a→∞-=+，证明lim n n x a →∞=。

工科数分(1)试题解答(C 类A 卷)一、填空题(1) 12; (2) 1; (3) sin yCx x =; (4) 1e (1)a a --+，1二、选择题C D A B三、判断题1 不正确. 典型反例是[0,1]上的Riemann 函数，它在[0,1]上有无穷个间断点，且在[0,1]的任何子区间上都不单调，但熟知Riemann 函数在[0,1]上可积.2 正确. 对0(,)x a b ∀∈，因f '单调，由单调函数单侧极限存在性定理可知0lim (),lim ()x x x x f x f x -+→→''均存在，故0x 至多为()f x '的第一类间断点，但因导数无第一类间断点，因此0x 必为()f x '的连续点.由0x 取法任意性即有(,)f C a b '∈四、全面讨论函数y =解 1o函数定义域为(,)-∞+∞，且经过点(0,3),(3,0)-；2o令()0y x '=，得驻点13x =-；令()0y x ''=，得11,2x =-；3o因lim ()1,lim ()1x x y x y x →+∞→-∞==-，故曲线有水平渐近线1y =±.曲线无垂直渐近线和斜渐近线；4o列表如下其中()min{()}1/3x f x f ∈==R；拐点((1,,1/2,-- 图形如右五、1求极限lim n →∞+⎝⎭ 解令()f x =[0,1]区间作n 等分，则每个小区间长1k x n∆=，取(1~)k kk n nξ==，于是有13/201122lim (1)1)33n n k x x n →∞===+=⎰现因1111111/n nn n k k k k n n n n n k n =====<<+++∑ 而已计算112lim lim 1)13n nn n k k n n →∞→∞====+由夹逼性定理可知原式21)3=2求极限12lim sin d n nx x →∞⎰解原式11cos 2lim d 2n nxx →∞-=⎰11011lim 22n x x →∞=+⎰⎰由Riemann引理可知有10lim 0n x →∞=⎰，于是原式sin 1/20011cos d 22sin cos x t tx tt t=π==+⎰⎰令 (再令2t x π=-) /201sin d 2cos sin xx x xπ=+⎰ 由此得出原式/201sin cos d 4sin cos x x x x x π+=+⎰1428ππ=⋅= 3 求解二阶微分方程ln xy y x x '''-= 解 令y p '=，化原方程为ln xp p x x '-= ⇒ 1ln p p x x'-=由一阶线性方程通解公式得出11d d 11lne ln e d d x x x xx p x x C x x C x -⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 221111(ln )(ln )22x x C x x C x ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦也即有21d 1(ln )d 2y x x C x x =+. 现因ln 222221(ln )d e d d(e )2x tt t x x x t t t ===⎰⎰⎰令()2221e 2e d 2t tt t t =-⎰ 222e 122t t t C ⎛⎫'=-++ ⎪⎝⎭故通解为()22223ln ln 4x y x x C x C =-++4 求以半径为R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积解 过点(,0)x 并与x 轴垂直的平面截正劈锥体所得截面的面积()A x h =， …… 4分故体积R V h x -=⎰…… 6分20π22R h h x ==⎰ …… 8分六、设有界函数()f x 在[,]a b 上的间断点为{}n x ，且0lim (,)n n x x a b →∞=∈，证明[,]f R a b ∈证明 由条件可知0M ∃>，使得(),[,]f x M x a b ≤∀∈.对0ε∀>(ε充分小)，记00(,)(,)x x εεαβ-+=，因有0()n x x n →→∞，故在区间[,],[,]a b αβ上至多含{}n x 中有限项，从而()f x 在这两个区间上均可积.由可积性第二充要条件可知12[,],[,]a b αβ∃π⊂π⊂，使在分法12,ππ下有1k k x ω∆επ<∑ ， 2k k x ω∆επ<∑而对于3[,]αβ∀π⊂，恒有3324k k k x M x M ω∆∆εππ≤=∑∑.取123π=π⋃π⋃π（此时,αβ为分点），就有1213nk k k k k k k k x x x x κω∆ω∆ω∆ω∆=πππ=++∑∑∑∑2(21)M ε<+.仍由可积性第二充要条件可知[,]f R a b ∈.七、设正值函数[,]f C a b ∈，定义()d ,bn n a x f x x n =∈⎰N .证明(1)对n ∀∈N 有212n n n x x x ++≤；(2){}1/n n x x +收敛，且1[,]lim{/}max{()}n n n x a b x x f x +→∞∈=证明 （1）由Schwarz 积分不等式，有()22221221()d ()()d n n b bn n aa x f x xfx f x x +++⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰2()d ()d b bn n aaf x x f x x +≤⋅⎰⎰2n n x x +=（2）由(1)的结果有121,n n n n x x n x x +++≤∀∈N ，即数列1n n x x +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递增的. 又f 恒正连续，故0[,]x a b ∃∈：def0()max{()}0a x bf x f x M ≤≤==>，于是对n ∀∈N ，有 11()d ()d bbn n n n aax f x x M f x x M x ++=≤=⎰⎰也即有1n nx M x +≤，即数列1n n x x +⎧⎫⎨⎬⎩⎭有上界，从而数列1n n x x +⎧⎫⎨⎬⎩⎭收敛.往证n M =.由条件0,0,x εδ∀>∃>∀0(,)[,]U x a b δ∈⋂def[,]αβ=：00()()()f x f x f x ε-<≤ ⇒ []00()()()nn n f x f x f x ε-<≤ 由此得出[]111100()()()d ()d ()()bnnnnnna f x f x x f x x f xb a βαεβα⎡⎤⎡⎤--<≤≤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 已知11lim()lim()1n nn n b a βα→∞→∞-=-=，从而有100()lim ()d ()bnn a n f x f x x f x ε→∞⎡⎤-≤≤⎢⎥⎣⎦⎰由ε任意性即得10lim ()d ()bnn a n f x x f x →∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰. 再由Cauchy 第二定理就有10lim ()n n n n nxf x M x +→∞====.工科数分(1)试题解答(C 类B 卷)一、填空题(1) 12-; (2) 1; (3) sin y C x x =(或1Cx); (4) 1e (1)λλ--+，1二、选择题 B A C D。

2008年华南理工数学分析考研试题及解答n例1.设f:Rn?Rn，且f?C1?R???，满足f?x??f?yx?y，对于任意n，都成立.试证明f可逆，且其逆映射也是连续可导的. x,y?R证明显然，对于任意x,y?Rn，x?y，有f?x??f?y?，f 是单射，所以f?1存在，f?1?x??f?1?y??x?y，知f?1连续，f?x??f?y??x?y，得对任意实数t?0,向量x,h?Rn,有f?x?th??f?x??th，f?x?th??f?x??h在中令t?0，取极限，则有t得Jf(x)h?h，任何x,h?Rn,从而必有|Jf(x)|?0，Jf可逆，隐函数组存在定理，所以f?1存在，且是连续可微的。

例2. 讨论序列fn?t??sinnt在?0,???上一致收敛性. nt11解方法一显然fn?t???，nt对任意t??0,???，有limfn?t??0，n??fn?t??sinntnt??t，ntntt?0?limfn?t??0，关于n是一致的；对任意??0，当t???,???时，fn?t??11?，n?于是?fn?t??在??,???上是一致收敛于0的，综合以上结果，故?fn?t??在?0,???上是一致收敛于0的.1 方法二fn?t??sinntnt?sinntnt?nt1?，ntn即得?fn?t??在?0,???上是一致收敛于0的例3、判断?n?1?n在x?1上是否一致收敛. xn????例4. 设f?x?在???,???上一致连续，且?2f?x?dx收敛，证明limf?x??0. x??2?xy?z例5.求有曲面????2?1所围成的立体的体积其中常数a,b,c?0. ?ab?c例6、设D为平面有界区域，f?x,y?在D内可微，在D上连续，在D的边界上f?x,y??0，在D 内f满足方程试证：在D上f?x,y??0. ?f?f??f. ?x?y证明因为f?x,y?在D上连续，设M?maxf?x,y?，?x,y??D则M?0，假若M?0，则存在?x0y0??D，使得f?x0y0??M，于是有?f?f?x0y0??0，?x0y0??0，?x?y??f?f?这与????x0y0??f?x0y0??0矛盾，??x?y?假若M?0，亦可得矛盾. 同理，对m?minf?x,y?，亦有m?0，?x,y??D故f?x,y??0，?x,y??D. 华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答一．求解下列各题1、设，数列{x}满足lima?0nn??xn?axn?a。

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设0a b <<，则()10lim nnnn ab--→+（ ）()A a .()B 1a -. ()C b .()D 1b -.（2）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()x f t dt g x x=⎰的（ ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷.()D 振荡.（3）设()f x 是连续奇函数，()g x 是连续偶函数，区域{(,)01,D x y x y =≤≤≤≤则正确的（ ）()A ()()0Df yg x dxdy =⎰⎰.()B ()()0D f x g y d x d y =⎰⎰.()C [()()]0Df xg y dxdy +=⎰⎰.()D [()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰.（4）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分'0()axf x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ ()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ ()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭. （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =的分布函数为（ ）()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()0,1X N ，()1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）已知函数()f x 连续且0()lim2x f x x→=，则曲线()y f x =上对应0x =处切线方程为 . （11）2113ln y dx x xdy =⎰⎰ .（12）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=通解是y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式0A =，则A 的秩为 .（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限201sin limln x x x x→. (16) （本题满分10分） 设()()1f x t t x dt =-⎰，01x <<，求()f x 的极值、单调区间和凹凸区间.(17)（本题满分10分）求函数222u x y z =++在在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值.(18)（本题满分10分）设(),z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时，求(1)dz （2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂.(19)（本题满分10分）()f x 是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数都有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰（2）证明()()()202x t t g x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数． （20）（本题满分11分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+（2）a 为何值，方程组有唯一解（3）a 为何值，方程组有无穷多解 (21)（本题满分11分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，证明（1）123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.（22）（本题满分9分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（2）求Z 的概率密度（23）（本题满分9分）设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有34产品可进行再加工且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？.。

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设0a b <<，则()10lim nnnn ab--→+（ ）()A a .()B 1a -. ()C b .()D 1b -.（2）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()x f t dt g x x=⎰的（ ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷.()D 振荡.（3）设()f x 是连续奇函数，()g x 是连续偶函数，区域{(,)01,D x y x y =≤≤≤≤则正确的（ ）()A ()()0Df yg x dxdy =⎰⎰.()B ()()0D f x g y d x d y =⎰⎰.()C [()()]0Df xg y dxdy +=⎰⎰.()D [()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰.（4）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分'0()axf x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ ()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ ()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭. （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =的分布函数为（ ）()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()0,1X N ，()1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）已知函数()f x 连续且0()lim2x f x x→=，则曲线()y f x =上对应0x =处切线方程为 . （11）2113ln y dx x xdy =⎰⎰ .（12）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=通解是y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式0A =，则A 的秩为 .（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限201sin limln x x x x→. (16) （本题满分10分） 设()()1f x t t x dt =-⎰，01x <<，求()f x 的极值、单调区间和凹凸区间.(17)（本题满分10分）求函数222u x y z =++在在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值.(18)（本题满分10分）设(),z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时，求(1)dz （2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂.(19)（本题满分10分）()f x 是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数都有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰（2）证明()()()202x t t g x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数． （20）（本题满分11分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+（2）a 为何值，方程组有唯一解（3）a 为何值，方程组有无穷多解 (21)（本题满分11分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，证明（1）123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.（22）（本题满分9分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（2）求Z 的概率密度（23）（本题满分9分）设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有34产品可进行再加工且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？.。