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2
x2
4. 利用平行四边形法求复数的和差
两个复数的加减法运算与相应的向量的
加减法运算一致.
y
y
z2
z1 z2
z2
z1
o
z1
x
o
x
z1 z2
z2
5. 复数和差的模的性质
因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故
(1) z1 z2 z1 z2 ;
y
z2
z2
z1 z2 z1
所以
arctan
2 12
π
arctan
3 3
5 , 6
故三角表示式为
z
4cos
5 6
i
sin
5 6
,
指数表示式为
z
5i
4e 6
.
(2) z sin i cos
5
5
显然 r z 1,
sin
5
cos
2
5
cos
3 10
,
cos 5
sin
2
5
sin 3 , 10
球面上的每一个点都有唯一的复数与之 对应, 这样的球面称为复球面.
3. 扩充复平面的定义
包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意 义, 它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处:
能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.
为2的点的轨迹.
即表示中心为 i, 半径为 2 的圆.
设 z x iy, x ( y 1)i 2,
x2 ( y 1)2 2, 圆方程 x2 ( y 1)2 4.
(2) z 2i z 2 表示所有与点 2i 和 2距离相等的点的轨迹. 故方程表示的曲线就是连接点 2i 和 2的线 段的垂直平分线. 设 z x iy, x yi 2i x yi 2, 化简后得 y x. (3) Im(i z) 4 设 z x iy, i z x (1 y)i, Im(i z ) 1 y 4, 所求曲线方程为 y 3.
z1z1 z2z2 z1z2 z1z2 z1 2 z2 2 z1z2 z1z2
因为 z1z2 z1z2 2 Re(z1z2 ),
z1 z2 2 z1 2 z2 2 2 Re( z1z2 ) z1 2 z2 2 2 z1z2 z1 2 z2 2 2 z1 z2 ( z1 z2 )2 ,y z xຫໍສະໝຸດ iyy(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
2. 复数的模(或绝对值) 复数 z x iy 可以用复平面上的向量OP 表示,
向量的长度称为z 的模或绝对值,
记为 z r x2 y2 . 显然下列各式成立 x z, y z,
y
y
r
o
Pz x iy
x
x
z x y, z z z 2 z2 .
再利用欧拉公式 ei cos i sin , 欧拉介绍
复数可以表示成 z rei 复数的指数表示式
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
(1) z 12 2i; (2) z sin i cos ;
5
5
(3)
z
(cos5 (cos 3
i i
sin sin
5 3
)2 )3
.
解 (1) r z 12 4 4, 因为 z 在第三象限,
故三角表示式为 z cos 3 i sin 3 ,
10
10
指数表示式为
z
3 i
e10 .
(3)
z
(cos5 (cos 3
i sin 5 )2 i sin 3 )3
.
因为 cos5 i sin5 e5i ,
cos3 i sin 3 cos(3 ) i sin(3 ) e3i ,
所以
(cos 5 (cos 3
i sin 5 )2 i sin 3 )3
(e5i )2 (e3i )3
e19i ,
故三角表示式为 z cos19 i sin19 ,
指数表示式为 z e19i .
例2 把复数 z 1 cos i sin , 0 π 化为
三角表示式与指数表示式, 并求 z 的辐角的主值.
例4 设 z1, z2 为两个任意复数, 证明: (1) z1z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
证 (1) z1z2 (z1z2 )(z1z2 ) (z1z2 )(z1z2 ) (z1z1)(z2z2 ) z1 z2 .
(2) z1 z2 2 (z1 z2 )(z1 z2 ) (z1 z2 )(z1 z2 )
两边同时开方得 z1 z2 z1 z2 .
例5 证明: 三个复数 z1, z2, z3成为等边三角形顶 点的充要条件是 z12 z22 z32 z1z2 z2z3 z3z1.
证 z1z2z3是等边三角形的充要条件为:
向量
z1z2
绕
z1
旋转
3
或
3
即得向量
z1
z3
,
即
z3
z1
( z2
i
z1 )e 3
,
z3
或 z3 z1 1 3 i, z2 z1 2 2
z2 z1
z3 z1 1 3 i, z2 z1 2 2 两边平方, 并化简得
z12 z22 z32 z1z2 z2z3 z3z1.
下面例子表明, 很多平面图形能用复数形 式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的 复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的 平面图形.
关于 的四则运算规定如下:
(1) 加法 : , ( )
(2) 减法 : , ( )
(3) 乘法 : , ( 0)
(4) 除法 : 0, , ( ), ,( 0)
0
三、小结与思考
学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的 各种表示法. 并且介绍了复平面、复球面和扩充 复平面. 注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了 无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义） 的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或 正、负无穷大混为一谈．
例6 将通过两点z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直 线用复数形式的方程来表示.
解 通过两点 ( x1, y1 ) 与 ( x2 , y2 )的直线的方程
x
y
x1 y1
t( x2 t( y2
x1 ) y1 )
参数 t (, ),
所以它的复数形式的参数方程为
z z1 t(z2 z1) 参数 t (, ),
解
z
1
cos
i
sin
2
sin
2
2i
sin
cos
2
22
2sin
2
sin
2
i
cos
2
2sin
2
cosπ
2
i
sinπ
2
(三角式)
2sin
π
e
2
i
.
(指数式)
2
arg z π .
2
例3 求复数 z cos 1的实部和虚部, cos 1
其中 ei . 解 z cos 1 cos cos 1 i sin cos
w k2 k w 1,
两边同时平方, w k2 2 k2 w 12,
于是 w 2 k2,
w k,
故 z z1 k. z z2
例8 求下列方程所表示的曲线:
(1) z i 2;
(2) z 2i z 2;
(3) Im(i z ) 4.
解 (1) 方程 z i 2 表示所有与点 i 距离
(2) z1 z2 z1 z2 .
o
z1
x
一对共轭复数z 和 z 在
y
复平面内的位置是关于
o
实轴对称的.
z x iy
x
z x iy
6.复数的三角表示和指数表示
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
复数的三角表示式
思考题
是否任意复数都有辐角?
思考题答案
否. 唯有 z 0的情况特殊, 它的模为零而辐角不确定.
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cos 1 cos cos 1 i sin cos
(cos
cos )2 (cos
1
cos
(sin
1)2
cos )2 (sin
2i sin cos )2
cos
2cos
(sin )2 cos 1
(cos
)2
2cos
2sin cos cos 1 (cos
)2
i.
Re z
Im z
,
k z1 z2 1 k2
.
证 圆周 z z0 , 将 z0 和 代入,
z
z1
k2(z 1 k2
z2 )
k z1 z2 1 k2
z z1 k2(z z2 ) k z1 z2 ,
两边同除以 z z2 ,
z z1 k 2 k z z1 1,
z z2
z z2
令 w z z1 , z z2
第二节 复数的几何表示
一、复平面 二、复球面 三、小结与思考
一、复平面
1. 复平面的定义
复数 z x iy 与有序实数对( x, y) 成一一
对应. 因此, 一个建立了直角坐标系的平面可以
用来表示复数, 通常把横轴叫实轴或x 轴, 纵轴
