2014年东莞市一模数学(理)试题

广东省东莞市2014年中考数学模拟试卷(时间：100分钟，满分120分)一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的) 1．64的立方根是（ ）A ．2B ．-2C ．4D ．-42．5月31日，参观东莞开幕式的游客约为505 000人.505 000用科学记数法表示为( )A ．505×103B ．5.05×103C ．5.05×104D ．5.05×105 3．下列计算正确的是( )A ．a 4＋a 2＝a 6B ．2a ·4a ＝8aC ．a 5÷a 2＝a 3D ．(a 2)3＝a 54．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1的解是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝－2C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝1D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝－1 5．一个几何体的三视图如图所示．那么这个几何体是( )A B C D二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)6．若x 、y 为实数，且x ＋3＋|y －2|＝0，则x ＋y ＝ .7．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 .(第7题) (第10题)8．一组数据1,6，x,5,9的平均数是5，那么这组数据的中位数是 . 9．双曲线y ＝2k －1x的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是 .10．如图，观察每一个图中黑色正六边形的排列规律，则第10个图中黑色正六边形有 个．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)11．计算：(－2 011)0＋122-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛＋||2－2－2cos60°.12．解方程：142-+x x ＝3x －1.13．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2－4a ＋4－a ＋2a 2－2a ÷⎝⎛⎭⎫4a －1，其中a ＝2－ 3.14．如图，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A (2,0)，B (0，－6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积．15．某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB ＝6 m ， ∠ABC ＝45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处，使∠ADC ＝30°(如图所示)．(1)求调整后楼梯AD 的长； (2)求BD 的长(结果保留根号)．四、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分)16．日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A 处，观测到某港口城市P 位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B 处，这时观察到城市P 位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B 处与城市P 的距离？⎝⎛ 参考数据：sin 36.90≈35，tan 36.90≈34，⎭⎫sin 67.50≈1213，tan 67.50≈12517．2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦，也在国内掀起一股网球热．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x 个红球与3x 个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座． (1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；(2)若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由．18．绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．(1)王灿有几种方案安排甲、乙两种货车可一次性地将水果运到销售地？(2)若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D.(1)以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O(不写作法，保留作图痕迹)，再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若(1)中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB＝6，BD＝2 3，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积(结果保留根号和π)．五、解答题(本大题共3小题，每小题9分，共27分)20．对于任何实数，我们规定符号⎪⎪⎪ a c ⎪⎪⎪b d 的意义是⎪⎪⎪ a c⎪⎪⎪b d ＝ad －bc . (1)按照这个规定请你计算⎪⎪⎪ 57⎪⎪⎪68的值；(2)按照这个规定请你计算：当x 2－3x ＋1＝0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －23xx －1的值． 21．已知：如图，在△ABC 中，BC ＝AC ，以BC 为直径的⊙O 与边AB 相交于点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E .(1)求证：点D 是AB 的中点；(2)判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；(3)若⊙O 的直径为18，cos B ＝13，求DE 的长．22．如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(－2，－1)，B(0,7)两点．(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)当x为何值时，y＞0?(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C、D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为F、E.当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．参考答案一、选择题1. A2. D3. C4. A5. C 二、填空题6. －17. 38. 59. k <12 10. 100三、解答题11.解：原式＝1＋2＋2－2－1＝212.解：方程两边同乘最简公分母x (x －1)，得x ＋4＝3x ，解得x ＝2.经检验：x ＝2是原方程的根． ∴原方程的解为x ＝2. 13.解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －1a －2 2－a ＋2a a －2 ÷4－a a＝a a －1 －a －2 a ＋2 a a －2 2·a4－a＝1a －2 2. 当a ＝2－3时，原式＝13.14.解：(1)把A (2,0)，B (0，－6)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋2b ＋c ＝0c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝－6. ∴这个二次函数的解析式为y ＝－12x 2＋4x －6.(2)∵该抛物线对称轴为直线x ＝－42×⎝⎛⎭⎫－12＝4，∴点C 的坐标为(4,0)，∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2， ∴S △ABC ＝12×AC ×OB ＝12×2×6＝6.15.解：(1)已知AB ＝6 m ，∠ABC ＝45°，∴AC ＝BC ＝AB ·sin45°＝6×22＝3 2，∵∠ADC ＝30°，∴AD ＝2AC ＝6 2. 答：调整后楼梯AD 的长为6 2m.(2)CD ＝AD ·cos30°＝6 2×32＝3 6，∴BD ＝CD －BC ＝3 6－3 2. 答：BD 的长为(3 6－3 2)m.16.解：如图，过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，设PC ＝x 海里，在Rt △APC 中，∵tan ∠A ＝PC AC， ∴AC ＝PC tan67.5°＝5x12.在Rt △PCB 中，∵tan ∠B ＝PC BC， ∴BC ＝x tan36.9°＝4x3.∵AC ＋BC ＝AB ＝21×5， ∴5x 12＋4x3＝21×5，解得 x ＝60. ∵sin ∠B ＝PCPB，∴PB ＝PC sin ∠B ＝60sin36.9°＝60×53＝100(海里)．∴海检船所在B 处与城市P 的距离为100海里．17.解：(1)∵红球有2x 个，白球有3x 个，∴P (红球)＝2x 2x ＋3x ＝25， P (白球)＝3x 2x ＋3x ＝35，∴P (红球)< P (白球)， ∴这个办法不公平．(2)取出3个白球后，红球有2x 个，白球有(3x －3)个， ∴P (红球)＝2x5x －3，P (白球)＝3x －35x －3，x 为正整数， ∴P (红球)－ P (白球) ＝3－x5x －3.①当x <3时，则P (红球)> P (白球)， ∴对小妹有利．②当x ＝3时，则P (红球)＝ P (白球)， ∴对小妹、小明是公平的．③当x >3时，则P (红球)< P (白球)，∴对小明有利．18.解：(1)设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车(8－x )辆，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2 8－x ≥20x ＋2 8－x ≥12， 解此不等式组得2≤x ≤4. ∵x 是正整数，∴x 可取的值为2,3,4.因此安排甲、乙两种货车有三种方案：(2)方案一所需运费为方案二所需运费为300×3＋240×5＝2 100元； 方案三所需运费为300×4＋240×4＝2 160元．∴王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2 040元． 19.解：(1)如图 (需保留线段AD 中垂线的痕迹)．直线BC 与⊙O 相切．理由如下：连接OD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA . ∵AD 平分∠BAC ，∴∠OAD ＝∠DAC . ∴∠ODA ＝∠DAC . ∴OD ∥AC . ∵∠C ＝90°，∴∠ODB ＝90°，即OD ⊥BC . 又∵直线BC 过半径OD 的外端， ∴BC 为⊙O 的切线． (2)设OA ＝OD ＝r ，在Rt △BDO 中，OD 2＋BD 2＝OB 2， ∴r 2＋(2 3)2＝(6－r )2，解得r ＝2. ∵tan ∠BOD ＝BDOD ＝3，∴∠BOD ＝60°.∴S 扇形ODE ＝60π·22360＝23π.∴所求图形面积为S △BOD －S 扇形ODE ＝2 3－23π.20.解：(1)⎪⎪⎪ 57⎪⎪⎪68＝5×8－6×7＝－2.(2)⎪⎪⎪ x ＋1x －2 ⎪⎪⎪3x x －1＝()x ＋1()x －1－3x ()x －2 ＝x 2－1－3x 2＋6x＝－2x 2＋6x －1.又∵x 2－3x ＋1＝0，∴x 2－3x ＝－1，原式＝－2(x 2－3x )－1＝－2×(－1)－1＝1.21.(1)证明：如图，连接CD ，则CD ⊥AB ，又∵AC ＝BC ，∴AD ＝BD , 即点D 是AB 的中点．(2)解：DE 是⊙O 的切线．理由是：连接OD ，则DO 是△ABC 的中位线，∴DO ∥AC .又∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥DO ，又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．(3)∵AC ＝BC ，∴∠B ＝∠A ，∴cos ∠B ＝cos ∠A ＝13. ∵cos ∠B ＝BD BC ＝13，BC ＝18， ∴BD ＝6，∴AD ＝6.∵cos ∠A ＝AE AD ＝13， ∴AE ＝2.在Rt △AED 中，DE ＝AD 2－AE 2＝4 2.22.解：(1)把A (－2，－1)，B (0,7)两点的坐标代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －4－2b ＋c ＝－1c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝7. 所以，该抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋7，又因为y ＝－x 2＋2x ＋7＝－(x －1)2＋8，所以对称轴为直线x ＝1.(2)当函数值y ＝0时，－x 2＋2x ＋7＝0的解为x ＝1±2 2，结合图象，容易知道1－2 2<x <1＋2 2时，y >0.(3)当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为(m，n)，则n＝－m2＋2m＋7，即CF＝－m2＋2m＋7.因为C、D两点的纵坐标相等，所以C、D两点关于对称轴x＝1对称，设点D的横坐标为p，则1－m＝p－1，所以p＝2－m，所以CD＝(2－m)－m＝2－2m.因为CD＝CF，所以2－2m＝－m2＋2m＋7，整理，得m2－4m－5＝0，解得m＝－1或5.因为点C在对称轴的左侧，所以m只能取－1.当m＝－1时，n＝－m2＋2m＋7＝－(－1)2＋2×(－1)＋7＝4.于是，点C的坐标为(－1,4)．。

广东“十校”2013—2014学年度高三第一次联考理科数学试题本试卷共6页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷 （选择题 共4 0分）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}23,log P a =，{},Q a b =，若{}0P Q =，则P Q =（ ） A ．{}3,0 B ．{}3,0,2 C ． {}3,0,1D ．{}3,0,1,2 2．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数12z z 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．已知等差数列{}n a 中，25a = ，411a =，则前10项和=10S （ ）A ． 55B ． 155C ． 350D ． 400 4．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50) （单 位：元），其中支出在[)30,50（单位：元）的同学 有67人，其频率分布直方图如右图所示，则n 的值为（ ） A ．100 B ．120 C ．130 D ．390 5．平面四边形ABCD 中0AB CD +=，()0AB AD AC -=⋅，则四边形ABCD 是 （ ）A ．矩形B ．梯形C ．正方形D ．菱形6． 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰 直角三角形，则这个几何体的体积是 A ．21 B ．1 C ．23D ．2 7．下列命题：①函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；②函数()(1f x x =- ③若111(1)adx a x=>⎰，则a e =； ④椭圆)0(3222>=+m m y x 的离心率不确定。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A.{1,0,1}-B.{1,0,1,2}-C.{1,0,2}-D.{0,1}2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定小学生 3500名初中生4500名 高中生 2000名小学初中30 高中10 年级50 O近视率/%8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0:11,,60,.22B B =∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130, D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xe y 在点)3,0(处的切线方程为 .'5'0:530:5,5,35,530.xx x y y eyy x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab acaa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDFAEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 55233:(1)()sin()sin , 3.121243223(2)(1):()3sin(),4()()3sin()3sin()443(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )4444323cos sin 6cos 426cos ,(0,),42f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得10sin 4331030()3sin()3sin()3sin 3.44444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f======解频率分布直方图如下所示(](](]0044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.BCξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝030，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D－AF－E的余弦值.:(1):,,,,A,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCDPCD ABCDPCD ABCD CDD ABCD AD CD AD PCDCF PCD CF AD AF PC CF AFAD AF ADF AD AF A CF ADFCF DF EG DF⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A平面A过作于连则022,CD2,30,130,==1,213324,,,=,,,3,222333319322EG.,7,,4231933193193622,()()474747EHG D AF E DPCCDF CF CDDE CFCP EF DC DE DFDP CPDE EFAE AF EFDFAE EFEH HGAF--=∠=∴∠==∴=∴==⋅⋅======⋅⋅∴====-=为二面角的平面角设从而∥即还易求得EF=从而易得故3,476347257cos.47319GHEHGEH∴∠==⋅=12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431(,0),(ADF CP (3,1,0),2222AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DFCF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--∴++-><->-++++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<--<<-<-∴-<-<-<--+∴=-∞------+---+-+∞==-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-<----<<--+-+--+<+->∴><+<<-+++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii xx x x x kx x k k kg x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<<--+<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<<-+<-++<∴<>+->∴<++-+<---⋃--⋃-+⋃-+-+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。

广东省东莞市2013－2014学年度第一学期高一数学测试题一 、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.)1．已知全集{1234567}U =，，，，，，,{245}A =，，，则A =C U ( ）A ． ΦB ． {246}，，C ． {1367}，，，D ．{1357}，，， 2．下列命题中，正确的是（ )A ．经过不同的三点有仅有一个平面B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C ．垂直于同一条直线的两条直线平行D ．垂直于同一个平面的两条直线平行 3．已知Rt ABC ∆的顶点坐标分别为(51)A -，，(11)B ，，(2)C m ，,若90C ∠=，则实数m 的值为（ ）A ．2或2-B ．2C ．2-D ．34．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）A ．124ππ+ B ．122ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 5．三个数0.3log 6a =,60.3b =,0.36c =，则的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c << 6．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．1(1)e， B ．(12)，C ． (23)，D ．()e +∞， 7．已知直线1:0l ax y a -+=,2:(23)0l a x ay a -+-=互相平行，则a 的值是（ ） A ．1 B ．3- C ．1或3- D ．08．利用斜二测画法画平面内一个三角形的直观图得到的图形还是一个三角形，那么直观图三角形的面积与原来三角形面积的比是（ ）A．4 B．4 C．2 D29．已知点(10)A ，，(10)B -，,过点(01)C -，的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角范围是( ）A ．[45135]，B ．[4590)(90135]，，C ．[045][135180]，，D ．[0135]，10．已知函数210()210x x x f x x x ⎧++≥=⎨+<⎩，，．若2()(2)f m f m <-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1)(2)-∞-+∞，， B ．(12)-， C ．(21)-， D ．(2)(1)-∞-+∞，，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分)11．幂函数()f x的图象过点(3 ，则()f x12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x 2()log 1f x x =+，则(4)f -= 。

东莞市2013～2014学年下学期高三年级物理模拟测试试题第一局部选择题〔共118分〕一、单项选择题〔此题共16小题，每一小题4分，共64分。

在每一小题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目要求。

多项选择、错选均不得分〕．13．关于物体的内能、温度和分子的平均动能，如下说法正确的答案是A．温度低的物体内能小B．温度低的物体分子运动的平均速率小C．外界对物体做功时，物体的内能一定增加D．做加速运动的物体，分子平均动能可能越来越大14．甲、乙两船分别在河的上游和下游彼此相距200米处同时向两船中点处的一个漂浮物〔漂浮物随水流漂移〕匀速划去，设两船在静水中的速率一样。

甲船和乙船遇到漂浮物的时间分别为t1和t2，如此A．t1＞t2 B．t1＜t2 C．t1＝t2 D．无法确定15．如下列图，一定质量的理想气体，从状态1变化到状态2，其P—1/V图像为倾斜直线，气体温度变化是A ．逐渐升高B ．逐渐降低C ．可能不变D ．可能先升高后降低16．如下列图，虚线框MNPQ内为一矩形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里。

a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。

假设不计粒子所受重力，如此A．粒子a带负电，粒子b、c带正电B．射入磁场时，粒子b的动能最大C．粒子b的运动轨迹是抛物线D．射入磁场时c的动量最大二、双项选择题〔此题共9小题，每一小题6分，共54分。

在每一小题给出的四个选项中，均有两个选项符合题目要求。

每一小题全对者得6分；只选一个且正确得3分；多项选择、错选、不选均不得分〕．17．目前，在居室装修中经常用到花岗岩、大理石等装饰材料，这些岩石都不同程度地含有放射性元素，如下有关放射性知识的说法中正确的答案是A ．23892U 衰变成20682Pb 要经过6次β衰变和8次α衰变B ．氡的半衰期为3.8天，假设有16个氡原子核，经过7.6天后一定只剩下4个氡原子核C ．放射性元素发生β衰变时所释放的电子是原子核内的中子转化为质子时产生的D ．β射线与γ射线一样是电磁波，但穿透本领远比γ射线弱18．如下列图，图中以点电荷Q 为圆心的虚线同心圆是该点电荷电场中球形等势面的横截面图。

广东省东莞市XX学校中考数学一模试卷一.选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上）1．（3分）随着空气质量的恶化，雾霾天气现象增多，危害加重．森林是“地球之肺”，每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物，2830000000可用科学记数法表示为（）A．28.3×108B．2.83×109C．2.83×10 D．2.83×1072．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C．D．3．（3分）某大米包装袋上标注着“净含量10kg±150g”，小华从商店买了2袋大米，这两袋大米相差的克数不可能是（）A．100g B．150g C．300g D．400g4．（3分）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+x+1=（x+1）2C．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 D．2x+4=2（x+2）5．（3分）一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，那么这个菱形的面积是（）A．40 B．20 C．10 D．256．（3分）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个球是红球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是红球D．至少有2个球是白球7．（3分）如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．（3+8）cm B．10cm C．14cm D．无法确定8．（3分）使式子有意义的x的值是（）A．x＞0 B．x≠9 C．x≥0或x≠9 D．x＞0或x≠99．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，且DE∥BC，若，DE=3，则BC的长度是（）A．6 B．8 C．9 D．1010．（3分）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分.）11．（4分）写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方程．12．（4分）点C在射线AB上，若AB=3，BC=2，则AC为．13．（4分）如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为．14．（4分）如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于．15．（4分）不等式组的解为．16．（4分）如图所示，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为．三.解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：（16﹣2x）÷318．（6分）已知，xyz≠0，求的值．19．（6分）如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．四.解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？21．（7分）第15中学的九年级学生在社会实践中，调查了500位杭州市民某天早上出行上班所用的交通工具，结果用以下扇形统计图表示．（1）请你将这个统计图改成用折线统计图表示的形式；（2）请根据此项调查，对城市交通给政府提出一条建议．22．（7分）在平面直角坐标系中按下列要求作图．（1）作出三象限中的小鱼关于x轴的对称图形；（2）将（1）中得到的图形再向右平移6个单位长度．23．（7分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE=CE；（2）求∠CBF的度数；（3）若AB=6，求弧AD的长．24．（7分）如图，已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AC上不与A、C 重合的一动点，PQ⊥BC于Q，QR⊥AB于R．（1）求证：PQ=CQ；（2）设CP的长为x，QR的长为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并在平面直角坐标系作出函数图象．（3）PR能否平行于BC？如果能，试求出x的值；若不能，请简述理由．25．（7分）已知如图1，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴交于A和B两点（点A 在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D的坐标是（0，﹣1），连接BC、AC（1）求出直线AD的解析式；（2）如图2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当△ADF的面积最大时，有一线段MN=（点M在点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；（3）如图3，将△DBC绕点D逆时针旋转α°（0＜α°＜180°），记旋转中的△DBC 为△DB′C′，若直线B′C′与直线AC交于点P，直线B′C′与直线DC交于点Q，当△CPQ是等腰三角形时，求CP的值．广东省东莞市XX学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应位置上）1．（3分）随着空气质量的恶化，雾霾天气现象增多，危害加重．森林是“地球之肺”，每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物，2830000000可用科学记数法表示为（）A．28.3×108B．2.83×109C．2.83×10 D．2.83×107【解答】解：2830000000=2.83×109，故选：B．2．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．3．（3分）某大米包装袋上标注着“净含量10kg±150g”，小华从商店买了2袋大米，这两袋大米相差的克数不可能是（）A．100g B．150g C．300g D．400g【解答】解：根据题意得：10+0.15=10.15（kg），10﹣0.15=9.85（kg），因为两袋两大米最多差10.15﹣9.85=0.3（kg）=300（g），所以这两袋大米相差的克数不可能是400g；故选：D．4．（3分）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4）B．x2+x+1=（x+1）2C．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 D．2x+4=2（x+2）【解答】解：A、x2﹣4=（x+2）（x﹣2），故此选项错误；B、x2+2x+1=（x+1）2，故此选项错误；C、等式的右边不是乘积形式，不是因式分解，故此选项错误；D、2x+4=2（x+2），故此选项正确；故选：D．5．（3分）一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，那么这个菱形的面积是（）A．40 B．20 C．10 D．25【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为5和8，∴这个菱形的面积是，故选：B．6．（3分）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）A．至少有1个球是红球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是红球D．至少有2个球是白球【解答】解：A、至少有1个球是红球是随机事件，选项错误；B、至少有1个球是白球是必然事件，选项正确；C、至少有2个球是红球是随机事件，选项错误；D、至少有2个球是白球是随机事件，选项错误．故选：B．7．（3分）如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．（3+8）cm B．10cm C．14cm D．无法确定【解答】解：将点A和点B所在的两个面展开，则矩形的长和宽分别为6和8，故矩形对角线长AB==10，即蚂蚁所行的最短路线长是10．故选：B．8．（3分）使式子有意义的x的值是（）A．x＞0 B．x≠9 C．x≥0或x≠9 D．x＞0或x≠9【解答】解：当x满足，即x≥0且x≠9时，式子有意义．故选：C．9．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，且DE∥BC，若，DE=3，则BC的长度是（）A．6 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵，∴=，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴==，∵DE=3，∴BC=9，故选：C．10．（3分）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3【解答】解：由图象知，抛物线与x轴交于（﹣1，0），对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，且当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴的下方，∴当﹣1＜x＜3时，y＜0．故选：B．二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分.）11．（4分）写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方程x2﹣3x=0．【解答】解：根据题意，设该一元二次方程为：（x+b）（x+a）=0；∵该方程的一个根是3，∴该一元二次方程可以是：x（x﹣3）=0．即x2﹣3x=0故答案是：x2﹣3x=0．12．（4分）点C在射线AB上，若AB=3，BC=2，则AC为1或5．【解答】解：当C在线段AB上时，AC=AB﹣BC3﹣2=1，当C在线段AB的延长线时，AC=AB+BC=3+2=5，即AC=1或5，故答案为：1或5．13．（4分）如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为4．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AE=AC，∵AB=7，AC=3，∴BE=AB﹣AE=AB﹣AC=7﹣3=4．故答案为：4．14．（4分）如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于40°．【解答】解：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，∴弧DF=弧DE，且弧的度数是40°，∴∠DOE=40°，答案为40°．15．（4分）不等式组的解为3≤x＜4．【解答】解：解不等式x﹣3≥0，得：x≥3，解不等式3x＜2x+4，得：x＜4，∴不等式组的解集为3≤x＜4，故答案为：3≤x＜4．16．（4分）如图所示，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为17°．【解答】解：∵∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，∴∠B'AC'=33°，∠BAB'=50°，∴∠B′AC的度数=50°﹣33°=17°．故答案为：17°．三.解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：（16﹣2x）÷3【解答】解：原式=（8﹣2）÷3=6÷3=218．（6分）已知，xyz≠0，求的值．【解答】解：由原方程组得，①×4﹣②，得：21y=14z，y=z，将y=z代入①，得：x+z=3z，解得x=z，将x=z、y=z代入得：原式===．19．（6分）如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD的面积．【解答】解：连接BD．∵∠A=90°，AB=2cm，AD=，∴根据勾股定理可得BD=3，又∵CD=5，BC=4，∴CD2=BC2+BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD=90°，=S△ABD+S△BCD=AB•AD+BC•BD=×2×+×4×3=+6（cm2）．∴S四边形ABCD四.解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？【解答】解：（1）设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份，根据题意得，，解得：，答：该店每天卖出这两种菜品共60份；（2）设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖（20+a）份；总利润为w元因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B种菜品卖（40﹣a）份每份售价提高0.5a元．w=（20﹣14﹣0.5a）（20+a）+（18﹣14+0.5a）（40﹣a）=（6﹣0.5a）（20+a）+（4+0.5a）（40﹣a）=（﹣0.5a2﹣4a+120）+（﹣0.5a2+16a+160）=﹣a2+12a+280=﹣（a﹣6）2+316当a=6，w最大，w=316答：这两种菜品每天的总利润最多是316元．21．（7分）第15中学的九年级学生在社会实践中，调查了500位杭州市民某天早上出行上班所用的交通工具，结果用以下扇形统计图表示．（1）请你将这个统计图改成用折线统计图表示的形式；（2）请根据此项调查，对城市交通给政府提出一条建议．【解答】解：（1）如下图：步行：500×6%=30人，自行车：500×20%=100人，电动车：500×12%=60人，公交车：500×56%=280人，私家车：500×6%=30人，（2）诸如公交优先，或宣传步行有利健康等．22．（7分）在平面直角坐标系中按下列要求作图．（1）作出三象限中的小鱼关于x轴的对称图形；（2）将（1）中得到的图形再向右平移6个单位长度．【解答】解：如图所示：23．（7分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE=CE；（2）求∠CBF的度数；（3）若AB=6，求弧AD的长．【解答】证明：（1）连接AE∵AB是⊙O直径∴∠AEB=90°（即AE⊥BC）∵AB=AC∴BE=CE（2）∵∠BAC=54°，AB=AC∴∠ABC=63°∵BF是⊙O切线∴∠ABF=90°∴∠CBF=∠ABF﹣∠ABC=27°（3）连接OD∵OA=OD∠BAC=54°∴∠AOD=72°∵AB=6∴OA=3∴的长=．24．（7分）如图，已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AC上不与A、C 重合的一动点，PQ⊥BC于Q，QR⊥AB于R．（1）求证：PQ=CQ；（2）设CP的长为x，QR的长为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围，并在平面直角坐标系作出函数图象．（3）PR能否平行于BC？如果能，试求出x的值；若不能，请简述理由．【解答】（1）证明：∵∠A=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∵PQ⊥CQ，∴△PCQ为等腰直角三角形，∴PQ=CQ；（2）解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴BC=AB=，∵△PCQ为等腰直角三角形，∴CQ=PC=x，同理可证得为△BQR等腰直角三角形，∴BQ=RQ=y，∵BQ+CQ=BC，∴y+x=，∴y=﹣x+1（0＜x＜1），如图，（3）解：能．理由如下：∵AR=1﹣y，AP=1﹣x，∴AR=1﹣（﹣x+1），当AR=AP时，PR∥BC，即1﹣（﹣x+1）=1﹣x，解得x=，∵0＜x＜1，∴PR能平行于BC．25．（7分）已知如图1，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴交于A和B两点（点A 在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D的坐标是（0，﹣1），连接BC、AC（1）求出直线AD的解析式；（2）如图2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当△ADF的面积最大时，有一线段MN=（点M在点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；（3）如图3，将△DBC绕点D逆时针旋转α°（0＜α°＜180°），记旋转中的△DBC 为△DB′C′，若直线B′C′与直线AC交于点P，直线B′C′与直线DC交于点Q，当△CPQ是等腰三角形时，求CP的值．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴交于A和B两点，∴0=﹣x2﹣x+3，∴x=2或x=﹣4，∴A（﹣4，0），B（2，0），∵D（0，﹣1），∴直线AD解析式为y=﹣x﹣1；（2）如图1，过点F作FH⊥x轴，交AD于H，设F（m，﹣m2﹣m+3），H（m，﹣m﹣1），∴FH=﹣m2﹣m+3﹣（﹣m﹣1）=﹣m2﹣m+4，∴S△ADF =S△AFH+S△DFH=FH×|y D﹣y A|=2FH=2（﹣m2﹣m+4）=﹣m2﹣m+8=﹣（m+）2+，当m=﹣时，S△ADF最大，∴F（﹣，）如图2，作点A关于直线BD的对称点A1，把A1沿平行直线BD方向平移到A2，且A1A2=，连接A2F，交直线BD于点N，把点N沿直线BD向左平移得点M，此时四边形AMNF的周长最小．∵OB=2，OD=1，∴tan∠OBD=，∵AB=6，∴AK=，∴AA1=2AK=，在Rt△ABK中，AH=，A1H=，∴OH=OA﹣AH=，∴A1（﹣，﹣），过A2作A2P⊥A2H，∴∠A1A2P=∠ABK，∵A1A2=，∴A2P=2，A1P=1，∴A2（，﹣）∵F（﹣，）∴A2F的解析式为y=﹣x﹣①，∵B（2，0），D（0，﹣1），∴直线BD解析式为y=x﹣1②，联立①②得，x=﹣，∴N点的横坐标为：﹣．（3）∵C（0，3），B（2，0），D（0，﹣1）∴CD=4，BC=，OB=2，BC边上的高为DH，根据等面积法得，BC×DH=CD×OB，∴DH==，∵A（﹣4，0），C（0，3），∴OA=4，OC=3，∴tan∠ACD=，①当PC=PQ时，简图如图1，过点P作PG⊥CD，过点D作DH⊥PQ，∵tan∠ACD=∴设CG=3a，则QG=3a，PG=4a，PQ=PC=5a，∴DQ=CD﹣CQ=4﹣6a∵△PGQ∽△DHQ，∴，∴，∴a=，∴PC=5a=；②当PC=CQ时，简图如图2，过点P作PG⊥CD，∵tan∠ACD=∴设CG=3a，则PG=4a，∴CQ=PC=5a，∴QG=CQ﹣CG=2a，∴PQ=2a，∴DQ=CD﹣CQ=4﹣5a∵△PGQ∽△DHQ，同①的方法得出，PC=4﹣，③当QC=PQ时，简图如图1过点Q作QG⊥PC，过点C作CN⊥PQ，设CG=3a，则QG=4a，PQ=CQ=5a，∴PG=3a，∴PC=6a∴DQ=CD﹣CQ=4﹣5a，利用等面积法得，CN×PQ=PC×QG，∴CN=a，∵△CQN∽△DQH同①的方法得出PC=④当PC=CQ时，简图如图4，过点P作PG⊥CD，过H作HD⊥PQ，设CG=3a，则PG=4a，CQ=PC=5a，∴QD=4+5a，PQ=4，∵△QPG∽△QDH，同①方法得出．CP=综上所述，PC的值为：；4﹣，，=．。

2014年初中毕业生学业考试第一模拟试卷数学一、选择题（每小题3分，共30分，每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的） 1.-2的倒数是（ ）A ．2B ．-2C ．21 D ． 21-2.2012年第七届原创新春祝福短信微博大赛作品充满了对龙年浓浓的祝福，主办方共收到原创祝福短信作品41 430条，将41 430用科学记数表示应为（ ）A. 341.4310⨯B. 44.14310⨯C. 50.414310⨯D.54.14310⨯3．如图，下列水平放置的几何体中，俯视图是长方形的是（ ）4.如图点A ，B ，C 在⊙O 上，若40C ∠=︒，则AOB ∠=（ ）A. 20︒B. 40︒C. 80︒D. 100︒5.不等式组10420x x ->⎧⎨-⎩，≤的解集在数轴上表示为（ ）．6.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）.ABCD7.小华每天骑自行车或步行上学，他上学的路程为3000米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设步行的平均速度为x 米/分钟．下面的方程正确的是（ ）．A ．30430003000=-x x ． B ．30300043000=-x x ． C ．30530003000=-x x ． D ．30300053000=-xx ．A ．B ．C ．D ．8.下列计算正确的是（ ）．A. a 2＋a 3＝a 5B. a 6÷a 3＝a 2C. 4x 2－3x 2＝1D. (－2x 2y )3＝－8 x 6y 3二、填空题：（每小题4分，共24分）11. 在函数yx 的取值范围是___________． 12．分解因式：23x y y -= ．13.化简22a b a b a b---的结果是 . 14.右上图是某超市一层到二层滚梯示意图，其中AB 、CD 分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，150ABC ∠=︒，BC 的长约为12米，则乘滚梯从点B 到C 上升的高度h 约为___米.15.将点A （2，1）向右平移2个单位长度、向下移3个单位得到点A ′，则点A ′的坐标是 ．16.在平面直角坐标系xOy 中，正方形111A B C O 、2221A B C B 、3332A B C B ，…，按图中所示的方式放置。

东莞市2014届高三第二次模拟考试数学（理科）一、选择题：1. 已知全集U =R ,集合{}09,A x x x =<<∈R 和{}44,B x x x =-<<∈Z 集合U A B （）ð中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个2. 若复数()()2321i a a a -++-是纯虚数,则实数a 的值为( )A ．2B ．1C ．2-D ．1或23. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且24S =,420S =,则该数列的公差d =( )A ．2B ．3C ．6D ．7 4. 已知抛物线22y px =(0p >)的准线与圆22(3)16x y -+=相切,则p 的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．4 5. 若向量(cos ,sin )a θθ=，(3,1)b =-，则2a b -的最大值为（ ）A ．4B ．22C ．2D ．26. 已知平面α、β和直线m ,给出条件:①//m α；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤//αβ.由这五个条件中的两个同时成立能推导出//m β的是( )A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤7. 若变量,x y 满足约束条件02143y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则35z x y =+的取值范围是( )A ．(],9-∞B ．[)3,+∞C ．[]8,9-D ．[]8,3- 8. 对任意实数,x y ,定义运算x y ax by cxy ⊗=++,其中,,a b c 是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知123⊗=,234⊗=,并且有一个非零常数m ,使得x ∀∈R ,都有x m x ⊗=,则34⊗的值是A. 4-B. 4C. 3-D. 3图 32 31 正视图侧视图图1 是否 1 , 2==S k开始 结束8<k输出S )1(log +⋅=k S S k1+=k k 图2二、填空题： (一)必做题(9～13题)9. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图1所示(均为 直角三角形)，则该三棱锥的俯视图的面积为 .10. 二项式532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_______.11．执行如图2的程序框图，输出的=S ． 12. 已知函数()cos ,01,0x x f x x ≥⎧=⎨<⎩,则()22d f x x π-⎰的值等于 .13. 已知ABC ∆的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,， 且26120c b B ===︒,,,则ABC ∆的面积等于________.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线1的方程是π2sin 42ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，直线2的方程是31x ky +=.如果直线1与2垂直，则常数k = ．15.(几何证明选讲选做题)如图3,在ABC ∆中,//DE BC ,//EF CD , 若3BC =,2DE =,1DF =,则AB 的长为________．图4PABCDEF三、解答题：16．(本题满分12分)设函数⎪⎭⎫⎝⎛π-+=2sin sin )(x x x f ωω,R ∈x ． (1) 若21＝ω,求)(x f 的最大值及相应的x 的取值集合； （2）若8π=x 是)(x f 的一个零点,且100<<ω,求ω的值和)(x f 的最小正周期.17．(本题满分12分) 某地为绿化环境，移栽了银杏树2棵，梧桐树3棵.它们移栽后的成活率分别为21,32，每棵树是否存活互不影响，在移栽的5棵树中： （1）求银杏树都成活且梧桐树成活2棵的概率； （2）求成活的棵树ξ的分布列与期望.18.(本题满分14分)如图4,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且22PA PD AD ==,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (1) 求证://EF 平面PAD ； (2) 求证:面PAB ⊥平面PDC ；(3) 在线段AB 上是否存在点G ,使得二面角C PD G --的余弦值为13?说明理由.19.(本题满分14分)设数{}n a 满足：123()n n a a a a n a n N *+++⋅⋅⋅+=-∈．(1)求证：数列{}1n a -是等比数列；(2)若(2)(1)n n b n a =--，且对任意的正整数n ，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围．20.(本题满分14分)已知定点()11,0F -,()21,0F ,动点(),P x y ,且满足1122,,PF F F PF 成等差数列.(1) 求点P 的轨迹1C 的方程；(2) 若曲线2C 的方程为()()22222x t y t t-+=+(202t <≤),过点()0,2-A 的直线l 与曲线2C 相切,求直线l 被曲线1C 截得的线段长的最小值.21.(本题满分14分) 已知函数)(x f 满足如下条件：当]1,1(-∈x 时，)1ln()(+=x x f ，且对任意R ∈x ，都有1)(2)2(+=+x f x f ．（1）求函数)(x f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程；（2）求当]12,12(+-∈k k x ，*N ∈k 时，函数)(x f 的解析式； （3）是否存在]12,12(+-∈k k x k ，2011210，，，， =k ，使得等式201724019)](2[201220110+⨯=-∑=k kk kx f x成立？若存在就求出kx （2011210，，，， =k ），若不存在，说明理由．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BABCADCD二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 9．1； 10．40； 11．3； 12．3； 13.32； 14．3-； 15.92三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．【解析】(1)x x x x x f ωωωωcos sin 2sin sin )(-=⎪⎭⎫⎝⎛π-+= 当21＝ω时,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42sin 22cos 2sin)(πx x x x f ＝－， 而142sin 1≤⎪⎭⎫⎝⎛π-≤-x ,所以)(x f 的最大值为2, 此时π+π=π-k x 2242,k ∈Z ,即π+π=k x 423,Z ∈k , ∴)(x f 取最大值2时相应的x 的集合为},423|{Z ∈π+π=k k x x （2）依题意048sin 8=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛πππωf ,即π=π-πk 48ω,Z ∈k , 整理,得28+=k ω,又100<<ω,所以10280<+<k ,141<<-k , 而Z ∈k ,所以0=k ,2=ω,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42sin 2)(x x f ,)(x f 的最小正周期为π.17.【解析】（1）设A 表示“银杏树都成活且梧桐树成活2棵”设(0,1,2)i A i =表示“银杏树成活i 棵”；01()9P A =；14()9P A =；24()9P A =(0,1,2,3)k B k=表示“梧桐树成活k 棵”；01()8P B =；13()8P B =；23()8P B =；31()8P B =2231()()()=186P A P A P B =⋅=（2）ξ可能的取值：0,1,2,3,4,5001(0)()()72P P A P B ξ===01107(1)()()()()72P P A P B P A P B ξ==+=；02112019(2)()()()()()()72P P A P B P A P B P A P B ξ==++=； 同理：25(3)72P ξ==；2(4)9P ξ==；1(5)18P ξ==；∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 4 5P 172 772 1972 2572 29 118∴176E ξ=18.【解析】(1)证明:连结AC ，由正方形性质可知, AC 与BD 相交于BD 的中点F ,F 也为AC 中点,E 为PC 中点.所以在CPA ∆中,EF //PA又PA ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD , 所以//EF 平面PAD(2)证明:因为平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD面ABCD AD =ABCD 为正方形,CD AD ⊥,CD ⊂平面ABCD ,所以CD ⊥平面PAD .又PA ⊂平面PAD ,所以CD PA ⊥.又22PA PD AD ==,所以PAD ∆是等腰直角三角形,且2APD π∠=,即PA PD ⊥.又CD PD D =,且CD 、PD ⊂面PDC ,所以PA ⊥面PDC .又PA ⊂面PAB , 所以面PAB ⊥面PDC(3) 取AD 的中点O ,连结OP ,OF ,因为PA PD =,所以PO AD ⊥. 又侧面PAD ⊥底面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD=, 所以PO ⊥平面ABCD, 而,O F 分别为,AD BD 的中点,所以//OF AB ,又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥, 以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz -,则有(1,0,0)A ,()1,2,0C -,(0,1,0)F ,(1,0,0)D -,(0,0,1)P , 若在AB 上存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为13,连结,P G D G ,设(1,,0)(02)G a a ≤≤,则(1,0,1),(2,,0)DP GD a ==--,由(Ⅱ)知平面PDC 的法向量为(1,0,1)PA =-,设平面PGD 的法向量为(,,)n x y z =.则00n DP n GD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即020x z x ay +=⎧⎨--=⎩,解得22a z y a x y⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩令2y =-,得(),2,n a a =--, 所以221cos ,3242n PA an PA n PAa ⋅<>===⨯+,解得12a =(舍去12-).所以,线段AB 上存在点11,,02G ⎛⎫⎪⎝⎭(14AG AB =),使得二面角C PD G --的余弦值为13.19.【解析】20.【解析】(1)由()11,0F -,()21,0F ,421=+PF PF 12F F > 根据椭圆定义知P 的轨迹为以21,F F 为焦点的椭圆,其长轴42=a ,焦距22=c ,短半轴322=-=c a b ,故1C 的方程为13422=+y x .(2)过点()0,2-A 与X 轴垂直的直线不与圆2C 相切，故可设l :()2y k x =+,由直线l 与曲线2C 相切得()()2122+=++t t k t k ,化简得⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+=220,12，t k kt由22021k t k <=≤+,解得201k <≤ 联立()⎪⎩⎪⎨⎧=++=134222yx x k y ,消去y 整理得()0121616342222=-+++k x k x k , 直线l 被曲线1C 截得的线段一端点为()0,2-A ,设另一端点为B ,解方程可得()22224312,4343k k B k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭,有()2222222243121212434343k k k AB k k k ⎛⎫--+⎛⎫ ⎪=++= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 令n k =+12,则21212,(1,2]1414n AB n n n n==∈--,考查函数n n y 14-=的性质知nn y 14-=在区间(1,2]上是增函数, 所以2n =时,nn y 14-=取最大值722,从而min 121227722AB ==.21.【解析】解：（1）]1,1(-∈x 时，)1ln()(+=x x f ，11)(+='x x f ， 所以，函数)(x f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程为)0)(0()0(-'=-x f f y ，即x y =．（2）因为1)(2)2(+=+x f x f ，所以，当]12,12(+-∈k k x ，*N ∈k 时，]1,1(2-∈-k x ，1)2(2)(+-=x f x f 12)4(22++-=x f 122)6(223+++-=x f=1222)2(221+++++-=-- k k k k x f 12)12ln(2-++-=k k k x ．（3）考虑函数)(2)(x f x x g k-=，]12,12(+-∈k k x ，N ∈k ，则12)2(21222)(+--=+--='k x k x k x x g k k k，当k x k 212<<-时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减； 当k x 2=时，0)(='x g ；当122+<<k x k 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；所以，当]12,12(+-∈k k x ，N ∈k 时，12)12()2()(+-=≥kk k g x g ， 当且仅当k x 2=时，12)12()2()(+-==kk k g x g ．所以，]12)12[()()](2[2011201102011+-≥=-∑∑∑===k k k k k kk kk x g x f x而n n k n nk k+-++⋅+⋅=+-∑=2)12(2321]12)12[(210，令n n n S 2)12(232121-++⋅+⋅= ，则1322)12(23212+-++⋅+⋅=n n n S ， 两式相减得，13212)12(22222221+--⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n S62)32(2)12(12)12(222111121---=----⋅+⋅=++-n n n n n ．所以，62)32(1+-=+n n n S ，故2017240192011]12)12[(201220112011+⋅=+=+-∑=S k k k．所以，20172401912)12[()()](2[120110201102011+⋅=+-≥=-+===∑∑∑n k k k k k kk kk x g x f x．当且仅当k x k 2=2011,,2,1,0, =k 时，20172401912)12[()()](2[120112011020110+⋅=+-==-+===∑∑∑n k k k k k kk kk x g x f x．所以，存在唯一一组实数k x k 2=，2011,,2,1,0 =k ，使得等式201724019)](2[12011+⋅=-+=∑n k kk kx f x成立.。