2019届高考数学(文科)江苏版：第2章 基本初等函数、导数的应用 8 第8讲分层演练直击高考含解析

1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．[解析] 由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )<0，即3(x －11)(x ＋1)<0， 解得－1<x <11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1，11)． [答案] (－1，11)2．(2018·苏中八校学情调查)函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________． [解析] 函数的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1，所以单调递减区间是(0，1)．[答案] (0，1)3．(2018·长春调研)已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的________条件．[解析] f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．[答案] 充分不必要4．(2018·郑州第一次质量预测)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜1的解集是________．[解析] 依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3，5)．[答案] (－3，5)5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________．[解析] 设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.[答案] －2或26．若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1，4]上单调递减，则实数a 的值为________．[解析] 因为f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，所以f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在[－1，4]上单调递减， 所以－1，4是f ′(x )＝0的两根， 所以a ＝(－1)×4＝－4. [答案] －47．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．[解析] 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－（x －1）（x －3）x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1，3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. [答案] (0，1)∪(2，3)8.如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断： ①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号)[解析] ①因为f ′(x )在[－2，－1]上是小于等于0的， 所以f (x )在[－2，－1]上是减函数；②因为f ′(－1)＝0且在x ＝－1两侧的导数值为左负右正， 所以x ＝－1是f (x )的极小值点； ③对，④不对，由于f ′(3)≠0. [答案] ②③9．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．[解析] 因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0，3]上f (x )是减函数，所以a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2. [答案] 1<a ≤210．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x(x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2(x >0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0，5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0，5)． 11．(2018·沈阳质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m （x －1）x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．[解] (1)由已知得f ′(x )＝1x ，所以f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又因为g (1)＝0＝12a ＋b ，所以b ＝－1，所以g (x )＝x －1.(2)因为φ(x )＝m （x －1）x ＋1－f (x )＝m （x －1）x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．所以φ′(x )＝－x 2＋（2m －2）x －1x （x ＋1）2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，因为x ＋1x ∈[2，＋∞)，所以2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]．1．已知函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0且a ≠1)，如果函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内单调递增，那么a 的取值范围是________．[解析] 由题意可知x 3－ax >0，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0恒成立，所以a >(x 2)max ，即a ≥14.当14≤a <1时，函数y ＝x 3－ax ，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0递减，y ′＝3x 2－a ≤0，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0恒成立，所以a ≥(3x 2)max ，故34≤a <1；当a >1时，函数y ＝x 3－ax ，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0递增，y ′＝3x 2－a ≥0，x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0恒成立，所以a ≤(3x 2)min ，a ≤0，舍去，综上a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，1.[答案] ⎣⎡⎭⎫34，12．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )＜12，则f (x )＜x 2＋12的解集为________．[解析] 设F (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫x 2＋12，则F (1)＝f (1)－⎝⎛⎭⎫12＋12＝1－1＝0， F ′(x )＝f ′(x )－12，对任意x ∈R ，有F ′(x )＝f ′(x )－12＜0，即函数F (x )在R 上单调递减，则F (x )＜0的解集为(1，＋∞)，即f (x )＜x 2＋12的解集为(1，＋∞)．[答案] (1，＋∞)3．(2018·江苏省盐城中学开学考试)已知R 上的可导函数f (x )的导函数f ′(x )满足：f ′(x )＋f (x )>0，且f (1)＝1，则不等式f (x )>1ex －1的解集是________．[解析] 令g (x )＝e x f (x )，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )>0，所以函数g (x )是R 上的增函数，又不等式f (x )>1e x －1等价于e x f (x )>e ＝e 1f (1)，即g (x )>g (1)，从而有x >1，所以不等式f (x )>1e x －1的解集为(1，＋∞)．[答案] (1，＋∞)4．(2018·辽宁省五校协作体联考改编)已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为 y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f （x ）x >0，若a ＝12f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝⎝⎛⎭⎫ln 12·f ⎝⎛⎭⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系为________．[解析] 当x ≠0时，f ′(x )＋f （x ）x >0，即xf ′（x ）＋f （x ）x >0.当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0. 设g (x )＝xf (x )，则g (x )为偶函数且g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )．显然当x >0时，g ′(x )>0，即此时函数g (x )单调递增．a ＝g ⎝⎛⎭⎫12，b ＝g (－2)＝g (2)，c ＝g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝g (ln 2)，又因为2>ln 2>12>0，所以a <c <b . [答案] a <c <b5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )．设a ≥0，求f (x )的单调区间． [解] 由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)， 得f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x .(1)当a ＝0时，f ′(x )＝bx －1x. ①若b ≤0，当x >0时，f ′(x )<0恒成立， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．②若b >0，当0<x <1b 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >1b 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. (2)当a >0时，令f ′(x )＝0，得2ax 2＋bx －1＝0. 由Δ＝b 2＋8a >0，得x 1＝－b －b 2＋8a4a，x 2＝－b ＋b 2＋8a4a.显然x 1<0，x 2>0.当0<x <x 2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x >x 2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.综上所述，当a ＝0，b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)； 当a ＝0，b >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ， 单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞；当a >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋ b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.6．已知函数f (x )＝x 2＋b sin x －2(b ∈R )，F (x )＝f (x )＋2，且对于任意实数x ，恒有F (x )－F (－x )＝0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知函数g (x )＝f (x )＋2(x ＋1)＋a ln x 在区间(0，1)上单调递减，求实数a 的取值范围． [解] (1)F (x )＝f (x )＋2＝x 2＋b sin x －2＋2＝x 2＋b sin x ， 依题意，对任意实数x ，恒有F (x )－F (－x )＝0， 即x 2＋b sin x －(－x )2－b sin(－x )＝0对∀x ∈R 恒成立， 即2b sin x ＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝x 2－2. (2)因为g (x )＝x 2－2＋2(x ＋1)＋a ln x ， 所以g (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ， g ′(x )＝2x ＋2＋ax.因为函数g (x )在(0，1)上单调递减，所以在区间(0，1)内，g ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋ax≤0恒成立，所以a ≤－(2x 2＋2x )在(0，1)上恒成立．因为y＝－(2x2＋2x)在(0，1)上单调递减，所以a≤－4为所求．。

1.在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式x ·f ′(x )<0的解集为________．[解析] 由f (x )的图象知，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0，所以x ·f ′(x )<0的解集是(－∞，－1)∪(0，1)． [答案] (－∞，－1)∪(0，1)2．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件．[解析] 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大． [答案] 33．若f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫π2，f (2)的大小关系为________． [解析] 由f (－x )＝f (x )知函数f (x )为偶函数， 因此f (－3)＝f (3)．又f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (2)＞f (3)＝f (－3)． [答案] f (－3)＜f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫π24．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． [解析] 由于函数f (x )是连续的，故只需要两个极值异号即可．f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，得x ＝±1，只需f (－1)·f (1)<0，即(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2，2)．[答案] (－2，2)5．若f (x )＝ln xx ，0<a <b <e ，则f (a )、f (b )的大小关系为________．[解析] f ′(x )＝1－ln xx 2， 当x ∈(0，e)时，1－ln xx 2>0，即f ′(x )>0，所以f (x )在(0，e)上为增函数， 又因为0<a <b <e ，所以f (a )<f (b )． [答案] f (a )<f (b )6．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时，t 的值为________．[解析] |MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x ＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22. [答案]227．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．[解析] 因为y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. 所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2. 所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. [答案] 48．(2018·北京海淀区模拟)若函数f (x )满足：“对于区间(1，2)上的任意实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)|＜|x 2－x 1|恒成立”，则称f (x )为完美函数．给出以下四个函数：①f (x )＝1x ；②f (x )＝|x |；③f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ；④f (x )＝x 2.其中是完美函数的序号是________．[解析] 由|f (x 2)－f (x 1)|＜|x 2－x 1|知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜1，即|f ′(x )|＜1. 经验证①③符合题意． [答案] ①③9．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．[解析] 在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x >0时，f (x )<0，所以0<x <1；当x <0时，图象关于y 轴对称，f (x )>0，所以x <－1.[答案] (－∞，－1)∪(0，1)10．若log 0.5x ＋1x －1>log 0.5m（x －1）2（7－x ）对任意x ∈[2，4]恒成立，则m 的取值范围为________．[解析] 以0.5为底的对数函数为减函数，所以得真数关系为x ＋1x －1<m（x －1）2（7－x ），所以m >－x 3＋7x 2＋x －7，令f (x )＝－x 3＋7x 2＋x －7，则f ′(x )＝－3x 2＋14x ＋1，因为f ′(2)>0且f ′(4)>0，所以f ′(x )>0在[2，4]上恒成立，即在[2，4]上函数f (x )为增函数，所以f (x )的最大值为f (4)＝45，因此m >45.[答案] (45，＋∞)11．(2018·泰州期中考试)已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x >1时，f (x )<x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )>k (x －1)． [解] (1)函数的定义域为(0，＋∞)，对函数求导，得f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x .由f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x ＋1x >0，解得0<x <1＋52，故f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.(2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(1，＋∞)， 则有F ′(x )＝1－x 2x，当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递减． 故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即x >1时，f (x )<x －1. (3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0>1满足题意； 当k >1时，对于x >1，有f (x )<x －1<k (x －1)， 则f (x )<k (x －1)，从而不存在x 0>1满足题意； 当k <1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(1，＋∞)， 则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋（1－k ）x ＋1x ，由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k －（1－k ）2＋42<0，x 2＝1－k ＋（1－k ）2＋42>1，所以当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )>0，故G (x )在(1，x 2)内单调递增， 从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )>G (1)＝0，即f (x )>k (x －1)， 综上，k 的取值范围是k <1.12．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))如图，两居民小区A 和B 相距20 km ，现计划在两居民小区外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建信号发射塔，其对小区的影响度与所选地点到小区的距离有关，对小区A 和小区B 的总影响度为小区A 与小区B 的影响度之和，记点C 到小区A 的距离为x km ，建在C 处的信号发射塔对小区A 和小区B 的总影响度为y ，统计调查表明：信号发射塔对小区A 的影响度与所选地点到小区A 的距离的平方成反比，比例系数为k ；对小区B 的影响度与所选地点到小区B 的距离的平方成反比，比例系数为9.当信号发射塔建在半圆弧AB 的中点时，对小区A 和小区B 的总影响度为0.065.(1)将y 表示成x 的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断半圆弧AB 上是否存在一点，使建在此处的信号发射塔对小区A 和小区B 的总影响度最小？若存在，求出该点到小区A 的距离；若不存在，请说明理由．[解] (1)由题意知AC ⊥BC ，BC 2＝400－x 2， y ＝k x 2＋9400－x 2(0<x <20)， 其中当x ＝102时，y ＝0.065，所以k ＝4. 所以y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)．(2)因为y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)，所以y ′＝－8x 3－9×（－2x ）（400－x 2）2＝18x 4－8（400－x 2）2x 3（400－x 2）2，令y ′＝0得18x 4＝8(400－x 2)2， 所以x 2＝160，即x ＝410，当0<x <410时，18x 4<8(400－x 2)2，即y ′<0， 所以函数y ＝4x 2＋9400－x 2为单调递减函数，当410<x <20时，18x 4>8(400－x 2)2，即y ′>0，所以函数y ＝4x 2＋9400－x 2为单调递增函数．所以当x ＝410时，即当点C 到小区A 的距离为410 km 时，函数y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)有最小值，即信号发射塔对小区A 和小区B 的总影响度最小．1．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．[解析] 设商场销售该商品所获利润为y 元，则 y ＝(p －20)Q ＝(p －20)(8 300－170p －p 2) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)， 则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0， 解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30时又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值． 所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元． [答案] 30 23 0002．(2018·南京、盐城高三模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba的最小值为________．解析：由不等式f (x )≤0恒成立可得f (x )max ≤0.f ′(x )＝1x ＋e －a ，x ＞0，当e －a ≥0，即a ≤e 时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且x 趋近于＋∞，f (x )趋近于＋∞，此时f (x )≤0不可能恒成立；当e －a ＜0，即a ＞e 时，由f ′(x )＝0得x ＝1a －e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a －e 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a －e ，＋∞时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，此时f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a －e ＝－ln(a －e)－1－b ≤0，则b ≥－ln(a －e)－1，又a ＞e ，所以b a ≥－ln （a －e ）－1a，a ＞e ，令a －e ＝t ＞0，则b a ≥－ln t －1t ＋e ，t ＞0.令g (t )＝－ln t －1t ＋e ，t ＞0，则g ′(t )＝ln t －e t （t ＋e ）2，由g ′(t )＝0得t ＝e ，且当t ∈(0，e)时，g ′(t )＜0，g (t )单调递减，当t ∈(e ，＋∞)时，g ′(t )＞0，g (t )单调递增，所以g (t )min ＝g (e)＝－1e ，即b a ≥－ln t －1t ＋e≥－1e ，故b a 的最小值为－1e .答案：－1e3．(2018·南京、盐城模拟)已知函数f (x )满足：①f (x )＝2f (x ＋2)，x ∈R ；②f (x )＝ln x ＋ax ，x ∈(0，2)；③f (x )在(－4，－2)内能取到最大值－4.(1)求实数a 的值；(2)设函数g (x )＝13bx 3－bx ，若对任意的x 1∈(1，2)总存在x 2∈(1，2)使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数b 的取值范围．[解] (1)当x ∈(－4，－2)时，有x ＋4∈(0，2)， 由条件②得f (x ＋4)＝ln(x ＋4)＋a (x ＋4)，再由条件①得f (x )＝2f (x ＋2)＝4f (x ＋4)＝4ln(x ＋4)＋4a (x ＋4)． 故f ′(x )＝4x ＋4＋4a ，x ∈(－4，－2)．由③，f (x )在(－4，－2)内有最大值，方程f ′(x )＝0，即4x ＋4＋4a ＝0在(－4，－2)内必有解，故a ≠0，且解为x ＝－1a－4.又最大值为－4，所以f (x )max ＝f (－1a －4)＝4ln(－1a )＋4a ·(－1a )＝－4，即ln(－1a )＝0，所以a ＝－1.(2)设f (x )在(1，2)内的值域为A ，g (x )在(1，2)内的值域为B ， 由条件可知A ⊆B .由(1)知，当x ∈(1，2)时，f (x )＝ln x －x ，f ′(x )＝1x －1＝1－x x <0，故f (x )在(1，2)内为减函数，所以A ＝(f (2)，f (1))＝(ln 2－2，－1)． 对g (x )求导得g ′(x )＝bx 2－b ＝b (x －1)(x ＋1)．若b <0，则当x ∈(1，2)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数， 所以B ＝(g (2)，g (1))＝(23b ，－23b )．由A ⊆B ，得23b ≤ln 2－2且－23b ≥－1，故必有b ≤32ln 2－3.若b >0，则当x ∈(1，2)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，所以B ＝(g (1)，g (2))＝(－23b ，23b )．由A ⊆B ，得－23b ≤ln 2－2且23b ≥－1，故必有b ≥3－32ln 2.若b ＝0，则B ＝{0}，此时A ⊆B 不成立．综上可知，b 的取值范围是(－∞，32ln 2－3]∪[3－32ln 2，＋∞)．4．(2018·江苏省扬州中学月考)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝m （x ＋n ）x ＋1(m >0)．(1)当m ＝1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝1处的切线互相垂直，求n 的值； (2)若函数y ＝f (x )－g (x )在定义域内不单调，求m －n 的取值范围；(3)是否存在实数a ，使得f ⎝⎛⎭⎫2a x ·f (e ax )＋f ⎝⎛⎭⎫x 2a ≤0对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由．[解] (1)当m ＝1时，g ′(x )＝1－n （x ＋1）2，所以y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为1－n4， 由f ′(x )＝1x ，所以y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为1，所以1－n 4·1＝－1，所以n ＝5.(2)易知函数y ＝f (x )－g (x )的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝f ′(x )－g ′(x )＝1x －m （1－n ）（x ＋1）2＝x 2＋[2－m （1－n ）]x ＋1x （x ＋1）2＝x ＋2－m （1－n ）＋1x （x ＋1）2， 由题意，得x ＋2－m (1－n )＋1x 的最小值为负，所以m (1－n )>4(注：结合函数y ＝x 2＋[2－m (1－n )]x ＋1图象同样可以得到)，所以[m ＋（1－n ）]24≥m (1－n )>4，所以m ＋(1－n )>4，所以m －n >3.(3)令θ(x )＝f ⎝⎛⎭⎫2a x ·f (e ax )＋f ⎝⎛⎭⎫x 2a ＝ax ·ln 2a －ax ·ln x ＋ln x －ln 2a ，其中x >0，a >0， 则θ′(x )＝a ·ln 2a －a ln x －a ＋1x ，设δ(x )＝a ·ln 2a －a ln x －a ＋1x，δ′(x )＝－a x －1x 2＝－ax ＋1x 2<0，所以δ(x )在(0，＋∞)单调递减，δ(x )＝0在区间(0，＋∞)必存在实根，不妨设δ(x 0)＝0， 即δ(x 0)＝a ·ln 2a －a ln x 0－a ＋1x 0＝0，可得ln x 0＝1ax 0＋ln 2a －1，(*)θ(x )在区间(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，所以θ(x )max ＝θ(x 0)， θ(x 0)＝(ax 0－1)·ln 2a －(ax 0－1)·ln x 0，将(*)式代入得θ(x 0)＝ax 0＋1ax 0－2，根据题意θ(x 0)＝ax 0＋1ax 0－2≤0恒成立．又根据基本不等式，ax 0＋1ax 0≥2，当且仅当ax 0＝1ax 0时，等式成立，所以ax 0＋1ax 0＝2，ax 0＝1所以x 0＝1a .代入(*)式得，ln 1a ＝ln 2a ，即1a ＝2a ，a ＝.。

1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为________． [解析] f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)． [答案] 3(x 2－a 2)2．(2018·南通市高三第一次调研测试)已知两曲线f (x )＝2sin x ，g (x )＝a cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2相交于点P .若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．解析：设点P 的横坐标为x 0，则2sin x 0＝a cos x 0，(2cos x 0)(－a sin x 0)＝－1，所以4sin 2x 0＝1.因为x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin x 0＝12，cos x 0＝32，所以a ＝233.答案：2333．已知f (x )＝x (2 015＋ln x )，f ′(x 0)＝2 016，则x 0＝________．[解析] 由题意可知f ′(x )＝2 015＋ln x ＋x ·1x ＝2 016＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 016，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.[答案] 14.已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2，0)，所以切线方程为x －y －2＝0. 答案：x －y －2＝05．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________． 解析：因为f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. 所以f ′(x )＝2x －4.所以f ′(0)＝－4. 答案：－46．若以曲线y ＝13x 3＋bx 2＋4x ＋c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b 的取值范围为________．解析：y ′＝x 2＋2bx ＋4，因为y ′≥0恒成立，所以Δ＝4b 2－16≤0，所以－2≤b ≤2. 答案：[－2，2]7．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________．解析：因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f ′(x )＝－sin x －cos x ， 故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.答案：－ 28．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2，8)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意知，A (2，8)在y ＝x n 上，所以2n ＝8，所以n ＝3，所以y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2，8)．所以y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.答案：12x －y －16＝09．(2018·江苏省四星级学校联考)已知函数f (x )＝e x ＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)的导函数f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )在(x 0，f (x 0))处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则x 0＝________．解析：由题意知f ′(x )＝e x －a ·e －x ，因为f ′(x )为奇函数，所以f ′(0)＝1－a ＝0，所以a ＝1，故f ′(x )＝e x －e －x .因为曲线y ＝f (x )在(x 0，f (x 0))处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，所以f ′(x 0)＝e x 0－e －x 0＝22，解得e x 0＝2，所以x 0＝ln 2＝ln 22. 答案：ln 2210．求下列函数的导数． (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；(2)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (3)y ＝3x e x －2x ＋e.解：(1)因为y ＝6x 3－4x 2＋9x －6，所以y ′＝18x 2－8x ＋9. (2)因为y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12－x 12，所以y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2x ln 2.11．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．解：(1)由f (x )＝x 3－3x ，得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，所以所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20－3.又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－（－2）x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，又x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3×⎝⎛⎭⎫14－1＝－94， 所以y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.1．已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________．解析：f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′， 所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 答案：－1202．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝1x，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2. 答案：－23．设P 是函数y ＝x (x ＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．解析：因为y ′＝12x －12 (x ＋1)＋x ＝3x 2＋12x ≥234＝3，设点P (x ，y )(x >0)， 则在点P 处的切线的斜率k ≥3， 所以tan θ≥3，又θ∈[0，π)，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2.答案：⎣⎡⎭⎫π3，π24．记定义在R 上的函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )．如果存在x 0∈[a ，b ]，使得f (b )－f (a )＝f ′(x 0)(b －a )成立，则称x 0为函数f (x )在区间[a ，b ]上的“中值点”，那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为________．解析：f (2)＝2，f (－2)＝－2，f （2）－f （－2）2－（－2）＝1，由f ′(x )＝3x 2－3＝1，得x ＝±233∈[－2，2]，故有2个．答案：25．(2018·临沂模拟)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，f ′(－1)＝0， 即3a －6－6a ＝0， 所以a ＝－2.(2)存在．因为直线m 恒过定点(0，9)，直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)，因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将点(0，9)代入，得x 0＝±1，当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9.由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1或x＝2，当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9.所以公切线是y＝9.又令f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，所以x＝0或x＝1.当x＝0时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以公切线不是y＝12x＋9.综上所述，公切线是y＝9，此时k＝0.。

1．函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________． [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0，得x ≥4且x ≠5. [答案] {x |x ≥4，且x ≠5}2．若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________． [解析] 因为x 有意义，所以x ≥0. 又y ＝x 2＋3x －5＝⎝⎛⎭⎫x ＋322－94－5， 所以当x ＝0时，y min ＝－5. [答案] [－5，＋∞)3．函数y ＝1x 2＋2的值域为________．[解析] 因为x 2＋2≥2，所以0<1x 2＋2≤12.所以0<y ≤12.[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |0<y ≤124．(2018·南京四校第一学期联考)函数f (x )＝x 2－5x ＋6lg （2x －3）的定义域为________．解析：要使f (x )有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0lg （2x －3）≠0x 2－5x ＋6≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32x ≠2x ≥3或x ≤2，所以函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫32，2∪[3，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫32，2∪[3，＋∞)5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2 014]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是________．[解析] 令t ＝x ＋1，则由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0，2 014]可知，0≤t ≤2 014，故要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 014，解得－1≤x ≤2 013，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 013]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 013，x －1≠0，解得－1≤x <1或1<x ≤2 013.故函数g (x )的定义域为[－1，1)∪(1，2 013]． [答案] [－1，1)∪(1，2 013]6．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________． [解析] y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 即y max ＝14.[答案] 147．(2018·南昌模拟)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________．[解析] 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]，当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]．故当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]．[答案] [－4，6]8．已知集合A 是函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1x 的定义域，集合B 是其值域，则A ∪B 的子集的个数为________．[解析] 要使函数f (x )的解析式有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0，x ≠0，解得x ＝1或x ＝－1，所以函数的定义域A ＝{－1，1}．而f (1)＝f (－1)＝0，故函数的值域B ＝{0}，所以A ∪B ＝{1，－1，0}，其子集的个数为23＝8.[答案] 89．已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________．[解析] 由二次函数的值域是[0，＋∞)，可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有a ＞0，4ac －14a ＝0，从而c ＝14a ＞0.又c ＋2a ＋a ＋2c＝⎝⎛⎭⎫2a ＋8a ＋⎝⎛⎭⎫14a 2＋4a 2≥2×4＋2＝10，当且仅当⎩⎨⎧2a＝8a ，14a 2＝4a 2，即a ＝12时取等号，故所求的最小值为10.[答案] 1010．函数y ＝2x －1－13－4x 的值域为________． [解析] 法一：(换元法)设13－4x ＝t ，则t ≥0，x ＝13－t 24，于是y ＝g (t )＝2·13－t 24－1－t＝－12t 2－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6，显然函数g (t )在[0，＋∞)上是单调递减函数， 所以g (t )≤g (0)＝112，因此函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112. 法二：(单调性法)函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤134，当自变量x 增大时，2x －1增大，13－4x 减小，所以2x －1－13－4x 增大，因此函数f (x )＝2x －1－13－4x 在其定义域上是单调递增函数，所以当x ＝134时，函数取得最大值f ⎝⎛⎭⎫134＝112， 故函数的值域是⎝⎛⎦⎤－∞，112.[答案] ⎝⎛⎦⎤－∞，112 11. (1)求函数f (x )＝lg （x 2－2x ）9－x 2的定义域．(2)已知函数f (2x )的定义域是[－1，1]，求f (x )的定义域．[解] (1)要使该函数有意义，需要⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x >0，9－x 2>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >2，－3<x <3，解得－3<x <0或2<x <3， 所以所求函数的定义域为(－3，0)∪(2，3)． (2)因为f (2x )的定义域为[－1，1]， 即－1≤x ≤1，所以12≤2x ≤2，故f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤12，2. 12．已知函数g (x )＝x ＋1, h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．[解] (1)f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a >0)．(2)函数f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎡⎦⎤1，32， f (x )＝F (t )＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2，当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎡⎦⎤1，32，又t ∈⎣⎡⎦⎤1，32时，t ＋4t 单调递减，F (t )单调递增，F (t )∈⎣⎡⎦⎤13，613. 即函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤13，613.1．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，则a ＝________，b ＝________．[解析] 因为f (x )＝12(x －1)2＋a －12，所以其对称轴为x ＝1.即[1，b ]为f (x )的单调递增区间． 所以f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.[答案] 3232．(2018·徐州质检)已知一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1，4}，这样的函数有________个．[解析] 列举法：定义域可能是{1，2}、{－1，2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2，2}、{－1，－2，2}、{－1，1，2}、{－1，1，－2}、{－1，1，－2，2}．[答案] 93．已知函数f (x )＝log 13(－|x |＋3)的定义域是[a ，b ](a 、b ∈Z )，值域是[－1，0]，则满足条件的整数对(a ，b )有________对．[解析] 由f (x )＝log 13(－|x |＋3)的值域是[－1，0]，易知t (x )＝|x |的值域是[0，2]，因为定义域是[a ，b ](a 、b ∈Z )，所以符合条件的(a ，b )有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5对．[答案] 54．(2018·常州调研)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x <g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f (x )的值域是________．[解析] 令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2；令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ⎝⎛⎭⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0，故函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞)．[答案] ⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 5．若函数f (x )＝ （a 2－1）x 2＋（a －1）x ＋2a ＋1的定义域为R ，求实数a 的取值范围．[解] 由函数的定义域为R ，可知对x ∈R ，f (x )恒有意义，即对x ∈R ，(a 2－1)x 2＋(a －1)x ＋2a ＋1≥0恒成立． ①当a 2－1＝0，即a ＝1(a ＝－1舍去)时，有1≥0，对x ∈R 恒成立，故a ＝1符合题意； ②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，则有⎩⎨⎧a 2－1>0，Δ＝（a －1）2－4（a 2－1）×2a ＋1≤0，解得1<a ≤9.综上，可得实数a 的取值范围是[1，9]．6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 为常数，且a ≠0)满足条件：f (x －1)＝f (3－x )，且方程f (x )＝2x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m ＜n )，使f (x )定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m ，4n ]？如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由．[解] (1) f (x )＝－x 2＋2x .(2)由f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，知f (x )max ＝1，所以4n ≤1，即n ≤14＜1.故f (x )在[m ，n ]上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝4m ，f （n ）＝4n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n＝0，满足条件．7．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． [解] (1)因为函数的值域为[0，＋∞)， 所以Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0 ⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)因为对一切x ∈R 函数值均为非负数， 所以Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.所以a ＋3>0.所以g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32. 因为二次函数g (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减， 所以g ⎝⎛⎭⎫32≤g (a )≤g (－1)， 即－194≤g (a )≤4.所以g (a )的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4.。

1．函数f(x)＝x e－x，x∈[0，4]的最大值为________．[解析] f′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令f′(x)＝0，得x＝1.又f(0)＝0，f(4)＝4e4，f(1)＝e－1＝1e，所以f(1)为最大值．[答案] 1 e2．函数f(x)＝(2x－x2)e x的极大值为________．[解析] f′(x)＝(2－2x)e x＋(2x－x2)e x＝(2－x2)e x，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝ 2.由f′(x)<0，得x<－2或x> 2.由f′(x)>0，得－2<x< 2.所以f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数，在(－2，2)上是增函数．所以f(x)极大值＝f(2)＝(22－2)e2.[答案] (22－2)e23．已知函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是________．[解析] f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，显然a>0，f′(x)＝3(x＋a)(x－a)，由已知条件0<a<1，解得0<a<1.[答案] (0，1)4．设a∈R，若函数f(x)＝e x＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围是________．[解析] f′(x)＝e x＋a＝0，则e x＝－a，x＝ln(－a)．因为函数f(x)有大于零的极值点，所以ln(－a)＞0，所以－a>1，即a<－1.[答案] (－∞，－1)5．若函数f(x)＝xx2＋a(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为________．[解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2（x 2＋a ）2＝a －x 2（x 2＋a ）2，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ＜－a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ＝a 时，f (x )取到极大值，令f (a )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意． 所以f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1. [答案] 3－16．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1，2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围为________．[解析] f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0， 解得x ＝1或x ＝－23，又f (1)＝72，f ⎝⎛⎭⎫－23＝15727，f (－1)＝112，f (2)＝7， 故f (x )min ＝72，所以a <72.[答案] ⎝⎛⎭⎫－∞，72 7．(2018·荆门三校联考改编)若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(a －1，a ＋1)内存在极值，则实数a 的取值范围是________．[解析] 根据题意，f ′(x )＝2x －12x＝4⎝⎛⎭⎫x ＋12⎝⎛⎭⎫x －122x，所以函数有一个极值点12，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≥0，a －1<12<a ＋1，解得1≤a <32，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，32. [答案] ⎣⎡⎭⎫1，32 8．(2018·苏锡常镇四市调研)若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的最大值为________．[解析] 因为f (x )＝x 2－e x －ax ，所以f ′(x )＝2x －e x －a ，由题意f ′(x )＝2x －e x －a ≥0有解，即a ≤－e x ＋2x 有解，令g (x )＝－e x ＋2x ，g ′(x )＝－e x ＋2＝0，x ＝ln 2，g ′(x )＝－e x ＋2>0，即x <ln 2时，该函数单调递增； g ′(x )＝－e x ＋2<0，即x >ln 2时，该函数单调递减， 所以，当x ＝ln 2，g (x )取得最大值2ln 2－2， 所以a ≤2ln 2－2. [答案] 2ln 2－29．若函数f (x )＝x ln x －a2x 2－x ＋1有两个极值点，则a 的取值范围为________．解析：因为f (x )＝x ln x －a2x 2－x ＋1(x >0)，所以f ′(x )＝ln x －ax ，f ″(x )＝1x －a ＝0，得一阶导函数有极大值点x ＝1a，由于x →0时f ′(x )→－∞；当x →＋∞时，f ′(x )→－∞， 因此原函数要有两个极值点， 只要f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －1>0， 解得0<a <1e .答案：⎝⎛⎭⎫0，1e 10．已知函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是________．[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1，1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3，2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3，2]上，f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.[答案] 2011．(2018·南通模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数)． (1)当a ＝5时，求函数y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值． 解：(1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2＋5x －3)·e x ，g(1)＝e，所以g′(x)＝(－x2＋3x＋2)·e x，故切线的斜率为g′(1)＝4e.所以切线的方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4e x－3e.(2)f′(x)＝ln x＋1.x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：①当t≥1e时，在区间[t，t＋2]上f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(t)＝t ln t；②当0<t<1e 时，在区间⎣⎡⎭⎫t，1e上f(x)为减函数，在区间⎝⎛⎦⎤1e，t＋2上f(x)为增函数，所以f(x)min＝f⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e.12．已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．[解] (1)由f(x)＝x－1＋ae x，得f′(x)＝1－ae x.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－ae＝0，解得a＝e.(2)f′(x)＝1－ae x，①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a>0时，令f′(x)＝0，得e x＝a，即x＝ln a.x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值， 且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．1．设函数f (x )＝kx 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0成立，则实数k 的值为________．[解析] 若x ＝0，则不论k 取何值，f (x )≥0都成立； 当x >0，即x ∈(0，1]时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增， 在区间⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而k ≥4； 当x <0即x ∈[－1，0)时，f (x )＝kx 3－3x ＋1≥0可化为k ≤3x 2－1x 3，g (x )＝3x 2－1x 3在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而k ≤4，综上k ＝4. [答案] 42．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎫a >12，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________．[解析] 因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(0，2)上的最大值为－1.当x ∈(0，2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，所以0<1a<2.当x <1a 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增； 当x >1a 时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，2上单调递减， 所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a ·1a ＝－1，解得a ＝1. [答案] 13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若f (x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为________．[解析] 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，函数f (x )的两个极值点为x 1，x 2，则f ′(x 1)＝0，f ′(x 2)＝0，所以x 1，x 2是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，所以解关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0，得f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.由上述可知函数f (x )在区间(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在区间(x 1，x 2)上单调递减，又f (x 1)＝x 1<x 2，如图所示，由数形结合可知f (x )＝x 1时有两个不同的实根，f (x )＝x 2时有一个实根，所以不同实根的个数为3.[答案] 34．(2018·河北省定州中学月考)设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．[解析] 由题意得f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，f ′(x )＝3ax 2－3<0，所以f (x )在[－1，1]上为减函数，所以f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，解得a ≥2(与a ≤0矛盾，舍去)．当a >0时，令f ′(x )＝0可得x ＝±1a，当x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ，1a 时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－1a 和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，由f (－1)＝4－a ≥0且f (1)＝a －2≥0，可得2≤a ≤4，又f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ×1a a －3a ＋1＝1－2a ≥0，可得a ≥4，综上可知a ＝4. [答案] 45．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0<a <2时，f (x )在[1，4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．[解] (1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ；令29＋2a >0，得a >－19.所以，当a >－19时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间．(2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a2， x 2＝1＋1＋8a2. 所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增． 当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1，4]上的最大值为f (x 2)． 又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，即f (4)<f (1)．所以f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1，4]上的最大值为 f (2)＝103.6．(2018·苏州检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值． [解] (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故当x ＝0时，函数f (x )取得极小值为f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)①当－1≤x <1时，由(1)知，函数f (x )在[－1，0]和[23，1)上单调递减，在[0，23]上单调递增．因为f (－1)＝2，f (23)＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1，1)上的最大值为2.②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增，则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a .综上所述，当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.。