高中数学第二章2.1向量的线性运算2.1.2向量的加法课堂探究学案

2.1.2 《向量的加法》教学设计一、教学目标确立依据1.课程标准要求及解读（1）课程标准要求通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义。

（2）课程标准解读课程标准对向量加法的要求分两个层次，一是经历向量加法的三角形法则和平行四边形法则的构建过程和向量加法运算律的推导验证过程；二是能熟练运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，结合图形作出几个向量的和向量，能熟练运用向量加法的运算律对向量式进行化简。

要达到第一个层次，需要三个步骤：首先要给学生创造相关的问题情景，构造出位移合成的三角形法则和力合成的平行四边形法则这两个物理模型，启发学生的思维；其次通过问题探究让学生步步深入，剥离它们的物理属性，迁移形成向量加法的三角形法则和平行四边形法则的构图特点；最后通过实际操作演示，借助多媒体动画的直观性，顺利完成对向量加法的三角形法则和平行四边形法则推导。

从第二个层次看，主要是应用层面的问题，因此要通过适当的例子和练习引导学生对这两个法则和两个运算律进行深化拓展，熟练应用。

2.教材分析本节是高中数学教材必修4第二章《平面向量》的第二节第一课。

向量是数学的重要概念之一，它不仅沟通了代数与几何，还在物理中有着广泛的应用，是重要的数学模型。

本节课是在学习了向量的基本概念之后比较重要的一节课，因为引入一个新的量后，考察它的运算及运算律是是数学研究的基本问题。

向量的加法运算是向量线性运算的起始课，是向量线性运算中最基本的、最重要的运算，向量的减法、数乘向量都可以归结为向量的加法运算，因此本节内容的学习既能够加深对向量概念的深层次理解，也为以后学习向量减法，数乘向量及其几何意义奠定了基础，在本章中起着承上启下的重要作用。

其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用，所以本课在“平面向量”及“空间向量”中有很重要的地位。

本节的重点是向量加法的两大法则及其应用。

难点是对向量加法定义的理解，具体有两方面：一是数与式的加法对向量加法的负迁移，造成对向量加法意义理解的困难；二是对共线向量不构成三角形仍沿用三角形法则的理解困难。

教学资料范本高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念示范教案编辑：__________________时间：__________________2.1.1 向量的概念示范教案教学分析1．本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．位移、速度、力等物理量学生都学过，这里仅是列出这些物理量让学生感知矢量，为进一步学习向量的概念作铺垫．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用．可通过几个具体的例子说明它的应用．位移、速度、力等是物理中的基本量，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．2．引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较，可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量．用有向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示．从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫．3．数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．4．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．三维目标1．通过物理中的位移、速度、力等矢量，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念，并能判断向量之间的关系．并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．3．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、向量的模、相等向量、共线向量的概念；会表示向量；知道如何用向量确定点的位置．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别与联系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.先引导学生阅读本章引言并观察思考章头图，然后提出问题：在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢(如图1)？学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了．教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课的探究．图1思路2.创设实物情境，回忆物理相关知识，让学生思考：两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？中国象棋中规定马走“日”，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线，从物理知识位移的视角观察思考，并由此展开新课，这也是一个不错的导入选择．推进新课新知探究位移的概念提出问题，让学生举出我们日常生活中有关“位移”“速度”“力”的实例.量与长度、面积、质量等量有哪些不同？即数量与矢量的本质区别在哪里？活动：教师指导学生阅读课本，思考讨论课本中的实例所反映的物理量的特征．我们身边这样的实例很多，可以让学生充分思考讨论再举出一些位移、速度、力的实例来，如果学生举出的是一些有关长度、面积、质量的例子，效果会更好，这样就有了比较，教师因势利导，学生更能明了这些量的本质．例如：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的，被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的，并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大；物理中的速度与加速度，物理中的动量与冲量等，这些量的共同特征是既有大小又有方向．如有学生举出我们的身高、运动会上的百米赛跑的跑道长度及场地面积、铅球体积、铅球质量等实例，教师适时地让学生讨论：这些量显然与以上那些量不同，因为长度、面积等这些量只有大小而无方向.如图2，一个质点从点A运动到点A′，这时点A′相对于点A的位置是“北偏东30°，3个单位”．从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们都把它们看成相同的位移或相等的位移．一个质点从点B运动到点B′(图2)，如果点B′相对于点B的位置也是“北偏东30°，3个单位”，这时我们说这个位移与点A到A′的位移相等．我们在上体育课时，教师下达口令“向前三步走”，全班同学都进行了同一个位移．图2铺垫已经完成，至此时机成熟，教师恰时恰点地引导学生思考：在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是很多的，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象，形成一种新的量？由此引入本章重要概念——向量．在数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量统称为向量．讨论结果：(1)～(3)略．向量的概念，用向量表示点的位置提出问题以表示向量的什么？义平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？活动：在物理学中，表示位移最简单的方法，是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小．速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段长度分别表示速度和力的大小．这种带箭头的线段，在数学中叫作“有向线段”．一般地，若规定线段AB 的端点A为起点，端点B为终点，则线段AB就具有了从起点A到终点B的方向和长度．这种具有方向和长度的线段叫作有向线段(如图3)，记作AB →，线段AB的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作|AB→|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定．图3向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c 表示．一定要学生规范：印刷用黑体a ，手写一定要在小写字母上加箭头．要注意不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别．向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图3，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫作有向线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB →.起点要写在终点的前面， 即是说AB →的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点．如图4，关于向量的长度，这是向量的一个重要概念；向量AB→(或a )的大小，就是向量AB →(或a )的长度(或称模)，记作|AB →|(或|a |)．图4教师应注意引导学生将数量与向量的模进行比较，以明确向量的意义．数量有大小而没有方向，其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．但向量具有方向，由于方向不能比较大小，向量也就不能比较大小，像a >b 就没有意义，而|a |>|b |就有意义．理解了以上向量概念，那么关于向量相等和向量平行就很容易理解了，教师引导学生阅读教材即可．讨论结果：(1)用字母a ，b ，c ，…表示向量(印刷用粗黑体表示)，手写用字母加箭头来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 如AB →，CD →.注意：手写体上面的箭头一定不能漏写．(2)有向线段：具有方向的线段就叫作有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．(3)长度为0的向量叫零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的．长度为单位1的向量，叫单位向量.但要注意，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.(4)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．在图5中，有向线段AA′→，BB′→，CC′→…都表示同一向量a ，这时可记作图5AA′→＝BB′→＝CC′→＝…＝a . 一个平面向量的直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合”．(5)关于平行向量的定义：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量；第二，我们规定0与任一向量a 平行，即0∥a .综合第一、第二才是平行向量的完整定义．向量a ，b ，c 平行，记作a ∥b ∥c .又如图6，a ，b ，c 是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出OA →＝a ，OB→＝b ，OC→＝c .这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．这里教师要提醒学生注意：平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系．图6(6)共线向量，也就是平行向量．但要注意，平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.(7)| AB →|(或|a |表示向量AB →(或a )的大小，即长度(为模))．教师进一步提醒学生注意方向的问题．方向是大家非常熟知的概念，上面我们没有给它更多的描述，在一个平面内，方向“从西到东”，可以在该平面内任画一条“从左到右”的直线，再给出一个向东的指向来表示，从不同点画出具有同一方向的直线互相平行．由此可见，“方向”和“平行”有着深刻的内在联系．我们在用有向线段表示向量时，用箭头标出的方向，也就是以有向线段的始点为始点指向终点的射线方向．(8)任给一定点O和向量a (图7)，过点O作有向线段OA→＝a ，则点A相对于点O的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →，又常叫做点A相对于点O的位置向量．图7例如，在谈到天津相对于北京的位置时(图8)，我们说，“天津位于北京东偏南50°，114km”．如图8，点O表示北京的位置，点A表示天津的位置，那么向量图8OA →＝“东偏南50°，114 km”就表示了天津相对于北京的位置．有了向量概念，我们就可以利用向量确定一点相对于另一点的位置． 应用示例例1如图9，D，E，F依次是等边△ABC的边AB, BC,AC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的向量中，图9(1)找出与向量DE →相等的向量；(2)找出与向量DF →共线的向量．活动：本例安排的目的是让学生进一步熟悉向量的概念，属于基础练习，需要用到初中所学平面几何的相关知识，教师引导学生回忆相关知识后，可让学生充分讨论合作解决．解：由初中所学三角形中位线定理不难得到：(1)在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的向量中，与向量DE→相等的向量有：AF →和FC →；(2)在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的向量中，与向量DF→共线的向量有：BE →，EB →，EC →，CE →，BC →，CB →，FD →.变式训练判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．(1) ABCD中，AB →与CD →是共线向量；(2)单位向量都相等．解：(1)正确；(2)不正确．点评：本题考查基本概念，对于单位向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好. 教师引导学生画出平行四边形，如图10.因为AB∥CD，所以，AB →∥CD →.由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等，即单位向量模均相等且为1，但方向不确定.图10例2一个人从A点出发沿东北方向走了100m到达B点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m到达C点，求此人从C点走回A点的位移.解：根据题意画出示意图，如图11所示．图11|AB →|＝100 m，|BC →|＝100 m，∠ABC＝45°＋15°＝60°，∴△ABC为正三角形．∴|CA →|＝100 m，即此人从C点返回A点所走的路程为100 m.∵∠BAC＝60°，∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝15°，即此人行走的方向为西偏北15°.例3如图12，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC→相等的量．图12活动：本例是结合正六边形的一些几何性质，让学生巩固相等向量和平行向量的概念，正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有丰富的几何性质．解： OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →.点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确，向量相等不仅大小相等，还要方向相同．变式训练(演示课件)1．本例变式一：与向量OA →长度相等的向量有多少个？(11个)本例变式二：是否存在与向量OA →长度相等、方向相反的向量？(存在) 本例变式三：与向量OA →共线的向量还有哪些？(BC →，OD →，EF →，FE →)2．对命题“a ∥b ，b ∥c 推出a ∥c ”，关于真假问题，甲、乙两个学生的判断如下：甲生判断是真命题．理由是：由a ∥b 可知a 与b 的方向相同或相反，由b ∥c 可知c 与b 的方向相同或相反，从而有a 与c 的方向相同或相反，故a ∥c ，即原命题为真命题；乙生判断是假命题．理由是：当两个非零向量a ，c 不平行，而b ＝0时，显然a ∥b 且b ∥c ，但不能推出a ∥c ，故此时结论不成立，即原命题为假命题．究竟甲、乙两生谁的判断正确呢？请给以分析．解：乙的判断正确．由于存在“零向量与任一向量都平行”这一特殊结论，所以在平行向量中应弄清是否有零向量存在．甲生没有考虑到向量b 可能为零向量的情况，故甲生的判断是错误的；乙生的判断完全正确．这说明向量平行的传递性若要成立，则“过渡”向量b 需不为零向量，即在b ≠0时有：(1)当a ≠0，b ≠0时，由a ∥b ，b ∥c 可推出a ∥c ；(2)若a 与c 中有一个为0，则另一个向量无论是否为0，均可推出a ∥c.例4(1)下列命题正确的是( )A．a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 也共线B．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四顶点C．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行活动：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确．由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确．向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确．对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，所以有a 与b 都是非零向量，所以只有C正确．答案：C点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念特征入手，也可以从反面进行考虑．要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可．要启发学生注意正反这两方面的结合．变式训练1. 判断：(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？(平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)2．把一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A．一条线段 B．一段圆弧 C．两个点 D ．一个圆3．将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是( )A．一个点 B．两个点C．一个圆 D．一条线段答案：1.略 2.D 3.B课堂小结1．先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量，向量的两种表示，特别是对向量的手写要标上箭头，图示上要标上箭头和始点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比．2．再由教师简要总结：本节课我们学习了向量、向量的两种表示方法及向量的有关概念：如向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．3．点拨学生要领悟我们是如何从大量的实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉或全部忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益．作业如图13，在梯形ABCD中，AB∥CD，AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，O是AC与BD的交点，求证：EO →＝OF →.证明：如图13，∵AB∥CD，图13∴AO∶OC＝BO∶OD＝AB∶CD.又AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，∴AE∶ED＝AO∶OC.∴EO∥DC.同理，OF∥DC，∴E，O，F在同一直线上．∴EO DC ＝AE AD ＝BF BC ＝OF DC.∴EO＝OF，即|EO →|＝|OF →|. 又EO →与OF →方向相同，∴EO →＝OF →.设计感想 1．本节是平面向量的第一节，对向量概念的理解无疑是重点，也是难点．本节教案的设计总思路是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念，和基本解题方法有个清晰的认识，学生有很多的成功之处或收获．对失败或教训之处可能是对一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的．2．本教案设计充分利用向量的物理背景．作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机．通过本节大量物理背景实例的铺垫及数学问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础．3．本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念，设计的教学方法主要是让学生自主探究，呈现“现实情境—数学模型—应用于现实问题”的特点，让学生通过观察、分析、归纳、验证，培养学生的主动探究的积极精神，让学生初步感受到向量确实生动有趣，是培养学生数学能力的很好题材．备课资料一、向量中有关概念的辨析1．数量、向量、有向线段对这几个概念的理解容易出现概念不清的问题．数量只有大小，没有方向，其大小可以用实数来表示，它是一个代数量，数量之间可以比较大小；向量既有大小又有方向，向量之间不可以比较大小；有向线段是向量的直观性表示，不能说向量就是有向线段．2．平行向量、共线向量、相等向量平行向量也叫共线向量，故平行向量与共线向量没有区别，而相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量，即平行向量是相等向量的必要条件而非充分条件．二、备用习题1．若正多边形有n条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，…a n ，则这n个向量( )A．都相等 B．都共线C．都不共线 D．模都相等2．如图14所示，在△ABC中，DE∥BC，则其中共线向量有…( )图14A．一组 B．二组C．三组 D．四组3．若命题p：a ＝b ，命题q：|a |＝|b |，则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不必要又不充分条件4．如图15所示，在四边形ABCD中，若AB→＝DC →，则下列各组向量相等的是( )图15A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →5．已知a ，b 是任意两个向量，有下列条件：①|a|＝|b|；②a ＝b ；③a 与b 的方向相反；④a ＝0或b ＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中是向量a 与b 共线的充分不必要条件的有__________．(把你认为正确的命题序号全都填上)6．如图16所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.图16(1)写出与ED →相等的向量；(2)若|AB →|＝3，求向量EC →的模．7．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA→的长度相等；②向量a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD→是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A．2 B．3C．4 D．5参考答案：1.D 2.C 3.A 4.D 5.②③④6．解：(1)与ED →相等的向量有DC→和AB →，因为四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，故AB＝ED＝DC；(2)向量EC →的模|EC →|＝6.7．C因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题．。

向量的加法我说课的课题是人教A版（基础模块）第二章第二节《向量的加法》，下面我从教学内容、教法学法、教学过程这三个方面进行说明：一．教学内容1.教材地位、作用及教材内容处理向量是近代数学中最重要最基础的内容之一，是沟通代数和几何的工具，是数学知识的一个交汇点。

《向量的加法》是学习向量概念后是学习向量运算的第一课时，是学习数乘向量和向量的坐标运算的基础，为后续内容的学习奠定基础。

向量的加法教学内容分为两课时，学生对于向量的三角形法则与向量的平行四边形法则较易混淆，为避免混淆，第一课时为向量的加法的三角形法则及平行四边形法则，第二课时为向量的加法应用和巩固。

本节说课内容为《向量加法》的第一课时。

2.学情分析：大部分职高的学生觉得数学没用，对数学没有兴趣，因此本节课先从实际问题引入，由感性认识上升为理性认识，归纳总结出向量的概念，最后利用向量的加法解决实际问题，让学生体会数学来源于生活，应用于生活，提高学生学习数学的兴趣。

3.教学目标知识目标：理解向量加法的概念，会用向量的加法三角形法则画出两个向量的和，会用向量加法的运算律进行加法的运算，会用向量的加法解决实际问题。

能力目标：从向量加法概念的生成过程培养学生的观察能力、归纳总结能力，从解答应用问题培养学生分析问题、解决问题的能力。

情感目标：将实际问题转化为向量问题体会数学的简洁美。

4.教学重点，难点教学重点：向量的加法的概念及画法教学难点：向量加法的三角形法则的画法关键点：向量加法概念的形成二．教法、学法学生只有通过自己的观察、思考、类比、归纳、总结，体会知识的产生过程才可以将外在的知识变成内在的知识，教师在这一过程中只是充当指导者、组织者的身份。

在向量加法概念的教学中采用问题探究式教学方法，由教师提出问题，学生在教师的引导下观察、思考、类比、归纳生成概念，在概念的巩固、深化阶段采取讲练结合教学方法，学生通过练习，巩固知识，形成技能，从而熟练掌握加法的三角形法则的画法。

2.1.1 向量的概念示范教案教学分析1．本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．位移、速度、力等物理量学生都学过，这里仅是列出这些物理量让学生感知矢量，为进一步学习向量的概念作铺垫．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用．可通过几个具体的例子说明它的应用．位移、速度、力等是物理中的基本量，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．2．引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较，可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量．用有向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示．从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫．3．数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．4．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量，当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．三维目标1．通过物理中的位移、速度、力等矢量，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念，并能判断向量之间的关系．并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．3．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、向量的模、相等向量、共线向量的概念；会表示向量；知道如何用向量确定点的位置．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别与联系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.先引导学生阅读本章引言并观察思考章头图，然后提出问题：在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢(如图1)？学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了．教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课的探究．图1思路2. 创设实物情境，回忆物理相关知识，让学生思考：两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？中国象棋中规定马走“日”，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线，从物理知识位移的视角观察思考，并由此展开新课，这也是一个不错的导入选择．推进新课新知探究位移的概念提出问题回忆初中物理课中，我们学过的“位移”“速度”“力”等物理概念，让学生举出我们日常生活中有关“位移”“速度”“力”的实例.位移”“速度”“力”这些量的共同特征是什么？位移”“速度”“力”等量与长度、面积、质量等量有哪些不同？即数量与矢量的本质区别在哪里？活动：教师指导学生阅读课本，思考讨论课本中的实例所反映的物理量的特征．我们身边这样的实例很多，可以让学生充分思考讨论再举出一些位移、速度、力的实例来，如果学生举出的是一些有关长度、面积、质量的例子，效果会更好，这样就有了比较，教师因势利导，学生更能明了这些量的本质．例如：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的，被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的，并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大；物理中的速度与加速度，物理中的动量与冲量等，这些量的共同特征是既有大小又有方向．如有学生举出我们的身高、运动会上的百米赛跑的跑道长度及场地面积、铅球体积、铅球质量等实例，教师适时地让学生讨论：这些量显然与以上那些量不同，因为长度、面积等这些量只有大小而无方向.如图2，一个质点从点A运动到点A′，这时点A′相对于点A的位置是“北偏东30°，3个单位”．从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们都把它们看成相同的位移或相等的位移．一个质点从点B运动到点B′(图2)，如果点B′相对于点B的位置也是“北偏东30°，3个单位”，这时我们说这个位移与点A到A′的位移相等．我们在上体育课时，教师下达口令“向前三步走”，全班同学都进行了同一个位移．图2铺垫已经完成，至此时机成熟，教师恰时恰点地引导学生思考：在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是很多的，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象，形成一种新的量？由此引入本章重要概念——向量．在数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量统称为向量．讨论结果：(1)～(3)略．向量的概念，用向量表示点的位置提出问题在数学中，怎样表示向量呢？什么叫有向线段？有向线段和线段有何区别和联系？它们可以分别可以表示向量的什么？怎样定义零向量？怎样定义单位向量？满足什么条件的两个向量叫作相等向量？有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？怎样定义平行向量？ 如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？什么是向量的模？,怎样用向量表示点的位置？活动：在物理学中，表示位移最简单的方法，是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小．速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段长度分别表示速度和力的大小．这种带箭头的线段，在数学中叫作“有向线段”．一般地，若规定线段AB 的端点A 为起点，端点B 为终点，则线段AB 就具有了从起点A 到终点B 的方向和长度．这种具有方向和长度的线段叫作有向线段(如图3)，记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作|AB →|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定．图3向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可以用黑体小写字母如a ，b ，c 表示．一定要学生规范：印刷用黑体a ，手写一定要在小写字母上加箭头．要注意不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别．向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图3，在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点，B 为终点，我们就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫作有向线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.起点要写在终点的前面， 即是说AB →的方向是由点A指向点B ，点A 是向量的起点．如图4，关于向量的长度，这是向量的一个重要概念；向量AB →(或a )的大小，就是向量AB→(或a )的长度(或称模)，记作|AB →|(或|a |)．图4教师应注意引导学生将数量与向量的模进行比较，以明确向量的意义．数量有大小而没有方向，其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．但向量具有方向，由于方向不能比较大小，向量也就不能比较大小，像a >b 就没有意义，而|a |>|b |就有意义．理解了以上向量概念，那么关于向量相等和向量平行就很容易理解了，教师引导学生阅读教材即可．讨论结果：(1)用字母a ，b ，c ，…表示向量(印刷用粗黑体表示)，手写用字母加箭头来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 如AB →，CD →.注意：手写体上面的箭头一定不能漏写．(2)有向线段：具有方向的线段就叫作有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．(3)长度为0的向量叫零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的．长度为单位1的向量，叫单位向量. 但要注意，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.(4)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．在图5中，有向线段AA′→，BB′→，CC′→…都表示同一向量a ，这时可记作图5AA′→＝BB′→＝CC′→＝…＝a .一个平面向量的直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合”．(5)关于平行向量的定义：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量；第二，我们规定0与任一向量a 平行，即0∥a .综合第一、第二才是平行向量的完整定义．向量a ，b ，c 平行，记作a ∥b ∥c .又如图6，a ，b ，c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分别作出OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．这里教师要提醒学生注意：平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系．图6(6)共线向量，也就是平行向量．但要注意，平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.(7)| AB →|(或|a |表示向量AB →(或a )的大小，即长度(为模))．教师进一步提醒学生注意方向的问题．方向是大家非常熟知的概念，上面我们没有给它更多的描述，在一个平面内，方向“从西到东”，可以在该平面内任画一条“从左到右”的直线，再给出一个向东的指向来表示，从不同点画出具有同一方向的直线互相平行．由此可见，“方向”和“平行”有着深刻的内在联系．我们在用有向线段表示向量时，用箭头标出的方向，也就是以有向线段的始点为始点指向终点的射线方向．(8)任给一定点O 和向量a (图7)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →，又常叫做点A 相对于点O 的位置向量．图7例如，在谈到天津相对于北京的位置时(图8)，我们说，“天津位于北京东偏南50°，114 km”．如图8，点O 表示北京的位置，点A 表示天津的位置，那么向量图8OA →＝“东偏南50°，114 km”就表示了天津相对于北京的位置．有了向量概念，我们就可以利用向量确定一点相对于另一点的位置．应用示例例1如图9，D ，E ，F 依次是等边△ABC 的边AB, BC, AC 的中点．在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，图9(1)找出与向量DE →相等的向量；(2)找出与向量DF →共线的向量．活动：本例安排的目的是让学生进一步熟悉向量的概念，属于基础练习，需要用到初中所学平面几何的相关知识，教师引导学生回忆相关知识后，可让学生充分讨论合作解决．解：由初中所学三角形中位线定理不难得到：(1)在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量DE →相等的向量有：AF →和FC →；(2)在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点或终点的向量中，与向量DF →共线的向量有：BE →，EB →，EC →，CE →，BC →，CB →，FD →.(1) 图10例2一个人从A 点出发沿东北方向走了100 m 到达B 点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达C 点，求此人从C 点走回A 点的位移.解：根据题意画出示意图，如图11所示．图11|AB →|＝100 m ，|BC →|＝100 m ，∠ABC＝45°＋15°＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴|CA →|＝100 m ，即此人从C 点返回A 点所走的路程为100 m.∵∠BAC＝60°，∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝15°，即此人行走的方向为西偏北15°.例3如图12，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的量．图12活动：本例是结合正六边形的一些几何性质，让学生巩固相等向量和平行向量的概念，正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有丰富的几何性质．解： OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →.点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确，向量相等不例4(1)下列命题正确的是( )A ．a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行活动：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确．由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确．向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D 不正确．对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，所以有a 与b 都是非零向量，所以只有C 正确．答案：C点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念特征入手，也可以从反面进行考虑．要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可．要启发学生注意正反这两方面的结合．课堂小结1．先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量，向量的两种表示，特别是对向量的手写要标上箭头，图示上要标上箭头和始点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比．2．再由教师简要总结：本节课我们学习了向量、向量的两种表示方法及向量的有关概念：如向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．3．点拨学生要领悟我们是如何从大量的实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉或全部忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益．作业如图13，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，O 是AC 与BD 的交点，求证：EO →＝OF →.证明：如图13，∵AB∥CD，图13∴AO∶OC＝BO∶OD＝AB∶CD.又AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，∴AE∶ED＝AO∶OC.∴EO∥DC.同理，OF∥DC，∴E，O ，F 在同一直线上．∴EO DC ＝AE AD ＝BF BC ＝OF DC.∴EO＝OF ，即|EO →|＝|OF →|.又EO →与OF →方向相同，∴EO →＝OF →.设计感想1．本节是平面向量的第一节，对向量概念的理解无疑是重点，也是难点．本节教案的设计总思路是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念，和基本解题方法有个清晰的认识，学生有很多的成功之处或收获．对失败或教训之处可能是对一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的．2．本教案设计充分利用向量的物理背景．作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机．通过本节大量物理背景实例的铺垫及数学问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础．3．本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念，设计的教学方法主要是让学生自主探究，呈现“现实情境—数学模型—应用于现实问题”的特点，让学生通过观察、分析、归纳、验证，培养学生的主动探究的积极精神，让学生初步感受到向量确实生动有趣，是培养学生数学能力的很好题材．备课资料一、向量中有关概念的辨析1．数量、向量、有向线段对这几个概念的理解容易出现概念不清的问题．数量只有大小，没有方向，其大小可以用实数来表示，它是一个代数量，数量之间可以比较大小；向量既有大小又有方向，向量之间不可以比较大小；有向线段是向量的直观性表示，不能说向量就是有向线段．2．平行向量、共线向量、相等向量平行向量也叫共线向量，故平行向量与共线向量没有区别，而相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量，即平行向量是相等向量的必要条件而非充分条件．二、备用习题1．若正多边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，…a n ，则这n 个向量( )A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等2．如图14所示，在△ABC 中，DE∥BC，则其中共线向量有…( )图14A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组3．若命题p ：a ＝b ，命题q ：|a |＝|b |，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要又不充分条件4．如图15所示，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则下列各组向量相等的是( )图15A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →5．已知a ，b 是任意两个向量，有下列条件：①|a|＝|b|；②a ＝b ；③a 与b 的方向相反；④a ＝0或b ＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中是向量a 与b 共线的充分不必要条件的有__________．(把你认为正确的命题序号全都填上)6．如图16所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形.图16(1)写出与ED →相等的向量；(2)若|AB →|＝3，求向量EC →的模．7．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a ∥b ，则a与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5参考答案：1.D 2.C 3.A 4.D 5.②③④6．解：(1)与ED →相等的向量有DC →和AB →，因为四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，故AB ＝ED ＝DC ；(2)向量EC →的模|EC →|＝6.7．C 因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2.1.2 向量的加法课堂导学三点剖析一、向量加法的定义及向量加法的三角形法则学习这部分内容时要注意:①向量加法的定义及向量加法的三角形法则是从位移求和引出的.②两个向量的和仍是向量.特别注意的是:在向量加法的表达式中零向量一定要写成0,而不应写成0.③向量的加法运算应注意方向,忽视方向往往成为致错的根源之一.④用三角形法则作出两个向量的和,关键是掌握两个加数向量是首尾相连的,和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点.具体做法是:把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示),则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和,如设a=AB,b=BC,则a+b=AB+BC=AC.⑤当两个向量共线(平行)时,三角形法则同样适用.如下图表示求两个平行向量和的特殊情况.【例1】设a表示“向西走2 km”,b表示“向北走2 km”,则a+b表示向哪个方向行走了多少?思路分析：画图求解.解:如图,作=a,=b,则OB=OA+=a+b.∵△ABO为直角三角形,且||=||=2,2且∠AOB=45°.∴|OB|=22 km.∴a+b表示向西北方向走了2各个击破 类题演练 1已知向量a 和非零向量b ,求作向量a +b .思路分析:已知中明确了b 是非零向量,没有明确a 是否是非零向量,所以,应就a =0和a ≠0两种情况分类讨论.解:(1)若a =0,则a +b =b ,见图(1).(2)若a ≠0,则①当a 与b 不共线时,a +b ,见图(2). ②当a 与b 共线时,有(ⅰ)a 与b 同向共线,a +b ,见图(3). (ⅱ)a 与b 反向共线, |a |<|b |,a +b ,见图(4); |a |=|b |,a +b ,见图(5); |a |>|b |,a +b ,见图(6). 变式提升 1如图所示,向量AB +BC +CD +DE +EF =________.解析:几个向量相加首尾相连和向量是由起点指向终点,即. 答案: 温馨提示更一般地,n n n A A A A A A A A A A 14131211-++++=Λ.特别地当A 1和A n 重合时,n n A A A A A A 13221-+++ΛΛ=0.二、向量加法的平行四边形法则三角形法则中的两个向量是首尾相接的,而平行四边形法则中的两个向量有公共的起点;三角形法则适用于所有的两个非零向量的求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量的求和.三角形法则和平行四边形法则虽然都是求向量和的基本方法.但在应用上也有讲究,求两个向量和,当一个向量的终点为另一个向量的始点时,可用向量加法的三角形法则;而当它们的始点相同时,可用向量加法的平行四边形法则.【例2】 两个力F 1和F 2同时作用在一个物体上,其中F 1=40 N,方向向东,F 2=30 N,方向向北,求它们的合力.解：如图,OA 表示F 1,OB 表示F 2. 以OA,OB 为邻边作ABCD,则OC 表示合力F .在Rt△OAC 中,|OA |=|F 1|=40,|AC |=|OB |=|F 2|=30. 由勾股定理,得|F |=|OC |=22223040||||+=+AC OA =50.设合力F 与F 1的夹角为θ, 则tanθ=43||||||||12==F F OA AC =0.75. 所以θ≈37°.所以合力大小为50 N,方向为北偏东53°. 类题演练 2已知向量a 、b (如图),求作a +b .思路分析:在平面内作向量的和向量,若用平行四边形法则,则先选取一固定点,然后把两个向量平移,使两个向量都以这个固定点为起点；若用三角形法则,则只需平移一个向量,使这个向量的起点与另一个向量的终点重合.解:在平面内任取一点O,如图,作OA =a ,B O =b ,则C O =a +b .变式提升 2已知|a |=6,|b |=8,且|a+b |=|a -b |,求|a -b |.思路分析:从题目条件中挖掘平行四边形所满足的几何特征.解:如图,设||=a ,||=b ,以AB,AD 为邻边作ABCD,则AC =a +b ,DB =a -b . ∵|a +b |=|a -b |, 即|AC |=|DB |, ∴ABCD 为矩形,故AD⊥AB.在Rt△DAB 中,||=6,||=8, 由勾股定理,得|222286||||||+=+=AD AB =10.∴|a +b |=|a -b |=10.三、向量加法的运算性质(1)对于零向量与任一向量a 的和有a +0=0+a =a . (2)向量加法的交换律:a+b =b +a .(3)向量加法的结合律:(a +b )+c =a +(b +c ).(4)三角形不等式:对于任意两个向量a ,b ,都有||a |-|b ||≤|a +b |≤|a |+|b |.注意:(1)向量加法的交换律,在常识上是很显然的.你从点A 出发先位移向量a ,接着再位移向量b 与先位移向量b 再位移向量a 一定会达到同一终边C.这也就说明了向量加法交换律成立.(2)由于向量的加法满足交换律与结合律,因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意的组合来进行了. 【例3】 化简: (1)+; (2)BC CD DB ++;(3)FA BC CD DF AB ++++. 解:(1)=+=+.(2)+=++=++)(=0.或+=++=++=++)()(=0. (3)FA DF CD BC AB FA BC CD DF AB ++++=++++FA AF FA DF AD FA DF CD AC +=++=+++==0.类题演练 3如图所示,已知△ABC 中,D,E,F 分别是BC,CA,AB 的中点,且AD 与BE 交于O 点.求 证:++=0.思路分析:解这类题要善于运用向量的加法的运算法则及其性质,把题目变形后求得. 证明:BD AB AD +=, 又CD AC AD +=,∴AC AB CD BD AC AB AD +=+++=2, 同理,可证BA BC BE +=2,CB CA CF +=2, ∴)(21CB CA BA BC AC AB CF BE AD +++++=++=0. 变式提升 3 下列命题:①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反,那么a +b 的方向必与a ,b 之一的方向相同; ②△ABC 中,必有CA BC AB ++=0;③若CA BC AB ++=0,则A,B,C 为一个三角形的三个顶点; ④若a ,b 均为非零向量,则|a +b |与|a |+|b |一定相等. 其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3 解析:①假命题.当a +b =0时,命题不成立. ②真命题.③假命题.当A,B,C 三点共线时也可以有CA BC AB ++=0. ④假命题.只有当a 与b 同向时相等,其他情况均为|a |+|b |>|a +b |. 答案:B【例4】 已知A,B,C 是不共线的三点,G 是△ABC 内一点,若GC GB GA ++=0,求证:G 是△ABC 的重心.证明：如图所示,因为GC GB GA ++=0, 所以)(GC GB GA +-=.以GB ,GC 为邻边作平行四边形BGCD, 则有GD =GB +GC , 所以GD =GA -. 又因为在BGCD 中,BC 交GD 于点E,所以ED GE EC BE ==,. 所以AE 是△ABC 的边BC 的中线, 且|GA |=2|GE |.所以G 是△ABC 的重心. 温馨提示(1)解此题时要联系重心的性质和向量加法的意义;(2)把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法.通过本例题知,若G 为△ABC 的重心,则有GA +GB +GC =0.类题演练 4在重300 N 的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°(如图),求重物平衡时,两根绳子的拉力大小.解:作OACB,如图所示,使∠AOC=30°,∠BOC=60°, 在△AOC 中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°.||=||cos30°=3150(N), |AC |=|OC |sin30°=150(N). |OB |=|AC |=150(N),∴与铅垂线成30°角的绳子拉力是3150 N,与铅垂线成60°角的绳子拉力是150 N. 变式提升 4用向量的方法证明:对角线互相平分的四边形是平形四边形.已知:如图所示,在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于O,且AO=OC,DO=OB. 求证:ABCD 是平行四边形.证明:根据向量加法的三角形法则, 有OC DO DC OB AO AB +=+=,. 又∵=∴==,. ∴AB 与DC 平行且相等. ∴ABCD 为平行四边形.。

2．2.1 向量加法运算及其几何意义1．通过位移、力的合成了解向量加法定义的由来．2．掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．3．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，初步掌握向量加法的实际应用．1．向量的加法(1)定义：求两个向量____的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个______．(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量______叫做向量a 与b 的和，记作a ＋b .这种求______的方法叫做向量加法的三角形法则．(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量a ，b (如图乙所示)，作AB →＝a ，AD →＝b ，则A ，B ，D 三点不共线，以AB →，AD →为邻边作平行四边形ABCD ，则向量______＝a ＋b ，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．①向量加法的多边形法则：n 个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组向量折线，这n 个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角形法则的连续应用．②三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义． (4)规定：a ＋0＝0＋a ＝a . (5)结论：|a ＋b |≤|a |＋|b |.【做一做1－1】 AB →＋BD →等于( ) A.AB → B.BD → C.AD → D.DA →【做一做1－2】 在平行四边形ABCD 中，AB →＋AD →等于( ) A.AC → B.BC → C.CD → D.BD →【做一做1－3】 在边长为1的正方形ABCD 中，|AB →＋BC →＋CD →|等于( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．3【做一做2】 化简PB ＋OP ＋BO ＝__________.答案：1．(1)和 向量 (2)AC → 向量和 (3)AC →【做一做1－1】 C 【做一做1－2】 A【做一做1－3】 B |AB →＋BC →＋CD →|＝|AC →＋CD →|＝|AD →|＝1. 2．b ＋a a ＋(b ＋c )【做一做2】 0 PB →＋OP →＋BO →＝(OP →＋PB →)＋BO →＝OB →＋BO →＝0.向量加法与实数加法的异同剖析：讨论两种运算的异同，主要从它们的运算结果、运算律、运算的意义来分析． (1)运算结果：向量的和还是向量，实数的和还是实数．(2)运算律：向量的加法与实数的加法都满足交换律与结合律；向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证；向量加法的结合律可以用三角形法则验证，如下：如图，作AB →=a ，BC →=b ，CD →=c ，连接AC ，AD ，则AC →=a+b ，BD →=b+c. ∵AD →=AB →+BD →=a+(b+c)， AD →=AC →+CD →=(a+b)+c ， ∴(a+b)+c=a+(b+c)．(3)运算的意义：向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则；实数加法的意义是实数的加法法则．由此可见，向量的加法与实数的加法不相同，其根本原因是向量不但有大小并且还有方向，而实数仅有大小，是数量，所以向量的运算不能按实数的运算来进行．题型一 作向量的和【例1】 如图所示，已知向量a ，b ，c ，试作出向量a ＋b ＋c .分析：本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应作出两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．反思：应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题： ①三角形法则可以推广到n 个向量求和，作图时要求“首尾相连”．即n 个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n 个向量的终点的向量．②平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合． ③当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便．如本题作法1比作法2简单．题型二 化简含有向量的关系式 【例2】 化简下列各式： (1)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →；(2)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →. 分析：首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和．反思：化简含有向量的关系式一般有两种方法：①利用几何方法通过作图实现化简；②利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律求和，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量，如本题．题型三 向量加法的实际应用【例3】 如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．反思：解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤解题：弄清实际问题→数学问题→正确画出图形→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题→作出解答题型四 易错辨析易错点 用平行四边形法则作平行向量的和【例4】 如图，已知平行向量a ，b ，求作a ＋b .错解：作OA →＝a ，OB →＝b ，则AB →＝a ＋b 就是求作的向量． 错因分析：因为两向量反向，和向量的长度应为|b |－|a |，方向应与向量b 的方向相同．答案：【例1】 解：作法1：如图1所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ；然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．图1作法2：如图2所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以OA ，OB 为邻边作OADB ，连接OD ，则OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b .图2再以OD ，OC 为邻边作ODEC ，连接OE ，则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求． 【例2】 解：(1)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA →＝AC →＋CD →＋DF →＋FA →＝AD →＋DA →＝0.(2)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.【例3】 解：如图，作OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，OA →和OB →分别表示两根绳子的拉力，则OC →表示这两根绳子拉力的合力，则|OC →|＝300 N.在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°. 则|OA →|＝|OC →|cos 30°＝300×32＝1503(N)，|AC →|＝|OC →|sin 30°＝300×12＝150(N)，即|OB →|＝|AC →|＝150(N)．则可得与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.【例4】 正解：作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b 就是求作的向量．1．四边形ABCD 中，AB ＋AD ＝AC ，则四边形ABCD 是( ) A ．任意四边形 B ．矩形 C ．正方形D ．平行四边形2．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA ＋BC ＋AB ＝( )A.CDB.OCC.DAD.CO3．化简下列各式： (1)AB ＋BC ＋CA ；(2)OA ＋OC ＋BO ＋CO .4．已知向量a 和向量b ，如图所示，分别用三角形法则和平行四边形法则作出a ＋b .5．如图所示，两个力F 1和F 2同时作用在一个质点O 上，且F 1的大小为3 N ，F 2的大小为4 N ，且∠AOB ＝90°，试作出F 1和F 2的合力，并求出合力的大小．答案：1．D2．B OA ＋BC ＋AB ＝OA ＋AB ＋BC ＝OC . 3．解：(1)AB ＋BC ＋CA ＝AC ＋CA ＝0；(2)OA ＋OC ＋BO ＋CO ＝(CO ＋OA )＋(BO ＋OC )＝CA ＋BC ＝BA . 4．作法1：①作向量OA ＝a ，向量AB ＝b ；②连接OB ，则向量OB ＝a ＋b .如图1所示．图1图2作法2：①作向量OA ＝a ，向量OB ＝b ；②以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则向量OC ＝a ＋b .如图2所示．5．分析：由于力是向量，按平行四边形法则作出合力，再利用勾股定理求出合力的大小．解：如图所示，OA 表示力F 1，OB 表示力F 2，以OA ，OB 为邻边作OACB ， 则OC 是力F 1和F 2的合力．在△OAC 中，||OA ＝3，||AC ＝||OB ＝4，且OA ⊥AC ，则||OC 5， 即合力的大小为5 N.。

2.1.2向量的加法
一、【使用说明】
1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。

二、【重点难点】
重点：平行四边形法则和三角形法则；
难点：平行四边形法则和三角形法则.
三、【学习目标】
1、掌握向量加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和；
2、掌握向量加法的交换律和结合律，并会运用它们来进行向量运算；
四、自主学习
1、向量加法的定义：
2、向量加法的三角形法则：
a
+
______
=
3、向量求和的平行四边形法则：
a
4、向量求和的多边形法则：
c
a d
+
+
___
=
+
5、向量加法的交换律和结合律：
例1、某人先位移向量a：“向东走3km”，接着再位移向量b：“向北走3km”，求a+b。

五、合作探究
1、已知下列各组向量，，求作+
（1） b （2） a
b
（3） a （4） a
b b
2、 已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，则
（1）+=______； （2）________=++；
（3）______=++； （4）_______=++.
3、已知任意两个向量a ，b ，不等式||||||+≤+是否正确？为什么？
4、一轮渡向北航速20km/h 航行，此时西风，风速5km/h ，用作图法求轮渡的实际航行速度和方向。

六、总结升华
1、知识与方法：
2、数学思想及方法：。

《2.1.2向量的加法》的教学设计一、教材分析《普高中课程标准数学教科书数学（必修（4））》(人教（B版）)。

第二章2．1平面向量的线性运算的第二节“向量的加法”（80--83页）。

高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。

另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。

教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的长度、相等的向量、零向量以及平行向量等基本概念。

而本节课是继向量基本概念的第一节课。

向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。

它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。

正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。

二、学情分析学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。

学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过力的合成、位移的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点。

三、设计理念教学矛盾的主要方面是学生的学。

学是中心，会学是目的。

因此，在教学中要不断指导学生学会学习。

在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。

2.1.1 向量的概念课堂探究探究一有关向量概念的问题解有关向量的基本概念的题，首先，要清楚向量的两要素：大小和方向；其次，要对共线向量、相等向量、零向量有深入的理解，分别掌握它们的特征，共线向量又称平行向量，前提是两非零向量方向相同或相反，并规定，零向量与任一向量平行；相等向量是两向量大小相等且方向相同；零向量的大小为零，它的方向是任意的．【例1】给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若AB＝DC，则四边形ABCD是平行四边形；④在平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC；⑤若m＝n，n＝k，则m＝k；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c．其中不正确的命题的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．5解析：两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①不正确．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确．③也不正确，因为A，B，C，D可能落在同一条直线上．零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b＝0，则a与c就不一定平行了．因此⑥也不正确．答案：C反思对向量的有关概念的理解要全面、准确．要注意相等向量与共线向量(或平行向量)之间的区别和联系；零向量的长度为零，方向不确定，解题时一定要注意这一特殊向量．探究二向量的表示(1)准确画出向量的方法是先确定向量的始点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．(2)画图时可以按比例画图，要注意题中是否规定有向线段的始点和终点．【例2】一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达点B，然后又改变方向向北偏西40°行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D．(1)作出向量AB，BC，CD；(2)求|AD|．解：(1)如图所示．(2)由题意，易知AB与CD方向相反，故AB与CD共线，即AB∥CD．又因为|AB|＝|CD|，所以在四边形ABCD中，AB綉CD．所以四边形ABCD为平行四边形．所以|AD|＝|BC|＝200(千米)．探究三相等向量和共线向量向量有两个要素：一是大小，二是方向．两个向量只有当它们的模相等同时方向相同时才称为相等的向量，即a＝b就意味着|a|＝|b|，且a与b的方向相同，还要注意到0与0是相等的向量．【例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形．(1)找出与向量AB相等的向量；(2)找出与向量AB共线的向量．解：(1)由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知DC，ED与AB的长度相等且方向相同，所以与向量AB相等的向量为DC和ED．(2)由图可得：DC，ED，EC与AB方向相同，BA，CD，DE，CE与AB方向相反，所以与向量AB共线的向量有BA，DC，CD，ED，DE，EC，CE．警示误区找一个向量的共线向量时，易忽视找出与其方向相反的向量，尤其是与本身方向相反的向量，如本题中易把BA漏掉．探究四易错辨析易错点：因忽视与本身相反的向量而致错【例4】如右图，A1，A2，…，A8是⊙O上8个等分点，则在以A1，A2，…，A8及圆心O9个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径2倍的向量有多少个？错解：(1)模等于半径的有OAι(i＝1,2,3，…，8)共8个．(2)模等于半径2倍的向量为正方形A1A3A5A7和A2A4A6A8的边共8个．错因分析：忽略了向量的方向．正解：(1)模等于半径的向量只有两类：一类是OAι(i＝1,2，…，8)共8个，另一类是OAι(i ＝1,2，…，8)也有8个，两类合计16个．(2)以A1，A2，…A8为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一是正方形A1A3A5A7，另一个正方形A2A4A6A8，在题目中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍，所以模为半径2倍的向量共有4×2×2＝16个．。

2.1.2 向量的加法学 习 目 标核 心 素 养1．掌握向量加法的运算，并理解其几何意义．(难点)2．理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则的适用X 围，并能应用向量加法的运算律进行相关运算．(重点)1．通过向量加法的三角形法则和四边形法则的学习，培养学生直观想象核心素养．2．通过学习向量加法的运算律，培养学生逻辑推理素养.1．向量的加法法则 (1)三角形法则已知向量a ，b ，在平面上任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，再作向量AC →，则向量AC →叫做a 与b 的和(或和向量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则． 对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝0＋a ＝a . (2)平行四边形法则已知两个不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，则A ，B ，D 三点不共线，以AB →，AD →为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC →＝a ＋b .这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．(3)多边形法则已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．2．向量加法的运算律交换律结合律a ＋b ＝b ＋a(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )思考：任意两个非零向量相加，是否都可以用向量的平行四边形法则进行？ [提示] 不一定．当两向量共线时不能用平行四边形法则，只能用三角形法则．1．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b 等于( ) A.CA →B.BC → C.AB →D.AC →D [∵A B →＝a ，B C →＝b ，∴a ＋b ＝A B →＋B C →＝A C →.] 2．如图所示，AB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FA →等于( )A ．0B ．0C ．2AD →D ．－2AD →B [由向量求和的多边形法则可知结果为0，故选B.]3．对于任意一个四边形ABCD ，下列式子不能化简为BC →的是________． (1)BA →＋AD →＋DC →；(2)BD →＋DA →＋AC →； (3)AB →＋BD →＋DC →.(3) [在(1)中BA →＋AD →＋DC →＝BD →＋DC →＝BC →；在(2)中BD →＋DA →＋AC →＝BA →＋AC →＝BC →；在(3)中AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →.]向量加法运算法则的应用【例1】 (1)化简AE →＋EB →＋BC →等于( ) A.AB →B.AC → C.CE →D.BE →(2)如图所示，a ＋d ＝________，c ＋b ＝________.(3)若正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c.试作出向量a ＋b＋c ，并求出其模的大小．[思路探究] 利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图． (1)B (2)DA →CB →[(1)由向量加法的三角形法则可得： AE →＋EB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.故选B.(2)由向量求和的三角形法则可知a ＋d ＝DA →，c ＋b ＝CB →.] (3)解：根据平行四边形法则可知，a ＋b ＝AB →＋AD →＝AC →.根据三角形法则，延长AC ，在AC 的延长线上作CE →＝AC →，则a ＋b ＋c ＝AC →＋AC →＝AC →＋CE →＝AE →(如图所示)．所以|a ＋b ＋c|＝|AE →|＝212＋12＝2 2.1．向量求和的注意点：(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用． (2)两个向量的和向量仍是一个向量．(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用． 2．利用向量的两种加法法则作图的方法： 法则 作法三角 形法 则 ①把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与其前面向量的终点重合即用同一个字母来表示)②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和 平行 四边 形法①把两个已知向量的始点平移到同一点 ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形③对角线上以两向量公共始点为始点的向量就是这两个已知向量的和则1.如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，求下列向量： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.[解] (1)由题图可知，四边形OABC 为平行四边形， ∴由向量加法的平行四边形法则， 得OA →＋OC →＝OB →.(2)由题图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →， ∴BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.向量加法运算律的应用【例2】 (1)下列等式不正确的是( ) ①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →＝0； ③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．①D ．③(2)设A ，B ，C ，D 是平面上任意四点，试化简： ①AB →＋CD →＋BC →； ②DB →＋AC →＋BD →＋CA →.[思路探究] 可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和．(1)B [由向量的加法满足结合律知①正确；因为AB →＋BA →＝0，故②不正确；DC →＋AB →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＝AC →成立，故③正确．](2)①AB →＋CD →＋BC →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. ②DB →＋AC →＋BD →＋CA →＝(DB →＋BD →)＋(AC →＋CA →)＝0＋0＝0.向量加法运算律的意义和应用原则： (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．2．化简：(1)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)； (2)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →. [解] (1)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →) ＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →)＝MC →＋→＝MN →. (2)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC → ＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0.向量加法的实际应用【例3】 在某某某某大地震后，一架救援直升飞机从A 地沿北偏东60°方向飞行了40 km 到B 地，再由B 地沿正北方向飞行40 km 到达C 地，求此时直升飞机与A 地的相对位置．[思路探究] 解本题首先要正确地画出方位图，再根据图形借助于向量求解． [解] 如图所示，设AB →、BC →分别是直升飞机两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →.在Rt△ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km ， 在Rt△ACD 中，|AC →|＝|AD →|2＋|DC →|2＝40 3 (km)，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处．向量应用题首先要正确画出图形，用向量表示实际量，然后进行向量运算，回扣实际问题，作出解答.3．为了调运急需物资，如图所示，一艘船从江南岸A 点出发，以5 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向．(用与江水的速度方向间的夹角表示) [解] (1)如图所示，AD →表示船速，AB →表示水速．易知AD ⊥AB ，以AD ，AB 为邻边作矩形ABCD ，则AC →表示船实际航行的速度．(2)在Rt△ABC 中，|AB →|＝5，|BC →|＝53，所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝52＋(53)2＝100＝10.因为tan∠CAB ＝|BC →||AB →|＝3，所以∠CAB ＝60°.因此，船实际航行的速度大小为10 km/h ，方向与江水的速度方向间的夹角为60°.向量加法的多边形法则[探究问题]1．在△ABC 中，若AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，那么a ＋b ＋c ＝0一定成立吗？[提示] 一定成立，因为在△ABC 中，由向量加法的三角形法则AB →＋BC →＝AC →，所以AB →＋BC →＋CA →＝0，那么a ＋b ＋c ＝0.2．如果任意三个向量a ，b ，c 满足条件a ＋b ＋c ＝0，那么表示它们的有向线段是否一定构成三角形？[提示] 若任意三个向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，则表示它们的有向线段不一定构成三角形，因为当这三个向量为共线向量时，同样有可能满足a ＋b ＋c ＝0，此时，表示它们的有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0时，表示它们的有向线段不一定构成三角形．3．设A 1，A 2，A 3，…，A n (n ∈N ，且n ≥3)是平面内的点，则一般情况下，A 1A n →＝A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n .当A 1与A n 重合时，A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n 满足什么关系？[提示] 当A 1与A n 重合时，有A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝0. 【例4】 如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( ) A ．0B ．BE →C ．AD →D ．CF →[思路探究] 用向量加法的运算律，将BA →＋CD →＋EF →变形为CD →＋DE →＋EF →就可以利用向量加法的多边形法则求和向量．D [因为ABCDEF 是正六边形，所以BA ∥DE ，BA ＝DE ，所以BA →＝DE →，所以BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →.]三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据多边形法则作出向量的和向量.4.如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：(1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →.[解] (1)DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →.(2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0.(教师用书独具)1．应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n 个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n 个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n 个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合． (3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单． 2．解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.1．化简OP →＋PQ →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP → B.OQ → C.SP → D.SQ → B [OP →＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →.] 2．下列命题中正确的个数为( )(1)如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么(a ＋b )∥a ； (2)在平行四边形ABCD 中，必有BC →＝AD →；(3)若BC →＝AD →，则A ，B ，C ，D 为平行四边形的四个顶点； (4)若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |≤|a |＋|b |. A ．0 B ．1 C ．2D ．3D [(1)正确；(2)在平行四边形ABCD 中，BC ∥AD ，且BC ＝AD ，所以BC →＝AD →，正确；(3)A ，B ，C ，D 可能共线，所以错误；(4)为向量的三角不等式，所以正确．]3．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝2，则|AB →＋BC →|＝ ________.13[在矩形ABCD 中AB →＋BC →＝AC →，所以|AB →＋BC →|＝|A B →2|＋|B C →2|＝32＋22＝13.]4．已知向量a ，b ，c ，如图，求作a ＋b ＋c .[解]在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，如图，则由向量加法的三角形法则，得OB →＝a ＋b ，OC →＝a ＋b ＋c ，OC →即为所作向量．。