最新人教A版必修1高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值教案(精品)

高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值导学案（1）新人教A 版必修1§1.3.1 单调性与最大（小）值（1）学习目标1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.学习过程一、课前准备（预习教材P 27~ P 29，找出疑惑之处）引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？ 复习1：观察下列各个函数的图象.探讨下列变化规律：① 随x 的增大，y 的值有什么变化？② 能否看出函数的最大、最小值？③ 函数图象是否具有某种对称性？复习2：画出函数()2f x x =+、2()f x x =的图象.小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线.二、新课导学※ 学习探究探究任务：单调性相关概念思考：根据()2f x x =+、2()(0)f x x x =>的图象进行讨论：随x 的增大，函数值怎样变化？当x 1>x 2时，f (x 1)与f (x 2)的大小关系怎样？问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号；② 证明函数单调性的步骤：第一步：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2； 第二步：计算f (x 1)－f (x 2)至最简；第三步：判断差的符号；第四步：下结论.※ 动手试试练1.求证1()f x x x =+的(0,1)上是减函数，在[1,)+∞是增函数.练2. 指出下列函数的单调区间及单调性.（1）()||f x x =； （2）3()f x x =.三、总结提升※ 学习小结1. 增函数、减函数、单调区间的定义；2. 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）.3. 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论.※ 知识拓展 函数()(0)a f x x a x =+>的增区间有[,)a +∞、(,]a -∞-，减区间有]a 、[,0)a - . 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数2()2f x x x =-的单调增区间是（ ）A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. RD.不存在2. 如果函数()f x kx b =+在R 上单调递减，则（ ）A. 0k >B. 0k <C. 0b >D. 0b <3. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ）A ．2y x =-B ．2y x =C ．||y x =D ．2y x =-4. 函数31y x =-+的单调性是 .5. 函数()|2|f x x =-的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .课后作业1. 讨论1()f x x a =-的单调性并证明.2. 讨论2()(0)f x ax bx c a =++≠的单调性并证明.。

必修一 1.3.1 单调性与最大（小）值（第1课时）
【教学目标】
1.知识与技能：
从形与数两方面理解函数单调性的概念。

初步掌握利用图像和定义判断、证明函数单调性的方法。

2.过程与方法：
从已有知识出发，通过学生的观察、归纳、抽象和推理论证培养学生的数学能力。

3.情感态度价值观：
通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性，培养学生认真分析、科学论证的数学思维习惯. 【重点难点】
1.教学重点：函数单调性的概念；判断、证明函数的单调性。

2.教学难点：函数单调性概念的符号语言的认知；应用定义证明单调性的代数推理论证。

【教学策略与方法】
1.教学方法：问题引导，主动探究，启发式教学．
2.教具准备：多媒体
【教学过程】
⒈说出上述情境中图像的变化规律。

⒉描述上述情境中气温或记忆保持量随时
间变化规律。

问题2：你能根据自己的理解说说什么是：你能借助数学符号，将上述“函数
当x增大时 f(x)随着增大，即：
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)
增函数的定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为
师生活动：学生观察图象，独立完成，教师解答学生在解决问题过程中出现的问题．如：
①单调区间是定义域的子集；。

福建省漳州市芗城中学高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值1教案 新人教A 版必修1三维方针定向〖知识与技能〗 理解函数的最大（小）值及其几何意义，会用函数的单调性求一些函数的最大（小）值。

〖过程与方式〗借助具体函数，体验函数最值概念的形成过程，领会数形结合的数学思想。

〖感情、态度与价值观〗 渗透特殊到一般，具体到抽象、形成辩证的思维概念。

教学重难点 函数最值的意义及求函数的最值。

教学过程设计一、引例画出下列函数的草图，并按照图象解答下列问题：（1）()23f x x =-+； （2）2()21f x x x =--+。

1）说出)(x f y =的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2）指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？二、核心内容整合1、函数的最大（小）值的概念设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0。

那么称M 是函数)(x f y =的最大值。

学生类比给出函数最小值的概念：设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有()f x M ≥；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0。

那么称M 是函数)(x f y =的最小值。

x y o oxy注意：（1）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在I x ∈0，使得M x f =)(0；（2）函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤（()f x M ≥）。

2、一元二次函数)(2≠++=a c bx ax y 的最值： （1）配方：a b ac a b x a y 44)2(22-++=； （2）图象：（3）a > 0时，a b ac y 442min -=；a < 0时，a b ac y 442max -=。

《函数的单调性与最大（小）值》第一课时函数的单调性通过观察一些函数图像的特征，形成增（减）函数的直观认识。

再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义。

掌握用定义证明函数单调性的步骤。

函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

【知识与能力目标】1、结合具体函数，了解函数的单调性及其几何意义；2、学会运用函数图像理解和研究函数的性质；3、能够应用定义判断函数在某区间上的单调性。

【过程与方法目标】借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的思想，运用定义进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好的思维习惯。

【情感态度价值观目标】通过直观的图像体会抽象的概念，通过交流合作培养学生善于思考的习惯。

【教学重点】函数单调性的概念。

【教学难点】判断、证明函数单调性。

从观察具体函数图像引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。

通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。

(一)创设情景，揭示课题德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究。

他经过测试，得到了以下一些数据：以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数。

艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图：思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？（二）研探新知观察下列各个函数的图像，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：。

§1.3.1函数的单调性与最大（小）值（1）第一课时 单调性【教学目标】1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性． 【教学重点难点】重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性 【教学过程】（一）创设情景，揭示课题1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2 ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． （3）f(x) = x 2 ○1在区间 ____________ 上， f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．3、从上面的观察分析，能得出什么结论？学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

（二）研探新知1、y = x 2的图象在y 轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？ 学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：函数y = x 2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有x 12＜x 22. 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。

1.3.1单调性与最大（小）值（第二课时）教学设计一、学情分析本节课是人教版《数学》（必修Ⅰ）第一章第3节函数的单调性与最大（小）值的第二课时，次要学惯用符号言语刻画函数的的最大（小）值，并能用函数的单调性和函数的图象进行一些常见函数最值的求值.在此之前，先生对函数曾经有了一个初步的了解，同时，由于上一节曾经学习函数单调性的定义，先生能初步理解用数学言语抽象概括函数概念的必要性和表达方式，为函数最值概念的构成提供极大帮助.因而本节课经过函数的图象，先生容易找出相应的最大值和最小值.但这只是感性上的认识.为了让先生有一个从具体到抽象、特殊到普通的认识过程，本节课经过设计成绩串，逐渐让先生用数学言语描述函数最值的概念，并利用对概念的辨析深化了解最值的内涵.二、教学目标：1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.理解函数的最大（小）值是函数的全体性质.（2）能解决与二次函数有关的最值成绩，和利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值，掌握用函数的思想解决一些理论成绩.2．过程与方法经过日常生活实例，引导先生进行分析、归纳、概括函数最值的概念.并借助函数的单调性，从数到形，以形助数，逐渐浸透、培养先生数形结合思想、分类讨论思想、优化思想.3．情感、态度与价值观以丰富的实例背景引入，让先生领会数学与日常生活毫不相关.在概念的构成过程中，培养先生从特殊到普通、从直观到抽象的思想提升过程，让先生感知数学成绩求解途径与方法，享用成功的快乐.三、重点、难点：重点：建构函数最值的概念过程，利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值.难点：函数最值概念的构成.高一先生的逻辑思想和抽象概括能力较弱，面对抽象的方式化定义，容易产生思想妨碍.对此，本课紧紧捉住新旧知识间的内在联系，设置一系列成绩，让先生充分参与定义的符号化过程，从图形言语和自然言语向数学符号言语转化，逐渐打破难点.四、教学过程：（一）提出成绩，引入目标背景1：成绩1：求函数2)(x x f -=的最大值.意图：从熟习的二次函数动手，将求函数的最大值转化为研讨函数图象的最高点，引导先生经过图象分析.背景2：请看下图，这是某气象观测站某日00:00—24:00这24小时内的气温变化图.（图）成绩2：.（1）我们常说昼夜温差大，是指一天当中的最高温度和最低温度之差.请问，该天的最高气温是多少？（2）该图象能否建立一个函数关系？如何定义自变量？意图：明确是在函数背景下研讨成绩.回顾函数的定义和函数的表示法（图象法） 师：我们称此时该函数的最大值是32.意图：启发先生明确函数图象中存在最高点与函数存在最大值之间是分歧的，即明确函数图象和函数解析式是反映函数关系的不同表现方式，从而无认识地培养先生以形助数解决成绩的认识，并引出课题——《函数的最大（小）值》（二）层层深化，概念建构成绩3：经过这两个成绩，我们能否用数学言语给出普通函数最大值的定义？ 意图：以具体实例为背景，让先生用数学言语来进行归纳表达，引导先生过渡到任意化的符号化表示，呈现知识的自然生成，领会从特殊到普通的思想.定义：普通地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(成立；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值.（预设：函数最大值定义中的第（1）点成绩不大，第（2）点容易被忽略。

1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值全体设计教材分析研讨函数的单调性和最值是函数性质一个重要内容.理论上，在初中学习函数时，曾经重点研讨了一些函数的增减性，只是当时的研讨较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也次要根据观察图象得出，而本大节内容，正是初中有关内容的深化和进步：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是绝对某个区间来说的，还阐明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严峻的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法分歧同来了.由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因而，在本节教学时可以充分运用信息技术创设教学情境，以利于先生作函数图象，有更多的工夫用于考虑、探求函数的单调性、最值等性质.还要特别注重让先生经历这些概念的构成过程，以便加深对单调性和最值的理解.三维目标1.函数单调性的研讨经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让先生经过自主探求活动，体验数学概念的构成过程的真理，学会运用函数图象理解和研讨函数的性质.2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，进步运用知识解决成绩的能力.3.经过实例，使先生领会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题认识.4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的理论成绩，使先生感遭到学习函数单调性的必要性与重要性，加强先生学习函数的紧迫感，激发先生学习的积极性.重点难点教学重点:函数的单调性和最值.教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数方式化定义的构成.课时安排：2课时第1课时函数的单调性【教学目标】1．知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念，经过观察一些函数图象的特点，构成增（减）函数的直观认识. 再经过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。

1.3函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性●三维目标1．知识与技能(1)使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念；(2)初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．过程与方法(1)培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力；(2)感悟数形结合、分类讨论的数学思想．3．情感、态度与价值观领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣．●重点难点重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性．难点：根据定义证明函数的单调性和利用函数图象证明单调性．(1)重点的突破：以学生们熟悉的函数(一次函数、二次函数)为切入点，从直观入手，顺应学生的认知规律，让学生对图象的上升和下降有一个初步感性认识，在此基础上，教师通过启发式提问，层层分解函数单调性的定义中所涉及到的关键词(如：区间内，任意，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)等)，必要时教师借助多媒体，以动态的过程演示变量同函数值的变化关系，以帮助学生实现从“图形语言”⇒“文字语言”⇒“符号语言”多角度认识函数的单调性的过程，顺利完成“形”到“数”的转换，最终师生共同总结出单调增函数的定义；(2)难点的解决：首先让学生明确用函数图象判断函数单调性是最直观的一种方式，在此基础上通过实例提出问题：函数图象不能作出时，应如何处理函数单调性，通过分组讨论，让学生明确用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究，从研究函数图象过渡到研究函数的解析式．最后师生共同总结利用定义证明函数单调性的基本步骤：设值，作差，变形，断号，定论．如图，观察函数y＝x2的图象，回答下列问题：1．当x>0时，函数值y随自变量x的增大而发生什么变化？【提示】增大．2．如果在y轴右侧部分任取两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1<x2时，y1，y2的大小关系如何？是不是在定义域内任取两个点都有这个规律呢？【提示】y1<y2.并非在定义域内任取两个点都有这个规律．如－4<1，但(－4)2>12.3．如何用数学符号语言来描述y轴右侧的图象变化规律？【提示】在区间(0，＋∞)上，任取两个x1，x2，得到f(x1)＝x21，f(x2)＝x22，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)．y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．(1)y ＝3x －2；(2)y ＝－1x ；(3)y ＝－x 2＋2x ＋3.【思路探究】 画出函数的草图―→结合图象“升降” 给出单调区间【自主解答】 (1)函数y ＝3x －2的单调区间为R ，其在R 上是增函数．(2)函数y ＝－1x 的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为增函数．(3)函数y ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴为x ＝1，并且开口向下，其单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为(1，＋∞)，其在(－∞，1]上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．1．本题中求函数单调区间的方法是图象法，除这种方法外，求单调区间时还可以使用定义法，也就是由增、减函数的定义求单调区间．求出单调区间后，若单调区间不唯一，中间用“，”隔开，如本题第(2)小题．2．一、二次函数及反比例函数的单调性：(1)一次函数y ＝kx ＋b 的单调性由参数k 决定：当k ＞0时，该函数在R 上是增函数；当k ＜0时，该函数在R 上为减函数．(2)反比例函数y ＝k x (k ≠0)的单调性如下表所示： (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的单调性以对称轴方程x ＝－b 2a 为分界线．如图1－3－1是定义在区间[－4,7]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )的单调增区间是________，单调减区间是________．图1－3－1 【解析】 由图可知，函数y ＝f (x )的图象在[－4，－1.5]及[3,5)，[6,7]上具有下降趋势．在[－1.5,3]及[5,6)上具有上升趋势，故函数f (x )的单调增区间是[－1.5,3]及[5,6)；单调减区间是[－4，－1.5)，[3,5)及[6,7]．【答案】 [－1.5,3)，[5,6) [－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]判断函数f (x )＝x ＋9x 在x ∈[3，＋∞)上的单调性并用定义证明．【思路探究】 取值→作差→变形→判号→定论【自主解答】 函数f (x )＝x ＋9x 在[3，＋∞)上是增函数．任取x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋9x 1－x 2－9x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－9)x 1x 2又x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又x 1，x 2∈[3，＋∞)，∴x 1x 2－9>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)．即f (x )＝x ＋9x 在[3，＋∞]上为增函数．1．定义法判断函数单调性的四个步骤2．除定义法外，在判断或证明函数的单调性时还经常运用图象法．就是作出函数图象，由图象上升或下降，判断出单调性．判断函数f (x )＝x ＋9x 在(0,3)上的单调性．【解】 任取x 1，x 2∈(0,3)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋9x 1－x 2－9x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－9)x 1x 2. 又∵0<x 1<x 2<3，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－9<0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )＝x ＋9x 在(0,3)上为减函数．已知函数f (x )＝kx －4x －8在[5,20]上是单调函数，求实数k 的取值范围．【思路探究】 首先对二次项系数k 是否为零进行分类讨论，然后利用数形结合思想方法进行解答．【自主解答】 当k ＝0时，f (x )＝－4x －8，其在[5,20]上是单调减函数，所以k ＝0符合题意．当k ≠0时函数f (x )＝kx 2－4x －8对称轴为x ＝2k ，有两种情况：①k >0时，要使f (x )在[5,20]上单调，必有5≥2k 或20≤2k ，即k ≥25或0<k ≤110.②k <0时2k <0，显然[5,20]在对称轴右侧是单调减区间，所以k <0成立．综上可知，实数k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪⎪k ≤110或k ≥25由函数的单调性求参数取值范围的两种方法(1)利用单调性的定义例如，由f (x 1)>f (x 2)结合单调性，转化为x 1与x 2的大小关系．(2)利用函数的特征例如，二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数的取值范围．已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，且f (4a －3)>f (5＋6a )，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由题意得，4a －3>5＋6a ，即a <－4.【答案】 (－∞，－4)因混淆“单调区间”和“区间上单调”两个概念致误若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋4的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的取值范围是________．【错解】 函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1－a ，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a ≥4，即a ≤－3.【错因分析】 错解中把单调区间误认为是在区间上单调．【防范措施】单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．【正解】因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图象的对称轴为直线x ＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.【答案】a＝－31．定义单调性时应强调x1，x2，在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、判号、定论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．3．已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识：如f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.二是数形结合意识：如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题．图1－3－21．函数f (x )的图象如图1－3－2所示，则( )A ．函数f (x )在[－1,2]上是增函数B ．函数f (x )在[－1,2]上是减函数C ．函数f (x )在[－1,4]上是减函数D ．函数f (x )在[2,4]上是增函数【解析】 结合图象可知函数f (x )在[－1,2]上是“上升”的，故A 正确．【答案】 A2．函数y ＝－x 2＋2x －2的单调递减区间是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)【解析】 ∵函数y ＝－x 2＋2x －2的开口向下，且对称轴为x ＝1，∴函数y ＝－x 2＋2x －2的单调递减区间是[1，＋∞)．【答案】 B3．若函数y ＝－b x 在(0，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是________．【解析】 由反比例函数的单调性知，－b >0，∴b <0.【答案】 (－∞，0)4．判断函数f (x )＝x 2－2在(0，＋∞)上的单调性，并证明．【解】 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21－2－(x 22－2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)因为x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 1＋x 2>0.又因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)<0，所以f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )＝x 2－2在(0，＋∞)上单调递增.一、选择题1．函数y ＝(k ＋2)x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数，则k 的范围是( )A ．{k |k ≥－2}B ．{k |k ≤－2}C ．{k |k <－2}D ．{k |k >－2}【解析】 由题意结合一次函数的图象可知k ＋2>0，即k >－2.【答案】 D2．关于函数y ＝－5x 的单调性的叙述正确的是( )A ．在(－∞，0)上是递增的，在(0，＋∞)上是递减的B ．在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是递增的C ．在[0，＋∞)上是递增的D ．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的【解析】结合函数y ＝－5x 的图象可知，其在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的．【答案】 D3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是( )A ．y ＝－x 2B ．y ＝x 2－2C ．y ＝－2x ＋1D ．y ＝1x【解析】 结合A 、B 、C 、D 四个选项所对应函数的图象可知，B 正确．【答案】 B4．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2－1)<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a ) 【解析】 ∵a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴a 2＋1>a .∴f (a 2＋1)<f (a )． 【答案】 D5．(2014·芜湖高一检测)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2在[－5,5]上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－5]B ．[5，＋∞)C ．[－5,5]D ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)【解析】 函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2的对称轴是x ＝－a ，由函数f (x )在[－5,5]上单调，所以－a ≤－5或－a ≥5从而a ≤－5或a ≥5，即实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．【答案】 D二、填空题6．若函数f (x )是[－2,2]上的减函数，则f (－1)________f (2)．(填“＞”，“＜”，“＝”)【解析】 ∵f (x )在[－2,2]上是减函数，且－1＜2，∴f (－1)＞f (2)．【答案】 ＞7．函数y ＝|x ＋2|的单调递增区间为________．【解析】 y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <－2x ＋2，x ≥－2，图象如右图． 故函数的单调递增区间为[－2，＋∞)．【答案】 [－2，＋∞)8．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f (1)＝________.【解析】 ∵函数f (x )在(－∞，－2]上是减函数，在[－2，＋∞)上是增函数，∴x ＝－b 2a ＝m 4＝－2，∴m ＝－8，故f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝13.【答案】 13三、解答题9．(2014·济宁高一检测)求证函数f (x )＝1x 2在(0，＋∞)上是减函数【证明】 对于任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 21x 22. ∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0，x 21x 22>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )＝1x 2在(0，＋∞)上是减函数．10．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，且f (x )在区间[－2,2]上是增函数，f (1－m )＜f (m )，求实数m 的取值范围．【解】 因为f (x )在区间[－2,2]上单调递增，所以当－2≤x 1＜x 2≤2时，总有f (x 1)＜f (x 2)成立；反之也成立，即若f (x 1)＜f (x 2)，则－2≤x 1＜x 2≤2.因为f (1－m )＜f (m )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤m ≤2－2≤1－m ≤21－m ＜m ，解得12＜m ≤2.∴实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.11．画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出该函数的单调区间．【解】 x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3；x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3.∴y ＝{ －x 2＋2x ＋3，x ≥0 －x 2－2x ＋3，x <0画出该函数的图象如图所示，由图象知，该函数的单调递增区间是(－∞，－1]，(0,1]；单调递减区间是(－1,0]，(1，＋∞).。