北师大版九年级数学上册 4.7.2相似三角形的性质 导学案

九年级数学（上）导学案姓名： 班级： 日期：§4.7相似三角形的性质（2）【学习内容】相似三角形的性质（P109-P112页）【学习目标】经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。

利用相似三角形的性质解决一些实际问题.对子间等级评定：★（五星评定）对子间提出的问题：【训练课】（时段：晚自习，时间20分钟）一、填空1、如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．2、如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．3、连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．4、两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm2，则较小三角形的周长为________cm，面积为_______cm2．5、如果两个相似三角形的周长为6cm和15cm，那么两个相似三角形的相似比为_______6、已知甲、乙两个多边形相似，其相似比为2:5；若多边形甲的周长为24，则多边形乙的周长为；若两个多边形的面积之和为174，则多边形甲的面积为。

二、解答题：7、如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比．8、在△ABC中，已知DE∥BC，AE=3EC，S△ABC=48，求△ADE及四边形BCED的面积。

9、如图，Rt∆ABC∽Rt∆EFG,EF=2AB,BD和FH,分别是它们的中线，∆BDC与∆FHG是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比。

DCBAHGFE10、如图：在∆ABC和∆DEF中，G,H分别是边BC和EF的中点，已知AB=2DE，AC=2DF，∠BAC=∠EDF。

3.自主学习反思应真实反映学生的学习情况，有助于提高学习效果。
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学的相似三角形的性质，总结性质的应用和证明方法。
2.引导学生将相似三角形的性质与全等三角形的性质进行对比，明确它们的联系与区别。
3.强调相似三角形在实际生活中的应用，激课后作业，要求学生在课后对所学知识进行巩固和拓展，为下一节课的学习做好铺垫。
北师大版数学九年级上册4.7相似三角形的性质（第二课时）教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握相似三角形的基本性质，如对应角相等、对应边成比例，并能运用这些性质解决实际问题。
2.使学生能够运用相似三角形的性质，进行几何图形的证明和计算，提高学生的逻辑思维能力和解题技巧。
3.培养学生运用相似三角形的性质，解决与生活实际相关的问题，如地图比例尺、摄影中的相似变换等。
1.学生对相似三角形定义的理解程度，是否能顺利过渡到性质的学习。
2.学生在几何证明方面的能力，是否能运用已知性质进行严密的逻辑推理。
3.学生在实际问题中运用相似三角形性质的能力，是否能够将理论知识与生活实际相结合。
针对以上情况，教师应采取生动形象的教学方法，如运用多媒体、实物模型等辅助教学，帮助学生形象地理解相似三角形的性质。同时，设计具有启发性的问题和例题，引导学生积极参与课堂讨论，提高他们的逻辑思维能力和解题技巧。在课后，关注学生的作业完成情况，及时发现并解决他们在学习过程中遇到的问题，确保学生对相似三角形性质的理解和应用。
（3）采用小组合作法，鼓励学生相互交流、讨论，共同解决几何证明和实际问题；
（4）实施启发式教学法，教师通过提问、引导学生思考，激发学生的思维潜能。
2.教学策略：
（1）逐步引导：从复习相似三角形的定义入手，逐步过渡到性质的学习，让学生在已有知识的基础上自然过渡；

2.通过多媒体展示不相似的三角形和相似的三角形的例子，让学生直观地感受相似三角形的特征，激发学生的学习兴趣。
3.设计有趣的数学问题或挑战性的任务，让学生在解决实际问题的过程中自然地引入相似三角形的性质。
（二）问题导向
1.设计一系列递进式的问题，引导学生从已知的三角形性质出发，探索相似三角形的性质。
2.通过提问的方式，引导学生思考相似三角形的性质在实际问题中的应用，激发学生的思维能力和解决问题的能力。
（四）反思与评价
1.在教学过程中，教师要引导学生进行自我反思，检查自己对相似三角形性质的理解和运用是否正确。
2.设计评价任务，让学生通过解决问题来展示自己对相似三角形性质的掌握程度。
3.教师要及时给予评价和反馈，鼓励学生的进步，指出需要改进的地方，促进学生的持续发展。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
2.问题导向的教学策略：设计一系列递进式的问题，引导学生从已知的三角形性质出发，探索相似三角形的性质。提问的方式激发了学生的思维能力和解决问题的能力，使学生在解决问题的过程中自然地引入相似三角形的性质。
3.小组合作的学习方式：将学生分成小组，鼓励他们相互讨论和交流，共同探索相似三角形的性质。合作任务的设计培养了学生的团队合作能力和沟通能力，使学生在小组合作过程中更深入地理解和运用相似三角形的性质。
1.利用多媒体展示一些实际生活中的例子，如建筑设计图、电路图等，引导学生观察和思考这些例子中的三角形是否相似。
2.让学生尝试解释为什么这些三角形是相似的，引导学生回顾和复习相似三角形的概念和性质。
3.提出问题：“你们认为相似三角形的性质有哪些应用呢？”引起学生的思考和兴趣，导入新课。
（二）讲授新知
1.介绍相似三角形的性质，包括边长比、对应角相等、面积比等。

-组织学生进行小组合作，共同完成一份关于相似三角形性质及其应用的小研究，提高学生的合作能力和研究能力。
4.反思与总结：
-要求学生完成一份学习反思，内容包括本节课学到的知识、遇到的问题、解决方法以及收获等，帮助学生建立自我评价和反思的习惯。
-教师在批改作业时，要及时给予评价和反馈，关注学生的进步，鼓励学生持续努力。
-新知探究：组织学生分组讨论，合作探究相似三角形的性质，教师适时引导和点拨。
-性质应用：设计不同层次的例题和练习，让学生在解决问题的过程中运用相似三角形的性质。
-总结提升：引导学生归纳相似三角形性质的关键点，总结解题策略和方法。
-课堂反馈：通过课堂练习和小结，了解学生的学习情况，及时调整教学策略。
3.教学评价：
-注重培养学生的几何直观和逻辑思维能力，通过逐步引导，帮助学生建立知识体系。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课阶段，我将以生活实例为基础，引导学生从实际问题中发现相似三角形的性质。首先，我会向学生展示一组图片，包括放大镜下的三角形、不同尺寸的国旗图案等，让学生观察并思考这些图形之间是否存在某种关系。通过学生的回答，我会引导他们回顾全等三角形和相似三角形的定义，为新课的学习做好铺垫。
接着，我会提出一个具有挑战性的问题：“如果我们在一个三角形中，知道两边和它们夹角的比例关系，我们能否求出第三边的长度？”这个问题将激发学生的好奇心，促使他们积极思考。在此基础上，导入相似三角形的性质，为接下来的新知学习奠定基础。
（二）讲授新知
在讲授新知阶段，我会采用讲解、示范、引导相结合的方式，让学生逐步理解并掌握相似三角形的性质。
3.引导学生通过观察、实践、探索，发现相似三角形在生活中的应用，提高学生将数学知识应用于实际问题的能力。

课题：4.7.2相似三角形的性质教学目标：1．相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比.2．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.3．能用三角形的性质解决简单的问题.教学重点与难点：重点：相似三角形的性质与运用.难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解.课前准备：制作课件.教学过程：一、前置诊断，开辟道路活动内容：复习：(1)什么是相似三角形？相似比？（2）如何证明两个三角形相似？（3）相似三角形具有什么性质？处理方式：学生思考回顾上几节课所学的内容，找3名学生口答，其余学生矫正补充.设计意图：本环节采用开门见山、以旧引新的方式直接提出学习课题，使学生明确学习目的，为下一步引入新知指明了思考的方向，避免了盲目性.激发学生的学习欲望，顺利实行旧知到新知的迁移.二、创设情景，探究新知如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割出的三角形与梯形的面积之比为4：5，那么该怎么切割呢？AB C活动1：问题1：已知：△ABC ∽△A'B'C '，根据相似的定义，我们有哪些结论？（从对应边上看；从对应角上看：）问题2：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？问题3：思考（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ （2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？处理方式：对于问题1学生口答；对于问题2、问题3学生以小组形式讨论探索。

性质1 相似三角形周长的比等于相似比，对应高的比等于相似比。

即：如果△ABC ∽△A'B'C '，且相似比为k ， 那么k AC C B B A CABC AB =''+''+''++．性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 即：如果△ABC ∽△A'B'C '，且相似比为k ， 那么22)(k B A AB S S C B A ABC =''='''∆∆．设计意图：本环节采用探索的方式，让学生通过对直观图形的观察、思考及合理的推导，自己发现结论.而且通过三角形中对应高的比等于相似比的推理及等比的性质，类似地得出相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方的结论．这样既调动了学生的积极性和主动性，增强了学生积极参与教学活动的意识，有很好的培养了学生的归纳演绎能力、自学能力和逻辑思维能力。

4.7相似三角形的性质（2）学案班级 姓名 月 日一、学习目标：1、熟练应用相似三角形的性质：相似三角形的周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.2、并能用来解决简单的问题。

二、新课学习：1、已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，如果相似比为2，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？面积比呢？ 解:（1）∵△ABC ∽△C B A '''∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=2.∴C = C ABC A B C ∆'''∆ （2）∵S △ABC =21AB ·C D ，S △C B A '''=21AB ′·C ′D ′ .∴1212ABCA B C AB CD S AB CD S A B C D A B C D ∆'''∆⋅==⋅=''''''''⋅ 2、已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，如果相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？面积比呢？(请阅读书上P109方框内的做法)想一想，这名同学是用什么性质来计算的？我们根据以上可以得到结论：3、如图四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2，两个四边形周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？ 如果是两个相似五边形，它们的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？你是怎样得到的？两个相似n 边形呢？三、举例应用 例题2、如图将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF ，△ABC 与△DEF 的重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC 的面积的，已知BC=2，求△ABC 平移的距离。

四、随堂检测B1. 判断正误：（1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍；（）（2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边的长都扩大为原来的9倍。

3.教师对学生的总结进行点评和补充，强调相似三角形性质的重要性和应用。
（五）作业小结
1.布置相关的作业，让学生巩固所学的内容，提高解决问题的能力。
2.要求学生在作业中运用相似三角形的性质，培养他们独立思考和解决问题的能力。
3.教师对学生的作业进行批改和评价，及时了解学生的学习情况，为下一步的教学提供参考。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.掌握相似三角形的性质在几何证明中的应用，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
3.能够区分相似三角形与全等三角形的性质，并灵活运用这些性质解决相关问题。
（二）过程与方法
1.通过观察、操作、交流和思考，培养学生发现和提出问题的能力。
3.小组合作的学习模式：通过小组合作，让学生在讨论和交流中共同探索相似三角形的性质，培养学生的团队合作能力和沟通能力，提高学生的学习效果。
4.的综合评价，全面了解学生的学习过程和结果，关注学生的思维能力、问题解决能力和团队合作能力，为学生提供有针对性的反馈和指导。
5.作业小结的巩固与应用：通过布置相关的作业，让学生在实践中运用相似三角形的性质，巩固所学内容，提高解决问题的能力。同时，要求学生在作业中进行自我评价，培养学生的自我认知能力。
这些亮点的设计和实施，旨在提高学生的学习兴趣和主动性，培养学生的数学思维能力和问题解决能力，以及团队合作能力，帮助学生更好地理解和应用相似三角形的性质，提高教学效果。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：通过引入实际生活中的相似三角形问题，激发学生的兴趣和好奇心，让学生感受到数学与生活的紧密联系，增强学生的学习动力。
2.问题导向的学习：通过设计一系列问题，引导学生从特殊到一般，探索相似三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。同时，鼓励学生提出自己的问题，培养学生的独立思考和问题提出能力。

3.小组合作学习：采用小组合作的学习方式，培养学生的合作能力和团队精神。学生分组讨论，分享观点和例子，互相交流和学习，共同解决问题。教师进行巡回指导，解答学生的问题，提供必要的帮助和引导。
4.总结归纳与知识应用：在总结归纳环节，让学生回顾学习内容，总结相似三角形的性质和判定方法，形成系统的知识体系。同时，强调相似三角形性质在几何证明和实际问题解决中的应用，提高学生的知识应用能力。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过引入实际问题和生活情境，激发学生的学习兴趣和积极性。例如，计算建筑物面积或解决角度问题等，使学生感受到相似三角形性质在实际生活中的应用，提高学习的贴切性和实际意义。
2.问题导向与学生主动探究：以问题为导向，引导学生主动探究和发现相似三角形的性质。提出引导性问题激发学生思考，通过观察、操作和归纳等方法，发现和总结相似三角形的性质，培养学生的问题解决能力和科学探究精神。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.学生能够理解相似三角形的性质，包括对应边成比例、对应角相等。
2.学生能够运用相似三角形的性质解决实际问题，如计算面积、解决角度问题等。
3.学生能够熟练运用相似三角形的判定方法，判断两个三角形是否相似。
4.学生能够掌握相似三角形的性质在几何证明中的应用，提高证明能力。
（二）过程与方法
5.作业小结与反馈指导：布置有关相似三角形性质的练习题，巩固所学知识。要求学生在作业中运用相似三角形的性质解决实际问题，培养学生的应用能力。在批改作业过程中，及时给予反馈和指导，帮助学生纠正错误和提高解题能力。
情境的方式，让学生思考和讨论实际问题。例如，展示一张图片，图片中有一个矩形和一个相似的平行四边形，让学生计算它们的面积。通过这个问题，引导学生思考相似形的性质，从而引出本节课的主题——相似三角形的性质。

北师大版九年级数学上第四章图形的相似相似三角形的性质导学案4.7.相似三角形的性质(1)学习目的：1、探求相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质处置有关的效果；2、开展先生合情推理，和有条理的表达才干教学重点：相似三角形的性质教学难点：有条理的表达与推理先生阅读1分钟，明白学习目的。

二、预习导学：〔一〕知识链接：〔4分钟〕1.相似三角形的定义是怎样的？2.相似三角形有哪些性质？〔二〕自主学习，不议不讲. 〔10分钟〕互动探求一：探求相似三角形对应高的比.在生活中，我们经常应用相似的知识处置修建类效果.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A/B/C/，CD和C/D/区分是它们的立柱。

（1）试写出△ABC与△A/B/C/的对应边之间的关系，对应角之间的关系。

（2）△ACD与△A/C/D/相似吗？为什么？假设相似，指出它们的相似比。

（3）假设CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？（4）据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？1回忆旧知．一方面温习前面相似三角形的知识点，另一方面引出新的知识点。

(三)协作探求展现交流。

〔10分钟〕跟踪训练：如图 3-32，AD 是△ABC 的高，AD = h，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD，垂足为E.当SR = BC 时，求DE 的长．假设SR = BC 呢？(四〕．知识梳理：谈谈你本节课的收获？〔3分钟〕本节课学到了哪些知识? 学到了那些处置效果的方法？〔五〕板书设计：〔六〕教学反思：4.7(1)当堂检测：〔15分钟〕姓名：等级:1．△ABC ∽△A′B′C′，AD 和 A′D′是它们的对应角平分线． AD = 8 cm，A′D′= 3 cm，那么△ABC 与△A′B′C′对应高的比 .2.如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为 15 cm．他预备了一支长为 20 cm 的蜡烛，想要失掉高度为 5 cm 的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的中央？经过当堂测试，教员批阅，了解先生的掌握状况。

4/6
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
【跟踪训练 3】如图所示，在▱ABCD 中，点 E 是 CD 的延长线上一点，且 DE＝12CD，BE 与 AD 交于点 F.
(1)求证：△ABF∽△CEB； (2)若△DEF 的面积为 2，求▱ABCD 的面积．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD. ∴∠ABF＝∠E. ∴△ABF∽△CEB. (2)∵AD∥BC， ∴△DEF∽△CEB.∴SS△△CDEEBF＝(DCEE)2.
A．5∶9
B．4∶9
Байду номын сангаас
C．16∶81
D．2∶3
【跟踪训练 1】如图，把△ABC 沿着 BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是 △ABC 面积的一半．若 BC＝ 3，则△ABC 移动的距离是(D)
A.
3 2
B.
3 3
C.
6 2
D.
3－
6 2
3/6
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
【跟踪训练 2】如图，在▱ABCD 中，E 为 CD 的中点，AE 与 BD 相交于点 F.若△DEF 的面积为 2，则▱ABCD 的面积为 24．
【例 2】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 M 是斜边 AB 的中点，MD∥BC，且 MD＝CM， DE⊥AB 于点 E，连接 AD，BD.
A．30
B．27
C．14
D．32
4．如果两个相似三角形的周长比为 1∶2，那么它们某一组对应边上的高之比为 1∶2．
5．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，两腰的延长线相交于点 P.若 S△PAD∶S 梯形 ABCD＝1∶2，且 BC＝2 6，求 AD 的长．

2.学生展示与交流：
每个小组选派代表展示讨论成果，其他小组给予评价和补充。
3.教师点评与指导：
根据学生的讨论情况，给予及时的点评和指导，引导学生深入理解相似三角形的性质及其应用。
（四）课堂练习
1.教学活动设计：
设计不同难度的练习题，让学生巩固相似三角形的性质和判定方法。
2.练习题类型：
（1）基础题：求相似三角形的未知边长。
（二）讲授新知
1.相似三角形的定义：
以动态演示和静态图片相结合的方式，讲解相似三角形的定义，让学生理解并掌握相似三角形的含义。
2.相似三角形的性质：
（1）对应角相等：通过具体例子，让学生观察并发现相似三角形对应角相等的特点。
（2）对应边成比例：运用实际测量和计算，让学生理解相似三角形对应边成比例的性质。
1.请同学们认真完成作业，书写规范，保持卷面整洁。
2.对于提高拓展题和实践应用题，鼓励同学们积极思考，勇于尝试，培养解决问题的能力。
3.对于探究思考题，同学们可以相互讨论，共同解决问题，提高合作意识。
4.作业完成后，请认真检查，确保答案正确。
（1）引导学生观察、发现相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等。
（2）组织学生进行小组讨论，共同总结相似三角形的判定方法。
（3）通过典型例题，让学生掌握相似三角形性质在解题中的应用。
3.分层教学，关注个体差异：
针对不同水平的学生，设计不同难度的练习题，使每位学生都能在原有基础上得到提高。
（1）基础题：针对基础较弱的学生，设计巩固性质的题目，帮助其掌握基本概念。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：相似三角形的性质及其应用。
2.难点：相似三角形的判定方法及其在解决实际问题中的应用。

4.7 相似三角形性质第1课时相似三角形性质定理（一）理解相似三角形对应高比.对应角平分线比和对应中线比与相似比关系，会运用它求相关线段长.（重点）阅读教材P104107，自学“想一想” •“议一议”与“例1”，完成下列内容：（一）知识探究相似三角形对应高比•对应角平分线比.对应中线比都等于__________ .（二）自学反馈如图，已知△ ABB A A B‘ C,相似比为k, ADL BC于D, A D‘丄B‘ C 于D .（1）你能发现图中还有其他相似三角形吗？（2）△ ABC与厶A B C对应中线比.对应高比.对应角平分线比都等于________ .活动1小组讨论例如图，AD>A ABC高，AD= h,点R在AC边上，点S在AB边上,1 1SF L AD,垂足为E.当SR= 2BC时，求DE长，如果SR= 3BC呢？2 3解：T SRLAD BCL AD ••• SR/ BC.•••/ ASR=Z B,/ ARS=/ C.• △ ASR^A ABC （两角分别相等两个三角形相似）. AE SR • AD =SC 相似三角形对应高比等于相似比）,o AD- DE SR 即B€ 1 h -DE 11当SR =尹。

时,得〒=2.解得DE =尹 1h -DE 12当SR = 3BC 时,得〒=3.解得DE = 3h . 活动2跟踪训练 1. 如果两个相似三角形对应中线比为 8 : 9,贝卩它们相似比为（）A.8 : 9B.9 2 : 32.已知△ ABC^A DEF ,且相似比为 C.64 : 81D.22 : 3,则厶ABC W^ DEF 寸应高之比A.2 : 3B.3C.4 : 9D.93.如图，电灯 P 在横杆AB 正上方, AB 在灯光下影子为 CD AB// CD AB=2 m , CD= 5 m ,点P 至U CD 距离是 3 m ,则点P 到AB 距离是（ ）B.6 C. - m 5它们相似比为角平分线比为6.若厶 ABC^A A B‘ C , AD.A D 分别是△ ABC A A AD ： A D'= 3 : 4,A A B‘ C 一条中线 B‘ E '= 16 cm , 线BE=活动3课堂小结相似三角形性质定理1:相似三角形对应高比.对应角平分线比.对应中 线比都等于相似比.答案捉示【预习导学】 (一) 知识探究 相似比 (二) 自学反馈(1) △ ABD^A A B‘ □,△ AD3A A D C .(2)kD.10 空m4.如图，DE// BC 则厶 BC 交DE 于点G,则AG ： AF = .若 AD= 3, BD= 2, AF 丄,△ AGE^A5.若厶 ABB A A B‘ CB'= 13cm , 则它们对应B‘ C 高, 则厶ABC 中cm.【合作探究】 活动2跟踪训练 1.A 2.A 3.C 4.ADE ABC 3 5 AFC 3 : 5 5.3 : 26.12第2课时相似三角形性质定理（二）出示II 标理解相似三角形周长比.面积比与相似比关系，并会运用它解决相关问 题.（重点）備习出学阅读教材P10A110,自学“例2”，完成下列内容： （一） 知识探究相似三角形周长比等于 _______ ，面积比等于 ___________ . （二） 自学反馈如图，△ ABB A A B‘ C ,相似比为 k, ADL BC 于 D, A ' D 丄 B‘ C 于D .（1）你能发现图中还有其他相似三角形吗?ABC尬攻 在运用相似三角形性质时，要注意周长比与面积比之间区别, 不要混为一谈，另外面积比等于相似比平方，反过来相似比等于面积比 算术平方根.活动1小组讨论ABC (2) △ ABC W^ A B‘ C 中,例如图，将△ ABC沿BC方向平移得到△ DEF △ ABC与△ DEF重叠部分（图中阴影部分）面积是△ ABC面积一半，已知BC= 2,求厶ABC平移距离•解：根据题意，可知EG// AB.•••/ GEC=Z B,/ EGC=Z A.•••△GE OA ABC两角分别相等两个三角形相似）.S^ GEC EC E C（）2= 2（相似三角形面积比等于相似比平方），S^ ABC BC BC即2=專•E C= 2.•E C= ‘ 2.•B E= BC- EC= 2—“ 2,即厶ABC平移距离为2— 2.活动2跟踪训练AB 11. 已知△ ABB A A B‘ C，且=：,则S A ABC：S^A Z B z C =（）A B 2A.1 : 2B.2 : 1C.1 : 4D.4 : 12. 已知，△ ABC OA DEF △ ABC WA DEF面积之比为1 : 2,若BC= 1,则对应边EF长是（）A. 2B.2C.3D.423. 设两个相似多边形周长比是3 : 4,它们面积差为70,那么较小多边 形面积是( ) A.80 B.90 C.100D.1204. 若两个相似三角形周长比为2 : 3,贝卩它们面积比是 ________ .5. 如图，在正方形ABC 冲，F 是AD 中点，BF 与AC 交于点6则4 FGA 与厶BGC 面积之比是(1)求厶DEF 周长;⑵求厶DEF 面积.活动3课堂小结相似三角形性质定理2:相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相 似比平方.答案捉示【预习导学】 (一) 知识探究 相似比相似比平方 (二) 自学反馈(1) △ ABD^A A B‘ □,△ ADC^A A D C .(2)k k 【合作探究】 活动2跟踪训练 1.C 2.A3.B4.4 : 95.1 : 46.已知△ ABB A DEFDEA B=DE 2 一 2 DE 26. (1) v AB= 3，「上DEF周长二12X3= 8(cm).(2) v矿空，.」DEF2 2 1 2面积=30X(3)2= 133(cm2).。

九年级数学上册导学案
4.7相似三角形的性质（2）
一、学习目标：
1、相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系
2、相似多边形的周长比、面积比在实际中的应用
3、利用相似多边形的性质解决实际问题，训练运用能力
二、导学过程
如图，△ABC∽△A'B'C' ，相似比为2
(1)请你写出图中所有成比例的线段;
(2)△A BC与△A'B'C' 的周长比是多少？面积比呢？
想一想：
如果，△ABC∽△A'B'C',相似比为k，那么△A BC与△A'B'C' 的周长之比和面积比又是多少呢？
定理：相似三角形的周长比等于，面积比等于
练习：
1、判断正误：
（1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍；（）
（2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边的长都扩大为原来的9倍。

（）
2、如图：将∆ABC沿BC方向平移得到∆DEF，∆ABC与∆DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是∆ABC的面积的一半。

已知BC=2，求∆ABC 平移的距离。

反思：。

第2课时 相似三角形的周长比和面积比●置疑导入 如图，在比例尺为1∶400的地图上，测得一个三角形地块的周长为18 cm ，面积为9 cm 2，求这个地块的实际周长及面积．问题1 在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？1∶400表示什么含义？ 问题2 要解决这个问题，需要什么知识？问题3 你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？ 问题4 如何说明你的猜想是否正确呢？【教学与建议】教学：在一个开放的环境中，亲身经历和感受数学知识来源于生活中的过程．建议：小组交流、总结．●类比导入 复习比例线段的性质(基本性质、合比性质、等比性质)：(1)如果a b ＝65 ，那么a ＋b b ＝__115 __，a －b b ＝__15__．(2)如果a b ＝c d ＝e f ＝38 ，那么a ＋c ＋e b ＋d ＋f＝__38 __．(3)在四边形ABCD 和四边形EFGH 中，已知AB EF ＝BC FG ＝CD GH ＝DA HE ＝45，四边形ABCD 的周长是32 cm ，则四边形EFGH 的周长是__40__cm__．【教学与建议】教学：通过复习比例的性质，让学生感受多边形的周长比与相似比的关系．建议：让学生动手、动脑，探究相似图形周长之比与相似比之间的关系．●悬念激趣 某城区施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题：马路旁边原有一个面积为80 m 2、周长为60 m 的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿化地被削去了一个角，变成了一个梯形．如图，原绿化地一边AB 的长由原来的16 m 缩短成9 m ，则被削去部分的面积有多大？它的周长是多少？【教学与建议】教学：联系生活实际，设置悬念，从而激发学生的求知欲．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析．命题角度1 利用相似三角形的性质求周长比 相似三角形的周长比等于相似比．【例1】(1)若△ABC 的周长为20 cm ，点D ，E ，F 分别是△ABC 三边的中点，则△DEF 的周长为(B)A ．5 cmB ．10 cmC ．15 cmD ．203cm(2)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于点D ，则△BCD 与△ABC 的周长之比为__1∶2__．命题角度2 利用相似三角形的性质求面积比 相似三角形的面积比等于相似比的平方．【例2】(1)若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为1∶3，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比为(C) A ．1∶3 B ．3∶1 C ．1∶9 D ．9∶1(2)如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝∠DCB ，AD ∥BC ，且AD ＝12BC ，E 为AD 上一点，AC 与BE 交于点F .若AE ∶DE ＝2∶1，则△AEF 的面积△CBF 的面积＝__19 __．命题角度3 利用相似三角形的性质求对应线段的比 逆用相似图形的周长比或面积比求对应线段的比．【例3】(1)已知△ABC ∽△DEF ，且周长之比为1∶9，则△ABC 与△DEF 对应边上的高之比为(B) A ．1∶3 B ．1∶9 C ．1∶18 D ．1∶81(2)如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶2的两部分，则AD AB ＝__33__．高效课堂 教学设计1．理解并掌握相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系． 2．相似三角形的灵活运用．▲重点理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． ▲难点相似三角形性质的运用．◆活动1 创设情境 导入新课(课件)问题1：己经学过的相似三角形的性质有哪些？ ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例． ②相似三角形对应线段的比等于相似比．问题2：相似三角形的周长比、面积比与相似比有什么关系？ ◆活动2 实践探究 交流新知 【探究1】(1)请大家在图中的6×6方格(方格的边长均为单位1)上，画出一个与△ABC 相似，且相似比不是1的格点三角形A ′B ′C ′.(2)请同学们分别计算图中两个三角形的相似比、周长比及面积比；归纳总结相似三角形的周长比、面积比分别与相似比有什么关系．归纳：相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__． (3)想一想：①如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为2，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？面积比呢？②如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么你能求△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比吗？解：①△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是2∶1，面积比是4∶1；②△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是k ∶1，面积比是k 2∶1.【探究2】如图，四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′，其相似比为k ，试回答下面问题：(1)四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的周长比是__k ∶1__． (2)四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比是__k 2∶1__．归纳：相似多边形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__． ◆活动3 开放训练 应用举例例1 (教材P 110例2)如图，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF ，△ABC 与△DEF 重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC 的面积的一半．已知BC ＝2，求△ABC 平移的距离．【方法指导】相似三角形的判定及相似三角形的面积比等于相似比的平方的应用． 解：根据题意，可知EG ∥AB ， ∴∠GEC ＝∠B ，∠EGC ＝∠A ，∴△GEC ∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). ∴S △GEC S △ABC＝⎝⎛⎭⎫EC BC 2 ＝EC 2BC 2 (相似三角形的面积比等于相似比的平方)，即12 ＝EC 24. ∴EC 2＝2.∴EC ＝2 ， ∴BE ＝BC －EC ＝2－2 ， 即△ABC 平移的距离为2－2 .例2 (1)已知x 2 ＝y 3 ＝z5，且3x ＋4z －2y ＝40，求x ，y ，z 的值；(2)已知两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长之差为560 cm ，求它们的周长．【方法指导】(1)用同一个字母k 表示出x ，y ，z ，再根据已知条件列方程求得k 的值，从而进行求解；(2)根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长之差进行求解．解：(1)设x 2 ＝y 3 ＝z5＝k ，那么x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝5k ，由于3x ＋4z －2y ＝40，∴6k ＋20k －6k ＝40，∴k ＝2，∴x ＝4，y ＝6，z ＝10；(2)设一个三角形周长为C cm ，则另一个三角形周长为(C ＋560)cm ，则C C ＋560 ＝310，∴C ＝240，则C ＋560＝800，即它们的周长分别为240 cm ，800 cm.◆活动4 随堂练习1．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为(A)A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．4，62．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的12 ，那么边长应缩小到原来的__22__．3．如图，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，点E 是AB 的中点，连接EF .若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积．解：∵CF 平分∠ACB ，DC ＝AC ，∴CF 是△ACD 的中线，即F 是AD 的中点． ∵点E 是AB 的中点，∴EF ∥BD ，且EF BD ＝12，∴∠B ＝∠AEF ，∠ADB ＝∠AFE ，∴△AEF ∽△ABD . ∴S △AEF S △ABD＝⎝⎛⎭⎫12 2 ＝14 .∵S △AEF ＝S △ABD －S 四边形BDFE ＝S △ABD －6， ∴S △ABD －6S △ABD＝14 .∴S ABD ＝8，即△ABD 的面积为8. ◆活动5 课堂小结与作业学生活动：这节课的主要收获是什么？相似三角形的周长比和面积比与它们的相似比有什么关系？ 教学说明：培养学生的观察能力和分析能力，理解为什么相似三角形的面积比等于相似比的平方． 作业：课本P 110习题4.12中的T 1、T 4、T 5、T 6.本节课以学生的自主探究为主线，在猜想、证明相似三角形和相似多边形的性质时，也遵循学生的认知规律，循序渐进，易于学生理解．通过思考、探究、讨论，让学生切身感受到自己是学习的主人，为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础．。

B'4.7相似三角形的性质（1）学案班级姓名月日一、学习目标：1、熟练应用相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比的平方。

2、并能用来解决简单的问题。

二、新课学习： 1.完成下面的证明过程：（P106图4-30）∵////,BADCABCD⊥⊥∴∠ =∠ =90°∵/AA∠=∠∴△ACD∽△A′C′D′（两个角分别相等的两个三角形相似）∴//DCCD==21所以模型房的房梁CD= .由此我们得到，相似三角形的对应高的比等于2.如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD平分∠BAC，A/D/平分∠B/A/C/；。

试探究AD与 A/D/的比值关系？∵△ABC∽△A′B′C′∴∠A=∠________, ∠ACB=∠A′C′B′∵CD、C′D′分别是∠ACB、∠A′C′B′的角平分线.∴∠__________=∠__________∴△ACD∽△A′C′D′( )∴DCCD''=CAAC''=k.你得到的结论是：3.如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，E、E/分别为BC、B/C/的中点。

试探究AE与A/E/的比值关系？（你会写出证明过程吗？）你得到的结论是：三、举例应用EGHBC例题1、如图，AD 是△ABC 的高，点P ，Q 在BC 边上，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上。

BC ＝60 cm ，AD ＝40cm.四边形PQRS 是正方形（1） △A SR 与△ABC 相似吗？为什么？ （2） 求正方形PQRS 的边长。

四、随堂检测1. 两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2 cm 和5 cm ，那么这两个三角形的相似比是_____ _；如果在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是3 cm ，那么较长的中线是______ .2.△ACD ∽△A ′C ′D ′，BD 和B ′D ′是它们的对应中线，已知23，，CA AC ，B ′D ′=4cm ， 则BD 的长= 。

TDE为中位线,
•••DE=2
应选B.
3.运用相似三角形的性质
【例4】如图将'ABC沿BC方向平移失掉'DEF、A ABC与△ DEF堆叠局部〔图中阴 影局部)的面积是△ABC的面积的一半.BC=2,求△ABC平移的距离.
【解析】应用相似三角形的性质即可求解.
解：依据题意，可知EG//AB.
:.ZGEC=ZB,ZEGC= ZA・
【解析】由D为AC边中点，经过全等可得AE=CF,再应用相似三角形的性质即可求解-
解:VD为AABC中AC边的中点，AD=CD
VAE/7BC,
/. ZEAC=ZFCD, ZADE=ZCDF
Z.AADE^ACDF
••• AE=CF
VAE/ZBC
.AE GA \ CF1CF
BF BG 3'1BF3 8 + CF
练1.bDEFs^ABC,假泄相似比k=\,那么△DEF'ABC；假泄相似比k = 2、那么
DF BC
= 9 —•
AC EF
【解析】应用相似三角形性质即可求解.
解：•:HDEFs'ABC,相似比k=\
•••△DEF竺AABC,
假左相似比k=2.那么— =2, —=1-AC EF2
练2.假定△ABCsSBQ,且相似比为ki；aAiBiCi^AA2B2C2,且相似比为込,那么
.•・aGEC -aABC〔两角区分相等的两个三角形相似〕.
・•・= (―)2=£〔相似三角形的面积比等于相似比的平方〕
S^c BC BC"
:.BE = BC-EC = 2-近,即aABC平移的距离为2->/2・
总结：
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.