平行四边形与勾股定理

专题26 平行四边形与勾股定理结合1. 如图，BD 垂直平分AC ，交AC 于E ，∠BCD ＝∠ADF ，FA ⊥AC ，垂足为A ，AF ＝DF ＝5，AD ＝6，则AC 的长为__．2. 如图，已知四边形ABCD 和四边形BCEF 均为平行四边形，∠D ＝60°，连接AF ，并延长交BE 于点P ，若AP ⊥BE ，AB ＝3，BC ＝2，AF ＝1，则BE 的长为（ ）A. 53. 如图，四边形ABCD 中，90,1,3A ABC AD BC ︒∠=∠===,E 是边CD 的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相较于点F ．（1）求证：四边形BDFC 是平行四边形；（2）若△BCD 是等腰三角形，求四边形BDFC 的面积．4. 已知：如图，在四边形ABCD 中，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，延长DE 、BF ，分别交AB 于点H ，交BC 于点G ，若AD ∥BC ，AE ＝CF ．（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；（2）若∠DAH ＝∠GBA ，GF ＝2，CF ＝4，求AD 的长．5. 已知：如图所示，在平行四边形ABCD 中DE 、BF 分别是∠ADC 和∠ABC 的角平分线，交AB 、CD 于点E 、F（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；（2）若∠A ＝60°，AE ＝2EB ，AD ＝4，求平行四边形ABCD 的面积．6. 如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点O 是AC 的中点，//AD BC ．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）若4AD BD ==，且90ADB ∠=︒，求AC 的长．7. 如图，四边形ABCD 中，BE ⊥AC 交AD 于点G ，DF ⊥AC 于点F ，已知AF =CE ，AB =CD ．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如果∠GBC=∠BCD，AG=6，GE=2，求AB的长．8. 如图，等边△ABC的边长是4，点D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至BC，连接CD和EF．点F，使CF=12（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长；（3）求四边形DEFC的面积．9. 如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=12BC，连结DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．10. 如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD 的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；（2）当BP +PM +ME′的长度最小时，请直接写出此时点P 的坐标为_____；（3）如图2，点N 为线段BC 上的动点且CM=CN ，连接MN ，是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的EP 的值；若不存在，请说明理由．11. 如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，16cm AD =，12cm AB =，20cm BC =，点Q 从点A 出发以2cm/s 的速度向点D 运动，点P 从点B 出发以4cm/s 的速度向点C 运动，P ， Q 两点同时出发，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t s ．（1）当2t =时，四边形PCDQ 的面积为 ．（2）若以P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求t 的值；（3）当05t <<时，若DQ DP ≠，则当t 为何值时，DPQ ∆是等腰三角形？12. 已知：直线y＝34x+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．（1）直接写出A、B两点的坐标：A：_____，B：______；（2）求出OC的长；（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．专题26 平行四边形与勾股定理结合【1题答案】【答案】9.6【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA =DC ，BA =BC ，根据等腰三角形的性质得到∠DAC =∠DCA ，∠BAC =∠BCA ，证明AB ∥DF ，进而得到四边形AFDB 为平行四边形，根据平行四边形的性质得到BD =AF =5，AB =DF =5，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【详解】解：∵BD 垂直平分AC ，∴DA ＝DC ，BA ＝BC ，∴∠DAC ＝∠DCA ，∠BAC ＝∠BCA ，∴∠DAC ＋∠BAC ＝∠DCA ＋∠BCA ，即∠DAB ＝∠BCD ，∵∠BCD ＝∠ADF ，∴∠DAB ＝∠ADF ，∴AB ∥DF ，∵FA ⊥AC ，DB ⊥AC ，∴AF ∥BD ，∴四边形AFDB 为平行四边形，∴BD ＝AF ＝5，AB ＝DF ＝5，设BE ＝x ，则DE ＝5－x ，在Rt △AEB 中，222AB BE AE -=，在Rt △AED 中，222AD DE AE -=，∴2222AB BE AD DE -=-，即()2222565x x -=--，解得：x ＝75，∴AE 245=，∴AC ＝2AE ＝9.6，故AC 的长为9.6，故答案为：9.6．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．【2题答案】【答案】D【解析】【分析】过点D 作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于点H ，连接BD ，DE ，先证∠DHC =90º，再证四边形ADEF 是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果．【详解】过点D 作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于点H ，连接BD ，DE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =3，∠ADC =60º，∴CD =AB =3，∠DCH =∠ABC =∠ADC =60º，∵DH ⊥BC ，∴∠DHC =90º，∴∠ADC +∠CDH =90°，∴∠CDH =30°，在Rt △DCH 中，CH =12CD =32，DH ，∴222223(2)192BD BH DH =+=++=，∵四边形BCEF 是平行四边形，∴AD =BC =EF ，AD ∥EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AF ∥DE ，AF =DE =1，∵AF ⊥BE ，∴DE ⊥BE ，∴22219118BE BD DE =-=-=，∴BE =故选D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题．【3题答案】【答案】（1）见解析；（2）或【解析】【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明；（2）由等腰三角形的性质，分三种情况：①BD=BC,②BD=CD,③BC=CD,分别求四边形的面积．【详解】解：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，∴AF∥BC．∴∠CBE=∠DFE,∠BCE=∠FDE．∵E是边CD的中点，∴CE=DE．∴△BCE≌△FDE（AAS）．∴BE=EF．∴四边形BDFC是平行四边形．（2）若△BCD是等腰三角形，①若BD=BC=3 ．在Rt△ABD中，==．∴四边形BDFC的面积为S=；②若BC=DC=3，过点C 作CG ⊥AF 于G ，则四边形AGCB 是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG-AD=3-1=2，在Rt △CDG 中，由勾股定理得， CG ===，∴四边形BDFC 的面积为S=．③BD=CD 时，BC 边上的中线应该与BC 垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立；综上所述，四边形BDFC 的面积是或．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．【4题答案】【答案】（1）见解析（2）5【解析】【分析】（1）根据AD ∥BC ，可得DAE BCF ∠=∠，根据，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，可得∠AED =∠CFB =90°，结合AE ＝CF 即可证明DAE BCF ≌△△，根据全等三角形的性质可得AD BC =，即可得证；（2）勾股定理可得CG =证明四边形DGBH 是平行四边形，可得DG HB =，继而可得AH CG =，勾股定理求得2EH =，在Rt ADE △中勾股定理即可求解．【小问1详解】证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠AED =∠CFB =90°，DE BF∥∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠BCF ，在Rt △△DAE 和△BCF 中，90DEA BFC AE CFDAE BCF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DAE ≌△BCF （ASA ），∴AD =CB ，∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形；【小问2详解】DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴ DH BG ∥，GBA DHA ∴∠=∠，∠DAH ＝∠GBA ，DAH DHA ∴∠=∠，AD DH =∴，在Rt GCF △中，2,4GF CF ==，CG ∴==， 四边形ABCD 是平行四边形，DC AB ∴∥，AB CD =，DG HB ∴∥，DH GB ∥ ，∴四边形DHBG 是平行四边形，DG HB ∴=，AH CG ∴==Rt AEH △中，4,AE CF AH ===，2EH ∴=，在Rt ADE △中，222AD DE AE =+，()22224AD AD =-+，解得5AD =．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键．【5题答案】【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明EF 、BD 互相平分，只要证四边形DEBF 是平行四边形；利用两组对边分别平行来证明；（2）根据等边三角形的判定定理得到ADE ∆是等边三角形，求得4DE AE ==，得到2BE GE ==，过D 点作DG AB ⊥于点G ，根据直角三角形的性质得到122AG AD ==，由勾股定理得到DG ===形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是平行四边形，ADC ABC ∴∠=∠．又DE ，BF 分别是ADC ∠，ABC ∠的平分线，ABF CDE ∴∠=∠．//AB CD ，CDE AED ∴∠=∠，ABF AED ∴∠=∠，//DE BF ∴，//DE BF ，//DF BE ，∴四边形DEBF 是平行四边形；（2）解：60A ∠=︒ ，AB //CD ，120ADC ∴∠=︒，∵DE 是∠ADC 的角平分线，60ADE CDE ∠=∠=︒∴，ADE ∴ 为等边三角形，AE AD ∴=，4AD = ，4DE AE ∴==，过D 点作DG AB ⊥于点G ，2AE EB = ，2EB ∴=，在Rt DGE 中60DEG ∠=︒ ，30GDE ∴∠=︒，114222GE DE ∴==⨯=，224BG GE BE ∴=+=+=，在Rt ADG 中，4=AD ，60A ∠=︒，122AG AD ∴==，DG ∴==∴平行四边形ABCD 的面积6AB DG =⋅=⨯=．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，证得ADE ∆是等边三角形是解题的关键．【6题答案】【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由已知条件易证△AOD ≌△COB ，由此可得OD =OB ，进而可证明四边形ABCD 是平行四边形；（2）根据平行四边形的性质得出AC =2OA ，利用勾股定理即可解决问题．【详解】（1）证明：∵O 是AC 的中点，∴OA OC =，∵//AD BC ，∴ADO CBO ∠=∠，在AOD △和COB △中，ADO CBO AOD COB OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOD △≌COB △，∴OD OB =，∵OA OC =，∴四边形ABCD 是平行四边形．（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴122OB OD BD ===，2AC OA =，∵90ADB ∠=︒，∴OA ===∴2AC OA ==【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明四边形ABCD 是平行四边形，属于中考常考题型．【7题答案】【答案】（1）见解析 （2）9【解析】【分析】（1）先证明Rt △ABE ≌Rt △CDF ，得到AB ∥CD ，即可判定平行四边形；（2）证明AB=GB ，根据勾股定理构造方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）∵AF=CE ，∴AF-EF=CE-EF ，∴AE=CF ，∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵AB=CD ，∴Rt △ABE ≌Rt △CDF ，∴∠BAE=∠DCF ，∴AB ∥CD，∵AB=CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∠DAB=∠BCD ，∴∠AGB=∠GBC ，∵∠GBC =∠BCD ，∴∠AGB=∠BAG ，∴AB=GB ，设AB=GB=x ，则BE=x-2，∵BG ⊥AC ，∴2222AB BE AG GE -=-，∴()2222262x x --=- ，解得x=9，∴AB =9．【点睛】本题考查了平行四边的判定与性质，勾股定理，等腰三角形判定等知识，综合性较强，熟知相关定理并根据已知条件合理选择定理是解题关键．【8题答案】【答案】（1）见解析；（2）EF=（3）．【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理即可解决问题；（2）先求出CD ，再证明四边形DEFC 是平行四边形即可；（3）过点D 作DH ⊥BC 于H ，求出CF 、DH 即可解决问题．【详解】解：（1）在△ABC 中，∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，∵CF ＝12BC ，∴DE ＝CF ；（2）∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB，∵BC＝4，BD＝2，∴CD∵DE∥CF，DE＝CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴EF＝CD＝（3）过点D作DH⊥BC于H，∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，DC，∴DH＝12∵DE＝CF＝2，∴S四边形DEFC＝CF•DH＝＝【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住平行四边形的面积公式，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．【9题答案】【答案】（1）见解析（2【解析】【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．【详解】（1）证明：在▱ABCD中，AD BC，且AD=BC∵F是AD的中点AD∴DF=12BC又∵CE=12∴DF=CE，且DF CE∴四边形CEDF是平行四边形；（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H．在▱ABCD中，∵∠B=60°，∴∠DCE=60°．∵AB=4，∴CD=AB=4，CD=2，DH∴CH=12AD=3，则EH=1．在▱CEDF中，CE=DF=12∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=．视频【10题答案】【答案】（1）（﹣2，，（4，；（2）（2；（3）EP的值为3或6或5．【解析】【分析】（1）由30°直角三角形的性质求出OD的长，再由平行四边形的性质求出BD 的长即可解决问题；（2）首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，因为PM是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小；（3）分三种情形画出图形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD A（﹣2，2，∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，；（2）如图1中，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小．∵直线OB的解析式为y，∴P（2）．故答案为（2）．（3）如图2中，当PM=PN时，∵AOCB 是平行四边形，∴∠MCN =∠A =60°．∵MC =CN ，∴△MNC 是等边三角形，∴∠CMN =∠CNM =60°．∵PM ⊥OC ，∴∠PMN =∠PNM =30°，∴∠PNF =30°+60°=90°，∵∠PFN =∠BCO =60°，∴∠NPF =30°，NF =1，∴PF =2NF =2，∵EF =2BD OC =5，∴PE =5﹣2=3．如图3中，当PM =MN 时，∵PM =MN =CM ，∴EP =OM =6如图4中，当点P 与F 重合时，NP =NM ，此时PE =EF =5．综上所述：满足条件的EP 的值为3或65．【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．【11题答案】【答案】（1）2144cm ；（2）2t =；（3）83t =或74t =【解析】【分析】（1）当2t =时，算出AQ 、PB 的值，进而求出DQ 、PC 的值，由平行四边形的判定得出四边形PCDQ 为平行四边形，进而求出平行四边形的面积；（2）P 未到达C 点时，要使四边形PCDQ 是平行四边形，由平行四边形的性质得出QD PC =，列出等式解答即可；（3）分PQ PD =，QD QP =两种情况讨论计算，求出时间即可得出答案．【详解】解：（1）∵边形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，16cm AD =，12cm AB =，20cm BC =，点Q 从点A 出发以2cm/s 的速度向点D 运动，点P 从点B 出发以4cm/s 的速度向点C 运动，当2t =时，AQ ＝4cm ，PB ＝8cm ，∴DQ ＝16－2＝12cm ，PC ＝20－8＝12cm ，∴DQ ＝PC ，∴此时四边形PCDQ 为平行四边形，四边形PCDQ 的面积为：1212=⨯2144cm ，故答案为：2144cm ；（2）P 未到达C 点时，要使四边形PCDQ 是平行四边形，则QD PC =，162204t t -=-，解得2t =．∴ 四边形PCDQ 是平行四边形时，t 的值是2．（3）①如图，若PQ PD =，过点P 作PE AD ⊥于点E ，则162QD t =-，11(162)822QE QD t t ==-=-，2(8)8AE AQ QE t t t =+=+-=+，AE BP = ，84t t ∴+=，解得：83t =．②如图，若QD QP =，过Q 作QF BC ⊥于F ，则12QF =，422FP t t t =-=，在Rt QPF ∆中，222QF FP QP +=，()()22122162t t 2∴+=-，解得74t =．∴当83t =或74t =时，DPQ ∆是等腰三角形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线利用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理是解题的关键．【12题答案】【答案】（1）A （-8，0），B （0，6）；（2）3；（3）（-2，2）或E （-6，-6）；（4）21(1,)4-或27(1,)4或3(7,4-【解析】【分析】（1）在直线364y x =+中，分别令x =0，y =0，可得A ，B 坐标；（2）由翻折不变性可知，OC CD =，6OB BD ==，90ODB BOC ∠=∠=︒，在Rt ADC ∆中，90ADC ∠=︒，利用222AD CD AC +=，即可求解；（3）证明()FMA ANE AAS ∆≅∆，则NE AM =，MF AN =，即可求解；（4）分MC 是边、MC 是对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）对于直线364y x =+，令0x =，得到6y =，(0,6)B ∴，令0y =，得到8x =-，,0()8A ∴-．(8,0)A - ．(0,6)B ；（2）由（1）可得：(8,0)A -．(0,6)B ，8OA ∴=，6OB =，90AOB ∠=︒ ，10AB ∴==，由翻折不变性可知，OC CD =，6OB BD ==，90ODB BOC ∠=∠=︒，4AD AB BD ∴=-=，设CD OC x ==，在Rt ADC ∆中，90ADC ∠=︒，222AD CD AC ∴+=，2224(8)x x ∴+=-，解得3x =，3OC ∴=；（3）由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：26y x =+，设点(,26)F m m +、(,26)E n n +，过点A 作y 轴的平行线交过点F 与x 轴的平行线于点M ，交过点E 与x 轴的平行线于点N ，AEF ∆ 为等腰直角三角形，故AE AF =，90NAE MAF ∠+∠=︒ ，90MAF MFA ∠+∠=︒，NAE MFA ∴∠=∠，90FMA ANE ∠=∠=︒ ，AE AF =，()FMA ANE AAS ∴∆≅∆，NE AM ∴=，MF AN =，即268m n --=+，268n m +=+，解得：2m =-，6n =-，故点F 的坐标为(2,2)-、点(6,6)E --；由于E 、F 的位置可能互换，故点E 的坐标为(2,2)-、点(6,6)F --；综上，点F 的坐标为(2,2)-或(6,6)E --；（4）点M 是AB 的中点，则点(4,3)M -，而点(8,0)A -，设点(0,)P n ，点3(,6)4Q m m +，①当MC 是边时，点M 向右平移1个单位向下平移3个单位得到点C ，同样点()P Q 右平移1个单位向下平移3个单位得到点()Q P ，故01m +=且3364n m -=+或01m -=且3364n m +=+，解得：1m =或1-，故点Q 的坐标为21(1,)4Q -或27(1,)4；②当MC 是对角线时，由中点公式得：43m --=且3364n m =++，解得：7m =-，故点Q 的坐标为3(7,)4-；综上，点Q 的坐标为：21(1,4-或27(1,)4或3(7,)4-．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、三角形全等等，其中（4），解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．。

勾股定理五种证明方法
1. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜
边为c。

根据勾股定理，我们有a^2 + b^2 = c^2。

将三条边的
长度代入该等式，进行计算验证即可证明。

2. 几何证明：通过绘制直角三角形，并利用几何原理证明。

例如，可以画一个正方形，然后在其两条相对边上各画一个相等的直角三角形，再使用平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2
= c^2。

3. 相似三角形证明：假设两个直角三角形，已知其斜边比例为m:n，利用相似三角形的性质可以得出直角边的比例也是m:n，进而得到a^2 + b^2 = c^2。

4. 平行四边形法证明：利用平行四边形的性质，可通过画出一个具有相等对边的平行四边形来证明勾股定理。

通过平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2 = c^2。

5. 微积分证明：利用微积分的知识可以证明勾股定理。

通过对直角三角形边长进行微分，并进行适当的运算，可以得到a^2 + b^2 = c^2。

这种证明方法比较复杂，需要较高的数学知识和
技巧。

四边形考点一、四边形的相关概念（3分）1、四边形：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。

2、凸四边形：把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。

3、对角线:在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。

4、四边形的不稳定性:三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。

但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。

5、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

6、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为。

考点二、平行四边形（3~10分）1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

勾股定理知识点回顾１、勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBAbacbac cabcaba bcc baE D CBA方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３、勾股定理的适用范围：只适用于直角三角形４、勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a cb =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５、勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；当△ABC 是锐角三角形时，当△ABC 是钝角三角形时，②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ６、勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７、勾股定理的应用在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８、勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在计算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９、勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°DCBAADB CCB DA知识运用题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为DBAC21EDCBA例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积BAC题型三：实际问题中应用勾股定理例5如图，水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.例6.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例7.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23c =例8.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例9.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =D CBA四边形知识点回顾知识一：多边形内角和与外角和1.n边形内角和为（n-2）180°,外角和为360°。

1.完成下面题目图1 图2 图3 图4 图5 图6（2）如图2、3、4，已知，三角形ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为三角形ABC外一点，且满足∠ADB=90°①如图2所示，求证：DA+DB=ξ2DC。

②如图3所示，猜想DA，DB，DC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论。

③如图4所示，过C作CH⊥BD于H，BD=6，AD=3，求CH。

（3）如图5，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13，DB=5ξ2，DC=7，试求∠BDC的度数。

（4）如图6，△ABC为等边三角形，若D为△ABC外一点，满足∠CDB=30°，求证DC2+DB2=DA2。

2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5ξ3，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由3.如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB, CD于E、F,连接PB､PD.若AE = 2,PF= 8.则图中阴影部分的面积是什么？4.在矩形ABCD中,点E在BC上,AE = AD,DF⊥AE,垂足为F.①求证:DF = AB;②若∠FDC = 30°,且AB = 4,求AD.5.如图,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形,即△ABD､△BCE､△ACF,请回答下列问题,并说明理由.①四边形ADEF是什么四边形?②当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形?③当△ABC满足什么条件时,以A､D､E､F为顶点的四边形不存在6.已知，在等腰Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB，点A和B在第四象限（1）如图1，若A（1.-3），则OA=__________，点B的坐标为（______，______）（2）如图2，AD⊥y轴于点D，M为OB中点，求证：DO+DA=ξ2DM6.如图，∠AOB=40°，M和N分别在OA，OB上，且OM=2，ON=4，点P和点Q分别在OB和OA上，求MP+PQ+QN的最小值。

勾股定理的原理和应用一、原理勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是数学中的一条基本定理，用于计算直角三角形的边长关系。

其基本形式为：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

具体表达式如下：a^2 + b^2 = c^2其中，a、b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边。

勾股定理的证明可以通过几何方法（如平行四边形法）或代数方法（如几何积分法）进行。

无论采用何种方法，勾股定理都得到了充分的证明和确认。

二、应用1. 三角形边长的计算勾股定理是三角学中非常重要的一项知识，通过勾股定理，我们可以计算直角三角形的边长。

给定两条已知边的长度，即a和b，根据勾股定理可以计算出斜边c的长度。

同样，给定斜边c和一条已知边的长度，可以计算出另一条直角边的长度。

2. 解决实际问题勾股定理在实际问题中有着广泛的应用。

例如：•建筑设计中，勾股定理可以用来计算房屋各个部分的尺寸和角度，确保建筑的稳定性和舒适性。

•地理测量中，勾股定理可以用来计算地球上两点的距离和方位角。

地图制作、导航系统等都离不开勾股定理的应用。

•三角测量中，勾股定理常常用于测量较远距离的天体相对位置，例如测量地球和月亮之间的距离。

3. 数学推导和证明勾股定理的证明是数学中的经典问题之一，通过勾股定理的证明，我们可以了解到数学推理和证明的思维方式和方法。

•几何推导方法：通过几何图形的运用，如平行四边形法、相似三角形法等，可以证明勾股定理的几何性质。

•代数推导方法：通过代数符号和运算的变换、数学等式的推导等方法，可以证明勾股定理的代数性质。

三、总结勾股定理是数学中一项非常重要的定理，它不仅有广泛的应用，还是数学推导和证明的经典问题之一。

通过对勾股定理的学习和掌握，我们可以更好地理解和应用数学知识，解决实际问题。

勾股定理在平行四边形中的应用作者：张景强来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2015年第03期平行四边形里的计算，有不少是与勾股定理相结合的.这两部分内容都是本学期学习的重点，将两者结合在一起所命的题目，一般都是中、高档的填空题或选择题，这在近几年的中考里体现得较为丰富.现以近年中考题为例加以剖析，详细解答过程由同学们自己完成.例1 （十堰）如图1所示，平行四边形ABCD中，∠ABC=60°.E，F分别在CD和BC的延长线上.AE//BD，EFIBC，则AB的长是_____.简析：显然，四边形ABDE是平行四边形，所以在Rt△ECF中.∠ECF=∠ABC：60°，故∠CEF=30°，所以CE=2CF又所以根据勾股定理列方程可求得CE的长，从而求出AB.例2 （泰安）如图2，在口ABCD中，AB=4.∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为DC的中点.DG⊥AE，垂足为G.若DG=1.则AE的长为（）.简析：角平分线遇到平行线，可得等腰三角形.所以，有AD=DF，BE=AB.F是DC的中点，所以从而有AF=EF，AD=CE（BC）=∠BE=∠AB=2。

由DG上AE，△ADF为等腰三角形，所以AG=GF所以AE=4AG.在Rt△ADG中，根据勾股定理得所以选B.例3 （云南）如图3，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM.DN.（1）求证：四边形BMDN是菱形：（2）若AB=4，AD=8，求MD的长.解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC.∠BNO=∠DMO、∠NBO=∠MDO.因OB=OD，故ON=OM.所以四边形BMDN是平行四边形.因BD⊥MN，则平行四边形BMDN是菱形.（2）因四边形BMDN是菱形，故MB=MD.设MD长为x，则MB=x，AM=8-x.在Rt△AMB中.MB2=AM2+AB2，即X2=（8-x）2+42，解得x=5. MD的长为5.例4 （苏州）如图4，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD的内部.将AF延长，交边BC于点G.若解析：根据题设可得DE=CE，再根据翻折的性质可得DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°.从而得到CE=EF连接EG，如图5.利用“斜边直角边”可证明Rt△ECG和Rt△EFG全等，可得CG=FG.设CG=1.则CB=k，所以AF=AD=BC=k+l，AG=k+2.在Rt△GAB 中，由勾。

勾股定理的500种证明方法1.几何推导：这是最著名的证明方法。

它通过将直角三角形切割、旋转、重新拼合，利用几何图形的性质，推导出勾股定理。

2. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c。

则根据勾股定理，我们有c² = a² + b²。

我们可以将这个等式写成(a + b)² = c² + 2ab。

将c² = a² + b²代入，得到(a + b)² = a² + b² + 2ab。

再进一步化简，得到a² + 2ab + b² = a² + b² +2ab。

最后，化简为a² + b² = a² + b²。

我们可以发现，等式两边完全相等，从而验证了勾股定理。

3.数学归纳法证明：我们首先证明直角三角形边长为3,4,5时，满足勾股定理。

然后，假设对于边长小于n的所有直角三角形，都满足勾股定理。

接下来，我们考虑直角三角形边长为n的情况。

我们可以将这个三角形切割成由三个直角子三角形组成的形状。

根据归纳假设，这三个子三角形满足勾股定理。

我们可以对这些子三角形应用基本的代数运算和性质，进一步证明整个直角三角形也满足勾股定理。

4.平行四边形法证明：将一个直角三角形内切于正方形中，然后根据正方形的性质和等式关系，利用平行四边形的性质推导出勾股定理。

5.反证法证明：假设存在一个直角三角形，它的三条边无法满足勾股定理。

然后，通过对无法满足定理的条件进行分析，得出矛盾，从而证明了勾股定理的正确性。

6.数学几何方法：通过利用数学几何的原理和定理，如相似三角形、垂直直角等，推导出勾股定理的等式。

7.三角函数法证明：将三角函数引入到勾股定理的等式中，然后根据三角函数的性质，推导出等式成立。

以上仅为部分常见的证明勾股定理的方法，实际上有无数种证明方法可供选择。

平行四边形法则与勾股定理–内积与范数.所谓的范数，就是向量长度这个概念在一般向量空间中的推广。

简单地讲就是从向量空间到数域的一个函数，满足如下条件：1) ，并且当且仅当。

2)3)在一个内积空间中，由内积表达式就可以定义出一个范数，这个范数称为由内积诱导的范数。

不是所有的范数都是由内积诱导出来的。

例如，在中，定义范数，它确实是范数但没有内积可以诱导出这个范数。

因为，内积诱导的范数满足平行四边形法则：即平行四边形四边的平方和等于两对角线的平方和。

而上面举的例子显然不满足这个特性。

那么是不是一个范数只要满足平行四边形法则，它就必然是由某个内积诱导出来的呢？答案是肯定的。

证明见下面。

那么平行四边形法则到底是什么东西？为什么有这么大的魔力，使它成为一个范数是否有内积背景的唯一门槛？如果一个范数是由内积诱导的，也就是存在内积满足，那么它必然带有内积的某些特性，尤其是，内积是个双线性函数（复数空间上是半双线性函数），这就表明内积是个二次式，导致范数的平方本身也应该是个二次式。

更确切地讲，内积的半双线性直接导致余弦定理：但是，这两个公式中依然有一个内积，所以无法用这个来判断某个范数是否由内积诱导的，原因是这个时候还不知道内积为何物。

依照勾股定理的证明，当的时候，我们可以消除内积的身影，即勾股定理的如下形式：当时，这样，这个条件之中完全没有内积的参与，并且它是范数由内积诱导的必要条件。

但是，它是否是充要条件暂且不论，我们在用它判断的时候就可能遇到麻烦。

因为要断定一个范数不是由内积诱导（大多数情况下不是），就需要找到两个向量满足但不满足，这在某些情况下是有困难的。

还有一种从余弦定理中消除内积的方法，就是不管是否有，我们将余弦定理两个式子相加，从而消掉内积得到了平行四边形法则它是一个范数由内积诱导的充要条件。

从平行四边形法则，可知，定义于上的p-范数当且仅当p=2 时是由内积诱导的。

值得注意的是勾股定理、余弦定理、平行四边形法则和内积诱导范数之间的关系，它们在下面的意义下是等价的：命题1：数域包含实数域，在的一个赋范向量空间中，如果范数满足以下条件之一，那么这个范数是由内积诱导的。

八年级数学《勾股定理》教案8篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如心得体会、工作报告、工作总结、工作计划、申请书、读后感、作文大全、合同范本、演讲稿、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of practical materials for everyone, such as insights, work reports, work summaries, work plans, application forms, post reading reviews, essay summaries, contract templates, speech drafts, and other materials. If you want to learn about different data formats and writing methods, please stay tuned!八年级数学《勾股定理》教案8篇本文将为大家介绍八年级数学《勾股定理》教案8篇。