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第6页/共71页
为了深入研究这种现象，Lorenz把12个大 气动力学方程进一步简化为三个一阶的常微分 方程组，并进行了深入细致地分析，得到同样 的结论。这三个方程也便成了经典的混沌的例 子——Lorenz模型。
第7页/共71页
Lorenz通过对他所提出的方程进行研究表明： 短期的天气预报可行，但长时期天气预报是不可 能的。
“蝴蝶效应”：在南半球某地的一只蝴蝶偶 然扇动翅膀所带来的微小气流，几星期后可能变 成席卷北半球某地的一场龙卷风。
第8页/共71页
二、雷诺实验 在混沌研究中，另一类比较有代表意义的混沌
现象便是湍流。 雷诺（Reynold）实验: 在一个可控制流速的
园管中注入液体，并在园管中心轴线入口处引入一 丝有色液体，以便观察流体的运动状况。
但作为一个科学术语，一般认为李天岩和约克 （Yoke）在1975年的论文“周期3则混沌”是首次 引用Chaos一词。
第1页/共71页
3.1 引 言
“混沌”的来历
1973年4月的一天，在美国马里兰大学 数学系，一名叫李天岩的研究生百无聊赖地 走进导师约克教授的办公室，此时李的博士 论文正处于胶着阶段，一时未有进展。
：t时刻的昆虫数
K：昆虫繁殖后代的能力 L：环境容量，环境能够供养的最大昆虫数目。
其等于
的饱和值X*。
第22页/共71页
如果我们将环境容量取为1个单位，也即意味着 如果L=100万，那么昆虫数目 应以100万为单位。 上式变为：
x 此式的精确解为：
X（0）是
时的昆虫数。
t
昆虫繁衍的长期行为：当
饱和值
第37页/共ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1页
2点周期：
（1）
说明 经过两次映射（两个f）又回到 ，如果定义 一个复合函数：

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D log N(r) 或 log(1/ r)
DlimlogN(r) r0 log1(/ r)
一般地，我们就把这样定义的容量维叫做豪斯道夫 维数，把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形，把此
时的D 值称为该分形的分形维数，简称分维。也有人
把该维数称为分数维。
奇怪吸引子
奇怪吸引子又叫分形吸引子，因为它们都是相空间的分形点集， 不能用传统的规则几何图形表示。一个耗散系统的相空间当时间 趋于无穷大时，如果收缩到一个非整数维的点集，这就是一个奇 怪吸引子。
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蝴蝶效应
1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次 演讲中提出：一只南美洲的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，在两 周以后可以引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。
此效应说明，事物发展的结果， 对初始条件具有极为敏感的依赖 性，初始条件的极小偏差，将会 引起结果的极大差异，甚至会呈 现一种混沌状态。
dz d
bz
xy
x -对流的翻动速率 y -比例于上流与下流液体之间的温差 z-是垂直方向的温度梯度
无量纲因子
b-速度阻尼常数
r -相对瑞利数 r = R/RC。
这是一个三维系统，x、y、z为状态变量，σ、r、b为控 制参量。 Nhomakorabea伦兹方程
在r 较小的情况下，系统是稳定的，随着的r 增加，系统 趋于复杂，出现不稳定的极限环，在r =28时达到混沌 状态。所以， σ = 10 ，b = 8/3 ，r = 28 时利用 Matlab编程，得到下图：
xn1axn(1xn)
它经常被用来描述没有世代交叠的昆虫群体的繁殖 演化，称为虫口模型。a为控制参数，虫口数x为状 态变量，xn为第n代虫口数，虫口模型给出第n代虫 口与第n+1代虫口的关系，知道n代虫口就可以按 逻辑斯蒂方程计算第n+1代虫口。

(完整版)混沌系统介绍及例子

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专业学术讲座报告班级：信计12-2学号：************ 姓名：**二零一五年六月二十二日目录1.混沌系统概念2.典型混沌系统介绍3.混沌金融系统的线性与非线性反馈同步4.混沌研究的发展方向及意义一、混沌系统概念混沌（chaos ）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。

又称浑沌。

英语词Chaos 源于希腊语，原始 含义是宇宙初开之前的景象，基本含义主要指混乱、无序的状态。

作为科学术语，混沌一词特指一种运动形态。

动力学系统的确定性是一个数学概念，指系统在任一时刻的状态被初始状态所决定。

虽然根据运动的初始状态数据和运动规律能推算出任一未来时刻的运动状态，但由于初始数据的测定不可能完全精确，预测的结果必然出现误差，甚至不可预测。

运动的可预测性是一个物理概念。

一个运动即使是确定性的，也仍可为不可预测的，二者并不矛盾。

牛顿力学的成功，特别是它在预言海王星上的成功，在一定程度上产生误解，把确定性和可预测性等同起来，以为确定性运动一定是可预测的。

20世纪70年代后的研究表明，大量非线性系统中尽管系统是确定性的，却普遍存在着对运动状态初始值极为敏感、貌似随机的不可预测的运动状态——混沌运动。

混沌是指现实世界中存在的一种貌似无规律的复杂运动形态。

共同特征是原来遵循简单物理规律的有序运动形态，在某种条件下突然偏离预期的规律性而变成了无序的形态。

混沌可在相当广泛的一些确定性动力学系统中发生。

混沌在统计特性上类似于随机过程，被认为是确定性系统中的一种内禀随机性。

二、典型混沌系统介绍Lorenz 系统混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。

他提出了著名的Lorenz 方程组：。

这是一个三阶常微分方程组。

它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。

式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统(2-1)的主要控制参数。

混沌系统理论

混沌系统理论
“上帝的指纹”
混沌理论的特征
分形几何理论诞生于20世纪70年代中期，创始人是美国数学家--曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的《大自然的分形 几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作。
康托尔三分集
谢尔宾斯基地毯
分 形 项 链
D即维数
D = logｋ/logλ
λ 其中：
为线度的放大倍数
ｋ为“体积”的放大倍数
由于这样定义的维数D是一个分式所得出的比值，因此人们称之为 分数维。
容量维
柯尔莫戈洛夫(Kolmogorov)曾给分维这样定义：
对于d 维空间中的一个小集合E，我们可以用一些直径r的 d 维小球去覆盖它，如果完全覆盖所需的小球数目的最小值为 N(r) , 则该子集的柯尔莫戈洛夫容量维为：
实际上，混沌学研究从另一方面增加了人 们的预见能力。
貌似无序的高级有序性
混沌现象给人们的第一印象往往是混乱 不 堪，毫无规则，但混沌不等于混乱，是一种 貌似无序的复杂有序。 混沌绝不是简单地无序，而是被无序掩盖 着的高级有序，貌似无序的复杂有序，有人 称其为混沌序。
逻辑斯蒂方程的有序性
倒分叉
周期窗口
长期行为的不可预见性
由于其内在非线性机制造成对初值的敏感 依赖性，混沌系统的长期行为是不可预测的。 任何实际系统的初始条件都不可能绝对精确 地确定，误差是不可避免的。
混沌是由确定性系统产生的，它的短期行 为是可以预测的。
只要系统处于混沌区，我们就无法对它的 长期行为作出预测，但是混沌运动并非绝对 不可预测。
lim inf fn(x)fn(y)0
则称 f ( x ) 描述的系统为混沌系统，S 为 f 的混沌集。

混沌理论及其应用实例精品PPT课件

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我们就说这个函数是线性的. 反之,该函数为非线性的.
3
牛顿第二定律研究自由落体:
m dv mg , dt dx v dt
xt0 , vt0
通常我们所处理的是线性系统:原因处理方法简单 (数理方法)
建立微分方程组
只要知道了物体在某一时刻的运动状态以及作用于
这个物体的外部的力，就可以准确地确定这个物体
Period 4
25
Case 4
sufficient small
R
Irregular Random Nonperiodic orbit disclosed orbit
Chaos
26
Attractors of Chua’s circuit
27
28
实验现象的观察一
周期一
周期二
29
实验现象的观察二
铁条
磁铁
y
Duffing方程 yvy (y3y)Fsitn
10
yvy (y3y)Fsitn
F 0 y 1, y 1 y0
两个稳态 一个非稳态
11
双稳态系统 U(x)1kx21x4
24
x
k
k
12
v, F 0
不规则运动
13
yvy(y3y)Fcots v0.3,F0
14
15
16
17
Experiment of Shaw(1984)
以往和未来的全部运动状态
4
无阻尼单摆
d2
d2t
g l
sin
0
m
d21
d2t
gl sin1
0
d22
d2t
gl sin2
0
d2(d12 t2)g lsin1 (2)0

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非周期定态
在奇怪吸引子上的运动是系统的一种稳 定定态行为。 在奇怪吸引子上的运动具有回归性，但 混沌的回归性是不严格的，是非周期的。 非周期运动也可能是定态行为，非周期 定态未必都是混沌。
｛ ｛ 回归性
严格的周期性 周期性
准周期性
｛混沌式非周期
非周期性
非混沌式非周期
非线性回归 完备分类
对初始条件的敏感依赖性
dz d
bz
xy
x -对流的翻动速率 y -比例于上流与下流液体之间的温差 z-是垂直方向的温度梯度
无量纲因子
b-速度阻尼常数
r -相对瑞利数 r = R/RC。
这是一个三维系统，x、y、z为状态变量，σ、r、b为控 制参量。
洛伦兹方程
在r 较小的情况下，系统是稳定的，随着的r 增加，系统 趋于复杂，出现不稳定的极限环，在r =28时达到混沌 状态。所以， σ = 10 ，b = 8/3 ，r = 28 时利用 Matlab编程，得到下图：
“上帝的指纹”
混沌理论的特征
分形几何理论诞生于20世纪70年代中期，创始人是美国数学家--曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的《大自然的分形 几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作。
康托尔三分集
谢尔宾斯基地毯
分 形 项 链
在离散系统中，通常取逻辑斯蒂方程为典型系 统。
Logistic Equation：
x n 1 a x n (1 x n ) 或
xn1 1 x 2
虫口模型
逻辑斯蒂方程在生态学中的应用是无世代交叠的 虫口系统，x为状态变量，a或λ为控制变量。方程 给出第n代虫口数与第n+1代虫口数的确定性关系。 0<x<1， 0<a<4

2020年高中物理竞赛(力学篇)02运动、力学定律：混沌(共15张PPT)

2020年高中物理竞赛(力学篇)02运动、力学定律：混沌(共15张PPT)

Feigenbaum常数-----
反映了系统在趋向混沌时的一种普遍的动态不 变性。在趋向混沌时，把标尺缩小或放大，看到的 仍然是相似的“几何结构”。
常见的混沌现象
1、天体力学中的地球上流星的起源问题 太阳系的小行星大部分存在与火星与木星之间，
因此地球上的 流星也只能起源于这个小行星带。但 是这个小行星带离地球很远，只有偏心率达到57% 的小行星的轨道才能与地球轨道相交。
2、分维性质 混沌态非整数维不是用来描述系统的几何外形， 而是 用来描述系统运动轨道在相空间的行为特征。
3、普适性和Feigenbaum 常数 混沌是一种无周期性的“高级”有序运动，可 以发现混杂在小尺度混沌中的有序运动花样。
普适性-----
在趋向混沌时所表现出来的共同特征，不依 具体的系数以及系统的运动方程而变。
初始状态：将坐标系固定在两个较大的天体上，x 轴与两者的连线平行，y轴垂直于连线，问题简化 为最小的天体在两个有心力场作用下的运动。
两个大天体可完全不必理会小天体产生的引力对它 们轨道的影响，更不会动摇它们之间运动的和谐。
小天体的运动会是怎样的呢？
在相空间的截面上发现，小天体的运动竟是没完没了 的自我缠结，密密麻麻地交织成错综复杂的蜘蛛网。
••
这样复杂的运动是高度不稳定的，任何微小的扰动 都会使小天体的轨道在一段时间后有显著的偏离。 因此这样的运动在一段时间后是不可预测的。
气象变化的蝴蝶效应
模拟气候变化： 建立一组非线性微分方程，给定初值进行迭代 惊人结果：初值微小差异，会导致结果巨大变化
长期的天气预报是不可能的。
蝴蝶效应
混沌的定性特征
若系统表现为周期运动，那么系统就只有很少 的运动模式，无法应付多变的环境中所出现的种 种突变，这会导致系统损伤和功能失调。

混沌理论

混沌理论
混沌，虽原意为无序和混乱，实则蕴含着深层次的规律。混沌学致力于发现这些隐藏于表面混乱之下的规律，并将其应用于多个领域。混沌现象多出现在确定性系统中，这些系统虽由确定性理论描述，但其行为却展现出不确定、不可重复、不可预测的特性。进一步的研究表明，混沌是非线性动力系统的固有属性，普遍存在于各类系统中。与牛顿确定性理论主要处理的线性系统不同，混沌现象在现实生活中无处不在。混沌理论被视为物理学的重大革命，其哲学思想丰富而深刻。混沌具有多种特征，包括对初始条件的极端敏感性，即微小的初始差异可导致巨大的结果差异；极为有限的可预测性，混沌系统或整体或局部难以预测；混沌内部存在着超载的有序，表现为结构的自相似性和不同系统间的跨尺度相似性；以及确定系统

(完整版)混沌系统介绍及例子

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专业学术讲座报告班级：信计12-2学号：************ 姓名：**二零一五年六月二十二日目录1.混沌系统概念2.典型混沌系统介绍3.混沌金融系统的线性与非线性反馈同步4.混沌研究的发展方向及意义一、混沌系统概念混沌（chaos ）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。

又称浑沌。

英语词Chaos 源于希腊语，原始 含义是宇宙初开之前的景象，基本含义主要指混乱、无序的状态。

作为科学术语，混沌一词特指一种运动形态。

动力学系统的确定性是一个数学概念，指系统在任一时刻的状态被初始状态所决定。

虽然根据运动的初始状态数据和运动规律能推算出任一未来时刻的运动状态，但由于初始数据的测定不可能完全精确，预测的结果必然出现误差，甚至不可预测。

运动的可预测性是一个物理概念。

一个运动即使是确定性的，也仍可为不可预测的，二者并不矛盾。

牛顿力学的成功，特别是它在预言海王星上的成功，在一定程度上产生误解，把确定性和可预测性等同起来，以为确定性运动一定是可预测的。

20世纪70年代后的研究表明，大量非线性系统中尽管系统是确定性的，却普遍存在着对运动状态初始值极为敏感、貌似随机的不可预测的运动状态——混沌运动。

混沌是指现实世界中存在的一种貌似无规律的复杂运动形态。

共同特征是原来遵循简单物理规律的有序运动形态，在某种条件下突然偏离预期的规律性而变成了无序的形态。

混沌可在相当广泛的一些确定性动力学系统中发生。

混沌在统计特性上类似于随机过程，被认为是确定性系统中的一种内禀随机性。

二、典型混沌系统介绍Lorenz 系统混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。

他提出了著名的Lorenz 方程组：。

这是一个三阶常微分方程组。

它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。

式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统(2-1)的主要控制参数。

图像处理应用实例ppt课件

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（3）图像增强 使用膨胀算法，使与白色象素连接的背景
点(黑色象素)合并到目标象素中，结果是使白象 素区域增大，空洞缩小。
（4）车牌区域检测
车牌区域检测就是利用车牌字符垂直边缘紧 密连接的特征来检测的。
（5）颜色分析 颜色分析就是根据待定车牌区域的颜色信息判断车牌
Him=0如果Im
e e e d d 0 i (0 ) (r0 )2 / 2 (0 )2 / 2
不同尺寸；256－Byte
(4) 匹配
1 2048
HD 2048
Aj Bj
j 1
循环策略：旋转校正
☆ 国际上影响最大、识别率很高
2、多通道Gabor滤波器方法
特点：用多通道Gabor滤波器或小波滤波器形成多幅不同频 率的图像；计算每幅图像的均值与方差；由欧氏距离进行 判决识别。
4. 易接受性。
可以不与人体接触，甚至能够在人们没有觉察的情况 下把虹膜图像拍摄下来。
虹膜识别技术的基本原理
图
虹
特
像
膜
征
获
定
提
取
位
取
特 征 数 据 库
识
别
识别 或
认
认证
证 结
果
虹膜定位
1. Daugman定位方法
max (r,x0, y0)
G
(r)
*
r
r,
x0
,
y0
I(x, y) ds
2r
缺点：最优化求解易陷于局部极值点； 如果全空间搜索，时间开销很大
缺点：阈值选取；耗时长 优点：对瞳孔定位时，稳定性较好
尺度校正
x(r, ) (1 r)xp ( ) rxs ( ) y(r, ) (1 r) yp ( ) rys ( )

混沌理论--系统自相似性与全息

混沌理论--系统自相似性与全息

系统自相似性与全息、分形、混沌的概念众所周知，人体系统是宇宙间最复杂的系统之一，复杂性问题是现代科学的一个核心问题。

在研究复杂系统的科学进程中，出现了多种学科，如系统理论、自组织理论、耗散结构理论、混沌理论等等。

在研究过程中，复杂系统的一个本质特性逐渐被深刻地揭示出来，这就是系统的自相似性(Self-Similarity)。

大量事实表明，自相似性不只是存在于生物界，它是一种广泛存在于物质世界、自然界和人类社会文化的普遍法则。

自相似性(Self-Similarity)定义：简单地说，就是局部的结构或功能与整体相似(这种相似是一种统计意义上的相似)，自相似性是宇宙间的一种普遍现象。

与自相似性研究重要相关的学科包括：源于西方哲学背景的分形理论(FractalTheory)、混沌理论(ChaosTheory，源于东方哲学背景的全息理论(Holographies)、相似理论(Similology)。

分形理论(Fractal Theory)的核心概念分形(Fractal)首先是由IBM公司的法国数学家曼德布罗特(BenoitB.Mandelbrot)提出的。

他1975年的专著《分形：形，机遇与维数》的问世标志着分形理论的诞生。

从此分形理论的研究引起了各领域广大学者的关注。

在数学、物理、化学、地球科学等各个领域内得到了广泛的应用。

分形理论已经成为当今非线性科学的主要内容之一。

它的研究对象的共同特点之一，就是具有一种自相似性，无限自相似性就是分形的精髓。

分形理论经过二十多年的发展，已逐步形成了自己的研究方法，以用于揭示无规则现象的内部所隐藏的规律性、层次性和确定性。

分形与混沌构成了当今非线性科学的主要内容。

分形理论的自相似性概念，最初是指形态或结构的相似性。

也就是说，在形态或结构上具有自相似性的几何对象称为分形。

而后随着研究工作的深入发展和研究领域的拓宽，又由于系统论、信息论、控制论、耗散结构理论和协同论等一批新学科相继涌现的影响，自相似性概念得到充实与扩充，人们把形态结构、功能和时间上的相似性都包含在自相似性概念之中，即所谓的广义分形概念。

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• 仿真结果对比
Rossler混沌在SIMULINK系统建模仿真
• 系统模型一
Rossler混沌在SIMULINK系统建模仿真
• 加噪声的系统模型
Rossler混沌在SIMULINK系统建模仿真
• 仿真结果
Thank You!
混沌理论是系统从有序突然变为无序状态的一种演化
理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成 的途径、机制的研讨。Biblioteka 混沌系统理论典型系统
分形几何与奇怪吸引子 非周期定态 对初值的敏感依赖性 确定性随机性 长期行为的不可预见性 混沌序：貌似无序的高级有序性 通向混沌的道路
他组织混沌
洛伦兹方程
在连续系统中，通常以洛伦兹方程为为典型系统。
• 初始阶段
Lorenz混沌系统在MATLAB下的仿真
• 单吸引子
Lorenz混沌系统在MATLAB下的仿真
• 单吸引子——双吸引子
Lorenz混沌系统在MATLAB下的仿真
• 双吸引子——进入混沌状态
Lorenz混沌系统在MATLAB下的仿真
• 双吸引子——进入混沌状态 r=100时
Lorenz混沌系统在MATLAB下的仿真
Lorentz Equation:
x -对流的翻动速率 y -比例于上流与下流液体之间的温差 z-是垂直方向的温度梯度 s -无量纲因子 b-速度阻尼常数 r -相对瑞利数 r = R/RC。
这是一个三维系统，x、y、z为状态变量，σ、r、b为控 制参量。
洛伦兹方程
Lorenz混沌系统在MATLAB下的仿真
Lorenz混沌系统在MATLAB下的仿真
• 进入混沌状态加噪声对比
Lorenz混沌系统在MATLAB下的仿真
• 加噪声下进入混沌系统r=30的对比
Lorenz混沌系统在MATLAB下的仿真
• 加噪声下r=70的对比
Lorenz混沌在SIMULINK系统建模仿真
Lorenz混沌在SIMULINK系统建模仿真
• 加噪声对比 在Lorenz混沌系统的20000个数据点中加上N （0,1）的高斯白噪声，再进行对比，产生 高斯白噪声的程序如下： g=randn(20000,1); g=g/std(g); g=g-mean(g); g=0+sqrt(1)*g;
Lorenz混沌系统在MATLAB下的仿真
• 加噪声下r=10开始阶段的对比
混沌系统理论介 绍
蝴蝶效应
1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次 演讲中提出：一只南美洲的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，在两 周以后可以引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。
混沌的定义
科学家给混沌下的定义 混沌 是指发生在确定性系统中的，貌似随机的不规则 运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不 确定性，不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌 是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在 的现象。