高中数学§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系优质课教案教学设计

课题空间中直线与直线的位置关系（第一课时）教学目标知识与技能:(1)掌握直线与平面之间的三种位置关系;(2)会判断两直线的异面关系,初步理解异面直线的衬托画法;(3)初步理解与运用公理4 解决问题。

过程与方法:(1)让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识;(2)通过学习经历异面直线的概念的形成过程,借助平面的衬托,体会异面直线的直观画法;(3)借助长方体的模型,发现与感知平行线的传递性。

情感、态度与价值观:(1)让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣;(2)增强动态意识,培养学生观察、对比、分析的思维,通过平移转化渗透数学中的化归与辩证唯物主义思想;(3)把问题交给学生解决,让学生自主发现问题与解决问题,养成独立思考的习惯。

学情分析学生通过前面知识的学习,已经具备了一定的空间意识和空间想象能力,对空间数学的学习有一定的好奇与兴趣,能够积极参与研究,但在分析推理能力、空间想象能力方面有所欠缺,合作交流的意识也不够强,要均衡发展,各个方面的学习都有待加强,即使是在简单的计算问题上也不容马虎。

教学重难点重点:异面直线概念的理解,掌握并会应用平行线的传递性;难点:对异面直线的理解与求法。

教学方法策略采用问题驱动、实例分析、合作探究等方式组织教学活动。

问题——自主、合作——探究教学活动过程活动一【导入】温故知新师:同学们,上节课我们学习了平面的有关知识,那现在大家来齐背一下公理1至3.生:(背诵)【设计意图：检查学生对旧知的掌握情况，为新课作铺垫。

】师:其实除了上节课,早在初中的时候我们已经接触过平面了。

那大家是否还记得,同一平面内的两条直线有几种位置关系?它们分别有几个公共点?生:相交和平行。

相交的两条直线有一个公共点,平行的没有公共点。

【设计意图：唤起学生的记忆，让学生体会到知识的连续性。

】师:既然在平面里两条直线的位置关系只有这两种,那也就是说,平面内不平行的两条直线就一定会?生:相交。

人教高一数学教学设计之《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》一. 教材分析《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》这一节主要让学生了解空间中直线与直线之间的平行和相交两种基本位置关系，以及判断直线与直线位置关系的方法。

教材通过实例引入，引导学生探究和发现规律，从而达到理解并掌握知识的目的。

二. 学情分析高一学生已经学习了平面几何的基础知识，对直线、平面等基本概念有了一定的理解。

但空间想象力相对较弱，对于空间中直线与直线之间的位置关系可能存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，需要通过大量实例和模型帮助学生建立空间直观感受，提高空间想象力。

三. 教学目标1.了解空间中直线与直线之间的平行和相交两种基本位置关系。

2.学会判断空间中直线与直线位置关系的方法。

3.培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重点：空间中直线与直线之间的平行和相交两种基本位置关系。

2.难点：判断空间中直线与直线位置关系的方法。

五. 教学方法1.采用实例引入，引导学生探究和发现规律。

2.利用模型和图片帮助学生建立空间直观感受。

3.采用分组讨论和小组合作的方式，提高学生的参与度和合作意识。

4.通过练习和问题引导学生自主学习，培养学生的逻辑思维能力。

六. 教学准备1.准备相关实例和图片，用于引导学生探究和发现规律。

2.准备模型和教具，帮助学生建立空间直观感受。

3.准备练习题和问题，用于巩固和拓展知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例引入本节内容，让学生观察和思考空间中直线与直线之间的位置关系。

2.呈现（10分钟）展示教材中的图片和实例，引导学生观察和分析直线与直线之间的位置关系，让学生通过观察和思考发现规律。

3.操练（10分钟）通过分组讨论和小组合作，让学生运用所学知识判断直线与直线的位置关系。

教师可提供一些模型和教具，帮助学生更好地理解和操作。

4.巩固（10分钟）让学生自主完成教材中的练习题，巩固所学知识。

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、学习目标：（1）通过观察能说出空间两条直线的位置关系；（2）根据异面直线的定义，通过学生作图，初步学会判断两条直线是否异面（3）学会画异面直线（4）能利用平行公理证明简单的平行关系。

二、知识探索问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： ___________________________________________________ 位置关系公共点个数是否共面相交平行异面问题4：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线,A B异面的有哪些？共面直线问题5：画异面直线：1、用一个平面衬托；2、分别在两个相交平面内的两条异面直线:检测：1、两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为：⑴平行直线；⑵相交直线；⑶异面直线.2、两条异面直线指：（）A. 空间中不相交的两条直线；B. 不在同一平面内的两条直线；C分别在两个不同平面内的两条直线；D既不相交，又不平行的两条直线.问题6：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连结EF、FG、GH、HE,求证:EFGH是一个平行四边形。

作业：1．两条异面直线指的是：①不能在任何一平面内的两条直线；②分别位于两个不同平面的两条直线；③在空间不相交的两条直线；④有一条在平面内，另一条在平面外的两条直线；⑤既不平行又不相交的两条直线，其中正确的个数是【】A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．正方体中，与对角线异面的棱有【】A．3条 B．4条 C．6条D．8条3．判断下列说法是否正确(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线. ( )(2)直线在平面内，直线不在平面内，则是异面直线. ( )(3)直线是异面直线，直线是异面直线，则直线是异面直线. ( )(4)在空间中，经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行. ( )(5)在空间中，平行于同一条直线的两直线平行. ( )(6)两条平行线中有一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线. ( )(7)垂直于同一条直线的两直线平行. ( )4、已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的三等分点，连结EF、FG、GH、HE,求证:EFGH是一个平行四边形。

● 创新整合点在学生发现探索阶段，通过计算机演示学生可能的各种解答方案；通过计算机动画，将一个复杂抽象的空间几何问题转化为一个简单有趣的活动；通过活动调动学生的积极性去发现问题的本质，理解本节课“空间问题平面化”的思想精髓。

在练习中用几何画板来分析各种解法，既快捷又准确，通过变化直线的颜色可以起到区别和强调的作用，同时也将正确答案显示在屏幕上，便于学生检查和矫正。

在处理教学重难点时，采用合作探究的方法，通过“各自发表见解—综合讨论，归纳成文—展示成果”的过程，培养学生的合作探究能力。

在整个教学过程中，笔者合理地应用了电子白板的聚光灯、拉幕、遮盖、拖拽、超链接等技术，提高了教学的有效性。

● 教材分析本节课是数学必修2第二章2.1.2“空间中直线与直线之间的位置关系”第一课时的内容。

鉴于本节课的重要性，安排了两个课时教学，本节课是第一课时。

主要学习内容有两个：一是异面直线的概念，二是异面直线的夹角。

本节课是对学生原有的平面知识结构基础的拓展，也为今后学习立体几何知识打下基础，同时，异面直线也是高考考查的热点之一，其重要性不言而喻。

因此，本章知识起到了承上启下的作用。

● 学情分析空间直线的三种位置关系在现实中大量存在，学生已有一定的感性认识。

其中，相交直线和平行直线都是共面直线，学生对它们已经很熟悉，异面直线的概念学生比较生疏，从知识储备的角度来说，学生已经掌握平面内两条直线的位置关系，为探究空间关系打下基础，同时高一学生也具备了一定的探究能力。

● 教学目标知识与技能目标：①理解异面直线的概念；会判断两条直线是否为异面直线；②理解异面直线所成角的概念；会求简单的异面直线所成角的大小。

过程与方法目标：①培养空间想象能力和化归转化能力；②了解科学学习方法和研究方法，增强创新意识和实践能力，训练独立分析问题、解决问题的能力；③经历异面直线概念的形成过程，借助平面的衬托，体会异面直线的直观画法，并能够画出两异面直线的位置关系。

“空间中直线与直线之间的位置关系”教案一、题目：空间中直线与直线之间的位置关系二、课程分析：空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，是在平面中两直线的位置关系及平面基本性质的基础上提出来的，它既是研究空间点、直线、平面之间各种位置关系的开始，又是学习这些位置关系的基础。

同时，通过画平行线的方式，使两条异面直线移到同一平面的位置上，是研究异面直线所成的角及判定空间平行关系时经常要使用的方法，要让学生在学习中认真体会把空间问题平面化的思想方法。

因此本节课的内容其重要性不言而喻，它对知识起到了承上启下的作用。

三、学情分析：空间直线的三种位置关系在现实中大量存在，通过第一章内容的学习，学生对他们已有一定的感性认识。

其中，相交直线和平行直线都是共面直线，在初中就已经学过，学生对他们已经很熟悉。

从具体实例抽象出异面直线的概念是非常困难的。

四、教学目标：1、知识与技能：掌握空间直线的位置关系，理解异面直线的概念，理解公理4并能应用它证明简单的几何问题。

2、过程与方法：通过观察事物，引出两直线的三种位置关系，又由观察导出公理4，遵循了由特殊到一般，由简单到复杂的认知规律。

3、情感与价值观：通过运用空间直线各具特点的丰富多彩的不同位置关系，培养学生的空间想象能力，感悟数学的奇异美，简洁美，和谐美，培养学生的美学意识。

五、教学重点：异面直线的概念，公理4及其应用。

教学难点：异面直线的概念，公理4及其应用。

六、设计理念：七、教学流程：（一）、前提测评复习1、平面的概念、画法、表示方法复习2、平面的基本性质公理1：__________________________________________________________公理2：__________________________________________________________公理3：___________________________________________________________复习3、确定平面的方法：过_______三点确定一个平面；过两条_______直直线线确定一个平面；过两条_______直确定一个平面.（二）、目标展示（略）（三）、导学达标问题提出1.同一平面内的两条直线有哪几种位置关系?2.空间中的两条不同直线除了平行和相交这两种位置关系外，还有什么位置关系呢?知识探究（一）：异面直线的概念思考1：教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线，既不相交，也不平行；天安门广场上，旗杆所在的直线与长安街所在的直线，它们既不相交，也不平行.你还能举出这样的例子吗?思考2: 长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段A′B所在直线分别与线段CD′所在直线，线段BC所在直线，线段CD所在直线的位置关系如何?思考3:我们把上图中直线A ′B 与直线CD 叫做异面直线，异面直线的概念是什么？ 异面直线：___________________________________________________________思考4:为了表示异面直线a ，b 不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托,如何作图.？知识探究（二）：三线平行公理思考1: 在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中,BB ′∥AA ′，DD ′∥AA ′，那么BB ′与DD ′平行吗 ?思考2:通过上述实验可以得到什么结论？公理4：___________________________________________________________知识探究（三）：等角定理思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？等角定理：___________________________________________________________ 例2 如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点. (1) 求证：四边形EFGH 是平行四边形.(2) 若AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形?例 3 如图2.1-20,已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1.（1）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线?（2）直线BA 1和CC 1的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA 1垂直？（四）、达标测评1、关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？（ ）A. 空间中既不平行又不相交的两条直线；B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线；C. 分别在不同平面内的两条直线；D. 不在同一个平面内的两条直线；P 48练习: 1,２.。

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标：（1）了解空间中两条直线的位置关系，并能判断直线与直线之间的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4，并能运用它证明简单的几何问题。

二、教学重、难点：1．重点: （1）空间中两条直线的位置关系的判定；（2）理解并掌握公理4。

2．难点: 理解异面直线的概念、画法。

三、教具准备多媒体课件长方体模型自制的空间四边形模型四、教学过程：（一）复习引入1前面我们已学习了平面的概念及其基本性质。

回顾一下，怎样确定一个平面呢？（公理3及其三个推论）2 在一个平面内，两直线有哪几种位置关系呢？在空间中呢？（二）新课推进1、空间中两条直线的位置关系以学生身边的实例引出空间两条直线位置关系问题相交：同一平面内，有且只有一个公共点平行：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2、异面直线（1）概念：不同在任何一个平面内的两条直线 （2）判断：下列各图中直线l 与m 是异面直线吗?1 2 34 5 6【设计意图】：让学生直观判断异面直线，既加深了对概念的理解，又可引出异面直线的画法，还为下面的辨析作好铺垫。

（3）画法：用一个或两个平面衬托（4）探究αlm αlmlmαβlmαβαl m l m αβαlml αβm l mαβlm αβ共面直线：①、空间中没有公共点的两条直线是异面直线 ②、分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线 ③、不同在某一平面内的两条直线是异面直线 ④、平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线 ⑤、既不相交，又不平行的两条直线是异面直线 （以上面（2）判断中的图6做反例）（5）结合实例小结判断异面直线的关键① 例1：如图2.1.2-1，在正方体1111ABCD A B C D 中,哪些棱所在的直线与1BA 成异面直线?图2.1.2-1② 判断异面直线的关键：既不相交，又不平行 如图，正方体ABCD-EFGH 中,O 为侧面ADHE 的中心，求(1)BE 与CG 所成的角？ (2)FO 与BD 所成的角？解：(1)如图: ∵BF ∥CG ，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE 与CG 所成的角， 又 BEF 中∠EBF =45 ， 所以BE 与CG 所成的角是45° （2）略。

《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计一、概述1. 《空间中直线与直线之间的位置关系》是人教版高一必修2第二章第一节；2.本节课所需课时为1课时；3.空间中直线与直线之间的位置关系是平面中两条直线位置关系以及平面的基本性质的基础上提出来的，它既是研究空间中点、直线、平面之间各种位置关系的开始，又是学习这些位置关系的基础，使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯，进一步提高学生的空间想象能力，发展推理能力。

二、教学目标1.了解空间中两条直线的位置关系。

2.理解并掌握公理4和等角定理。

3.掌握异面直线所成角的定义、范围及应用。

三、教学策略选择与设计1.以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中两直线的位置关系；2.通过“直观感知-操作确认-思维辩证”的认知过程展开，得到平行公理和等角定理。

四、教学资源与工具设计1.本节课多媒体课件；2.高中新课程标准试验教科书《数学》（人教A版）必修2；3.一套三角尺作图工具。

五、教学过程（一）创设情境，归纳概念，练习巩固1.提出问题：思考“同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间的两条直线呢？”利用课件展示生活中实例，从图片中抽象出空间中直线的位置关系，让学生观察空间图形中直线的位置关系，直观感受空间中的两条直线间的位置关系。

让学生观察长方体中线段A'B所在直线与线段C'C所在直线的位置关系如何？A B C D A 'B 'C 'D ' 给出异面直线的定义，结合直观感知，引导学生总结出：空间两条直线的位置关系：2.实例辨析，巩固概念，完成课堂练习下图长方体中㈠说出以下各对线段的位置关系?①EC 和BH 是 直线②BD 和FH 是 直线③BH 和DC 是 直线㈡与棱AB 所在直线异面的棱共有 条?3.阐明异面直线的画法：为表示异面直线不共面得特点，常以平面衬托.4.探究（借助于媒体展示正方体的直观图）下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB ，CD ，EF ，GH 这四条线段所在的直线是异面直线的有 对。

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.二、教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.三、重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1（二）推进新课、新知探究、提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD —A′B′C′D′中，如图1, BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？ 通过观察得出结论：BB′与DD′平行. 再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：a ∥b,b ∥c ⇒a ∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用. 公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5（三）应用示例思路1例1 如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图6求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，且FG=BD 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 变式训练1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21,EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH 为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD ，AC ⊥BD.求证：四边形EFGH 是正方形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21，EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形. 因为AC=BD ，所以EF=EH.因为FG ∥BD ，EF ∥AC ，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC ⊥BD ，所以EF ⊥EH. 所以四边形EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法. 例2 如图7，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD 、DC 、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线. (2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.（3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 变式训练如图8，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；（2）求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.思路2例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,∴EB1GC1.同理可证DF GC1，∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形.∴ED∥B1F.变式训练如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；（4）DC与BD1；（5）D1E与CF.解：（1）∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD,∴AB与CC1异面.（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内.∴A1C与D1B相交.（4）∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD,∴DC与BD1异面.（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，∵AF∥DC，F为AB中点，∴A为DG的中点.又AE ∥DD 1，∴GD 1过AA 1的中点E.∴直线D 1E 与CF 相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB 与A 1C ），有时看上去像相交（如图中的DC 与D 1B ）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例2 如图11，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG .因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG ∥BC 且EG=BC 21，FG ∥AD ，且FG=AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求.由BC=AD 知EG=GF=AD 21，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°.点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.变式训练设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin ∠EHG=312，求AB 和CD 所成的角.解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG ∥AB ，HE ∥CD ，图12∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. 由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=2621=AB ，HE=3221=CD ， ∴HG·HE·sin ∠EHG=612sin ∠EHG . ∴612sin ∠EHG=312.∴sin ∠EHG=22.故∠EHG=45°. ∴AB 和CD 所成的角为45°. （四）知能训练如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有对____________.图13答案：三 （五）拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（）A.①③B.①④C.②③D.③④答案：D（六）课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.（七）作业课本习题2.1 A组3、4.。

2.1.2空间直线与直线之间的位置关系教案D新课导入问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？师投影问题，学生讨论回答生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.探索新知1．空间的两条直线位置关系：师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点②平行直线—在同一平面内，没有公共点.③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.随堂练习：如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线所在直线是异面直线的有对.答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB 与HG. 类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”学生讨论发现不能去掉“任何”师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”位置关系的理解（1）公理师：现在请4，平行于同一条直线的两条直线互相平行（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例 2如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接BD，大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导，培养学生解题能力.因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且12EH BD =.同理FG ∥BD ，且12FG BD =.因为EH ∥FG ，且EH = FG ，所以 四边形EFGH 为平行四边形.师（肯定）下面我们来看一个例子观察图，在长方体ABCD – A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A ′D ′C ′，∠ADC 与∠A ′B ′C ′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：从图中可以看出，∠ADC = ∠A ′D ′C ′，∠ADC + ∠A ′B ′C ′=180°师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.探索新知3．异面直线所成的角（1）异面直师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生加深对平面线所成角的概念.已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O 作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b所成的角(或夹角).（2）异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b. 共同对定义进行分析，得出如下结论.①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；②两条异面直线所成的角(0,]2πθ∈；③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.例3 如图，已知正方体ABCD–A′B′C′D′.（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线. 某一条上；④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b 互相垂直，也记作a⊥b；⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不（2）由BB ′∥CC ′可知，∠B ′BA ′为异面直线B ′A 与CC ′的夹角，∠B ′BA ′= 45°. （3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′分别与直线AA ′垂直.相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形. 然后师生共同分析例题随堂练习 1．填空题：（1）如图，AA ′是长方体的一条棱，长方体中与AA ′平行的棱共有 条.（2）如果OA ∥O ′A ′，OB ∥O ′B ′，那么∠学生独立完成答案：. 2．（1）因为BC ∥B ′C ′，所以∠B ′C ′A ′是异面直线A ′C ′与BC 所成的角.在Rt △A ′B ′C ′中，A ′B ′=23，B ′C ′=23，所以∠B ′C ′A ′ = 45°.AOB和∠A′O′B′.答案：（1）3条. 分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.2．如图，已知长方体ABCD –A′B′C′D′中，AB=23，AD =23，AA′ =2.（1）BC和A′C′所成的角是多少度？（2）AA′和BC′所成的角是多少度？（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′ 所成的角.在Rt△BB′C′中，B′C′ = AD =23，BB′= AA′=2，所以BC′= 4，∠B′BC′= 60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.归纳1．空间中两学生归纳，教师培总结条直线的位置关系.2．平行公理及等角定理.3．异面直线所成的角. 点评并完善养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.作业2.1 第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力例1 “a、b为异面直线”是指：①a∩b = ，且a∥b；②a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b =∅； ③a ⊂面α，b ⊂面β，且α∩β=∅； ④a ⊂面α，b ⊄面α；⑤不存在面α，使a ⊂面α，b ⊂面α成立. 上述结论中，正确的是（ ） A ．①④⑤正确 B ．①③④正确 C ．仅②④正确 D ．仅①⑤正确 【解析】 ①等价于a 和b 既不相交，又不平行，故a 、b 是异面直线；②等价于a 、b 不同在同一平面内，故a 、b 是异面直线.故选D例2 如果异面直线a 与b 所成角为50°，P 为空间一定点，则过点P 与a 、b 所成的角都是30°的直线有且仅有 条. 【解析】如图所示，过定点P 作a 、b 的平行线a ′、b ′，因a 、b 成50°角，∴a ′与b ′也成50°角.过P 作∠A ′PB ′的平分线，取较小的角有∠A ′PO =∠B ′PO = 25°. ∵∠APA ′＞A ′PO ，∴过P 作直线l 与a ′、b ′成30°角的直线有2条.a b Aa b OP A B例 3 空间四边形ABCD ，已知AD =1，BD =3，且AD ⊥BC ，对角线BD =13，AC =3，求AC 和BD 所成的角。

广东省中学青年数学教师优秀课评比参赛课例——教案课题：《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》授课老师：潮州市湘桥区南春中学郑珠珠教材：普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修21、教学目标（1）知识目标：掌握空间中两条直线的位置关系，理解异面直线的概念；以公理4和等角定理为基础，理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。

（2）能力目标：通过研究空间中两直线的位置关系以及异面直线所成的角，培养学生的空间想象力、观察能力和分析问题的能力。

（3）情感目标：让学生体验从具体到抽象的学习规律，在探究活动中增强学生的合作意识和动手能力，激发学生的学习兴趣。

2、教学重点、难点重点：（1）空间中两条直线之间的位置关系；（2）异面直线及其所成角的概念。

难点：理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。

3、教学方法与手段本节课应该始终贯彻“以学生为主体，以教师为主导，以观察、探究为主线”的教学理念，坚持具体与抽象相结合的原则，采用“启发式”、“讨论式”等教学方法，并充分利用多媒体和实物模型辅助教学，化静为动，进一步培养学生的空间想象力和观察能力，并在动手、讨论的过程中培养学生合作、探究的能力。

4、教学过程（一）创设情境，提出问题1、思考：同一平面内两直线有几种位置关系？学生：相交、平行。

老师：那么空间中的两条直线呢？引出本节课的课题：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2、让学生观察两个生活实例，直观感知异面直线不平行、不相交的特征：（1）天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线，既不平行，也不相交；（2）立交桥上下两层桥面所在直线，既不平行，也不相交。

（二）启发引导，构建概念1、让学生观察长方体模型（如图），发现：直线'A B与直线'C C既不平行也不相交。

学生在几何模型中进一步体会异面直线不平行、不相交的特征，从而构建：【异面直线的概念】不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

注1：对“任何”这个词的理解。