概率论与数理统计数学期望

第三章随机变量的数字特征前面讨论了随机变量的分布函数, 从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.但在许多实际问题中, 人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况, 而只要知道它的某些数字特征即可.例如, 在评价某地区粮食产量的水平时, 通常只要知道该地区粮食的平均产量;又如, 在评价一批棉花的质量时, 既要注意纤维的平均长度, 又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度, 平均长度较大, 偏离程度小, 则质量就较好. 等等实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括: 数学期望、方差、相关系数、矩.第一节随机变量的数学期望内容要点：一、离散型随机变量的数学期望平均值是日常生活中最常用的一个数字特征, 它对评判事物、作出决策等具有重要作用.定义设是离散型随机变量的概率分布为X 2,?1,?x}?p,i{PX ii????.xpE(X)?如果为绝对收敛, 则定义的数学期望(又称均值) pxX iiiii?11i?二、连续型随机变量的数学期望定义设是连续型随机变量, 其密度函数为,如果)xf(X??xf(x)dx ????xf(x)dx.(EX)?数学期望为, 绝对收敛定义的X??三、随机变量函数的数学期望设是一随机变量, 为一实函数,则也是一随机变量, 理论上, 虽然可通)Y?g(X)xg(X过的分布求出的分布, 再按定义求出的数学期望. 但这种求法一般)](XE[g)gXg(X)(X比较复杂. 下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理.定理1设是一个随机变量, ,且存在, 则)(XY?g)E(YX（1）若为离散型随机变量, 其概率分布为X 2,,?,p}xXP{??i1ii则的数学期望为Y．?? .g(x))?E[g(X)]?pE(Y ii1?i则的数学期望为若为连续型随机变量, 其概率密度为,（2）)f(xYX?? .(x))](X?dxg(x)fE(Y)?E[g??. 只需知道的分布即可, 不必知道的分布, 注: (i)定理的重要性在于:求时)](XE[g)Xg(X;这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便, 即有(ii) 上述定理可推广到二维以上的情形则,, 且存在, 定理2设是二维随机向量)Z?gYX,()ZE,Y)((X 其概率分布为1）若为离散型随机向量, （)Y(X, ),2, p(i,j?1,P{X?xY?y}?ijij的数学期望为则Z???? ,pg(x,y)[E(Z)?Eg(X,Y)]?ijji1i?j?1的数学期望为, 其概率密度为则（2）若为连续型随机向量Z)f(x(X,Y),y???? .)dx)f)],Y?(x,yg(x,yE(Z)?E[g(X????四、数学期望的性质是常数, 则1. 设C;?CE(C) ．若是常数，则 2 );X?(kX)kE(Ek 3. );XX)?E(E(X?X)?E(2121; , 则4. 设独立YX,)YX)E(E(XY)?E( 中，已计算得不一定能推出: (i) 由独立，例如，在例10注Y,X)YE(X)(E(XY)?E9 ，?)E(X)E(YE(XY)?413 ，显然但?}P{Y?0},?0}?0,P{X?1??P{X1,Y84 }{Y?0??P{X1}?PYP{X?1,?0} 不独立故与YX. 这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形(ii)例题选讲：离散型随机变量的数学期望XX, , 乙两人进行打靶, 所得分数分别记为, 它们的分布律分别为讲义例例1 (1) 甲21012XX01221, 1.00p.308p.0020..6ii试评定他们的成绩的好坏.我们来计算的数学期望, 得(分解).88.?1.0220100)XXE(????.??11而乙所得1.8, 所得分数的算术平均就接近, 那么, 如果甲进行很多次的射击, 这意味着．分数的数学期望为)..5(分?2?0.1?0E(X)?0?0.6?1?0.32. 乙的成绩远不如甲的成绩很明显,?若规定2) 某种产品的每件表面上的疵点数服从参数, 的泊松分布例2 (讲义例80.?疵; 价值8元个不多于元; 疵点数大于14个为二等品, 疵点数不超过1个为一等品, 价值10:求4个为废品. 点数超过; 产品的废品率(1).产品价值的平均值(2)?代表每件产品上的疵点数, 由题意知解设.0.8?X4k80.?80.?,001411?0.因为?1{X?4}?1P{X?e4}??P)(1!k0?k..0014110所以产品的废品率为:, 那么的概率分布为设代表产品的价值)(2YY08Y10 }4{X?X?4}PPP{X?1}P{1?所以产品价值的平均值为}?4P{1?X?P{X?1}?8?E(Y)?10}?40?P{X?14kk8.8.00??8?0.8?0. 0??e?10?e?8).(元?9.61 !kk!2?0kk?但到站的之间都恰有一辆客车到站, 某车站每天8:00~9:00和9:00~10:00例3 按规定，. 其规律为时刻是随机的, 且两者到站的时间相互独立8:00~9:00到站时间8:508:10 8:309:10 9:30 9:50 9:00~10:00到站时间1/63/62/6概率一旅客8:20到车站, 求他候车时间的数学期望.解设旅客的候车时间为(以分计). 的分布律为135791 ???p i6666666613 其中为事件“第一班车在在上表中, 例如AP{X?70}?P(?,AB)?P(A)P(B)?66 为候车时间的数学期望为到站“第二班车在”., 到站”309:810:B32132 ).分.22(?27E(X)?10??30??50??70??90?66363636连续型随机变量的数学期望0,x?0??F(x)?x/4,0?x?4, 的分布函数已知随机变量3)(4例讲义例X 求).XE(??1,x?4?4x?4,0?1/??的分布密度为随机变量解?x?,F)(xf()X?其它0,?42x14????故.dx?2?E(X)??x?xf(x)dx 840??0记使用寿命为某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 例5 (讲义例4)X:), 规定(以年计;1500元1,一台付款?X,?2;1X一台付款2000元;2500元3,一台付款2?X?,?3X一台付款3000元.X , 设寿命概率密度为服从指数分布1?10x/??0x?e,???fx?10?,0?0.x?Y.试求该商店一台电器收费的数学期望即有先求出寿命落在各个时间区间的概率, 解X11?1?0.?x/10 ,.0952?edx?1?P{X?1}?e010012?2.?0?0.1?x/10 ,.0861?0ee??edx?XP{1??2} 10113?30.0.2?/?x10? ,0779?0.eedx?e}?P{2X?3??1021??310?0.?x/ ,?XP{?3}.e7408?0?edx103则的分布律为Y30002500Y15002000 740807790.0861.09520.0.p0k.即平均一台收费元得,.15)?2732E(Y15.27327 且例6 设随机变量X~f(,x),E(X)?120?x?ax?b,1??)f(x?其它,0?.并求分布函数与ab的值, 求)xF( 由题意知解a1???? ,??1?b)dx?ax(?b)dx(fx20??ab7??1??x(ax?dx(x)?b)dxxf)?XE( ??,?12320??解方程组得,1a?.2/1?b??当时, 有,??)f(F(x)?tdt?t?dt1?x?0??222??0??0x?0,??12所2xx1??xx以.10?x)?(x??x),(Fx?2?1x?1,?)2k?1,X(其,, 它们的寿命服从统一指数分布7 例有2个相互独立工作的电子装置k概率密度为1??/?x?0?e,x?.0??)f(x , ???,0x?0?N.以小时计)的数学期望若将这2个电子装置串联联接组成整机, 求整机寿命(?/?x?01?e?,x?)F(x,的分布函数为解)2?1,X(k?k,0x?0??/?2x?0,x?e?12?(x)]1?[1?F,F(x)?的分布函数为},X?min{XN?min210,x?0?2??/2x??ex?0,?F)??f,(x(x)的概率密度为因而N??minmin?,00x??22x???????/?2x的数学期望为于是N.dx?eE(N)??xf(x)dx min??0??随机变量函数的数学期望:的联合概率分布为8 (讲义例5) 设例)YX,(3 2 Y 0 1X0 3/8 1 0 3/80 0 1/83 1/8求).(XYY),EE(X),E(解要求和需先求出和的边缘分布. 关于和的边缘分布为),E((EX)YYXXYX13Y0123 P3/41/4P1/83/83/81/8313 则有?3??E(X)?1?44213313 ????310????2(EY)?88882331E(X?Y)?(1?0)?0?(1?1)??(1?2)??(1?3)?0?(3?0)??(3?1)?08881?)??(330)?(?32? ./?9482?及求上服从均匀分布设随机变量X在, 例9 (讲义例6))(X(sinX),EE],[02 .X)]X?E(E[解根据随机变量函数数学期望的计算公式, 有?1????? ,dxx?xf(x)dx?(EX)???20??112?????? sin??(x)E(sinX)?dx?(?cosx)|dx?sin,xf0 ???0??2?1?????222?x(E(X)?x),dx??dxxf?30??222???1??????2x????dxE[X?E(X)]?EX ?.?????2212????0例10 设随机变量的概率密度)X,Y(31??y?x,,x?1,?23x?,xy)f( y2x??其它.0,?1??求数学期望.E(Y),E??XY???? dydx?3y2x x/1113xln????x???dyy][lndx?3 ??????dydx),yyfE(Y)?(x 解????3x??? dx???.???32224xx??111133??????x??????33x/12xx11??1x33ln3????dydxE?)x,yf(.dy?dx???34xyXY5y2x??????x11/:单位设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量(11 (讲义例7) 例X; 万元可为国家赚取外汇3它服从区间上的均匀分布, 每销售出一吨商品, 吨), ][40002000,?, 才能使国家收益最大万元则每吨商品需贮存费1, 问应组织多少货源若销售不出,的函数)是单位:万元解设组织货源吨, 显然应要求国家收益(t,?t4000?2000XYt?t3,X?.?g(X) 表达式为),g?(XY?t,?X4X?t?4000x?2000,2000?/1??)(,xf则于是的期望为设的概率密度函数为),f(xXY?其他,0?14000???? dxxdxxfxg)E(Y?()()?g()20002000??11t4000????62tdx?dx?3(4x?t)).10?8?(?2t??14000t??20002000??t2000??3500t, 因此组织3500吨商品为好达到最大考虑的取值使, 易得. t)E(Y2222. 例12 设均存在，证明)](X)?X)][?E(XE(E[X?E)E(X),E(X222因为证,)]E(X?E(X)E[X?(X)]??X[?2X 于是222 }??2X?E(XX)?[E(XE[X?E(X)])]E{2222.E(XX?E()])?E)2E(X?E(X)?[(X)]X?E([)?例13 （二项分布的数学期望）若求),n,pX~b().(XE解因则表示重伯努利试验中的“成功”次数. ),pX~b(n,nX1,如第i次试验成功?, 则若设X?,2,,n)(i1,XX?X? ?X? ??in120,如第i次试验失败?因为,p)??(1?pE(X)?1?p?P{X?1}?p,?P{X0}?1?p,0iiin?所以.?npE(X(EX)?)i1?i pnp.的二项分布的随机变量, 服从参数为和的数学期望是可见nX数学期望的性质例14 (讲义例8)一民航送各车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X表示停车的次数, 求E(X) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).0,在第i站没有人下车?解引入随机变量X?,10.,i1,2, ??i1,在第i站没有人下车?易知.X? ?X?X?X1012现在来求按题意, 任一旅客不在第站下车的概率为因此20位旅客都不,109/i).XE(2020,)/101?(9,)/10(9 即站有人下车的概率为在第站下车的概率为在第ii2020,10)(9/X{?1}?19{PX?0}?(/10)?,P.10, ,?i1,2ii20,)/10?)1?(9E(X进而由此.10 ,2,,i?1i )X? ?XX()?E(X?E102120]?8.)/(110?[?910784)次())X(E)?XE?(E ??(X1021．注: 本题是将分解成数个随机变量之和, 然后利用随机变量和的数学期望等于随机变X量数学期望之和来求数学期望的, 这种处理方法具有一定的普遍意义.。

前面讨论了随机变量的分布函数，分布函数能全面地描述随机变量的统计特性，但在实际问题中，一方面，求分布函数有时是困难的；另一方面，有时不需要了解全貌，只需了解随机变量的某些特征或某个侧面就可以了，例如分布的中心，只要知道它的这方面的特征就够了，这时可以用一个或几个实数来描述这个侧面，这种实数就称为随机变量的数字特征.在这些数字特征中最常用的数字特征有：数学期望，方差，协方差，相关系数和矩等，本章将着重介绍这些常用的数字特征， 要求理解数学期望与方差的定义，掌握它们的性质与计算；理解独立于相关的概念；会求协方差与相关系数；了解高阶矩的概念.§4.1 数学期望先看一个例子，某年级有100名学生，17岁的有2人，18岁的有2人，19岁的有30人，20岁的有56人，21岁的有10人，则该年级学生的平均年龄为7.19100)102156203019218217(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯或 22305610171819202119.7100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 我们称这个平均值是数17、18、19、20、21的加权平均值，它是把这五个数的地位或权重看得不同。

而1718192021195++++=是把这五个数的地位或权重看得相同。

对于一般随机变量，其平均值定义如下：4.1.1离散型随机变量的数学期望定义4.1 设离散型随机变量X 的分布律为{},1,2,i i P X x p i ===, 若1i i i xp ∞=<+∞∑,则称1i i i x p ∞=∑为随机变量X 的数学期望,简称期望或均值,记为()E X , 即()E X =1i i i x p ∞=∑. 若级数1i i i xp ∞=∑发散,则称随机变量X 的数学期望不存在.注 （1）离散型随机变量的数学期望)(X E 是一个实数，它由分布唯一确定；（2）离散型随机变量的数学期望)(X E 在数学上解释就是X 加权平均，权就是其分布列；（3）级数∑∞=1)(i i i x P x 绝对收敛保证了级数的和不随各项次序的改变而改变，这是因为i x 的顺序对随机变量并不是本质的.（4）离散型随机变量的数学期望)(X E 是一个绝对收敛的级数的和. 引例 设甲、乙两人打靶，击中的环数分别记为Y X ,，且分布如下：试比较他们的射击水平。