安徽省寿县第二中学2021届高三下学期2月开年考试数学(理)试卷及答案

2021-2022年高三数学下学期2月月考试题一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知直线,和平面，，若，，，要使，则应增加的条件是A． B． C． D．2．已知正项数列中，，，（），则（）A． B．C． D．3．对于实数是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C.充要条件 D．既不充分也不必要条件4．某四棱锥的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（）A． B． C． D．5．已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影为（）A． B． C． D．6．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为，那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A． B． C． D．7．已知，，，则的最小值为（）A． B． C． D．8．两个单位向量，的夹角为，点在以圆心的圆弧上移动，，则的最大值为（）A． B． C． D．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．10．在中，角、、的对边分别为、、，则以下结论错误的为（）A．若，则B．C ．若，则；反之，若，则D ．若，则11．已知函数，则曲线在处切线的斜率为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-212．若存在两个正实数，，使得等式()()324ln ln 0x a y ex y x +--=成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，，且，，成等比数列，则的最小值为_________．14．已知正方体的棱长为2，则它的内切球的表面积是15．如图，在直角梯形中，，，，是线段上一动点，是线段上一动点，，，则的取值范围是_________．16．在正四棱锥内有一半球，其底面与正四棱锥的底面重合，且与正四棱锥的四个侧面相切，若半球的半径为，则当正四棱锥的体积最小时，其高等于_________．三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17．如图，已知为的外心，角，，的对边分别为，，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．18．设数列的前项和为，已知，（）．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．19．如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，12 2AA AC CB AB===．（1）证明：平面；（2）求异面直线和所成角的大小；20．如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点．（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1﹣AEF的体积．21．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．22．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f （t+2）=f（t）+f（2）．（1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；（3）若f（x）=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．选择：1_5 CDADB 6_10 BBDBD 11_12AD填空：13．14．15．16．17．（1）；（2）.解：（1）设外接圆半径为，由得：两边平方得：2221640259R OB OC R R ++=，即：，则，()()CO OB OA BO OA OC ∴-=-即：OC OB OC OA OB OA OB OC -+=-+可得：2222cos 2cos 2cos 2cos 2R A R B R C R A -+=-+ 2cos2cos2cos2A C B ∴=+，即：()()222212sin 22sin 2sin A B C ∴-=-+2222sin sin sin A B C ∴=+，考点：二倍角的余弦；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用.18．（1）证明见解析；（2）.解：（1）由，及，得，整理，得，，又，是以为首项，为公比的等比列（2）由（1），得，（）．01211222322n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++，①()12121222122n n n T n n -=⨯+⨯++-+，②由②①，得()()211212222212112n n nn n n T n n n --=-+++++=-+=-+- 19．（1）证明见解析；（2）. 解：（1）证明：连接与相交于点，连接．由矩形可得点是的中点，又是的中点，，平面，平面，平面（2）∵122AA AC CB AB ===，不失一般性令，，∴． 以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．则，，，，，．设异面直线与所成角为， 则2368420cos 1111=⋅--=⋅=D A BC DA BC θ， ∴，∴异面直线与所成角为．考点：线面平行的判定；异面直线所成的角.【一题多解】（2）由（1）得或其补角为异面直线和所在角，设，则 ()()222211*********DF BC BC C C ==+=+=，()222211213A D A A AD =+=+=，．在中，由余弦定理得，()22211313cos2213A DF+-∠==⨯⨯，且，，异面直线和所成角的大小为.20.解：（I）∵BB1⊥面ABC，AE⊂平面ABC，∴AE⊥BB1，∵E是正三角形ABC的边BC的中点，∴AE⊥BC，又∵BC⊂平面B1BCC1，B1B⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1．（II）∵三棱柱所有的棱长均为2，∴AE=，∴S=2×2﹣﹣=，由（I）知AE⊥平面B1BCC1∴．21.解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+ …（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x=== …（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）22.解：（1）当f（x）=3x+2时，方程f（t+2）=f（t）+f（2）⇔3t+8=3t+10…（2分）此方程无解，所以不存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2），故f（x）=3x+2不属于集合M．…（4分）（2）由属于集合M，可得方程有实解⇔a[（x+2）2+2]=6（x2+2）有实解⇔（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）=0有实解，…（7分）若a=6时，上述方程有实解；若a≠6时，有△=16a2﹣24（a﹣6）（a﹣2）≥0，解得，故所求a的取值范围是．…（10分）（3）当f（x）=2x+bx2时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）⇔2x+2+b（x+2）2=2x+bx2+4+4b ⇔3×2x+4bx﹣4=0，…（12分）令g（x）=3×2x+4bx﹣4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，g（0）=﹣1＜0，g（1）=2+4b＞0，故g（x）在（0，1）内至少有一个零点；当b＜0时，g（0）=﹣1＜0，，故g（x）在内至少有一个零点；故对任意的实数b，g（x）在R上都有零点，即方程f（x+2）=f（x）+f（2）总有解，所以对任意实数b，都有f（x）∈M．…（16分）920200 4EE8 仨 22879 595F 奟*0G&30831 786F 硯}]j<35211 898B 見。

安徽省六校教育研究会2021届高三联考数学能力测试（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集为实数集R ，集合{}12,|P x x x R =≤+∈，集合{}1,2,3,4Q =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}4B. {}3,4C. {}2,3,4D. {}1,2,3,4【答案】B 【解析】 【分析】图中的阴影部分表示集合Q 中不满足集合P 的元素，由此可得选项．【详解】图中的阴影部分表示集合Q 中不满足集合P 的元素，所以阴影部分所表示的集合为{}3,4， 故选：B ．2. 已知复数z 与2(2)8z i +-均是纯虚数，则z 的虚部为（ ） A. 2- B. 2C. 2i -D. 2i -【答案】A 【解析】【分析】利用复数的乘方运算以及复数的概念即可求解. 【详解】设z bi =（b ∈R ，且0b ≠）， 则()()()()2222828448z i bi i bb i +-=+-=-+-；若()228z i +-是纯虚数，则240,480,b b ⎧-=⎨-≠⎩，解得2b =-.故选：A3. 已知实数,x y 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的最小值是 （ ）A. 2B. 1C.25D.45【答案】D 【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【详解】实数,x y 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，可行域如图所示，由22222((0)(0))z x y x y =+=-+-结合图象，z 可看作原点到直线220x y +-=的距离d 的平方， 根据点到直线的距离可得22521d ==+ 故22245z x y d =+==【点睛】本题考查线性规划的简单性质，考查数形结合以及转化与化归思想的应用，考查基本运算求解能力．4. 不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知()202022,x y y x Z y Z +=∈∈，则该方程的整数解有（ ）组． A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】原方程可化为20202(1)1x y +-=，所以2||1,(1)1,x y ≤-≤即11,02x y -≤≤≤≤，(),x y Z ∈再列举每种情况即可.【详解】设此方程的解为有序数对(,)x y ， 因为202022,(,)x y y x y Z +=∈ 所以20202(1)1x y +-=当20201x >或2(1)1y ->时，等号是不能成立的，所以2||1,(1)1,x y ≤-≤即11,02x y -≤≤≤≤，(),x y Z ∈ （1）当1x =-时，2(1)0y -=即1y = （2）当0x =时，2(1)1y -=即0y =或2y = （3）当1x =时，2(1)0y -=即1y =综上所述，共有四组解()()()()1,1,0,0,0,2,1,1-- 故选：D5. 已知向量()1,3b =，向量a 在b 方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥，则实数λ的值为（ ） A.13B. 13-C.23D. 3【答案】A 【解析】 【分析】设(),a x y =6=-，()4x λ=-，整体代换即可得解. 【详解】设(),a x y =，a 在b 方向上的投影为6-，∴36a b x b⋅+==-即12x +=-.又 ()a b b λ+⊥，∴()0a b b λ+⋅=即130x y λ+++=，∴()4x λ+=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.6. 直线:230l x y ++=倾斜角为α，则2sin 2cos αα+的值为（ ） A.45B. 45-C.35D.35【答案】D 【解析】【分析】求出tan α的值，可得出22222sin cos cos sin 2cos sin cos ααααααα++=+，在所求分式的分子和分母同时除以2cos α，利用弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】由已知可得tan 2α，所以，()2222222212sin cos cos 2tan 13sin 2cos co 2si s tan 1n 15ααααααααα⨯-++++====-+++. 故选：D.7. 已知点()02,M y 为抛物线()22,0y px p =>上一点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，若87MF MO =．则p 的值为（ ）A. 1或54B.52或3 C. 3或54D. 1或52【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再根据平面直角坐标系上任意两点的距离公式表示出MO ，即可得到方程，解得即可；【详解】解：因为点()02,M y 为抛物线()22,0y px p =>上一点，F 为抛物线的焦点，所以22pMF =+，MO ==又87MF MO =，所以822p ⎛⎫+ =⎪⎝⎭，即()()244491p p +=+解得3p =或54p = 故选：C8. 函数3()sin f x x x x =++，则1a >-是(1)(2)0f a f a ++>的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】对函数()3sin f x x x x =++进行求导，可得出函数的单调性，再得出函数的奇偶性，利用充分必要条件的定义判断可得选项．【详解】由题意可得：2()cos 3+1>0f x x x '=+恒成立， 所以函数()3sin f x x x x =++在R 上递增，又()()()()33()sin sin ()f x x x x x x x f x -=-+-+-=-++=-，所以函数()f x 是奇函数，当()()120f a f a ++>，即()()()122f a f a f a -+>=-， 所以12a a +>-，解得13a >-， 当1a >-时，则13a >-，显然不成立； 反之，当13a >-，则1a >-，成立， 所以1a >-是()()120f a f a ++>的必要不充分条件 故选：B ．9. 已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，将数列{}n a 依原顺序按照第n 组有2n 项的要求分组，则2021在第几组（ ） A. 8 B. 9C. 10D. 11【答案】B 【解析】【分析】依题意根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项，再根据等比数列的前n 项和公式求出前m组内的项数和，即可判断2021在第几组；【详解】解：因为数列{}n a 的前n 项和2n S n =，当1n =时，11a =；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时21n a n =-也成立，故21n a n =-，令212021n -=解得1011n =，故2021为数列{}n a 的第1011项，依题意将数列{}n a 依原顺序按照第n 组有2n 项的要求分组，则前m 组一共有()1212122222212m m m +-+++==--个数，当8m =时，即前8组有922510-=个数； 当9m =时，即前9组有10221022-=个数； 故第1011项第9组；故选：B10. 已知三棱锥A BCD -满足：AB AC AD ==，BCD △是边长为2的等边三角形．三棱锥A BCD -的外接球的球心O 满足：0OB OC OD ++=，则该三棱谁的体积为（ ） A.16B.13C.23D. 1【答案】C 【解析】【分析】分析出三棱锥A BCD -为正三棱锥，由0OB OC OD ++=可知O 为正BCD △的中心，由球心的定义得出OA OB OC OD ===，利用正弦定理求出BCD △的外接圆半径，即为OB ，可得出OA ，再利用锥体的体积公式可求得该三棱锥的体积.【详解】已知三棱锥A BCD -满足：AB AC AD ==，BCD △是边长为2的等边三角形， 所以，三棱锥A BCD-正三棱锥，由于正三棱锥A BCD -的外接球的球心O 满足：0OB OC OD ++=，则O 为正BCD△的重心，即O 为正BCD △中心，所以，AO ⊥平面BCD ，由正弦定理可得22sin3OB π==，OA OB ∴==，212sin 23BCDS π=⨯⨯=△， 因此，112333A BCD BCD V S OA -=⋅==△. 故选：C.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 11. 圆O 半径为1，,PA PB 为圆O 的两条切线，A ，B 为切点，设APO α∠=，则2tan 2PABS α最小值为（ ）A. 4-B. 3-+C. 4-+D. 3-+【答案】D 【解析】【分析】利用三角形的面积公式将2tan 2PABS α表示为关于α的函数关系式，然后换元，利用基本不等式可求得最小值.【详解】因为,PA PB 为圆O 的两条切线，所以OA PA ⊥，OB PB ⊥， 所以tan OA PA α=，所以1tan PA α=，(0,)2πα∈， 211sin 2sin 222PAB S PA PB PA αα=⋅⋅=△2sin 22tan αα=， 所以2tan 2PAB S α2sin 2tan tan 2ααα=⋅2cos 2tan αα=2222cos 1sin cos ααα-=222cos (2cos 1)1cos ααα-=- 设21cos x α-=，因为(0,)2πα∈，所以cos (0,1)α∈，则01x <<，所以222cos (2cos 1)1cos ααα--[](1)2(1)1x x x ---=2231x x x-+=123x x =+-33≥=，当且仅当x =所以2tan 2PABSα的最小值为3.故选：D【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且首项10a >，给出下列命题：1p ：若3412a aa e a e =，则()3)(110a q --≤；2p ：若3412a a e a e a =++，则22,00,33q ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则下列说法正确的是（ ）A. 1p 为真命题，2p 为假命题B. 1p ，2p 都为真命题C. 1p 为假命题，2p 为真命题D. 1p ，2p 都为假命题【答案】A 【解析】【分析】根据等式3412a a a ea e =用q 表示出3a ，代入()3(11)a q --中，构造关于q 的函数，利用导数判断不等式()3)(110a q --≤是否成立，进而判断出命题1p 的真假；通过举反例判断命题2p 的真假．【详解】1p ：若3412a aa e a e =，则()3)(110a q --≤，由3412a a a e a e =得44333(1)210a a a a q a a e q e e a e--====>， 3(1)ln a q q -=，3ln 1qa q =-， ()()()3ln 1111ln 11q a q q q q q ⎛⎫--=--=-+ ⎪-⎝⎭，令()ln 1f q q q =-+，则11()1q f q q q-'=-=， 01q <<时，()0f q '>，()f q 递增，1q >时，()0f q '<，()f q 递减，∴()(1)0f q f ≤=，1q =时取等号．∴()3)(110a q --≤，命题1p 为真．2p ：若3412a a e a e a =++，设110a =，12q =-，则25a =-，352a =，454a =-，125a a +=，但3455245a a e e e e -+=+>，即3412a a e a e a =++不成立，2p 是假命题． 故选：A ．【点睛】关键点睛：在判断命题1p 时，解题关键是利用取对数把3a 用q 表示，从而把3(1)(1)a q --化为一元函数，利用函数的知识确定结论．而命题2p 中是加法运算，对等比数列来讲无法计算，举反例判断（题中结论只有q ，因此数列的首项可取任意值）．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13. 从编号为1、2、3、、88的88个网站中采用系统抽样抽取容量为8的样本，若所抽样本中有编号为53的网站，则样本中网站最小编号为________． 【答案】9 【解析】【分析】求出分段间隔，分析出编号为53的网站位于第5组，进而可列等式求出样本中网站最小编号. 【详解】分段间隔为88118=，第5组样本的编号为45、46、47、、55，由于455355<<，所以，编号为53的网站位于第5组， 设样本中网站最小编号为m ，则11453m +⨯=，解得9m =. 故答案为：9.14.若3nx ⎛+ ⎝的展开式常数项为84，则n =________．【答案】9 【解析】【分析】求出二项展开式的通项，令x 的指数为零，可得出方程组，进而可解得n 的值.【详解】3nx ⎛ ⎝的展开式通项为()3933221kn k n k k k k n n T C x x C x---+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 由题意可得849302k n C n k n N *⎧=⎪⎪-=⎨⎪∈⎪⎩，解得9n =.故答案为：9.15. 双曲线221mx ny -=左右焦点分别为12,F F ，左右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线渐近线上一点，若以12F F 为直径的圆经过P 点，且3APB π∠=．则该双曲线的渐近线方程为________．【答案】y x =± 【解析】【分析】由题意设双曲线方程为22221(0)x y a b a b-=>>，设P 在第一象限，由以12F F 为直径的圆经过P 点，得(,)P a b ，从而得PB AB ⊥，这样结合3APB π∠=可得ba，得渐近线方程． 【详解】设双曲线方程为22221(0)x y a b a b-=>>，12(,0),(,0)F c F c -，不妨设P 在第一象限，以12F F 为直径的圆经过P 点，则1212F O c F P ==，设(,)(0,0)P x y x y >>， 由22222b y x a x yc a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，即(,)P a b ，所以PB AB ⊥，而3APB π∠=，则23a b =，所以233b a =，渐近线方程为233y x =±． 故答案为：233y x =±． 【点睛】结论点睛：本题考查求双曲线的渐近线方程，对双曲线22221(0)x y a b a b-=>>，P 是渐近线上一点且在第一象限，若OP c =，则有P 点坐标为(,)a b ．16. A ，B ，C ，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为________． 【答案】527【解析】【分析】根据A 的票数为3,2分类讨论，再根据互斥事件的概率加法公式即可求出． 【详解】若仅A 一人是最高得票者，则A 的票数为3,2． 若A 的票数为3，则1111133327P =⨯⨯=； 若A 的票数为2，则BCD 三人中有两人投给A ，剩下的一人与A不能投同一个人，213111242333327P C ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭； 所以仅A 一人是最高得票者的概率为12145272727P P P =+=+=． 故答案为：527． 【点睛】本题解题关键是根据A 的得票数进行分类讨论，当A 的票数为3时，容易求出1127P =，当A 的票数为2时，要考虑如何体现A 的票数最高，分析出四人投票情况，是解题的难点，不妨先考虑BC 投给A ，则D 投给B （C ），A 就投给C 或D （B 或D ），即可容易解出．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 在ABC 中，D 是BC 的中点，2,4,AB AC AD ===（1）求ABC 的面积；（2）若E 为BC 上一点，且AB AC AE AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，求λ的值．【答案】（1）（2）43λ=． 【解析】【分析】（1）由中线及向量运算得1()2AD AB AC =+，平方后求得 4⋅=-AB AC ，由向量的数量积可得BAC ∠，从而可得三角形面积；（2）由AB AC AE AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭得 AE 是BAC ∠的平分线，利用三角形的面积求得中线AE 长，再由向量的运算求得AB AC ABAC+的模，从而可得λ．【详解】解．（1）由1()2AD AB AC =+可得： 22221111()4424AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+，22111324424AB AC =⨯+⋅+⨯， 4⋅=-AB AC ，1cos 2||||AB AC BAC AB AC ⋅∠==-⋅所以1sin1202120,ABCB AB A AC C S=⋅=︒︒∠=（2）因为AB AC AE AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，所以 AE 是BAC ∠的平分线，||AB c AB =，AC b AC =，1b c ==，则 222()2121b c b c b b c c +=+=+⋅+=+=， 由ABC ABE ACE S S S =+△△△可得 1112sin sin sin 232323AB AE AC AE AB AC πππ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ 从而43AE =，由||||AB AC AE AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以 43λ=．【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积运算，考查向量三角形面积公式．解题关键有两个一是利用向量的平方求出数量积AB AC ⋅，从而可得夹角，二是利用向量的加法法则得 AE 是BAC ∠的平分线． 18. 如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，111112AA A B AB ===，60ABC ∠=．1AA ⊥平面ABCD ．（1）若点M 是AD 的中点，求证：11C M AC ⊥； （2）棱BC 上是否存在一点E ，使得二面角1E AD D --的余弦值为13？若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且312CE =-． 【解析】【分析】（1）取BC 中点Q ，连接AQ 、1A C 、AC ，以点A 为坐标原点，以AQ 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，计算出110C M AC ⋅=，进而可证得11C M AC ⊥； （2）设点E 的坐标为()3,,0λ，其中11λ-≤≤，利用空间向量法可得出关于实数λ的方程，由题意得出点E 在线段QC 上，可求得λ的值，进而可求得CE ，即可得出结论. 【详解】（1）取BC 中点Q ，连接AQ 、1A C 、AC ， 因为四边形ABCD 为菱形，则AB BC =，60ABC ∠=，ABC ∴为等边三角形，Q 为BC 的中点，则AQ BC ⊥，//AD BC ，AQ AD ∴⊥，由于1AA ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，以AQ 、AD 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图.则()0,0,0A 、()10,0,1A 、()10,1,1D、)3,0,0Q 、)3,1,0C、131,,122C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭、()0,1,0M ，131 ,,122C M⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭，()13,1,1AC=-，()211311022C M AC∴⋅=-++-=，11C M A C∴⊥；（2）假设点E存在，设点E的坐标为)3,,0λ，其中11λ-≤≤，()3,,0AEλ=，()10,1,1AD=，设平面1AD E的法向量为(),,n x y z=，则1n AEn AD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30x yy zλ+=+=⎪⎩，取3y=xλ=，3z=(,3,3nλ=-，平面1ADD的一个法向量为()1,0,0m=，所以，21cos,3+6m nm nm nλλ⋅<>===⋅，解得3λ=±，又由于二面角1E AD D--为锐角，由图可知，点E在线段QC上，所以32λ=，即312CE=-．因此，棱BC上存在一点E，使得二面角1E AD D--的余弦值为13，此时312CE=-.【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．19. 红铃虫是棉花主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关.现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度x/℃ 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数y /个711212466115325xyz()()1niii x x zz =--∑()21nii x x =-∑27.429 81.286 3.612 40.182 147.714表中ln i z y =，7117i i z z ==∑（1）根据散点图判断，y a bx =+与dxy ce =（其中 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？（给出判断即可不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为()01p p <<.（ⅰ）记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为()f p ，求()f p 的最大值，并求出相应的概率0p .（ⅱ）当()f p 取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差. 附：对于一组数据()()()112277,,,,,,x z x z x z ⋅⋅⋅，其回归直线z a bx =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：()()()71721ˆiii ii x x z z bx x ==--=-∑∑，a z bx =-.【答案】（1）dxy ce =更适宜；0.272 3.849x y e -=；（2）（i ）()max 216625f p =，此时相应的概率为035p =；（ii ）()3E X =，()65D X =. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到dx y ce =更适宜作为平均产卵数，利用回归方程的定义，直接求解即可；（2）（ⅰ）由()()23351f p C p p =-，得()()()325135f p C p p p '=--，利用导数性质求解即可；（ⅱ）利用期望和方差的公式进行求解即可【详解】（1）根据散点图可以判断dx y ce =更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x的回归方程类型.对dx y ce =两边取自然对数得ln ln y c dx =+，令ln z y =，ln a c =，b d =，得z a bx =+.因为()()()7172140.1820.2720147.714iii ii x x zz b x x ==--==≈-∑∑，所以 3.6120.27227.429 3.849a z bx =-=-⨯≈-， 所以z 关于x 的线性回归方程为0.27234ˆ.89zx =-，所以y 关于x 的回归方程为0.272 3.849ˆx y e -=.（2）（ⅰ）由()()23351f p C p p =-，得()()()325135f p C p p p '=--，因为01p <<，令()0f p '>得350p ->，解得305p <<；令()0f p '<得350p -<，解得315p <<， 所以()f p 在30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f p 有唯一极大值35f ⎛⎫⎪⎝⎭，也为最大值. 所以当35p =时，()max 216625f p =，此时响应的概率035p =. （ⅱ）由（ⅰ）知，当()f p 取最大值时，35p =，所以35,5x b ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()3535E X =⨯=，()3265555D X =⨯⨯=. 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用回归方程，期望和方差的公式，结合导数性质进行求解即可20. 已知圆22:5O x y +=，椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点为12,F F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和（1）求椭圆的标准方程；（2）如图P 为圆上任意一点，过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A ，B 两点． （ⅰ）若直线PA 的斜率为2，求直线PB 的斜率； （ⅱ）作PQ AB ⊥于点Q ，求证：12QF QF +是定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）（i ）12-；（ii ）证明见解析． 【解析】【分析】（1）由两个弦长结合222a b c =+列方程组解得,,a b c ，得椭圆方程；（2）（ⅰ）设()00,P x y ，切线()00y y k x x -=-，则22005x y +=，切线方程与椭圆方程联立，消元后由0∆=得121k k =-，从而得PB 斜率；（ii ）当切线,PA PB 的斜率都存在时，设()()1122,,,A x y B x y ，求得切线方程为1,1,24i i x xy y i +==，利用切线都过P 得直线AB 方程为0014x xy y +=，由垂直得直线PQ 方程，从而可得Q 点坐标，再利用P 在圆上，可得Q 点轨迹方程为2255116x y +=，判断其为椭圆，焦点也是12,F F ，得定值．当切线,PA PB 的斜率有一个不存在时，求出Q 点坐标后Q 点也在上述椭圆上，从而证得结论． 【详解】解：（1）由题意得：22222252221a b c c b a⎧=+⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩2,1,3a b c ===得椭圆的标准方程为：2214x y +=（2）（ⅰ）设()00,P x y ，切线()00y y k x x -=-，则22005x y +=由()220014x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩化简得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--= 由0∆=得()22200004210x kx y k y -++-=设切线,PA PB 的斜率分别为12,k k则()2200122200111445y y k k x y --===---- 又直线PA 的斜率为2，则直线PB 的斜率为12-（ii ）当切线,PA PB 的斜率都存在时，设()()1122,,,A x y B x y ， 切线,PA PB 方程为(),1,2i i i y y k x x i -=-=并由（ⅰ）得()2224210,1,2ii i i i x kx y k y i -++-==（*）又A ，B 点在椭圆上，得221,1,24i i x y i +==代入（*）得222i i i x y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即,1,24i ii x k i y =-= 切线,PA PB 的方程为1,1,24i i x xy y i +== 又过P 点，则01,1,24i i x x y y i +== 所以直线AB 方程0014x xy y +=， 由PQ AB ⊥得直线PQ 方程为()00004y y y x x x -=- 联立直线AB 方程为0014x x y y +=，解得()200022004134165Q x y x x x y +==+，()20002200131165Q y y y y x y +==+由22005x y +=得Q 点轨迹方程为2255116x y +=，且焦点恰为12,F F ， 故122QF QF +==， 当切线,PA PB 的斜率有一个不存在时，如PB 斜率不存在，则(2,0)B ，(2,1)P ，(0,1)A ，直线AB 方程为112y x =-+，PQ 方程为12(2)y x -=-，可解得81(,)55Q ，Q 点也在椭圆2255116x y +=上，若(2,0)B -，同理可得． 综上得12QF QF +=． 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系及定值问题．解题方法是求出动点Q 的轨迹方程，确定其轨迹是椭圆且焦点与已知椭圆焦点相同，从而证得结论．关键是直线与椭圆相切的切线方程：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上点00(,)P x y ，过P 点的椭圆的切线方程是00221xx yy a b+=．（可用点斜式设切线方程，由直线与椭圆相切，求出斜率，代入化简即得）． 21. 已知函数()21,xx mx f x m R e++=∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()1,0m ∈-，证明：对任意的[]()1212,1,1,45x x m f x x ∈-+<． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】【分析】（1）求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行判断即可． （2）将不等式进行转化，构造函数g （x ）=-14x+54，则不等式转化为最值问题进行求解即可． 【详解】解：（1）()()()()2/1121xxx x m x m x m fx e e ⎡⎤----+-+-⎣⎦==-①当1＞1-m ，即m ＞0时，（-∞，1-m ）和（1，+∞）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调减；（1-m ，1）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调增②当1=1-m ，即m =0时，（-∞，+∞）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调减③当1＜1-m ，即m ＜0时，（-∞，1）和（1-m ，+∞）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调减；（1，1-m ）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调增（2）对任意的x 1，x 2∈[1，1-m ]，4f （x 1）+x 2＜5可转化为()121544f x x ＜-+， 设g （x ）=-14x +54，则问题等价于x 1，x 2∈[1，1-m ]，f （x ）max ＜g （x ）min 由（1）知，当m ∈（-1，0）时，f （x ）在[1，1-m ]上单调递增，()12()1max mmf x f m e --=-=， g （x ）在[1，1-m ]上单调递减，()1()114min g x g m m =-=+， 即证12114mm m e ＜--+，化简得4（2-m ）＜e 1-m [5-（1-m ）] 令1-m =t ，t ∈（1，2）设h （t ）=e t （5-t ）-4（t +1），t ∈（1，2），h ′（t ）=e t （4-t ）-4＞2e t -4＞0，故h （t ）在（1，2）上单调递增．∴h （t ）＞h （1）=4e -8＞0，即4（2-m ）＜e 1-m [5-（1-m ）] 故12114m m m e ＜--+，得证． 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断，结合函数单调性和导数之间关系进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11C x y +=:与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知():0l θαρ=>与1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当4OB OA =时，求α的值．【答案】（1）1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为：4cos ρθ= （2）4πα= 【解析】【分析】（1）根据直角坐标与极坐标的互化关系，参数方程与一般方程的互化关系，即得解；（2）将():0l θαρ=>代入1C ，2C 的极坐标方程，求得||,||OA OB 的表达式，代入4OB OA=，即得解.【详解】（1）解：将直角坐标与极坐标互化关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线11C x y +=:得cos sin 1ρθρθ+=，即：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 所以曲线1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 又曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数ϕ得2240x y x +-=，将直角坐标与极坐标互化关系：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式化简得4cos ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为：4cos ρθ=．（2）∵():0l θαρ=>与曲线1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，所以将()0θαρ=>代入14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭及4cos ρθ=得14OA πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4cos OB α=， 又4OBOA =，sin 14παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos αα=，4πα=．【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.23. 已知()11f x ax x =++-（1）当2a =时，求不等式()2f x <的解集：（2）若()1,2x ∈时不等式()f x x <成立，求a 的取值范围．【答案】（1）2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）10a -≤<. 【解析】【分析】（1）首先利用零点分段去绝对值，解不等式；（2）根据函数的定义域，不等式等价于11ax +<，解不等式，参变分离后求a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()211f x x x =++-即()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩ 1232x x ⎧≤-⎪⎨⎪-<⎩，解得：2132x -<≤-，或11222x x ⎧-<<⎪⎨⎪+<⎩ ，解得：102x -<<， 或132x x ≥⎧⎨<⎩ ，解得：∅ 故不等式()2f x <的解集为2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）当()1,2x ∈时f x x <（）成立等价于当()1,2x ∈时11ax +<成立． 则111ax -<+<，即20ax -<<，得20a x-<<，当()1,2x ∈时恒成立，解得10a -≤<. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据()1,2x ∈，先去绝对值，再参变分离后得20a x -<<，当()1,2x ∈时恒成立，转化为最值问题.。

2021年高三下学期第二次模拟考试数学理试题 含答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数＝（A ）1（B ）－1（C ）i （D ）－i（2）向量，若，则实数的值为（A ） （B ） （C ） （D ）1（3）已知随机变量X 服从正态分布N ，若P (X ≤2)＝0.72，则P (X ≤0)＝ （A ）0.22（B ）0.28（C ）0.36 （D ）0.64（4）在等差数列中，，则此数列的前10项的和＝（A ）10 （B ）20 （C ）40 （D ）80（5）执行右图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（6）设函数())sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<且其图象关于直线对称，则（A ）的最小正周期为，且在上为增函数 （B ）的最小正周期为，且在上为减函数 （C ）的最小正周期为，且在上为增函数 （D ）的最小正周期为，且在上为减函数（7（A ）6 （B ）5.5 （C ）5 （D ）4.5正视图 侧视图俯视图1 1 （第7题）（8）下列叙述正确的个数是①l为直线，α、β为两个不重合的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α②若命题，则③在△ABC中，“∠A＝60°”是“cos A＝”的充要条件④若向量a，b满足a·b＜0，则a与b的夹角为钝角（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（9）双曲线（）的两个焦点为，若双曲线上存在一点，满足，则双曲线离心率的取值范围为（A）（B）（C）（D）（10）已知球的直径SC＝4，A、B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S—ABC的体积为（A）3 3 （B）2 3 （C） 3 （D）1（11）已知长方形ABCD，抛物线以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线与AB边围成的封闭区域为M．若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M的概率为p．则下列结论正确的是（A）当且仅当AB＝AD时，p的值最大（B）当且仅当AB＝AD时，p的值最小（C）若的值越大，则p的值越大（D）不论边长AB，AD如何变化，p的值为定值（12）定义域为R的偶函数满足对R，都有成立，且当时，．若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

安徽省2021年高考数学二模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·长春期中) 在复平面内，复数对应向量（o为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：， ,则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: ,则（）A .B .C .D .2. （2分）已知全集则（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·佛山模拟) 变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A . 2B . 4C . 5D . 64. （2分） (2020高三上·泸县期末) 已知函数为的导函数，则下列结论中正确的是（）A . 函数的值域与的值域不同B . 存在，使得函数和都在处取得最值C . 把函数的图象向左平移个单位，就可以得到函数的图象D . 函数和在区间上都是增函数5. （2分）(2020·焦作模拟) 执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A . 3B . 4C . 5D . 66. （2分） (2015高一上·扶余期末) 如图所示，矩形ABCD的边AB=m，BC=4，PA⊥平面ABCD，PA=3，现有数据：① ；②m=3；③m=4；④ ．若在BC边上存在点Q（Q不在端点B、C处），使PQ⊥QD，则m可以取（）A . ①②B . ①②③C . ②④D . ①7. （2分）(2017·常宁模拟) 已知奇函数y=f（x），x∈R，a= [f（x）+ x2]dx，则二项式（﹣）9的展开式的常数项为（）A . ﹣B . ﹣C . ﹣1D . ﹣8. （2分）已知函数，则其图象的下列结论中，正确的是（）A . 关于点中心对称B . 关于直线轴对称C . 向左平移后得到奇函数D . 向左平移后得到偶函数9. （2分）已知△ABC为等边三角形,,设点P,Q满足,,,若,则（）A .B .C .D .10. （2分）若某空间几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积是（）A .B .C . 2D . 611. （2分）在一次数学测试中，某同学有两道单选题（即四个答案选一个）不会做，他随意选了两个答案，则这两道单选题都答对的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·嘉兴模拟) 已知不等式ln（x+1）﹣1≤ax+b对一切x＞﹣1都成立，则的最小值是（）A . e﹣1B . eC . 1﹣e﹣3D . 1二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·南通期中) 设等比数列{an}的前n项和为Sn ，若 =2，S4=4，则S8的值为________．14. （1分） (2017高一下·淮安期末) 两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是________．15. （1分） (2019高三上·中山月考) 对于，有如下命题：①若，则一定为等腰三角形；②若，则定为钝角三角形；③在为锐角三角形，不等式恒成立；④若，则；⑤若，则 .则其中正确命题的序号是________ .（把所有正确的命题序号都填上）16. （1分） (2017高一上·青浦期末) 函数f（x）= 的零点个数是________．三、解答题： (共7题；共70分)17. （10分）(2020·绍兴模拟) 在中，已知内角的对边分别是，且，.（1）求角；（2）若，求的面积.18. （10分） (2016高二上·潮阳期中) 设Sn是数列[an}的前n项和，．（1）求{an}的通项；（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．19. （15分）(2018·广元模拟) 2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查.参考公式： .（1）已知抽取的名学生中含女生45人，求的值及抽取到的男生人数；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况，求2人中至少有1名男生的概率.0.050.013.841 6.63520. （5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，AP=BP=AB，BC⊥平面PAC．（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC的体积．（Ⅲ）（理科做，文科不做）求二面角B﹣AP﹣C的正弦值．21. （10分） (2019高二上·三明月考) 已知函数（1）求的最值；（2）若仅有唯一解，求的取值范围.22. （10分） (2016高一下·河源期末) 已知A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是函数f（x）= 的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线x= 上，且 = ．（1）求x1+x2的值及y1+y2的值；（2）已知S1=0，当n≥2时，Sn=f（）+f（）+f（）+…+f（），求Sn ．23. （10分）(2017·武邑模拟) 综合题：（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（2）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）（1）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（2）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a+1|）参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2021年高三2月模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义在R上的偶函数满足且在上是减函数，是锐角三角形的两个内角，则（）A. B.C. D.2.如右框图，当x1=6,x2=9,p=8.5时，x3等于（）A．11B．10C．8D．73. 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( )A.13,39,123B. 42,41,123C.24,23,123D.28,27,1234．已知，, ,则（）A．B．C．D．5．已知为实数，条件p：2<，条件q：≥1，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6.已知等差数列1，，等比数列3，，则该等差数列的公差为（）A．3或B．3或 C．3 D．7.从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如右图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.8. 已知函数的图象与直线y = b (0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是（）A. B.C. D. 无法确定9.投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1，2，3，4，5，6)，向上的面上的数字记为，又(A)表示集合的元素个数，A={|2 ++3=1，∈R}，则(A)=4的概率为（）A. B． c． D．10. 设∠POQ=60°在OP、OQ上分别有动点A，B，若·=6，△OAB的重心是G，则|| 的最小值是( )A.1 B．2 C．3 D．411.设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是（）(A) (B) (C) (D)12. 已知函数，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则＝( )A． B． C．45 D．55第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

2021年高三下学期二模考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21{|log,1},{|,2}U y y x x P y y xx==>==>，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：由题意，，则，选C.考点：集合的运算.2.下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是（）A． B． C． D．【答案】C考点：函数的奇偶性与单调性.3.已知复数满足 (其中i为虚数单位)，则的虚部为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：由题意，，虚部为.考点：复数的概念与运算.4.等比数列的前n项和为，已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：，所以，即，所以.考点：等比数列的性质.5.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23【答案】B【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最小值7.考点：线性规划.6.投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：投掷两枚骰子，点数形成的事件空间有种，其中点数和为8的事件有共5种，因此所求概率为.考点：古典概型.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．4【答案】A【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个三棱柱截去了一块，如图，它可以看作是一个三棱柱与四棱锥组合而成，.NM FEDA考点：三视图，几何体的体积.8.执行下方的程序框图，如果输入的，那么输出的的值为（）A． B．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图，每次循环中，参数的值依次为，，，，这里结束循环，输出结果为B. 考点：程序框图.9.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点，则 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，，所以，所以323sin(2)sin[2(2)]sin 1281232k ππππαπ-=+-==. 考点：三角函数的定义与求值.10.在四面体S-ABC 中，平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠====，则该四面体的外接球的表面积为 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：设的外心为，222222cos 12212cos120BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯︒，，则，该四面体外接球半径为，由于平面，则有2222212740(2)(2)2()33R SA O A =+=+=，所以.考点：球与多面体，球的表面积.11.已知F 是抛物线的焦点，直线与该抛物线交于第一象限内的点，若，则的值是 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】试题分析：设，由消去得，则①，②，又，，由已知③，由②③得，代入①得（在第一象限）. 考点：直线和抛物线位置关系. 12.设函数()()2212,2(),,0,1,2,,9999i if x x f x x x a i ==-==，记 ，则下列结论正确的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B考点：函数的单调性，比较大小．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量，且与共线，则x 的值为 【答案】 【解析】试题分析：，由与共线得，解得．考点：向量的共线．14.已知8280128(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-，则【答案】8 【解析】 试题分析：，. 考点：二项式定理.15.设点P 、Q 分别是曲线是自然对数的底数）和直线上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为 【答案】 【解析】试题分析：，令，即，，令，显然是增函数，且，即方程只有一解，曲线在处的切线方程为，两平行线和间的距离为.考点：导数与切线，方程的解，平行线间的距离.16.在平面直角坐标系中有一点列对，点在函数的图象上，又点构成等腰三角形，且 若对，以为边长能构成一个三角形，则的取值范围是 【答案】 【解析】试题分析：由题意点构成以为顶点的等腰三角形，则，，以为边长能构成一个三角形，因为，则有，，所以.考点：等腰三角形的性质，解一元二次不等式.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 在中，角的对边分别为，且满足 （1）求角B 的大小； （2）若的面积为，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）题设已知条件是边角的关系，要求的是角，因此利用正弦定理把边化为角，得（同时用诱导公式化简），整理得，在三角形中有，因此得，；（2）由面积公式有，从而得，再结合余弦定理可得.试题解析：（1）…………………………1分…………………………3分∴…………………………5分∴…………………………6分(2) 由得a c＝4…………………………8分.由余弦定理得b2＝a2＋c2+ac…………………10分∴ a＋c …………………………12分考点：正弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理.18.（本小题满分12分）4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）【答案】（1）见解析，与性别有关；（2）分布列为X 0 1 2 3P期望为，方差为【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图,读书迷占比为40%，非读书迷占比为60%，再由表格中的两个数字可填全表格，根据计算公式得，因此有99%的把握认为“读书迷”与性别有关；（2）题意可知X～B（3，），P(x=i)= （i=0，1，2，3），可得X的分布列，由公式可得期望与方差. 试题解析：（1）完成下面的列联表如下非读书迷读书迷合计男40 15 55女20 25 45合计60 40 100……………… 3分≈8.2498.249 > 6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.……………..6分（2）视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为. 由题意可知X～B（3，），P(x=i)= （i=0，1，2，3）………………8分从而分布列为X 0 1 2 3P.……………… 10分E(x)=np= (或0.6)，D(x)=np(1-p）= (或0.72) ……………… 12分考点：（1）频率分布直方图，独立性检验，随机变量的分布列，数学期望与方差.19.（本小题满分12分）已知平面,,,4,1ABCD CD AD BA AD CD AD AP AB ⊥⊥====. （1）求证：平面；（2）M 为线段CP 上的点，当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】试题分析：（1）证线面垂直，就是要证线线垂直，已有，寻找题设条件还有平面，从而有，因此可以证得线面垂直；（2）要求二面角的大小，由于图形中有三直线两两垂直，因此可以以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角，建立如图所示的坐标系后，关键是要求出点的坐标（因为其它点的坐标都易得），设，利用与共线，及就能求出点的坐标，然后求出平面平面的法向量，由法向量夹角求得相应的二面角. 试题解析：（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，PA 平面ADP ，所以平面ADP ⊥平面ABCD. …………………………………………2分 又因为平面ADP ∩平面ABCD=AD ，CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面ADP. ……………………………………………………4分（2）AD ，AP ，AB 两两垂直，建立如图所示空间坐标系，则A （0，0，0），B （0，0，1），C （4，0，4），P （0，4，0），则，，，.………………………………6分zxy设M（x, y , z), ，则.所以，，，.因为BM⊥AC，所以，，解得，法2：在平面ABCD内过点B作BH⊥AC于H，在平面ACP内过点H作HM∥AP交PC于点M，连接MB ………6分，因为AP⊥平面ABCD，所以HM⊥平面ABCD.又因为AC平面ABCD，所以HM⊥AC.又BH∩HM=H, BH平面BHM，HM平面BHM，所以AC⊥平面BHM.所以AC⊥BM，点M即为所求点. …………………………………………8分在直角中，AH=，又AC=，所以.又HM∥AP，所以在中，.在平面PCD内过点M作MN∥CD交DP于点N，则在中， .因为AB∥CD，所以MN∥BA.连接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP.所以AB⊥AD，AB⊥AN.所以∠DAN为二面角C—AB—M的平面角.………………………10分在中，过点N 作NS ∥PA 交DA 于S ，则，所以AS=，，所以NA=.所以.所以二面角C —AB —M 的余弦值为. …………………………………………12分考点：线面垂直，二面角.20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）不垂直与坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交y 轴于点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）本题求椭圆的标准方程比较简单，只要把坐标代入椭圆方程，再由离心率及联立方程组可解得；（2）本题属于直线与椭圆相交问题，主要考查学生的运算能力，及分析问题解决问题的能力，这类问题的一般方法都是设直线方程为为，设交点为，把直线方程与椭圆方程联立消去得则有，，同时有；从而有12121222()214t y y kx t kx t k x x t k +=+++=++=+ ，目的是为了表示出中点坐标，设的中点为，则，，因为直线于直线垂直，所以得 ，结合，由条件可得，，其中，为点到直线的距离，由引可求得，.试题解析：（1）由1题意得，解得，．所以椭圆的方程是． ……………………… 4分（2）设直线的方程设为，设，联立消去得则有，，由；12121222()214t y y kx t kx t k x x t k+=+++=++=+ …………… 6分 设的中点为，则， 因为直线于直线垂直，所以得 ………… 8分因为所以,所以，由点到直线距离公式和弦长公式可得，AB == ………10分由2ABPD == ，直线的方程为或. ………… 12分解法二（2）设直线的斜率为，设，的中点为，所以 ，，由题意，式式得()()()()1212121204x x x x y y y y -++-+=⇒又因为直线与直线垂直，所以由14131ykxykx⎧+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩解得…………… 6分因为所以,所以，………8分PD===设直线的方程设为，联立消去得()2222284141(14)44099k k kk x x+⎛⎫++-+-=⎪⎝⎭，，由AB==………10分，解得，满足.由得直线的方程为或. ……… 12分考点：椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系.21.（本小题满分12分）已知函数是自然对数的底数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）若为整数，，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.故在上存在唯一的零点. .............................8分设此零点为，则.当时，；当时，；所以，在上的最小值为.由可得 ........10分所以，由于①式等价于.故整数的最大值为2. ....................................12分考点：导数与单调性，不等式恒成立，函数的零点.请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图：的直径的延长线于弦CD的延长线相交于点P，E为上一点，交于点F.（1）求证：四点共圆；（2）求证：.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：（1）证四点共圆，可证明四边形的对角互补或外角等于内对角等，本题中，由于，因此有，从而得证四点共圆；（2）有了（1）中的四点共圆，由割线定理得，又在圆中有，故结论成立.试题解析：（1）连接，，因为，所以，.................2分又因为，则，所以四点共圆.………………5分（2）因为和是的两条割线，所以，……………7分因为四点共圆,所以，又因为，则∽，所以，即则.………………10分考点：四点共圆，切割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：.（1）直线的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线的曲线交点的极坐标（）【答案】（1）；（2） ，【解析】试题分析：（1）首先消去参数方程的参数，可把参数方程化为普通方程，然后利用公式可把直角坐标方程化为极坐标方程；（2）可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后把直线与圆的直角坐标方程联立解得交点坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标，也可把直线与圆的两个极坐标方程联立方程组解得交点的极坐标.试题解析：（1）将直线（为参数）消去参数，化为普通方程，……………………2分 将代入得.…………4分（2）方法一：的普通方程为.………………6分由解得：或………………8分所以与交点的极坐标分别为： ，.………………10分方法二：由，……………6分得：，又因为………………8分所以或所以与交点的极坐标分别为： ，.………………10分考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线与圆交点.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()()221(0),2f x x a x a g x x =-++>=+.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）不等式为，用分类讨论的思想可求得解集，分类讨论的标准由绝对值的定义确定；（2）不等式恒成立，同样不等式为，转化为，令，因为,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩，只要求出最小值，然后解不等式得所求范围. 试题解析：（1）当时，，无解，，………………………3分综上，不等式的解集为.………………5分（2），转化为，令，因为a>0,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩， ………………8分在a>0下易得,令得………………10分考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值.40115 9CB3 鲳23063 5A17 娗24402 5F52 归36458 8E6A 蹪30653 77BD 瞽0tY36543 8EBF 躿> 40561 9E71 鹱27081 69C9 槉bX。

考前须知：淮南市 2021 届高三第二次模拟考试数学〔理科〕试题〔考试时间：120 分钟总分值：150 分〕1．答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号。

2．答题时，每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答题时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答．题．卡．上．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可选用铅笔在答．题．卡．规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，在．试．题．卷．、．草．稿．纸．上．答．题．无．效．。

第一卷〔选择题〕一、选择题〔本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内〕1. 集合A ={x x(x +1) ≤ 2}，B ={x x -1＞1}，那么A∩B=A.[-1，0)B.[-2，0)C.(0，1]D.(0，2]2．i 是虚数单位，复数z =a + 2i是纯虚数，那么实数a = 2 + iA. -1B. 1C. 4D. -4 3．函数y=-sin x cos x在[-π，π]上的图象是4. 在如下图的算法框图中，假设输入的 x = 4，那么输出结果为51 234A.B ．C ．D ．55555. 设公差不为 0 的等差数列{a n }的前 n 项和为 S n .假设 S 17 = S 18 ，那么在 a 18 ， S 35 ， a 17 - a 19 ，S 19 - S 16 这四个值中，恒等于 0 的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4 6．为了得到正弦函数 y = sin x 的图象，可将函数 y = sin ⎛ x + π ⎫的图象向右平移 m 个单位3 ⎪ ⎝⎭长度，或向左平移 n 个单位长度〔 m > 0， n > 0 〕，那么 m - n 的最小值是A. π3B. 2π 3C. 4π 3D. 5π 37．如图，网格纸上的小正方形的边长均为 1，粗线画的是一个几 何体的三视图，那么该几何体的体积是A. 32B. 2C. 3D. 928. 设 a = log 1 6 ， b = log 1 12 ， c = log 1 15 ，那么第 7 题图2A. a < b < c 45B. c < b < aC. b < a < cD. c < a < b9. 有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个工程，每人限报其中一项.甲同学报的 工程其他同学不报，那么 4 位同学所报选项各不相同的概率等于 1328 A.B.C.D.18329910. 在平行四边形 ABCD 中， AB = 2AD = 2 17， E 是 BC 的中点， F 点在边CD 上，且CF = 2FD ，假设 AE ⋅ BF = -，那么∠DAB =2A. 30B. 60C.D.11. 双曲线C : x 9 y 2- 16= 1的右支上一点 P 在第一象限， F 1 ， F 2 分别为双曲线C 的左、右焦点，I 为△ PF 1F 2 的内心，假设内切圆 I 的半径为 1，直线 IF 1 ，IF 2 的斜率分别为 k 1 ，k 2 ，那么 k 1 + k 2 的值等于 33 5 5A.B. -C. -D.8888112. 定义在 R 上函数 f (x ) 满足 f (x +1) =2f (x ) ，且当 x ∈ [0 ，1)时， f ( x ) = 1 - 2 x -1 .那么使得 f ( x ) ≤ 116在[m ，+∞ )上恒成立的m 的最小值是A.72B.9 2C. 134D. 154第 II 卷〔非选择题，共 90 分〕本卷包括必考题和选考题两局部. 第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题〔本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，将每题的正确答案填在题中的横线上〕13. 公比不为 1 的等比数列 {a }, 且 a 2= a， a + 2a = 3a , 那么数列的通项公式a n = .n 3764514．在(a + x )(1+ x )5展开式中， x 的偶数次幂项的系数之和为8，那么 a =.15．过抛物线 y 2= 4x 焦点 F 的直线交抛物线于点 A 、B ，交准线于点 P ，交y 轴于点Q ， 假设 PQ = FB ，那么弦长 AB = .3 22 2 3A第 18 题图 xy 16．?九章算术?卷第五?商功?中描述几何体“阳马〞为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥〞 . 现有阳马 S - ABCD , SA ⊥ 平面 ABCD ，SAB = 1, AD = 3， SA = 3 . BC 上有一点 E ，使截面SDE 的周长最短，那么 SE 与CD 所成角的余弦值等于.DBEC第 16 题图三、解答题：〔本大题总分值 60 分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕 17.〔本小题总分值 12 分〕在△ ABC 中，三内角 A ， B ， C 对应的边分别为a ， b ， c ，假设 B 为锐角，且sin A + 2 sin B = 〔Ⅰ〕求C ；3 cos A .〔Ⅱ〕 a = 2， AB ⋅ BC = -8，求△ ABC 的面积. 18.〔本小题总分值 12 分〕如图，在三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，∠ACB = ∠C 1CB = 90 °，∠A 1 AC = 60 °，D ，E 分别为 A 1 A 和 B 1C 1 的中点，且 AA 1 = AC = BC ．〔Ⅰ〕求证： A 1E //平面 BC 1D ；〔Ⅱ〕求平面 BC 1D 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值． 19.〔本小题总分值 12 分〕椭圆22 x y + = 〔 a > > 〕的离心率是 ，原点到直线 + = 1的距离C : a 2 b 21 b 02 a b 等于 ，又知点Q (0 ，3) ．3〔Ⅰ〕求椭圆C 的标准方程；〔Ⅱ〕假设椭圆C 上总存在两个点 A 、 B 关于直线 y = x + m 对称，且3QA ⋅ QB < 28 ， 求实数 m 的取值范围．20.〔本小题总分值 12 分〕为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了比照技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各 20 次连续正常运行的时间长度〔单位：天〕数据， 并绘制了如下茎叶图：〔Ⅰ〕〔1〕设所采集的 40 个连续正常运行时间的中位数 m ，并将连续正常运行时间超过 m 和不超过 m 的次数填入下面的列联表： 试写出 a ，b ，c ，d 的值；〔2〕根据〔1〕中的列联表，能否有 99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？附：K 2=n (ad - bc )2，(a + b )(c + d )(a + c )(b + d )〔Ⅱ〕工厂的生产线的运行需要进行维护.工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种.对生产线设定维护周期为T 天〔即从开工运行到第 kT 天〔 k ∈ N *〕 进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，假设生产线能连续运行，那么不会产生保障维护费；假设生产线不能连续运行，那么产生保障维护费.经测算，正常维护费为 0.5 万元/次；保障维护费第一次为 0.2 万元/周期，此后每增加一次那么保障维护费增加 0.2 万元. 现制定生产线一个生产周期〔以 120 天计〕内的维护方案： T = 30 ， k = 1，2，3，4 .以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周超过 m 不超过m改造前 a b改造后 c dP (K 2 ≥ k ) 0.050 0.0100.001 k 3.8416.63510.828⎩期内生产维护费的分布列及期望值. 21.〔本小题总分值 12 分〕函数 f (x ) = e x- 1x 2+ ax +1， a ∈ R .2〔Ⅰ〕假设 f (x ) 为 R 上的增函数，求 a 的取值范围；〔Ⅱ〕假设 a > 0 ， x 1 ≠ x 2 ，且 f (x 1 ) + f (x 2 ) = 4，证明： f (x 1 + x 2 ) < 2.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分。

2021年高三下学期第二次阶段考试理数含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（0，1）B．（0，－1）C．（，－）D．（，）2．设随机变量δ服从正态分布N（3，7），若p（δ＞a+2）=p（δ＜a－2），则a=（）A．1 B．2 C．D．43．已知某几何体的三视图（右上图），则该几何体的体积为（）A．4+ B．4+C．4+ D．4+π4．如右图，已知K为如图所示的程序框图输出结果，二项式(x k+)n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．75．先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x、y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x、y中有偶数，且x≠y”，则概率P(B|A)=（）A．B．C．D．6．正项等比数列｛a n｝中，存在两项a m、a n使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是（）A．B．2 C．D．7．函数f(x)=sinωx+a cosωx（ω＞0）的图象关于M（，0）对称，且在x=处函数有最小值，则a+ω的一个可能取值是（）A．0 B．3 C．6 D．98．已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到两圆的公共弦长为4，若其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为（）A．B．C．D．9．设x、y满足约束条件，若x2+y2≥a恒成立，则实数a的最大值为（）A．B．C．D．10．若函数是R是的单调递减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.11.已知向量是垂直单位向量，|=13，=3，，对任意实数t1,t2,求|-t1-t2|的最小值. ( )A. 12B. 13C. 14D. 14412. 已知函数,若，则的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清、模棱两可均不得分） 13．已知函数f (x )=，则= ． 14．已知且则的值_________15．某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）频率分布直方图中［80，90）间的矩形的高为 ．（2）若要从分数在［80，100］之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，至少有一份分数在［90，100］之间的概率为 ． 16．已知函数()()()()()()212,211122+<<'=∈x x f x f x f f R x x f 则不等式的导数，且满足的解集为______________三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在△ABC 中，分别为A ，B ，C 所对的边，且. (1)求角C 的大小；(2)若，且△ABC 的面积为，求值.18．（本小题满分12分）公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》于2013年1月1日起正式实施，新规实施后，获取驾照要经过三个科目的考试，先考科目一（理论一），科目一过关后才能再考科目二（桩考和路考），科目二过关后还要考科目三（理论二）．只有三个科目都过关后才能拿到驾驶证．某驾校现有100名新学员，第一批参加考试的20人各科目参考人数 通过科目一人数 通过科目二人数 通过科目三人数201242（Ⅰ）估计该驾校这100名新学员有多少人一次性（不补考）获取驾驶证；（Ⅱ）第一批参加考试的20人中某一学员已经通过科目一的考试，求他能通过科目二却不能通过科目三的概率；（Ⅲ）该驾校为调动教官的工作积极性，规定若所教学员每通过一个科目的考试，则学校奖励教官100元．现从这20人中随机抽取1人，记X 为学校因为该学员而奖励教官的金额数，求X的数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD = CD = 2AB = 2，E，F 分别为PC，CD的中点，DE = EC（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；（2）设PA = a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围。

2021届高三数学下学期2月联考试题 理〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日考生注意：1.本套试卷分选择题和非选择题两局部，一共150分.考试时间是是120分钟.2.请将各题答案填写上在答题卡上.3.本套试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 1.假设2z i =+，那么z zz z-=〔 〕 A. 85iB. 2455i -C. 85i -D.2455i + 【答案】A 【解析】 【分析】求出一共轭复数2z i =-，根据复数运算法那么()()2222222224i i z z i i z z i i i +--+--=-=-+-即可得解.【详解】2z i =+，2z i =-，()()222222282245i i z z i i i z z i i i +--+--=-==-+-.应选：A【点睛】此题考察复数的概念辨析和根本运算，关键在于纯熟掌握复数的运算法那么，根据法那么求解.2.集合(){}2lg 10A x x x =-->，{}03B x x =<<，那么A B =〔 〕A. {}01x x << B. {}{}10x x x x <-⋃> C. {}23x x << D. {}{}0123x x x x <<⋃<<【答案】C 【解析】 【分析】根据对数不等式解法求出解集得到A ，根据交集运算即可得解. 【详解】(){}{}22lg 1011A x x x x x x =-->=-->()(){}()()210,12,x x x =-+>=-∞-+∞，{}03B x x =<<所以A B ={}23x x <<.应选：C【点睛】此题考察集合的交集运算，关键在于准确求解对数型不等式和一元二次不等式. 3.设非零向量a ，b 满足3a b =，1cos ,3a b =，()16a a b ⋅-=，那么b =〔 〕C. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由()16a a b ⋅-=可得()0⋅-=a a b ，利用数量积的运算性质结合条件可得答案.【详解】||3||a b =，1cos ,3a b 〈〉=. 2222()9||||8||16a a b a a b b b b ∴⋅-=-⋅=-==，||2b ∴=.应选：A【点睛】此题考察利用向量垂直其数量积为零求向量的模长，属于中档题.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，几何体1ABCDEC 的侧视图与俯视图如下图，那么该几何体的正视图为〔 〕A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据侧视图和俯视图特征断定几何体，找出正投影，即可得解.【详解】结合俯视图和侧视图，根据几何体特征，该几何体为图中1AED BCC -， 正投影为1EDCC ，ABE 与1EBC 不在同一平面， 所以正视图为A 选项的图形. 应选：A【点睛】此题考察三视图的识别，关键在于根据俯视图侧视图结合几何体辨析正视图，易错点在于对几何体的棱BE 考虑不准确.5.设双曲线2213y x -=，22125x y -=，22127y x -=的离心率分别为1e ，2e ，3e ，那么〔 〕 A. 321e e e << B. 312e e e <<C. 123e e e <<D.213e e e <<【答案】D 【解析】 【分析】双曲线HY 方程，根据离心率的公式，直接分别算出1e ，2e ，3e ，即可得出结论.【详解】对于双曲线2213y x -=，可得222221,3,4a b c a b ===+=，那么22124c e a==，对于双曲线22125x y -=，得222222,5,7a b c a b ===+=，那么222272c e a ==，对于双曲线22271x y -=，得222222,7,9a b c a b ===+=，那么223292c e a ==，可得出，221322e e e <<，所以213e e e <<. 应选：D.【点睛】此题考察双曲线的HY 方程和离心率，属于根底题. 6.假设24log log 1x y +=，那么2x y +的最小值为〔 〕A. 2B. 23C. 4D. 22【答案】C 【解析】 【分析】 由条件有24(0,0)xy x y =>>，利用均值不等式有2224x y x y +=可得到答案.【详解】因为()2224444log log log log log 1+=+==x y x y x y ， 所以24(0,0)xy x y =>>，那么2224x y x y +=，当且仅当22x y ==时，等号成立，故2x y +的最小值为4. 应选：C【点睛】此题考察对数的运算性质和利用均值不等式求最值，属于中档题.7.?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸〞问题：“今有池方一丈，葭生其HY.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？〞其意思为“今有水池1丈见方〔即10CD =尺〕，芦苇生长在水的HY ，长出水面的局部为1尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接〔如下图〕.试问水深、芦苇的长度各是多少？假设BAC θ=∠，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③2tan23θ=；④17tan 47πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.其中所有正确结论的编号是〔 〕A. ①③B. ①③④C. ①④D. ②③④【解析】 【分析】利用勾股定理求出BC 的值，可得tan BCAB θ=，再利用二倍角的正切公式求得tan 2θ，利用两角和的正切公式求得tan 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】设BC x =，那么1AC x =+， ∵5AB =，∴2225(1)x x +=+，∴12x =. 即水深为12尺，芦苇长为12尺；∴12tan 5BC AB θ==，由2θ2tan2tan θθ1tan 2，解得2tan 23θ=〔负根舍去〕. ∵12tan 5θ=， ∴1tan 17tan 41tan 7πθθθ+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭. 故正确结论的编号为①③④. 应选：B.【点睛】此题主要考察二倍角的正切公式、两角和的正切公式，属于根底题.8.在外国人学唱中文歌曲的大赛中，有白皮肤选手6人，黑皮肤选手6人，黄皮肤选手8人，一等奖规定至少2个至多3个名额，且要求一等奖获奖选手不能全是同种肤色，那么一等奖人选的所有可能的种数为〔 〕 A. 420 B. 766C. 1080D. 1176【答案】D【分析】分别计算一等奖两个名额和三个名额的情况即可得解.【详解】一等奖两个名额，一一共222220668132C C C C ---=种， 一等奖三个名额，一一共3333206681044C C C C ---=种，所以一等奖人选的所有可能的种数为1176. 应选：D【点睛】此题考察计数原理的综合应用，需要纯熟掌握利用组合知识解决实际问题，准确分类，结合对立事件求解. 9.函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，那么〔 〕 A. ()f x 的最小正周期为2π B. 曲线()y f x =关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. ()f x 的最大值为2D. 曲线()y f x =关于6x π=对称【答案】D 【解析】 【分析】由可得()26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据三角函数的性质逐一判断.【详解】()1sin 2sin 22226f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，那么T π=. ()f x当6x π=时，2666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =关于6x π=对称，当3x π=时，3sin 23306f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故曲线()y f x =不关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称.应选：D.【点睛】此题考察三角函数的性质，其中对称轴和对称中心可代入判断，是根底题. 10.函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为〔 〕A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】将原题转化为求方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，根据函数奇偶性，考虑当0x >时方程的根的个数，根据对称性即可得解.【详解】函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点个数，即方程22lg 2||x x x =-+的根的个数，考虑()()22lg ,2||g x x h x x x ==-+，定义在()(),00,-∞+∞的偶函数，当0x >时，()()22lg ,2g x x h x x x ==-+，作出函数图象：两个函数一一共两个交点，即当0x >时22lg 2||x x x =-+有两根， 根据对称性可得：当0x <时22lg 2||x x x =-+有两根， 所以22lg 2||x x x =-+一一共4个根，即函数()22lg 2||f x x x x =+-的零点的个数为4.【点睛】此题考察函数零点问题，转化为方程的根的问题，根据奇偶性数形结合求解. 11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 上一点，且2AB =，假设二面角11B BC E --为45︒，那么四面体11BB C E 的外接球的外表积为〔 〕A.172π B. 12π C. 9πD. 10π【答案】D 【解析】 【分析】连接11B C 交1BC 于O ，可证1B OE ∠为二面角11B BC E --的平面角，即可求得11,B E B O 的长度，即可求出外接球的外表积.【详解】解：连接11B C 交1BC 于O ，那么11B O BC ⊥， 易知111A B BC ⊥，那么1BC ⊥平面1B OE ， 所以1BC EO ⊥，从而1B OE ∠为二面角11B BC E --的平面角，那么145B OE ︒∠=.因为2AB =，所以112B E BO ==， 故四面体11BB C E 的外接球的外表积为22444102ππ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】此题考察二面角的计算，三棱锥的外接球的外表积计算问题，属于中档题. 12.假设曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线，那么m 的取值范围为〔 〕A. 427,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 427,0e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 427,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.4271,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】 曲线()11xm y xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线⇔函数()11x my xe x x =+<-+存在两个极值点⇔()()'2101xmy x e x =+-=+在(),1-∞-上有两个解，即()31xm x e =+在(),1-∞-上有两异根，令()()()311x f x x e x =+<-，利用导数法可求得()f x 的值域，从而可得m 的取值范围. 【详解】解：∵曲线()11xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线， ∴函数()11xmy xe x x =+<-+的导函数存在两个不同的零点， 又()()'2101x my x e x =+-=+，即()31x m x e =+在(),1-∞-上有两个不同的解，设()()()311x f x x e x =+<-，()()()2'14x f x x e x =++， 当4x <-时，()'0fx <；当41x -≤<-时，()'0f x >，所以()()4min 274f x f e =-=-，又当x →-∞时，()0f x →，当1x →-时，()0f x →， 故427,0m e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. 应选：A.【点睛】此题考察利用导数研究曲线上某点切线方程，考察等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，考察推理与运算才能，属于难题.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.假设x ，y 满足约束条件212x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，那么yz x =的取值范围为________．【答案】1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】 作出可行域，yz x=几何意义为可行域内的点(),x y 与点()0,0连线的斜率，根据图形观察计算可得答案.【详解】作出可行域，如下图，那么131232OA z k yx≥===，故z 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】此题考察分式型目的函数的最值问题，关键是画出可行域，是根底题.14.某工厂一共有50位工人组装某种零件.下面的散点图反映了工人们组装每个零件所用的工时〔单位：分钟〕与人数的分布情况.由散点图可得，这50位工人组装每个零件所用工时的中位数为___________.假设将500个要组装的零件分给每个工人，让他们同时开场组装，那么至少要过_________分钟后，所有工人都完成组装任务.〔此题第一空2分，第二空3分〕【答案】； 【解析】 【分析】①根据工时从小到大依次分析得出工时人数16，工时人数8，工时人数12，即可得到中位数；②计算出工时平均数即可得解.【详解】①根据散点图：工时人数3，工时人数5，工时人数6，工时人数12，工时人数16，工时人数8，所以工时的中位数为；②将500个要组装的零件分给每个工人，让他们同时开场组装， 至少需要时间是：3561216810 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.533.14505050505050⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：①；②【点睛】此题考察求平均数和中位数，关键在于准确读懂题意，根据公式计算求解. 15.设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.3A π=，1b =，且()()22222sin4sin 8sin sin sin A B c B C A +=+-，那么a =______.【答案】2 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边公式化简()()22222sin 4sin 8sin sin sin A B c B C A +=+-，再运用余弦定理得出2248cos 2a b A +=，即可求出a .【详解】因为()()22222sin 4sin 8sin sin sin A B c B C A +=+-， 所以()()2222248a b c bc a +=+-，又3A π=，1b =，所以()()2222248a bbc bc a +=+-，所以22222488cos 422a b b c a A bc ++-=⨯==，那么2442a +=，解得2a =.故答案为：2.【点睛】此题考察正弦定理和余弦定理的应用，属于根底题.16.设()()2,02,0A B -，，假设直线()0y ax a =>上存在一点P 满足||||6PA PB +=，且PAB △的内心到x 轴的间隔 ，那么a =___________.【解析】【分析】由题意可得点P 为直线(0)y ax a =>与椭圆22195x y +=的交点,直线方程与椭圆方程联立可得2224595a y a =+，由PAB △的内心到x 轴的间隔 ，即PAB △的内切圆的半径20r =，由等面积法可求出参数a 的值. 【详解】点P 满足||||6PA PB +=,那么点P 在椭圆22195x y+=上.由题意可得点P 为直线(0)y ax a =>与椭圆22195x y +=的交点.联立y ax =与22195x y +=，消去y 得224595x a =+，那么2224595a y a =+.因为APB △的内心到x 轴的间隔 ，所以PAB △的内切圆的半径20r =. 所以APB △的面积为11||||(||||||)22AB y r AB PA PB ⨯⨯=⨯⨯++，即222254552527||,2954440a y r y r a ====⨯+，解得23a =，又0a >，那么a =【点睛】此题考察考察直线与椭圆的位置关系，根据椭圆的焦点三角形的相关性质求参数，属于中档题.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22，23题为选考题，考生根据要求答题.〔一〕必考题：一共60分.17.设等差数列{}n n a b -的公差为2，等比数列{}n n a b +的公比为2，且12a =，11b =． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕求数列{}22nn a +的前n 项和nS．【答案】〔1〕121322n n n a --+⨯=〔2〕n S =2525n n ⨯+- 【解析】 【分析】〔1〕根据题意可得21n na b n ，132n n n a b -+=⨯，联立解方程可得数列{}n a 的通项公式；〔2〕通过分组求和法可得数列{}22nn a +的前n 项和nS.【详解】解：〔1〕因为12a =，11b =，所以111a b -=，113a b +=，依题意可得，()12121n n a b n n -=+-=-， 132n n n a b -+=⨯，故121322n n n a --+⨯=；〔2〕由〔1〕可知，1222152n n n a n -+=-+⨯，故()()113215122n n S n -=+++-+⨯+++()()21215215252n n n n n +-=+⨯-=⨯+-.【点睛】此题考察等差数列，等比数列的通项公式，考察分组法求和，是根底题. 18.某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，假设抽取的零件都是正品或者都是次品，那么停顿检验；假设抽取的零件至少有1个至多有3个次品，那么对剩下的6个零件逐一检验.每个零件检验合格的概率为，每个零件是否检验合格互相HY ，且每个零件的人工检验费为2元.〔1〕设1箱零件人工检验总费用为X 元，求X 的分布列；〔2〕除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为元.现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为根据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由.【答案】〔1〕详见解析〔2〕应该选择人工检验，详见解析【解析】【分析】〔1〕根据题意，工人抽查的4个零件中，分别计算出4个都是正品或者者都是次品，4个不全是次品的人工费用，得出X的可能值，利用二项分布分别求出概率，即可列出X的分布列；〔2〕由〔1〕求出X的数学期望EX，根据条件分别算出1000箱零件的人工检验和机器检验总费用的数学期望，比拟即可得出结论.【详解】解：〔1〕由题可知，工人抽查的4个零件中，⨯=元，当4个都是正品或者者都是次品，那么人工检验总费用为：248⨯+⨯=元，当4个不全是次品时，人工检验总费用都为：426220所以X的可能取值为8，20，44(8)0.80.20.4112P X==+=，P X==-=，(20)10.41120.5888那么X的分布列为〔2〕由〔1〕知，80.4112200.588815.0656EX =⨯+⨯=，所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为100015065.6EX =元， 因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.610100016000⨯⨯=元， 且1600015065.6>， 所以应该选择人工检验.【点睛】此题考察离散型随机变量的实际应用，求离散型随机变量概率、分布列和数学期望，属于根底题.19.如图，在四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，AB BC ⊥，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O .〔1〕证明：PO ⊥平面ABCD .〔2〕求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕2211【解析】 【分析】〔1〕通过证明BE ⊥平面APC ，得到BE PO ⊥，再证PO AC ⊥即可证得PO ⊥平面ABCD .〔2〕建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、直线的方向向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值. 【详解】〔1〕证明：AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AP CD ∴⊥，//,AD BC 12BC AD =，E 为AD 的中点，那么//BC DE 且BC DE =. ∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，AP BE ∴⊥.又,AB BC ⊥12AB BC AD ==，且E 为AD 的中点，∴四边形ABCE 为正方形，BE AC ∴⊥，又,AP AC A =BE ∴⊥平面APC ，PO ⊂平面APC ，那么BE PO ⊥.AP ⊥平面,PCD PC ⊂平面PCD ，AP PC ∴⊥，又22AC AB AP ==，PAC ∴∆为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，PO AC ∴⊥且,ACBE O =PO ∴⊥平面ABCD .〔2〕解：以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O -xyz ，如下图不妨设1OB =，那么(1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),P (2,1,0)D -, 那么(1,1,0),BC =-(1,0,1),PB =-(2,1,1)PD =--. 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，那么00n PB n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，，即0,20,x z x y z -=⎧⎨-+-=⎩即,3,x z y z =⎧⎨=⎩令1z =，得(1,3,1)n =. 设BC 与平面PBD 所成角为θ，那么sin cos ,11BC n θ=<>==. 【点睛】此题考察线面垂直，线面角的计算，属于中档题.20.函数3()f x x ax =+.〔1〕讨论()f x 在(),a +∞上的单调性；〔2〕假设3a ≥-，求不等式()()2624224361282f x x x x x a x -+<+++++的解集.【答案】〔1〕当0a ≥时，()0f x '，那么()f x 在(),a +∞上单调递增; 当13a =-时,()f x 的单调递减区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭;当13a <-时()fx 的单调递减区间为⎛⎝，单调递增区间为,a ⎛ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭;当103-<<a 时 ()f x 的单调递减区间为a ⎛ ⎝，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭；〔2〕(22+. 【解析】 【分析】〔1〕2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <讨论得出函数()f x 的单调性.(2) 原不等式等价于()()222432f x x f x -+<+,又222432(1)11x x x -+=-+≥，221x +>，当3a ≥-时，22()333f x x a x '=+≥-，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，从而可得出答案.【详解】〔1〕2()3f x x a '=+.当0a ≥时，()0f x '，那么()f x 在(),a +∞上单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得x =〔i 〕当13a =-时，a =，令()0f x '<，得1133x -<<；令()0f x '>，得13x >.所以()f x 的单调递减区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭.〔ii 〕当13a <-时，a >， 令()0f x '<，得33a a x；令()0f x '>，得a x <<3a x .所以()f x 的单调递减区间为⎛ ⎝，单调递增区间为,a ⎛ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭.〔iii 〕当103-<<a 时，a <，令()0f x '<，得a x <<()0f x '>，得3a x .所以()f x 的单调递减区间为a ⎛ ⎝，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭. 〔2〕因为3a ≥-，所以22()333f x x a x '=+≥-，当1x ≥时，()0f x '≥，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增.因为()()()()3642222261282222x x x a x x a x f x +++++=+++=+，所以原不等式等价于()()222432f x x f x -+<+.因为222432(1)11x x x -+=-+≥，221x +>，所以222432x x x -+<+，解得22x <<+(22-+.【点睛】此题考察讨论函数的单调性和根据函数的单调性解不等式，属于中档题. 21.抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于P Q ，两点. 〔1〕假设l 过点F ，抛物线C 在点P 处的切线与在点Q 处的切线交于点G .证明：点G 在定直线上.〔2〕假设2p =，点M在曲线y =MP MQ ，的中点均在抛物线C 上，求MPQ 面积的取值范围.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕4⎡⎢⎣. 【解析】 【分析】(1) 设211,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x Q x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设直线l 的方程为2py kx =+，与抛物线方程联立可得212x x p =-，求出抛物线在点P 处的切线方程，和在Q 点处的切线方程，联立可得答案.(2) 设()00,M x y ，,MP MQ 的中点分别为210104,22x y x x⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，220204,22x y x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,可得1202x x x +=，212008x x y x =-，MN x ⊥轴，||MN =200334x y =-，12x x -=MPQ的面积)32212001||424S MN x x x y =⋅-=-，从而可求出三角形的面积的范围.【详解】〔1〕证明：易知0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设211,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x Q x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由题意可知直线l 的斜率存在，故设其方程为2py kx =+. 由222p y kx x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220x pkx p --=，所以212x x p =-.由22x py =，得22x y p =，x y p '=，那么1PG x k p=，直线PG 的方程为()21112y x x p x x p -=-，即21102x x x y p p--=，① 同理可得直线QG 的方程为22202x x x y p p--=，② 联立①②，可得()()1212122x x x x x x y p--=.因为12x x ≠，所以1222x x py p ==-，故点G 在定直线2p y =-上.〔2〕解：设()00,M x y ，,MP MQ 的中点分别为210104,22x y x x⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，220204,22x y x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.因为, MP MQ 得中点均在抛物线C 上，所以12,x x 为方程22004422x y x x ++⎛⎫=⨯⎪⎝⎭的解， 即方程22000280xx x y x -+-=的两个不同的实根，那么1202x x x +=，212008x x y x =-，()()220002480x y x ∆=-->，即204x y >，所以PQ 的中点N 的横坐标为0x ，那么MN x ⊥轴. 那么()()2221201212011||288MN x x y x x x x y ⎡⎤=+-=+--⎣⎦ 200334x y =-，12x x -==所以MPQ的面积()32212001||424S MN x x x y =⋅-=-. 由0y =，得()2200110x y y =--，所以()2220000044125x y y y y -=--+=-++，因为010y -，所以()201254y -++，所以MPQ面积的取值范围为4⎡⎢⎣. 【点睛】此题考察直线与抛物线的位置关系，抛物线的切线的相关问题，抛物线中三角形的面积的范围问题，属于难题.〔二〕选考题：一共10分.请考生在第22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩〔θ为参数〕，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 〔1〕求曲线C 的极坐标方程；〔2〕假设点P 的极坐标为()1,π，过P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，求11PA PB+的最大值．【答案】〔1〕4cos 2sin ρθθ=-〔2〕5【解析】 【分析】〔1〕先将21x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩中的θ消去得普通方程，再利用cos sin x y ρθρθ==，可得极坐标方程；〔2〕先求出AB 的参数方程，代入曲线C 的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得11PA PB+的最大值. 【详解】解：〔1〕由21x y θθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，得()()22215x y -++=，即2242x y x y +=-，所以24cos 2sin ρρθρθ=-，即4cos 2sin ρθθ=-，故曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-. 〔2〕因为P 的极坐标为()1,π，所以P 的直角坐标为()1,0-，故可设AB 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩〔t 为参数〕.将1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入()()22215x y -++=，得()22sin 6cos 50t t αα+-+=，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，那么122sin 6cos t t αα+=-+，1250t t =>， 所以1112122sin 6cos 11115t t PA PB t t t t αα+-+=+===故11PA PB +. 【点睛】此题考察普通方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，考察直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题. 【选修4-5：不等式选讲】 23.函数()32f x x kx =--.〔1〕假设1k =，求不等式()31f x x ≤-的解集；〔2〕设函数()f x 的图象与x 轴围成的封闭区域为Ω，证明：当23k <<时，Ω的面积大于1615. 【答案】〔1〕{}1x x ≥-；〔2〕证明见解析【解析】 【分析】〔1〕对不等式进展零点分段讨论求解；〔2〕求出函数与x 轴交点坐标，表示出三角形面积，根据23k <<求得面积即可得证. 【详解】〔1〕假设1k =，不等式()31f x x ≤-即：3231x x x --≤-32310x x x ----≤，当23x <时，23330,1x x x x -+--≤≥-，得213x -≤<，当213x ≤≤时，32330,1x x x x -+--≤≤，得213x ≤≤， 当1x >时，32330,1x x x x --+-≤≥，得1x >， 综上所述：1x ≥-即：不等式()31f x x ≤-的解集为{}1x x ≥-；〔2〕()()()232,332232,3k x x f x x kx k x x ⎧-->⎪⎪=--=⎨⎪--+≤⎪⎩，该函数图象与x 轴围成的封闭区域为三角形， 其三个顶点为2222,,,0,,03333k A B C k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，23k <<，249k <<该三角形面积：12222333kS k k ⎛⎫=-⋅ ⎪-+⎝⎭22439k k =⨯- 2249939k k -+=⨯-2494916113939415k ⎛⎫⎛⎫=-+>⨯-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 所以原命题得证.【点睛】此题考察求解绝对值不等式，利用零点分段讨论，根据三角形的面积证明不等式，关键在于准确求解顶点坐标，利用不等关系证明.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

2021年安徽省淮南市高考数学二模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x ≥1}，B ={x|x 2+mx +1≤0}，且A ∩B ={x|1≤x ≤2}，则实数m =( )A. −52B. 52C. −32D. 322. 已知复数z =a +i ，其中a ∈R ，i 是虚数单位，若z 2=√2|z|i ，则a =( )A. 0B. ±1C. −1D. 13. 某校有500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(不低于120分)的人数占总人数的15，则此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为( )A. 75B. 100C. 150D. 2004. 若θ∈[π4,π2]，sin2θ=4√29，则sinθ=( )A. 13B. 23C. 2√23D. √235. △ABC 中，D 是BC 的中点，点E 在边AC 上，且满足3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE 交AD 于点F ，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗+14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗−14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 函数f(x)=x n a x ，其中a >1，n >1，n 为奇数，其图象大致为( )A.B.C.D.7. 执行如图所示的程序框图，当输出S =210时，则输入的n 值及①处条件为( )A. 6；n <5？B. 7；n <5？C. 7；n <6？D. 8；n <5？8. 过点P(−2,0)的直线与抛物线x 2=2py(p >0)交于A ，B ，AB 的中点在直线x =1上，且AB 与圆x 2+y 2=1相切，则p 等于( )A. √3B. 2C. 3D. 49. 正项等比数列{a n }满足a 1a 3=116，2a 4+a 3=a 2，则1a 1−1a 2+⋅⋅⋅+(−1)n+11a n=( )A. 23[1+(−2)n ]B. 23[1−2n ]C. 23[1+2n ]D. 23[1−(−2)n ]10. 已知函数f(x)=Asin(2x +φ)(A >0,|φ|≤π2)部分图象如图所示，若对不同的m ，n ∈[x 1,x 2]，当f(m)=f(n)时，总有f(m +n)=1，则( )A. x 2−x 1=π，φ=π6 B. x 2−x 1=π2，φ=π3 C. x 2−x 1=π，φ=π3 D. x 2−x 1=π2，φ=π611. 在棱长为a 的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱B 1C 1的中点，点F 是线段CD 1上的一个动点.现有以下命题：①三棱锥B −A 1EF 的体积是定值； ②△AB 1F 的周长的最小值为(√6+√2)a ； ③直线A 1F 与平面B 1CD 1所成的角是定值； ④异面直线AC 1与B 1F 所成的角是定值． 其中真命题是( )A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④12. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的实数x 都有f′(x)=f(x)−2e −x +2x −x 2，f(0)=2，则不等式f(|x −1|)<e 2+e −2+4的解集是( )A. (0,1)B. (−1,1)C. (−1,3)D. (e,3)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 十二生肖是中国及东亚地区的一些民族用来代表年份的十二种动物.顺序排列为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪.生肖也称属相，常常用来代表人出生的年号.现有牛、虎、龙、马属相各1人，4人从吉祥物为牛、虎、龙、马、猴的5件饰物中随机选一件，则恰有2人选中与属相对应的饰物的概率为______ ．14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，M是C的渐近线与圆x2+y2=a的一个交点(点M位于第一象限)，直线F2M与C在第四象限相交于点N，O是坐标原点，若|MN|= |NF1|−|OF1|，则C的离心率为______ ．15.已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，满足acosB+bcosA=1，且a2+b2=4√3S+1，则△ABC的外接圆半径为______ ．16.射线OA，OB，OC的两两夹角为60°，一系列球两两相切，且与平面AOB，平面BOC，平面AOC均相切.若相邻两球的球心为O n，O n+1，半径为r n，r n+1(r n>r n+1)，则r n，r n+1的关系式为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的各项均为正，其前n项和为S n，且满足2S n=a n2+a n(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n+ca n，若对任意的n∈N∗，都有b n≥b3，求实数c的取值范围．18.如图，已知AD⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，AB=AC=AD=12EC．(1)设P是直线BE上的点，当点P在何位置时，直线DP//平面ABC？请说明理由；(2)若∠BAC=120°，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．19. 为了落实“立德树人”的教育理念，丰富学生个性化成长的学习生活.学校有科技创新、健美体育、绿色家园、博雅辩论等四个学生社团计划招募成员.由于报名人数超过计划数，将采用随机抽取的方法确定最终成员.如表记录了四个社团的招募计划数及报名人数．甲同学报名参加了这四个学生社团，记为甲同学最终被招募的社团个数，已知P(ξ=0)=140，P(ξ=4)=110．(1)求甲同学至多获得三个社团招募的概率； (2)求m ，n 的值；(3)求甲同学最终被招募的社团个数的期望．20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为2，圆x 2+y 2=2经过椭圆C 短轴顶点和两个焦点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 作斜率为−√22的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，点G 、H 满足：OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .试问，是否存在点P ，使得M 、N 、G 、H 四点到点P 的距离均相等？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=lnx+a e x −1．(1)若f(x)在区间(0,1)上为单调递增函数，求a 的取值范围； (2)若a ≤1，证明：f(x)≤x ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα(α为参数)，在以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程ρsin(θ+π4)=√22a(a ∈R)．(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角； (Ⅱ)若l 与C 相交于A 、B 两点，且|AB|=4√65，求a 的值．23. 设函数f(x)=|x −1|−|x +4|．(Ⅰ)求f(x)的值域；−f(x)≥0对任意正数m恒成立，求实数x的取值范围．(Ⅱ)若不等式m+2m答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为A={x|x≥1}，B={x|x2+mx+1≤0}，且A∩B={x|1≤x≤2}，所以x=2是方程x2+mx+1=0的解，即4+2m+1=0，．则实数m=−52故选：A．由已知结合交集运算可知x=2是方程x2+mx+1=0的解，代入可求．本题主要考查了集合交集运算，还考查了二次不等式的解集端点与方程根的关系，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵复数z=a+i，其中a∈R，i是虚数单位，∴z2=√2|z|i⇒(a+i)2=√2×√1+a2⋅i⇒a2−1+2ai=√2×√1+a2⋅i⇒a2−1=0且√2×√1+a2=2a，∴a=1(−1舍)，故选：D．直接根据复数得运算整理得到a2−1+2ai=√2×√1+a2⋅i，进而求解结论．本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵P(X≤90)=P(X≥120)=0.2，∴P(90≤X≤120)=1−0.4=0.6，P(90≤X≤120)=0.3，∴P(90≤X≤105)=12∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为500×0.3=150．故选：C．P(90≤X≤120)=0.3，则由已知求出P(X≤90)=P(X≥120)=0.2，进一步求出P(90≤X≤105)=12答案可求．本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：∵θ∈[π4,π2]，sin2θ=4√29，∴2θ∈[π2,π]，∴cos2θ=−√1−sin 22θ=−79，再根据sinθ>0，cos2θ=−79=1−2sin 2θ，可得sinθ=2√23，故选：C ．由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos2θ的值，再利用二倍角的余弦公式，求得sinθ的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：如图，取EC 的中点G ，连接DG ， ∵AC =3AE ，∴AE =EG =GC ，又∵BD =CD ，则DG 为△BCE 的中位线，∴DG//BE ， ∵AE =EG ，∴EF 为△ADG 的中位线， ∴DF =12AD ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：A ．取EC 的中点G ，连接DG ，利用三角形的中位线定理得到EF 为△ADG 的中位线，从而DF =12AD ，最后利用BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可．本题考查了向量在三角形中的应用，以及三角形中位线定理的应用，同时考查了数形结合思想，属于中档题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的图象分析，涉及函数值符号的分析，以及利用导数判断单调性及图象升降趋势，属于一般题．根据题意，分析f(x)函数值的符号，排除AB，再分析f(x)图像的变形趋势，排除D，即可得答案．【解答】解：根据题意，f(x)=x n a x，其中a>1，n>1，n为奇数，当x>0时，x n>0，a x>0，则f(x)>0，当x<0时，x n<0，a x>0，则f(x)<0，排除AB，f′(x)=(x n)′a x+x n(a x)′=nx n−1a x+x n a x lna，在区间(0,+∞)上，f′(x)>0且其值随x增大而增大，故f(x)为增函数且图像越来越陡，排除D，故选：C．7.【答案】B【解析】解：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=210的值，由题意即选项中关于n的判断语句可知，S=n×(n−1)×(n−2)×……=210，即7×6×5=210，故输出入n值为7，①处条件为n<5？故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】A【解析】解：如图，由题意可知，AB 所在直线的斜率存在，且k >0，设AB 所在直线方程为y =k(x +2)， 联立{y =k(x +2)x 2=2py ，得x 2−2kpx −4kp =0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2kp ，又AB 的中点在直线x =1上，∴2kp =2，即kp =1． ∵AB 与圆x 2+y 2=1相切，∴√k 2+1=1，解得k =√33，则p =1k =√3． 故选：A ．由题意设AB 所在直线方程为y =k(x +2)(k >0)，与抛物线方程联立，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知求得kp =1，再由AB 与圆x 2+y 2=1相切列式求得k 值，则p 可求． 本题考查圆与抛物线、直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】D【解析】解：正项等比数列{a n }满足a 1a 3=116， 所以a 2=√a 1a 3=14， 由2a 4+a 3=a 2， 整理得12q 2+14q −14=0 解得q =12或−1(舍去) 故解得a 1=12， 故a n =(12)n ，所以(−1)n+1⋅1an=−(−2)n，故1a1−1a2+⋅⋅⋅+(−1)n+11a n=2×[1−(−2)n]1+2=23[1−(−2)n]．故选：D．直接利用等比数列的性质求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．本题考查的知识要点：等比数列的性质，等比数列的通项公式，等比数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：根据函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,|φ|≤π2)部分图象，可得A=2，函数的周期为2π2=π，∴x2−x1=12T=π2，故排除A、C．对不同的m，n∈[x1,x2]，当f(m)=f(n)时，总有f(m+n)=1，∴2m+φ+2n+φ2=2x1+φ+2x2+φ2=π2，∴m+n=π−2φ2，故f(m+n)=2sin(π−2φ+φ)=2sinφ=1，∴φ=π6，故选：D．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期性求得x2−x1的值，由图象的对称性求出φ的值，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由图象的对称性求出φ的值，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：对于①，因为V B−A1EF =V F−A1BE，又因为D1C//平面A1BE，所以F点到平面A1BE 距离不变，所以V F−A1BE为定值，从而三棱锥B−A1EF的体积是定值，所以①对；对于②，如图2所示的平面展开图，当F点运动到点O时，△AB1F的周长的最小值为，AB1+AO+OB1=√2a+√2a⋅√3⋅2=(√2+√6)a，所以②对；2对于③，假设直线A1F与平面B1CD1所成的角是定值，则点F的轨迹是平面B1CD1上的圆弧，而不是直线，所以③错；对于④，因为AC1⊥平面B1D1C，B1F⊂平面B1D1C，所以AC1⊥B1F，所以④对．故选：B．A用等体积法判断；B用平面展开图，根据两点间直线段最短求三角形周长最小值判断；C用反证法判断；D动直线B1F始终在AC1垂直的平面B1D1C上，所以成角总为90°．本题以命题真假判断为载体，考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由题意得f(x)=e−x+x2+ae x，则f′(x)=−e−x+2x+ae x=e−x+x2+ae x−2e−x+2x−x2=f(x)−2e−x+2x−x2，由f(0)=1+a=2，解得：a=1，故f(x)=e−x+x2+e x，f(|x−1|)<e2+e−2+4=f(2)，∵当x≥0时，e x≥1，0<e−x≤1，2x≥0，f′(x)=e x−e−x+2x>0在(0,+∞)上恒成立，即f(x)在(0,+∞)上单调递增，又f(−x)=f(x)，故f(x)为R上的偶函数，其图象关于y轴对称，f(x)在(−∞,0)上单调递减，故|x−1|<2，故−1<x<3，故选：C．求出函数的导数，根据f(0)=2，求出a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性，对称性得到关于x 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性，对称性问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．13.【答案】320【解析】解：设事件A 为“恰有2人选中与属相对应的饰物”， 总的基本事件为n =A 54=120种，恰有2人选中与属相对应的饰物共有：牛虎，牛马，牛龙，虎龙，虎马，龙马， 只有牛虎对了，剩下龙马二人，龙马猴三件吉祥物均拿错， 则龙马二人分别拿了马龙，马猴，猴龙，所以事件A 的基本事件为m =C 42×3=18种，故恰有2人选中与属相对应的饰物的概率为m n =18120=320． 故答案为：320．分别求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，然后由古典概型的概率公式求解即可．本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于中档题．14.【答案】54【解析】解：设双曲线的半焦距为c ，可得F 1(−c,0)，F 2(c,0)， 由{x 2+y 2=a 2y =ba x ，解得M(a 2c ,abc )， 由|MN|=|NF 1|−|OF 1|=|MF 2|+|NF 2|， 又|NF 1|−|NF 2|=2a ，可得2a −c =√(a 2c −c)2+a 2b 2c 2，由b 2=c 2−a 2，化简可得5a 2=4ac ，即5a =4c ， 即有e =ca =54． 故答案为：54．联立圆的方程和渐近线方程，求得M 的坐标，再由双曲线的定义和两点的距离公式，结合a ，b ，c 和e 的关系式，化简可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，以及两点的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.【答案】1【解析】解：根据题意，设△ABC 的外接圆半径为R ，由于acosB +bcosA =1，则由正弦定理acosB +bcosA =2RsinAcosB +2RsinBcosA =2R(sinAcosB +sinBcosA)=2RsinC =c ， 则c =1，又a 2+b 2=4√3S +1=4√3×12absinC +c 2，可得a 2+b 2−c 2=2√3absinC ，即2abcosC =2√3absinC ，可得tanC =√33，可得C =π6，所以2R =c sinC =112=2，解得R =1，即△ABC 的外接圆半径为1．故答案为：1．根据题意，设△ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得acosB +bcosA =c ，即可得c 的值，又由三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可求sin C 的值，根据正弦定理即可求解R 的值． 本题考查正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，关键是求出c 的值，属于中档题．16.【答案】r n =2r n+1【解析】解：如图，由题意构造正三棱锥O −ABC ，上底面中心为G ，AB 的中点为D ， 连接OG ，GD ，OD ，由对称性可知，球O n ，O n+1 的球心都在OG 上， 且两球与平面OAB 的切点都在OD 上，∵射线OA ，OB ，OC 的两两夹角为60°，∴正三棱锥O −ABC 的底面边长与侧棱长相等，不妨设OA =OB =OC =AB =AC =BC =2， 则OD =√3，DG =√33，而球O n 的半径为r n ，由三角形相似可得√33√3=r nOOn，得OO n =3r n ， 同理OO n+1=3r n+1，∴O n O n+1=OO n −OO n+1=3r n −3r n+1=r n +r n+1， 得r n =2r n+1． 故答案为：r n =2r n+1．由题意构造正三棱锥O −ABC ，把OO n ，OO n+1分别用r n ，r n+1表示，再由O n O n+1=OO n −OO n+1=3r n −3r n+1=r n +r n+1列式求解．本题考查多面体的内切球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)数列{a n }的各项均为正，其前n 项和为S n ，且满足2S n =a n 2+a n (n ∈N ∗)①．当n =1时，解得a 1=1(0舍去)，当n ≥2时，2S n−1=a n−12+a n−1②，①−②得：(a n +a n−1)(a n −a n−1−1)=0， 故a n −a n−1=1(常数)，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n =n ．(2)由(1)得：b =a n +ca n =n +cn ， 由于对任意的n ∈N ∗，都有b n ≥b 3， 根据函数f(x)=x +cx 在x =√c 处取得最小值， 所以{√c ≤3b 2≥b 3或{√c >3b 4≥b 3，解得6≤c ≤12．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式； (2)利用基本不等式的应用和不等式组的解法求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法和应用，基本不等式的应用，不等式组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)当P 为BE 中点时，DP//平面ABC ，理由如下：取BC 中点O ，连接PO 、AO 、DP ，则OP//CE ，OP =12CE =1， 又因为AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，所以AD//CE ，所以AD//OP ，且AD =OP =1，所以四边形ADPO 为平行四边形，所以DP//AO ，因为AO ⊂平面ABC ，DP ⊄平面ABC ，所以DP//平面ABC ； (2)因为AB =AC =AD =12EC ，所以AO ⊥BC ，不妨设AB =2， 所以AC =AD =2，EC =4，OP =2，由(1)知OP//AD ，因为AD ⊥平面ABC ，OP ⊥平面ABC ，所以OP ⊥OA ，OP ⊥OB ， 于是OA 、OB 、OP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 又因为∠BAC =120°，所以AO =1，OB =OC =√3， PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−2)， 设平面BDE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， {PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−x =0PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =√3y −2z =0，令y =2，m⃗⃗⃗ =(0,2，√3)， 平面ABC 的法向量为n⃗ =(0,0，1)， 所以平面BDE 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√7⋅1=√217．【解析】(1)当P 位于BE 中点时，DP 平行平面ABC ；(2)用向量法计算二面角的余弦值． 本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵P(ξ=0)=140，∴m >0，且n >0，∵事件“甲同学至多获得三个社团招募”与事件“ξ=4”是对立事件， ∴甲同学至多获得三个社团招募的概率为： P(A)=1−P(ξ=4)=1−110=910．(2)设甲同学被科技创新、健美体育、绿色家园、博雅辩论等各社团招募依次记为事件A ，B ，C ，D ， 由题意可知：P(ξ=0)=P(A −B −C −D −)=(1−50100)(1−60m )(1−n160)(1−160200)=140，①P(ξ=4)=P(ABCD)=50100×60m×n 160×160200=110，②联立①②，解得m =120，n =80． (3)ξ的可能取值为0，1，2，3，4， P(ξ=0)=140，P(ξ=1)=50100×(1−60120)×(1−80160)×(1−160200)+(1−50100)×60120×(1−80160)×(1−160200)+(1−50100)×(1−60120)×80160×(1−160200)+(1−50100)×(1−60120)×(1−80160)×160200=740，P(ξ=2)=50100×60120×(1−80160)×(1−160200)+50100×(1−60120)×80160×(1−160200)+50100×(1−60120)×(1−80160)×160200+(1−50100)×60120×80160×(1−160200)+(1−50100)×60120×(1−80160)×160200+(1−50100)×(1−60120)×80160×160200=38， P(ξ=3)=50100×6012080160×(1−160200)+50100×60120×(1−80160)×160200+50100×(1−60120)×80160×160200+(1−50100)×60120×80160×160200=1340， P(ξ=4)=110，∴ξ的分布列为：E(ξ)=0×140+1×740+2×38+3×1340+4×110=2.3．【解析】(1)事件“甲同学至多获得三个社团招募”与事件“ξ=4”是对立事件，由此能求出甲同学至多获得三个社团招募的概率．(2)设甲同学被科技创新、健美体育、绿色家园、博雅辩论等各社团招募依次记为事件A ，B ，C ，D ，P(ξ=0)=P(A −B −C −D −)=(1−50100)(1−60m)(1−n160)(1−160200)=140，P(ξ=4)=P(ABCD)=50100×60m ×n 160×160200=110，联立方程组，能求出结果．(3)ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出甲同学最终被招募的社团个数的期望．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．20.【答案】解：(1)设点F 的坐标为(c,0)，因为过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为2，所以点(c,1)在椭圆C 上，则有c 2a2+1b 2=1，又圆x 2+y 2=2经过椭圆C 短轴顶点和两个焦点，所以b 2=c 2=2，故a 2=4， 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1；(2)由题意可知，直线l 的方程为y =−√22(x −√2)，代入x 24+y 22=1，整理可得x 2−√2x −1=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=√2，故y 1+y 2=−√22(x 1+x 2−2√2)=1， 所以由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可得G(−√2,−1),H(√2,1)， 所以线段GH 的垂直平分线的方程为l 1：y =−√2x ， 线段MN 的垂直平分线的方程为l 2：y =√2(x −√22)+12，由{y =−√2x y =√2(x −√22)+12，解得交点P(√28,−14)， 不妨设x 1<x 2，由x 2−√2x −1=0，可得M(√2−√62,√3+12)， 所以|PM|2=(√2−√62−√28)2+(√3+12+14)2=9932，|PG|2=(−√2−√28)2+(−1+14)2=9932，所以|PM|=|PN|=|PG|=|PH|，故存在点P(√28,−14)，使得M 、N 、G 、H 四点到点P 的距离均相等．【解析】(1)设点F 的坐标为(c,0)，由题意确定点(c,1)在椭圆C 上，结合圆x 2+y 2=2经过椭圆C 短轴顶点和两个焦点，即b 2=c 2=2，求出a ，即可得到椭圆C 的标准方程；(2)求出直线l 的方程，与椭圆联立，求出M 的坐标，再由韦达定理以及向量关系求出G ，H 的坐标，求出线段GH 和线段MN 的垂直平分线方程，联立方程组求出交点P 的坐标，分别求解PM 与PG 的长度，即可得到|PM|=|PN|=|PG|=|PH|，从而得到答案．本题考查了椭圆标准方程的求解，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=(1x−lnx−1xe x −a)e x (e x −1)2，若f(x)在区间(0,1)上单调递增，则f′(x)≥0在(0,1)上恒成立，即1x −lnx −1xe x ≥a 在(0,1)上恒成立， 令函数φ(x)=1x −lnx −1xe x .则φ′(x)=−1x 2−1x +x+1x 2e x =x+1x 2(1e x −1)<0，故φ(x)在(0,1)上单调递减，故φ(x)>φ(1)=1−1e ，从而a ≤1−1e ， 故a 的取值范围是(−∞,1−1e ]；(2)证明：当a ≤1，欲证f(x)≤x ，即证明：x(e x −1)−lnx −a ≥0， 令g(x)=x(e x −1)−lnx −a ，则g′(x)=(x +1)(e x −1x )，设ℎ(x)=e x −1x ， 则ℎ(x)为增函数，且ℎ(1)=e −1>0，ℎ(12)=√e −2<0， 故存在x 0∈(12,1)，使得ℎ(x 0)=0，由于x >0，则x +1>0， 故x ∈(0,x 0)时，g′(x)<0，x ∈(x 0,+∞)时，g′(x)>0， 故g(x)在(0,x 0)单调递减，在(x 0,+∞)单调递增，故g(x)≥g(x 0)，由于ℎ(x 0)=0，即x 0e x 0=1，故x 0+lnx 0=0， 故g(x 0)=x 0(e x 0−1)−lnx 0−a =1−x 0−lnx 0−a =1−a ， ∵a ≤1，g(x)≥g(x 0)≥0，从而f(x)≤x ．【解析】(1)求出函数的导数，根据导函数的单调性，求出a 的取值范围即可；(2)问题转化为证明x(e x −1)−lnx −a ≥0，令g(x)=x(e x −1)−lnx −a ，求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是难题．22.【答案】解：(1)由{x =2cosαy =sinα(α为参数)，消去参数α，得x 24+y 2=1；由ρsin(θ+π4)=√22a ，得ρsinθ+ρcosθ−a =0，即x +y −a =0，可得直线l 的斜率为−1，倾斜角为34π；(2)联立{x 24+y 2=1x +y −a =0，得5x 2−8ax +4a 2−4=0．由△=64a 2−20(4a 2−4)>0，得a 2<5，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=8a5，x1x2=4a2−45，则|AB|=√2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√2⋅√(8a5)2−4⋅4a2−45=4√25⋅√5−a2=4√65，解得a=±√2．【解析】(1)直接把曲线参数方程中的参数消去，可得普通方程，化直线的极坐标方程为直角坐标方程，求出斜率，进一步可得倾斜角；(2)联立直线方程与曲线方程，得到关于x的一元二次方程，再由根与系数的关系及弦长公式列式求解a值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)法一：函数f(x)=|x−1|−|x+4|={+5,x≤−4−2x−3,−4<x≤1−5,x>1，作出f(x)的图象：从图不难看出f(x)的值域为[−5,5]；法二：由绝对值不等式可得f(x)=|x−1|−|x+4|≤|(x−1)−(x+4)|=|5|，即f(x)≤|5|，可得−5≤f(x)≤5．故得f(x)的值域为[−5,5]；(Ⅱ)不等式m+2m−f(x)≥0对任意正数m恒成立，只需f(x)≤2√2，由图象可知当−2x−3=2√2时，可得x=−√2−32；要使f(x)≤2√2，只需x≥−√2−32，故得实数x的取值范围[−√2−32,+∞)．【解析】(Ⅰ)零点分段取绝对值，即可求解f(x)的值域；(Ⅱ)不等式m+2m−f(x)≥0对任意正数m恒成立，只需f(x)≤2√2，结合f(x)的解析式，即可求解实数x的取值范围．本题主要考查绝对值函数的最值的求解，以及不等式恒成立问题，去掉绝对值符合是解题的关键，属于基础题．第21页，共21页。