定积分学年论文 2
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定积分的性质与应用学生姓名：学号：数学与信息科学学院 统计学 指导教师： 职称：讲师摘 要：定积分在数学中占有很重要的地位，它是数学知识的基础，是学习经济学的必备知识，定积分理论的建立，是数学摆脱了许多与无穷有关的困扰，下面介绍了有关定积分的基础内容，通过定义、性质和有关应用来进一步了解和认识定积分.关键词：定积分;定义；性质；应用The Calculation of Double IntegralsAbstract: Definite integral in mathematics occupies very important position, it is the foundation of the mathematical knowledge, is learning the necessary knowledge of economics, the establishment of the definite integral theory, is out of many mathematics related to infinity, the following content about the basis of the definite integral is introduced, by defining the properties and relevant applications to further understanding and definite integral.Keywords : Definite integral; Definition; Properties; application引言不定积分和定积分是积分学中的两个基本大问题，求不定积分是求导数的逆运算，定积分则是某种特殊和式的极限，它们之间既有区别又有联系.1.定积分的定义定义1设闭区间[]b a ,上有1-n 个点，依次为,1210b x x x x x a n n =<<⋅⋅⋅<<<=-它们把[]b a ,分成n 个小区间[],,,2,1,,1n i x x i i i ⋅⋅⋅==∆-这些分点或这些闭子区间构成对[]b a ,的一个分割，记为{}{}n n x x x T ∆⋅⋅⋅∆∆⋅⋅⋅=,,,,,,2121或.小区间i ∆的长度为,1--=∆i i i x x x 并记{}i ni x T ∆=≤≤1m a x， 称为分割T 的模.定义2设f 是定义在[]b a ,上的一个函数.对于[]b a ,的一个分割{}n T ∆⋅⋅⋅∆∆=,,,21，任取点i i ∆∈ξ，,,,2,1n i ⋅⋅⋅=并作和式()ini ix f ∆∑=1ξ.称此和式为函数f 在[]b a ,上的一个积分和，也称黎曼和.2.定积分的性质性质1 若f 在[]b a ,上可积，k 为常数，则kf 在[]b a ,上也可积，且()()dx x f k dx x kf baba⎰⎰=.性质2若g f ,都在[]b a ,上可积，则g f ±在[]b a ,上也可积，且()()[]()()dx x g dx x f dx x g x f bab ab a⎰⎰⎰±=±.性质3若g f ,都在[]b a ,上可积，则g f ⋅在[]b a ,上也可积.性质4f 在[]b a ,上可积的充要条件是：任给()b a c ,∈，f 在[]c a ,与[]b c ,上都可积.此时又有等式()()()dx x f c dx x f dx x f bcc ab a⎰⎰⎰+=.按定积分的定义，记号()dx x f b a⎰只有当b a <时才有意义，而当b a =或b a >时本来是没有意义的.但为了运用上方便，对它作如下规定： 规定1当b a =时，令()dx x f ba ⎰0=；规定2当b a >时，令()dx x f b a⎰()dx x f ba⎰-=.有了这个规定后，等式()()()dx x f c dx x f dx x f bcc aba⎰⎰⎰+=对于c b a ,,的任何大小顺序都能成立.例如，当c b a <<时，只要在[]c a ,上可积，则有()()()()()dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f cbb ac b b c ca⎰⎰⎰⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+()dx x f ba⎰=.性质5 设f 为[]b a ,上的可积函数.若()[]b a x x f ,,0∈≥，则()0≥⎰dx x f ba.推论（积分不等式性）若f 与g 为[]b a ,上的两个可积函数，且()()[]b a x x g x f ,,∈≤，则有()()dx x g dx x f baba⎰⎰≤.性质6若f 在[]b a ,上可积，则f 在[]b a ,上也可积，且()()dx x f dx x f bab a⎰⎰≤.例1求()dx x f ⎰-11，其中()⎩⎨⎧≤≤≤≤--=-.10,01,12x e x x x f x解：对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即()()()dx x f dx x f dx x f ⎰⎰⎰+=--10111()()dx x f dx x ⎰⎰-+-=01112 ()()112x e x x ---+-=().11211+-=+--=--e e例2证明：若f 在[]b a ,上连续，且()()⎰=≥ba dx x f x f 0,0，则()[].,,0b a x x f ∈≡证：用反证法.倘若有某[]b a x ,0∈，使()00>x f ，则由连续函数的局部保号性，存在0x 的某邻域()δδ+-00,x x （当a x =0或b x =0时，则为右邻域或左邻域），使在其中()().020>≥x f x f 由性质4和性质5推知()()()()dx x f dx x f dx x f dx x f bx x x x aba⎰⎰⎰⎰++--++=δδδδ0000()(),00200000>=++≥⎰+-δδδx f dx x f x x 这与假设()0=⎰dx x f b a相矛盾.所以()[].,,0b a x x f ∈≡3.积分中值定理定理1（积分第一中值定理）若f 在[]b a ,上连续，则至少存在一点[]b a ,∈ξ，使得()()().a b f dx x f ba-=⎰ξ例3 试求()x x f sin =在[]π,0上的平均值. 解：所求平均值为().2c o s 1s i n 100πππξππ=-==⎰x dx x f定理2（推广的积分第一中值定理）若f 与g 都在[]b a ,上连续，且()x g 在[]b a ,上不变号，则至少存在一点[]b a ,∈ξ，使得()()()().dx x g f dx x g x f baba⎰⎰=ξ定理3（积分第二中值定理）设f 函数在[]b a ,上可积.（i ）若函数g 在[]b a ,上减，且()0≥x g ，则存在∈ξ[]b a ,，使得()()()()dx x f a g dx x g x f aba⎰⎰=ξ；（ii ）若函数g 在[]b a ,上增，且()0≥x g ，则存在[]b a ,∈η，使得()()()()⎰⎰=bb adx x f b g dx x g x f η.4.定积分的应用4.1平面图形的面积在定积分的性质中讨论过由连续曲线()x f y =（0≥），以及直()b a b x a x <==,和x 轴所围成曲边梯形的面积为()⎰⎰==bab ay d x dx x f A .如果()x f 在[]b a ,上不都是非负的，则围成图形的面积为().dx y dx x f A baba⎰⎰==一般地，有上、下两条连续曲线()x f y 2=与()x f y 1=以及两条直线a x =与()b a b x <=所围成的平面图形（如下图），它的面积计算公式为 ()()[]dx x f x f A ba ⎰-=12.x 0 x f y 1=例4求由摆线()()()0cos 1,sin >-=-=a t a y t t a x 的一拱与轴所围成平面图形（如下图）的面积.a π2 解：摆线的一拱可取[].2,0π∈t 所求面积为()()[]dt t t a t a A '20sin cos 1--=⎰π().3c o s 122202a dt t aππ=-=⎰ 如果由参数方程()()[]βα,,,∈==t t y y t x x 所表示的曲线是封闭的，即有()()()()βαβαy y x x ==,，且在()βα,上曲线自身不再相交，那么由曲线自身所围成图形的面积为()()⎰=βαdt t x t y A '或()()⎰βαdt t y t x '.此公式可有其他的公式推出，绝对值内的积分，其正、负由曲线的旋转方向所确定.4.2由平行截面面积求体积设Ω为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x 轴的两平面a x =与b x =之间()b a <.为方便起见称Ω为位于[]b a ,上的立体.若在任意一点[]b a x ,∈处作垂直于x 轴的平面，它截得Ω的截面面积显然是x 的函数，记为()[]b a x x A ,,∈，并称为Ω的截面面积函数.设截面积函数()[]b a x x A ,,∈是[]b a ,上的一个连续函数，且把Ω的上述平行截面投影到某一垂直于x 轴的平面上，它们永远是一个含在另一个里面.对[]b a ,作分割.:10b x x x a T n =<⋅⋅⋅<<=过各个分点作垂直于x 轴的平面n i x x i ,,2,1,⋅⋅⋅==，它们把Ω切割成n 个薄片.,,2,1,n i i ⋅⋅⋅=Ω任取[]1,-∈i i i x x ξ，那么每一薄片的体积().i i i x A V ∆≈∆ξ于是().1i ni i x A V ∆≈∑=ξ由定积分的定义和连续函数的可积性，当0→T 时，上式右边的极限存在，即为函数()x A 在[]b a ,上定积分.于是我们定义立体Ω的体积为().dx x A V ba ⎰=例5 求由椭球面1222222=++cz b y a x 所围立体的体积.解：以平面()a x x x ≤=00截椭球面，得椭圆（它在yoz 平面上的正投影）：.11120222022=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x c z a xb y所以截面面积函数为()[]a a x a x bc x A ,,122-∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π.于是求得椭球体积abc dx a x bc V aa ππ34122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰-. 显然，当r c b a ===时，这就等于球的体积.34abc π下面讨论旋转体的体积.设f 是[]b a ,上的连续函数，Ω是由平面图形().,0b x a x f y ≤≤≤≤绕轴旋转一周所得的旋转体.那么易知截面面积函数为()()[][].,,2b a x x f x A ∈=π由公式().dx x A V ba⎰=，得到旋转体Ω的体积公式为()[].2dx x f V ba⎰=π例6 求由圆()222r R y x ≤-+（R r <<0）绕x 轴旋转一周所得环状立体的体积.解：圆()222r R y x =-+ 的上、下半圆分别为()(),,221222x r R x f y x r R x f y --==-+==.r x ≤故圆环体的截面面积函数是()()[]()[]2122x f x f x A ππ-=[].,,422r r x x r R -∈-=π 由此得到圆环体的体积为.2822022R r dx x r R V rππ=-=⎰4.3旋转曲面的面积设平面光滑曲线C 的方程为()[]b a x x f y ,,∈=（不妨设()0≥x f ）.这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面.由微元法得到它的面积公式为()().122'dx x f x f S ba+=⎰π例8 计算圆222R y x =+在[][]R R x x ,,21-⊂上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积.解：对曲线22x R y -=在区间[]21,x x 上应用公式()().122'dx x f x f S ba+=⎰π得到dx x R x xR S x x 222221221-+-=⎰π ().222112⎰-==x x x x R dx R ππ特别当R x R x =-=21,时，则得球的表面积.42R S π=球例9 计算内摆线t a y t a x 33sin ,cos ==绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积. 解：由曲线关于轴的对称性及公式()()()dt t y t x t y S 22''2+=⎰βαπ，得()()dt t t a t t a ta S ⎰+-=2022223cos sin 3sin cos3sin 4ππ.512cos sin 1222042a tdt t aπππ⎰== 结语积分问题在数学分析中占有很大的比例，而且定积分的性质与应用在数学分析中也是非常重要的，上述介绍了一些方法虽然不是很全面，但对我们的学习还是会有一定的帮助，只有了解定积分的性质，才能熟练的掌握它的运用，学会灵活运用定积分的性质，才能学好定积分在实际问题中的应用.学好这些之后，相信我们会很熟练的应用定积分，但上述仍有不足，有待深入细致的探讨.参考文献[]1庞学诚.数学分析[M].北京：高等教育出版社,2010.[]2薛宗慈.数学分析习题课讲义[M].北京：师范大学出版社，1988. []3刘玉莲.数学分析讲义学习导书[M].北京：高等教育出版社，1987. []4姚允龙.数学分析[M].上海：复旦大学出版社，2002.[]5费定晖.数学分析习题集题解[M].济南：山东科学出版社，1980.目 录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)引言 (1)1．定积分的定义 (1)2．定积分的性质 (2)3.积分中值定理 (4)4.定积分的应用 (4)4.1平面图形的面积 (4)4.2由平面截面面积求体积 (6)4.3旋转曲面的面积 (7)结语 (8)参考文献 (8)。
