解析几何

专题六文本：解析几何的内容的教学设计要点与实施策略作者：高中数学课程专家评论数/浏览数： 336 / 1129 发表日期： 2012-08-06 13:52:30给作者发送信息 | 推荐此文章 | 添加到收藏夹解析几何的内容的教学设计要点与实施策略北京市第二十二中学李红前言随着新课程改革的不断推进，教师在实践中对新课程理念已有了较为深入的理解，对数学学科的特点及学生发展的认知规律也有了较为清晰的认识，对高中数学的教学策略有了相应的实践与思考。

回顾数学发展的历史，解析几何在数学中引入了变量概念，把几何和代数结合起来，几何概念可用代数方式表示，几何的目标，可通过代数达到；反过来，给代数语言以几何的解释，使代数语言变得直观，易于理解。

解析几何是近代统一数学的第一次尝试，它符合数学发展的规律，有力地促进了数学理论的发展和数学在科学及实践中的应用，解析几何的产生在数学史上具有划时代的意义。

同样地，解析几何的学习也是考察学生数学能力方法、数学思维品质的极好的知识载体。

另外，从高考考察的角度看，解析几何内容无论是难度还是所占分值都是非常可观的，因此无论从哪个角度看解析几何的教学都更值得我们教师格外关注。

鉴于我们都已经历了新课程培训，所以我们不妨换一种类似于“倒叙”的方式，以案例分析的形式从高三解析几何复习中学生出现的问题出发，对我们的高中解析几何的教学思路、教学策略等再次进行反思，就解析几何教学中一些问题共同探讨交流，力求新的突破。

案例1：问题背景：北京市海淀区高三2011年1月期末统一测试第14题（14）定义：在平面直角坐标系中，任意两点、之间的“直角距离”为；平面内一点C到直线的“直角距离”为点C到直线上的每一点的“直角距离”的最小值.已知点，那么 = ；若动点与点的“直角距离”之和为4，记点到直线（为大于零的常数）的“直角距离”的最小值为，则 .学生难点分析：1、阅读理解的困难分析学生首先需要阅读两个概念的定义并理解其含义。

第一个是任意两点、之间的“直角距离”的概念；第二个是平面内一点C到直线的“直角距离”。

第一个概念是用符号语言的形式来描述的，读懂它需要代数结构与几何图形的结合，具体说就是对的几何意义的理解。

如果能理解得准确到位，就能将与直角三角形两直角边之和相对应。

由于在解析几何的学习中学生已掌握了大量的几何问题代数化的经验，因此我们看到绝大多数高三学生较为轻松的读懂了第一个概念，第一问很容易完成了。

而第二个概念阅读理解的难度明显增加了很多，很多学生阅读后举足无措。

但他们能明确的是点C到直线的“直角距离”与点C到直线上的每一点的“直角距离”有关，是点C到直线上的每一点的“直角距离”中的最小值。

但这个最小值怎样确定呢？学生很困惑。

而学生要想完成第二问就必须扫清这个障碍。

案例带来的思考：解析几何是用代数的方法研究几何问题，通常需要用代数结构描述几何特征，并通过代数结构的变形，更加清晰的刻画几何特征或解决几何问题。

因此类似于各类圆锥曲线方程的推导过程，都是非常好的训练学生用代数方式描述曲线上的动点的几何性质的契机。

例如，将椭圆上动点的几何性质描述为，，化简后推出。

课堂教学中我们还是应该肯于拿出时间让学生体验这一几何问题代数化的过程，并引导学生在这个探索的过程中用心思考、体会、理解解析几何的研究方法的特征，力求有认识上的提高。

这对于学生后来的学习研究是非常有益的。

2、点到直线的“直角距离”的困难分析题目中已知平面内一点C到直线的“直角距离”为点C到直线上的每一点的“直角距离”的最小值。

学生面对最小值问题，是否能想到以下一些问题：① 我们通常在什么情境下研究最小值？没有变化的过程，就没有比较的素材，就没有最小值存在的可能性。

因此研究最小值的基础是先要对变化的过程进行必要的研究，对变化的规律有所认识时才有研究最小值的可能性。

② 怎样研究平面内一点C到直线的“直角距离”？依据定义点C到直线的“直角距离”为点C到直线上的每一点的“直角距离”的最小值。

即点C到直线上的每一点的“直角距离”会随着直线上的点位置的确定而确定，学生是否能发现随着直线上的点的位置的不同，C到直线上的每一点的“直角距离”会有哪些规律。

学生此时必须肯于实验，动手操作，观察、分析、猜想、验证。

③ 进行类比思考，我们的学习经验中是否有可以借鉴的素材？说道“直角距离”，它归根到底是“距离”。

那么，“距离”我们都研究了什么？平面几何中我们研究过两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离；立体几何中我们还研究过线面距、面面距等。

与本题最接近的概念是两点之间的距离、点到直线的距离。

点到直线的距离的定义是点到直线的垂线段的长度。

垂线段的长度经过实验、观察、归纳、证明就是点到直线上所有的点的距离最小值。

那么，我们就应该采用类似的研究方法，从特殊到一般探寻规律。

④ 怎样选择特殊的例子作为研究对象？我们面对的几何元素是点和直线，特殊性如何体现？点特殊吗？直线特殊？点与直线的位置关系已经说明了点在直线外。

只能是直线特殊了。

进一步思考直线怎么特殊？关于直线我们学过什么？在高中数学必修二我们学习了《直线与方程》，我们掌握了用直线的斜率或倾斜角刻画不同的直线的方法。

因此，我们可以先选择一些特殊的倾斜角的直线进行研究。

不妨设直线水平，不存在直线竖直，，，进行分析。

⑤恰当调用自己的各部分知识进行分析归纳并给予证明对于和两种类型，学生需用平面几何、三角函数等知识证明自己的结论：当时，点C到直线的“直角距离”为；当时，点C到直线的“直角距离”为。

案例引起的思考：当我们去做一些高三学生的访谈，问学生：“解析几何的学习，留给你印象最深的是什么？”相当一部分学生回答：“一个字：难”。

我们是否应该追问一下：解析几何为什么难？我们可能无法做到所有学生都觉得容易，但有没有可能让更多的学生觉得不那么难，至少当他们面对困难时，不至于寸步难行，学生们能形成解决问题的基本策略。

因此解析几何的教学承担着在解决综合性问题的过程中训练学生良好的思维习惯的价值。

3、确定M点轨迹的困难分析学生由已知若动点与点的“直角距离”之和为4，得到不知如何是好。

相当一部分学生学生以往的学习经验是看到绝对值就要分类讨论，那么三个绝对值该如何分类呢？有些学生就一筹莫展了。

有的学生想到面对函数的研究，可以将实数集分为三段分别研究，但怎么办？面对高三学生的困惑，我们不妨通过以下的问题对我们以往相关教学进行反思：1、让学生养成了面对困难较好的思考习惯解析几何问题的难度是我们众所周知的，因此我们在组织这部分教学时应有意识的加强学生应对困难的思维方式的训练和引导。

学生在解决解析几何的问题过程中，提高的不仅是运算技能和对知识本身的理解，更重要的是在这个过程中思维能力的提升和良好的思维习惯的养成。

2、训练学生在类似的情况下可以通过提出类似于下面的问题进行探索①我们的资源是什么？从形式上看我们的资源是，关键是我们怎样看它的价值，也就是我们能否很好的回答它是什么？学生回答：它是等式；它是含有的等式；它是方程；它是M点的轨迹方程，显然这几种回答代表着学生不同的认识水平，认识水平的差异决定着随后的思考进程。

②我们的目标（理想）是什么？这个问题好回答：我们要探寻M点的轨迹。

③我们怎样有效地在资源与目标之间构建桥梁？恰当的进行类比思考。

我们以前是否面对过类似的问题情境？已知动点方程分析动点轨迹。

学生回忆学习的经历的过程是对知识结构、知识系统的梳理的过程。

如果我们椭圆、双曲线、抛物线三类圆锥曲线的教学到位了，以椭圆学习为例，当我们推出了椭圆的标准方程后，依据方程研究椭圆的几何性质即变量的取值范围、对称性、形状的变化（离心率）给与学生深刻的研究体验，学生就应该获取了用方程研究曲线的几何性质的基本研究经验，进而找到了解决问题的灵感。

从题目中我们已知，用替换，方程不变，说明M点轨迹关于轴对称。

不妨设，得到且。

此问题转化为函数问题。

用替换，方程也不变，说明M点轨迹关于轴也对称，进一步化简得到，后面的问题就迎刃而解了，M点轨迹是关于轴、轴轴对称，关于原点中心对称的六边形。

对解析几何教学的深入思考：基于上面的分析我们不难发现圆锥曲线的几何性质的教学的重要性。

关于圆锥曲线的几何性质的教学（以椭圆为例），当我们得到椭圆的标准方程后，该如何推出曲线的几何性质？有的老师可能是为了节约时间，以便学生有更多的时间进行反复练习，就快速的让学生观察椭圆的形状，得出椭圆的几何性质，学生因而失去了极好的用代数方法或者说利用代数资源研究曲线的几何性质的经历和收获。

我们建议老师引导学生观察椭圆的标准方程，怎样观察？我们不妨提出一些具体的建议：从运算形式、运算结果等方面观察思考。

说到平方运算，我们可以联想到以下几点：第一，运算结果的非负性，从而确定了变量取值的有界性，可推出曲线的封闭性。

第二，互为相反数的两个数的平方结果相等，从而确定了曲线的对称性。

由，当时，封闭椭圆的矩形趋于正方形，椭圆越接近圆；当时，封闭椭圆的矩形趋于线段，有椭圆越扁平。

虽然这种方法对学生来说是陌生的，但它体现了解析几何独特的研究方法，也是这部分知识不可替代的价值，学生正是在一次次这样的过程中，逐渐领悟解析几何的精髓与深刻。

学生要最终完成本题除了需要扫清以上障碍，还要看出直线具有过定点的特征。

这也是学生的薄弱环节。

这需要我们老师在《直线与方程》的教学中，要加强一些变式训练。

学生看到能知道直线过点，写成就看不出来了。

另外学生在解决一些综合性题目中表现出的忙于列方程组，而忽视几何性质的分析的不良倾向也值得我们关注。

例1：设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为，且点在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：△ 为钝角三角形．第（Ⅰ）问由已知解出：椭圆方程为。

第（Ⅱ）证明△ 为钝角三角形。

学生首先遇到的问题是△ 中哪个角为钝角。

这是需要学生依据图形，认真分析几何性质，慎重思考作出判断：为钝角。

如何用代数方法证明呢？在解析几何的背景下用向量的点积为负证明较好。

由（Ⅰ）知：．设，．则直线的方程为：．由得．因为直线与椭圆相交于异于的点，所以，所以．由，得．所以．从而，．所以．又三点不共线，所以为钝角．所以△ 为钝角三角形．例2：已知椭圆（）的右焦点为，离心率为 .（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.第（Ⅰ）问由已知解出椭圆的方程为 .第（Ⅱ）问由椭圆离心率求的取值范围，这样的题目学生非常发憷。

我们是否可以这样引导学生思考：为什么已知椭圆离心率的范围就可以求的取值范围了？椭圆离心率到底与直线的斜率存在着哪些联系？回答这样的问题，我们应追溯到离心率的概念，离心率是刻画椭圆形状的，为什么椭圆的形状定了，直线的斜率的范围就定了呢？看看题目的介绍：直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上。