五年级奥数第25讲-置换问题(学)

置换问题数学天地知识广角在古代，没有发明衡器及货币，人们需要什么东西，不是去市场上买，而是以物换物，这就是“置换”的由来及早期应用。

“置换”是解决问题常用的一种思维方式。

在有些问题中，要求两个或两个以上未知量，解答时，可以先分析这些未知量之间的相等关系，根据它们之间的相等关系，用一种未知量来置换其他的未知量，从而找到问题的答案。

问题解决例1 光明小学的李老师去文具店买了同样的4支钢笔和9支圆珠笔共付了24元，已知买2支钢笔的钱可买3支圆珠笔，两种笔各多少钱一支？例2 妈妈买回2.5千克苹果和2千克桔子共花去9.60元，已知每千克苹果比每千克桔子贵0.6元，这两种水果的单价各是多少元？例3 学校买来4张桌子和9把椅子，共用去504元，已知1张桌子和3把椅子的价钱相等，每张桌子、每把椅子各多少元？例45个空瓶可以换回1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买多少瓶汽水？例5甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的2倍还大3岁，乙的年龄比丙的2倍小2岁，三个人的年龄之和是109岁，问：三个人各几岁？例6 A、B、C三种货物，甲购A物3件，B物5件、C物1件，共付款20元；乙购A物4件、B物7件、C物1件，共付25元；丙购A、B、C物各1件。

应付多少元？数学冲浪知识技能广场1、1只小猴重4千克，是2只小兔的重量，3只小兔的重量等于6只小猫的重量，那么一只小猫重（）千克。

2、1头象的重量等于4头牛的重量，1头牛的重量又等于3匹小马的重量，而1匹小马的重量刚好等于4只小猪的重量，那么1头象的重量等于（）只小猪的重量。

3、30只小鸡可以换2只大鸡，16只大鸡可以换2只羊，9只羊可以换3头猪，15头猪可以换（）小鸡。

4、学校买排球6个、篮球4个共付出192元，买2个篮球的钱可以买3个排球，篮球每个（）元。

5、老张买2千克苹果、3千克桔子共付出19.2元，如果他少买1千克苹果，就可以多买1.5千克千克桔子，苹果每千克是（）元。

第五节置换问题置换问题又称“鸡兔问题”、“假设问题”，它的一般结构特点是：已知两类物品的单价、总数和总价，求这两类物品各是多少。

解题时从假定的条件进行分析，从而求出题目的未知数。

通过假定的某个条件或某种现象成立，则发生了与题目条件不同的矛盾和差异，从而找出差异原因，消除差异，使问题得到解决，这种解题思路称为假设。

解题方略先假设要求的两个未知量是同一种量，求出他们的总价与实际总价的差，再用另一类（乙类）物品去调换某一类（甲类）物品，调换的次数就是乙类物品的个数。

置换问题的基本数量关系式：（假定全部为高价物物品的总价-实际总价）÷两类物品单价之差=低价类物品（实际总价-假定全部为低价物物品的总价）÷两类物品单价之差=高价类物品物品总数-高价物品数=低价物品数物品总数-低价物品数=高价物品数通常所说的鸡兔问题就属于这类问题，它的数量关系是：（兔腿数×总数-总腿数）÷（兔腿数-鸡腿数）=鸡数（总腿数-鸡腿数×总数）÷（兔腿数-鸡腿数）=兔数例题解析：例1、现有一笼鸡和兔，数头共12个，数脚32只，问鸡兔各几只？解析：首先我们先来借助图示来分析理解：根据题意，先用“画出鸡兔的总只数12只。

再给每个身体画出两条腿。

数一数图中共有24条腿，比已知32条褪少32-24=8条腿，因为每只兔有4条腿，而图中画的都是两条腿的鸡，就要给每只鸡填上4-2=2条腿，填上两条腿的“鸡”就“变”成了兔。

剩余的8条腿可以给4只“鸡”“变”成兔，那么鸡就有12-4=8（只）。

在这里也可以全部画成成4条腿的兔，腿数会比实际腿数多，多几个腿数差，就在几只“兔”去掉几个腿数差，到腿数与题中腿数和相同，就可以求出鸡兔的只数。

虽然图示法比较直观，我们能很容易求出鸡兔的数量，题中但数量较多、较复杂时用这种方法就时比较麻烦。

我们可以用假设法来求这样问题。

从已知的12个头，可得鸡、兔共有12只，我们又知道每只鸡有2只脚，而每只兔有4只脚，假设笼中有12只鸡，那么应该有12×2=24（只）脚，而实际上笼中共有32只脚，少了32-24=8（只）脚，原因是我们的假设把笼中的兔子也算做了鸡，每只兔少算了4-2=2（只）脚，所以剩余的脚数包含有几个鸡兔腿数差，就有几只（2脚）鸡“变”为（4脚）兔，兔子应当有8÷2=4（只），从而实际上鸡只有12-4=8（只），列综合算式为：（32-12×2）÷（4-2）=4（只）…………兔子数12-4=8（只）…………鸡数答：笼中有兔4只，鸡8只。

置换数学置换数学是数学中的一个重要分支，它研究的是对象之间的交换或替换关系。

在置换数学中，我们主要关注的是集合中元素的重新排列方式以及排列之间的关系。

让我们来了解一下什么是置换。

置换是指将一个集合中的元素重新排列，形成一个新的排列。

比如说，有一个集合{1, 2, 3}，那么{2, 3, 1}就是一个置换。

在这个置换中，原来的元素1被放到了第三个位置，元素2被放到了第一个位置，元素3被放到了第二个位置。

在置换数学中，我们可以用不同的方法来表示置换。

常见的表示方法有两种：循环表示法和矩阵表示法。

循环表示法是将置换中的元素按照它们的移动轨迹进行分组，每个分组称为一个循环。

比如说，置换{2, 3, 1}可以用两个循环来表示：(1 2 3)和(2)。

其中，(1 2 3)表示元素1被置换到元素2的位置，元素2被置换到元素3的位置，元素3被置换到元素1的位置；(2)表示元素2没有发生置换。

除了循环表示法，我们还可以使用矩阵表示法来表示置换。

矩阵表示法是将置换中的元素按照它们的原来位置和新位置进行矩阵的表示。

比如说，置换{2, 3, 1}可以用矩阵表示为：1 2 33 1 2在置换数学中，有一些基本的操作和性质。

首先是置换的乘法运算。

当两个置换进行乘法运算时，我们将它们按顺序进行组合，得到一个新的置换。

比如说，有两个置换{2, 1, 3}和{3, 2, 1}，它们的乘积为{1, 3, 2}。

这是因为先进行第一个置换，将元素1放到了第二个位置，元素2放到了第一个位置，元素3放到了第三个位置，然后再进行第二个置换，将元素1放到了第三个位置，元素3放到了第二个位置，元素2放到了第一个位置。

另一个重要的概念是置换的逆。

对于一个置换，它的逆是将元素的新位置和原来的位置进行对换得到的新置换。

比如说，对于置换{2, 3, 1}，它的逆置换为{3, 1, 2}。

这是因为原来的元素1被放到了第三个位置，所以在逆置换中，元素1被放到了第一的位置，其他元素也是按照相应的对换关系进行对换。

五年级奥数代换法思维聚焦在有些题目中出现了两个或两个以上的未知量，而且这些未知量之间存在倍数关系或相差关系，我们可以依据它们之间的关系进行替换,使题目中只有一种未知量,从而将这样一个较复杂的问题转化成了一个简单的问题。

一、典型例题妈妈把720毫升果汁倒入6个小杯和一个大杯中，正好都倒满，1个大杯的容量相当于3个小杯的容量。

小杯和大杯的容量各是多少毫升？思路点拨根据“1个大杯的容量相当于3个小杯的容量"，我们可以将6个小杯换成2个大杯，这样一换，也就转换成了将720毫升果汁都倒给了三个大杯，全部倒满，所以可以求出一个大杯的容量,进而求出小杯的容量。

当然，我们也可以将一个大杯换成3个小杯，也能解决这个问题。

解答：大杯容量：720÷（6÷3+1）＝720÷3＝240(毫升）小杯容量:240÷3＝80（毫升)答：大杯容量是240毫升,小杯容量是80毫升.二、触类旁通在2辆同样的大卡车和5辆同样的小卡车里装满水泥，正好100袋.每辆大卡车比小卡车多装8袋，每辆大卡车和小卡车各装多少袋？思路点拨这里与前面类似,也出现了两个不同的未知量,所以我们也要想办法将它们换成一个未知量。

根据“每辆大卡车比小卡车多装8袋”，如果将1辆大卡车换成1辆小卡车，必须减去8袋水泥，那么将2辆大卡车换成小卡的话，要减去8×2＝16(袋）水泥,这样水泥的总袋数也应减少为100—16＝84（袋），现在将84袋水泥交给7辆小卡车运,就能求每辆小卡车装的袋数。

解答：一辆小卡车装的袋数:（100-8×2）÷（2+5）＝84÷7＝12（袋)一辆小卡车装的袋数：12+8＝20（袋)答:每辆大卡车装运20袋,每辆小卡车装运12袋。

三、熟能生巧1、钢笔的单价是铅笔的6倍.黄老师买了2枝钢笔和3枝铅笔，共付了18元，钢笔和铅笔的单价各是多少元？2、实验小学有3块面积相等的花圃和3块面积相等的苗圃，共是480平方米。

2022-2023学年小学五年级思维拓展专题置换(代换)问题知识精讲专题简析：置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。

“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。

解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。

解答置换问题应注意下面两点：1.根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法；2.把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。

典例分析【典例01】20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。

求苹果和梨的单价。

【思路引导】2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，那么，20千克苹果的价钱就与25千克梨的价钱相等。

132÷(25+30)=2.4元，即每千克梨2.4元。

知道了梨的单价，再求苹果的单价就方便了。

苹果的单价是：(132-2.4×30)÷20=3元。

【典例02】用2台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。

小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？【思路引导】因为大水泵2小时的抽水量等小水泵5小时的抽水量，所以，大水泵8小时的抽水量应该等于小水泵8÷2×5=20小时的抽水量。

因此，312立方米的水就相当于小水泵(6+20)小时的抽水量了。

小水泵每小时抽水是312÷(6+20)=12立方米，大水泵每小时抽水12×5÷2=30立方米。

【典例03】一件工作，甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成；乙做9小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。

那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成？【思路引导】把题中两组已知条件进行对比，甲少做(5-3)小时，乙就要多做(9-3)小时，也就是甲2小时的工作量和乙6小时的工作量相等，甲1小时的工作量和乙3小时的工作量相等。

置换问题已知两类物品的总数和总价，以及这两类物品的单价，要求这两类物品各是多少问题，叫做置换问题。

著名的鸡兔问题就是一种置换问题。

解答这类问题的关键是“置换”，先假定全部是某一种物品，求出在此假定下两类物品总价与实际的相差数，然后用另一类物品去置换，置换的次数就是另一类物品的个数。

关系式是：（假设全部为一类物品的总价－实际总价）÷两类物品单价差=另一类物品数总物品数－另一类物品数=一类物品数1。

笼子里有鸡和兔共60只，共有168条腿。

问鸡和兔各多少只？2。

运输公司要装运一批货物共72吨，计划用14辆卡车一次运完。

已知大卡车每次可装运6吨，小卡车每次装运4吨，问大、小卡车各几辆？3。

某厂工会组织活动，购买歌剧票200张，甲种票每张15元，乙种票每张12元，一共付款2760元。

问两种票各购买多少张？4。

鸡、兔共100只，腿一共有286条。

问鸡、兔各几只？5。

大船能坐6人，小船能坐4人，某校188名师生，租36条船，座位一个不多一个不少，问大船、小船各有几条？6。

有1分、2分、5分硬币共3.95元，正好100枚，已知1分、2分硬币数相等。

问5分硬币有几枚？7。

教师组织活动，买来100张票，甲种票每张10元，乙种票每张7元，一共用去910元。

问两种票各多少张？8。

一次数学竞赛共有20道题，做对一题得5分，做错一题扣3分。

小红得了68分，她做对几题？9。

一批货物，用小卡车装要45辆，改用大卡车装要36辆。

已知大卡车每辆比小卡车多装2吨，这批货物一共多少吨？10。

100人吃100张饼，大人每人吃3张饼，幼儿每3人吃1张饼。

问有几个大人？几个幼儿？11。

甲、乙两人进行射击比赛。

射中靶子得20分，没中靶子扣12分。

两人各打10枪，共得208分。

其中甲比乙少得64分。

甲、乙各打中几枪？12.鸡兔同笼，一共3个头，10条腿，鸡和兔各有多少只？13.鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，鸡和兔各有多少只？14.面值2元、5元的人民币共27张，合计99元，面值是2元和5元的人民币各有多少张？15.今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问：鸡、兔各多少只？16.鸡兔同笼，鸡比兔少40只，共有460条腿。

五年级奥数置换问题篇一：五年级奥数置换环境问题五年级奥数：置换问题专题分析：置换问题主要研究把数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们解题方法的一类典型的应用题。

“鸡兔同笼”问题就是一种非常典型的置换问题，解答置换切换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。

解答置换问题应警觉重新排列下面两点：1、根据数量关系把两种数量转换成某种数量，从而找出解题方法。

2、把五种数量假设为一种纯粹数量，从而找出解题方法。

例1、20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。

求苹果和梨的单价。

思路：2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，则20千克苹果相当于25千克梨，这样几种就把两种数量转化为一种数量了，先计算梨的单价是：132÷（25＋30）＝2.4（元），其余的计算就难了。

练习：1、6只鸡和8只羊共重78千克，已知5只鸡的重量和2只羊的重量相等。

求每只鸡和每只羊的配重。

2、商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔，已知2支钢笔的价钱与15支圆珠笔的价钱相等。

老师买了4支钢笔和6支圆珠笔共付了72元。

求钢笔和圆珠笔的单价。

3、用两种汽车运货，如果2辆有大上海汽车汽车的载重量正好等于3辆小汽车的载重量，且5辆大汽车和6辆小汽车一次共运54吨货。

求每辆大汽车比小汽车多装几吨货？例2、中华学校买来史地书、技术开发书和文艺书共456本。

其中科技书是史地书的的1.2倍，文艺家书比科技书多31本。

三种书各买了多少本？思路：先用教育学书代换科技书，科技书加上31本又是文艺书，这样三种书都可称民族学成史地书，则史地书为：（456－31）÷（1＋1.2＋1.2）＝125（本）。

其他书的计算就简单了。

练习：1、北站某菜站运来西红柿和黄瓜共重1660千克，已知运来的的重量比黄瓜重量的3倍少60千克，菜站运来的西红柿和黄瓜各多少千克？2、一条公路长72千米，由甲乙丙三个修路队乙丙共同修完。

学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：五年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题 第25讲-等量代换授课类型 T 同步课堂P 实战演练S 归纳总结教学目标 1、学会分析题意并且熟练的找出题目中存在的量之间的关系；2、掌握置换问题的解题思路与方法。

授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂置换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。

“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。

解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。

解答置换问题应注意下面两点：1，根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法； 2，把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。

例1、20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，求苹果和梨的单价。

【解析】2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等，则20千克苹果相当于25千克梨，这样就把两种数量转化为一种数量了，先计算梨的单价是：132÷（25＋30）＝2.4（元） 苹果的单价：（132-2.4×30）÷20=3（元）例2、3只小花猫的重量等于1只狗的重量，1只小花猫等于3只鸭的重量，1只狗重9千克，1只猫与1只鸭各重多少千克？知识梳理典例分析P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、一个苹果和一个犁共重250克，一个苹果和一个桔子共重180克，一个梨和一个桔子共重230克，算一算，一个苹果，一个梨，一个桔子各重多少克？【解析】梨和桔子重230g + 一个苹果和一个梨共重250g =2梨和1苹果1桔子=480g因为苹果和桔子共重180g所以梨=（480-180）÷2=150g因为一个苹果和一个梨共重250g所以苹果=250-150=100g因为苹果和桔子共重180g所以桔子=180-100=80g因此：梨150g,苹果100g,桔子80g.2、6只鸡和8只羊共重78千克，已知5只鸡的重量和2只羊的重量相等。

五年级奥数思维训练置换问题
一、尝试练习
1、已知20只鸡可以换2条狗，6条狗可以换2头猪，10头猪可以换2头牛，请问5头牛可以换多少只鸡？
2、百货商店运来400双球鞋，分别装在2个木箱和6个纸箱中，如果2个纸箱同1个木箱装的鞋一样多，那么每个木箱和纸箱各装多少鞋？
二、训练营地
1、用两种汽车运货,3辆大汽车的载重量正好等于5辆小汽车的载重量,且5辆大汽车和10辆小汽车一次共运55吨货.每辆大汽车每次运货多少吨?每辆小汽车每次运货多少吨?
2、买一套《趣味数学》共用了83.1元，已知上册比中册贵4.3元，中册比下册便宜2.6元，问上、中、下册各多少元？
3、师徒共做一批零件，计划15天完成，后来师傅每天多做8个，徒弟每天多做12个，只用12天就完成了，这批零件有多少个？
4、甲、乙、丙、丁四个数的平均数是44，已知甲比乙多22，乙比丙多13，丙和丁相等，这四个数分别是多少？。