大学数学实验报告----怎样计算∏

圆周率的实验报告圆周率的实验报告引言：圆周率（π）是数学中一个重要的常数，它表示圆的周长与直径的比值。

圆周率的数值约等于3.14159，是一个无限不循环的小数。

在本次实验中，我们将通过不同的方法来计算圆周率，并探讨其性质和应用。

实验一：测量圆的周长和直径首先，我们需要测量一个圆的周长和直径，以便计算圆周率。

选择一个圆形物体，如一个硬币或者一个圆盘，使用一个软尺或者卷尺测量其周长和直径。

将测量结果记录下来，并计算周长与直径的比值。

实验二：使用几何方法计算圆周率在几何学中，我们可以通过正多边形的外接圆和内接圆来近似计算圆周率。

选择一个正多边形，如正六边形或正十二边形，测量其边长和内切圆的半径。

然后，计算正多边形的周长与内切圆的周长的比值。

随着正多边形的边数增加，这个比值会越来越接近圆周率。

实验三：使用概率方法计算圆周率概率方法是一种基于随机事件的方法来计算圆周率。

我们可以在一个正方形内随机撒点，并计算落在正方形内的点中，落在内切圆内的点的比例。

根据概率理论，这个比例会接近于圆的面积与正方形的面积之比，即π/4。

通过将这个比例乘以4，我们可以得到一个近似的圆周率值。

实验四：使用级数方法计算圆周率在数学中，圆周率可以通过级数来计算。

其中一个著名的级数是莱布尼茨级数：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...通过不断计算级数的和，我们可以逼近圆周率的数值。

在实验中，我们可以计算不同级数的和，并观察其逼近圆周率的速度。

实验五：使用计算机模拟计算圆周率计算机的出现为计算圆周率提供了更加精确和高效的方法。

我们可以使用计算机编写程序，通过数值方法来计算圆周率。

例如，可以使用蒙特卡洛方法，在一个正方形内随机生成大量点，并计算落在内切圆内的点的比例。

根据概率理论，这个比例会逼近圆周率的数值。

结论：通过以上实验，我们可以发现不同方法计算的圆周率值会有一定的误差，但随着方法的改进和精确度的提高，这个误差可以被不断减小。

一、实验目的探索精确计算π值的方法，并且比较不同方法之间的不同之处和优缺点。

掌握数值积分的辛普森公式。

二、问题描述1. 任务11) 用反正切函数的幂级数展开式结合有关公式求π，若要精确到40位、50位数字，试比较简单公式和Machin 公式所用的项数。

2) 验证公式111=arctan arctan arctan 4258π++ 试试此公式右端做幂级数展开完成任务1所需要的步数。

2. 任务2用数值积分计算π，分别用梯形法和Simpson 法精确到10位数字，用Simpson 法精确到15位数字。

3. 任务3用Monte Carlo 法计算π，除了加大随机数，在随机数一定时可重复算若干次后求平均值，看能否求得5位精确数字？设计方案用计算机模拟Buffon 实验4. 任务4利用积分20(1)!!sin !!2n n xdx n ππ-=⎰ ，n 为奇数 推导公式224422213352121n n n n π=-+ ……… 用此公式计算π的近似值，效果如何？5. 任务5利用学过的知识（或查阅资料），提出其他计算π的方法（先用你学过的知识证明），然后实践这种方法。

对你在实验中应用的计算π的方法进行比较分析。

6. 任务6e 是一个重要的超越数1e lim 1)n n n→∞=+（ 1111...2!!(1)!e e n n θ=++++++ 试用上述公式或其他方法近似计算e 。

三、问题解法1. 任务11) 根据幂级数展开的相关知识，易知：24122211(1)1n n x x x x--=-+-+-++……… 因为21(arctan )'1x x =+，故可以求得arctan x 的幂级数展开式为： 35211arctan (1)3521n n x x x x x n --=-+-+-+-……… 当x=1时，-11111--(-1)4352-1n n π=+⋯⋯++⋯ 当叠加了十万次以后得到结果π=3.141582654…只有五位有效数字，可见其精度与效率极低。

连乘符号∏的运算法则
连乘符号∏的运算法则：
连乘符号是“∏”，代表“求乘积”。

用法：上下添加的为求乘积的初始值和终止值，例如：符号下面可写“i=1”，上面写“n”，就代表后面的求积式子中的i从1开始一直加到n。

即（1+D1/P1)(1+D2/P2)……（1+Dn/Pn)。

∏是希腊字母，即π的大写形式，在数学中表示求积运算或直积运算，形式上类似于Σ。

∏，这个符号就是连续求积的意思，把满足∏这个符号下面条件的所有项,都乘起来，求积；
∏是各项连乘的运算符号, 读大写的π（pai）。

∏i=1（符号下面）n（符号上面）ai(符号右面)表示a1×a2....×an。

符号下面表示右面式子可变参量的下限（或初值）。

符号上面表示右面式子可变参量的上限（或终值）。

数学实验实验报告学院：数学与统计学院班级：数学与应用数学3班学号：0314姓名：康萍时间：实验二怎样计算一、实验目的分别用下列三种方法计算π的近似值，并比较三种方法的精确度： 数值积分法：通过使用编写梯形公式和辛普森公式的程序语言计算π。

泰勒级数法：利用反正切函数泰勒级数计算π。

蒙特卡罗（Monte Carlo ）法：通过使用编写蒙特卡罗公式的程序语言来计算π。

二、实验环境基于Windows 环境下的软件。

三、实验的基本理论和方法1、数值积分法以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G 是一个扇形，由曲线])1,0[(12∈-=x x y 及两条坐标轴围成，它的面积4π=S 。

算出了S 的近似值，它的4倍就是π的近似值。

而扇形面积S 实际上就是定积分4112π=-⎰dx x 。

与π有关的定积分有很多，比如211x +的定积分411102π=+⎰dx x 就比21x -的定积分更容易计算，更适合于用来计算π。

一般地，要计算定积分()dx x f ba ⎰，也就是计算曲线()x f y =与直线b x a x y ===,,0所围成的曲边梯形G 的面积S 。

为此，用一组平行于y 轴的直线()b x x x x x a n i x x n n i =<<<<<=-≤≤=-1210,11 将曲边梯形T 分成n 个小曲边梯形，总面积S 分成这些小曲边梯形的面积之和。

如果取n 很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它上方的边界()()i i x x x x f ≤≤-1近似的看作直线段，将每个小曲边梯形近似的看作梯形来求面积，就得到梯形公式。

如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似的看作抛物线段，就得到辛普森公式。

具体公式如下：梯形公式 设分点11,,-n x x 将积分区间],[b a 分成n 等份，即()n i n a b i a x i ≤≤-+=0,/。

本科生实验报告实验课程蒙特卡罗模拟学院名称核技术与自动化工程学院专业名称核技术及应用学生姓名王明学生学号**********指导教师邮箱****************实验成绩二〇一七年九月二〇一八年一月实验一、选择一种编程语言模拟出π的值一、实验目的1、理解并掌握蒙特卡罗模拟的基本原理；2、运用蒙特卡洛思想解决实际问题；3、分析总结蒙特卡洛解决问题的优缺点。

二、实验原理用蒙特卡洛思想计算π的值分为如下几部：第一步构建几何原理：构建单位圆外切正方形的几何图形。

单位圆的面积为S0=π，正方形的面积S1=4；第二步产生随机数进行打把：这里用MATLAB产生均匀随机数。

分别生产均匀随机数(x,y)二维坐标。

X,y的范围为-1到1.总共生成N个坐标(x,y).统计随机生成的坐标(x,y)在单位圆内的个数M。

第三步打把结构处理：根据S0/S1=M/N计算出π的值。

因此π=4*M/N。

第四步改变N的值分析π的收敛性：总数1000开始打把，依次增长10倍到1百万个计数。

三、实验内容1、用matlab编写的实验代码，总计数率为1000。

zfx_x=[1,-1,-1,1,1];zfx_y=[1,1,-1,-1,1];plot(zfx_x,zfx_y)axis([-3 3 -3 3]);hold on;r=1; theta=0:pi/100:2*pi;x=r*cos(theta); y=r*sin(theta);rho=r*sin(theta);figure(1)plot(x,y,'-')N=1000;mcnp_x=zeros(1,N);mcnp_y=zeros(1,N);M=0;for i=1:Nx=2*(rand(1,1)-0.5);y=2*(rand(1,1)-0.5);if((x^2+y^2)<1)M=M+1;mcnp_x(i)=x;mcnp_y(i)=y;endendplot(mcnp_x,mcnp_y,'.')PI1=4*M/N;2、用matlab绘制的图形四、实验结果1.当模拟总计数为1000时，某次计算结果： PI=3.128。

Ramanujan公式1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。

这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。

1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。

3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法Gauss-Legendre公式：初值：重复计算：最后计算：这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。

1999年9月Takahashi和Kanada用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。

4、Borwein四次迭代式：初值：重复计算：最后计算：这个公式由Jonathan Borwein 和Peter Borwein 于1985年发表，它四次收敛于圆周率。

5、Bailey-Borwein-Plouffe 算法014211()1681848586n n n n n n π∞==---++++∑这个公式简称BBP 公式，由David Bailey, Peter Borwein 和Simon Plouffe 于1995年共同发表。

它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n 位，而不用计算前面的n-1位。

这为圆周率的分布式计算提供了可行性。

1997年，Fabrice Bellard 找到了一个比BBP 快40％的公式：第三部分：对于π的几种计算的研究和讨论： 1、数值积分法（I ）利用积分公式⎰-=10214dx x π计算πn=10 ans =; n=20 ans =; n=50 ans =; n=100 ans =; n=200 ans =; n=500 ans =; n=1000 ans =; n=2000 ans =;半径为1的圆称为单位圆，它的面积等于π。

只要计算出单位圆的面积，就算出了π。

一、实验目的1. 了解π的定义及其重要性。

2. 掌握使用不同方法计算π的原理和步骤。

3. 比较不同方法计算π的精度和效率。

二、实验原理π（派）是一个数学常数，表示圆的周长与直径的比值。

在数学、物理、工程等领域中，π具有广泛的应用。

π的近似值通常取3.14159，但实际上π是一个无理数，其小数位数无限不循环。

本实验通过以下几种方法计算π的近似值：1. 牛顿迭代法2. 阿基米德法3. 蒙特卡洛法三、实验步骤1. 牛顿迭代法（1）选择初始值x0，通常取x0=3。

（2）根据牛顿迭代公式x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)计算下一个近似值。

（3）重复步骤（2），直到满足精度要求。

2. 阿基米德法（1）在坐标轴上画一个半径为1的圆。

（2）画一个内接正六边形，计算其面积S1。

（3）画一个外切正六边形，计算其面积S2。

（4）计算π的近似值：π ≈ 6(S2 - S1)。

3. 蒙特卡洛法（1）在坐标轴上画一个半径为1的圆。

（2）随机生成N个点，计算其中落在圆内的点的数量M。

（3）计算π的近似值：π ≈ 4M/N。

四、实验结果与分析1. 牛顿迭代法选择初始值x0=3，精度要求为10^-6。

经过迭代，计算得到π的近似值为3.1415926535。

2. 阿基米德法选取内接正六边形的边长为1，外切正六边形的边长为2。

计算得到π的近似值为3.1415926535。

3. 蒙特卡洛法选取N=10000，计算得到π的近似值为3.1415926535。

三种方法计算得到的π近似值相差不大，但牛顿迭代法和阿基米德法在计算过程中具有较高的精度。

蒙特卡洛法虽然精度较低，但计算简单，适合大规模计算。

五、实验结论1. 本实验通过三种方法计算π的近似值，结果表明，牛顿迭代法和阿基米德法具有较高的精度。

2. 蒙特卡洛法虽然精度较低，但计算简单，适用于大规模计算。

3. π在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，掌握计算π的方法具有重要意义。

π的计算公式简单方法π是一个著名的数学常数，它代表圆的周长与直径的比值，也被称为圆周率。

在数学中，π是一个重要的数，它出现在许多公式中，如圆的面积公式、弧长公式、三角函数公式等。

因此，计算π的方法一直备受关注。

在过去，人们采用的是几何方法和机械方法来计算π，这些方法比较繁琐且耗时。

随着计算机技术的发展，人们开始使用计算机来计算π，但这仍然需要很高的计算能力和时间。

如今，有许多简单的方法可以用来计算π，这篇文章将介绍其中一种简单的方法。

该方法是由印度数学家拉马努金提出的，其基本思想是使用无穷级数来计算π。

这个级数是著名的莱布尼茨级数，它的形式如下：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...在这个级数中，每个项都是相继加或减的奇数分数，随着项数的增加，级数的和越来越接近π/4。

因此，我们可以通过计算这个级数来得到π的近似值。

下面是通过计算前几项级数得到的π的近似值：1项：π/4 ≈ 12项：π/4 ≈ 1 - 1/3 = 2/33项：π/4 ≈ 1 - 1/3 + 1/5 = 8/154项：π/4 ≈ 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 = 16/355项：π/4 ≈ 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 = 128/315 可以看出，随着项数的增加，计算得到的π的近似值越来越接近π的真实值。

当项数无限增加时，级数的和将趋近于π/4，因此，我们可以通过计算足够多的项数来得到更精确的π的近似值。

这个方法虽然简单易行，但也存在一些缺点。

首先，计算出足够多的项数需要一定的时间和计算能力。

其次，级数的收敛速度相对较慢，因此需要计算大量的项数才能达到较高的精度。

总之，计算π的方法虽然多种多样，但采用简单的无穷级数法仍然是一种非常实用的方法。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择不同的计算方法来计算π，以达到更好的效果。

计算π的方法
计算π的方法有多种，其中比较著名的方法有以下几种：
1. 随机抽样法：将一个正方形内切圆的比例定义为π/4，随机产生大量的点，统计落在圆内的点数和总点数，通过比例计算出π的近似值。

2. 蒙特卡罗法：通过随机模拟实验，计算出嵌入在一定区域内的曲线长度，从而得到π的值。

3. 差分法：通过求解圆的面积和正方形面积之差，推导出π的近似值。

4. 马青公式：利用级数展开式计算π的值，具体公式为
π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...
这些方法都可以大致计算出π的值，但精确程度可能有差异，具体取决于计算过程中的误差。

一、实验目的1. 了解派（π）的概念及其在数学中的重要性。

2. 掌握派（π）的计算方法，包括近似值和精确值。

3. 探索派（π）在几何、物理等领域的应用。

4. 通过实验，提高学生的数学思维能力和实践操作能力。

二、实验原理派（π）是数学中一个重要的无理数，表示圆的周长与直径的比值。

派（π）的值约等于3.14159，但它的精确值是无限不循环小数。

在数学、物理、工程等领域，派（π）都有广泛的应用。

三、实验内容1. 派（π）的计算方法2. 派（π）在几何、物理等领域的应用3. 派（π）的近似值与精确值四、实验步骤1. 派（π）的计算方法（1）近似值计算① 用圆的周长除以直径，得到派（π）的近似值。

② 用圆的面积除以半径的平方，得到派（π）的近似值。

（2）精确值计算① 利用公式π=4×（1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...）计算派（π）的精确值。

② 利用公式π=6×（1-1/5+1/7-1/9+1/11-1/13+...）计算派（π）的精确值。

2. 派（π）在几何、物理等领域的应用（1）几何领域① 圆的周长和面积计算。

② 椭圆、双曲线、抛物线等曲线的方程。

（2）物理领域① 圆周运动的速度、加速度计算。

② 力学中的转动惯量、扭矩等计算。

3. 派（π）的近似值与精确值（1）近似值派（π）的近似值有3.14、22/7、355/113等。

（2）精确值派（π）的精确值是无限不循环小数，可以用计算器或计算机软件得到。

五、实验结果与分析1. 派（π）的计算方法（1）近似值计算通过实验，我们得到了派（π）的近似值，如3.14、22/7、355/113等。

（2）精确值计算通过公式计算，我们得到了派（π）的精确值，如3.14159、3.1415926535等。

2. 派（π）在几何、物理等领域的应用在几何领域，我们利用派（π）计算了圆的周长和面积；在物理领域，我们利用派（π）计算了圆周运动的速度、加速度等。

π的计算公式的推导π（pi）是一个著名的数学常数，它表示圆周率，也就是将圆的周长除以圆的直径所得的值。

π的值大约是3.14159，但实际上π的值是无限小数，所以我们通常使用近似值来表示π。

现在我们来看一看π的计算公式的推导过程。

首先，我们可以用一个圆和圆周上的正多边形来求π的值。

在这种情况下，我们假设正多边形的边数为n，正多边形的边长为a，圆的周长为C，圆的直径为d。

根据圆的定义，我们可以得到如下公式：C=πd根据正多边形的定义，我们可以得到如下公式：C=na将这两个公式带入可得：πd=na将圆的直径d带入可得：π=n(a/d)根据正多边形的定义，我们可以得到如下公式：a/d=2sin(180/n)将这个公式带入可得：π=2n sin(180/n)当n趋近于无限大时，sin(180/n)趋近于1，所以π可以近似地表示为：π≈2n这就是π的计算公式的推导过程。

当然，π的计算公式并不止这一个，还有许多其他的计算公式。

比如有比如有一个经典的计算公式，叫做“Leibniz公式”，它可以用来求π的值。

这个公式的形式如下：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+…根据这个公式，我们可以用计算机来求π的值，只需要计算出后面的无限级数的值，再乘以4就可以得到π的值。

当然，这只是其中的一个计算公式，还有很多其他的计算公式，比如“Madhava公式”、“Euler 公式”等等。

这些公式都可以用来求π的值，但是它们的计算方法不尽相同。

总的来说，π是一个著名的数学常数，它的值表示圆的周长与圆的直径的比值。

π的值是无限小数，所以我们通常使用近似值来表示它。

π的计算公式有很多种，比如“Leibniz公式”、“Madhava公式”、“Euler公式”等等，这些公式都可以用来求π的值。

实验3 π的计算实验目的：1．掌握数学实验的方法和过程，学会撰写数学实验报告；2．掌握π的几种计算方法和思想，并能用其中的一些思想方法计算e ； 实验内容：1．描述刘徽割圆术计算π的原理、方法和计算步骤，并编写实现计算的函数式M 文件。

采取不同的分割计算π的近似值，并将计算的结果与较准确的π值进行比较，对算法进行分析。

2．编写采用级数展开式1114(1)21n i n π∞-==--∑ 和 1212111114(1)2123n n n i n π∞---=⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭∑ 计算π的函数式M 文件。

调用编写的程序，尝试n 取不同整数以求π的近似值，并将计算的结果与较准确的π值进行比较，对算法进行分析和比较。

3．描述Monte Carlo 方法计算π的原理、方法和计算步骤，并编写实现计算的函数式M 文件。

调用编写的程序计算π的近似值，并将计算的结果与较准确的π值进行比较，并对算法进行分析。

4．给出两种计算超越数e 的方法，并通过数值计算实验进行算法分析。

实验仪器与软件：1．CPU 主频在2GHz 以上，内存在512Mb 以上的PC ；2．Matlab 2010a 及以上版本。

实验讲评：实验成绩：评阅教师：20 年 月 日实验3 π的计算一、计算π的刘徽割圆术function capi(n)a(1)=1;for i=i:n-1a(i+1)=sqrt(2-sqrt(4-a(i)^2));endS=3*2^(n-1)*a(n)运行结果改进后function calpi1(n)a(1)=sym(1);%ÉèΪ·ûºÅ¶ÔÏófor i=1:n-1a(i+1)=sym(sqrt(2-sqrt(4-a(i)^2)));%ÉèΪ·ûºÅ¶ÔÏóendS=3*2^(n-1)*a(n);vpa(S,50)运行结果二、function calpi2(n) s=0;for i=1:nif mod(i,2)==0s=s-1/(2*i-1);elses=s+1/(2*i-1);endends=4*s运行结果改进后function calpi3(n)s=0;for i=1:nif mod(i,2)==0s=s-1/(2*i-1)*(1/(2^(2*i-1))+1/(3^(2*i-1))); elses=s+1/(2*i-1)*(1/(2^(2*i-1))+1/(3^(2*i-1))); endends=vpa(4*s,30)运行结果三、function calpi4(n)m=0;for n=1:nif rand(1)^2+rand(1)^2<=1 m=m+1;endends=4*m/n运行结果四、（1）使用泰勒级数的方法进行计算。