高一数学上学期第二次月考试卷

2022-2023学年江苏省南通中学高一上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}21,R ,|A xx x B x x a ==∈=≥∣，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．()1,+∞ C ．(],1-∞- D ．[)1,+∞【答案】C【分析】根据A B ⊆列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】依题意{}1,1A =-，{}|B x x a =≥， 由于A B ⊆，所以1a ≤-， 即a 的取值范围是(],1-∞-. 故选：C2．已知角θ的终边经过点()2,3-，则sin θ=（ ）A ．BC ．D 【答案】A【分析】由任意角的三角函数的定义即可得出答案. 【详解】因为角θ的终边经过点()2,3-，所以sin θ=故选：A.3．下列运算正确的是（ ） A ．lg2lg502⋅= B ．11552log 10log 0.252+=C ．4251log 3log log 82⋅⋅= D ．()log 12=-【答案】C【分析】结合基本不等式、对数运算、对数函数的性质等知识求得正确答案. 【详解】22lg2lg50lg100lg2lg50122+⎛⎫⎛⎫⋅<== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项错误.1511111555552log 10log 0.25log 100log 0.25log 25log 10+=+<==，B 选项错误.32242544355321log3log log8log3log5log8log3log5log832⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅234211131log8log233322===⨯=，C选项正确.())2111log1log=))2111log12-==-，D选项错误.故选：C4．在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P位于第（）象限A．一B．二C．三D．四【答案】D【分析】运用诱导公式计算出P点坐标的符号就可判断出P点所在的象限.【详解】()tan2022tan5360222tan2220︒︒︒︒=⨯+=>，()sin2022sin5360222sin2220︒︒︒︒=⨯+=<，()tan2022,sin2022P︒︒∴在第四象限；故选：D.5．设函数()f x的定义域为()1,3-，则函数()()()1ln1f xg xx+=-的定义域为（）A．()2,1-B．()()2,00,1-⋃C．()0,1D．()(),00,1-∞⋃【答案】B【分析】要使()g x有意义，根据抽象函数的定义域、对数真数不为0、分母不为0可得到答案. 【详解】要使()()()1ln1f xg xx+=-有意义，只需1131011xxx-<+<⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，即221xxx-<<⎧⎪<⎨⎪≠⎩，解得20x-<<或01x<<，则函数()g x的定义域为()()2,00,1-⋃.故选：B.6．已知函数()y f x=的图象如图所示，则此函数可能是（）A ．()cos 22x xxf x -=-B ．()cos 22x x xf x -=-C ．()sin 22x xxf x -=-D ．()sin 22x xxf x -=-【答案】A【分析】由图象可得()y f x =为奇函数，故排除C ，D ，再结合图象求得0x >时，函数的第一个零点为π2x =，根据π3π22x <<时，函数的正负和题干图象即可得答案. 【详解】解：由图象可得()y f x =为奇函数， 对于C ，()sin 22xx x f x -=-，所以()sin(-)sin ()2222x x x x x xf x f x ---===--为偶函数，故排除； 对于D ，()sin 22x xx f x -=-，所以()sin(-)sin ()2222x x x x x x f x f x ---===--为偶函数，故排除； 对于A ，因为()cos 22x x xf x -=-，所以()cos(-)cos ()2222x x x xx x f x f x ---==-=---，为奇函数； 对于B ，因为()cos 22x xx f x -=-，所以()cos(-)cos ()2222x x x x x xf x f x ---==-=---，为奇函数； 因为当0x >时，22x x ->，即220x x -->， 当π2x =时，πcos cos02x ==， 所以当0x >时，函数的第一个零点为π2x =， 当π3π22x <<时, cos 0x <, 所以()0f x <，而此时函数()f x 的图象位于x 轴下方， 故A 选项的解析式符合. 故选：A.7．已知函数()2f x x x =，当[]2,2x ∈-时，()()83f a x f x --，则实数a 的取值范围是（ ）A ．][(),128,∞∞--⋃+B ．[]12,8-C ．][(),04,∞∞-⋃+D ．[]0,4【答案】D【分析】由解析式确定函数的奇偶性与单调性，并对函数式变形，然后利用性质化简不等式，转化为求函数的最值，从而得参数范围．【详解】首先22()()f x x x x x -=--=()f x =，()f x 为偶函数，0x ≥时，3()f x x =是增函数，22(2)(2)288()f x x x x x f x ===，因此不等式()()83f a x f x --先化为()(62)f a x f x -≤-，()f x 是偶函数，则有()(62)f a x f x -≤-，又0x ≥时，3()f x x =是增函数，因此62a x x -≤-，[2,2]x ∈-，620x ->，因此有62a x x -≤-，2662x a x x -≤-≤-，366x a x -≤≤-，所以366x a x -≤≤-对[2,2]x ∈-恒成立，360x -≤（2x =时取等号），64x -≥（2x =时等号成立），所以04a ≤≤． 故选：D ．8．已知ln 1a a =，若1,ln5,e log 2a a x a y a z +==⋅=⋅，其中e 为自然对数的底数，则（ ）A ．y x z <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．x y z <<【答案】B【分析】先判断出a 的取值范围，然后结合差比较法、放缩法判断出,,x y z 的大小关系. 【详解】依题意，ln 1a a =，则1a >，1ln a a=， 画出()1ln ,0y x y x x==>的图象如下图所示，由图可知，两个函数有1个交点， 构造函数()1ln f x x x=-，则()f x 在()0,∞+上递增，()()11110,2ln 2022f f =-<=->=， 所以存在()()1,2,0a f a ∈=，即a 的取值范围是()1,2. ln ln 1,e a a a a a a ===，所以1e a a x a a a a +==⋅=⋅，而21ln e ln 5ln e 2e =<<=<，所以()e ln5e ln50,x y a a a x y -=⋅-⋅=->>.由于()()e e log 2e log 2e log log 2aa a a a x z a a a -=⋅-⋅=⋅-=⋅-()e log e log 20a a =⋅->，所以>x z ，由于1e 2.52222224232255>=⨯==>=， 所以e 1ln5ln 5log 5log 2elog 2ln a a a y a z a=⋅=⋅=<== 所以y z x <<. 故选：B【点睛】比较代数式的大小的方法有：利用函数的单调性比较大小，这种方法要求掌握基本初等函数的性质；利用差比较法比较大小或利用商比较法比较大小，这种方法先作差后，判断得到的式子的符号，从而确定大小关系.二、多选题9．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.已知集合M ={-1，1，2，4}，N ={1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ） A ．2y x = B ．2yxC ．2x y =D ．2log y x =【答案】BC【分析】根据选项中的解析式依次判断即可.【详解】对选项A ，当4x =时，8y N =∉，故A 错误； 对选项B ，任意x M ∈都有2y x N =∈，故B 正确. 对选项C ，任意x M ∈都有2x y N =∈，故C 正确. 对选项D ，当1x =时，0y N =∉，故D 错误； 故选：BC10．设0a >，0b >，且a b ，则“2a b +>”的一个必要条件可以是（ ）A ．332a b +>B ．222a b +>C ．1ab >D ．112a b+>【答案】AB【分析】题中为必要条件，则2a b +>能推出选项，逐一判断 【详解】对于A ，若2a b +>，则()()()()()()()22233223324a b a b a b a ab b a b a b ab a b a b ⎡⎤+⎡⎤+=+-+=++->++->⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦成立； 对于B ，若2a b +>，则()22222a b a b++>>，成立；对于C ，22a b ab +⎛⎫< ⎪⎝⎭，无法判断出1ab >；对于D ，2112a b a b+>+，且()114a b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，因为2a b +>，所以不能得出11a b +与2的大小关系. 故选：AB11．已知x 的值使下列各式分母均不为零，则其中值总相等的式子有（ ） A ．sin 1cos xx-B ．1cos sin 1cos sin x xx x -++-C ．cos sin 1sin cos 1x x x x -++-D ．1cos sin 1cos sin x x x x++-+【答案】ACD【分析】利用特殊值排除错误选项，结合同角三角函数的基本关系式证明相等的式子. 【详解】令π3x =，A选项，πsin32π11cos 132=--B选项，ππ1cossin 1333ππ1cos sin 33-+====+- C选项，ππcossin 13133ππsin cos 133-+====+-，D选项，ππ1cossin 3133ππ1cos sin 33+++===-+所以B 选项排除.由题意可得1cos 0x -≠，则cos 1x ≠；若sin 0,x =则cos 1x =-，则1cos sin 0x x +-=与题意不符，故sin 0,x ≠由()()22sin 1cos 1cos 1cos x x x x =-=+-，得sin 1cos 1cos sin x xx x +=-，令sin 1cos 1cos sin x x k x x+==-，依题意可知1k ≠±， 则()()()()1sin cos sin 11cos sin sin sin sin sin cos 1sin cos 11cos cos 111cos 1cos k x x x x x k x xx x x x x k x x k x x--++--====+-+--+----，()()()()1sin 1cos sin sin sin sin 1cos sin 1cos 1cos 11cos 1cos k x x x k x xx x x x k x k x x++++===-+-+-+--，所以ACD 选项的值总相等. 故选：ACD12．下列关于函数图象的对称性描述正确的有（ ）A ．若()()222f x f x -=-，则函数()f x 的图象关于直线=1x -对称B ．若()()2223f x f x -+-=，则函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()22y f x =-与()2y f x =-的图象关于直线1x =对称D ．函数()322y f x =--与()2y f x =-的图象关于点13,22⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ABD【分析】根据对称性对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，由()()222f x f x -=-，以x 替换2x 得()()2f x f x -=-， 以1x +替换x 得()()()121f x f x +-=-+，即()()11f x f x -+=--，所以函数()f x 的图象关于直线=1x -对称，A 选项正确. B 选项，由()()2223f x f x -+-=，以x 替换2x 得()()23f x f x -+-=， 以1x +替换x 得()()()1213f x f x +-+-+=，即()()113f x f x -++--=，所以函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，B 选项正确.C 选项，对于函数()22y f x =-，以2x -替换x 得()()()22222y f x f x =--=-+， 所以函数()22y f x =-与()22y f x =-+的图象关于直线1x =对称，C 选项错误.D 选项，对于函数()322y f x =--，以1x -替换x ，以3y -替换y 得： ()()33212y f x -=---，即()()332,2y f x y f x -=--=-，所以函数()322y f x =--与()2y f x =-的图象关于点13,22⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 选项正确.故选：ABD三、填空题13．已知扇形的圆心角为6π,面积为3π,则扇形的半径是________．【答案】2【分析】根据扇形的面积公式可以直接求解.【详解】设扇形的圆心角为α,半径为r ,扇形的面积公式为： 22211422326S r r r r ππα=⇒=⋅⋅⇒=⇒=.故答案为：2【点睛】本题考查了扇形的面积公式的应用,考查了数学运算能力.14．已知函数()f x 满足以下三个条件①()21f =-，②在定义域()0,∞+上是减函数，③()()()f x y f x f y ⋅=+，请写出一个同时符合上述三个条件的函数()f x 的解析式__________. 【答案】12()log f x x =（答案不唯一）【分析】由题意在学过的函数中找一个满足三个条件的函数即可.【详解】由()()()f x y f x f y ⋅=+可考虑对数函数()log a f x x =，又因为()f x 在定义域(0,)+∞上是减函数，所以()log a f x x =的底数(0,1)a ∈， 又因为(2)1f =-，所以12a =，所以12()log f x x =. 故答案为：12()log f x x=（答案不唯一）.15．已知函数()2log 421x xy a a =+⋅+-的值域为R .则实数a 的取值范围是__________.【答案】1a >或1)a ≤-【分析】根据题意可得()421x x g x a a =+⋅+- 能取到所有的正数，采用换元法令2,0x t t =>，则可得2()1,0h t t at a t =++->能取到所有的正数，讨论a 的取值，结合二次函数性质即可求得答案.【详解】若使得函数()2log 421x xy a a =+⋅+-的值域为R ，令()421x x g x a a =+⋅+-，则()421x x g x a a =+⋅+-能取到所有的正数， 令2,0x t t =>，令2()1,0h t t at a t =++->， 则2()1,0h t t at a t =++->能取到所有的正数， 当02a-≤，即0a ≥时，()h t 在0t >时递增， 故需满足(0)0h <，即10,1a a -<∴>， 当>02a-，即a<0时，需满足()02a h -≤，即2()()1022a aa a -+-+-≤，解得1)a ≤-综合以上可得实数a 的取值范围是1a >或1)a ≤-，故答案为：1a >或1)a ≤-．16．关于x 1x <-的解集为__________. 【答案】[1,)+∞【分析】将不等式等价转化之后两边同时平方，然后化简，再次平方即可求解.【详解】1x -可化为：1x <-+222(21)1(1)2(1x x x x -+<-+-+，整理可得：(1)(x x x -<-10x x -≥⎧>，解得：1x ≥， 所以原不等式的解集为[1,)+∞， 故答案为：[1,)+∞.四、解答题17．已知集合(){}2211,2201x A xB x x m x m x ⎧⎫+=<=+--<⎨⎬-⎩⎭. (1)当1m =时，求A B ⋃；(2)已知A B B =，求实数m 的取值范围. 【答案】(1){}21x -<< (2)[]2,4-【分析】（1）计算{}21A x =-<<，112B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，再计算并集得到答案.（2）A B B =，故B A ⊆，考虑B =∅和B ≠∅两种情况，计算得到答案.【详解】（1）当1m =时，{}2121012B x x x x x ⎧⎫=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，{}212102111x x A x x x x x ⎧⎫⎧⎫++=<=<=-<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭，故{}21A B x =-<<（2）A B B =，故B A ⊆，(){}()(){}2220120B x x m x m x x x m =+--<=-+<，对应方程的根为1和2m -， 当B =∅时，12m-=，2m =-； 当B ≠∅时，12m -<且22m-≥-，解得24m -<≤. 综上所述：24m -≤≤18．已知函数()()()sin πcos πf x x x =+-，且π04x <<. (1)若()14f x =，求πcos cos 2x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值；(2)若函数()g x 满足()()tan g x f x =，求14g ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案】(2)417【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求解；(2)利用同角三角函数的基本关系求解. 【详解】（1）()()()sin πcos πsin (cos )sin cos f x x x x x x x =+-=-⋅-=， 因为()14f x =，所以1sin cos 4x x =，πcos cos cos sin 2x x x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，因为()2221cos sin cos sin 2sin cos 2x x x x x x -=+-=， 又因为π04x <<，所以cos sin x x >，所以cos sin x x -=，所以πcos cos cos sin 2x x x x ⎛⎫++=-=⎪⎝⎭（2）令01tan 4x =，则00sin 1cos 4x x =，又因为2200sin cos 1x x +=， 由002200sin 1cos 4sin cos 1x x x x ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得00sin cos x x ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩00sin cos x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为0π04x <<，所以00sin cos x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以004sin cos 17x x =， 所以000014(tan )()sin cos 417g g x f x x x ⎛⎫==== ⎪⎝⎭.19．设0.66log 3,log 3m n ==. (1)试用,m n 表示lg18； (2)求证：2mn m n mn <+<. 【答案】(1)m mnm n+- (2)证明过程见解析.【分析】（1）根据题目中的整数底数6进行化归，并利用换底公式即可得解;（2）证明0mn <后利用换底公式和适当放缩即可求解. 【详解】（1）6666666log 18log (63)1log 31lg18log 10log 10log 10log 10n⨯++====，而0.6log 3m =， 所以66log 3log 0.6m =，即6log 0.6nm =， 所以66log 10nm=，即61log 10nm =-，故6log 101n m=-， 故611lg18log 101n n m mnn m n m+++===--.（2）()()0.66log 3log 30mn =⨯<,33330.661111log 0.6log 6log (0.66)log 3.6log 3log 3m n mn m n +=+=+=+=⨯=, 而3331log 3log 3.6log 92=<<=， 所以12m nmn+<<， 又因为0mn <， 所以2mn m n mn <+<. 故原式得证.20．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t ､人的反应时间1t ､系统反应时间2t ､制动时间3t ，相应的距离分别为0d ，1d ，2d ，3d ，如下图所示.当车速为v （米/秒），且(]0,33.3v ∈时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[]1,2k ∈）.阶段 0.准备 1.人的反应 2.系统反应 3.制动 时间10.8t =秒20.2t =秒3t距离010d =米1d2d2320v d k =米(1)请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ；并求当2k =，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？【答案】(1)()21020v d v v k=++；2秒(2)20千米/小时【分析】（1）利用()0123d v d d d d =+++求得函数关系式，并利用基本不等式求得最短时间. （2）化简不等式()50d v <，利用分离常数法，结合一元二次不等式的解法求得v 的取值范围. 【详解】（1）由题意得()0123d v d d d d =+++， 所以()22100.80.2102020v v d v v v v k k =+++=++； 当2k =时，()21040v d v v =++，()10101121124040v v t v v v =++≥+⨯+=（秒）. 即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒.（2）根据题意要求对于任意[]1,2k ∈，()50d v <恒成立， 即对于任意[]1,2k ∈，2105020v v k++<，即2140120k v v <-恒成立， 由[]1,2k ∈，得111,204020k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 所以2140120k v v<-， 即2401120v v ->， 即2208000v v +-<，解得4020v -<<. 所以020v <<.故要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在20千米/小时.21．已知函数()()22log 2,R f x x mx m =-∈.(1)记集合(){01,0}A xf x x =≤≤>∣，若[],A a b =，求证：1b a -≤； (2)设函数()(),32,3f x xg x x ⎧≥=⎨-<⎩，若存在实数0x ，使()()00g x g x -=-，求实数m 取值范围.【答案】(1)证明详见解析 (2)5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）解不等式()01f x ≤≤，根据其解集为[],a b ，求得b a -，进而证得不等式成立. （2）将问题转化为()2f x =在区间[)3,+∞有解，结合分离常数法以及函数的单调性求得m 的取值范围.【详解】（1）依题意集合()[]{01,0},A xf x x a b =≤≤>=∣， 由()220log 21x mx ≤-≤得2122x mx ≤-≤，222122x mx x mx ⎧-≥⎨-≤⎩，即22210220x mx x mx ⎧--≥⎨--≤⎩，由于0x >m m ≥，所以不等式2210x mx --≥解得x m ≥不等式 2220x mx --≤解得0x m <≤所以不等式组22210220x mxx mx⎧--≥⎨--≤⎩的解为m x m≤≤，所以a m b m==所以b a-=1=≤==.（2）依题意，函数()(),32,3f x xg xx⎧≥=⎨-<⎩，且存在实数x，使()()00g x g x-=-，所以()2f x=在区间[)3,+∞有解，即()22log22x mx-=在区间[)3,+∞有解，即()222log22log4x mx-==，2224,240x mx x mx-=--=，2442xm xx x-==-，函数4y xx=-在[)3,+∞上递增，所以45523,336m m≥-=≥，所以m的取值范围是5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本小题的第一问比较抽象和难理解，关键点是解对数不等式()01f x≤≤，大胆往下计算，即可求得,a b.第二问类似奇函数图象关于原点对称，突破口在于将问题进行转化，转化为()2f x=，研究方程有解来进行求解.22．若函数()f x与()g x对任意1x D∈,总存在唯一的2x D∈,使()()12f xg x m=成立,则称()f x是()g x在区间D上的“m阶伴随函数”;当()()f xg x=时,则称()f x为区间D上的“m阶自伴函数”.(1)若函数13xf x为区间[],(0)a b b a>>上的“1阶自伴函数”,求22aba b+的最大值;(2)若()44f xx=+是()222g x x ax a=-+在区间[]0,2上的“2阶伴随函数”,求实数a的取值范围.【答案】(1)25(2)3,2⎡⎡⎣⎣【分析】(1)根据函数新定义,将“1阶自伴函数”转化为值域之间的关系,列出不等式即可找到,a b之间的关系,再将22aba b+中分母一次项中的b乘以2a b+,再分子分母同除以ab,用基本不等式即可,注意取等条件;(2)先将“2阶伴随函数”转化为值域之间的关系,求出()2f x 值域为[]2,4,即()g x 在[]0,2的值域的包含[]2,4,且()g x 值域所对应的自变量唯一,结合二次函数图象的性质,分类讨论即可.【详解】（1）解:由题知13x f x为区间[](),0a b b a >>上的“1阶自伴函数”,则任意[]1,x a b ∈,总存在唯一的[]2,x a b ∈,使()()121f x f x =,()130x f x -=≠,则只需使()()121f x f x =成立即可, ()f x 单调递增,()()1111211,3,33,3a b b a f x f x ----⎡⎤⎡⎤∈∈∴⎣⎦⎣⎦, 因为任意[]1,x a b ∈,总存在唯一的[]2,x a b ∈,使()()121f x f x =成立, 即11113,33,3a b b a----⎡⎤⎡⎤⊆⎣⎦⎣⎦,则11113333b a a b ----⎧≤⎨≥⎩, 即1111b a a b -≤-⎧⎨-≥-⎩,即22a b a b +≥⎧⎨+≤⎩, 故2a b +=, 则222242ab aba b a b=++()224ab a a b b =++ 2224aba ab b =++241a b b a =++≤25=, 当且仅当4a bb a=,即423b a ==时取等,故22ab a b+的最大值为25; （2）由题()44f x x =+是()222g x x ax a =-+在区间[]0,2上的“2阶伴随函数”,即任意[]10,2x ∈,总存在唯一的[]20,2x ∈,使()()122f x g x =成立, 即()()212g x f x =成立, 即()2f x 在[]0,2的值域是()g x 在[]0,2的值域的子集,且()g x 值域所对应的自变量唯一, ()()424,42x f x x f x +=∴=+, ()[]22,3f x ∴∈, ()()2222g x x ax x a a ==--+, ()g x ∴对称轴为x a =,①0a ≤时,()g x 在[]0,2上单调递增, 只需()()0223g g ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩, 即()22223a a ⎧≤⎪⎨-≥⎪⎩, 解得:0a ≤,②2a ≥时,()g x 在[]0,2上单调递减, 只需()()0322g g ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩, 即()22322a a ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩, 解得:22a ≤≤,③01a <<时,()g x 在[]0,a 上单调递减,[],2a 单调递增, 只需()()0223g g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩, 即()22223a a ⎧<⎪⎨-≥⎪⎩,解得:02a <≤④12a <<时,()g x 在[]0,a 上单调递减,[],2a 单调递增, 只需()()0322g g ⎧≥⎪⎨<⎪⎩, 即()22322a a ⎧≥⎪⎨-<⎪⎩,解得2a <,⑤1a =时不满足唯一,故舍,综上:3,2a ⎡⎡∈⎣⎣.。

陕西省安康市高新中学2024-2025学年高一上学期第二次月考（10月）数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2,3,5,1,4,5,7A B ==，则（）A ．A B =∅ B ．A B ⊆C ．A B A= D ．5A B∈ 2．已知函数()()21,223,2f x x f x x x x ⎧->-=⎨+-≤-⎩则()()1f f =（）A ．5B ．0C ．-3D ．-43．已知不等式210ax bx +->的解集为11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则不等式20x bx a --≥的解集为（）A ．(][),32,-∞--+∞ B ．[]3,2--C ．[]2,3D ．][()–,23,∞+∞ 4．设,,a b c 为实数，且0a b <<，则下列不等式正确的是（）A ．11a b <B ．22ac bc <C ．b a a b>D ．22a ab b >>5．已知幂函数()2()1mf x m m x =+-的图像与坐标轴没有公共点，则(2)f =（）A ．12BC ．14D．6．已知()e ex x xf x a -=+是偶函数，则a =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．27．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为223y x =-，值域为{}1,5-的“孪生函数”共有（）A ．10个B ．9个C ．8个D ．4个8．已知数2,0,()1,04,x x f x x x+≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩若m n <且()()f n f m =，则n m +的取值范围是（）A ．(1,2]B ．90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,24⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3,24⎛⎫⎪⎝⎭二、多选题9．下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题“若1x <，则21x <”的是真命题C ．设,x y ∈R ，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件10．定义在R 上的函数()f x ，对任意的1x ，2x ∈R ，都有()()()12121f x x f x f x +=+-，且当0x >时，()()0f x f >恒成立，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+C ．函数()f x 为R 上的增函数D ．函数()()1g x f x =-为奇函数11．设正实数m ，n 满足1m n +=，则（）A ．12m n+的最小值为3+B C的最大值为1D ．22m n +的最小值为12三、填空题12．已知集合A ＝{1，3}，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝.13．已知函数()f x 的定义域是[]0,4，则函数y =的定义域是.14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f -=，若对任意的()12,,0x x ∈-∞，当12x x ≠时，都有()()1122120x f x x f x x x ⋅-⋅<-成立，则不等式()0f x >的解集为.四、解答题15．已知集合{}250A x x x =-≤，(){}24B x x a =->.(1)若0a =，求A B ；(2)若“x A ∈”是“x B ∈R ð”的必要条件，求实数a 的取值范围16．已知幂函数()f x 与一次函数()g x 的图象都经过点()4,2，且()()95f g =.(1)求()f x 与()g x 的解析式；(2)求函数()()()h x g x f x =-在[]0,1上的值域.17．已知函数()21x bf x x +=-是定义域()1,1-上的奇函数.（1）确定()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间()1,1-上是减函数；（3）解不等式()()10f t f t -+<.18．设函数()y f x =是定义在()0∞，+上的减函数，并且满足()()()f xy f x f y =+，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求()1f 和()2f 的值（2）如果()128x f f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，求x 的取值范围19．已知函数()311a f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数.(1)证明：函数()f x 在()0,∞+上单调递增；(2)若不等式()()21f x m f x ->+对任意的(]0,2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.。

高一上学期第二次月考数 学一. 选择题(每小题5分,满分60分)1.已知集合{}2,1=A ，集合B 满足{}32,1，=B A ，则集合B 有A.4个B.3个C.2个D.1个 2.下列函数中与函数x y =相等的函数是A.2)(x y =B.2x y =C.x y 2log 2=D.x y 2log 2= 3.函数)1lg(24)(2+--=x x x f 的定义域为A. ]21，（-B.]22[，-C. ]2001，（），（ -D. ]2002[，（）， - 4.若1.02=a ，21.0=b ，1.0log 2=c ，则（ ）A.c b a >>B. c a b >>C. b a c >>D. a c b >> 5. 方程2=-x e x 在实数范围内的解有（ ）个A. 0B.1C.2D.36. 若偶函数)(x f 在[]2,4上为增函数，且有最大值0，则它在[]4,2--上 A ．是减函数，有最小值0 B ．是减函数，有最大值0 C ．是增函数，有最小值0 D ．是增函数，有最大值07. 设函数330()|log |0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，则())1(-f f 的值为A.1-B.21C. 1D. 2 8. 已知函数()y f x x =+是偶函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ） A ．7- B ．7 C ．5- D ．59. 若幂函数322)(--=a a x x f 在)0(∞+上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. ),3()1,(+∞--∞B.)3,1(-C. ),3[]1,(+∞--∞D. ]3,1[-10.235log 25log log 9⋅=（ ）A.6B. 5C.4D.3 11. 设函数()()0ln 31>-=x x x x f ，则()x f y = ( ) A ．在区间( 1e ，1)、(1，e)内均有零点B ．在区间( 1e，1)、(1，e)内均无零点C ．在区间( 1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间( 1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点12. 若当R x ∈时，函数||)(x a x f =（0>a ，且1≠a ），满足1)(0≤<x f ，则函数|1|log xy a =的图象大致是二.填空题(每小题5分,满分20分) 13. 已知函数)10(,32)(1≠>+=-a a ax f x 且,则其图像一定过定点14. 函数3()2,f x x x n x R =-+∈为奇函数，则n 的值为 ．15. 若定义在(－1,0)内的函数()()1log 2+=x x f a 满足()0>x f ，则a 的取值范围是________．16. 对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]208.1,31.3-=-=，[]22=，定义函数()[]x x x f -=，则下列命题中正确的是 .（填上你认为正确的所有结论的序号）①函数()x f 的最大值为1； ②函数()x f 最小值为0； ③函数()()21-=x f x G 有无数个零点； ④函数()x f 是增函数. 三.解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17. （本小题满分10分）已知集合{}{}m x x C x B x x x A x>=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛<=≤--=|,42121|,02|2.（I ）求()B A C B A R ,； （II ）若C C A = ，求实数m 的取值范围. 18. （本小题满分12分） 计算：（1） 2.5221log 6.25lgln(log (log 16)100+++； (2) 已知14,x x -+=求224x x -+-的值.19. （本小题满分12分）已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,222x mx x x x x x x f 为奇函数. （I ）求()1-f 以及实数m 的值； （II ）写出函数()x f 的单调递增区间； （III ）若()1=a f ，求a 的值.20. （本小题满分12分）当x 满足2)3(log 21-≥-x 时，求函数()1241+-=--x xx f 的最值及相应的x 的值.21. （本小题满分12分）某所中学有一块矩形空地，学校要在这块空地上修建一个内接四边形的花坛（如图所示），该花坛的四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知 AB=a （a ＞2），BC=2，且 AE=AH=CF=CG ，设 AE=x ，花坛面积为y ．（1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； （2）当 AE 为何值时，花坛面积y 最大？22. （本小题满分12分）定义在(0，＋∞)上的函数()x f ，对于任意的()+∞∈,0,n m ，都有()()()n f m f mn f +=成立，当1>x 时，()0<x f .(1)求证：1是函数()x f 的零点； (2)求证：()x f 是(0，＋∞)上的减函数； (3)当()212=f 时，解不等式()14>+ax f .高一数学参考答案1-12ADCDC BCBDA DA13. 16 14. 0 15. 0<a <1216.17.解：（1121116633233232-=⨯⨯⨯⨯= 1111102633332323++-⨯=⨯=（2）原式＝2lg5＋23lg23＋lg5×lg(10×2)＋lg 22＝2lg5＋2lg2＋lg5＋lg5×lg2＋lg 22＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)＝3.18. (1)3.5 (2) 1019.解:根据集合中元素的互异性, 0x ≠ 且0y ≠,则0xy ≠,又A=B,故lg()0xy =,即1xy =①,所以xy y =②或xy x =③,①②联立得1x y ==,与集合互异性矛盾舍去,①③联立得1x y ==(舍去),或者1x y ==-，符合题意，此时22881log ()log 23x y +==. 21. 解：（1）S △AEH =S △CFG =x 2，（1分）S △BEF =S △DGH =（a ﹣x ）（2﹣x ）．（2分）∴y=S ABCD ﹣2S △AEH ﹣2S △BEF =2a ﹣x 2﹣（a ﹣x ）（2﹣x ）=﹣2x 2+（a+2）x ．（5分）由，得0＜x≤2（6分）∴y=﹣2x 2+（a+2）x ，0＜x≤2（7分） （2）当＜2，即a ＜6时，则x=时，y 取最大值．（9分）当≥2，即a≥6时，y=﹣2x2+（a+2）x，在（0，2]上是增函数，则x=2时，y取最大值2a﹣4（11分）综上所述：当a＜6时，AE=时，绿地面积取最大值；当a≥6时，AE=2时，绿地面积取最大值2a﹣4（12分）．22.解：(1)对于任意的正实数m，n都有f(mn)＝f(m)＋f(n)成立，所以令m＝n ＝1，则f(1)＝2f(1)．∴f(1)＝0，即1是函数f(x)的零点．(2) 设0<x1<x2，∵f(mn)＝f(m)＋f(n)，∴f(mn)－f(m)＝f(n)．∴f(x2)－f(x1)＝f(x2x1)．因0<x1<x2，则x2x1>1.而当x>1时，f(x)<0，从而f(x2)<f(x1)．所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．(3) 因为f(4)＝f(2)＋f(2)＝1，所以不等式f(ax＋4)>1可以转化为f(ax＋4)>f(4)．因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以0<ax＋4<4.当a＝0时，解集为 ；当a>0时，－4<ax<0，即－4a<x<0，解集为{x|－4a<x<0}；当a<0时，－4<ax<0，即0<x<－4a，解集为{x|0<x<－4a}．。

武汉六中高一年级第二次月考数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合， ，则（ ）A ．B ．0、1、 3}C ．D ．2．已知，则下列结论正确的是（ ）A ． B ． C ．D ．3．下列函数的最值中错误的是（ ）A ．的最小值为2B ．已知，的最大值是C ．已知，的最小值为3D54．已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（ ）A ． B ．C ．D ．不等式的解集是5．已知函数f (x )＝，在(0，a －5)上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[6，8]B ．[6，7]C ．(5，8]D ．(5，7]6．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4Z ,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N {}14Q x x =-≤≤P Q = {}1,2,4{}03x x ≤≤{}14x x -≤≤0a b c >>>11a b a b+>+b ab a a b+<+c ba c a b>--b c ba c a->-1x x+0x >423x x--2-1x >11x x +-x 20ax bx c ++>{}13x x <<0a <0a b c ++=420a b c ++<20cx bx a -+<113x x x ⎧⎫--⎨⎩⎭或221,143,1x x x x x ⎧-+<⎨-+≥⎩()()4f x x x =+()()2230f a f a +-<a ()3,0-()3,1-()1,1-()1,3-Rt ABC △90C ∠=︒5cm AB =4cm AC =P A 1cm /s A C →C Q A 2cm /s A B C →→C C APQ △2(cm )S P (s)t S t8．已知函数为定义在上的偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．若是的必要不充分条件，则实数a 的值可以为（ ）A ．2B ．C ．D ．010．下列说法正确的是（ ）A ．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式为B ．若函数，则在区间上单调递减C ．若正实数m ，n 满足，则D ．若函数，则对任意，，且，有11．定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ）A ．存在实数，使关于的方程有3个不同的解B ．当时，恒有C ．若当时，的最小值为1，则D ．若关于的方程和的所有实数根之和为0，则或三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知不等式对任意恒成立，则正实数a 的取值范围是 .13．若函数的定义域为，则的定义域为 ．14．设函数的定义域为，满足，且当时，.若()f x R()12,0,x x ∀∈+∞12x x <()()1221212x f x x f x x x -<-()12f =-()00f =()2f x >-[]1,1-()()1,00,1-U ()()1,01,-⋃+∞()1,1-2:60p x x +-=:10q ax +=12-1314,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12y x -=2()f x x -=()f x (,0)-∞1122m n >1122m n --<1()f x x -=1x 2(,0)x ∈-∞12x x ≠()()122f x f x +<122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭R ()f x 22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩k x ()f x k =1211x x -<<<()()12f x f x >(0,]x a ∈()f x 51,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 3()2f x =()f x m =32m =-38m =-191ax x +≥-(0,1)x ∈()21f x -[]3,1-y =()f x R 1(1)()2f x f x +=(0,1]x ∈()(1)f x x x =--对任意，都有，则的取值范围是 .四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知实数集，集合，集合（1）当时，求；（2）设，求实数的取值范围.16．中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速．现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入万元买一套生产设备．预计使用该设备后，前n （）年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理，哪种方案较为合理？并说明理由（注：年平均盈利额）17．已知函数．(1)若，求在上的值域；(2)设，记的最小值为，求的最小值．[,)x m ∈+∞8()9f x ≤m R 2{2150}A x x x =--<{1}B x x a =-<1a =a 160*N n ∈()2102n n -=总盈利额年度()()2231,2f x x x g x x x a x =+-=--+1a =()g x []2,2x ∈-()()()x f x g x ϕ=-()x ϕ()h a ()h a18．已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，．(1)求的值，并证明：当时，；(2)判断的单调性，并证明你的结论；(3)若，求不等式的解集.19．若函数G 在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G 是在上的“美好函数”．(1)下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的美好函数，说明理由．(2)已知函数．①函数G 是在上的“美好函数”，求a 的值；②当时，函数G 是在上的“美好函数”，求t 的值；(3)已知函数，若函数G 是在（m 为整数）上的“美好函数”，且存在整数k ，使得，求a 的值．()f x +R ,a b +∈R ()()()f a f b f ab +=01x <<()0f x >()1f 1x >()0f x <()f x ()21f =-()2110f ax x ax +-++<()m x n m n ≤≤<max y min y max min 1y y -=m x n ≤≤1y x =+|2|y x =2y x =12x ≤≤2:23(0)G y ax ax a a =--≠12x ≤≤1a =1t x t ≤≤+2:23(0)G y ax ax a a =-->221m x m +≤≤+maxminy k y =参考答案：题号12345678910答案B B A C D B C D BCD ACD 题号11 答案ACD12．13．14．15．（1）（2）16．方案二更合理，理由如下：设为前年的总盈利额，单位：万元；由题意可得，方案一：总盈利额，当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利额为万元方案二：平均盈利额为，当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备：总利润为万元；综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要年即可，故方案二更合适．17． (1) (2)18．（1）因为，都有，所以令，得，则，因为时，，所以当时，，则，令，得，所以，证毕.（2）在上单调递减，证明如下：不妨设，则，，令，则，所以，即，所以在上单调递减；[4,)+∞51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦43m ≥-{|3025}x x x -<≤≤<或(,4]-∞()f n n ()()229810216010100160f n n n n n n =---=-+-()()221010016010590f n n n n =-+-=--+5n =()f n 909020110+=()210100160161010010020f n n n n nn n -+-⎛⎫==-++≤-= ⎪⎝⎭16n n=4n =4n =()80f n =8030110+=11043,92⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1-,a b +∈R ()()()f a f b f ab +=1a b ==()()()111f f f +=01x <<()0f x >1x >101x <<1(0f x>1,a x b x ==()()110f x f f x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭()10f x f x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()f x +R 120x x <<1201x x <<12()0x f x >122,x a x b x ==1212()()()x f x f f x x +=1212()()()0x f x f x f x -=-<12()()f x f x >()f x +R（3）由，得，又，所以，由（2）知在上单调递减，所以，所以，所以，当时，不等式为，所以不等式的解集为；当时，不等式为，所以不等式的解集为；当时，不等式为，若时，则，所以不等式的解集为，若时，则，所以不等式的解集为，若时，则，所以不等式的解集为，综上所述：时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，时，不等式的解集为.19．（1）对于①在上单调递增当时，，当时，，∴，符合题意； 对于②在上单调递增当时，，当时，，∴，不符合题意； 对于③在上单调递增当时，，当时，，∴，不符合题意；故①是在上的美好函数；（2）①二次函数对称轴为直线，当时，，当时，，当时，在上单调递增，，，当时，在上单调递减，，，综上所述，或；②二次函数为，对称轴为直线，在上单调递增，在上单调递减，当，，当时，， 当时，．若，在上单调递增，()2110f ax x ax +-++<()211f ax x ax +-+<-()21f =-()()212f ax x ax f +-+<()f x +R 212ax x ax +-+>2(1)10ax a x +-->(1)(1)0ax x +->0a >1()(1)0x x a+->1(,)(1,)a -∞-⋃+∞0a =10x ->(1,)+∞0a <1()(1)0x x a+-<1a =-11a-=∅10a -<<11a ->1(1,a-1a <-11a -<1(,1)a-1a <-1(,1)a-1a =-∅10a -<<1(1,)a-0a =(1,)+∞0a >1(,)(1,)a-∞-⋃+∞1y x =+1x =2y =2x =3y =max min 1y y =-|2|y x =1x =2y =2x =4y =max min 1y y ≠-2y x =1x =1y =2x =4y =max min 1y y ≠-12x ≤≤2:23(0)G y ax ax a a =--≠1x =1x =14y a =-2x =23y a =-0a >2:23(0)G y ax ax a a =--≠()21341y y a a ∴-=---=1a ∴=0a <2:23(0)G y ax ax a a =--≠()21431y y a a ∴-=---=1a ∴=-1a =1a =-2:23(0)G y ax ax a a =--≠223y x x =--1x =223y x x =--(),1∞-x t =2123y t t =--1x t =+()()22212134y t t t =+-+-=-1x =34y =-1t >223y x x =--[],1t t +则，解得（舍去）；若，在上单调递减，在上单调递增，则，解得（舍去），；若，在上单调递减，在上单调递增，则，解得，（舍去）；若，在上单调递减，则，解得（舍去）．综上所述，或；（3）由（2）可知，二次函数对称轴为直线，又，， ，当时，在上单调递增当时取得最大值，时取得最小值，∴，为整数，且，，即的值为5，又∵，，．()22214231y y t t t -=----=1t =112t ≤≤223y x x =--[],1t (]1,1t +()223441y y t -=---=1t =-1t =102t ≤<223y x x =--[],1t (]1,1t +()()2132341y y t t -=----=0t =2t =0t <223y x x =--[],1t t +()22122341y y t t t -=----=0t =0t =1t =2:23(0)G y ax ax a a =--≠1x =221m x m +≤≤+ 1m ∴>3221m x m ∴<+≤≤+221m x m +≤≤+2:23(0)G y ax ax a a =--≠[]2,21m m ++21x m =+2x m =+2max 2min (21)2(21)34484(2)2(2)333y a m a m a m k y a m a m a m m +-+-+====-+-+-++m k 1m >38m ∴+=m max min 1y y =-()()()()22101210135225231a a a a a a ⎡⎤∴+-+--+-+-=⎣⎦164a ∴=。