2013年重庆高考数学试题及答案——文史类(真正的全word解析)

2013年重庆高考数学试题及答案——文史类(真正的全word 解析)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013重庆，文1)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则U(A ∪B )＝( )．A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}2．(2013重庆，文2)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )．A ．存在x0∈R ，使得x02＜0B ．对任意x ∈R ，都有x2＜0C ．存在x0∈R ，使得x02≥0D ．不存在x ∈R ，使得x2＜0 3．(2013重庆，文3)函数21log 2y x =(-)的定义域是( )．A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)4．(2013重庆，文4)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )．A ．6B ．4C ．3D ．25．(2013重庆，文5)执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是( )．A ．3B ．4C ．5D ．66．(2013重庆，文6)下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( ).1 2 3 8 91 2 2 7 9 0 0 3A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.67．(2013重庆，文7)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )．A ．52B ．72C ．154D ．1528．(2013重庆，文8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )．A ．180B ．200C ．220D ．2409．(2013重庆，文9)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝( )．A ．－5B ．－1C ．3D ．410．(2013重庆，文10)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )．A．2⎤⎥⎝⎦ B．2⎫⎪⎪⎣⎭ C．⎫+∞⎪⎪⎝⎭ D．⎫+∞⎪⎪⎣⎭二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．(2013重庆，文11)设复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z|＝__________. 12．(2013重庆，文12)若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝__________. 13．(2013重庆，文13)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为__________．14．(2013重庆，文14)在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA ＝(－3,1)，OB＝(－2，k )，则实数k ＝__________.15．(2013重庆，文15)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(2013重庆，文16)(本小题满分13分，(1)小问7分，(2)小问6分．)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋.(1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.17．(2013重庆，文17)(本小题满分13分，(1)小问9分，(2)、(3)小问各2分．)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得10180ii x==∑，10120ii y==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 为样本平均值．线性回归方程也可写为y bx a =+ .18．(2013重庆，文18)(本小题满分13分，(1)小问4分，(2)小问9分．)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2.(1)求A；(2)设a=S为△ABC的面积，求S＋3cos B cos C的最大值，并指出此时B的值．19．(2013重庆，文19)(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分．)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝π3.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．20．(2013重庆，文20)(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分．)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．21．(2013重庆，文21)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)如图，椭圆的中心为原点O，e ，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.长轴在x轴上，离心率2(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(重庆卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：D解析：∵A ∪B ＝{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，U ＝{1,2,3,4}，∴U (A ∪B )＝{4}，故选D ． 2． 答案：A解析：由全称命题p ：∀x ∈D ，p (x )的否定为⌝p ：∃x 0∈D ，⌝p (x 0)，知选A ． 3． 答案：C 解析：由题知220,log 20,x x ->⎧⎨(-)≠⎩解得2,21,x x >⎧⎨-≠⎩即2,3.x x >⎧⎨≠⎩所以该函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选C ． 4． 答案：B解析：∵由圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4知，圆心的坐标为(3，－1)，半径r ＝2， ∴圆心到直线x ＝－3的距离d ＝|3－(－3)|＝6. ∴|PQ |min ＝d －r ＝6－2＝4，故选B ． 5． 答案：C解析：∵k ＝1，s ＝1＋(1－1)2＝1； k ＝2，s ＝1＋(2－1)2＝2； k ＝3，s ＝2＋(3－1)2＝6； k ＝4，s ＝6＋(4－1)2＝15； k ＝5，s ＝15＋(5－1)2＝31＞15. ∴k ＝5.故选C ． 6． 答案：B解析：∵数据总个数n ＝10，又∵落在区间[22,30)内的数据个数为4， ∴所求的频率为40.410=. 7． 答案：A解析：∵由x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)，得(x －4a )(x ＋2a )＜0，即－2a ＜x ＜4a ，∴x 1＝－2a ，x 2＝4a . ∵x 2－x 1＝4a －(－2a )＝6a ＝15， ∴15562a ==.故选A ． 8．答案：D 解析：由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，如图所示，S 上＝2×10＝20， S 下＝8×10＝80，S 前＝S 后＝10×5＝50，S 左＝S 右＝12(2＋8)×4＝20，所以S 表＝S 上＋S 下＋S 前＋S 后＋S 左＋S 右＝240， 故选D ． 9． 答案：C解析：∵21log 10lg2=， ∴lg(log 210)＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)．令g (x )＝ax 3＋b sin x ，易知g (x )为奇函数．∵f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝g (－lg(lg 2))＋4＝5，∴g (－lg(lg 2))＝1.∴g (lg(lg 2))＝－1. ∴f (lg(lg 2))＝g (lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. 故选C ． 10． 答案：A解析：不妨令双曲线的方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，由|A 1B 1|＝|A 2B 2|及双曲线的对称性知A 1，A 2，B 1，B2关于x 轴对称，如图．又∵满足条件的直线只有一对，∴tan 30°＜bab a <≤∴22133b a<≤. ∵b 2＝c 2－a 2，∴222133c a a -<≤，即43＜e 2≤4.∴3＜e ≤2，即e ∈2⎤⎥⎝⎦.故选A ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．解析：∵z ＝1＋2i ，∴||z ==12．答案：72解析：设公差为d ，则c －a ＝2d ＝9277225142-⨯=⨯=-. 13．答案：23解析：甲、乙、丙三人随机站在一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种．若甲、乙两人相邻而站则有甲乙丙、丙甲乙、乙甲丙、丙乙甲，共4种，故所求的概率为4263=. 14．答案：4解析：∵OA ＝(－3,1)，OB＝(－2，k )，∴AB ＝OB－OA ＝(－2，k )－(－3,1)＝(1，k －1)． 又OA ，AB为矩形相邻两边所对应的向量， ∴OA ⊥AB ，即OA ·AB ＝－3×1＋1×(k －1)＝－4＋k ＝0，即k ＝4.15．答案：π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解析：不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则有Δ＝(8sin α)2－4×8cos 2α＝64sin 2α－32cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－(1－2sin 2α)＝4sin 2α－1≤0. ∴sin 2α≤14. ∴11sin 22α-≤≤. 又0≤α≤π，结合下图可知，α∈π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，S n ＝1313n --＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5， 故T 20＝20×3＋20192⨯×5＝1 010. 17．解：(1)由题意知n ＝10，1180810n i i x x n ====∑，1120210n i i y y n ====∑，又l xx ＝221nii xnx =-∑＝720－10×82＝80，l xy ＝1ni ii x y nx y =-∑＝184－10×8×2＝24，由此得240.380xy xxl b l ===，a y bx =-＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 18．解：(1)由余弦定理得cos A＝2222b c a bc +-==又因0＜A ＜π，所以5π6A =.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·sin sin a B A·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )． 所以，当B ＝C ，即ππ212A B -==时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.19．(1)证明：因BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形， 又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC ．因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD ．从而BD 与平面PAC 内两条相交直线PA ，AC 都垂直， 所以BD ⊥平面PAC ．(2)解：三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin∠BCD ＝12×2×2×2πsin 3由PA ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·PA ＝123=.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18PA ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18PA ＝111384⨯=，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝17244-=.20．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)， 从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因r ＞0，又由h ＞0可得r <故函数V (r )的定义域为(0,．(2)因V (r )＝π5(300r －4r 3)， 故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,时，V ′(r )＜0，故V (r )在(5,上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大． 21．解：(1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则222221c a b (-)+=.从而e 2＋24b ＝1.由2e =得22481b e==-，从而222161b a e ==-. 故该椭圆的标准方程为221168x y +=. (2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 02＋28116x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12(x －2x 0)2－x 02＋8(x ∈[－4,4])． 设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 02.由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|2＝|2y 1|， 所以S ＝1|2y 1||x 1－x 0|＝01|2⨯当0x =PP ′Q 的面积S 取到最大值此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (0)，半径||QP ==因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x )2＋y 2＝6，(x )2＋y 2＝6.。