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一阶倒立摆控制系统设计培训讲学

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课程设计说明书课程名称：控制系统课程设计设计题目：一阶倒立摆控制器设计院系：信息与电气工程学院班级：设计者：学号：指导教师：设计时间：2013年2月25日到2013年3月8号课程设计（论文）任务书指导教师签字：系（教研室）主任签字：2013年3月5日目录一、建立一阶倒立摆数学模型 (4)1. 一阶倒立摆的微分方程模型 (4)2. 一阶倒立摆的传递函数模型 (6)3. 一阶倒立摆的状态空间模型 (7)二、一阶倒立摆matlab仿真 (9)三、倒立摆系统的PID控制算法设计 (13)四、倒立摆系统的最优控制算法设计 (23)五、总结............................................................................................... 错误！未定义书签。

六、参考文献 (29)一、建立一阶倒立摆数学模型首先建立一阶倒立摆的物理模型。

在忽略空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。

系统内部各相关参数定义如下：M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量F 加在小车上的力x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）1.一阶倒立摆的微分方程模型对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N和 P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图1-2 小车及摆杆受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：（1-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：（1-2）即：（1-3）把这个等式代入式(1-1)中，就得到系统的第一个运动方程：（1-4）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：（1-5）即：（1-6）力矩平衡方程如下：（1-7）由于所以等式前面有负号。

合并这两个方程，约去 P 和 N ，得到第二个运动方程：（1-8）设，（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ <<1弧度， 则可以进行近似处理：0)(,sin ,1cos 2=-=-=dtd θφθθ。

用u 代表被控对象的输入力F ，利用上述近似进行线性化得直线一阶倒立摆的微分方程为：2. 一阶倒立摆的传递函数模型对式(1-9)进行拉普拉斯变换，得：注意：推导传递函数时假设初始条件为 0。

由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可得：或如果令，则有：把上式代入方程组（2-1）的第二个方程，得：（1-9）（2-1）（2-2）（2-3）（2-4）整理后得到传递函数：其中。

3. 一阶倒立摆的状态空间模型设系统状态空间方程为：方程组（2-9）对x ..解代数方程，得到解如下：整理后得到系统状态空间方程：（2-6）（3-1）（3-1）（3-2）（3-3）摆杆的惯量为231ml I =，代入（1-9）的第一个方程为：得：化简得：设x u x x x ..'[],..==φφ则有：4.实际系统的传递函数与状态方程实际系统的模型参数如下:M 小车质量 0.5 Kg m 摆杆质量 0.2 Kgb 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec（3-4）（3-5）l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3mI 摆杆惯量 0.006 kg*m*m代入上述参数可得系统的实际模型。

摆杆角度和小车位移的传递函数：摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：以外界作用力作为输入的系统状态方程：以小车加速度为输入的系统状态方程：二、一阶倒立摆matlab 仿真（4-2）（4-3）（4-1）（4-5）实际系统参数如下，按照上面给出的例子求系统的传递函数、状态空间方程，并进行脉冲响应和阶跃响应的matlab仿真。

M小车质量 1.096Kgm摆杆质量 0.109Kgb小车摩擦系数 0.1 N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mI摆杆惯量 0.0034 kg*m*mT采样时间 0.005秒1.传递函数法Matlab程序如下：M=1.096;m=0.109;b=0.1;I=0.0034;g=9.8;L=0.25;q=(M+m)*(I+m*L^2)-(m*L)^2;num=[m*L/q 0 0]den=[1 b*(I+m*L^2)/q -(M+m)*m*g*L/q -b*m*g*L/q 0];[r,p,k]=residue(num,den);s=p;得到传递函数的分子：num =2.3566 0 0以及传递函数分母:den =1.0000 0.0883 -27.8285 -2.3094 0开环极点： s =-5.2780 5.2727 -0.0830 0由此可知，系统传递函数的多项式表达式为：()2432() 2.3566()0.088327.8285 2.3094s s G s U s s s s sΦ==+-- （2-1） 系统的开环极点为（s):2780.51-=s 、2727.52=s 、0830.03-=s 、40s =，由于有一个开环极点位于S 平面的右半部，开环系统并不是稳定的。

系统的脉冲响应如下，由图也可见，系统并不稳定。

Impulse ResponseTime (sec)A m p l i t u d e图2.1 开环系统脉冲响应2. 状态空间法状态空间法可以进行单输入多输出系统设计，因此在这个实验中，我们将尝试同时对摆杆角度和小车位置进行控制。

为了更具挑战性，给小车加一个阶跃输入信号。

我们用 Matlab 求出系统的状态空间方程各矩阵，并仿真系统的开环阶跃响应。

在这里给出一个state.m 文件，执行这个文件，Matlab 将会给出系统状态空间方程的A，B，C和D矩阵，并绘出在给定输入为一个0.2 N的阶跃信号时系统的响应曲线。

state.m程序如下：p=I*(M+m)+M*m*L^2;>> A = [0 1 0 0;0 -(I+m*L^2)*b/p (m^2*g*L^2)/p 0;0 0 0 1;0 -(m*L*b)/p m*g*L*(M+m)/p 0]A =0 1.0000 0 00 -0.0883 0.6293 00 0 0 1.00000 -0.2357 27.8285 0>> B=[0;(I+m*L^2)/p;0;m*L/p]B =0.88322.3566>> C=[1 0 0 0;0 0 1 0]D=[0;0]C =1 0 0 00 0 1 0D =matlab仿真的开环阶跃响应曲线如下图所示，系统并不稳定。

图2.2 系统开环阶跃响应曲线三、倒立摆系统的PID 控制算法设计1. 实验要求与目的 ● 要求：设计PID 控制器，使得当在小车上施加1N 的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度 并作PID 控制算法的MATLAB 仿真● 目的：进一步熟悉PID 控制器的设计方法，步骤，以及P 、I 、D 三参数的调节方法。

2. 理论分析● PID 控制原理在模拟控制系统中，控制器最常用的控制规律是PID 控制。

常规PID 控制系统原理框图如下图所示。

系统由模拟PID 控制器KD(S)和被控对象G(S)组成。

PID 控制器是一种线性控制器，它根据给定值)(t r 与实际输出值()y t 构成控制偏差)(t e()()()e t r t y t =-将偏差的比例(P)、积分(I)和微分(D)通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称PID 控制器。

其控制规律为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰dt t de T dt t e T t e K t u D tI P )()(1)()(0或写成传递函数的形式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++==s T s T K s E s U s G D I P 11)()()( 式中：P K ——比例系数；I T ——积分时间常数；D T ——微分时间常数。

在控制系统设计和仿真中，也将传递函数写成s K sK K s E s U s G D I P ++==)()()( 式中：P K ——比例系数；I K ——积分系数；D K ——微分系数。

简单说来，PID 控制器各校正环节的作用如下：（1）比例环节：成比例地反映控制系统的偏差信号)(t e ，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。

（2）积分环节：主要用于消除稳态误差，提高系统的型别。

积分作用的强弱取决于积分时间常数I T ，I T 越大，积分作用越弱，反之则越强。

（3）微分环节：反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号值变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。

摆杆角度控制这个控制问题和我们以前遇到的标准控制问题有些不同，在这里输出量为摆杆的位置，它的初始位置为垂直向上，我们给系统施加一个扰动，观察摆杆的响应。

系统框图如下：图中)(s KD 是控制器传递函数，)(s G 是被控对象传递函数。

考虑到输入0)(=s r ，结构图可以很容易地变换成该系统的输出为)())(())(()()())(())((1)()()(1)()(s F num numPID den denPID denPID num s F den denPID num numPID den nums F s G s KD s G s y +=+=+=其中： num ——被控对象传递函数的分子项den ——被控对象传递函数的分母项numPID ——PID 控制器传递函数的分子项 denPID ——PID 控制器传递函数的分母项被控对象的传递函数是den num sqbmgl s q mgl m M s q ml I b s sq ml s U s =-+-++=Φ23242)()()()(其中 ])())([(22ml ml I m M q -++= PID 控制器的传递函数为denPIDnumPIDs K s K s K s K K s K s KD I P D I P D =++=++=2)(只需调节PID 控制器的参数，就可以得到满意的控制效果。

小车位置控制小车位置作为输出时，系统框图如下：其中，)(1s G 是摆杆传递函数，)(2s G 是小车传递函数。

由于输入信号0)(=s r ，所以可以把结构图转换成：其中，反馈环代表我们前面设计的摆杆的控制器。

从此框图我们可以看出此处只对摆杆角度进行了控制，并没有对小车位置进行控制。

小车位置输出为：)())()(())()(())()(()())(())((1)()()(1)()(212112112212s F den num numPID den den denPID den denPID num s F den denPID num numPID den num s F s G s KD s G s X +=+=+=其中，1num ，1den ，2num ，2den 分别代表被控对象1和被控对象2传递函数的分子和分母。

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(完整版)一级倒立摆系统分析

(完整版)一级倒立摆系统分析

一级倒立摆的系统分析一、倒立摆系统的模型建立如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型图1-1 一级倒立摆物理模型对于上图的物理模型我们做以下假设：M：小车质量m：摆杆质量b：小车摩擦系数l：摆杆转动轴心到杆质心的长度I：摆杆惯量F：加在小车上的力x：小车位置ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。

图1-2 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向受力，可以得到以下方程：M ẍ＝Ｆ-ｂẋ-Ｎ (1-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程：N =md 2dt 2(x +l sin θ) (1-2)即： N =mẍ+mlθcos θ−mlθ2sin θ (1-3)将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程： (M +m )ẍ+bẋ+mlθcos θ−mlθ2sin θ=F (1-4)为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程： P −mg =md 2dt 2(l cos θ) (1-5)P −mg =− mlθsin θ−mlθ2cos θ (1-6) 利用力矩平衡方程可以有：−Pl sinθ−Nl cosθ=Iθ (1-7)注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+ɸ，cosɸ=−cosθ，sinɸ=−sinθ，所以等式前面含有负号。

合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程：(I+ml2)θ+mgl sinθ=−mlẍcosθ (1-8)设θ=π+ɸ，假设ɸ与1（单位是弧度）相比很小，即ɸ＜＜1，则可以进行近似处理：cosθ=−1，sinθ=−ɸ，（dθdt ）2=0。

用u来代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下：{(I+ml2)ɸ−mglɸ=mlẍ(M+m)ẍ+bẋ−mlɸ=u(1-9)假设初始条件为0，则对式（1-9）进行拉普拉斯变换，可以得到：{(I+ml2)Φ(s)s2−mglΦ(s)=mlX(s)s2(M+m)X(s)s2+bX(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-10) 由于输出为角度ɸ，求解方程组的第一个方程，可以得到：X(s)=[(I+ml2)ml −gs2]Φ(s) (1-11)或改写为：Φ(s)X(s)=mls2(I+ml2)s2−mgl(1-12)如果令v=ẍ,则有：Φ(s)V（s）=ml(I+ml2)s2−mgl(1-13)如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到：(M+m)[(I+ml2)ml −gs]Φ(s)s2+b[(I+ml2)ml+gs2]Φ(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-14) 整理后可得传递函数：Φ(s) U(s)=mlqs2s4+b(I+ml2)qs3−(M+m)mglqs2−bmglqs(1-15)其中q=[(M+m)(I+ml2)−(ml)2]假设系统状态空间方程为：X=AX+Buy=CX+Du (1-16) 方程组对ẍ,ɸ解代数方程，可以得到解如下：{ẋ=ẋẍ=−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2ẋ+m2gl2I(M+m)+Mml2ɸ+(I+ml2)I(M+m)+Mml2uɸ=ɸɸ=−mlbI(M+m)+Mml2ẋ+mgl(M+m)I(M+m)+Mml2ɸ+mlI(M+m)+Mml2u(1-17)整理后可以得到系统状态空间方程：[ẋẍɸɸ]=[01000−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2m2gl2I(M+m)+Mml200010−mlbI(M+m)+Mml2mgl(M+m)I(M+m)+Mml20][xẋɸɸ]+[(I+ml2)I(M+m)+Mml2mlI(M+m)+Mml2]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-18)由（1-9）的第一个方程为：(I+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ对于质量均匀分布的摆杆可以有：I=13ml2于是可以得到：(13ml2+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ化简可以得到：ɸ=3g4l ɸ+34lẍ(1-19)设X={x, ẋ, ɸ , ɸ}，u=ẍ则有：[ẋẍɸɸ]=[010000000001003g4l0][xẋɸɸ]+[134l]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-20)以上公式推理是根据牛顿力学的微分方程验证的。

一级直线倒立摆系统模糊控制器设计---实验指导书精讲

一级直线倒立摆系统模糊控制器设计---实验指导书精讲

一级直线倒立摆系统模糊控制器设计---实验指导书精讲第一篇：一级直线倒立摆系统模糊控制器设计---实验指导书精讲一级直线倒立摆系统模糊控制器设计实验指导书目录实验要求........................................................................................................................... ...................3 1.1 实验准备........................................................................................................................... ................3 1.2 评分规则........................................................................................................................... ................3 1.3 实验报告内容........................................................................................................................... ........3 1.4 安全注意事项........................................................................................................................... ........3 2 倒立摆实验平台介绍..........................................................................................................................4 2.1 硬件组成........................................................................................................................... ................4 2.2 软件结构........................................................................................................................... ................4 3 倒立摆数学建模（预习内容）............................................................................................................6 4 模糊控制实验........................................................................................................................... ............8 4.1 模糊控制器设计（预习内容）.......................................................................................................8 4.2 模糊控制器仿真........................................................................................................................... ...12 4.3 模糊控制器实时控制实验..............................................................................................................12 5 附录：控制理论中常用的MATLAB 函数.......................................................................................13 6 参考文献........................................................................................................................... .................14 实验要求1.1 实验准备实验准备是顺利完成实验内容的必要条件。

基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计

基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计

自动控制原理课程设计说明书基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计姓名：学号：学院：专业：指导教师：2018年 1月目录1 任务概述 (3)1.1设计概述 (3)1.2 要完成的设计任务： (3)2系统建模 (4)2.1 对象模型 (4)2.2 模型建立及封装 (4)3仿真验证 (8)3.1 实验设计 (8)3.2 建立M文件编制绘图子程序 (9)4 双闭环PID控制器设计 (12)4.1内环控制器的设计 (12)4.2外环控制器的设计 (13)5 仿真实验 (14)5.1简化模型 (14)5.2 仿真实验 (16)6 检验系统的鲁棒性 (18)6．1 编写程序求系统性能指标 (18)6.2 改变参数验证控制系统的鲁棒性 (19)7 结论 (22)附录 (22)1 任务概述1.1设计概述如图1 所示的“一阶倒立摆控制系统”中，通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机(IPC)完成。

图1 一阶倒立摆控制系统这是一个借助于“SIMULINK封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。

1.2 要完成的设计任务：(1)通过理论分析建立对象模型（实际模型），并在原点进行线性化，得到线性化模型；将实际模型和线性化模型作为子系统，并进行封装，将倒立摆的振子质量m和倒摆长度L作为子系统的参数，可以由用户根据需要输入；(2)设计实验，进行模型验证；(3)一阶倒立摆系统为“自不稳定的非最小相位系统”。

将系统小车位置作为“外环”，而将摆杆摆角作为“内环”，设计内化与外环的PID控制器；(4)在单位阶跃输入下，进行SIMULINK仿真;(5)编写绘图程序，绘制阶跃响应曲线，并编程求解系统性能指标：最大超调量、调节时间、上升时间；(6)检验系统的鲁棒性：将对象的特性做如下变化后，同样在单位阶跃输入下，检验所设计控制系统的鲁棒性能，列表比较系统的性能指标（最大超调量、调节时间、上升时间）。

一级倒立摆【控制专区】系统设计

一级倒立摆【控制专区】系统设计

基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一、设计目的倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。

设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。

二、设计要求倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。

当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。

实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。

三、设计原理倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。

计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。

四、设计步骤首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图一阶倒立摆控制系统示意图如图所示：分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图：一阶倒立摆控制系统动态结构图下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知： （1） 摆杆绕其重心的转动方程为（2） 摆杆重心的运动方程为得sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-2222(sin ) (2)(cos ) (3)x y d F m x l d td F mg m l d t θθ=+=-（3）小车水平方向上的运动为22..........(4)x d xF F M d t-=联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩式中J 为摆杆的转动惯量：32ml J =若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g=2/10s m ,则可以得 一阶倒立摆简化模型：....0.44 3.330.412x F F θθθ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩即 G 1(s)= ; G 2(s)=一阶倒立摆环节问题解决！2.电动机驱动器选用日本松下电工MSMA021型小惯量交流伺服电动机，其有关参数如下：222()0.4()12() 1.110()s F s s x s s s s θθ-⎧=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪⎩驱动电压：U=0~100V 额定功率：PN=200W 额定转速：n=3000r/min 转动惯量：J=3×10-6kg.m2 额定转矩：TN=0.64Nm 最大转矩：TM=1.91Nm 电磁时间常数：Tl=0.001s 电机时间常数：TM=0.003s经传动机构变速后输出的拖动力为：F=0~16N ；与其配套的驱动器为：MSDA021A1A ，控制电压：UDA=0~±10V 。