人教新课标版数学高二-选修2-2课时作业16 综合法

选修2-2 第二章 2.2 2.2.11．(2013·江西理，3)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24 [答案] A[解析] 由等比中项公式(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0.∴x ＝－1(舍去) x ＝－3.∴数列为－3，－6，－12，－24.故选A.2．若a 、b 、c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a 2＋b 2＋c 2≥2B ．(a ＋b ＋c )2≥3C ．1a ＋1b ＋1c≥23 D ．abc (a ＋b ＋c )≤13[答案] B[解析] ∵a 、b 、c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，又(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac＝a 2＋b 2＋c 2＋2≥3.3．已知a 、b 是不等正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证：1<a ＋b <43. [证明] ∵a 3－b 3＝a 2－b 2且a ≠b ，∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，由(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>a 2＋ab ＋b 2得(a ＋b )2>a ＋b ，又a ＋b >0，∴a ＋b >1，要证a ＋b <43，即证3(a ＋b )<4， ∵a ＋b >0，∴只需证明3(a ＋b )2<4(a ＋b )，又a ＋b ＝a 2＋ab ＋b 2，即证：3(a ＋b )2<4(a 2＋ab ＋b 2)，也就是证明(a －b )2>0.因为a 、b 是不等正数，故(a －b )2>0成立．故a ＋b <43成立． 综上，得1<a ＋b <43.4．已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2. 求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.[证明] 欲证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，即证12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22， 只需证12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>sinx 1＋x 22cos x 1＋x 22， 即证12×sin (x 1＋x 2)cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)2cos 2⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 ＝sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2). 因为x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以x 1＋x 2∈(0，π)， 所以sin(x 1＋x 2)>0,1＋cos(x 1＋x 2)>0，cos x 1cos x 2>0，所以只需证1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2，即证cos(x 1－x 2)<1.因为x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2， 所以cos(x 1－x 2)<1显然成立，所以原不等式成立．[点评] (1)本题主要考查了三角函数与不等式证明的综合应用，题目中的条件与结论之间的关系不明显，因此可以用分析法挖掘题目中的隐含条件，在证明过程中注意分析法的格式与步骤．对于与三角函数有关的证明题，在证明过程中注意角的取值范围及三角恒等变形公式的灵活应用．(2)本题的几何意义是见而易见的，如图A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)，AB 的中点，C x 1＋x 22，tan x 1＋tan x 22，D ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，tan x 1＋x 22，则有tan x 1＋tan x 22>tan x 1＋x 22，其中x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2.。

高中数学选修2-2综合测试试题及答案解析时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是导学号 10510897( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4 C ．y ＝7x ＋2D ．y ＝x －22．设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x |－(1－i)在复平面上的对应点在导学号 10510898( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是导学号 10510899( )4．定义复数的一种运算z 1*z 2=|z 1|＋|z 2|2(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，z －为z 的共轭复数，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z －的最小值为导学号 10510900( )A.92B.322C.32D ．945．(2016·宜春高二检测)已知函数f (x )＝sin x ＋e x ＋x 2015，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，则f 2016(x )＝导学号 10510901( )A ．sin x ＋e xB ．cos x ＋e xC ．－sin x ＋e xD ．－cos x ＋e x6．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是导学号 10510902( ) A.12 B ．－1 C ．0D ．17．(2016·哈尔滨质检)在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图象恰好经过k 个格点，则称函数为k 阶格点函数．已知函数：①y ＝sin x; ②y ＝cos(x ＋π6)；③y ＝e x －1;④y ＝x 2.其中为一阶格点函数的序号为导学号 10510903( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．②④8．(2016·淄博高二检测)下列求导运算正确的是导学号 10510904( ) A ．(2x )′＝x ·2x －1 B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x2D ．(xcos x )′＝cos x －x sin x (cos x )29．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是导学号 10510905( )A ．289B ．1024C ．1225D ．137810．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a ＝导学号 10510906( )A ．64B ．32C ．16D ．811．(2016·全国卷Ⅲ理，12)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有导学号 10510907( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个12．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是导学号 10510908( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.导学号 1051090914．请阅读下列材料：若两个正实数a 1、a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________.导学号 1051091015．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：导学号 10510911 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．16．(2016·全国卷Ⅱ理，16)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.导学号 10510912三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2016·大连高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q .导学号 10510913(1)求点P 的轨迹方程； (2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．18．(本题满分12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值.导学号 1051091419．(本题满分12分)已知A n (n ，a n )为函数y 1＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y 2＝x 的图象上的点，设c n ＝a n －b n ，其中n ∈N *.导学号 10510915(1)求证：数列{c n }既不是等差数列也不是等比数列； (2)试比较c n 与c n ＋1的大小．20．(本题满分12分)设函数f (x )＝x ln x .导学号 10510916 (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[18，12]上的最大值和最小值．21．(本题满分12分)(2016·贵州高二检测)已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….导学号 10510917(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1、a 2、a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．22．(本题满分12分)(2016·北京文，20)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .导学号 10510918 (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．高中数学选修2-2综合测试试题答案解析1．[答案] D[解析] y ′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1， ∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.2． [答案] B[解析] ∵x ＝3＋4i ，∴|x |＝32＋42＝5， ∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i. ∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.3． [答案] A[解析] ∵f ′(x )＝2x ＋b 为增函数，∴排除B 、D ； 又f (x )的顶点在第四象限，∴－b2>0，∴b <0，排除C ，故选A.4．[答案] B[解析] 由题意可得z *z －＝|a ＋b i|＋|a －b i|2＝a 2＋b 2＋a 2＋(－b )22＝a 2＋b 2，∵正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9，由二次函数可知当a ＝32时，上式取最小值322.故选B.5．[答案] A[解析] f 1(x )＝f ′(x )＝cos x ＋e x ＋2015x 2014，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ＋e x ＋2015× 2014x 2013， f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ＋e x ＋2015×2014×2013x 2012，…，∴f 2016(x )＝sin x ＋e x .6．[答案] D[解析] 由f ′(x )＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x∈[0，12]，f ′(x )>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f (x )取到极大值也是最大值，f (12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7． [答案] C[解析] 对于①，注意到y ＝sin x 的值域是[－1,1]；当sin x ＝0时，x ＝k π(k ∈Z )，此时相应的整数x ＝0；当sin x ＝±1时，x ＝k π＋π2(k ∈Z )，此时没有相应的整数x ，因此函数y ＝sin x 仅过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y ＝cos(x ＋π6)不是一阶格点函数．对于③，令y ＝e x －1＝k (k ∈Z )得e x ＝k ＋1>0，x ＝ln(k ＋1)，仅当k ＝0时，x ＝0∈Z ，因此函数y ＝e x －1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y ＝x 2的图象经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y ＝x 2不是一阶格点函数．综上所述知选C.8．[答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x)′＝2x ＋1x 2；对于D ，(xcos x )′＝cos x ＋x sin x (cos x )2；综上可知选B.9．[答案] C[解析] 图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)2，图2中满足b n ＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半； 一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C.10．[答案] A[解析] y ′＝－12x －32，∴k ＝－12a －32，切线方程是y －a －12＝－12a －32(x －a )，令x ＝0，y ＝32a －12，令y ＝0，x ＝3a ，∴三角形的面积是S ＝12·3a ·32a －12＝18，解得a ＝64.11． [答案] C[解析] 由题意可得a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．12．[答案] C[解析] ax 3≥x 2－4x －3恒成立．当x ＝0时式子恒成立．∴a ∈R ， 当x >0时，a ≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，x ∈(0,1]，∴t ≥1.∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，g ′(t )＝1－8t －9t 2＝(t ＋1)(－9t ＋1)， ∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上为减函数 而且g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g (t )在[1，＋∞)上是减函数， ∴g (t )max ＝g (1)＝－6，∴a ≥－6； 当x <0时，a ≤1x －4x 2－3x 3恒成立，∵x ∈[－2,0)，∴t ≤－12，令g ′(t )＝0得，t ＝－1，∴g (t )在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g (t )min ＝g (－1)＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 13． [答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.14．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立，∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0， ∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .15． [答案] 15[解析] 依题意得n 2＝10×(1＋19)2＝100，∴n ＝10.易知m 3＝21m ＋m (m －1)2×2，整理得(m －5)(m ＋4)＝0，又m ∈N *，所以m ＝5，即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m ＋n ＝15.16． [答案] 1－ln2[解析] 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1ln x 1＋1＝－x 2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln2.17． [解析] (1)设z 1＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )， z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋y i x －3＋y i ＝x 2＋y 2－9－6y i(x －3)2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y ≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y ≠0，∴|PQ |<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．18． [解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x <2π)，令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝3π2.x ，f ′(x )以及f (x )变化情况如下表：∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(3π2，2π)，单调减区间为(π，3π2)．f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (3π2)＝3π2.19． [解析] (1)证明：依题意，a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，c n ＝n 2＋1－n . 假设{c n }是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，∴2(5－2)＝2－1＋10－3. ∴25＝2＋10，产生矛盾， ∴{c n }不是等差数列．假设{c n }是等比数列，则c 22＝c 1c 3，即(5－2)2＝(2－1)(10－3)．有6＝65－32－10，产生矛盾， ∴{c n }也不是等比数列．(2)解：∵c n ＋1＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)>0，c n ＝n 2＋1－n >0， ∴c n ＋1c n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)， 0<n 2＋1<(n ＋1)2＋1， 又0<n <n ＋1，∴n 2＋1＋n <(n ＋1)2＋1＋n ＋1， ∴0<n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1，∴c n ＋1c n<1，即c n ＋1<c n . 20． [解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，令f ′(x )>0，得x >1e ，令f ′(x )<0，得0<x <1e，∴f (x )的单调递增区间为(1e ，＋∞)，单调递减区间为(0，1e )．(2)∵f (18)＝18ln 18＝38ln 12，f (12)＝12ln 12，f (1e )＝1e ln 1e ＝－1e ， 又12ln 12<38ln 12， ∴求f (x )在区间[18，12]的最大值为38ln 12，最小值为－1e .21． [解析] (1)由题意，当n ≥3时，x n ＝12(x n －1＋x n －2)(2)x 1＝0，x 2＝a ，x 3＝12(x 2＋x 1)＝a 2，x 4＝12(x 3＋x 2)＝3a4，∴a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝a4，推测a n ＝a(－2)n －1.方法一证明：对于任意n ∈N *，a n ＝x n ＋1－x n ，a n ＋1＝x n ＋2－x n ＋1＝12(x n ＋1＋x n )－x n ＋1＝－12(x n ＋1－x n )＝－12a n ，又∵a 1＝a >0，∴{a n }是以a 为首项，以－12为公比的等比数列．故a n ＝a ·(－12)n －1＝a(－2)n －1. 方法二下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝a ＝a ·(－12)1－1，结论a n ＝a (－2)n －1成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，a n ＝a (－2)n －1成立，即a k＝a ·(－12)k －1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋x k ＋12－x k ＋1＝x k －x k ＋12＝－12a k ＝(－12)·a ·(－12)k －1＝a ·(－12)(k ＋1)－1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝a(－2)n －1成立． 由①②可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝a ·(－12)n －1，n ∈N *.22． [解析] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以，当c >0且c －3227<0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈(－2，－23)，x 3∈(－23，0)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈(0，3227)时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．(3)当Δ＝4a 2－12b <0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b >0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (x )不可能有三个不同零点． 当Δ＝4a 2－12b ＝0时， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增；所以f (x )不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b >0. 故a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要条件．当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b >0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b >0不是f (x )有三个不同零点的充分条件．因此a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．。

§2.2 直接证明与间接证明2．2.1 综合法与分析法一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式xy >1，x ＋y ≥0，则( )A ．x >0，y >0B ．x <0，y <0C ．x >0，y <0D ．x <0，y >02．在非等边三角形ABC 中，A 为钝角，则三边a ，b ，c 满足的条件是( )A ．b 2＋c 2≥a 2B ．b 2＋c 2>a 2C ．b 2＋c 2≤a 2D ．b 2＋c 2<a 23．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定4．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab <1 5．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a 索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<06．若A 、B 为△ABC 的内角，则A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若x >0，y >0，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是( )A ．2 2 B.2 C ．2D ．1二、填空题8．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是________．9．如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为____________)，只需证____________，只需证AE ⊥BC (因为__________)，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为______________)．由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立．10．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为ln(1＋ab )________12． 三、解答题11．设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：当x >1时，f (x )<32(x －1)．12．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a b ＋b a>a ＋b .13．在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列，求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .四、探究与拓展14．如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1.(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)15．已知a，b，c，d∈R，求证：ac＋bd≤(a2＋b2)(c2＋d2).(你能用几种方法证明？)答案精析1．A 2.D 3.C 4.B 5.C 6.C 7.B8．a >b >c9．EF ⊥SC AE ⊥平面SBC AE ⊥SB AB ⊥BC10．≤11．证明 记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)， 则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0. 又g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0，即f (x )<32(x －1)． 12．证明 方法一 (综合法)a b ＋b a －a －b ＝a a ＋b b －a b －b a ab ＝(a －b )(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab>0， 故a b ＋b a>a ＋b . 方法二 (分析法)要证a b ＋b a >a ＋b ， 只需证a 2b ＋b 2a＋2ab >a ＋b ＋2ab ， 即证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )，即需证a 2－ab ＋b 2>ab ，只需证(a －b )2>0，因为a ≠b ，所以(a －b )2>0恒成立，所以a b ＋b a>a ＋b 成立．13．证明 ∵左边＝a (1＋cos C )2＋c (1＋cos A )2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A ) ＝12(a ＋c )＋12(a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc) ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2＝b ＋b 2＝32b ＝右边． ∴a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b . 14．对角线互相垂直(答案不唯一)15．证明 方法一 (分析法)①当ac ＋bd ≤0时，显然成立．②当ac ＋bd >0时，欲证原不等式成立，只需证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2.即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2，即证0≤(bc －ad )2.因为a ，b ，c ，d ∈R ，所以上式恒成立．故原不等式成立，综合①②知，命题得证．方法二 (综合法)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2c 2＋2acbd ＋b 2d 2)＋(b 2c 2－2bcad ＋a 2d 2)＝(ac ＋bd )2＋(bc －ad )2≥(ac ＋bd )2. ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd .方法三 (比较法)∵(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2＝(bc －ad )2≥0，∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， ∴(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥|ac ＋bd |≥ac ＋bd .方法四 (放缩法)为了避免讨论，由ac ＋bd ≤|ac ＋bd |，可以试证(ac ＋bd )2≤ (a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．由方法一知上式成立，从而方法四可行．方法五 (构造向量法)设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，∴m·n＝ac＋bd，|m|＝a2＋b2，|n|＝c2＋d2.∵m·n≤|m|·|n|＝a2＋b2·c2＋d2.故ac＋bd≤(a2＋b2)(c2＋d2).。

§2.2 直接证明与间接证明2．2.1 综合法和分析法一、选择题1．要证明3＋6＜19，可选择的方法有下面几种，其中最合适的是( )A ．综合法B ．分析法C ．特殊值法D ．其他方法2．已知a ，b ，c 为互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b3．若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，则1a ＋1b ＋1c的值( ) A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正、负不能确定4．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( ) A ．aB ．bC ．cD ．不能确定5．已知A 、B 为△ABC 的内角，则A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件6．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题7．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f ⎝⎛⎭⎫512的大小关系是______________．8．已知函数y ＝x ＋2a x在[3，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________． 9．函数y ＝a 1－x (a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________． 10．当n ∈N *时，定义函数N (n )表示n 的最大奇因数．如N (1)＝1，N (2)＝1，N (3)＝3，N (4)＝1，N (5)＝5，N (10)＝5，记S (n )＝N (2n －1)＋N (2n －1＋1)＋N (2n －1＋2)＋…＋N (2n －1)(n ∈N *)，则：(1)S (3)＝__________；(2)S (n )＝__________.三、解答题11．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数．12．如图所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值．13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.[答案]精析1．B2．C [由a 2＋c 2＞2ac ，a 2＋c 2＝2bc ，得2bc ＞2ac .又∵c ＞0，∴b ＞a ，可排除A ，D.令a＝2，b ＝52，可得c ＝1或c ＝4，可知C 可能成立．] 3．B [∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝0，且a 2＋b 2＋c 2＞0(由abc ＞0，知a ，b ，c 均不为零)，∴ab ＋bc ＋ac ＜0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ca abc＜0.] 4．C [∵b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x<0， ∴b <c .又∵b ＝1＋x >2x ＝a ，∴a <b <c .]5．C [由正弦定理a sin A ＝b sin B，又A 、B 为三角形的内角， ∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .]6．B [若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确；若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确；若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确；若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确．]7．f (4)＞f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫512 [解析] f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，故f (x )关于x ＝2对称，且开口向下，画出图象(图略)，显然有f (4)＞f (－1)＞f ⎝⎛⎭⎫512. 8.⎝⎛⎦⎤－∞，92 [解析] 若函数y ＝x ＋2a x 在[3，＋∞)，上是增函数，则y ′＝1－2a x 2在[3，＋∞)大于等于0恒成立，只需x ∈[3，＋∞)时2a x 2≤1恒成立，即2a ≤x 2，只需2a ≤(x 2)min ＝9，∴a ≤92.9．4[解析] ∵函数y ＝a 1－x (a ＞0且a ≠1)恒过点A (1,1)，点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，∴m ＋n －1＝0即m ＋n ＝1.又m ·n ＞0，∴m ＞0，n ＞0.1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n≥2＋2n m ·m n ＝2＋2＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号)．10．(1)16 (2)4n －1[解析] (1)依题意知，S (3)＝N (4)＋N (5)＋N (6)＋N (7)＝1＋5＋3＋7＝16.(2)依题意得，N (2n )＝1.当n 为奇数时，N (n )＝n .在从2n －1到2n －1这2n －1个数中，奇数有2n －2个，偶数有2n －2个．在这2n －2个偶数中，不同的偶数的最大奇因数一定不同．注意到N (2n －1)＝1，N (2n －1)＝2n －1，且从N (2n －1)到N (2n －1)共有2n －1项，它们分别为互不相等的正奇数，其中最小的项是1，最大的项是2n －1，而从1到2n －1共有2n －1个连续的奇数，因此N (2n －1)＋N (2n －1＋1)＋N (2n －1＋2)＋…＋N (2n －1)＝1＋3＋5＋…＋2n －1 ＝2n －1(1＋2n －1)2＝4n －1，即S (n )＝4n －1. 11．证明 设点P (x ，y )是函数y ＝f (x )上任一点，∵f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称．则点P ′(－x ，y )在函数y ＝f (x ＋1)的图象上．∴y ＝f (－x ＋1)，又y ＝f (x )，∴f (x )＝f (－x ＋1)．∴f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12＝f ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫－x ＋12＋1＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12为偶函数． 12．证明 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k ＞0)，则直线MF 的斜率为－k ，∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －y 20)，y 2＝x 消去x ，得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0. 解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝(1－ky 0)2k 2.同理可得y F ＝1＋ky 0－k，∴x F ＝(1＋ky 0)2k 2. ∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k (1－ky 0)2k 2－(1＋ky 0)2k 2＝2k －4ky 0k 2＝－12y 0(定值)．∴直线EF 的斜率为定值． 13．(1)解 当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2， 解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，① 当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，② ①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n ，整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项， 1为公差的等差数列．所以a n n＝n ，即a n ＝n 2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(3)证明 因为1a n ＝1n 2＜1(n －1)n ＝1n －1－1n(n ≥2)， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。

一、选择题1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，其过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证法【解析】 结合分析法及综合法的定义可知B 正确． 【答案】 B2．(2013·台州高二检测)设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22 B.a 2＋b 22<ab <1 C ．ab <a 2＋b 22<1 D ．ab <1<a 2＋b 22【解析】 ∵a ＋b ＝2且a ≠b ，∴ab <(a ＋b 2)2＝1，a 2＋b 22>(a ＋b2)2＝1. ∴a 2＋b 22>1>ab ，故选D.【答案】 D3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定【解析】 欲比较P ，Q ，只需比较P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a 与Q 2＝2a ＋7＋2a2＋7a＋12，只需比较a2＋7a与a2＋7a＋12，显然前者小．【答案】 C4．设甲：函数f(x)＝|x2＋mx＋n|有四个单调区间，乙：函数g(x)＝lg(x2＋mx ＋n)的值域为R，那么甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．以上均不对【解析】对甲，要使f(x)＝|x2＋mx＋n|有四个单调区间，只需要Δ＝m2－4n>0即可；对乙，要使g(x)＝lg(x2＋mx＋n)的值域为R，只需要u＝x2＋mx＋n 的值域包含区间(0，＋∞)，只需要Δ＝m2－4n≥0，∴甲是乙的充分不必要条件．【答案】 A5．(2013·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是()A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.a＋b>a＋b(a>0，b>0)C.a－a－1<a－2－a－3(a≥3)D.2＋10>2 6【解析】对A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab ＋bc＋ca；对B，∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(a＋b)2＝a＋b，∴a＋b>a＋b；对C，要证a－a－1<a－2－a－3(a≥3)成立，只需证明a＋a－3 <a－2＋a－1，两边平方得2a－3＋2a(a－3)<2a－3＋2(a－2)(a－1)，即a(a－3)<(a－2)(a－1)，两边平方得a2－3a<a2－3a＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0，∴2＋10<26，故D错误．【答案】 D二、填空题6．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则log2xy＝________.【解析】由条件知lg xy＝lg(x－2y)2，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，即(xy)2－5x y＋4＝0，∴x y＝4或x y＝1，又x＞2y，故x y＝4.∴log2xy＝log24＝4.【答案】 47．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的大小关系是________．【解析】x2－y2＝a＋b＋2ab2－(a＋b)＝2ab－a－b2＝－(a－b)22≤0，∴x2≤y2.∵a，b是不相等的正数，∴x>0，y>0，x≠y，∴x2<y2即x<y. 【答案】x<y8．已知数列{a n}的前n项和为S n，f(x)＝2x－1x＋1，a n＝log2f(n＋1)f(n)，则S2 011＝________.【解析】a n＝log2f(n＋1)f(n)＝log2f(n＋1)－log2f(n)，∴S2 011＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 011＝＋＋＋…＋＝log 2f (2 012)－log 2f (1) ＝log 24 024－12 012＋1－log 22－11＋1＝log 21 341671＋1. 【答案】 log 21 341671＋1 三、解答题9．(2013·东城高二检测)用分析法证明：若a >0，则a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.【证明】 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a ＋ 2.∵a >0，∴两边均大于零， 因此只需证(a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a ＋2)2，只需证a 2＋1a 2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋4＋22(a ＋1a )， 只需证a 2＋1a 2≥22(a ＋1a )，只需证a 2＋1a 2≥12(a 2＋1a 2＋2)， 即证a 2＋1a 2≥2，它显然成立， ∴原不等式成立．10．(2013·武汉高二检测)(1)求证：a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )． (2)已知a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.【证明】 (1)∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋3≥23a ，b2＋3≥23b，将此三式相加得2(a2＋b2＋3)≥2ab＋23a＋23b，∴a2＋b2＋3≥ab＋3(a＋b)．(2)∵a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，∴(1 a －1)(1b－1)(1c－1)＝a＋b＋c－aa·a＋b＋c－bb·a＋b＋c－cc＝b＋ca·a＋cb·a＋bc≥2bca·2acb·2abc＝8.故(1a －1)(1b－1)(1c－1)≥8.11．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy；(2)设1＜a≤b≤c，证明log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c.【证明】(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得－＝－＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．由于x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数的换底公式得log c a＝1xy，log b a＝1x，log c b＝1y，log a c＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.又由于1＜a≤b≤c，所以x＝log a b≥1，y＝log b c≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立.。

课时作业(二十二)一、选择题1．(2010·全国卷Ⅰ)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a答案 C解析 a ＝log 32＝ln 2ln 3＜ln 2＝b ，又c ＝5－12＝15＜12，a ＝log 32＞log 33＝12，因此c ＜a ＜b ，故选C.2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12 B ．ab ≥12 C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤3答案 C解析 由a ＋b ＝2，可得ab ≤1. 又a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2.3．(2010·福建卷)若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 当x ＝4时，a ＝(4,3)，则|a |＝5；若|a |＝5，则x ＝±4.故“x＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件．4．a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab ≥2 2B ．(a ＋b )(1a ＋1b )≥4 C.a 2＋b 2ab ≥a ＋bD.2ab a ＋b ≥ab 答案 D解析 ∵a >0，b >0，∴2aba ＋b ≤ab .二、填空题5．设a >0，b >0，c >0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．答案 9解析 ∵a >0，b >0，c >0，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋b c ≥3＋2b a ·a b ＋2c a ·ac ＋2c b ·bc ＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．6．函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (2.5)，f (3.5)的大小关系是________．答案 f (3.5)<f (1)<f (2.5)解析 y ＝f (x ＋2)是偶函数，则x ＝2是f (x )的对称轴． 又f (x )在(0,2)上为增函数，∴f (1)<f (1.5)＝f (2.5)，f (3.5)＝f (0.5)<f (1)． ∴f (3.5)<f (1)<f (2.5)．7．已知a 、b 、u ∈R ＋，且1a ＋9b ＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是________．答案 (－∞，16]8．(2010·山东卷)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．答案 3解析 因为1＝x 3＋y 4≥2x 3·y 4＝2xy12＝xy3，所以xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时取等号，故xy 的最大值为3.9．(2010·浙江卷)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．答案 18解析 由基本不等式，得xy ≥22xy ＋6，令xy ＝t ，得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或者t ≥32，故xy 的最小值为18.10．(2010·安徽卷)若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.答案 ①③⑤解析 两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤(a ＋b )24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥(a ＋b )24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2＋b 2－ab )＝2(a 2＋b 2－ab )，∵ab ≤1，∴－ab ≥－1.又a 2＋b 2≥2，∴a 2＋b 2－ab ≥1，∴a 3＋b 3≥2，故④错误；1a ＋1b ＝(1a ＋1b )a ＋b 2＝1＋a 2b ＋b 2a≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故⑤正确．三、解答题11．已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3. 证明 要证a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3， 只需证a 2＋b 2＋c 23≥(a ＋b ＋c 3)2， 只需证3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ， 只需证2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证(c －a )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的，所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3成立． 12．当a ≥2时，求证：a ＋1－a <a －1－a －2. 证明 方法一(分析法)： 要证：a ＋1－a <a －1－a －2，只需证a ＋1＋a －2<a ＋a －1， 只需证(a ＋1＋a －2)2<(a ＋a －1)2，只需证a ＋1＋a －2＋2(a ＋1)(a －2)<a ＋a －1＋2a (a －1)， 只需证(a ＋1)(a －2)<a (a －1)，只需证(a ＋1)(a －2)<a (a －1)， 即证－2<0，而－2<0显然成立， 所以a ＋1－a <a －1－a －2成立．方法二(综合法)： ∵a ＋1－a ＝1a ＋1＋a， a －1－a －2＝1a －1＋a －2， 又∵1a ＋1＋a<1a －1＋a －2， ∴a ＋1－a <a －1＋a －2.13．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ≥4.证明 方法一：∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴ab ≤14，∴1ab ≥4. ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4. 方法二：∵a ，b 是正数， ∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥21ab >0.∴(a ＋b )(1a ＋1b )≥4. 又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ≥4.方法三：1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2b a ·a b ＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． 14.用向量法证明：已知四面体A －BCD ，若AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，则AC ⊥BD .证明 取向量AB →、AC →、AD →为基向量． 则CD →＝AD →－AC →，BC →＝AC →－AB →， BD →＝AD →－AB →， ∵AB ⊥CD ，AD ⊥BC ， ∴AB →·CD →＝0，AD →·BC →＝0.∴AB →·(AD →－AC →)＝0，AD →·(AC →－AB →)＝0. ∴AB →·AD →＝AB →·AC →，AD →·AC →＝AD →·AB →. ∴AC →·BD →＝AC →·(AD →－AB →) ＝AC →·AD →－AC →·AB → ＝AD →·AB →－AB →·AD →＝0. ∴AC →⊥BD →，∴AC ⊥BD . ►重点班·选做题15．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1. 求证：(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2≥252. 证明 要证(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2≥252， 只需证(a 2＋b 2)＋(1a 2＋1b 2)＋4≥252，只需证(a 2＋b 2)＋(1a 2＋1b 2)≥172.∵a >0，b >0，且ab ≤(a ＋b 2)2＝14，∴1ab ≥4. ∴1a 2＋1b 2≥2ab ≥8. 又∵a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝12，∴(a 2＋b 2)＋(1a 2＋1b 2)≥172(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．∴(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2≥252.16．已知a ＋b ＝1，求证：(a ＋1a )(b ＋1b )≥254. 证明 ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab . ∴ab ≤14.∴(a ＋1a )(b ＋1b )－254＝a 2＋1a ·b 2＋1b －254＝4a 2b 2－33ab ＋84ab ＝(1－4ab )(8－ab )4ab ≥0. ∴(a ＋1a )(b ＋1b )≥254.1．设α，β，γ为平面，a ，b 为直线，给出下列条件： ①a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ； ④a ⊥α，b ⊥β，a ∥b .其中能使α∥β一定成立的条件是( ) A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④答案 C解析 ①若α∩β＝l ，a ∥l ，b ∥l 亦满足，③α可与β相交，④⎭⎬⎫a ∥b a ⊥α⇒⎭⎬⎫b ⊥αb ⊥β⇒α∥β.故选C.2．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn (m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定答案 B 解析 q ＝ab ＋mad n ＋nbcm ＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .3．已知a 、b 、c 、d ∈R ＋，且a b <cd ，则( ) A.a b <a ＋c b ＋d <c dB.a ＋c b ＋d <a b <c dC.a b <c d <a ＋c b ＋dD ．以上均可能答案 A4．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A.12 B ．2ab C ．a 2＋b 2D ．a答案 C5．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c 的值( ) A ．一定是正数 B ．一定是负数 C ．可能是零 D ．正、负不能确定答案 B6．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m 与n 的大小关系为________．答案 m >n解析 因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab >a ＋b >0，所以a ＋b 2>a ＋b2，所以m >n .7．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 a >c >b8．已知a ，b ，c 都是正实数，且ab ＋bc ＋ca ＝1. 求证：a ＋b ＋c ≥ 3.证明 考虑特征的结论“a ＋b ＋c ≥3”， 因为a ＋b ＋c >0，所以只需证明(a ＋b ＋c )2≥3， 即a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3. 又ab ＋bc ＋ca ＝1，所以只需证明a 2＋b 2＋c 2≥1，即a 2＋b 2＋c 2－1≥0.因为ab ＋bc＋ca ＝1，所以只需证明a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )≥0， 只需证明2a 2＋2b 2＋2c 2－2(ab ＋bc ＋ca )≥0， 即(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0.由于任意实数的平方都非负，故上式成立． 所以a ＋b ＋c ≥ 3.9．已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c. 证明 a >b >c ⇒a －b >0，b －c >0⇒⎩⎨⎧ a －c ＝(a －b )＋(b －c )≥2(a ＋b )(b －c )>01a －b ＋1b －c≥21(a －b )(b －c )>0 ⇒(a －c )(1a －b ＋1b －c)≥2(a －b )(b －c )· 21(a －b )(b －c )＝4⇒1a －b ＋1b －c ≥4a －c. 10．已知a >b >0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b . 证明 为了证明(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b ，只需证(a －b )24a <a ＋b －2ab <(a －b )24b ，即证(a －b 2a )2<(a －b )2<(a －b 2b)2.∵a >b >0，∴a －b >0，a －b >0. 只需证a －b 2a <a －b <a －b 2b ， 即证a ＋b 2a <1<a ＋b2b ，只需证1＋b a <2<1＋ab ， 即证b a <1<a b ，即证b a <1<a b .∵a >b >0，∴b a <1<a b ，∴原命题成立．。

选修2－2综合测试时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算：1＋2i－2＝( ) A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i[答案] B [解析]1＋2i －2＝1＋2i 1－2i ＋i 2＝1＋2i－2i ＝＋2＝－1＋12i.2．用反证法证明命题“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除[答案] B[解析] “至少有一个”的否定为“一个也没有”．3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n n 2＋3，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D ．13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] [答案] B[解析] 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.4．已知函数f (x )＝1x ＋－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )[答案] B[解析] 当x ＝1时，y ＝1ln 2－1<0，排除A ；当x ＝0时，y 不存在，排除D ；当x 从负方向无限趋近于0时，y 趋近于－∞，排除C.故选B.5．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9[答案] D[解析] 由等差数列的性质知，a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5，故D 成立．6．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1－e －x，则质点从x 1＝0，沿x 轴运动到x 2＝1处，力F (x )所做的功是( )A ．eB ．1e C ．2e D ．12e[答案] B[解析] 由W ＝⎠⎛01(1－e －x )d x ＝⎠⎛011d x －⎠⎛01e －x d x ＝x |10＋e －x |10＝1＋1e －1＝1e .7．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )对应向量的模为3，则y x的最大值是( ) A ．32B ．33C. 3 D ．12[答案] C[解析] 由|(x －2)＋y i|＝3，得(x －2)2＋y 2＝3， 此方程表示如图所示的圆C ，则y x的最大值为切线OP 的斜率． 由|CP |＝3，|OC |＝2，得∠COP ＝π3，∴切线OP 的斜率为3，故选C.8．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )[答案] C[解析] 本题考查导数的应用，函数的图象．由f (x )在x ＝－2处取极小值知f ′(－2)＝0且在－2的左侧f ′(x )<0，而－2的右侧f ′(x )>0，所以C 项合适．函数、导数、不等式结合命题，对学生应用函数能力提出了较高要求．9.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n 个图中有________个小正方形( )A ．28，n ＋n ＋2B ．14，n ＋n ＋2C ．28，n 2D ．12，n 2＋n2[答案] A [解析]根据规律知第6个图形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.第n 个图形中有1＋2＋…＋(n ＋1)＝n ＋n ＋2.10.给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1 D ．f (x )＝－x e －x[答案] D[解析] 若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ， 在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x e －x，则f ″(x )＝2e －x－x e －x＝(2－x )e －x. 在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )>0，故选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．(2014·北京理，9)复数(1＋i 1－i )2＝________.[答案] －1 [解析] 复数1＋i1－i ＝＋2－＋＝2i2＝i ， 故(1＋i 1－i )2＝i 2＝－1. 12．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1能被14整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1应变形为________． [答案] 34·34k ＋1＋52·52k ＋1[解析] n ＝k 时，34k ＋1＋52k ＋1能被14整除，因此，我们需要将n ＝k ＋1时的式子构造为能利用n ＝k 的假设的形式.34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝34·34k ＋1＋52·52k ＋1＋34·52k ＋1－34·52k ＋1＝34(34k ＋1＋52k ＋1)＋(52－34)52k ＋1，便可得证．13．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)，将命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：____________________________________________________________________________________________________________________________________.[答案] 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)14．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3ax ＋1在区间(－∞，＋∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a 的取值范围是________________．[答案] (－∞，0)∪(9，＋∞)[解析] 由题意得y ′＝3x 2－2ax ＋3a ＝0有两个不同的实根，故Δ＝(－2a )2－4×3×3a >0，解得a <0或a >9.15.如图为函数f (x )的图像，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式x ·f ′(x )<0的解集为________．[答案] (－3，－1)∪(0,1)[解析] x ·f ′(x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f x ，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f x∵(－3，－1)是f (x )的递增区间， ∴f ′(x )>0的解集为(－3，－1)． ∵(0,1)是f (x )的递减区间， ∴f ′(x )<0的解集为(0,1)．故不等式的解集为(－3，－1)∪(0,1)．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．(2015·山东青岛)已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|.(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．[解析] (1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|i－1|3＝2 2. (2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆．而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)，所以|z －z 1|的最大值可以看成是点Z 1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z －z 1|max ＝|z 1|＋r (r 为圆的半径)＝22＋1.17．设函数f (x )＝kx 3－3x 2＋1(k ≥0)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的极小值大于0，求k 的取值范围． [解析] (1)当k ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1，∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)． 当k >0时，f ′(x )＝3kx 2－6x ＝3kx (x －2k)．∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)，(2k，＋∞)，单调减区间为(0，2k)．(2)当k ＝0时，函数f (x )不存在极小值． 当k >0时，由(1)知f (x )的极小值为f (2k )＝8k 2－12k2＋1>0，即k 2>4， 又k >0，∴k 的取值范围为(2，＋∞)．18.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解析] 解法一： (1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法二： (1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.19.设a >0且a ≠1，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率； (2)求函数f (x )的极值点． [解析] (1)由已知得x >0.当a ＝2时，f ′(x )＝x －3＋2x ，f ′(3)＝23，所以曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率为23.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x＝x 2－a ＋x ＋ax＝x －x －ax.由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝A ． ①当0<a <1时，当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝a 时f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点． ②当a >1时，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．综上，当0<a <1时，x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点；当a >1时，x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．20.(2014·广东理)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)a 1＝S 1＝2a 2－3×12－4×1＝2a 2－7①a 1＋a 2＝S 2＝4a 3－3×22－4×2＝4(S 3－a 1－a 2)－20＝4(15－a 1－a 2)－20，∴a 1＋a 2＝8②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3a 2＝5，∴a 3＝S 3－a 1－a 2＝15－8＝7，综上a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1，以下用数学归纳法证明： ①由(1)知，当n ＝1时，a 1＝3＝2×1＋1，猜想成立； ②假设当n ＝k 时，猜想成立，即a k ＝2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2k －12k a k ＋6k ＋12k＝2k －12k ·(2k ＋1)＋3＋12k＝4k 2－12k ＋3＋12k＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1这就是说n ＝k ＋1时，猜想也成立，从而对一切n ∈N *，a n ＝2n ＋1.21.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 及CD 的中点P 处，已知AB ＝20 km ，CB ＝10 km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上(含边界)，且与A ，B 等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km.(1)设∠BAO ＝θrad ，将y 表示成θ的函数关系式； (2)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最小．[解析] (1)延长PO 交AB 于点Q ，则PQ 垂直平分AB .若∠BAO ＝θrad ，则OA ＝AQcos ∠BAO ＝10cos θ，故OB ＝10cos θ. 又OP ＝10－10tan θ，所以y ＝OA ＋OB ＋OP ＝10cos θ＋10cos θ＋10－10tan θ.故所求函数关系式为y ＝20－10sin θcos θ＋10(0≤θ≤π4)．(2)y ′＝－10cos θ·cos θ－－10sin θ－sinθcos 2θ＝θ－cos 2θ.令y ′＝0，得sin θ＝12.因为0≤θ≤π4，所以θ＝π6.当θ∈[0，π6)时，y ′<0，则y 是关于θ的减函数；当θ∈(π6，π4]时，y ′>0，则y 是关于θ的增函数，所以当θ＝π6时，y min ＝20－10×1232＋10＝(103＋10)．故当点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边1033km 处时，三条排污管道的总长度最小．。

2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法一、选择题1．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定2．(2015·长春外国语学校高二期中)若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定3．若a 、b 、c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥2 B ．(a ＋b ＋c )2≥3 C.1a ＋1b ＋1c≥23 D ．abc (a ＋b ＋c )≤134．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( )A ．aB ．bC ．cD ．不能确定5．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y6．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A二、填空题7．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 的大小关系为________________．8．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a、b应满足的条件是________________．三、解答题9．已知n∈N*，且n≥2，求证：1n>n－n－1.10．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m＞0，求证：aa＋m＋bb＋m＞cc＋m.——★参考答案★——1.[[答案]] B[[解析]] 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以，sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π2，所以△ABC 是直角三角形．2.[[答案]] C[[解析]] 取a ＝1得P ＝1＋8<4，Q ＝2＋5>4， ∴P <Q ，故选C.证明如下：要证P <Q ，只要证P 2<Q 2，只要证2a ＋7＋2a （a ＋7）<2a ＋7＋2（a ＋3）（a ＋4）， 只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12， 只要证0<12，∵0<12成立，∴P <Q 成立． 3.[[答案]] B[[解析]] ∵a 、b 、c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ， b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ， ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，又(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2＋b 2＋c 2＋2≥3. 4.[[答案]] C[[解析]] 因为b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x ＜0，所以b <c .又因为(1＋x )2>2x >0，所以b ＝1＋x >2x ＝a ，所以a <b <c .[点评] 可用特值法：取x ＝12，则a ＝1，b ＝32，c ＝2.5.[[答案]] D[[解析]] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.所以有x <2xy <x ＋y 2<y ，故排除A 、B 、C ，选D.6.[[答案]] A [[解析]]a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数， ∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b )．7.[[答案]] a >c >b[[解析]]b＝47＋3，c＝46＋2，显然b<c，而a2＝2，c2＝8－212＝8－48<8－36＝2＝a2，所以a>c.也可用a－c＝22－6＝8－6>0显然成立，即a>c.8.[[答案]]a≠b且a≥0，b≥0[[解析]]a a＋b b>a b＋b a⇔a a＋b b－a b－b a>0⇔a(a－b)＋b(b－a)>0⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0只需a≠b且a，b都不小于零即可．9.[证明]要证1n>n－n－1，即证1>n－n（n－1），只需证n（n－1）>n－1，∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)2，只需证n>n－1，只需证0>－1，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．10[证明]要证明aa＋m＋bb＋m＞cc＋m，只需证明aa＋m＋bb＋m－cc＋m＞0即可．∵aa＋m＋bb＋m－cc＋m＝a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)（a＋m）（b＋m）（c＋m），∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm ＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，∵△ABC中任意两边之和大于第三边，∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，∴aa＋m＋bb＋m＞cc＋m.。